2019—2020学年第一学期南康中学平川中学信丰中学联考
高二年级理科数学参考答案
1---12. ABDD BBAD AADC
13. 50 14. 2或-2 15. 16.
16.提示 当直线在从轴开始逆时针旋转到位置时，符合题意，取
极限，计算即可。
17. 解：设，
易知．┄┈4分
由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，┄┈6分
，┄┈9分
故所求实数的取值范围是．┄┈10分
18.解：（ 1）基本事件总数为6×6=36┄┈2分
当a=1时，b=1，2，3；┄┈3分
当a=2时，b=1，2；┄┈4分
当a=3时，b=1﹒┄┈5分
共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，
∴P（A）=┄┈8分
（2）当m=7时，┄┈10分
（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，
此时P==最大┄┈12分
19.解（1）
┄┈2分
由散点图可以判断，商品件数与进店人数线性相关┄┈4分
（2）因为，，，
，，，
所以，┄┈7分
┄┈9分
所以回归方程，┄┈10分
当时，（件）┄┈11分
所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件. ┄┈12分
20.解（Ⅰ）证明：∵平面,∴；┄┈1分
∵底面是菱形，∴;┄┈2分
∵,平面,┄┈3分
∴平面.┄┈4分
（Ⅱ）证明：∵底面是菱形且，∴为正三角形，∴,┈┈5分
∵,∴；┈┈6分
∵平面，平面,∴；
∵,∴平面，┈┈7分
平面,∴平面平面.┄┈8分
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；┈┈9分
理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，
∴且，┈10分
∴且，即四边形为平行四边形，┈┈11分
∴;
又平面，平面，
∴平面.┄┈12分
21.解Ⅰ由题得蜜柚质量在和的比例为2：3，
应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个．┈┈2分
记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为， ，，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，，┈┈4分
其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，
故这2个蜜柚质量均小于2000克的概率为．┈┈5分
Ⅱ方案A好，┈┈6分
理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，
同理，蜜柚质量在，，
，的频率依次为，，，，．┈┈7分
若按A方案收购：
根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，┈┈8分
于是总收益为
元┈┈9分
若按B方案收购：
蜜柚质量低于2250克的个数为，
蜜柚质量低于2250克的个数为，┈┈10分
收益为元．┈┈11分
方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A．┈┈12分
22．解 （1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在中，ME为中位线，∴，
∵，∴，┈┈1分
∴四边形AMED为平行四边形．∴．┈┈2分
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．┈┈3分
（2）解：以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则，，，，，┈┈4分
由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即┈┈5分
设平面AMC的一个法向量为，则，
令y=1,将坐标代入得，┈┈6分
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．┈┈7分
（3）设，其中．
由于，所以．┈┈8分
所以，┈┈9分
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，┈┈11分
此时，，
即点N在线段CD上且．┈┈12分
命题人：温日明 15970921310
