沪科版数学九年级下24.6.2正多边形的性质课时教学设计
课题
正多边形的性质
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
（1）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。?
（2）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题
过程与方法目标
学生在探讨正多边形有关计算中，体会到善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力.
情感态度与价值观目标
运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心.
重点
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.
难点
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆”的理解.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
下面我们仍然以正五边形为例。
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O
连结OA、OB、OC、OD
∵OB=OC,
∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠BCD
∴∠3=∠4
∵AB=DC
∴△OAB≌△ODC
∴OA=OD
即点D在⊙O上。
同理，点E在⊙O上。
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆 。
师：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
生：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
师：我们来学习正多边形的有关概念
1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
2.外接圆的半径叫作正多边形的半径.
3.内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360°n
课件展示：
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_________________.
师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
生：正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心
课件展示：
例 求边长为a的正六边形的周长和面积
师：怎样添加圆内接正多边形的辅助线
生： 1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
学生思考回答问题得出定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
师生共同总结正多边形的有关概念.
学生填空，进一步理解多边形的性质.
学生画出对称轴，总结正多边形的对称性.
学生自主解答
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识.
通过引导学生自主合作,探究验证,培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.
培养学生自己解决问题的能力.
课堂练习
1．若一个四边形既有外接圆，又有内切圆，且这两个圆是同心圆，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
答案：D
2.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( )
A．6 B．12
C．63 D．123
答案：B
3. 如图，用扳手拧螺帽，已知正六边形的螺帽的边长为a，当扳手开口的最大值b＝36 mm时，则能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值为_____．
答案：123mm
4.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.
答案： 48
5.如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
答案：
证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAE，
∴△ABC≌△EAB，
∴AC＝BE.
(2)连接AD，
∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD.
又∵M为CD的中点，
∴AM⊥CD.
拓展提升
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=______;图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
答案：
(1)120 °，90 °72 °
(2)∠MON=360°n
中考链接
1.(株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
答案：A
2.(达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A.22 B.32 C.2 D.3
答案：A
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1.定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
2.正多边形及外接圆中的有关概念
中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径.
课件22张PPT。24.6.2正多边形的性质沪科版 九年级下提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
下面我们仍然以正五边形为例。情境导入同理，点E在⊙O上。 过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD、OE
∵OB=OC,
∴∠1=∠2∵∠ABC=∠BCD
∴∠3=∠4∵AB=DC
∴△OAB≌△ODC∴OA=OD
即点D在⊙O上。所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．新知讲解 因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆 。新知讲解所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆。想一想归纳：新知讲解OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.内切圆的半径叫作正多边形的边心距.?新知讲解如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________ .CDOBEFAP60 =等边6新知讲解?正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图新知讲解边数是偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心.正八边形正六边形新知讲解例 求边长为a的正六边形的周长和面积解：如图，过六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S?例题解析2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；·圆内接正多边形的辅助线归纳：新知讲解?D课堂练习B3. 如图，用扳手拧螺帽，已知正六边形的螺帽的边长为a，当扳手开口的最大值b＝36 mm时，则能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值为________．
4.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.课堂练习48?5.如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.课堂练习证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得A
＝AE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAE，
∴△ABC≌△EAB，
∴AC＝BE.(2)连接AD，课堂练习∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD.
又∵M为CD的中点，
∴AM⊥CD.
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系..ABCMNMNMNOOO90 °72 °120 °图①图②图③拓展提升?中考链接AA课堂总结正多边形的性质正多边形的
有关概念正多边形的
有关计算添加辅助线的方法：
连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形的对称性板书设计1.定理： 中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径: 外接圆的半径.2.正多边形及外接圆中的有关概念 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．作业布置分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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24.6.2正多边形的性质导学案
课题
正多边形的性质
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。?
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题
重点难点
重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.
难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆”的理解.
教学过程
知识链接
1.什么是正多边形？
2.你知道正多边形有什么性质？
合作探究
一、教材第49页
每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？下面我们仍然以正五边形为例
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O
连结OA、OB、OC、OD
∵OB=OC,
∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠BCD
∴ 。
∵AB=DC
∴△APB≌△DOC
∴ 。
即点D在⊙O上。
同理，点E在⊙O上。
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以 相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都 ．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆。
定理： 。
二、教材第50页
正多边形的有关概念
1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的 .
2.外接圆的半径叫作正多边形的 .
3.内切圆的半径叫作正多边形的 .
4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 。
三、教材第50页
正多边形都是 图形,一个正n边形共有 条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.
边数是偶数的正多边形还是 图形,它的中心就是 。
四、教材51页
例题 求边长为a的正六边形的周长和面积
自主尝试
1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36°C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
【方法宝典】
根据正多边形的性质进行解题.
当堂检测
1.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
2．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N.给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－；④S△EBC＝2 －1.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为______________．
4．如图，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24 m的正六边形ABCDEF，点O为中心(下面各题的结果均精确到0.1 m)．
(1)求地基的中心到边缘的距离；
(2)已知塔的墙体宽为1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1．A 2．C 3．.
4．解：(1)过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
∵正六边形ABCDEF的周长为24 m，
∴AB＝4 m，且△AOB是等边三角形．
在Rt△AOM中，∠OAM＝60°，OA＝4 m，
∴OM＝OA·sin∠OAM＝4×sin60°＝2 ≈3.5(m)．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.5 m.
(2)3.5－1－1.6＝0.9(m)．
答：塑像底座的半径最大约为0.9 m.
