24.7.1弧长与扇形的面积导学案
课题
弧长与扇形的面积
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题
重点难点
重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题.
难点：探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题.
教学过程
知识链接
1.圆的周长和面积？
2.圆心角的定义？
合作探究
一、教材第53页
1、我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
/
①圆的周长公式是 。
②圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧
1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
n°的圆心角所对的弧长是_______。
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 。
二、教材第54页
2.如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是 。
/
想一想：扇形的面积与什么有关？
/
怎样从圆的面积公式中找出扇形的面积与扇形的圆心角、半径之间的关系？
半径为r的圆面积是 。
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
/
。
半径为R，圆心角为n?的扇形的面积是 。
比一比： n?的圆心角所对的弧长和扇形的面积之间有什么关系？
。
三、教材第54页
例1、一滑轮装置如图，滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)
/
例2、古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的賽伊尼和亚历山大两地，亚历山大在賽伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5000希腊里(1希腊里≈158.5m).当太阳光线在賽伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为ɑ，实际测得ɑ是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
/
自主尝试
1.已知扇形的半径是12 cm，圆心角是60°，则扇形的弧长是( )
A.24π cm B.12π cm C.4π cm D.2π cm
2.在半径为R的圆中，一条弧长为l的弧所对的圆心角为( )
A.度 B.度 C.度 D.度
3.如图，∠AOB=120°，的长为2π，⊙O1和、OA、OB相切于点C、D、E，求 ⊙O1的周长.
【方法宝典】
根据弧长和扇形面积公式进行解题.
当堂检测
1.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R，则它的弧长增加( )
A. B. C. D.
2.设三个同心圆的半径分别为r1、r2、r3，且r1>r2>r3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r1∶r2∶r3为 ( )
A.3∶2∶1 B.9∶4∶1 C.2∶∶1 D.∶∶1
3.圆环的外圆周长为100 cm，内圆周长为80 cm，则圆环的宽度为( )
A. B. C. D.10π
4.如图，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上) ( )
A.16π B.π C.π D.π
5.数学课上，小刚动手制作了一个圆锥，他量圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为8 cm，则它的侧面积应是_____ cm2(精确到0.1 cm2).
6.如图3，两个半圆中，长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.
7.如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是 ，绳子AC和BD所在的直线成30°的角.请你测算一下接触部分的长.(精确到0.1 m)
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.D 2.D 3.B 4.D 5.100.5 6.π
7.解：连接OC、OD，∴OC⊥AC，BD⊥OD.
∵AC、BD交角为30°, ∴∠COD=150°.
∴ 的弧长==25π.
/
沪科版数学九年级下24.7.1弧长与扇形的面积教学设计
课题
弧长与扇形的面积
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题
过程与方法目标
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；
2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.
情感态度与价值观目标
经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．
重点
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题.
难点
探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？
/
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
/
课件展示：
/
1．圆的周长公式是 。
2、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧
1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
n°的圆心角所对的弧长是_______。
师：由此你能得出弧长公式吗？
生： 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l=
师：运用弧长公式的时候应该注意什么？
生：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
师：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
/
师：想一想：扇形的面积与什么有关？
/
讨论：怎样从圆的面积公式中找出扇形的面积与扇形的圆心角、半径之间的关系？
师：半径为r的圆面积是多少？
生： s=π
??
2
那么当圆心角为180°，90°，45°时，扇形的面积是多少呢？
生：
????????
??
??
??????
，
??????
??
??
??????
，
??????
??
??
??????
师：由此你能得出扇形面积公式吗？
生：半径为R，圆心角为n?的扇形的面积是
S
扇形
=
nπ
R
2
360
师：比一比： n?的圆心角所对的弧长和扇形的面积之间有什么关系？
生：
??
扇形
=
????
??
2
360
=
1
2
?
??????
180
???=
1
2
????
师：对比弧长公式，扇形面积又应该注意什么呢？
生：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆(即按照上面推导过程记忆）.
课件展示：
例1、一滑轮装置如图，滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)
/
例2、古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的賽伊尼和亚历山大两地，亚历山大在賽伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5000希腊里(1希腊里≈158.5m).当太阳光线在賽伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为ɑ，实际测得ɑ是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
/
学生思考，填空，推导出弧长公式
师生共同总结扇形的面积公式
学生自主解答
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
通过引导学生自主合作,探究验证,培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.
巩固所学知识，培养学生自己解决问题的能力.
课堂练习
1．一个扇形的圆心角是120 ° ，它的面积是3πcm2 ，则这个扇形的半径是（ ） A.3πcm B. 3cm C. 6cm D.9cm
答案：B
2.若扇形的弧长是16cm ，面积是56cm2 ，则它的半径是（ ）
A.7cm B. 3.5cm C. 2.8cm D.14cm
答案：A
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
/
答案：12πcm2
4.已知扇形的圆心角为300，面积为3πcm2 ，则这个扇形的半径R=____ ．
答案：6cm
5.如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
/
答案：
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为S=
????
??
2
180
=
60×??×
10
2
360
=
50??
3
≈52.36(??
??
2
)
扇形的周长为l=2r+
??????
180
=20+
60×??×10
180
=20+
10??
3
≈30.47
拓展提升
两个同心圆被两条半径截得的
????
=10??，
????
=6??，又AC=12，求阴影部分的面积.
/
答案：
解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°
∴
??
????
=
????(??+12)
180
=10??
??
????
=
??????
180
=6??
∴
??=60
??=18
∴OC=18，OA=OC+AC=30
∴
??
阴影
=
??
扇??????
?
??
扇??????
=
1
2
??
????
??????
1
2
??
????
?????
=
1
2
×10??×30?
1
2
×6??×=96π
中考链接
1.(资阳中考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2
3
，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是 .
/
答案：2
3
?
2??
3
2.(鄂州中考)如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，OA=6cm，则图中阴影部分的面积是 。
/
答案： (6π-9
3
)??
??
2
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1.定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
2.正多边形及外接圆中的有关概念
中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径.
/
课件22张PPT。24.7.1弧长与扇形面积沪科版 九年级下在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？情境导入BOA我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？新知讲解1．圆的周长公式是 。2、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
n°的圆心角所对的弧长是_______。?360????新知讲解弧长公式新知讲解注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。新知讲解想一想：扇形的面积与什么有关？讨论：怎样从圆的面积公式中找出扇形的面积与扇形的圆心角、半径之间的关系？新知讲解半径为r的圆,面积是多少？那么当圆心角为180°，90°，45°时，扇形的面积是多少呢？新知讲解???从而得出：半径为R，圆心角为n?的扇形的面积是?比一比： n?的圆心角所对的弧长和扇形的面积之间有什么关系？?学科网新知讲解①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆(即按照上面推导过程记忆）.注意答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90° 例1、一滑轮装置如图，滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)?新知讲解例2、古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的賽伊尼和亚历山大两地，亚历山大在賽伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5000希腊里(1希腊里≈158.5m).当太阳光线在賽伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为ɑ，实际测得ɑ是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？新知讲解解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角∠AOS=ɑ=7.2°新知讲解?1．一个扇形的圆心角是120 ° ，它的面积是3πcm2 ，则这个扇形的半径是（ ） A.3πcm B. 3cm C. 6cm D.9cm
2.若扇形的弧长是16cm ，面积是56cm2 ，则它的半径是（ ）
A.7cm B. 3.5cm C. 2.8cm D.14cm
B课堂练习A课堂练习3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .12πcm24.已知扇形的圆心角为300，面积为3πcm2 ，则这个扇形的半径R=____ ． 6cm5.如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为扇形的周长为课堂练习?拓展提升解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°???∴OC=18，OA=OC+AC=30??中考链接??课堂总结弧长计算公式：
扇形定义公式
阴影部分面积
求法：整体思想板书设计1.弧长公式： 2.扇形面积公式?作业布置如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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