北师大版八年级上册第七章平行线的证明教案

第七章　平行线的证明
1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理能力.
2.通过具体实例了解定义、命题、定理、推论的含义,会区分命题的条件和结论.
3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
经历对顶角定理、两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论的证明过程,初步掌握综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题.
初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.
《标准》在“图形的性质”的有关要求中,比较多地使用了“探索并证明……”的表述,也就是要在一定的情境中,引导学生借助已有的知识和经验,借助图形的直观,通过操作、实验,运用合情推理或图形运动等方法,探索发现图形可能具有的性质,这与用单纯地给出“已知、求证、证明”的方式来研究图形的性质是有区别的,两者相比,前者更有利于学生在获取有关知识的过程中,不断提高研究几何图形性质的能力,发展创新意识和创新能力,为了实现《标准》的这一意图,本套教科书选择了先分“两阶段”(探索阶段和证明阶段)后合二为一(边探索边证明)的处理方式:对与平行线、三角形有关的内容采取了分两个阶段的学习方式;对有关四边形、相似、圆等内容,采取了探索加证明的方式,也就是引导学生通过观察、测量、操作、实验等活动探究结论,同时对这些探究的结论进行严格的论证.这样处理,使得学生在探索阶段通过亲身探究活动,展开合情推理,合情推理能力和探究发现能力得到了很好的发展,主体性也得到了充分的发挥;同时由于把探索阶段的重心放在结论的探究上,几何学习的语言表述等难点得以分解,有利于降低几何入门教学的难度,激发学生的学习兴趣.
本章是证明的起始阶段,淡化了先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论,学生也尝试进行了一些验证和说理,基本认可这些结论,但毕竟不是证明.本章首先要让学生明确认识到:这些探究的结论需要加以证明;同时证明需要一个话语体系,为此就有了所谓的定义、命题等.其次,证明需要确定一些出发点,为此需要梳理有关结论,选择某些结论作为证明的出发点(实际上这就是构建局部的公理体系);有了这些证明的出发点,接着就依次证明一些先前探究得到的定理,在证明过程中,初步掌握证明的要求和格式,认识到证明的严谨性,做到步步有据,发展学生的推理能力.
【重点】　
1.明确证明的必要性和相关的概念.
2.平行线的判定和性质.
3.三角形内角和定理.
【难点】　
1.准确证明命题或定理.
2.平行线的判定定理和性质定理的灵活运用.
1.关注对证明必要性的理解和证明意识的建立.
要让学生知道数学需要证明,数学之外的其他事物,也应该追究其缘由、问个为什么;初步感受公理化方法在数学和人类文明中的作用,证明的必要性,不仅要从几何的角度加以认识,还要从代数甚至其他学科、实际生活等角度加以认识,让学生认识到说话办事要有根有据,对于猜测、实验、归纳得到的结论一定要给予证明.
2.兼顾探索与证明,发展学生的推理能力.
推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中,本章侧重于发展学生的演绎推理能力,但并不意味着不要关注合情推理,在解决问题的过程中,两种推理的功能不同,相辅相成.合情推理用于探索思路、发现结论;演绎推理用于证明结论.数学中关注这两种能力的发展,在关注证明的同时,也应尽可能创设探究活动、实践活动,在活动中发展学生的合情推理能力.
3.关注证明的依据和规范性.
由于本章的多数结论之前已经探究过,因此在证明过程中难免会出现一些循环论证的现象.教学中,在证明一个命题时,要注意引导学生区分哪些结论可以作为证明的依据,哪些结论不可以作为证明的依据;提醒学生,只有作为证明的出发点的基本事实和前面已经证明过的定理才能作为证明的依据.在今后学习完“三角形的证明”之后,所有前面已经得到的结论都可以作为证明的依据.因此,学生出现了循环论证的情况,加以引导即可,不必过于担心,更不要给学生过大的压力,避免因压力过大造成学生兴趣的流失.
1　为什么要证明
1课时
2　定义与命题
2课时
3　平行线的判定
1课时
4　平行线的性质
1课时
5　三角形内角和定理
2课时
回顾与思考
1课时
1　为什么要证明
体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.
经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.
通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.
【重点】　要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.
【难点】　通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.
【教师准备】　教材图7 - 1、图7 - 2、图7 - 3的投影图片.
【学生准备】　有刻度的直尺.
导入一:
师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。(多媒体展示)
从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?
生:张先生应该走第③条路.
师:你的依据是什么?
生:两点之间,线段最短.
师:你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?
生1:生活经验.
生2:观察比较.
生3:测量验证.
……
师:很好!我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?本节课让我们共同来学习第七章《平行线的证明》中的第一节“为什么要证明”.(板书课题:1　为什么要证明)
[设计意图]　从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.
导入二:
欣赏几组图片(多媒体展示):
问题1
【课件1】　第一组图中的线是直的吗?
问题2
【课件2】　第二组图中心的两个圆哪个大?
我们常说“百闻不如一见”“耳听为虚,眼见为实”,但“眼见真的全为实”吗?
(此时学生很兴奋,讨论很热烈)
以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法.(板书课题)
[处理方式]　给学生2分钟思考的时间,然后找学生回答.此时学生的回答各有不同,若学生的回答是否定的,可通过实际操作验证第一组图中的线是直的,第二组图中心的两个圆一样大,让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.
[设计意图]　通过故事和精美的图片,在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣,体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.故事和精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节课的学习.
　　[过渡语]　以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?
一、“直观”可靠吗
师:请观察下面几组图片,思考并回答下列问题.(多媒体出示)
(1)图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
【师生活动】　学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行验证.
生1:我观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.
生2:我观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.
师:通过以上操作,你有什么感受?
生:观察到的结果与事实不相符.
师:以上操作说明仅仅依靠观察得到的结果是不能作为判断某些问题的结论的,要想得到正确的结论,必须进行验证.让我们再感受几个!
请你欣赏:(多媒体出示)
(1)这是平面吗?怎么看起来不像平面呢?
(2)这些正方形怎么看起来扭曲了?
(3)看,图在动!
(4)你能想象这些都是同心圆吗?
(5)图中的横线是平行的吗?
(6)难以置信,这是一组平行线!
[设计意图]　让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.
二、“直觉”可信吗
师:请思考并回答下面问题.(多媒体出示)
如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
【师生活动】　学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.
师:正常人的拳头有多大?量一量.
生:通过测量、交流,发现我班的最大拳头宽度才10厘米.
师:凭感觉想象一下,铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗?
生1:地球很大,铁丝的长度就比赤道的周长多一米,我觉得放不进一个拳头,也许能放进一只小蚂蚁.
生2:赤道就是一个大圆,铁丝的长度比它的周长多一米,就能有一定的间隙,但是我认为间隙不大,不能放进一个拳头.
师:算一算,结果与你的感觉是否一致?(学生计算,教师指导)
生:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,
即C+12π-C2π=12π≈0.16(m),0.16 m=16 cm.
因此,能放进一个拳头.(教师板书)
师:通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.
[设计意图]　通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.
【小试身手】
1.图中三条线段a,b,c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用直尺验证一下.
2.图中两条线段a和b的长度相等吗?
【师生活动】　学生独立思考,验证后并交流.教师巡视、指导学生,学生完成后借助多媒体展示正确的答案.
[设计意图]　进一步让学生感受通过观察、猜想、直觉、经验得出的结论可能不是正确的.
三、特例归纳得出的结论可靠吗
思路一
师:请大家解决下面问题.(多媒体出示)
代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
【师生活动】　学生先思考,再动手计算,然后小组交流、归纳.教师巡视、指导学生,进行验证.
生:当n=0时,n2-n+11=11.
当n=1时,n2-n+11=11.
当n=2时,n2-n+11=13.
当n=3时,n2-n+11=17.
当n=4时,n2-n+11=23.
当n=5时,n2-n+11=31.
因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.
师:你们都同意这个结论吗?
生:同意.
师:再取几个数试一试,看看你有什么发现.
生:经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.
[设计意图]　对归纳的结论进行验证,让学生感受到特例有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.
师:你们解决得很好,此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.
【学生活动】　学生极有兴趣地阅读,并低声交流.
师:说说你们的感想.
生1:大数学家费马出现这样的低级错误,可能是因为过于相信自己的直觉和经验.
生2:仅由几个特例归纳得出的结论可能是错误的.
生3:我们应当向欧拉学习,敢于向权威质疑;同时学习他对待科学的严谨态度.
生4:我发现可以用举反例的方法验证结论.
……
师:说得很好,希望同学们不要再出现这样的问题.同时,这个故事告诉我们:要说明一个结论是错误的,举反例就是一种常用方法.
[设计意图]　了解数学小知识的目的是进一步让学生理解凭几个例子得出的结论未必是正确的,也让学生体会反例在数学中的重要作用;同时,让学生理解数学家也会犯错,也是凡人,使学生提高学习数学的自信心.
思路二
【问题】　代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5,试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
【学生活动】　让学生先独立思考,再以小组为单位进行讨论交流,最后通过计算回答.其中第1小题当n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时,n2-n+11的值分别是11,11,13,17,23,31,41,53,67,83,101,全是质数.只要其他学生没有质疑就继续提问.但当n=11时,n2-n+11=121=112,就不是质数了.
[设计意图]　让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑,并且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算,可知用归纳的方法,仍不能判断数学结论是正确的,同时培养了学生的合作竞争意识.
四、实验得到的结论未必可靠
师:请大家接着解决下面的问题.
如图7 - 4所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流.
【师生活动】　学生先观察、猜一猜,再动手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.
师:你认为DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?
生:我认为位置关系是DE∥BC;数量关系是DE=12BC.
师:你是如何验证你的结论的?
生:我是利用刻度尺、量角器进行测量验证的.
师:大家认同这个做法吗?
生:(大部分学生)认同.
师:那么你还能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?
(部分学生说肯定,部分学生不能确定)
师:同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.
[设计意图]　让学生感受由观察、猜想、实验得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.
[知识拓展]　认识事物不能“想当然”,要想取得令人信服的结论,必须经过严格的数学证明,证明的依据一般有数学定义、定理、公式和性质等.
实验—观察—归纳—可能正确,也可能不正确证明
1.通过　　　　得到的结论往往是不可靠的,甚至是错误的.?
答案:观察、实验或归纳
2.只有通过　　　　才能检验数学结论.?
答案:举出反例或推理
3.下列判断正确吗?说明理由.
(1)如果有一条线段AB=5 cm,另一条线段BC=2 cm,那么线段AC长为7 cm;
(2)当n=0,1,2,3时,代数式n2+n+5的值分别是5,7,11,17,它们都是质数,由此判断,对所有自然数n,n2+n+5的值都是质数.
解:(1)不正确,因为A,B,C三点不一定在一条直线上,即使在一条直线上,也不一定能得出AC=7 cm,如点C在AB之间.　(2)不正确,如当n=4时,n2+n+5=25,是合数.
4.有一张厚0.01 mm的纸(设它有无限大),重复折叠20次,大约有多高?会有3层楼房那么高吗?(每层楼房的高按3米计算)
提示:大约10米高;会有3层楼房那么高.
1　为什么要证明
问题探索
猜想结论:不一定正确
一、教材作业
【必做题】
教材第163页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第164页习题7.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度(　　)
　
小刚
A.一样多 B.小刚的多
C.小明的多 D.无法判断
2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是 (　　)
A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达
B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达
C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达
D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3.下列说法正确的是 (　　)
A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个
【能力提升】
4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为　　　　.?
【拓展探究】
5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?
【答案与解析】
1.A
2.D
3.D
4.6n+2
5.解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.
帮助学生认识到由观察和猜想得到的结论不一定是正确的,这是本课时的教学的核心.解决好这个问题,也就为学生理解证明的必要性奠定了基础.本课时通过教材的情景事例,通过学生的观察、测量、交流等探究活动,让学生体验到由观察和猜想得到的结论有时候是靠不住的,要想让人信服,必须给出“证明”,这是本课时的最大成功之处.
由于有些问题是无法一一验证的,这就需要为学生提供一定的方法或者提示.在处理教材图7 - 3的相关问题的时候,学生在计算的过程中难度比较大,教师应该提供给学生必要的数据,让学生通过计算的结果更深刻地领会想象和猜测不一定是正确的.
在处理教材图7 - 3及其相关问题的过程中,因为无法直接验证,就需要学生进行计算后才能得出正确的结论.多数学生都会认为是不可能放下一个拳头的,此时教师应该让学生更多地议论,不要急于把结果告诉学生,这样更有利于强化学生对证明必要性的认识.
随堂练习(教材第163页)
1.解:(1)线段b与线段d在同一条直线上.　(2)图中线段a与b的长度是相等的.
2.解:n2+3n+1的值不一定是质数,如当n=6时,n2+3n+1=36+18+1=55,是合数.
习题7.1(教材第164页)
1.解:猜想不正确,当n=40时,n2+n+41=402+40+41=412,412不是质数.
2.解:对于所有奇数,都可以表示为两个自然数的平方差.如2n-1=n2-(n-1)2.对于偶数,由于两个连续自然数的平方差必为奇数,因此,对于偶数不能表示为两个自然数的平方差.
3.解:∠ABC=∠DEF.小颖得出的结论不正确,正确的结论是:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
视幻觉
如图所示的是物理学家和心理学家研究视幻觉的一张图.其中纵向的直线是平行的;但加入一些干扰线后,这些直线看起来并不直,像是弯曲着的,且平行线看起来也不平行.
物理学家与心理学家对这种视幻觉给出了以下几种可能的解释:
(1)是由画在平行线上不同方向的锐角之间的差异造成的;
(2)是由眼睛里视网膜的弯曲程度造成的;
(3)有层次的线段使我们的眼睛集中和分散,它们造成了平行线视觉上的弯曲.人们发现在当斜的线段与平行线成45°角时,造成的幻觉尤为强烈.
视幻觉是由人们的注意力、眼睛构造或两者的结合而产生的,所以我们看到什么并不意味着它真的就是那样.因此,遇到这种情况要凭推理论证来确定,而不应仅仅依赖感觉作出结论.
2　定义与命题
1.理解定义与命题的概念.
2.分清命题的条件和结论,会把命题改写成“如果……那么……”的形式,并能判断命题的真假.
3.了解公理和证明的概念,通过实例感受证明的过程与格式.
在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题,使学生学会从反面思考问题的方法.
通过从具体例子中提炼数学概念,使学生体会数学与实践的联系;通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体;通过了解数学知识,拓展学生的视野,从而激发学生学习的兴趣.
【重点】　理解命题的概念,找出命题的条件和结论.
【难点】　证明的概念及演绎推理和语言表达能力.
第课时
1.理解定义与命题的概念.
2.分清命题的条件和结论,并能判断命题的真假.
在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题.
通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.
【重点】　理解命题的概念,找出命题的条件和结论.
【难点】　正确找出命题的条件和结论.
【教师准备】　预想学生在学习本课时中会遇到的困难.
【学生准备】　复习最近学过的几个重要概念.
导入一:
课前播放歌曲《爸爸去哪儿》.
　　[过渡语]　这首歌的名字叫《爸爸去哪儿》.下面我们来听一段关于“爸爸”的对话.
小亮:我得马上回家,看《爸爸去哪儿》.
小明:快给你爸打电话.
小亮:给我爸打电话干什么?
小明:你不是想知道你爸爸去哪儿么?
(学生听后,大笑)
师:同学们为什么笑呢?
生:小亮说的《爸爸去哪儿》是电视节目,不是真找自己的爸爸,小明搞错了.
师:由此可见,人与人之间的交流必须得对某些名称和术语有共同的认识.生活中如此,在严谨的数学王国中更应该如此.我们今天就走进:定义与命题.
(教师板书课题)
[设计意图]　通过聆听故事,让学生体会到在生活中,我们常需要对事物有共同的认识,这既能激发学生的兴趣,又能唤起他们的好奇心.在引出课题的同时,又利用生活实例,说明定义的重要性.
导入二:
大家对春节联欢晚会上的小品《昨天,今天,明天》还记忆犹新吧?其中大叔、大妈对“秋波”一词的不同理解给我们带来了开怀的笑声,尤其是大叔的理解——秋天的菠菜,更是让人忍俊不禁.笑声之余也让我们感到,人和人的交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行,也就是对名称或术语下定义.今天我们就来学习“定义与命题”.
一、定义与命题
　　[过渡语]　任何学科知识的构建,都离不开用概念表述相关的内容.本课时我们就要从数学的角度认识定义、命题等相关的概念.
1.认识定义
师:刚才,小亮如果给《爸爸去哪儿》一个准确的定义,相信两人的交流肯定可以继续进行.怎样才能“给出定义”呢?
【学生活动】　独立思考,仔细品味教材第165页议一议上面的内容,理解什么是定义.
生:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,就是给出它们的定义.
[设计意图]　通过关于爸爸的对话,让学生体会下定义的重要性,意识到在交流的过程中对术语和名称下定义的意义.
师:很好,同学们能举出学过的一些定义吗?
生1:“含有未知数的等式叫做方程”是“方程”的定义.
生2:“有两边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.
生3:“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的整式方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.
生4:“具有中华人民共和国国籍的人叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义.
师:看来同学们对定义已经有了认识,你能发现“定义”的基本形式是怎样的吗?
生:定义的基本形式都是:“……叫做……”.
[设计意图]　通过学生对定义的举例,加强学生对“什么是定义”的理解.让学生从句子特点与形式上观察,认识定义.
2.认识命题
思路一
[处理方式]　独立思考,仔细品味教材第165页议一议的内容,理解什么是命题.
下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断?哪些没有?(多媒体出示)
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;
(2)对顶角相等;
(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(5)你喜欢数学吗?
(6)作线段AB=CD.
生:(1)(2)(3)(4)四个句子作出了判断,(5)(6)两个句子没有作出判断.
师:是的,前四个句子作出了判断.像这样的句子,叫做命题.你能否给“命题”下个定义呢?
生:判断一件事情的句子,叫做命题.
(教师板书:判断一件事情的句子,叫做命题)
[设计意图]　让学生初步认识命题,再引导学生以回答问题的形式对命题的定义进行总结,从感性思维上升到理性思维,培养学生自我学习的能力.
思路二
师:给出命题的定义:命题是判断一件事情的句子.你能举出几个命题的例子吗?
出示问题:
(1)三条边对应相等的两个三角形一定全等;
(2)锐角都小于直角;
(3)美丽的天空;
(4)所有的质数都是奇数;
(5)过直线l外一点P作l的平行线;
(6)如果明天是星期五,那么后天是星期六;
(7)若a2=4,求a的值;
(8)熊猫有翅膀.
【学生活动】　小组交流,对提出的问题作出判断,哪些是命题?哪些不是命题?
展示交流:
生1:(1)(2)(4)(6)都是命题,其余不是.
生2:不对,(8)“熊猫有翅膀”也是命题.
师:(质疑)你能说一说为什么吗?
生:虽然这句话错了,但它作出了判断.只要是判断一件事情的句子就是命题,不论判断得对错.
师:(给出肯定)说得好,谁还能列举出一些命题吗?
生1:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.
生2:我是一名学生.
师:(作出判断)很好!想一想,定义是命题吗?任何一个命题都是定义吗?
(学生思考一会儿,交流后回答)
生:定义一定是命题,但命题不一定是定义.
[设计意图]　通过对命题与非命题的辨析,让学生理解命题的特点,进一步培养学生的能力.教师强化对命题特点的掌握,也为真、假命题的判断打下基础.最后老师提出的问题让学生将本课时所学的两个知识点进行联系与拓广.
二、条件与结论
　　[过渡语]　观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征?
(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;
(2)如果a=b,那么a2=b2;
(3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等,那么这两个三角形全等.
【学生活动】　先独立思考,再结合教材第166页想一想的内容,小组内开展交流讨论“命题有什么结构特征”.
展示交流成果:
生1:都是用“如果……那么……”的形式叙述的.
生2:每个命题都是由条件和结论两部分组成的.
生3:条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
生4:“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
(教师板书:条件和结论)
师:上题的条件、结论分别是什么?
生1:(1)题的条件是一个三角形是等腰三角形,结论是这个三角形的两个底角相等.
生2:(2)题的条件是a=b,结论是a2=b2.
生3:(3)题的条件是两个三角形中有两边和一角分别相等,结论是这两个三角形全等.
一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式,条件和结论不明显,如“同角的余角相等”.对于这样的命题,要经过分析才能找出条件和结论,也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式.
[设计意图]　对命题的结构进行分析,让学生会区分一个命题的条件和结论.引导学生,当一个命题不好区分条件和结论时,可以先改写成“如果……那么……”的形式;但改写时不要机械地添上“如果”和“那么”,应适当地调整顺序或补充修饰词语,使改写后的语句通顺、完整.
三、真命题与假命题
　　[过渡语]　命题的结论都是正确的吗? 　
教师给出以下四个命题,并提问:
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;
(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)三角形三个内角的和等于180°.
【学生活动】　(1)指出命题的条件和结论;
(2)命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?在学生回答的基础上进行总结,给出真命题、假命题的概念,以及如何判断一个命题是假命题的方法——举出反例.
总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是一个假命题,通常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.
(教师板书:真命题、假命题、反例)
[设计意图]　学生在判断命题的正误时主要依据过去的经验,教师可进一步追问,对于一个不正确的命题,还能怎样判断其错误呢?教师应让学生充分表达自己的判断方法,进而引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.
[知识拓展]　1.在定义中,要提示该事物与其他事物的本质属性的区别.
2.根据命题的定义可知只要是对一件事情作出判断的句子都是命题,而不论这个判断正确与否.
3.很多情况下,命题的形式并不是“如果……那么……”的形式,在把命题改写成“如果……那么……”的形式时,为保证语句的通畅和不改变原意,应对原句进行适当的修改或调整.
——定义—对名称或术语的含义进行描述,作出明确的规定—命题——组成每个命题都由条件和结论组成形式都能写成“如果……那么……”的形式真假命题可分为真命题和假命题判断要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可
1.下列命题中,属于定义的是 (　　)
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行,内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
解析:A,B,C分别是一个命题,但不是定义;D是一个定义.故选D.
2.下列语句中,是命题的是 (　　)
A.高高的山
B.你好吗
C.同位角相等
D.在直线AB上取一点C
解析:A,B,D只是对一件事情的叙述或询问,不是命题.故选C.
3.下列语句中,不是命题的是 (　　)
A.直角都相等
B.如果ab=0,那么a=0
C.不是对顶角的两个角相等
D.连接两点A,B
解析:A,B,C分别是命题;D不是命题,是描述性语言.故选D.
4.下列命题是假命题的是 (　　)
A.锐角小于90° B.平角等于两直角
C.若a>b,则a2>b2 D.若a2≠b2,则a≠b
解析:A.根据锐角的定义,锐角小于90°,正确;B.平角等于180°,直角等于90°,因此平角等于两直角,正确;C.例如a=1,b=-3,1>-3,但12=1<(-3)2=9,错误;D.两个数的平方相等,则两个数相等或互为相反数,因此两个数的平方不相等,则这两个数既不相等也不互为相反数,正确.故选C.
5.下列选项中,可以用来说明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是 (　　)
A.a=-2 B.a=-1
C.a=1 D.a=2
解析:选项A,a=-2满足a2>1,而a=-2不满足a>1的要求,是原命题的反例;选项B和选项C,a=±1不满足a2>1,即不满足题设的条件,不是特例,故不是反例;选项D既满足a2>1,也满足a>1,不是反例.故选A.
第1课时
1.定义与命题
2.条件和结论
3.真命题、假命题、反例
一、教材作业
【必做题】
教材第166页随堂练习第2题.
【选做题】
教材第167页习题7.2第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句中,是命题的为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.延长线段CD B.相等的角是对顶角
C.作平行线 D.取线段AB的中点M
2.命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”是(　　)
A.条件部分 B.是条件,也是结论
C.结论部分 D.不是条件,也不是结论
3.下列说法不正确的是 (　　)
A.“不等式2x>4的解集是x>2”的条件是“不等式2x>4”
B.“如果x2=y2,那么x=y”的结论是“x=y”
C.“平行四边形的对角线互相平分”的条件是“平行四边形”
D.“对顶角相等”的条件是“对顶角相等”
4.下列语句中:①平角都相等;②等于同一个角的两个角相等吗?③画两条相等的线段;④邻补角的平分线互相垂直;⑤两直线平行,同位角相等;⑥等腰三角形的两底角相等.其中是命题的有(　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.下列命题错误的是 (　　)
A.所有的实数都可用数轴上的点表示
B.等角的补角相等
C.无理数包括正无理数,0,负无理数
D.两点之间,线段最短
6.要说明命题“绝对值相等的两个实数相等”是假命题,你举的反例是　　　　　　　　.?
【能力提升】
7.指出下列命题的条件和结论.
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行;
(3)等角的补角相等;
(4)平行四边形的对边相等.
【拓展探究】
8.如图所示,下面有四个条件:(1)AE=AD,(2)AB=AC,(3)OB=OC,(4)∠B=∠C.请你写出一个由其中两个作为已知条件,另外两个中的一个作为结论的命题,并判断其真假.
【答案与解析】
1.B(解析:A.延长线段CD,是描述性语言,它不是命题,错误;B.相等的角是对顶角是命题,正确;C.作平行线,是描述性语言,它不是命题,错误;D.取线段AB的中点M,是描述性语言,它不是命题,错误.故选B.)
2.A(解析:把命题“等角的补角相等”改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.“等角的补角”是条件部分.故选A.)
3.D(解析:“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”,而不是“对顶角相等”,故D选项错误.故选D.)
4.B(解析:①④⑤⑥是命题;②③不是命题.所以命题有4个.故选B.)
5.C
6.|-3|=|3|,但-3≠3(答案不唯一)
7.解析:对于条件和结论不十分分明的命题,我们可以先把其改写成“如果……那么……”的形式,再找出条件和结论.由于命题的改法不唯一,所以它的条件和结论也不唯一,如命题(3),还可以改写成“如果两个角相等,那么这两个角的补角相等”.解:(1)条件:两条直线相交;结论:它们只有一个交点.　(2)条件:两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;结论:两直线平行.　(3)这个命题可以改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.条件:两个角是等角的补角;结论:这两个角相等.　(4)这个命题可以改写成“如果一个四边形是平行四边形,那么它的对边相等”.条件:一个四边形是平行四边形;结论:它的对边相等.
8.解析:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.根据SAS得ΔABE≌ΔACD,推出∠B=∠C即可.解:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.在ΔABE和ΔACD中,AE=AD,∠A=∠A,AB=AC,所以ΔABE≌ΔACD,所以∠B=∠C.所以这是真命题.(答案不唯一)
教学中以学生自主探索为主,通过回忆以前学过的知识,了解定义的含义.通过学生的自主探索、合作交流,归纳出命题的条件和结论,加深了学生对命题结构的理解与记忆.整个教学过程中以学生讨论为主,极大地调动了学生学习的积极性,激发了学生学习的兴趣,在集体和小组的争辩中理解和掌握了知识,在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理,加深对新知识的认识,逐渐形成对知识的迁移与应用.
一个命题的表述方式有多种,不能在教学的过程中死板地强调“条件和结论”这种格式.同时还应该强调,一个命题是否正确,与这个命题的表述方式无关,应该看这个命题是否得到证明或者公认.
本课时的重点不是让学生深刻领会某些概念,而是帮助学生认识到理解概念的重要性.本课时的重点就要放在理解命题及其真假方面,而不是判断一些命题的真假.
随堂练习(教材第166页)
1.解:答案不唯一.(1)例如:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程,叫做一元一次方程.　(2)判断一件事情的句子叫做命题.是命题的语句:自然数不是负数;不是命题的语句:延长线段AB.
2.解:(1)条件:5月4日是星期一;结论:5月11日也是星期一.　(2)条件:一个三角形的三个内角都相等;结论:这个三角形是等边三角形.　(3)条件:x-52=3-x3;结论:x=4.　(4)条件:有两个锐角;结论:这两个锐角的和是钝角.　(5)条件:x2>0;结论:x>0.　(6)条件:两个三角形的两边及其中一组等边的对角相等;结论:这两个三角形全等.　(1)(2)是真命题,(3)(4)(5)(6)都是假命题.　举反例:(3)把x=215代入原方程,左边=-25,右边=-25,左边=右边,所以x≠4.(4)两个锐角分别为30°和40°,其和为70°,是锐角.(5)当x=-2时,x2=4>0,而-2<0.(6)如图所示,在ΔABC和ΔABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但ΔABC与ΔABD不全等.
习题7.2(教材第167页)
2.解:(1)是.　(2)是.　(3)是.　(4)不是.　(5)是.　(6)是.　(7)不是.　(8)是.　(9)不是.
(10)是.
3.解:(1)条件:两个三角形的两边及其夹角分别相等;结论:这两个三角形全等.　(2)条件:一个三角形中有两个角相等;结论:这个三角形是等腰三角形.　(3)条件:两个角分别是一个直角三角形的两个锐角;结论:这两个角互余.　(4)条件:两个角是两条平行线被第三条直线所截得到的同位角;结论:这两个角相等.
“命题”教学的重点是让学生分清命题的条件和结论,通过大量的例子让学生逐步熟悉命题的表达方式.教学中应注意培养学生通过举反例判断假命题的能力.另外应注重培养学生熟悉知识间的联系与应用,培养学生综合运用所学知识解决问题的能力.
第课时
1.理解公理、证明、定理的概念.
2.掌握公理、证明、定理的联系与区别.
1.通过对公理的认识,明确证明需要公理和定理.
2.经历实际情境,初步体会公理化的思想和方法.
1.通过从具体例子中提炼数学概念,培养学生思维的严密性和逻辑性.
2.结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生做到有理有据,有条理地表达自己的想法的良好意识,培养学生的语言表达能力.
【重点】　理解公理、证明和定理的概念.
【难点】　准确找出命题的条件和结论,公理与定理的区别,写出步步有理有据的证明过程.
【教师准备】　教材第168页情景图和第169页例题的投影图片.
【学生准备】　复习命题等相关概念.
导入一:
举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?
要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特例,也无法保证命题的正确性.如何验证命题的正确性,其实在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题.今天我们就来共同学习.
(板书课题)
[处理方式]　此处教师讲,学生听,在听故事的过程中抓住学生的质疑与好奇,引出新课内容,揭示课题.
[设计意图]　通过引人入胜的数学故事,方便与学生活动交流,拉近与学生之间的距离.同时结合故事内容调动学生学习的兴趣,激发学生学习的热情,吊足学生胃口,引入新课,揭示课题.
导入二:
师:(出示投影)王老师、李老师、范老师三名教师分别来自我市的薛城、峄城、市中三个地方,在学校分别教语文、数学和英语,已知:(1)王老师不是薛城人,李老师不是峄城人;(2)薛城人不教英语,峄城人教语文;(3)李老师不教数学.
师:同学们,这三位老师分别是什么地方的教师?分别教什么课程?
生1:李老师不是峄城人,所以李老师可能是市中人或薛城人;李老师不教数学,所以李老师可能教语文或英语;因为峄城人教语文,所以李老师只能教英语;而薛城人不教英语,所以李老师是市中人.
生2:(补充)因为王老师不是薛城人,所以王老师可能是市中人或峄城人;李老师已经判断是市中人了,所以王老师只能是峄城人,范老师就是薛城人了.
生3:(接着说)王老师是峄城人,所以王老师教语文,而范老师教的课程是数学.
师:三位同学推理非常合理,我们为他们鼓掌.(学生鼓掌)解决这样的逻辑推理题目的关键是:根据条件,进行依次判断,进而得出正确结论.那么,如何证实一个命题是真命题呢?我们今天继续来探究.
(板书课题)
[设计意图]　加深学生对逻辑推理的理解,可激发学生学习本课时的兴趣,从而引出本课时的问题.
　　[过渡语]　怎样判断一个命题是真命题还是假命题?你判断的依据是什么?
一、公理、证明、定理的有关概念
思路一
(多媒体出示)公理、证明、定理的有关概念.
问题1
【课件1】　公理的概念是什么?证明、定理的概念是什么?完成下列填空:
(1)　　　　叫做公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过　　　　的方法进行判断.?
(2)　　　　的过程称为证明.经过证明的　　　　称为定理.每个定理都只能用　　　　、　　　　和已经证明为　　　　的命题来证明.?
问题2
【课件2】　本套教科书选用的公理有哪些?
本套教科书选用九条基本事实(公理)作为证明的出发点和依据,我们已经认识了其中的八条:
(1)　;?
(2)　;?
(3)　;?
(4)　;?
(5)　;?
(6)　;?
(7)　;?
(8)　.?
思路二
师: (投影出示)公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得编写了一本书,书名叫《原本》,为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》问世之前,世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排,因此,《原本》是一部具有划时代意义的著作.
欧几里得
生:老师,我知道了,除公理、定义外,其他的真命题必须通过证明才能证实.
师:(投影出示)我们这套教材中已经认识了有如下命题作为基本事实:
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
[设计意图]　让学生明确有哪些公理,给学生留出一定的思维空间,让他们思考如何证实真命题的问题,在此基础上,引出数学家欧几里得《原本》的编写思路.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理,在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.
问题3
【课件3】　还有哪些有关性质可以作为证明的依据?
[处理方式]　(1)让学生自学3分钟(要求根据多媒体出示的问题逐一回答),并独立思考.
(2)对于未完成的问题,小组内交流自己的想法并完善,教师巡视,检查完成情况.
(3)完成多媒体出示的内容,借助多媒体展示正确答案,学生完成后及时点评,让学生对出现的问题进行矫正.(教师可以根据学生回答问题的情况给予适时点拨)
二、公理、定理、定义及它们之间的关系
(多媒体出示)
问题1
【课件1】　公理的来源是什么?
问题2
【课件2】　定理是怎么得到的?证明定理的依据是什么?
问题3
【课件3】　最初的定理是怎么得到的?
问题4
【课件4】　你能否通过图表把这个关系画出来?
[处理方式]　首先学生自主思考,挨个回答上面的问题,然后学生交流合作试画图表,此时教师给予必要的指导.巡视同时注意看有没有同学能够画出较为合理的图表,有的话就给予全班展示.最后再多媒体展示,出示答案.
[设计意图]　通过自主学习、合作交流、优秀图表展示等环节,既可以锻炼学生的自主学习能力,又发展了学生的合作交流能力、有条理思考的能力和语言表达能力.
三、定理的证明
　　[过渡语]　从这些基本事实出发,我们就可以证明已经探索过的结论了,我们已经知道:同角的补角相等.怎么利用你刚才整理的公理进行证明呢?
问题1
【课件1】　你能书写证明下面这个定理的规范步骤吗?(多媒体出示)
证明:同角的补角相等.
已知:∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°.
求证:∠2=∠3.
证明:∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°(已知),
∴∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1(等式的性质),
∴∠2=∠3(等量代换).
注意:符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”.
[处理方式]　先让学生独立思考,然后学生试着写出证明过程,最后老师在黑板上板书.说明符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”.强调“刚开始学习证明,最好在每一步的后面注明依据”.
[设计意图]　证明已经探索过的结论,目的是引导学生了解证明要有理有据,规范证明的步骤,发展推理能力;培养学生的合作探究意识.
巩固训练1:证明等角的补角相等.
[处理方式]　教师先让学生独立完成,并请学生板演,其他学生在练习本上完成.做完后小组之间开展互评.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示正确答案,让学生对出现的问题进行矫正.(多媒体出示下面答案)
参考答案:已知:∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°.
求证:∠3=∠4.
证明:∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).
又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
[设计意图]　在解决这个问题的过程中,帮助学生进一步理解和巩固证明的含义,引导学生利用公理、定义、已经证明的真命题解决实际问题,训练思维的严谨性、逻辑性,强化证明步骤的规范性.
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.
[处理方式]　在小组交流的基础上,在教师的引导下,首先归纳总结出证明一个命题的一般步骤,然后让学生对照步骤,完善各自的解题过程.
[设计意图]　出示“证明一个命题的一般步骤”,使学生进一步验证并熟悉“证明一个命题的一般步骤”,然后通过自己观察、思考、争辩,发现规律、归纳总结,加深对“证明一个命题的一般步骤”的认识与理解,培养学生的分析和归纳概括的能力.
　证明:对顶角相等.已知:如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证:∠AOC=∠BOD.
证明:∵∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD=180°(平角的定义),
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义),
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
定理:对顶角相等.
[处理方式]　先找一名学生到黑板板演做题步骤,其余同学在练习本上完成,此时教师在下边巡视、指导.然后师生一起规范做题步骤,并在课件上展示例题的规范步骤.
[设计意图]　教师先引导学生回想命题的一般证明步骤,再由教师示范,写出例题的过程,理由依据要强调.再找一个同学,到黑板上板演,其余同学在练习本上完成,教师巡视,适时点拨,再次向学生强调证明步骤“三步走”:已知、求证和证明,并强调证明的“三依据”:公理、定义和已经证明的真命题.
你还能证明下面定理吗?
定理:同角(等角)的余角相等.
定理:三角形的任意两边之和大于第三边.
[知识拓展]　1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.
2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.证明的一般步骤:①根据题意,画出图形;②根据条件和结论,结合图形写出已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
4.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.
证明的依据——定义、公理—定理—运算和运算法则—反映大小关系的有关性质
1.　　　　称为公理;　　　　真命题称为定理;　　　　称为证明.?
答案:公认的真命题　经过证明的　演绎推理的过程
2.写出两个公理:　　　　;　　　　.?
答案:两点确定一条直线　两点之间线段最短(答案不唯一)
3.“平行于同一条直线的两条直线平行”可以写成:如果　　　　,那么　　　　.?
答案:两条直线平行于同一条直线　这两条直线平行
4.判断“对应角相等的三角形是全等三角形”这一命题的真假性,并给出证明.
解析:先判断出这一命题的真假,再举例证明即可.
解:对应角相等的三角形是全等三角形,是假命题.
举例证明:如图所示,DE∥BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,但ΔADE与ΔABC不全等.
第2课时
1.公理、证明和定理
2.证明的基本依据
3.定理的证明
一、教材作业
【必做题】
教材第170页随堂练习.
【选做题】
教材第171页习题7.3第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列叙述错误的是 (　　)
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
2.下列命题为假命题的是 (　　)
A.三角形三个内角的和等于180°
B.三角形两边之和大于第三边
C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
3.已知命题:等底等高的两个三角形面积相等,则这个命题的结论是 (　　)
A.两个三角形
B.两个三角形的面积
C.两个三角形的面积相等
D.两个三角形等底等高
4.命题“对顶角相等”的“条件”是　　　　.?
【能力提升】
5.如图所示,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证ΔABC≌ΔAED.
【思维拓展】
6.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证∠AOB=∠DOC;
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.
【答案与解析】
1.B
2.C(解析:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,所以C选项为假命题.)
3.C
4.两个角是对顶角(解析:改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”就容易找到命题的条件和结论了.)
5.证明:因为∠1=∠2,所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAD,在ΔABC和ΔAED中,∠C=∠D,∠BAC=∠EAD,AB=AE,所以ΔABC≌ΔAED(AAS).
6.解析:(1)先求出∠DOC,继而得出∠AOD.(2)分别求出∠AOB和∠DOC的度数,可得∠AOB=∠DOC.(3)(2)的关系依然成立,根据同角的余角相等可得.
(1)解:因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.　(2)证明:因为∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC.　(3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.
本课时是学习“证明”的重要起始课之一.因此,指导学生用什么去证明、怎样去证明就成了本课时的教学重点.本课时在教学的过程中,以教师的指导为辅,以学生的演练为主,较为详细地让学生演练了证明的过程,突出了本课时教学活动的中心.
在例题教学的证明过程中,要给学生更多的思考时间,帮助学生明确要证明什么,利用什么去证明,每一步的证明依据是什么.在这一点上,本课时对学生的开放度不足.
本课时教学看似简单,其实对学生是有较大难度的,因为这是一种全新的数学思维方式,所以有必要再增加一道或两道的例题,对学生理解证明的过程加强示范作用.
随堂练习(教材第170页)
已知:如图所示的ΔABC.
求证:AB+AC>BC,AC+BC>AB,AB+BC>AC.
证明:因为BC是以点B,点C为端点的线段,所以AB+AC>BC(两点之间线段最短),同理,AC+BC>AB,AB+BC>AC.
习题7.3(教材第171页)
1.已知:∠α,∠β都是∠θ的补角.求证:∠α=∠β.证明:因为∠α与∠θ互补,所以∠α+∠θ=180°,因为∠β与∠θ互补,所以∠β+∠θ=180°.所以∠α=∠β.(等角的补角相等的证明略)
2.已知:∠α,∠β都是∠θ的余角.求证:∠α=∠β.证明:因为∠α是∠θ的余角,所以∠α+∠θ=90°.因为∠β是∠θ的余角,所以∠β+∠θ=90°,所以∠α=∠β.(等角的余角相等的证明略).
根据本课时的教学目标、教材内容以及学生的认知特点,通过学生的阅读与预习,意在帮助学生自己明确公理、定理、证明的概念,了解证明的书写步骤和形式,并通过讨论来深化对知识的理解.
　华英中学开田径运动会,其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛,赛后5名观众介绍了这场比赛的结果:
甲说:A是第二名,B是第三名;
乙说:C是第三名,D是第五名;
丙说:D是第一名,C是第二名;
丁说:A是第二名,E是第四名;
戊说:B是第一名,E是第四名.
他们最后都声明:“我的话只有一半靠得住!”则这5名运动员的名次究竟各是多少?
〔解析〕　本题采用列表法推理比较直观易懂,将5名观众介绍的结果列成表,用打“??”和打“?”来表示他们说真话和假话.可从甲、乙、丙、丁、戊中任一人的介绍入手讨论,本题是从甲的介绍入手讨论的.
解:我们将5位观众介绍的结果列成表,用打“??”和打“?”来表示他们说真话和说假话.由于他们每人的介绍一半真一半假.故表中每行都应打上一个“??”和一个“?”,从甲的介绍入手讨论,有两种情况:(分别见表1,表2)
　　①若甲认为A为第二名是真的,则B为第三名是假的,这样可依次推出:丙认为D为第一名是真的,丁认为E是第四名是假的,戊认为B是第一名是真的(见表1).这样B,D都是第一名.从而产生了矛盾,这种情况应舍去.
②若甲认为A为第二名是假的,则B为第三名是真的,这样可依次推出:乙认为D为第5名是真的,丙认为C为第二名是真的,丁认为E为第四名是真的,戊认为B为第一名是假的(见表2).所以A,B,C,D,E的名次分别为1,3,2,5,4.
3　平行线的判定
会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”证明平行线的两个判定定理,并能简单应用这些结论.
经历证明的基本步骤,熟悉正确的书写格式,感受几何中推理的严谨性,发展初步的演绎推理能力.
培养简单分析推理的能力,关注证明意识,积极地参与合作,体会几何学的应用价值.
【重点】　理解和掌握由“同位角相等,两直线平行”来证明“同旁内角互补,两直线平行”及“内错角相等,两直线平行”,并进行简单应用.
【难点】　对公理和定理的理解和应用.
【教师准备】　预想学生学习过程中可能出现的困难.
【学生准备】　复习公理、证明、定理等概念的含义.
导入一:
师:同学们,通过上一节课的学习,你能说一说我们如何判断一个命题是真命题吗?
生:用演绎推理的方法进行判断,也就是证明.
师:如何进行证明?与同伴交流.
生:用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
师:前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件?与同伴交流一下.
生1:同位角相等,两直线平行.
生2:内错角相等,两直线平行.
生3:同旁内角互补,两直线平行.
师:其中哪一个条件可以作为基本事实,也就是作为证明的出发点和依据?
生:同位角相等,两直线平行.
师:这一基本事实的条件和结论分别是什么?
生:条件是同位角相等,结论是两直线平行.
师:你能用数学符号表示这一基本事实吗?(多媒体出示图)
生:∵∠1=∠2,∴a∥b.
师:如何根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,以及如何应用这些结论呢?本节课让我们共同探讨“平行线的判定”.(教师板书:3　平行线的判定)
[设计意图]　复习引入,设置悬念把学生的心带回课堂,激发学生的学习热情,顺利引入新课.问题引入为本节课的学习奠定基础.
导入二:
1.以前我们学过平行线的画法,用三角板和直尺画出.(学生动手完成)
【问题】　(1)上面画图的依据是什么?
(2)判断两直线平行还有哪些方法?画出图形,并用符号语言表示几种判断方法.
【课件展示】　
公理:同位角相等,两直线平行.
数学符号表示:
∵∠1=∠2,
∴a∥b.
[处理方式]　学生先动手画图,再回答,同时书写符号语言,体会文字、图形、符号三者之间的紧密关系,对比课件的书写纠正,教师强调书写格式的规范性.
[设计意图]　通过动手操作画图,符号的书写,回顾学生比较熟悉的平行线的判定方法,既复习了证明的相关知识,又引起了学生对两直线平行的判定的思考.
2.上节课我们学到了要证明一个命题是真命题,除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证实.下面我们就用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,来证明两直线平行的两个判定定理.(板书课题)
一、证明“内错角相等,两直线平行”
思路一
(多媒体出示)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线平行.
师:同学们,请根据题意画出符合题意的图形.
[处理方式]　学生理解题意,并画出符合题意的图形.教师让一名学生在黑板上画图,如图所示,同时借助实物投影展示其他学生的画图情况.
师:这个命题的条件与结论分别是什么?
生:条件是内错角相等,结论是两直线平行.
师:如何证明这一命题是真命题?与同伴交流.
生:利用基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明.
师:要想证明一个命题是真命题,我们首先应该结合图形、命题的条件和结论写出已知与求证.
【多媒体展示】　
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
[处理方式]　一名学生板演证明过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视指导学习有困难的学生.学生完成后,借助实物投影展示学生的证明过程,及时给予评价,同时强调解题书写格式.
证明过程展示:
证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
师:由以上证明你能得到什么结论?
生:“内错角相等,两直线平行”是真命题.
师:既然是真命题,我们就称它为定理,因此“内错角相等,两直线平行”就可以作为证明其他命题是真命题的依据.你能用数学符号来表示这个定理吗?
生:若∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2,则a∥b.
思路二
活动内容1:证明的准备.
1.根据文字画出图形;
2.这个命题的条件是　　　　,结论是　　　　;?
3.根据图形用符号语言表示出这个命题.
[处理方式]　学生对于命题中条件与结论能准确回答,然后尝试画图,小组内互相交流纠正,教师巡视发现,在用符号写出条件和结论时,大部分学生会写出∠1=∠2,但却漏掉说明∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,结合七年级学习的内错角、同位角、同旁内角的定义进行复习说明,指出把文字转换成符号时,要根据图形进行完整的描述,引导学生正确地用符号书写条件和结论,过渡到“已知”和“求证”的书写格式.
【课件展示】　已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
[设计意图]　通过学生自己动手画图,符号的书写、纠错,结合教师的引导,体会文字、图形、符号的转换方法以及把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言的重要性.
活动内容2:证明的实践:你能写出证明过程吗?
[处理方式]　留出足够的时间让学生思考交流,并尝试书写证明过程,教师巡视检查,找两名学生板演,暴露学生中出现的普遍问题:(1)不写“∴”“∵”号;(2)不注明理由;(3)理由不正确.下面的学生帮助纠正之后,对比教材上的证明过程进行纠正,教师强调书写的规范格式.
【课件展示】　证明:∵∠1=∠2(已知),∠3=∠1(对顶角相等),
∴∠3=∠2(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
[设计意图]　通过学生的独立书写,暴露学生普遍存在的问题,再让学生帮助纠正,能引起所有学生的注意,然后与教材上的证明过程进行对比纠错,教师加以强调,强化学生证明过程书写的规范性.
二、证明“同旁内角互补,两直线平行”
师:同学们,你能根据证明“内错角相等,两直线平行”是真命题的过程来证明(多媒体出示)“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”(简述为:同旁内角互补,两直线平行)是真命题吗?试一试,并与同伴交流.
思路一
探究提示:(多媒体出示)
(1)画出符合题意的图形.
(2)写出已知、求证.
(3)写出证明过程.
[处理方式]　学生根据提示完成命题的证明,一名同学板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时引导、点拨学习有困难的学生.学生板演完成后,教师组织学生进行评价,及时给予表扬及鼓励.同时借助实物投影展示学生的不同证明过程.
【板演过程展示】　
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
师:哪位同学还有不同的证法?
生:我是用定理“内错角相等,两直线平行”来证明“同旁内角互补,两直线平行”是真命题的.
师:
请展示你的证明过程.(实物投影)
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(内错角相等,两直线平行).
师:你同意他的做法吗?
生:(齐答)同意.
师:这位同学表现很棒!通过以上两位同学的证明过程我们可以看出“同旁内角互补,两直线平行”也是真命题,因此也可以作为证明其他命题是真命题的依据.请用数学符号来表示这个定理.
生:∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1+∠2=180°,则a∥b.
[设计意图]　让学生经历利用基本事实来证明命题是真命题的过程,使学生体会数学证明书写的规范性,并能够结合图形正确地用数学符号表示证明的过程.在证明过程中,发展初步的演绎推理能力.
思路二
活动内容1:证明的准备.
(1)根据文字画出图形;
(2)这个命题的条件是　　　　　　　　,结论是　　　　　　　　;?
(3)根据图形用符号语言表示出这个命题.
[处理方式]　学生回答命题的条件与结论,然后尝试独立画图,之后小组内互相交流纠正,教师帮助检查纠正,再对比课件展示,规范从“已知”和“求证”到“证明”的书写格式,强调书写的完整性.
【课件展示】　
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
活动内容2:证明的实践:尝试书写证明过程.
[处理方式]　尝试书写证明过程,然后相互交流各自的做法,教师巡视检查,适时点拨,帮助后进学生完成,学生完成后及时点评,再把学生中典型的问题收集投影展示:(1)漏掉“∵”“∴”号;(2)不注明理由;(3)理由不正确;(4)步骤不完整,漏掉相关步骤.教师用红笔在投影处纠正,强调书写格式的规范性,学生对比教材上的证明过程进行对比纠正.教师再把出现的不同的证明方法:(1)利用“同位角”证明;(2)利用“内错角”证明,进行投影展示,对学生的不同表现给予点评和肯定.
【课件展示】　
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质).
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(内错角相等,两直线平行).
[设计意图]　通过学生对平行线判定的证明,使学生逐步掌握证明的一般步骤,并能规范书写推理步骤和格式.证明过程展示了定理证明的思考过程和思路,在解决问题的过程中,教师参与到学生中,能及时发现问题、解决问题,同时能对后进生进行辅导,有利于分层教学;放手让学生去思考、独立完成,并且展示多种方法,有利于培养学生学习的主动性和发散思维,充分体现了学生是学习主体的教学思路.
[知识拓展]　应用该定理判定两直线平行时;其关键是识别哪两个角是同旁内角,因此一定要抓住同旁内角“在两条直线的内部且在截线的同旁”的特点.
三、总结证明平行线的方法和证明命题的步骤
1.通过学习,我们知道了证明平行线的多种方法,你来总结一下.
(1)平行线的定义(一般很少用).
(2)同位角相等,两直线平行.
(3)同旁内角互补,两直线平行.
(4)内错角相等,两直线平行.
(5)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
(6)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.
[处理方式]　学生稍微整理思考后,老师指名回答,其余学生补充,教师利用课件进行归纳.
2.证明命题的一般步骤:
(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);
(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;
(3)经过分析,找出已知推出求证的途径,写出证明过程;
(4)检查证明过程是否正确完善.
[设计意图]　让学生对所学的知识进行归纳整理,形成系统,提升其思维层次,使数学方法系统化,并培养学生及时总结、归纳知识的好习惯.
【小试身手】
1.既然我们已经学习了平行线的证明方法,那我们一定会有更多的得到平行线的方法,那就利用你手上现有的三角板和直尺等工具,看谁能快速作出平行线.
[处理方式]　学生独立思考后,小组内展示交流,然后小组代表到讲台前展示不同的方法,同时利用平行线的不同的判定方法解释作图的道理.
[设计意图]　在这里尽可能地关注不同学生的解答方法,更好地展示学生的个性、多样性和创造性,给学生以鼓励,形成开放性的学习氛围,同时学生在互助学习中,彼此间互相帮助、互相启发,培养互相合作的学习习惯.
2.如图所示,下列条件中能判定直线l1∥l2的是 (　　)
A.∠1=∠2
B.∠1=∠5
C.∠1+∠3=180°
D.∠3=∠5
〔解析〕　根据同旁内角互补,两直线平行即可判断.故选C.
[解题策略]　平行线的一些判定方法:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行.
1.两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,则这两条直线　　　　;若内错角相等,则这两条直线　　　　.?
答案:平行　平行
2.如图所示,已知∠1=70°,∠5=70°,在括号内注上适当理由.
(1)∵∠1=70°,∠5=70°,
∴∠1=∠5(　　　　).?
∵∠5=∠2(　　　　),?
∴∠1=∠2(　　　　).?
∴AB∥CD(　　　　).?
(2)∵∠1=70°,∠5=70°,
∴∠1=∠5(　　　　).?
∵∠1=∠3,∠5=∠2(　　　　),?
∴∠3=∠2(　　　　),?
∴AB∥CD(　　　　).?
答案:(1)等量代换　对顶角相等　等量代换　同位角相等,两直线平行　(2)等量代换　对顶角相等　等量代换　内错角相等,两直线平行
3.如图所示,不能使AD∥BC的是 (　　)
A.∠1=∠D
B.∠A+∠B=180°
C.∠B=∠1
D.∠2+∠D=180°
解析:∠B=∠1,只能判定AB∥CD.故选C.
4.如图所示,若∠1=∠2,则给出下列结论:①∠3=∠4;②AB∥CD;③AD∥BC.下列说法正确的是(　　)
A.三个都正确
B.只有一个正确
C.三个都不正确
D.只有一个不正确
解析:由∠1=∠2,可得②正确.故选B.
3　平行线的判定
同位角相等内错角相等同旁内角互补?两直线平行
一、教材作业
【必做题】
教材第173页随堂练习.
【选做题】
教材第173页习题7.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠3=∠4 B.∠D=∠DCE
C.∠1=∠2 D.∠D+∠ACD=180°
2.如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备另一个条件 (　　)
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
3.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知直线AB与直线CD的位置关系为　　　　.?
4.如图所示.
(1)如果∠B=∠1,那么根据　　　　　　,可得AD∥BC.?
(2)如果∠D=∠1,那么根据　　　　　　,可得AB∥CD.?
(3)如果∠D+∠C=180°,那么根据　　　　　　,可得AD∥BC.?
5.如图所示,已知直线CE,∠1=130°,∠A=50°,求证AB∥CD.
证明:∵CE是一条直线(已知),
∴∠1+∠2=180°(　　　　).?
∵∠1=130°(　　　　),?
∴∠2=50°(　　　　).?
又∵∠A=50°(　　　　),?
∴∠2=∠A(　　　　).?
∴AB∥CD(　　　　).?
【能力提升】
6.如图所示的是由五个同样的三角形组成的图案,三角形的三个角分别为36°,72°,72°,则图中共有　　　　对平行线.?
7.如图所示的是平面内一个弯形管道ABCD的拐角,∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗?为什么?
【拓展探究】
8.如图所示,AC平分∠BAD,∠1=∠2.求证DC∥AB.
9.如图所示,∠1和∠D互余,CF⊥DF于F,则AB与CD平行吗?说明理由.
【答案与解析】
1.C
2.C
3.平行(解析:根据同位角相等,两直线平行判断.)
4.(1)同位角相等,两直线平行　(2)内错角相等,两直线平行　(3)同旁内角互补,两直线平行
5.平角的定义　已知　等式的性质　已知　等量代换　内错角相等,两直线平行
6.5(解析:如图所示,∵∠BAG=∠AHE=72°,∴AB∥EI;∵∠BFC=∠FCD=72°,∴BG∥CD;∵∠CBF=∠BGA=72°,∴BC∥AH;∵∠EDI=∠CKD=72°,∴DE∥CF;∵∠AEH=∠EID=72°,∴AE∥DK.故共有5对平行线.)
7.解:对.因为同旁内角互补,两直线平行.
8.证明:∵AC平分∠BAD(已知),∴∠1=∠3(角平分线的定义).又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3(等量代换),∴DC∥AB(内错角相等,两直线平行).
9.解:AB∥CD.理由如下:∵CF⊥DF,∴∠CFD=90°.∵∠1+∠CFD+∠2=180°,∴∠1+∠2=90°,∵∠1与∠D互余,∴∠1+∠D=90°,∴∠2=∠D,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
本课时是学生刚接触证明的起始课,虽然学生学习了公理、证明、定理等概念,但要从过去的以计算为主的思维转向证明的思维,还是存在一定难度的.因此本课时采取的不是以学生探究活动为主,而是以老师的引导和提示为主,通过引导、提示逐渐让学生领会证明的过程和证明的依据,这一点是本课时的最大成功之处.
本课时学习了证明平行线的两个判定定理,对于在证明的过程中,定理适合使用的情形没有给出具体的说明,对于定理之间的内在联系也说明不够,没有有效地帮助学生建立起判定定理整合在一起的知识框架.
受教材设计意图的局限,本课时并没有给出基本事实的证明过程,这里应该先让学生接受这个基本事实,理解这个基本事实,把教学的重点放在定理的应用上,帮助学生体会已经证明的定理是证明的重要依据.
随堂练习(教材第173页)
解:这个四边形的对边互相平行.证明如下:如图所示,∵∠α=109°28',∠β=70°32',∴∠α+∠β=180°,∴AB∥CD,AD∥BC,即四边形ABCD的两组对边分别平行.
习题7.4(教材第173页)
1.提示:(1)(3)(4)正确,(2)不正确.
2.证明:∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCB.∵∠DCB=40°,∴∠ACB=80°.∵∠AED=80°,∴∠AED=∠ACB,∴DE∥BC.
3.提示:方法多样,利用“同位角相等,两直线平行”“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”都可以证明.
4.提示:同位角相等,两直线平行(或同旁内角互补,两直线平行).
如图所示,若∠5=∠6,能否确定l1∥l2?为什么?能否确定l3∥l4?为什么?
〔解析〕　利用平行线的判定定理的关键是分清同位角是哪两条直线被哪一条直线所截构成的.
解:能确定l1∥l2.
理由:同位角相等,两直线平行.
不能确定l3∥l4,
因为∠5和∠6不是l3,l4被第三条直线所截构成的相关角.
如图所示,AE,CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余,求证AB∥CD.
　　〔解析〕　欲证AB∥CD,必须证明∠CAB+∠ACD=180°,由题意可知∠1=12∠CAB,∠2=12∠ACD,只需证明∠1+∠2=90°即可,这根据已知条件可以得出,反之即为证明过程.
证明:因为AE,CE分别平分∠BAC和∠ACD(已知),
所以∠1=12∠CAB,∠2=12∠ACD(角平分线的定义).
又因为∠1和∠2互余,
所以∠1+∠2=90°(互余的定义).
所以12∠CAB+12∠ACD=90°(等量代换),
所以∠CAB+∠ACD=180°(等式的性质).
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
[方法归纳]　当已知条件中出现两角互余时,一般我们应考虑用“同旁内角互补,两直线平行”来证明.
4　平行线的性质
会根据“两直线平行,同位角相等”证明“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同旁内角互补”,并能简单地应用这些结论.
了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.
进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎
推理能力.
【重点】　理解和简单应用平行线的性质定理.
【难点】　运用公理、定理进行简单的推理,以及用几何语言进行表述.
【教师准备】　问题探索和例题的教学用图.
【学生准备】　复习平行线的判定定理.
导入一:
师:同学们,上课前,老师在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如图所示的一部分,如果不能同时反向延长CD,EF的话,你能否利用所学的数学知识测出∠A的度数?(多媒体展示)
(学生思考,互相交流解决方法)
生1:根据两直线平行,同位角相等的知识,可以过C点作FE的平行线,构造∠A的同位角,则可以测出∠A的度数.
生2:根据两直线平行,内错角相等的知识,也可以过C点作FE的平行线,构造∠A的内错角.
师:同学们利用平行线的性质解决这个问题的想法太棒了!那么,你知道这些性质是如何证明的吗?这节课就让我们来探究这个问题.
(板书课题:4　平行线的性质)
[设计意图]　通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最佳的学习状态.
导入二:如图所示,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座山,如果第一个弯是左拐30°,那么第二个弯应朝什么方向,才能不改变原来的方向?
[处理方式]　先给学生2分钟的时间自己探究,得出结论后小组讨论,最后选代表发言.学生观察,小组讨论,交流问题并发表见解,教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题.在学生探究讨论的过程中,少部分学生可能对题意理解不透彻,此时教师可以结合实际问题加以引导,引导性语言如下:(1)不改变方向,在数学中的理解应是什么;(2)在这个问题中包含了什么问题;(3)如何将它转化为数学问题.
[设计意图]　通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数学来源于现实生活,服务于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴趣.
　　[过渡语]　上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,知道它们的条件是角的大小关系,其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换,那么得到的命题是真命题吗?
一、两直线平行,同位角相等
思路一
活动内容:画出直线a的平行线b,结合画图过程思考:画出的平行线被第三条直线c所截的同位角的关系是怎样的?
[处理方式]　本节证明平行线的性质定理,将性质定理“两直线平行,同位角相等”的证明作为选学内容,因此,第一部分以自学阅读的形式呈现,自学教材第175页内容(包括证明过程),学有余力的学生可以思考探究:应用平行线的性质定理“两直线平行,同位角相等”可以得出什么?
[设计意图]　学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同位角相等”是推理论证后面两个性质定理的基础;“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要避免一提到同位角就以为其相等的错误.
思路二
师:我们先来证明定理:两直线平行,同位角相等.你能否发现定理的条件是什么?
生:两条平行直线被第三条直线所截.
师:结论是什么?
生:同位角相等.
师:证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式.
【课件展示】　
已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.
求证:∠1=∠2.
请同学们自主学习教材第175页“两直线平行,同位角相等”的证明过程.
(学生阅读思考,互相交流心得)
师:利用这个定理,你能证明哪些熟悉的结论?
思路三
【问题】　
已知:如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证:∠1=∠2.
【思考】　(1)∠1和∠2在数量关系上有哪两种情况?
(2)过直线外一点有几条直线与这条直线平行?
[设计意图]　为接下来用反证法证明上述定理作准备.
证明:
假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.
根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,所以此时经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.
【思考】　为什么不能按如下方法证明上述定理?
∵AB∥CD,
∴∠2=∠AMN.
又∵∠1=∠AMN,
∴∠1=∠2.
二、两直线平行,内错角相等;同旁内角互补
(多媒体出示)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角、同旁内角之间又有什么关系呢?
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两条直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换).
师:由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢?
【学生活动】　同学们积极举手回答问题.教师根据学生叙述,给出板书:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
2.下面请同学们自己推导同旁内角是互补的,并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同学到黑板上板演,其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质,形成正确板书.
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义),
∴∠2+∠4=180°(等量代换),
即两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简单说成“两直线平行,同旁内角互补”.
师:我们知道了平行线的性质,在今后我们经常要用它们去解决、论述一些问题,所需要知道的条件是两条直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,即它们的符号语言分别为:
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵a∥b(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵a∥b(已知),
∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).
(板书在三条性质的对应位置上)
[处理方式]　在完成“两直线平行,同位角相等”的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相等”“两直线平行,同旁内角互补”,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行对比,感受证明的过程和规范格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,发展学生的符号感.
[设计意图]　在前面复习引入的基础上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣.
三、两类定理的比较
两条直线被第三条直线所截.
平行线的判定
平行线的性质
条件
结论
条件
结论
同位角相等
两直线平行
两直线平行
同位角相等
内错角相等
两直线平行
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
两直线平行
同旁内角互补
　　[处理方式]　引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”.
[设计意图]　初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是已知,结论是两直线平行,则判定是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”.
四、平行线的传递性
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知:直线a,b,c被直线d所截,且a∥b,c∥b.
求证:a∥c.
[处理方式]　学生自行尝试解答,小组合作探究后,对比不同的解法,并推荐一人回答问题,这样的氛围,激发了学生强烈的学习兴趣.
[设计意图]　对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力.
议一议:完成一个定理的证明,需要哪些环节?与同伴进行交流.
[处理方式]　引导学生回顾证明过程,梳理证明活动中的经验,小组尝试整理证明的步骤.
教师强调:(1)证明的一般步骤:①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“已知”和“求证”;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑥检查表达过程是否正确、完善.
(2)证明的思路:①可以从求证出发向已知追溯,也可以由已知向结论探索,还可以从已知和结论两个方向同时出发,互相接近.②对于用文字叙述的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,写出已知和求证,证明即可.
[设计意图]　使学生明确证明的步骤与思路,能更好地完成几何证明题.
[知识拓展]　该定理的主要作用是判断两个角相等,即由两条直线之间的“位置关系”转化为两角之间的“数量关系”,能正确找到内错角是证明该定理的重点.
如图所示,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为 (　　)
A.140° B.60°
C.50° D.40°
〔解析〕　∵∠CDE=140°,∴∠ADC=180°-140°=40°,∵AB∥CD(已知),∴∠A=∠ADC=40°(两直线平行,内错角相等).故选D.
1.平行线的性质定理有:　　　　,　　　　,　　　　.?
答案:两直线平行,同位角相等　两直线平行,内错角相等　两直线平行,同旁内角互补
2.如图所示,∠4=∠C,∠1=∠2,求证BD平分∠ABC.
证明:∵∠4=∠C,∴AD∥BC,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.
3.如图所示,CD∥OB,EF∥AO,求证∠1=∠O.
证明:∵CD∥OB,∴∠1=∠2,又∵EF∥AO,∴∠2=∠O,∴∠1=∠O.
4　平行线的性质
探索1　两直线平行,同位角相等
探索2　两直线平行,内错角相等
探索3　两直线平行,同旁内角互补
探索4　平行于同一条直线的两条直线平行
一、教材作业
【必做题】
教材第177页随堂练习.
【选做题】
教材第177页习题7.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是 (　　)
2.如图所示,已知AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,则∠D的度数是 (　　)
A.100° B.80° C.60° D.50°
3.如图所示,AB∥CD,DB⊥BC于B,∠2=50°,则∠1的度数是 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.140°
4.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于G,则∠1等于 (　　)
A.65° B.50° C.115° D.120°
5.如图所示,AB∥EF∥DC,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)有 (　　)
A.6个 B.5个 C.4个 D.2个
【能力提升】
6.如图所示,已知∠1与∠2互补,∠3=100°,求∠4的度数.
7.如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于P.求证∠P=90°.
8.如图所示,C,P,D在一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证∠E=∠F.
【拓展探究】
9.如图所示,AB∥ED,∠CAB=135°,∠ACD=80°.求∠CDE的度数.
【答案与解析】
1.B
2.D(解析:根据角平分线的定义可得∠BED=50°,再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°.)
3.A
4.A(解析:综合运用平行线的性质和三角形内角和定理求出∠1的度数.)
5.B
6.解:∵∠1+∠2=180°,∠2=∠5,∴∠1+∠5=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4,∴∠4=100°.
7.证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.又∵EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,∴∠BEF=2∠PEF,∠DFE=2∠PFE.∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠P=90°.
8.证明:∵∠BAP+∠APD=180°,∴AB∥CD.∴∠BAP=∠CPA.∵∠1=∠2,∴∠EAP=∠FPA,∴AE∥FP,∴∠E=∠F.
9.解:如图所示,过点C作CF∥AB,∵CF∥AB,∴∠A+∠ACF=180°(两直线平行,同旁内角互补).而∠A=135°,则∠ACF=45°,∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=80°-45°=35°.又∵CF∥AB,AB∥ED,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE(两直线平行,内错角相等),∴∠CDE=35°.
学生在学习了平行线判定定理之后,接着学习平行线的性质定理.学生容易出现混淆判定定理和性质定理的情况.帮助学生区分平行线判定定理和平行线性质定理,有利于学生今后学习有关证明的问题.在本节课的教学过程中,暗含了定理的条件和结论,无论是例题还是习题,都对定理的条件和结论进行说明和强调,这既能帮助学生建立知识之间的联系,也能帮助学生准确应用平行线的判定定理和性质定理.
在证明平行线性质定理的过程中,对学生的活动放手度不够,压制了学生探索交流的活动,没有让学生自己进行尝试,通过交流和研讨尝试去证明问题.
平行线的判定定理和性质定理是互逆的.再次教学的过程中,首先要利用一定的时间复习平行线的判定定理,帮助学生从条件和结论两个方面去认识平行线的判定定理.然后从条件和结论的角度去研究平行线的性质定理,这样通过对命题的理解,就建立起平行线判定定理和性质定理之间的联系.
随堂练习(教材第177页)
已知:如图所示,l1∥l2,∠1与∠2是直线l1,l2被直线l截出的同旁内角.求证:∠1+∠2=180°.证明:∵l1∥l2,∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°.
习题7.5(教材第177页)
1.提示:∠ABO=45°,∠DCO=92°.
2.证明:∵AD∥BC,∴∠D=∠DBC.∵∠ABD=∠D,∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC.
3.证明:∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,∴∠A=∠C,同理∠B=∠D.
4.(1)解:EC∥BF,AB∥CD.理由如下:∵∠1=∠2,∴EC∥BF(同位角相等,两直线平行),∴∠C=∠BFD(两直线平行,同位角相等),∵∠B=∠C,∴∠B=∠BFD.∴AB∥CD.　(2)证明:由(1)知AB∥CD,∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
如图所示,在ΔABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,求证∠ADE=∠EFC.
〔解析〕　分析可发现∠ADE与∠EFC都等于∠B,由此作为突破口.
证明:因为DE∥BC(已知),
所以∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等).
因为EF∥AB(已知),
所以∠B=∠EFC(两直线平行,同位角相等).
所以∠ADE=∠EFC(等量代换).
如图所示,已知DE∥BC,DF,BE分别平分∠ADE,∠ABC.求证∠FDE=∠DEB.
〔解析〕　∠FDE与∠DEB是一组内错角,欲证其相等,只需证DF
∥BE.由DE∥BC,得∠ADE=∠ABC,进而得∠ADF=∠ABE,由平行线的判定定理可得DF∥BE,再由平行线的性质可得∠FDE=∠DEB.
证明:因为DE∥BC(已知),
所以∠ADE=∠ABC(两直线平行,同位角相等).
因为DF平分∠ADE,BE平分∠ABC(已知),
所以∠ADF=12∠ADE,∠ABE=12∠ABC(角平分线的定义).
所以∠ADF=∠ABE(等量代换).
所以DF∥BE(同位角相等,两直