北师大版八年级数学上册第一章勾股定理全章教案

第一章　勾股定理
经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力.
掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决简单的问题.
通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值.
一、本单元对应的课程标准内容
1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.
2.体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理,会运用勾股定理解决相关问题.
3.掌握勾股定理的逆定理,会运用勾股定理的逆定理解决相关问题.
4.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
5.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情.
二、教材分析
实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,它是数形结合的典范,可以解决许多直角三角形中的计算问题.它是直角三角形特有的性质,是初中数学内容的重点之一.本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.本章主要有如下特点:
1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理是通过问题引出的.
2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.
3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.
【重点】
1.掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.
2.掌握勾股定理的逆定理,并会运用它判定直角三角形.
【难点】
1.利用面积法证明勾股定理.
2.理解定理、逆定理的关系.
3.勾股定理的应用.
1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程.
教材安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索勾股定理的逆定理等活动,教师应鼓励学生充分参与这些活动,通过观察、实验、推理、交流等获得结论,发展空间观念和推理能力.
2.注重创设丰富的现实情境,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.
勾股定理及其逆定理在现实世界中有着广泛的应用,教师应充分利用教材中的素材,让学生体会这种应用,如利用勾股定理求出一些立体图形表面最短路程,进行各种距离的测量,利用结绳的方法得到直角等.教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题,进一步展现勾股定理及其逆定理在解决问题中的作用.
3.介绍有关勾股定理的历史,体现勾股定理的文化价值.
勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值,很多古文明都独立地发现了勾股定理,中国也是最早认识勾股定理的国家之一,古希腊在勾股定理的应用中发现了无理数,进而引发了数学史上第一次关于数学基础的危机,有关勾股定理的历史材料十分丰富,教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关资料,还可以再呈现一些历史资料,以拓宽学生的视野,有条件的话,还可以引导学生从有关书籍、网络上收集并了解更多的历史资料,体会勾股定理的文化价值.
4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透.
勾股定理的探索与验证活动过程蕴含着丰富的数学思想,如数形结合思想、化归思想等.教学中,教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法.例如,教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形,由几何图形联想到有关代数表示,从而渗透数形结合思想,认识数学的内在联系.
1　探索勾股定理
2课时
2　一定是直角三角形吗
1课时
3　勾股定理的应用
1课时
回顾与思考
1课时
1　探索勾股定理
1.知道勾股定理的由来,初步理解割补拼接的面积证法.
2.掌握勾股定理,通过动手操作利用等积法理解勾股定理的证明过程.
在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学思想,并体会数形结合以及由特殊到一般的思想方法,培养学生的观察能力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力.
1.通过观察、猜想、拼图、证明等操作,使学生深刻感受到数学知识的发生、发展过程.
2.介绍“赵爽弦图”,让学生感受到中国古代在勾股定理研究方面所取得的伟大成就,激发学生的数学激情及爱国情感.
【重点】　掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.
【难点】　理解勾股定理及其逆定理的关系.
第课时
1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.
2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.
1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.
2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.
　　3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.
通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.
【重点】　勾股定理的探索及应用.
【难点】　勾股定理的探索过程.
【教师准备】　分发给学生打印的方格纸.
【学生准备】　有刻度的直尺.
导入一:
展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?
事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.
[设计意图]　创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.
导入二:
如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?
【师生活动】　在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?
在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!
　　[过渡语]　古代人已经认识到直角三角形的三条边的长度之间存在着特殊的平方关系,究竟存在怎样的关系呢?大家一起来探究下吧.
一、用测量的方法探索勾股定理
思路一
【学生活动】　
1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.
2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.
3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.
【问题】　你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?
[设计意图]　帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.
思路二
任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.
直角三角形
直角边长
直角边长
斜边长
1
2
3
　　【师生活动】
师:观察表格,有什么发现?
生1:a2+b2=c2.
生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.
师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?
生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……
师:哪些数据没得到a2+b2=c2?
生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……
师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?
二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探索勾股定理
　　[过渡语]　刚才的探究活动,我们只是通过测量和计算发现了直角三角形三条边之间存在的特殊关系,那么我们怎样去验证呢?已知两条直角边能不能求出斜边呢?
1.探索等腰直角三角形的情况.
思路一
展示教材P2图1 - 2部分图.
探索问题:
(1)这个三角形是什么样的三角形?
(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出SA+SB=SC)
[设计意图]　通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.
思路二
展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?
【师生活动】
师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?
生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.
师:再准确点说呢?
生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.
师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.
(学生交流面积C的求法,教师巡视点评)
生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.
师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?
生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.
生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算)
生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)
师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?
生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)
师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?
生1:SA+SB=SC.
生2:a2+b2=c2.
师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?
2.探索边长为3,4,5的直角三角形的情况.
展示教材P2图1 - 3部分图.
对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?
【问题】　(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?
(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
同桌交流、小组讨论,共同探讨如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.
【提示】　在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.
【拓展】　如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
学生思考、交流,教师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.
【学生总结】　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
[思考]　(1)运用此定理的前提条件是什么?
(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
(3)由(2)知直角三角形中,只要知道　　　　条边,就可以利用　　　　求出　　　　.?
[设计意图]　让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.
[知识拓展]　1.由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.
1.勾股定理的由来.
2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.
3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是 (　　)
A.20　　　B.10　　　C.9.6　　　D.8
解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.故选A.
2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是 (　　)
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.故选B.
3.(2015·温州模拟)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=　　　　.?
解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.
4. 如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于　　　　.?
解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=18πAB2=12.5π.故填12.5π.
第1课时
1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
一、教材作业
【必做题】
教材第3页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=　　　　.?
2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为　　　　,面积为　　　　.?
3.(2014·凉山中考)已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为　　　　.?
4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是　　　　.?
【能力提升】
5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是　　　　.?
7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为　　　　.?
8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是　　　　.?
9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?
10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.
【拓展探究】
12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=　　　　.?
13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是　　　　.?
【答案与解析】
1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)
2.30　30(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)
3.5或7
4.12米
5.D(解析:两个正数比较大小,可以按照下面的方法进行:如果a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b26.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,则正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)
7.64 cm2(解析:设阴影部分的边长为x,则它的面积为x2=172-152=64(cm2).)
8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)
9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行的距离为360020×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.
10.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.
11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.
12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)
13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)
从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探索活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.
在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.
在引导学生进行探索的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进行尝试.比如在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.
在利用教材给出的示例进行勾股定理结论探索的时候,一定要立足于“面积相等”这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探索活动的方向.
随堂练习(教材第3页)
1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.
2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=46025.42+58025.42,所以对角线长≈29 in.
习题1.1(教材第4页)
1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.
2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).
3.解:本题具有一定的开放性,现给出4种方案:如图所示,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d,⑩的面积为c,则(1)a+b+c+d=g,(2)a+b+f=g,(3)e+c+d=g,(4)e+f=g.
4.解:过C点作CD⊥AB于D,因为CA=CB=5 cm,所以AD=BD=12AB=3 cm.在RtΔADC中,CD2=AC2-AD2,所以CD=4 cm,所以SΔABC=12AB·CD=12×6×4=12(cm2).
　(2014·淮安中考)如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 (　　)
A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.25
〔解析〕　本题考查勾股定理的知识,解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如图所示,利用勾股定理求解AB的长度即可.由图可知AC=4,BC=3,则由勾股定理得AB=5.故选A.
　如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为　　　　.?
〔解析〕　∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC.∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,∴ΔABC≌ΔCDE,∴BC=DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.
第课时
1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.
2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.
培养学生大胆探索,不怕失败的精神.
【重点】　经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.
【难点】　用拼图法验证勾股定理.
【教师准备】　教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.
【学生准备】　4个全等的直角三角形纸片.
导入一:
【提问】　直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!
导入二:
上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?
学生思考(测量、数格子).
　　[过渡语]　一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.
一、勾股定理的验证
思路一
【师生活动】
师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.
生:割补法进行验证.
师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?
生:讨论交流.
师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
(1)动笔操作,独立完成.
师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.
(2)分组讨论面积的不同表示方法.
生:得出(a+b)2,4×12ab+c2两种方法.
(3)板书学生讨论的结果.
【提问】　你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?
生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.
师:化简之后能得到勾股定理吗?
生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.
师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?
独立完成.
师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.
思路二
教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.
【提问】　小明是怎样拼的?你来试一试.
(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)
【思考】　“做一做”的三个问题.
教师讲评验证勾股定理的方法.
二、勾股定理的简单应用
思路一
出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.
【问题】　(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?
(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?
(学生独立完成,教师指名板演)
出示教材P8图1 - 8.
【提问】　判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)
思路二
　我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
〔解析〕　根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.
[知识拓展]　利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.
曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a+b)(a+b),又可以表示为12(2ab+c2),所以可得12(a+b)(a+b)=12(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.
1.勾股定理的验证方法测量法数格子法面积法
2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.
1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 (　　)
解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D.
2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是 (　　)
A.c2=a2+b2　　　　B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=12ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.
3.如图所示,大正方形的面积是　　　　,另一种方法计算大正方形的面积是　　　　,两种结果相等,推得勾股定理是　　　　.?
解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×12ab+c2,即(a+b)2=4×12ab+c2,化简得a2+b2=c2.
答案:(a+b)2　4×12ab+c2　a2+b2=c2
4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.
解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.
第2课时
1.勾股定理的验证.
2.勾股定理的简单应用.
一、教材作业
【必做题】
教材第6页随堂练习.
【选做题】
教材第7页习题1.2第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.13
2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是 (　　)
A.SΔEDA=SΔCEB
B.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDEB
D.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD
3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.
(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个
关于a,b,c的等式.(要有过程)
(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)
(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.
【能力提升】
4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为　　　　.?
5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 (　　)
A.35 B.43 C.89 D.97
6.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?
7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.
【拓展探究】
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.
9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.
将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.
证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=SΔACD+SΔABC=12b2+12ab,
又∵S四边形ADCB=SΔADB+SΔDCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.
验证a2+b2=c2.
证明:连接　　　　　　　　　　,?
∵S五边形ACBED=　　　　　　　　　　,?
又∵S五边形ACBED=　　　　,?
∴　　　　,?
∴a2+b2=c2.
【答案与解析】
1.A(解析:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积和是12ab×4=13-1=12,即2ab=12,则(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故选A.)
2.D(解析:由SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD,可知12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,∴c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,∴证明中用到的面积相等的关系是SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD.故选D.)
3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c2=4×12ab+(a-b)2=a2+b2.　(2)如图所示.　(3)∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,∴ab=48,∴S=12ab=12×48=24.
4.440(解析:如图所示,延长AB交KL于P,延长AC交LM于Q,则ΔABC≌ΔPFB≌ΔQCG,∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴矩形KLMJ的面积=22×20=440.故答案为440.)
5.D(解析:依题意有:a2+b2=大正方形的面积=13,2ab=四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab=6,则a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62=169-72=97.故选D.)
6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a2+b2,∵它们的面积都等于边长为a+b的正方形的面积-4个直角边分别为a,b的直角三角形的面积和,∴a2+b2=c2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.
7.解:连接D'D,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,RtΔDAB和RtΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,又S=SRtΔDBD'+2SRtΔABD=12c2+2×12ab=12c2+ab,∴12(a2+b2)+ab=12c2+ab,因此a2+b2=c2.
8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF=GK,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NG·NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF=3GF2=16,∴GF2=163,∴S2=163.故答案为163.)
9.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABE+SΔADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.
在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.
在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.
勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.
随堂练习(教材第6页)
解:因为OM2=MN2+NO2=302+402=502,所以OM=50 km.因为OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302,所以OQ=130 km.所以该沿江高速公路的造价预计是(50+130)×5000=900000(万元).答:该沿江高速公路的造价预计是900000万元.
习题1.2(教材第6页)
1.解:因为42+32=52,所以旗杆折断之前的高为5+3=8(m).
2.解:因为S梯形=12(a+b)·(a+b)=12(a2+2ab+b2)=12a2+ab+12b2,S梯形=12ab+12ab+12c2=ab+12c2,所以12a2+ab+12b2=ab+12c2,所以a2+b2=c2.(这个方法与本节探索的方法思路一样,都是构造一个图形,利用两种方法计算该图形的面积,从而得到a2+b2=c2)
3.解:箱子能放进储藏室,因为0.82+0.52<1.22.
古诗中的数学题
请你先欣赏下面一首诗:
平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;
渔人观看忙向前,花离原位两尺远;
能算诸君请解题,湖水如何知深浅?
你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?
〔解析〕　要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在RtΔBCD中,由勾股定理建立方程求线段的长.
解:如图所示,AD表示莲花的高度,CD是水的深度,CB是莲花吹倒后离原位的距离.
设CD=x尺,则AD=BD=x+12尺.
在RtΔBCD中,∠BCD=90°,由勾股定理得BD2=CD2+BC2,即x+122=22+x2.
解得x=3.75.
所以所求的湖水深度为3.75尺.
[方法总结]　建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.
2　一定是直角三角形吗
1.经历勾股定理的逆定理的探索过程,进一步发展推理能力.
2.掌握勾股定理的逆定理及勾股数的概念,并能进行简单的应用.
进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.
1.通过介绍有关历史资料,激起学生的学习兴趣和解决问题的欲望.
2.通过对勾股定理逆定理的综合应用,培养学生学习数学的兴趣及克服困难的勇气,体验勾股定理及其逆定理在实际生活中的实用性.
【重点】　运用身边熟悉的事物,从多种角度发展数感,会通过边长判断一个三角形是不是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.
【难点】　会辨析哪些问题应用哪些结论.
【教师准备】　教材P9图1 - 9,1 - 10的投影图片.
【学生准备】　复习勾股定理及其证明.
导入一:
小明找来了长度分别为12 cm,40 cm的两根线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗?
导入二:
我们学过的直角三角形的判定方法有哪些?(定义法:有一个角是直角的三角形是直角三角形)
(学生回忆直角三角形的判定方法)
那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢?(即若三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形)
导入三:
工人师傅想要检测一扇小门(如图所示)两边AB,CD是否垂直于底边BC和门的上边AD,你能用工具帮工人师傅完成任务吗?
[设计意图]　设疑引起下文,激发学生的学习兴趣,为学生进一步学习埋下伏笔.
　　[过渡语]　如果一个三角形的三边长分别是3,4,5,那么这个三角形是直角三角形吗?
一、探究活动:一定是直角三角形吗
(1)分别以5,12,13;3,4,5;8,15,17;7,24,25为三边长作三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
(学生分工合作,可以每人选一组数作三角形)
(2)如果每组数中三边的长度分别是a,b,c,那么它们满足a2+b2=c2吗?
(学生回答,可能有学生会给出“反证法”的理由)
(3)根据(1)(2)你能总结出怎样的结论?
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(4)勾股定理和其逆定理有什么区别?
(5)给出勾股数的定义(满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数),并强调注意事项:
①符合a2+b2=c2;
②必须是正整数.
(学生举出常见的勾股数,注意教师强调的内容)
二、例题讲解
　一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?
〔解析〕　如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.
解:在ΔABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以ΔABD是直角三角形,∠A是直角.
在ΔBCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以ΔBCD是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
【思考】　在上面的零件中,如果有一个角是直角,这个零件算是合格的吗?
[知识拓展]　1.勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.
2.勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;如果a2+b2c2(c为最长边长),那么这个三角形是锐角三角形.
3.勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为直角三角形,较长边所对的角为直角.
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.该逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的判定方法.
1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是 (　　)
A.3,4,6　　　　　　B.9,12,15
C.5,12,14 D.10,16,25
解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.故选B.
2.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是 (　　)
A.a2=b2-c2
B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3
C.∠A=∠B-∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
解析:A.∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,故本选项正确;B.∵a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴令a2=x,则b2=2x,c2=3x,∵x+2x=3x,∴a2+b2=c2,故本选项正确;C.∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C,∵在ΔABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,即∠B=90°,故本选项正确;D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,即3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴5x=5×15°=75°<90°,故本选项错误.故选D.
3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为 (　　)
A.72　　　B.36　　　C.66　　　D.42
解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴ΔABC是直角三角形. AC2+CD2=52+122=132=AD2,∴ΔACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=12AB·BC+12AC·CD=12×3×4+12×5×12=36.故选B.
4.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.
解:在ΔABD中,∵AB=26,AD=24,BD=CD=12BC=10,∴满足AB2=AD2+BD2,∴ΔABD为直角三角形,即AD⊥BC.又∵BD=DC,即D为BC的中点,∴ΔABC为等腰三角形,即AC=AB=26.故AC的长为26.
2　一定是直角三角形吗
1.勾股定理的逆定理.
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第10页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第10页习题1.3第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列几组数中,是勾股数的是 (　　)
A.5,6,7　　　　　　　B.3,4,9
C.5,3,6 D.10,24,26
2.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 (　　)
A.2 cm,6 cm,8 cm B.6 cm,8 cm,10 cm
C.6 cm,8 cm,12 cm D.2 cm,8 cm,10 cm
3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为 (　　)
A.24 m2 B.26 m2
C.28 m2 D.30 m2
4.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为　　　　.?
【能力提升】
5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=　　　　.?
6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.
7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②
∴c2=a2+b2.③
∴ΔABC是直角三角形.
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:　　　　;?
(2)错误的原因为　　　　;?
(3)写出本题正确的解题过程.
8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.
9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?
【拓展探究】
10.已知某直角三角形的两直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么三边长分别为a+1,b+1,c+1的三角形会不会是直角三角形呢?请说明理由(提示:若a+b>c,则a+b-c>0).
【答案与解析】
1.D(解析:A.52+62≠72,不能构成直角三角形,故不是勾股数;B.32+42≠92,不能构成直角三角形,故不是勾股数;C.32+52≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数;D.102+242=262,能构成直角三角形,是正整数,故是勾股数.故选D.)
2.B(解析:∵62+82=102,∴长度分别为6 cm,8 cm,10 cm的三根木棒首尾顺次连接可搭成一个直角三角形.故选B.)
3.A(解析:如图所示,连接AC.由勾股定理可知,AC2=32+42=25=52,AC=5,又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴ΔABC是直角三角形,故所求面积=ΔABC的面积-ΔACD的面积=12×5×12-12×3×4=24(m2).故选A.)
4.30(解析:∵|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,∴a-5=0,b-12=0,c-13=0,解得a=5,b=12,c=13,∵52+122=132,∴ΔABC是直角三角形,∴ΔABC的面积为5×12÷2=30.故答案为30.)
5.225(解析:由题意得第n组数为2n+1,(2n+1)2-12,(2n+1)2+12,∴第1个数为15时,即相当于第7组数据,∴m=(2×7+1)2-12=112,n=(2×7+1)2+12=113,∴m+n=112+113=225,故答案为225.)
6.解:∵∠C=90°,AC=12,BC=9,∴AB2=AC2+CB2,∴AB=15.∵AD=8,BD=17,∴DB2=AD2+AB2,∴∠DAB=90°,∴ΔABD的面积=12AB×AD=60.故ΔABD的面积为60.
7.解:(1)③　(2)除式可能为零　(3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).∴a2-b2=0或c2=a2+b2.当a2-b2=0时,a=b;当c2=a2+b2时,∠C=90°.∴ΔABC是等腰三角形或直角三角形.
8.证明:设勾长为x,弦长为z,则股长为z-1,∴x,z-1,z是一个基本勾股数组.若z为奇数,则z-1为偶数,若z为偶数,则z-1是奇数,∴x为奇数,
设x=2a+1(a为正整数),则有(2a+1)2+(z-1)2=z2,解得z=2a2+2a+1,故勾股数组具有形式2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1.
9.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D,则这条水泥路的最短距离为CD的长度.∵BC2+AC2=82+62=100,AB2=102=100,∴BC2+AC2=AB2,∴∠ACB=90°.∵SΔABC=12AB·CD=12AC·BC,∴CD=AC·BCAB=6×810=4.8(km).故这条水泥路的最短距离为4.8 km.
10.解:∵某直角三角形的两直角边长分别是a,b,斜边长为c,∴a2+b2=c2,∵(a+1)2+(b+1)2=a2+2a+1+b2+2b+1,(c+1)2=c2+2c+1,∴(a+1)2+(b+1)2-(c+1)2=2a+2b-2c+1,∵a+b>c,∴a+b-c>0,∴(a+1)2+(b+1)2-(c+1)2>1≠0,∴三边长分别为a+1,b+1,c+1的三角形不是直角三角形.
充分尊重教材,以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题,充分引用教材中出现的例题和练习.
未能注重并及时引导学生积极参与实验活动,没有完全让学生从中体验:任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,这使得学生的认知不能很好地遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
在充分备课的基础上,要特别注意学生的实际情况与认知能力,及时地引导学生参与实验活动,从而让学生在亲身参与过程中体验数学结论所经历的观察、归纳、猜想和验证等过程.在利用今天所学知识解决实际问题时,引导学生善于对公式变形,便于简便计算.加强对学习新知识理解较困难的学生的关注.
随堂练习(教材第10页)
1.解:(1)因为92+122=152,所以9,12,15能作为直角三角形的三边长.　(2)因为122+182≠222,所以12,18,22不能作为直角三角形的三边长.　(3)因为122+352≠362,所以12,35,36不能作为直角三角形的三边长.　(4)因为152+362=392,所以15,36,39能作为直角三角形的三边长.
2.解:因为AB=4,AE=2,DF=1,所以ED=2,FC=3,BC=4,所以BE2=AB2+AE2=20,EF2=ED2+DF2=4+1=5,BF2=BC2+CF2=16+9=25,所以BE2+EF2=BF2,所以ΔBEF是直角三角形.所以图中共有4个直角三角形,它们是ΔABE,ΔBCF,ΔDEF和ΔBEF.
习题1.3(教材第10页)
1.解:斜边的平方=92+402=1681=412,所以斜边长为41.
2.解:是,因为通过移项可以得到a2+b2=c2.
3.解:(1)还是直角三角形.　(2)填表(从左至右,从上至下):9,12,15　12,16,20　30,40,50　10,24,26　20,48,52　50,120,130　16,30,34　24,45,51　80,150,170　14,48,50　21,72,75　28,96,100　这些勾股数的任意倍都是勾股数,理由如下:设a,b,c是一组勾股数,且a2+b2=c2,将a,b,c同时扩大为原来的k倍(k为正整数),得ka,kb,kc,因为(ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2=k2(a2+b2)=k2c2,所以ka,kb,kc是勾股数.
4.解:如图所示,④和⑤是直角三角形,其余三角形不是直角三角形.设每个小方格的边长为1,则A1B12=9,B1C12=5,A1C12=8,而5+8≠9,故ΔA1B1C1不是直角三角形.A2B22=25,B2C22=10,A2C22=9,而9+10≠25,故ΔA2B2C2不是直角三角形.A3B32=17,B3C32=10,A3C32=5,而5+10≠17,故ΔA3B3C3不是直角三角形.A4B42=20,B4C42=10,A4C42=10,10+10=20,故ΔA4B4C4是直角三角形.A5B52=26,A5C52=13,B5C52=13,13+13=26,故ΔA5B5C5是直角三角形.A6B62=13,B6C62=10,A6C62=17,而10+13≠17,故ΔA6B6C6不是直角三角形.
5.解:方法不唯一,如:可以取任意长的一段(可以打结标记),然后对折取出等长的12段,分别取3段,4段和5段作为三角形的三边长,所得到的三角形就是直角三角形.
判定一个三角形是不是直角三角形有两种方法:
(1)利用定义,如果已知条件与角度有关,可借助三角形内角和求出其中一个角是直角,判定是直角三角形;
(2)利用勾股定理的逆定理,利用这一方法的题目,一般是给定或者可通过计算推导出三角形三边的数量关系:a2+b2=c2.
直角三角形——角有一个角是直角(定义法)有两个角互余边(勾股定理的逆定理)
3　勾股定理的应用
1.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.
2.学会选择适当的数学模型解决实际问题,进一步发展应用意识.
通过问题情境的设立,使学生体会数学来源于生活,又应用于生活;积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法.
敢于面对数学学习中的困难,增加遇到困难时
选择其他方法的经验,进一步体会数学的应用价值,发展运用数学的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识.
【重点】　能运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题.
【难点】　正确选择勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题.
【教师准备】　教材例题图片.
【学生准备】　复习勾股定理及其逆定理.
导入一:
折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,风折抵地,去本三尺.问折者高几何?
大意:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处距离原竹子底部3尺远.问原来的竹子有多高?
导入二:
历史上伦敦克里斯蒂拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告:如图所示,有面积为560英亩的土地拍卖,土地共分三个正方形,面积分别为74英亩,116英亩,370英亩.三个正方形恰好围着一个池塘,若有人能计算出池塘的准确面积,则池塘不计入土地价钱白白奉送.英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?
　　[过渡语]　接下来我们体验一下勾股定理的应用.
一、问题探究
如图所示,有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的
食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
思路一
(1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?
【预设】　学生可能的方案(粗线条).
(2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?
(教师展示学生的方案)
(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
【预设】　学生在求直角边时会出现问题,极有可能将上面的短的直角边当成是圆的半径,这里教师要特别关注.
【问题总结】
(1)数学思想.
立体图形→转化、展形化曲为平→平面图形.
(2)在解决空间几何图形中的距离问题时,先把几何图形适当展开成平面图形,再利用“两点之间线段最短”的性质来解决问题.
[设计意图]　通过对上述问题的探索,渗透建模思想,通过探求过程,学生学会分析立体图形中隐藏的平面模型(直角三角形),能够将立体图形转化为平面图形,体会勾股定理在生活中是广泛存在的,激发和点燃学生学习的兴趣,为后续学习起到引领和铺设作用.
思路二
教师展示教材上本节开头问题,学生思考,少数学生能得到正确答案.(学生课下已仿照图1 - 11作了一个圆柱体)按老师的要求去做.
下面我们动手操作一下,看看为什么这是最短路线.
(1)按题目要求在圆柱上画出A,B两点.
(2)从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线.
(3)将圆柱侧面从A点剪开展成一个长方形.
(教师巡视指导,避免学生操作错误)
(学生解释为什么这就是最短路线.动手剪成长方形,铺平)
【教师提问】　在同学们剪成的长方形所画的路线中,你能替蚂蚁找到最短的路线吗?能用我们所学过的知识对最短路线做出解释吗?
(学生思考、观察并找到最短的路线,并求出最短路程,小组讨论)
教师用多媒体出示教材上的“做一做”,并提出问题.
李叔叔想要检测雕塑(如图所示)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm,边AD垂直于边AB吗?
(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢?
对学生完成情况作出判断,对有创新精神的同学予以表扬.
二、例题讲解
教师出示例题.
　如图所示的是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长.
解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为(x-1) m.
在RtΔACE中,∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5.
故滑道AC的长度为5 m.
[知识拓展]　1.解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长.
2.解决航海问题:理解方向角等概念,根据题意画出图形,利用勾股定理或其逆定理解题.
3.解决实际问题中两线段是否垂直的问题:以已知两线段为边构造一个三角形,根据三边的长度,利用勾股定理的逆定理解题.
4.解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.
5.解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.
6.解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾股定理解决问题;当已知条件告诉了边长之间的关系时,可想到用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形.
2.当遇到曲面上两点的距离问题时,应想到化曲面为平面.
1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 (　　)
A.8 m　　　　　　B.10 m
C.12 m D.14 m
解析:如图所示,设大树高为AB=10 m,小树高为CD=4 m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,连接AC,∴EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m),在RtΔAEC中,AC2=AE2+CE2=62+82=102,∴AC=10 m.故选B.
2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是 (　　)
A.12 cm B.13 cm
C.11 cm D.9 cm
解析:如图所示,设杯子的底面直径为a,高为b,筷子在杯中的长度为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,∴c2=a2+b2=52+122=132,∴c=13 cm,∴h=24-13=11(cm).故选C.
3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为　　　　.?
解析:∵AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2=62,∴AC=6米,∴地毯的长度为AC+BC=6+2.5=8.5(米),∴地毯的面积为8.5×6=51(平方米).故填51平方米.
4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?
解:设AE=x km,则BE=(25-x)千米,
∵C,D两村到E站的距离相等,
∴DE=CE,即DE2=CE2.
∵在RtΔDAE中,DA2+AE2=DE2,
在RtΔEBC中,BE2+BC2=CE2,
∴DA2+AE2=BE2+BC2,
即152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.
故收购站E应建在距点A 10 km处.
3　勾股定理的应用
1.问题探究.
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第14页随堂练习.
【选做题】
教材第14页习题1.4第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 (　　)
A.3尺　　　B.4尺　　　C.5尺　　　D.6尺
2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是 (　　)
A.A?P?B B.A?Q?B
C.A?R?B D.A?S?B
3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15π cm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　　　　cm.?
4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是　　　　.?
5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.
【能力提升】
6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为 (　　)
A.东偏南46°
B.北偏西46°
C.东偏南46°或西偏北46°
D.无法确定
7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是　　　　.?
8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?
9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?
10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)
【拓展探究】
11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.
【答案与解析】
1.B(解析:设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(9-x)尺,根据勾股定理,得x2+32=(9-x)2,解得x=4.故选B.)
2.A(解析:根据两点之间线段最短可知.故选A.)
3.17π(解析:展开图如图所示,CD的长为2π·8=16π.B为CD的中点,所以CB=8π,又AC=15π,AB2=(8π)2+(15π)2=(17π)2,所以AB=17π.一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是17π cm.故答案为17π.)
4.6(解析:因为是一块正方形的绿地,所以∠B=90°,由勾股定理,得AE=25米,计算由A点顺着AB,BE到E点的路程是24+7=31(米),而AE=25米,则少走31-25=6(米).故答案为6.)
5.解:由题意得AC=13米,BC=12米,∠B=90°,AB2=AC2-BC2=52,故地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5米.
6.C(解析:根据题意,OA=40×2=80(海里),OB=30×2=60(海里),又因为AB=100海里,802+602=1002,所以OB2+OA2=AB2,根据勾股定理的逆定理,得ΔAOB为直角三角形.同理,ΔAOC也为直角三角形.所以∠AOB=90°,又因为∠1=46°,所以∠2=180°-90°-46°=44°,∠3=90°-44°=46°,根据对顶角相等,得∠4=∠3=46°,则乙船的航向为东偏南46°或西偏北46°.故选C.)
7.61(解析:如图(1):AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65.如图(2):AM2=AC2+CM2=92+4=85.如图(3):AM2=AD2+DM2=62+52=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是61.故答案为61.)
8.解:根据题意得OA=10×1=10(海里),OB=24×1=24(海里),ΔAOB是直角三角形,∴AB2=102+242=262,∴AB=26海里,∴经过1小时,这两艘轮船相距26海里.
9.解:由题意知EF=13米,EA=5米.在RtΔEAF中,由勾股定理,得AF2=EF2一EA2,即AF2=132-52=144=122,所以FB=15-12=3(米),即另一端出口F应选在AB边上距B点3米处.
10.解:如图所示.∵AC=12 m,BC=5 m,∴AB2=52+122=132,∴AB=13 m.答:梯子最短需要13 m.
11.解:如图所示,作BC边上的高AD,设BD=x米,则CD=(140-x)米,在RtΔABD中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2,在RtΔACD中,由勾股定理,得AD2=AC2-CD2,所以AB2-BD2=AC2-CD2,即1302-x2=1502-(140-x)2,解得x=50.所以AD2=AB2-BD2=1302-502=(130+50)(130-50)=180×80=1202,则AD=120(取正值).所以,所求的面积为12BC·AD=12×140×120=8400(平方米).
从实际生活中得出数学知识,再回到实际生活中加以运用是本节课的一个教学“亮点”.在本节课预习案中的梯子问题有着学生非常熟悉的生活背景,课上部分的蚂蚁吃芝麻以及课后的渡河要偏离目标点的情境,相对来说也是学生比较感兴趣的问题,以此引入、深入勾股定理的应用,使数学教学在生活情境中得以创新.
教学没有彻底放开,和新的课程理念的要求存在着差距.如教学设计中的问题都是教者提出的,学生的主动性没有充分调动起来.
在课堂中,让学生自己动手剪几个边长分别为3,4,5;6,8,10;5,12,13的直角三角形,然后用勾股定理验证,激发学生的学习兴趣,充分调动学生学习积极性,给学生留有思考和探索的余地,让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题.
随堂练习(教材第14页)
解:甲走了6×2=12(km),乙走了5×1=5(km),因为122+52=132,所以上午10:00,甲、乙二人相距13 km.
习题1.4(教材第14页)
1.解:因为82+152=172,所以阴影长方形的长为17 cm,所以S阴=17×3=51(cm2).
2.解:在图(1)中,因为152+202≠242,所以以15,20,24为三边长的三角形不是直角三角形.在图(3)中,因为72+202≠252,所以以7,20,25为三边长的三角形不是直角三角形.在图(2)中,因为72+242=252,152+202=252,所以此图中的两个三角形都是直角三角形,所以图(2)是正确的.
3.解:能.因为11.72+92=136.89+81=217.89,152=225,即11.72+92<152,所以一架长为15 m的云梯能到达墙的顶端.
4.提示:把正面和右面展开在一个平面上,连接AB,则得到一个两直角边长分别为16 cm和12 cm的直角三角形,其斜边长即是最短路线长,为20 cm.
5.解:设这个水池的深度为x尺,则芦苇的长为(x+1)尺,由题意得(x+1)2=x2+52,所以x=12,所以x+1=13.答:这个水池的深度为12尺,这根芦苇的长度为13尺.
6.提示:借助勾股定理测算旗杆的高度,需要构造一个与旗杆有关的直角三角形.具体方案可以类似教材第197页总复习的第26题.
复习题(教材第16页)
1.提示:由勾股定理分别求出AB,BC,CD的长,再相加,可得折线的长为28 cm.
2.解:(1)(4)能,(2)(3)不能.
3.解:1602+1202=2002,从而可知这时它离出发点200 km.
4.解:在RtΔABC中,∠B=90°,所以AC2=AB2+BC2,所以AC=5 cm.同理CF=13 cm.所以S正方形CDEF=CF2=132=169(cm2).
5.解:由勾股定理得2502-1502=2002,所以小明向正东方向走了200 m.
6.解:两直角边上的半圆面积之和等于斜边上的半圆面积.
7.解:两图面积相等,前者面积=4×12ab+c2,后者面积=4×12ab+a2+b2,所以c2=a2+b2.
8.解:这个三角形的三边长分别为3,4,5,是一组勾股数,所以这个三角形是直角三角形.
9.解:(1)如图所示,正方形ABDE即为所求,作RtΔACB,AC=2,BC=7,∠C=90°,则S正方形ABDE=AB2=AC2+BC2=22+72=53.　(2)可以利用5=22+12,10=32+12,13=22+32构造正方形,图略.
10.解:(1)图略.　(2)所有正方形的面积和为4 cm2.　(3)像一棵美丽的大树.　(4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形,“毕达哥拉斯树”将是轴对称图形.
11.解:(1)24 m.　(2)不是.设底部在水平方向上滑动了x m,则由勾股定理得202+(7+x)2=252,所以(7+x)2=225,所以7+x=±15,所以x=8或x=-22(舍去),所以底部在水平方向上滑动了8 m.
12.提示:将长方体的侧面沿过A点的侧棱展开(如图所示),则蚂蚁爬行的最短距离是路线AB的长度.根据勾股定理得AB2=152+202=625,所以AB=25.故需要爬行的最短距离是25 cm.
13.解:如图所示,依题意知A'B'=1.5 m,B'C'=1.5 m,CC'=2.2 m,在RtΔA'B'C'中,A'C'2=A'B'2+B'C'2,在RtΔA'C'C中,A'C2=A'C'2+CC'2,代入数值即可得A'C≈3.056 m.所以能放入电梯内的木条的最大长度约是3.056 m.估计装修工人买的木条至少是3.056 m.
14.解:(1)勾股数中一定有一个是偶数.理由如下:如果全部为奇数,a2+b2为偶数,而c2为奇数,两者不可能相等.　(2)略.
勾股定理的逆定理及其应用在近年各地中考中是热点问题,题型多样,填空题、选择题、解答题、综合题均有.随着课程改革的不断深入,一些探索性问题也已出现,尤其是与工农业生产以及实际生活紧密联系的应用题更值得我们关注,目的是要考查学生运用数学知识解决实际问题的能力.
　如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,
底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　cm.?
〔答案〕　97
1.理解勾股定理及其逆定理.
2.会用勾股定理解决简单的实际问题.
通过猜想、探索证明勾股定理及其逆定理.
培养勇于探索的科学精神和数学应用意识.
【重点】　勾股定理及其逆定理.
【难点】　勾股定理及其逆定理的应用.
勾股定理题设:在RtΔABC中,∠C=90°结论:a2+b2=c2作用(1)计算(2)证明带有平方的问题(3)实际应用注意(1)无直角时,可作垂线构造直角三角形(2)斜边的平方等于两直角边的平方和(先确定斜边)思想方法:把形转变为数的思想方法?勾股定理的逆定理题设:在ΔABC中,a2+b2=c2结论:∠C=90°作用(1)判断某三角形是否为直角三角形(2)实际应用(3)判断两线段垂直注意(1)三角形中较小的两边的平方和等于较大边的平方时,才可以　判断这个三角形是直角三角形,不能认为c边所对的角必是直角(2)运用时首先确定最大边思想方法:把数转变为形的思想方法
专题一　勾股定理及其逆定理的基本用法
【专题分析】
勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2　若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.
〔解析〕　在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值,进而求面积.
解:设此直角三角形两直角边长分别是3x,4x,根据题意,得(3x)2+(4x)2=202,
化简得x2=16.
∴直角三角形的面积=12×3x×4x=6x2=96.
[方法归纳]　直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解.
【针对训练1】　等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.
解:如图所示,等腰三角形ABC,作AD⊥BC于D,
则BD=12BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合),
∵AB=AC=5,
∴BD=12BC=3,
在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,
即AD2=AB2-BD2=52-32=42,
∴AD=4,
∴SΔABC=12BC·AD=12.
　如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)求证ΔBCD是直角三角形;
(2)求ΔABC的面积.
〔解析〕　(1)利用勾股定理的逆定理即可直接证明ΔBCD是直角三角形;(2)设AD=x,则AB=AC=x+9,在RtΔABD中,利用勾股定理即可列出方程,解方程,即可求解.
证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD2+BD2=81+144=225.∵BC=15,∴BC2=225.∴CD2+BD2=BC2.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).
解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,
∴AB=x+9,
∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,
∴AB2=AD2+BD2(勾股定理),即(x+9)2=x2+122,解得x=72,∴AC=72+9=252,
∴SΔABC=12AC·BD=75.
[方法归纳]　本题考查勾股定理及其逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理加以判断即可.
【针对训练2】　如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.
(1)求BC的长;
(2)求四边形ABDC的面积.
解:(1)因为∠A=90°,AB=9,AC=12,所以BC2=AB2+AC2=81+144=225,所以BC=15.
(2)因为BC=15,BD=8,CD=17,所以BC2+BD2=CD2,所以ΔBCD是直角三角形,所以S四边形ABDC=SΔBCD+SΔABC=12×15×8+12×9×12=114.
[方法归纳]　本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理,把四边形ABDC分成两个直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.
专题二　勾股定理的应用
【专题分析】
在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.
　(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.
〔解析〕　根据点到直线的连线中,垂线段最短,得到当BP垂直于AC时,BP最短,过A作等腰三角形底边上的高AD,利用三线合一得到D为BC的中点,在直角三角形ADC中,利用勾股定理求出AD的长,进而利用面积法即可求出此时BP的长.
解:根据垂线段最短,得到当BP⊥AC时,BP最短,
过A作AD⊥BC,交BC于点D,
因为AB=AC,AD⊥BC,所以D为BC的中点,又BC=6,所以BD=CD=3,
在RtΔADC中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得AD2=AC2-DC2=42,
又因为SΔABC=12BC·AD=12BP·AC,所以BP=BC·ADAC=6×45=4.8.
[方法归纳]　利用勾股定理求出AD的长,再利用面积相等列出关系式是解题的关键.
【针对训练3】　如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.
〔解析〕　先把A或B依据对称性转移到MN另一侧,再依据两点之间,线段最短设计方案,然后构造直角三角形求解.
解:作A点关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于P点,则P点就是要确定的中转站的位置.过A'作A'B'⊥BB1,交BB1的延长线于B'点,
在RtΔA'B'B中,A'B'=80 km,BB'=BB1+B1B'=40+20=60(km),
所以A'B2=A'B'2+BB'2=802+602=1002,
所以A'B=100 km.
所以这个最短距离为100 km.
[易错提示]　这类问题在考试中经常出现,只是情境各不相同,要抓住其本质,利用对称性将其中一点转移到直线的另一侧,再确定符合要求的点.
专题三　数学思想方法
(一)转化的思想方法
【专题分析】
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.
　如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.
〔解析〕　现已知BE,CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.
解:连接AD,如图(2)所示.
因为∠BAC=90°,AB=AC,
又因为AD为ΔABC的中线,
所以AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°,又因为∠CDF+∠ADF=90°,
所以∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).
所以AE=FC=5,
同理AF=BE=12,
在RtΔAEF中,根据勾股定理得:
EF2=AE2+AF2=52+122=132,
所以EF=13.
[方法归纳]　此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.
【针对训练4】　在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?
〔解析〕　如图(2)所示,本题需要判断点C到AB的距离是否小于或等于250米,若小于等于,则有危险;若大于,则没有危险.因此过C作CD⊥AB于D,然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度,然后利用三角形的面积公式即可求出CD的长度,然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁.
解:如图(2)所示,过C作CD⊥AB于D,
∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,
∴根据勾股定理,得AB=500米,
∵12AB·CD=12BC·AC,
∴CD=240米.
∵240米<250米,∴有危险,
因此AB段公路需要暂时封锁.
[方法归纳]　当已知的线段和所求的线段不在同一直角三角形中时,应通过转化把它们放在同一直角三角形中求解.
(二)方程的思想方法
【专题分析】
方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.
　如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.
解:因为ΔADE与ΔAFE关于AE对称,
所以AD=AF,DE=EF.
因为四边形ABCD是长方形,
所以∠B=∠C=90°,
在RtΔABF中,
AF=AD=BC=10 cm,AB=8 cm,
所以BF2=AF2-AB2=102-82=62,
所以FC=BC-BF=10-6=4(cm),
设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm,
在RtΔECF中,EC2+FC2=EF2,即
x2+42=(8-x)2,解得x=3,EF=DE=8-x=5 cm,即EF的长为5 cm.
[方法归纳]　该题主要考查了翻折变换及其应用问题,解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系,根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解.
【针对训练5】　如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.
解:由图形的折叠,得ΔACD≌ΔACD',
所以∠D'=∠D=90°,CD'=CD=3,
则∠B=∠D',AB=CD'.
又因为∠AEB=∠CED',
所以ΔABE≌ΔCD'E.
所以BE=ED'.设BE=x,则CE=4-x,CD'=3.
所以(4-x)2=32+x2,即16-8x+x2=9+x2,
所以x=78,即BE的长为78.
本章质量评估
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.直角三角形的最长边的长为10,一条直角边长为6,另一条直角边长为 (　　)
A.6　　　B.8　　　C.10　　　D.4
2.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以到达建筑物的高度是 (　　)
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
3.下面四组线段能够组成直角三角形的是 (　　)
A.2,3,4 B.3,4,5
C.6,7,8 D.7,8,9
4.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其他的数据弄混了,请你帮他找出来,是 (　　)
A.13,12,12 B.12,12,8
C.13,10,12 D.5,8,4
5.如图所示, 一个高1.5米,宽3.6米的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这块木板的长度是 (　　)
A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米
6.一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误差忽略不计) (　　)
A.34英寸(87厘米)
B.29英寸(74厘米)
C.25英寸(64厘米)
D.21英寸(54厘米)
7.(2014·浙江中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=10,AD⊥BC于点D,若AD=6,则ΔABC的周长是 (　　)
A.36 B.40
C.38 D.32
8.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当它把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 (　　)
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
9.RtΔABC中,∠C=90°,若两条直角边长的和为a+b=14 cm,斜边长c=10 cm,则RtΔABC的面积为 (　　)
A.24 cm2 B.36 cm2
C.48 cm2 D.60 cm2
10.如图所示,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距 (　　)
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.小明要把一根长为70 cm的木棒放到一个长、宽、高分别为50 cm,40 cm,30 cm的木箱中,他能放进去吗?　　　　.?
12.如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了　　　　米.?
13.如图所示,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸剪去了一角,量得AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为　　　　.?
14.王师傅在操场上安装一副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图所示,撑脚长AB,DC为3 m,两撑脚间的距离BC为4 m,则AC=　　　　m就符合要求.?
15.如图所示,一架云梯长10米,斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面6米,要使梯子顶端离地面8米,则梯子的底部在水平方向要向左滑动　　　　米.?
16.如图所示的是一长方形公园,若某人从景点A走到景点C,则至少要走　　　　米.?
17.如图所示,在一棵树上的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶C后直接跃到A处,距离以直线计算,若两只猴子所经过的距离相等, 则这棵树高　　　　米.?
18.如图所示的是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米,A,B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是　　　　米.?
三、解答题(共58分)
19.(8分)如图所示,某人欲垂直横渡一条河,由于水流的影响,他实际上岸地点C偏离了想要到达的点B 140米(即BC=140米),其结果是他在水中实际游了500米(即AC=500米),求该河的宽度(即AB).
20.(8分)我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱.树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺)
21.(10分)如图所示,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆的高度为320 cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图所示.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形所示(单位:cm).
22.(10分)如图所示,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,则水深多少尺?
23.(10分)如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,求这辆送家具的卡车能否通过这个通道.
24.(12分)如图所示,某人到岛上去探宝,从A处登陆后先往东走4 km,又往北走1.5 km,遇到障碍后又往西走2 km,再转向北走到4.5 km后往东一拐,仅走0.5 km就能找到宝藏.则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少?
【答案与解析】
1.B
2.A(解析:13米长的梯子可以到达建筑物的高度可设为x米,根据梯子的底端离建筑物5米,由勾股定理得x2=132-52,则x=12.)
3.B
4.C(解析:等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形, 腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理,可知A.132≠122+62,B.122≠82+62,C.132=122+52,D.52≠42+42.)
5.B(解析:此题可运用勾股定理解决,设这块木板的长度为x米,由勾股定理得x2=1.52+3.62,解得x=3.9.)
6.B(解析:电视机的规格指的是以长、宽及对角线组成的直角三角形的斜边的长.)
7.A
8.C(解析:旗杆、绳子与绳子拉开的距离组成直角三角形.)
9.A(解析:根据勾股定理确定a,b的值.)
10.D(解析:根据方向角作出直角三角形,应用勾股定理解答.)
11.能(解析:在长方体的盒子中,一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大.因此可设放入长方体盒子中的最大长度是x cm,根据题意,得x2=502+402 +302=5000,而702=4900,且4900<5000,所以能放进去.)
12.1600(解析:如图所示,把实际问题转化为数学模型,由题意可知AB=1200,AC=2000, 由勾股定理得BC2=AC2-AB2= 20002-12002=16002,所以BC=1600.李明向正东方向走了1600米.)
13.20 cm(解析:如图,延长AB,DC交于点F构成直角三角形,运用勾股定理得BC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,所以BC=20 cm.)
14.5(解析:如图所示,由题意可知AB,DC为3 m,BC为4 m,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52,所以AC=5 m.)
15.2(解析:如图所示,由题意可知梯子的长是不变的,由云梯长10米 ,梯子顶端离地面6米,可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米.当梯子顶端离地面8米时, 梯子的底部距墙6米,则梯子的底部在水平方向要向左滑动8-6=2米.)
16.370(解析:如图所示,依据两点之间线段最短,确定最短路线为长方形公园的对角线长,可设长方形公园的对角线长为x米,由勾股定理得x2=1202+3502,解得x=370.)
17.15(解析:如图所示,把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决.设树的高度为x米,根据两只猴子所经过的距离相等,都为30米,由勾股定理得x2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15.)
18.2.5(解析:如图所示,三级台阶平面展开图为长方形,长为2,宽为(0.2+0.3)×3,则蚂蚁沿台阶面从A点爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为x米,由勾股定理得x2=22+[(0.2+0.3)×3]2=2.52,所以x=2.5.)
19.解析:把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决.
解:在RtΔABC中,AB2+BC2=AC2,所以AB2+1402=5002,解得AB=480.故该河的宽度AB为480米.
20.解析:本题是一道古代数学题,由于树可以近似看做圆柱,藤条从树根缠绕而上,我们可以按图示的方法,转化为平面图形来解决.如图所示,线段AB的长就是藤条的长.
解:如图所示,在RtΔABC中,由勾股定理得AB2=BC2+AC2.因为BC=20,AC=3×7=21,所以AB2=202+212=841.所以AB=29.所以这根藤条有29尺.
21.解:如图所示,彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长,由于902+1202=1502,所以彩旗的对角线长为150 cm,所以h=320-150=170(cm).
22.解析:本题关键是能将红莲移动后的图画出, 红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,即AC为红莲的长.解:设水深为h尺.如图所示,在RtΔABC中,AB=h,AC=h+3,BC=6,由勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62,∴h2+6h+9=h2+36,解得h=4.5.故水深为4.5尺.
23.解析:如图所示,卡车能否通过,关键是车高4米与AC的比较,BC为2.6米,只需求AB,在直角三角形OAB中,半径OA为2米,车宽的一半为DC=OB=1.4米,运用勾股定理求出AB即可.
解:如图所示,过直径的中点O作直径的垂线,交下底边于点D,如图所示,在RtΔABO中,由题意知OA=2,DC=OB=1.4,所以AB2=22-1.42=2.04,因为4-2.6=1.4,1.42=1.96,2.04>1.96,所以卡车可以通过.
24.解析:本题需要把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,利用勾股定理完成.
解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C,则AC=2.5,BC=6,由勾股定理求得AB=6.5(km).所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.