北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标全章教案

第三章　位置与坐标
1.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
2.在实际问题中,能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置,体会可以用直角坐标系画一个简单图形.
3.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置.
4.在直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程,进一步发展数形结合意识和应用意识,初步建立几何直观.
从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,进一步发展空间观念.
一、《标准》要求
1.探索并理解平面直角坐标系及其应用.
2.在研究确定物体位置等过程中,进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.
3.结合实例进一步体会用有序数对表示物体的位置.
4.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出直角坐标系;在给定的直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
5.在实际问题中,能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置.
6.对给定的正方形,会选择合适的直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会用坐标刻画一个简单图形.
7.在平面上,能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
8.在直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
二、教材分析
“图形与坐标”是“图形与几何”领域的重要组成部分,它是发展学生空间观念的重要载体.作为第一、二学段“图形与位置”的发展,本章是第三学段“图形与坐标”的主体内容,将引领学生感受确定物体位置方法的多样性,抽象出平面直角坐标系的概念,进而利用平面直角坐标系确定物体的位置,并从坐标的角度描述学习过的轴对称图形,进一步认识轴对称.同时,平面直角坐标系是表示变量之间关系的重要工具,因此本章是以后学习“一次函数”的重要基础.
本章首先结合学生的生活实际,选择了丰富多彩、形式多样的确定位置的现实背景,力图使学生感受平面上确定位置的共同特征:不管用什么方法确定位置,都需要两个数据.然后,通过实际背景认识确定位置的一个常用方法,引入平面直角坐标系,建立直角坐标系中的点与坐标之间的一一对应关系,学习根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标,同时能建立适当的直角坐标系刻画图形上各点的位置.最后,在同一个直角坐标系里,探索图形的变化(轴对称)与坐标的变化之间的关系.
【重点】
1.确定物体位置的方法.
2.认识和画出直角坐标系,在给定的直角坐标系中,能够根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.
3.探索坐标变换与图形变换的关系.
【难点】
1.灵活运用各种方法确定物体的位置.
2.认识图形与坐标的关系.
3.正确确定坐标变换与图形变换的关系,进一步发展空间观念和审美意识.
1.结合实际创造性地选用现实题材进行教学.
教学中要立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验,创造性地选用现实生活中的有关题材,丰富教学内容,生活中,确定位置的方法是多样的,有点定位、区域定位、极坐标定位、直角坐标定位等.教科书从学生熟悉的情境出发,选取了“电影院中找座位”“航海中找目标”“地图上确定城市的位置”等素材,教学中教师既可以利用教科书上已有的题材,也可以根据本地的生活实际和学生的认知实际,选取更为贴近学生的教学素材(如确定学校的位置、校园中旗杆的位置、学生在班级的位置等),鼓励学生用自己的方式来确定位置.
2.恰当把握教学重点与要求.
教学中应让学生充分经历确定物体位置的活动过程,在过程中体会到:不管用什么方法来确定一个物体在平面上的位置,都需要两个数据.要引导学生理解轴对称与坐标变化之间的联系,形成对图形变
换的整体认识,进一步发展学生的数形结合意识、空间观念,建立几何直观.
3.恰当运用多种教学手段.
本章的教学需要大量的坐标纸、地图等材料,课前的准备是必需的.同时,建议有条件的地区使用计算机进行动态演示,以保证教学的效果.
1　确定位置
1课时
2　平面直角坐标系
3课时
3　轴对称与坐标变化
1课时
回顾与思考
1课时
1　确定位置
1.要求学生在现实情境中感受物体定位的多种方法.
2.初步学会根据实际情况找出具体的位置.
3.能较灵活地运用不同的方式对物体定位.
4.能了解在平面上确定物体位置的方法的统一性:都需要两个数据.
1.通过现实事例,让学生了解到位置的重要性,引导学生进入新课.
2.使学生置身情境中,研究物体的位置,对位置形成初步的认识.
3.引导学生探索确定物体位置的方法.
4.通过讨论交流等方式给学生讲解例题,掌握确定物体位置的方法.
5.让学生经历探索、操作等过程,在实践中体会和掌握如何运用各种方法来确定物体的位置.
6.通过课后练习、讨论交流等方式组织学生小结本课,回忆和巩固知识.
1.通过现实生活中的有关题材,使学生体会生活中位置的确定离不开数据,数学与生活有着密切关系.
2.使学生在合作与交流的过程中获得情感体验,培养学生的合作意识.
【重点】　
1.使学生能在具体的情境中,根据行和列确定并描述物体的位置.
2.能了解在平面上确定物体位置的方法:一般需要两个数据.
【难点】　能灵活运用不同方式准确确定物体的位置.
【教师准备】　教材情境图,带磁力的方格板和黑白棋.布置学生收集两张废旧电影票,准备学生尺、量角器.
【学生准备】　按教师的布置收集两张废旧电影票,准备学生尺、量角器.
导入一:
　　[过渡语]　同学们,你们知道秦始皇兵马俑吗?
【问题】　秦始皇兵马俑在什么位置呢?你能告诉我陕西省西安市的位置吗?
[设计意图]　通过上述图片,引导学生感受生活中常常需要确定位置.导入新课:怎样确定位置呢?
导入二:
【问题】　在数轴上,确定一个点的位置需要几个数据呢?
【答】　一个,例如,若A点表示-2,B点表示3,则由-2和3就可以在数轴上找到A点和B点的位置.
总结得出结论:在数轴上, 确定一个点的位置一般需要一个数据.
　　[过渡语]　在平面内,又如何确定一个点的位置呢?请同学们根据生活中确定位置的实例,谈谈自己的看法.
一、探究
(1)在电影院内如何找到电影票上所指的位置?
(2)在电影票上,“3排6座”与“6排3座”中的“6”的含义有什么不同?
(3)如果将“3排6座”记作(3,6),那么“6排3座”如何表示?(5,6)表示什么含义?
[设计意图]　较好地体现数学的现实性,有利于学生良好数学观的形成.
(4)在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据?
(5)在生活中,确定物体的位置还有其他的方法吗?与同伴进行交流.
[设计意图]　及时总结学生的经验,并要求学生自主寻找生活中的定位问题,进而可以选用学生所举的例子开展下面的教学活动,这样的课才是生动的,交互的.
结论:生活中常常用“排数”和“座数”来确定位置.
二、学有所用
下表中是无序排列的汉字,小明拿到一张写有密码的字条,你能帮他破译吗?
结论:生活中常常用“行数”和“列数”来确定位置.
三、例题讲解
　下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1 cm表示20 n mile).对我方潜艇O来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
[设计意图]　本例用方位角和距离刻画两个物体的相对位置,实际上,这就是极坐标定位.当然,这里并不严格地介绍极坐标,而是意在渗透极坐标的思想.
解:(1)对我方潜艇来说,北偏东40°的方向上有两个目标:敌舰B和小岛.
要想确定敌舰B的位置,仅用北偏东40°的方向是不够的,还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离.
(2)距我方潜艇20 n mile的敌舰有两艘:敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据:距离和方位角.例如,对我方潜艇来说,敌舰A在正南方向,距离为20 n mile处;敌舰B在北偏东40°的方向,距离为28 n mile处;敌舰C在正东方向,距离为20 n mile处.
结论:生活中常常用“方位角”和“距离”来确定位置.
四、做一做
(1)据新华社报道,2008年5月12日14:28,我国四川省发生里氏8.0级强烈地震,震中位于阿坝州汶川县境内,即北纬31°,东经103.4°.这是新中国成立以来破坏性最强、波及范围最大的一次地震.你能在图中找到震中的大致位置吗?
[设计意图]　这是根据经纬度来确定位置的.
结论:生活中常常用“经度”和“纬度”来确定位置.
(2)如图所示的是广州市地图简图的一部分,如何向同伴介绍“广州起义烈士陵园”所在的区域?“广州火车站”呢?
[设计意图]　这种确定位置的方法属于区域定位.生活中没有绝对的点,为了寻找点的方便,常将点框定在一定的区域内.
结论:生活中常常用“区域定位”来确定位置.
五、议一议
(1)你能举出生活中需要确定位置的例子吗?与同伴进行交流.
(2)在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据?
结论:在平面内,确定一个物体的位置一般需要2个数据.
若设这两个数据分别为a和b,则:
a表示:排数、行数、经度、方位……
b表示:座数、列数、纬度、距离……
[知识拓展]　确定平面上的点的方法很多,不管采用哪种方法,平面内确定位置都需要两个量,特别是用一对数表示位置时,应该注意数是有顺序的.顺序不同表示点的位置就不同.
1.在现实情境中感受了确定物体位置的多种方式,并能灵活运用不同方式确定物体的位置.
2.在数轴上,确定一个点的位置一般需要一个数据.
在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据.
若设这两个数据分别为a和b,则:
a表示:排数、行数、经度、方位……
b表示:座数、列数、纬度、距离……
1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是 (　　)
A.3楼5号　　　　B.北偏西40°
C.解放路30号 D.东经120°,北纬30°
解析:在平面中,确定物体的位置一般需要两个数据,B选项只有一个数据,故不能确定物体的位置.故选B.
2.海事救灾船前去救援某海域失火轮船,需要确定 (　　)
A.方位角　　　　　　　B.距离
C.失火轮船的国籍 D.方位角和距离
解析:在海上确定物体的位置一般需要方位角和距离.故选D.
3.如图所示,“马”所处的位置为(2,3),其中“马”走的规则是沿着“日”字形的对角线走.
(1)用坐标表示图中“象”的位置是　　　　;?
(2)写出“马”下一步可以到达的所有位置,并在图中标出.
解析:(1)结合图形写出即可.(2)根据网格结构找出与“马”现在的位置成“日”字的点,然后写出即可.
解:(1)(5,3)
(2)如图所示,(1,1),(3,1),(4,2),(4,4),(1,5),(3,5).
1　确定位置
1.在平面内,确定一个点的位置一般需要两个数据.
2.生活中常见的几种确定位置的方式.
(1)用“排数”和“座数”.
(2)用“行数”和“列数”.
(3)用“经度”和“纬度”.
(4)用“方位”和“距离”.
(5)用区域定位.
一、教材作业
【必做题】
教材第56页随堂练习.
【选做题】
教材第57页习题3.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法:①数轴上的每一个点的位置都可以用一个数来确定;②平面内任何一个点的位置都可以用一个数来确定;③若用两个数表示平面内一个点的位置,则(2,3)和(3,2)表示的是同一个点的位置.其中正确的有 (　　)
A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个
2.如图所示的是某学校的平面示意图,如果用(2,5)表示校门的位置,那么图书馆的位置如何表示?图中(10,5)表示哪个地点的位置?
【能力提升】
3.小明家在学校的北偏东30°方向,距学校1000 m处,则学校在小明家的什么位置?
【拓展探究】
4.如图所示,一只甲虫在10×10的网格(每一格边长为1)上沿着网格线运动,它从C处出发想去看望A,B,D,E处的其他甲虫,规定其行动为:向下向左走为正,向上向右走为负,如果从C到B记为:C→B(+5,+2)(第一个数表示左、右方向,第二个数表示上、下方向).
(1)C→D(　　　　),C→A(　　　　),D→　　　　(+5,-6),E→D(　　　　,-4);?
(2)若这只甲虫的行走路线是C→A→B→D→E,请计算该甲虫走过的路程;
(3)这只甲虫去P点处的行走路线为(-2,+2)→(+3,-4)→(-4,+2)→(+7,+3),请在图上标出P点的位置,想一想,有没有简便的计算方法?
【答案与解析】
1.B(解析:只有①正确.)
2.解:图书馆的位置表示为(2,9).图中(10,5)表示旗杆的位置.
3.解:南偏西30°方向,距小明家1000 m处.
4.解:(1)(+2,+4)　(+7,-2)　A　+5　(2)由题意可知:甲虫所走过的路程为7+2+4+2+2+3+4+5=29.　(3)标点P的位置略.简便的计算方法为:左、右方向:(-2)+(+3)+(-4)+(+7)=4,上、下方向:(+2)+(-4)+(+2)+(+3)=3,由此可知自点C处出发,向左走4格,向下走3格就到P点处.
本节内容与现实生活联系紧密,学生在生活中经常能遇到相关的知识,因此在教学时建议尽量让学生参与进来.学生在亲身体验中学习知识,加深印象,并培养认真的学习态度.在教学中要让学生有条理地思考和表达.在确定位置的活动中,学生不仅自己要明白物体的位置,而且要能有条理地向别人表述.这种表达可以反映学生的表达水平、有关知识的掌握程度和空间观念.
在确定位置的方法中渗透了“极坐标”的思想,只要学生能直观地理解就行,不需要深入理解此概念.
可以让学生多注意生活中需要确定位置的地方,发现身边的公共设施或广告中定位不清的问题.让他们在生活中学习,并明白知识源于生活的道理.
随堂练习(教材第56页)
1.解:答案不唯一.如:青年之家餐厅在A1区;水阁云天在B1区;工人疗养院在C2区.
2.解:(1)按照图中的表示数字,“将”在第9行第5列,“帅”在第1行第5列.　(2)第7行第4列.
习题3.1(教材第57页)
1.解:先确定北京等四个城市的位置,估计它们的经纬度.然后按照要求,在经度线或纬度线上寻找符合要求的城市.
2.解:(1)“经五纬一”在广播大厦旁边的十字路口.
(2)从“经七纬五”出发,经过“经六纬五”到达“经五纬一”的路线不唯一.例如,“经七纬五”“经六纬五”“经五纬五”“经五纬三”到达“经五纬一”或“经七纬五”“经六纬五”“经六纬三”“经六纬一”到达“经五纬一”.　(3)“华美达广场”位于“经六路”与“纬三路”的十字路口附近.
平面内确定物体的位置时应注意:
(1)用行列定位法表示平面内某点的位置必须有两个数据,缺一不可.
(2)经纬定位法既适合在球面上定位,也适合在平面上定位,利用地理学上的经纬度来确定物体的位置的定位方法,指明一点的经度和纬度就可以确定物体在地球上的位置.
(3)弄清区域定位法中字母及数字分别表示的含义,依照已知建筑物的表示方法表示建筑物的位置.
(4)用直角坐标系定位法确定一个物体的位置也需要两个数据,一个是横坐标,另一个是纵坐标,两者缺一不可(下节课讲).
(5)用一对数表示位置时要注意这对数是有顺序的,一般先写横格所表示的数,再写竖格所表示的数(简称“先横后纵”).
　如图所示,李老师家在2街与2巷的十字路口附近,如果用(2,2)→(2,3)→(2,4)→(3,4)→(4,4)→(5,4)表示李老师从家到学校上班的一条路径,请你用同样的方式写出由家到学校的另外一种路径.
解:答案不唯一,如:(2,2)→(3,2)→(4,2)→(5,2)→(5,3)→(5,4).
2　平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系.
2.能建立适当的坐标系,描述物体的位置.
3.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.
1.通过两个找点、连线、观察、确定图形的大致形状的问题,使学生能在给定的直角坐标系中根据坐标描出点的位置,进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.
2.通过讨论交流的方式讲解例题.学生掌握根据已知条件建立适当的坐标系来描述物体位置的方法.
1.培养学生发现问题和主动探索的能力.在与同伴的合作交流中,培养学生的责任心.
2.培养学生细致、认真的学习习惯.
3.通过教学,向学生渗透“数形结合”的数学思想,并培养学生将实际问题抽象为“数学模型”的能力.
【重点】
1.能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
【难点】
1.理解平面内的点与有序数对之间的一一对应关系.
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
第课时
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.
2.认识并能画出平面直角坐标系.
3.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.
1.从现实情境入手,感受建立平面直角坐标系的必要性,然后抽象出平面直角坐标系的相关概念.
2.通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识.
由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实生活的密切联系,让学生认识数学与生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
【重点】　学生能正确画出平面直角坐标系,并能在平面直角坐标系中,根据定义写出给定点的坐标,以及根据坐标描出点的位置.
【难点】　理解坐标和平面上的点的一一对应的关系,体会数形结合思想.
【教师准备】　多媒体课件,画图工具,教材图3 - 4,3 - 5,3 - 6的情境图.
【学生准备】　画图工具,方格纸.
导入一:
同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?
下面给出一张某市旅游景点的示意图,在科技大学的小亮如何给来访的朋友介绍该市的几个风景点的位置呢?
尽可能给出简洁的表示方法,并与同伴交流.
大成殿:　　　　;?
中心广场:　　　　;?
碑林:　　　　.?
[设计意图]　试图通过介绍景点回顾前一节中确定位置的方法,体会不同的介绍方法中的共性——一般需要两个数据.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,结合以前学过的知识,请根据示意图,回答问题.
你是怎样确定各个景点的位置的?
[处理方式]　学生口答完成,对于回答不完整的由学生补充改正!教师引导性地进行语言说明,在数轴上我们能够用一个数字来表示点的坐标,那么平面内能否用一个数来表示景点的具体的位置呢?既复习了旧知识,又为下面用类比的方法学习新知识做铺垫.此处学生回答的方法多种多样,只要合理即可,还有没有更好的方法,进而提出问题.一一感受建立平面直角坐标系的必要性.
[设计意图]　通过播放图片,调动学生的热情,既复习回顾了旧知识,又激发起进一步学习的兴趣,吸引学生的注意力,用类比的方法学习平面直角坐标系,为学习新知识进行铺垫.引导学生猜想、探索,鼓励学生积极思考,调动学习积极性,并在活动中培养学生的探究、合作、交流的能力.
　　[过渡语]　生活中到处都是确定物体位置的问题,谁能用学过的知识完成下面的做一做呢?
一、做一做(一)
(1)小红在旅游示意图上画上了方格,标上数字,如图(1)所示,并用(0,0)表示科技大学的位置,用(5,7)表示中心广场的位置,那么钟楼的位置如何表示?(2,5)表示哪个地点的位置?(5,2)呢?
(1)　　　　　　　　　　(2)
按照小红的方法,(5,2)中的2表示　　　　,(2,5)中的2表示　　　　.?
(2)如果小亮和他的朋友在中心广场,并以中心广场为“原点”,做了如图(2)所示的标记,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?(通常将(0,0)点称为原点)
　　[过渡语]　在上一节课,我们已经学习了许多确定位置的方法,对于这个问题,大家看用哪种方法比较合适?
如果城市比较大,地图还需要向右上方扩展,你能类似地表示右上部分其他点的位置吗?
[设计意图]　以方格纸为背景,可以方便地利用有序数对描述各景点的位置.生活中用两个距离表示位置时,一般不用负数,而直角坐标系中的坐标是可正可负的,为此,设计了本问题.
二、相关概念
思路一:
给出定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点.
如图所示,对于平面内任意一点 P,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a,b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点 P 的坐标.
如图所示,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
思路二:
活动内容1:认识平面直角坐标系.
　　[过渡语]　请同学们打开教材第59页,结合自学提纲阅读课本例1之前的部分内容,并将重点内容标注出来.
(多媒体展示)
问题1
什么是平面直角坐标系?简称什么?两条数轴如何放置?如何称呼?方向如何确定?它们的交点叫什么?
问题2
坐标轴将平面分为哪几个部分?它们的名称分别是什么?坐标轴上的点属于哪个部分?
问题3
在方格纸上画出平面直角坐标系.
问题4
象限是怎样划分的?
[处理方式]　给学生5~8分钟的时间先结合自学提纲自学课本,然后根据自己的理解在方格纸上画出平面直角坐标系,并标出各部分名称.学生之间相互提问解答.最后找学生代表发言,教师要求学生尽量不看课本,对于问题1和问题2,学生根据课本内容回答应该问题不大,但是此处教师应该补充正方向的确定不是唯一的,我们为了习惯,通常取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.对于数轴的名称,多找几位学生回答,最后教师强调画平面直角坐标系应注意:①两条数轴互相垂直;②原点重合;③标注两坐标轴名称;④单位长度一般取相同的.问题3直接要求学生在所画平面直角坐标系中标出各个象限的名称,并引导学生得出坐标轴上的点不在任何一个象限内.
(多媒体出示,同时给学生1分钟时间改正反思,查找错误的原因)
　　注意:坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在横轴上又在纵轴上.
在上图建立的平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成四个部分(按逆时针方向)分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.
[设计意图]　平面直角坐标系的产生是法国数学家迪卡尔的伟大发现,里边涉及的概念很难引导学生自己得出,因此可以通过自学的方式让学生掌握这些知识,培养学生自学能力、合作交流能力,体现学生主动学习的理念,对学生进行数学文化方面的熏陶和理想教育.培养作图能力和对概念的进一步认识,强化理解.
活动内容2:点的坐标的定义.
(多媒体出示)
问题1
直角坐标系内,如何根据点的位置确定点的坐标?写出A点的坐标(如图(1)所示).
问题2
在平面直角坐标系内,如何根据点的坐标确定点的位置?找出坐标为(2,4)的C点(如图(2)所示).
[处理方式]　给学生3~4分钟的时间自学课本,然后根据自己的理解,写出A点的坐标,然后同桌比较写出的答案是否一样.找出不同的原因,然后再一次自学课本,小组内讨论得出正确答案:A(3,4).教师引导学生说明怎样得到点A的坐标,例如:①过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说A点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4).②用直角三角板中的直角,使直角顶点落在点A上,并且保证两条直角边与坐标系中x轴和y轴垂直,一条直角边通过x轴上的坐标是3,另一条直角边通过y轴上的坐标是4,所以点A的坐标记作A(3,4).这些方法都可以得到点的坐标,此处学生容易出现错误,教师强调有序数对的横坐标在前,纵坐标在后,教师可以引导学生编顺口溜,利于学生理解辨别(平面直角坐标系,两条数轴来唱戏,一个点,两个数,先横后纵再括号,中间隔开用逗号).然后教师在平面直角坐标系中画出B点,要求学生写出点B的坐标,并板书在黑板上,学生讲评更正.对于问题2如何根据坐标找到平面上的点,学生独立思考,在方格纸上已经画好的平面直角坐标系中找出点C(2,4),组内探索交流后回答,并在黑板上演示,教师强调坐标要写在点旁边,书写格式要正确.
(多媒体出示,同时给学生2分钟时间查缺补漏,查找错误的原因)
[设计意图]　以上两个问题的解决,是本节课的核心环节,教师的讲解配以多媒体的直观演示,能更好地突破难点,将枯燥的知识趣味化,同时,采用独立、对学、小组合作学习等多种形式相结合的学习方式,提高学生的学习兴趣,并及时地做练习,让学生将知识转化成自身的技能,注意到自己独立做题时所出现的错误,从而更好地实现本节课的教学目标.
　　[过渡语]　请同学们利用上面的知识,探究下面的例题.
三、例题讲解
(教材例1)写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
解:各个顶点的坐标分别是:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).
[设计意图]　本课时的重点是通过坐标更好地理解平面直角坐标系的思想,认识到坐标与点的一一对应关系.例1和下面的“做一做”分别让学生“根据点的位置写出它的坐标”“根据坐标描出相应的点”,在此基础上进一步感受坐标与点的对应关系.
四、做一做(二)
(1)在下图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).
(2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形?
(3)在平面直角坐标系中,点与实数对之间有何关系?
【问题解决】　(1)图略.
(2)图形像“飞机”.
(3)在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[设计意图]　第(3)问是建立在例1和“做一做”前两问的基础上的,让学生经历根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标的过程,体会平面上的点与有序实数对之间是一一对应的关系.
结论:在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[知识拓展]　由于平面直角坐标系中的点是用一个有序实数对来表示的,所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系.点(a,b)(a≠b)与点(b,a)一般是不同的两个点,在描点时应注意.
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴.铅直的数轴叫做y轴或纵轴.x轴和y轴统称坐标轴.它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.如图所示,两坐标轴把平面分成四个部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.
1.如果P点的坐标为(-1,2),那么P点的横坐标为　　　　,纵坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:-1　2
2.如果Q点的坐标为(2,-3),那么Q点的横坐标为　　　　,纵坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:2　-3
3.如果M点的横坐标为-2,纵坐标为-1,那么M点的坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.故填(-2,-1).
4.如图所示,分别写出点A,B,C,D,E,F,G的坐标.
解:A(-1,-1),B(0,-3),C(2,-5),D(4,-1),E(3,2),F(-2,3),G(2,-2).
第1课时
1.做一做(一).
2.相关概念.
3.例题讲解.
4.做一做(二).
一、教材作业
【必做题】
教材第61页习题3.2第1,2题.
【选做题】
教材第61页习题3.2第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)在 (　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.点P(2,3)的横坐标为　　　　,纵坐标是　　　　.?
【能力提升】
3.点P(0,-3)的位置是在 (　　)
A.x轴的正方向上 B.x轴的负方向上
C.y轴的正方向上 D.y轴的负方向上
4.已知P(3,-2),则P点到x轴的距离为　　　　,到y轴的距离为　　　　.?
5.已知A点在x轴上,且OA=3,则A点的坐标为　　　　.?
6.已知A(-1,4),B(-4,4),则线段AB的长为　　　　.?
【拓展研究】
7.在图中的直角坐标系中描出下列各点.
A(2,3),B(-2,3),C(0,-4),D(-2,0),E(-3,-1),F(3,-2).
【答案与解析】
1.B(解析:由象限的定义可知点P(-2,3)在第二象限.故选B.)
2.2　3
3.D(解析:横坐标为0,在y轴上,纵坐标为负数,在负半轴上.)
4.2　3(解析:点到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值.)
5.(3,0)或(-3,0)(解析:A点在x轴上,OA=3,则A点在O点的左侧或右侧,所以A点的坐标有两个.)
6.3(解析:根据A(-1,4),B(-4,4)得AB平行于x轴,线段AB的长为A,B两点横坐标差的绝对值.)
7.解:根据点的坐标描出即可.图略.
本节课是在上一节的基础之上引入平面直角坐标系的概念,探究点和有序实数对的关系,学生在观察中总结出点的坐标与点在坐标系中的位置的关系,得出在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.总之,结论的得出都是以问题为载体,通过学生观察、思考得出来的规律性的知识.
由于平面直角坐标系是新概念,学生掌握起来有一定的难度,练习不够多,难免有学生掌握不好. 在解决问题时,不少学生还有无从下手的感觉.
适当增加练习,照顾各个层次的学生的需要.在时间允许的情况下,对平面直角坐标系在其他方面的应用加以扩充.
随堂练习(教材第60页)
解:(1)教学楼(2,4),实验楼(3,-3),图书馆(-3,3).　(2)图略.学生公寓在图书馆下面6格,实验楼左面6格的地方.
习题3.2(教材第61页)
1.解:B(0,5),A(5,2),E(3,-4),D(-3,-4),C(-5,2).
2.解:(1)A(3,8),L(6,7),N(9,5),P(9,1), E(3,5).　(2)(4,7)代表C,(5,5)代表F,(2,5)代表D.
3.解:答案不唯一,以大长方形的左下角的顶点为坐标原点建立坐标系:这五个儿童所在的位置坐标分别为D(2,5),E(7,1),A(7,5),C(7,8),B(11,5).
4.解:画图略.游乐园的坐标为(-7,2),映月湖的坐标为(-4,-4),碑林的坐标为(8,1).
　在如图所示的平面直角坐标系中描出A(-1,0),B(5,0),C(2,3),D(0,3)四点,并用线段将A,B,C,D四点依次连接起来,得到一个什么图形?你能求出它的面积吗?
〔解析〕　把A,B,C,D四点描出来,再依次连接起来,得到一个梯形,根据面积公式可求得梯形的面积.
解:如图所示,得到一个梯形,S梯形ABCD=12×(2+6)×3=12.
第课时
1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.
2.知道不同象限内点的坐标的特征.
3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识.
1.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展学生的数形结合思想,培养学生的合作交流能力.
2.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程,进一步培养学生的转化意识.
通过生动有趣的教学活动,发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度,提高学生学习数学的兴趣.
【重点】　体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识.
【难点】　认识坐标轴上的点、各象限内点的坐标特征.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　画图工具,方格纸若干张.
导入一:
　　[过渡语]　上节课我们学习了平面直角坐标系,请同学们在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在建坐标系时要注意哪些问题?
生:应注意标明正方向即箭头,标明x轴和y轴,还应标明单位长度.
师:在你所建的坐标系中标出象限,思考每个象限具有怎样的特点.并指出下列各点所在象限或坐标轴:A(-1,-2.5),B(3,-4),C-14,5,D(3,6),E(-2.3,0),F0,23,G(0,0).
生:A点在第三象限,B点在第四象限,C点在第二象限,D点在第一象限,E点在x轴上,F点在y轴上,G点在坐标原点上.
[设计意图]　复习回顾上节课所学的平面直角坐标系,并考察了学生对于象限内点的坐标特点以及坐标轴上点的坐标特点的掌握情况.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,相信你们对十字绣一定不陌生吧!你知道绣十字绣时怎样从图纸中找到符号给十字绣画格吗?
这些漂亮的十字绣蕴含哪些数学知识呢?这节课我们从数学的角度来探讨一下这个问题.(板书课题)
[设计意图]　激趣引课,意在调动学生学习的积极性.
为了更好地解决本节课的问题,请同学们思考以下问题:(多媒体出示下列问题)
1.平面直角坐标系的定义.
2.x轴,y轴上点的坐标的特点.
3.平行于x轴或平行于y轴的点的坐标特点.
4.指出下列各点所在象限或坐标轴:A(-1,-2.5),B(3,-4),C(-4,5),D(3,6),E(-2.3,0),F(0,2),G(0,0).
5.若点P(x-2,y+3)在x轴上,则y=　　　　;若在y轴上,则x=　　　　;若在原点,则x=　　　　,y=　　　　.?
[设计意图]　巩固所学知识,同时为探索新知识提供载体.
(教材例2)　在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.
(1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5);
(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3).
观察所描出的图形,它像什么?根据图形回答下列问题.
(1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点?
(2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的坐标有什么特点?线段EC上其他点的坐标呢?
(3)点F和点G的横坐标有什么共同特点?线段FG与y轴有怎样的位置关系?
解:连接起来的图形像“房子”,如图所示.
(1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都等于0;线段AB上的点都在y轴上,它们的横坐标都等于0.
(2)线段EC平行于x轴,点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3.
(3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行.
[设计意图]　本题创设了一个相对轻松、有趣的情境,使学生进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上点的坐标特征,平行于x轴、y轴的直线上点的坐标特征.
【议一议】　在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有什么特点?
【问题解决】　坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0,即横轴上的点的纵坐标是0,纵轴上的点的横坐标是0.
【做一做】　如图所示的是一个笑脸.
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点.
(2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.
(3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限.
[设计意图]　力图引领学生探索同一象限内点的坐标的特征.
【问题解决】　(1)第一象限内的点的坐标有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(5,2)等,它们的横坐标与纵坐标都是正实数.
(2)第二象限内的点的坐标有:(-1,1),(-1,2),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-5,2)等,它们的横坐标是负实数,纵坐标是正实数.
第三象限内的点的坐标有:(-1,-1),(-3,-3)等,它们的横坐标与纵坐标都是负实数.
第四象限内的点的坐标有:(1,-1),(3,-3)等,它们的横坐标是正实数,纵坐标是负实数.
(3)点A(1,2)在第一象限,点B(-1,-3)在第三象限,点C(2,-1)在第四象限,点D(-3,4)在第二象限.
总结:各个象限内的点的坐标特征是怎样的?
第一象限(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-).
[知识拓展]　根据点的坐标符号的情况可以确定点的位置;反之,也可以根据点的位置确定点的符号情况.坐标轴上的点不属于任何象限.
对于点P(a,b),用字母表示坐标.
若点P在第一象限,则a>0,b>0;
若点P在第二象限,则a<0,b>0;
若点P在第三象限,则a<0,b<0;
若点P在第四象限,则a>0,b<0.
1.位于x轴上的点的坐标的特征是:纵坐标为0;位于y轴上的点的坐标的特征是:横坐标为0.
2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是:纵坐标相等,横坐标不相等;与y轴平行的直线上点的坐标的特征是:横坐标相等,纵坐标不同.
1.若点P(m+1,m+3)在y轴上,则m=　　　　.?
解析:因为点P(m+1,m+3)在y轴上,所以横坐标为0,即m+1=0,m=-1.故填-1.
2.已知点P(a,b)在第四象限,则Q(b,a)在　　　　.?
解析:因为点P(a,b)在第四象限,所以a>0,b<0,所以Q(b,a)在第二象限.故填第二象限.
3.点P在第二象限内,P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为 (　　)
A.(-4,3)　　　　B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P在第二象限内,点P到x轴的距离是4,所以点P的纵坐标为4,又点P到y轴的距离是3,所以点P的横坐标为-3.所以点P为(-3,4).故选C.
4.已知点P(a,b)在第三象限,且|a|=3,|b|=4,那么点P的坐标为 (　　)
A.(-4,-3) B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P(a,b)在第三象限,所以它的横、纵坐标均为负,所以a=-3,b=-4.故选B.
5.如图所示,在平面直角坐标系中,P(-1,1),PQ∥y轴,线段PQ的长为3,求点Q的坐标.
解:由PQ∥y轴可知点Q在点P的正上方或正下方.
当点Q在点P的正上方时,Q(-1,4);当点Q在点P的正下方时,Q(-1,-2).
第2课时
1.教材例2
2.做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第63页随堂练习.
【选做题】
教材第64页习题3.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点(-3,8)所在的象限是 (　　)
A.第一象限　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中,点(0,-10)在 (　　)
A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上
3.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各组内的点,并用线段依次连接起来.
(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);
(2)(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3);
(3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(1,5),(2,5),(0,2),(3,2),(3,0);
(4)(3.5,9),(5,7),(4,7),(6,5),(5,5),(7,2),(4,2),(4,0),(3,0).
观察所得的图形,你觉得它像什么?
【能力提升】
5.若点P(m+5,m-2)在x轴上,则m=　　　　;若点Q(m+5,m-2)在y轴上,则m=　　　　.?
6.已知点A(-3,2),点B(1,4).
(1)若CA平行于x轴,BC平行于y轴,则点C的坐标是　　　　;?
(2)若CA平行于y轴,BC平行于x轴,则点C的坐标是　　　　.?
7.已知线段AB=3,AB∥x轴,若A点坐标为(-1,2),则B点坐标是　　　　.?
【拓展探究】
8.科学探测活动中,探测人员发现目标在如图所示的阴影区域内,则目标的坐标可能是 (　　)
A.(-3,300)
B.(7,-500)
C.(9,600)
D.(-2,-800)
9.已知坐标平面内点A(-2,4),如果将坐标系向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,那么点A变化后的点A'的坐标为　　　　.?
【答案与解析】
1.B(解析:横坐标为负,纵坐标为正,在第二象限.)
2.D(解析:横坐标为0,纵坐标为负,在y轴的负半轴上.)
3.B(解析:横坐标为负,纵坐标为x2+1,恒大于等于1,在第二象限.)
4.解:如图所示,图形像一栋“房子”,旁边还有一棵“大树”.
5.2　-5(解析:点P在x轴上,纵坐标为0,即m-2=0,m=2.点Q在y轴上,横坐标为0,即m+5=0,m=-5.)
6.(1)(1,2)　(2)(-3,4)(解析:(1)CA平行于x轴,C点的纵坐标和A点相同,BC平行于y轴,点C的横坐标和B点相同.(2)CA平行于y轴,点C的横坐标和A点相同,BC平行于x轴,点C的纵坐标和B点相同.)
7.(2,2)或(-4,2)(解析:AB∥x轴,A点坐标为(-1,2),则B点纵坐标和A点相同,线段AB=3,在A左侧和右侧分别有一个点符合要求.)
8.B(解析:阴影区域在第四象限,只有点(7,-500)在第四象限.)
9.(1,2)(解析:坐标系向左平移相当于点向右平移,坐标系向上平移相当于点向下平移,所以本题可以看做坐标系不动,点A向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度.)
本课时利用平面直角坐标系,描出图形,然后寻找各个象限内的点的特征,紧跟练习,加以巩固和提高.
教材中的练习较少,由于是新知识,可能有学生
不够熟练,以至于影响以后的学习.
设计分层的练习题,照顾到更多的学生,为后续课程奠定良好的基础.
随堂练习(教材第63页)
解:(1)描点略.像一棵树.　(2)在坐标轴上的点有:(0,3),(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0).　(3)其中点(2,5),(4,3),(1,3),(3,3)在第一象限,点(1,-6)和(3,-6)在第四象限,其余各点不属于任何象限;是根据点的横、纵坐标的符号判定的.　(4)答案不唯一,如:点(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0)都在x轴上,它们的纵坐标都等于0,点(0,3),(4,3),(1,3),(3,3)都在平行于x轴的同一条直线上,它们的纵坐标相等,都等于3.
习题3.3(教材第64页)
1.解:(1)如图(1)所示,图形像字母“M”.　(2)如图(2)所示,图形像字母“W”.
2.解:(1)点的坐标答案不唯一,在第一象限内的点的坐标符号(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).　(2)点的坐标答案不唯一,与x轴平行的线段上的点的纵坐标相等,与y轴平行的线段上的点的横坐标相等.
3.解:(1)A(6,3),B(3,6),C(-2,6),D(-5,3),E(-5,-2),F(-2,-5),G(3,-5),H(6,-2).
(2)找点的答案不唯一,在平行于x(y)轴直线上的点的纵(横)坐标相等.
　已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(0,2),(0,0),(3,1),在直角坐标系中画出图形并写出第四个顶点的坐标.
〔解析〕　已知平行四边形的三个顶点来确定第四个顶点,应该考虑三种情况.
解:如图所示,第四个顶点的坐标有三种情况:
(3,3),(3,-1),(-3,1).
第课时
1.能结合所给图形的特点,建立适当的坐标系,写出点的坐标.
2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
3.经历建立坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识.
通过多角度的探索,灵活选取简便易懂的方法解决问题,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力.
1.通过学习建立直角坐标系的多种方法,让学生体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习兴趣,感受数学在生活中的应用,增强学生的数学应用意识.
2.通过“寻宝”游戏,让学生认识数学与生活的密切联系,提高他们学习数学的兴趣.
【重点】　根据实际问题建立适当的坐标系,并能写出各点的坐标.
【难点】　根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
【教师准备】　坐标纸,多媒体课件.
【学生准备】　方格纸若干张.
导入一:
复习:(1)如何建立平面直角坐标系?说一说各个象限内点的坐标特征.
(2)如图(1)所示,求出A,B,C,D,E,F的坐标.
(3)在直角坐标系中,设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如图(2)所示的“十”字.
注:选取的坐标系不同,得出的坐标也不同.
导入二:
　　[过渡语]　前面我们学习了平面直角坐标系的相关知识,请利用所学知识回答下面的问题.
(多媒体出示问题)
【问题】　请写出图中各点的坐标.
[处理方式]　在多媒体课件中出示图形与问题,给学生留出一分钟时间审题、做题,由学生举手回答,通过此问题的复习,引入新课.
[设计意图]　由复习引入,从学生已有的知识经验入手,在熟悉中提出新问题,激发学生的求知欲,通过写出直角坐标系中点的坐标,复习所学知识并启发学生的思维,为下面的学习做好铺垫.
　　[过渡语]　如果给出一个平面图形,要想写出图形中一些点的坐标,必须建立直角坐标系,而直角坐标系如何建立?建立方法是否唯一呢?今天我们一起学习:平面直角坐标系——建立适当的直角坐标系(板书课题).首先我们一起学习例3.
(教材例3)如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.
师:在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立直角坐标系,那么应如何选取直角坐标系呢?请大家思考.
生1:如下图所示,以点C为坐标原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
由CD的长为6,CB长为4,可得A,B,C,D的坐标分别为A(6,4),B(0,4),C(0,0),D(6,0).
生2:如下图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
师:这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点,矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴,建立直角坐标系的.这样建立直角坐标系的方式还有两种,即分别以A,B为原点,矩形两邻边所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.除此之外,还有其他方式吗?
生1:有,如下图所示,以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点,平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A,B,C,D的坐标分别为A(3,2),B(-3,2),C(-3,-2),D(3,-2).
生2:把上图中的x轴逐渐向上或向下移动,y轴向左或向右移动,则可得到不同的坐标系,从而得到A,B,C,D四点的不同坐标.
师:从刚才我们讨论的情况看,大家能发现什么?
生:建立直角坐标系有多种方法.
(教材例4)对于边长为4的等边三角形ABC(如左下图所示),建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐标.
解:如图所示,以边BC所在的直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由等边三角形的性质可知AO=23,等边三角形ABC各个顶点A,B,C的坐标分别为A(0,23),B(-2,0),C(2,0).
师:等边三角形的边长已经确定是4,它一边上的高是不是会因所处位置的不同而发生变化呢?
生:不会,只是位置变化,而长度不会变.
师:除了上面的直角坐标系的选取外,是否还有其他的选取方法?
生:有……
师:你认为怎样建立适合的直角坐标系?
[设计意图]　体会同一图形在不同坐标系中的位置不同,关键点的坐标也不同.培养学生综合应用知识解决问题的能力.
注意:确定坐标系时,要看点的位置,同时要看此点到坐标轴的距离,而距离往往需要进行计算.
　　[过渡语]　同学们,既然我们已经学会建立平面直角坐标系来确定点的位置了,那么下面我们一起去“寻宝”吧!
【议一议】　在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到“宝藏”?与同伴进行交流.
[设计意图]　这个情境具有一定趣味性和探究性,这样可以大大激发学生的思维,增强学生的学习兴趣,使学生进入快乐的学习中来,提高学生学习的积极性和主动性,同时引导学生进入新课的学习.
[处理方式]　(1)学生分组讨论如何找到宝藏.(2)让每组选一名代表发言,阐述本组讨论的结果.(3)师生共同完成“寻宝”.
[设计意图]　通过小组讨论活动,让学生理解坐标系的特点,并能应用特点解决问题.培养学生逆向思维的习惯以及勇于探索、团结协作的精神.
[知识拓展]　根据点的坐标的符号特征可以判定点的位置,反之,也可以根据点在直角坐标系中的位置判断其坐标符号的情况.
本节通过学习建立直角坐标系的多种方法,体验数学活动充满着探索与创造,不同的坐标系,对于同一个图形,点的坐标是不同的.
建立不同的平面直角坐标系,同一个图形,同一个点可以用不同的坐标表示,在实际应用中,以坐标简单容易计算为前提.
1.如图所示,在一次军棋比赛中,如果团长所在的位置的坐标为(2,-4),司令所在的位置的坐标为(4,-1),那么工兵所在的位置的坐标为　　　　.?
解析:根据团长所在位置的坐标为(2,-4),司令所在位置的坐标为(4,-1),可确定直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置,得出工兵所在位置的坐标.故填(1,-1).
2.某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A,B,C,D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标.
解:答案不唯一,可以以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系.
第3课时
1.教材例3.
2.教材例4.
3.议一议.
一、教材作业
【必做题】
教材第66页习题3.4第1,2,3题.
【选做题】
教材第66页习题3.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的是A,B,C,D四位同学的家所在位置,若以A同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系,那么C同学家的位置的坐标为(1,5),则B,D两同学家的坐标分别为 (　　)
A.(2,3),(3,2)　　　　B.(3,2),(2,3)
C.(2,3),(-3,2) D.(3,2),(-2,3)
2.如图所示,若“帅”位于点(1,-2)上,“相”位于点(3,-2)上,则“炮”位于点　　　　.?
3.星期天,小王、小李、小张三位同学相约到文化广场游玩,出发前,他们每人带了一张利用平面直角坐标系画的示意图(如图所示),其中行政办公楼的坐标是(-4,3),南城百货的坐标是(2,-3).
(1)图中省略了平面直角坐标系,请根据上述信息,画出这个平面直角坐标系;
(2)写出图中体育馆、升旗台、北部湾俱乐部、盘龙苑小区、国际大酒店的坐标;
(3)小王、小张两人到了升旗台附近,这时还没看到小李,于是打电话问小李的位置,小李说他现在位置的坐标是(-2,-2),请在图中用字母A标出小李的位置.
【能力提升】
4.如图所示,若点E的坐标为(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为　　　　.?
【拓展研究】
5.在平面直角坐标系中,点A的坐标(-3,4),点B的坐标是(-1,-2),点O为坐标原点,求ΔAOB的面积.
6.如图所示,正方形ABCD的边长为10,连接各边的中点E,F,G,H得到正方形EFGH,请你建立适当的坐标系,分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.
【答案与解析】
1.D(解析:建立正确的平面直角坐标系,然后确定B,D两家的坐标.)
2.(-2,1)(解析:由“帅”位于点(1,-2),“相”位于点(3,-2),确定平面直角坐标系,再找到“炮”的位置,写出它的坐标.)
3.解:(1)建立平面直角坐标系如图所示.　(2)体育馆(-9,4),升旗台(-4,2),北部湾俱乐部(-7,-1),盘龙苑小区(-5,-3),国际大酒店(0,0).
(3)小李的位置是如图所示的A点.
4.(1,2)
5.解:ΔAOB的面积是5.
6.解:答案不唯一,如:以EG所在直线为x轴,以FH所在直线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A(-5,-5),B(5,-5),C(5,5),D(-5,5),E(-5,0),F(0,-5),G(5,0),H(0,5).
例题的设计是这节课的一个亮点,通过实际的练习,学生认识到平面直角坐标系的用途和需要注意的地方,通过不同的平面直角坐标系,对同一个图形、同一个顶点用不同坐标来表示,加强了学生的认识和理解.
由于练习比较少,不少学生对平面直角坐标系理解不透彻,利用不够熟练.
设计不同的情境,让学生自己建立平面直角坐标系,写出点的坐标,然后再进一步地练习.
随堂练习(教材第66页)
解:答案不唯一.可以以四角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(6,0),B(2,2),C(0,6),D(-2,2),E(-6,0),F(-2,-2),G(0,-6),H(2,-2).
习题3.4(教材第66页)
1.(2,1)
2.解:答案不唯一,如图所示,建立直角坐标系,各顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(4,4),C(0,4).
3.提示:如图所示,连接AB,作AB的垂直平分线Ox,垂足为D,则Ox为x轴,向右为正方向,在射线DO上截取DO=AB,过O作Oy⊥Ox,则Oy为y轴(竖直向上为正方向),由此可确定出(3,3)的位置C.
4.解:建立如图所示的平面直角坐标系,A(-1,3),B(-2,0),C(-1,-3),D(1,-3),E(2,0),F(1,3).
5.解:答案不唯一.如果以八角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(7,0),B(5,5),C(0,7),D(-5,5),E(-7,0),F(-5,-5),G(0,-7),H(5,-5).如果以八角星的左下角顶点为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(12,5),B(10,10),C(5,12),D(0,10),E(-2,5),F(0,0),G(5,-2),H(10,0).同一点在两个坐标系中的坐标之间的关系是:第二种情况的横坐标、纵坐标比第一种情况都大5.
　已知菱形两条对角线的长分别为6和8,建立适当的直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:设菱形ABCD,AC=8,BD=6,则以AC所在的直线为x轴,BD所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,那么点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,-3),点C的坐标是(4,0),点D的坐标是(0,3).(答案不唯一)
　正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系,写出各顶点的坐标 .
〔解析〕　正方形的四个角都是直角,四条边相等,对角线相等且互相垂直平分.因此,本题的解法很多.
解:答案不唯一,如图(1)所示,A(0,2),B(2,2),C(2,0),O(0,0);
如图(2)所示,A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),D(-1,-1);
如图(3)所示,A(-2,2),B(0,2),D(-2,0),O(0,0);
如图(4)所示,A(-2,0),B(0,2),C(2,0),D(0,-2).
3　轴对称与坐标变化
1.在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系.
2.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程,发展思维能力和数形结合意识.
经历探究图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌握空间与图形的基础知识和基本技能,培养学生的探索能力.
1.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维.
2.通过对图形的研究,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲,使学生积极参与数学学习活动.
3.通过“轴对称与坐标变化”,让学生体会数学活动充满着探索性与创造性.
【重点】　经历图形坐标变化与图形轴对称变换之间关系的探索过程,明确图形坐标变化与图形轴对称变换之间的关系.
【难点】　由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程,发展形象思维能力和数形结合意识.
【教师准备】　画图工具,课件.
【学生准备】　画图工具.
导入一:
在前几节课中,我们学习了平面直角坐标系的有关知识.现在我们会画平面直角坐标系;能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;在给定的直角坐标系下,会根据坐标描出点,由点的位置写出它的坐标.
我们知道点的位置不同写出的坐标就不同,反过来,不同的坐标确定不同的点.如果坐标中的横(纵)坐标不变,纵(横)坐标按一定的规律变化,或者横、纵坐标都按一定的规律变化,那么图形是否会变化?变化的规律是怎样的?这是本节课中我们要研究的问题.
导入二:
如图所示的是小刚的脸,如果用(-1,2)表示他的左眼,用(0,0)表示嘴,那么右眼的位置应如何表示?
探索关于两个坐标轴对称的图形的坐标关系
1.在如图所示的平面直角坐标系中,第一、二象限内各有一面小旗.
两面小旗之间有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐标又有什么特点?其他对应点的坐标也有这个特点吗?
2.在y轴右边的坐标系内任取一点,做出这个点关于y轴对称的点,看看两个点的坐标有什么样的关系,说说其中的道理.
3.如果关于x轴对称呢?在这个坐标系中作出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系?
4.关于x轴对称的两点,它们的横坐标　　　　,纵坐标　　　　;?
关于y轴对称的两点,它们的横坐标　　　　,纵坐标　　　　.?
[设计意图]　通过图形的变化,体会七年级学过的轴对称变换和直角坐标系中的坐标变换的特征.
(教材例题)(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0),你得到了一个怎样的图案?
(2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接所得各点,你会得到怎样的图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢?
(3)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
【师生活动】　学生小组合作交流,教师引导学生通过动手画图得到上述问题的结论.
解:(1)依次连接各点得到的图案如下图所示,它像一条小鱼.
(2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0),依次连接这些点,所得图案及原图案如下图所示,它们关于y轴对称.
(3)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(5,-4),(3,0),(5,-1),(5,1),(3,0),(4,2),(0,0),依次连接这些点,观察所得的图案,它与原图案关于x轴对称.
【思考】　若横坐标、纵坐标都分别乘-1,再将所得的点用线段依次连接起来,则所得的图案(如图所示)与原来的图案相比有什么变化?
[设计意图]　通过形象的图案,让学生进一步体会坐标变化与图形变化的关系.
[知识拓展]　关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的两个点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同.
关于原点对称的两个点的坐标,它们的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(-x,y).
2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(x,-y).
3.关于原点对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(-x,-y).
1.点A(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是　　　　.?
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变.故填(2,3).
2.点B(-2,1)关于y轴对称的点的坐标是　　　　.?
解析:关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变.故填(2,1).
3.点(4,3)与点(4,-3)的关系是 (　　)
A.关于原点对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.不构成对称关系
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变;关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变.故选B.
4.点(m,-1)和点(2,n)关于 x轴对称,则 mn等于 (　　)
A.-2　　　B.2　　　C.1　　　D.-1
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变,则m=2,n=1,mn=2.故选B.
5.(1)若mn=0,则点P(m,n)必定在　　　　　上;?
(2)已知点P(a,b),Q(3,6),且PQ∥x轴,则b的值为　　　　.?
解析:(1)mn=0,m=0或n=0,点P(m,n)必定在坐标轴上;(2) PQ∥x轴,P(a,b),Q(3,6)两点纵坐标相同,则b=6.
答案:(1)坐标轴　(2)6
6.点A在第一象限,当m为　　　　时,点A(m+1,3m-5)到 x轴的距离是它到y轴距离的一半.?
解析:点A在第一象限,则横、纵坐标均为正,点A(m+1,3m-5)到 x轴的距离是它到y轴距离的一半,所以m+1=2(3m-5),所以m= 115.故填115.
7.已知A,B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:
①A,B关于x轴对称;②A,B关于y轴对称;③A,B关于原点对称;④A,B之间的距离为4.
其中正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变;关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于原点对称,横、纵坐标均互为相反数.故选B.
8.一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反射后经过点B(1,0),则光线从A点到B点经过的路线长是 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:点A(3,3)关于y轴对称的点为C(-3,3),BC的长就是光线从A点到B点经过的路线长,构造直角三角形,运用勾股定理计算.故选B.
3　轴对称与坐标变化
1.引例.
2.例.
一、教材作业
【必做题】
教材第69页习题3.5第1,2题.
【选做题】
教材第70页习题3.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在直角坐标系中,ΔAOB的顶点O和B的坐标分别是O(0,0),B(6,0),且∠OAB=90°,AO=AB,则顶点A关于x轴的对称点的坐标是 (　　)
A.(3,3)　　　　　　B.(-3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
2.点M的坐标是(-3,4),则点M关于y轴的对称点的坐标是　　　　,关于x轴的对称点的坐标是　　　　,关于原点的对称点的坐标是　　　　,点M到原点的距离是　　　　.?
【能力提升】
3.ΔABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出ΔABC关于x轴对称的ΔA1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)作出ΔABC关于原点对称的ΔA2B2C2,并说出顶点坐标变化的特征.
4.在如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD的各顶点的坐标分别是A(0,0),B(2,5),C(9,8),D(12,0),求出这个四边形的面积.
【拓展探究】
5.如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.
如图所示,在直角坐标系中,ΔABO的顶点A,B,O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0).点列P1,P2,P3……中的相邻两点都关于ΔABO的一个顶点对称:
点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称……对称中心依次分别是A,B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2,P7,P100的坐标.
【答案与解析】
1.C
2.(3,4)　(-3,-4)　(3,-4)　5
3.解:(1)画图略,点A1的坐标是(-2,-3).　(2)画图略,关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数.
4.提示:62.5.
5.解析:通过作图可知6个点一个循环,那么P7的坐标和P1的坐标相同,P100的坐标与P4的坐标一样,通过图中的点可很快求出.
解:作P1关于A点的对称点,即可得到P2(1,-1),由题意知6个点一个循环,故P7的坐标与P1的坐标一样,P100的坐标与P4的坐标一样,所以P7的坐标为(1,1),P100的坐标为(1,-3).
通过本节课的学习,经历坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系的探索过程, 掌握空间与图形的基础知识和基本技能,丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲.学生能积极参与数学学习活动,积极交流合作,体验数学活动充满着探索与创造性.
以前学过的轴对称知识个别学生可能有些遗忘,致使理解不好,掌握不够扎实.
事先一定要准备好坐标纸等,提高学习效率. 在开始设计复习轴对称的知识和题目,在复习中引入新课,新旧结合,减少遗忘带来的麻烦.
习题3.5(教材第69页)
1.解:ΔDEF与ΔABC关于y轴对称,它们相应顶点的横坐标互为相反数,纵坐标相等;ΔPMN与ΔABC关于x轴对称,它们相应顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
2.解:找出点A,B,C关于x轴对称的点A1,B1,C1,连接A1B1,B1C1,C1A1,得到ΔA1B1C1,ΔA1B1C1与ΔABC关于x轴对称;找出点A1,B1,C1关于y轴对称的点A2,B2,C2,连接A2B2,B2C2,C2A2,得到ΔA2B2C2,ΔA2B2C2与ΔA1B1C1关于y轴对称.画图略.
3.提示:各个顶点的坐标分别为I(-6,0),A(6,0),M(0,-6),E(0,6),G(-3,3),C(3,3),O(3,-3),K(-3,-3),H(-2,1),B(2,1),P(2,-1),J(-2,-1),F(-1,2),D(1,2),N(1,-2),L(-1,-2).特点略.
4.提示:利用关于坐标轴对称的点的规律作图.
复习题(教材第71页)
1.解:(1)A(-4,0).　(2)B(0,4).　(3)C(-4,4).
2.解:点(0,a)在纵轴的正半轴上;点(b,0)在横轴的正半轴上.
3.提示:答案不唯一,可以以长方形左下角的顶点为坐标原点,过这个顶点的两边所在的直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.此时四个顶点的坐标分别为(0,0),(8,0),(8,6),(0,6).
4.解:画图略.(1)这个图案与原图案关于y轴对称.
(2)这个图案与原图案关于x轴对称.
6.解:画图略.(1)所得图案与原图案关于y轴对称.
(2)所得图案与原图案关于x轴对称.
7.解:可能,如本身关于y轴对称的图形.
8.解:如图所示.交流略.
9.解:(1)与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等,与y轴平行的直线上的点的横坐标相等.　(2)若a,b同号,则点P(a,b)在第一或第三象限;若a,b异号,则点P(a,b)在第二或第四象限.
13.提示:可以根据轴对称的意义来完成,也可以根据轴对称的点的坐标特征来完成.
14.解:分别过B,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F,则E,F的坐标分别为(3,0),(14,0),则S四边形ABCD=SΔABE+S梯形BEFC+SΔCFD.因为SΔABE=12AE·BE=12×3×6=9,S梯形BEFC=12(BE+CF)·EF=12(6+8)×11=77,SΔCFD=12FD·CF=12×2×8=8,所以S四边形ABCD=9+77+8=94.
1.教学解读.
学生的知识技能基础:学生已学习了运用多种方法确定物体的位置,使学生感受到了丰富的确定位置的现实背景;系统学习了平面直角坐标系的基本概念,能在平面直角坐标系中准确地表示物体的位置,清楚地认识了点和坐标之间的对应关系;能确定点的坐标及根据坐标描点,进而连线形成图形.
学生的活动经验基础:学生有了一定的合作学习的基础及学习能力,教学中要安排一定的合作交流与自主学习的机会,加强学生之间的交流.
2.重难点突破.
对称点的坐标变化规律:对称点的坐标情况可以简记为:关于横轴对称,则“横不变,纵相反”;关于纵轴对称,则“纵不变,横相反”;关于原点对称,则“全相反”.
　如图所示,在平面直角坐标系中,求三角形ABO的面积.
解:过A,B分别向x轴、y轴作垂线AE,BN,NB与EA的延长线相交于M点.
SΔOAB=S正方形OEMN-SΔOAE-SΔOBN-SΔABM=9-12×3×2-12×3×1 -12×2×1=9-3-1.5-1=3.5.
　如图所示,在ΔAOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求ΔAOB的面积.
解:SΔAOB=S四边形ABNO-SΔBON=12×2×4+12×(2+4)×4-12×6×2=4+12-6=10.
1.在现实情境中体会确定位置的不同方式与方法,感受确定位置的方法的多样性.
2.掌握利用直角坐标系确定位置的方法.
3.会用平面直角坐标系来解决一些简单的实际问题.
通过复习,进一步加深对平面直角坐标系的认识,并会解决一些简单的实际问题.
通过总结回顾全章知识,提升归纳总结能力,感受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.
【重点】　平面直角坐标系的相关概念及性质.
【难点】　利用平面直角坐标系解决实际问题.
确定位置确定物体位置的方法灵活运用不同的方法确定物体的位置平面直角坐标系直角坐标系的概念建立适当的直角坐标系描述物体的位置轴对称与坐标变化“鱼”的各种变化方式坐标变化与图形变换的关系
专题一　平面直角坐标系
【专题分析】
平面直角坐标系是学习数学的重要工具,学好它尤为重要,在这个专题中,需要掌握的是:平面直角坐标系的概念,四个象限的点的坐标的特征,坐标轴是四个象限的分界线,不属于任何象限,在坐标轴上点的坐标的特征:在x轴上,纵坐标为0,在y轴上,横坐标为0,原点是两条坐标轴的公共点,坐标为(0,0).
　如图所示,P1,P2,P3这三个点中,在第二象限内的有 (　　)
A.P1,P2,P3　　　　B.P1,P2
C.P1,P3 D.P1
〔解析〕　P1在第二象限,P2在y轴上,不属于任何象限,P3在x轴上,不属于任何象限.故选D.
【针对训练1】　点P(m,1)在第二象限内,则点Q(-m,0)在 (　　)
A.x轴正半轴上　　　　B.x轴负半轴上
C.y轴正半轴上 D.y轴负半轴上
〔解析〕　第二象限点的坐标符号为(-,+),点P(m,1)在第二象限内,所以m<0,则-m>0,点Q(-m,0)的纵坐标为0,所以点Q(-m,0)在x轴正半轴上.故选A.
[方法归纳]　在平面直角坐标系中,四个象限的点的坐标符号为:第一象限(+,+), 第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).在x轴上,纵坐标为0,在y轴上,横坐标为0,原点坐标为(0,0).
专题二　用坐标表示位置
【专题分析】
用坐标表示位置,需要我们根据特殊点的坐标建立适当的坐标系,然后找到所需要的地点的坐标.
　如图所示,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),则“兵”位于点 (　　)
A.(-1,1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(1,-2)
〔解析〕　由“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),可得直角坐标系的原点,则可建立平面直角坐标系,得到“兵”位于点(-3,1).故选C.
[方法归纳]　根据已知点的坐标寻找坐标原点是解这类题目的关键,找到原点,建立直角坐标系,再找到需要的点的坐标.
【针对训练2】　如图所示的是某学校的平面示意图,在10×10的正方形网格中(每个小方格都是边长为1的正方形),如果分别用(3,1),(3,5)表示图书馆和教学楼的位置,那么实验楼的位置应表示为　　　　.?
〔解析〕　由(3,1),(3,5)表示的位置确定直角坐标系,再找到实验楼的位置.故填(-3,4).
专题三　数形结合思想
【专题分析】
本章涉及的数学思想主要是数形结合思想,简单地说,数形结合,就是通过代数来解决几何问题,代数问题能通过几何图形来表示和解决,平面直角坐标系就是这两者的有机结合,在平面直角坐标系中,我们画出图形,通过代数的方法,来解决各种问题,包括以后学到的函数等,本章中涉及得比较简单,主要有在平面直角坐标系中表示点的坐标,用点的坐标表示图形的变换,求某些特殊图形的面积等.
　如图所示,若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标分别变为原来的12,横坐标不变,则点A的对应点的坐标是 (　　)
A.(-4,3) B.(4,3)
C.(-2,6) D.(-2,3)
〔解析〕　在题图中,点A的坐标是(-4,6),横坐标不变,纵坐标变为原来的12后,纵坐标变为3.故选A.
【针对训练3】　如图所示,三角形ABC在直角坐标系中.
(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标;
(2)求三角形ABC的面积.
〔解析〕　明确坐标系的原点,分别找出各顶点的坐标即可,求三角形ABC的面积,可把求三角形的面积转化为求一个长方形面积与三个直角三角形面积差的问题.
解:(1)A(-1,-1),B(4,2),C(1,3).
(2)SΔABC=5×4-12×5×3-12×1×3-12×2×4=7.
[方法归纳]　掌握平面直角坐标系的特征是解决这类问题的关键,用代数的计算方法和表示方法表示点的坐标,表示线段的长,表示图形的面积和某些规律性的结论.
【针对训练4】　如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第二次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2013次运动后,动点P的坐标是　　　　,经过第2014次运动后,动点P的坐标是　　　　.?
〔解析〕　寻找规律:横坐标就是运动的次数,次数为偶数时纵坐标为0,次数为奇数时纵坐标为1,2循环.
〔答案〕　(2013,1)　(2014,0)
本章质量评估
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在平面直角坐标系中,已知点P(2,-3),则点P在 (　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在如图所示的直角坐标系中,点M,N的坐标分别为 (　　)
A.M(-1,2),N(3,1)
B.M(2,-1),N(3,1)
C.M(-1,2),N(1,3)
D.M(2,-1),N(1,3)
3.如图所示,长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿长方形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2012次相遇点的坐标是 (　　)
A.(2,0) B.(-1,1)
C.(-2,1) D.(-1,-1)
4.已知点P的坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标是 (　　)
A.(3,3) B.(3,-3)
C.(6,-6) D.(3,3)或(6,-6)
5.设点A(m,n)在x轴上,且位于原点的左侧,则下列结论正确的是 (　　)
A.m=0,n为一切实数
B.m=0,n<0
C.m为一切实数,n=0
D.m<0,n=0
6.在直角坐标系中,一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a(a>1),那么所得的图案与原图案相比 (　　)
A.形状不变,大小扩大到原来的a倍
B.图案向右平移了a个单位长度
C.图案向上平移了a个单位长度
D.图案向右平移了a个单位长度,并且向上平移了a个单位长度
7.已知点M (3,-4) ,在x轴上有一点B,B点与M点的距离为5,则点B的坐标为 (　　)
A.(6,0) B.(0,1)
C.(0,-8) D.(6,0)或(0,0)
8.点A(a,4),点B(3,b)关于x轴对称,则(a+b)2013的值为 (　　)
A.0　　　B.-1　　　C.1　　　D.72013
9.如果点A(m,n)在第二象限,那么点B(-m,|n|)在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.在平面直角坐标系中,孔明做走棋游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位长度,第2步向右走2个单位长度,第3步向上走1个单位长度,第4步向右走1个单位长度……依次类推,第n步的走法是:当n能被3整除时,则向上走1个单位长度;当n被3除余数是1时,则向右走1个单位长度,当n被3除余数为2时,则向右走2个单位长度,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是 (　　)
A.(66,34) B.(67,33)
C.(100,33) D.(99,34)
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.点P(-2,3)关于x轴对称的点P'的坐标为　　　　.?
12.点P(1,-2)关于y轴对称的点P'的坐标为　　　　.?
13.一只蚂蚁由点(0,0)先向上爬4个单位长度,再向右爬3个单位长度,再向下爬2个单位长度后,它所在位置的坐标是　　　　.?
14.在平面直角坐标系中,点A(2,m2+1)一定在第　　　　象限.?
15.点A(a,b)和点B关于x轴对称,而点B与点C(2,3)关于y轴对称,那么a=　　　　,b=　　　　,点A和点C的位置关系是　　　　.?
16.在电影院里7排5号可以用(7,5)表示,那么(6,2)表示的是　　　　排　　　　号.?
17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为　　　　.?
18.已知点M(a,-1)和N(2,b)不重合.
(1)当点M,N关于　　　　对称时,a=2,b=1;?
(2)当点M,N关于原点对称时,a=　　　　,b=　　　　.?
三、解答题(共58分)
19.(8分)在平面直角坐标系中,点A关于y轴的对称点为点B,点B关于x轴的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2),请你在给出的坐标系中画出ΔABC,设AB与y轴的交点为D,求SΔADOSΔABC的值;
(2)若点A的坐标为(a,b)(ab≠0),判断ΔABC的形状.
20.(8分)如图所示,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8),B(-11,6),C(-14,0),D(0,0).
(1)确定这个四边形的面积,你是怎么做的?(写出一种做法即可)
(2)如果把A,B,C,D各点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积又是多少?
21.(10分)如图所示,在直角坐标系中,RtΔAOB的两条直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的负半轴上,且OA=2,OB=1.将RtΔAOB绕点O按顺时针方向旋转90°,再把所得的三角形沿x轴正方向平移1个单位长度,得ΔCDO.
(1)写出点A,C的坐标;
(2)求点A和点C之间的距离.
22.(10分)如图所示,正方形ABCD的边长为10,连接各边的中点E,F,G,H得到正方形EFGH,请你建立适当的直角坐标系,分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.
23.(10分)在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC各个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2,3),B(5,4),C(8,2).
(1)试确定图中四边形OABC的面积;
(2)请作出四边形OABC关于x轴对称的图形.
24.(12分)(1)在平面直角坐标系中,将点A(-3,4)向右平移5个单位长度到点A1,再将点A1绕坐标原点顺时针旋转90°到点A2,求点A1,A2的坐标;
(2)在平面直角坐标系中,将第二象限内的点B(a,b)向右平移m个单位长度得到第一象限内的点B1,再将点B1绕坐标原点顺时针旋转90°到点B2,写出点B1,B2的坐标;
(3)在平面直角坐标系中,将点P(c,d)沿水平方向平移n个单位长度到点P1,再将点P1绕坐标原点顺时针旋转90°到点P2,写出点P2的坐标.
【答案与解析】
1.D(解析:因为横坐标为正,纵坐标为负,所以点P(2,-3)在第四象限.故选D.)
2.A(解析:本题利用了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键,四个象限点的坐标符号分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).)
3.D(解析:长方形的边长为4和2,因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍,时间相同,物体甲与物体乙的路程比为1∶2.由题意知:①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1,物体甲行的路程为12×13=4,物体乙行的路程为12×23=8,在BC边相遇;②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2,物体甲行的路程为12×2×13=8,物体乙行的路程为12×2×23=16,在DE边相遇;③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3,物体甲行的路程为12×3×13=12,物体乙行的路程为12×3×23=24,在A点相遇,此时甲、乙回到出发点,则每相遇三次,两点回到出发点.因为2012÷3=670……2,所以两个物体运动后的第2012次相遇点与第二次相遇点为同一点,即在DE边相遇,此时相遇点的坐标为(-1,-1).故选D.)
4.D(解析:因为点P到两坐标轴的距离相等,所以|2-a|=|3a+6|,所以a=-1或a=-4.当a=-1时,点P的坐标为(3,3);当a=-4时,点P的坐标为(6,-6).)
5.D(解析:因为点A(m,n)在x轴上,所以纵坐标是0,即n=0.又因为点A位于原点的左侧,所以横坐标小于0,即m<0,所以m<0,n=0.故选D.)
6.D
7.D(解析:过点M作MD⊥x轴于点D,则点D的坐标为(3,0).因为点M到x轴的距离为4,所以MD=4.又因为BM=5,所以由勾股定理得BD=BM2-DM2=52-42=3,所以点B的坐标为(6,0)或(0,0).故选D.)
8.B(解析:因为点A(a,4)与点B(3,b)关于x轴对称,所以a=3,b=-4,所以(a+b)2013=(3-4)2013=-1.)
9.A(解析:因为点A在第二象限,所以m<0,n>0,所以-m>0,|n|>0,因此点B在第一象限.)
10.C(解析:在1至100这100个数中:能被3整除的有33个,故向上走了33个单位长度;被3除余数为1的数有34个,故向右走了34个单位长度;被3除余数为2的数有33个,故向右走了66个单位长度.故总共向右走了34+66=100个单位长度,向上走了33个单位长度.所以走完第100步时所处位置的横坐标为100,纵坐标为33.故选C.)
11.(-2,-3)(解析:关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,所以点P(-2,3)关于x轴对称的点P'的坐标为(-2,-3).)
12.(-1,-2)(解析:关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,故点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标为(-1,-2).)
13.(3,2)(解析:一只蚂蚁由点(0,0)先向上爬4个单位长度,坐标变为(0,4),再向右爬3个单位长度,坐标变为(3,4),再向下爬2个单位长度,坐标变为(3,2),所以它所在位置的坐标为(3,2).)
14.一(解析:因为m2≥0,1>0,所以纵坐标m2+1>0,又因为点A的横坐标2>0,所以点A一定在第一象限.)
15.-2　-3　关于原点对称(解析:因为点A(a,b)和点B关于x轴对称,所以点B的坐标为(a,-b);因为点B与点C(2,3)关于y轴对称,所以点B的坐标为(-2,3),所以a=-2,b=-3,点A和点C关于原点对称.)
16.6　2
17.(3,5)(解析:因为正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,所以点C的横坐标为4-1=3,点C的纵坐标为4+1=5,所以点C的坐标为(3,5).)
18.(1)x轴　(2)-2　1(解析:两点关于x轴对称时,横坐标相等,纵坐标互为相反数;两点关于原点对称时,横、纵坐标都互为相反数.)
19.解:(1)如图所示,14.　(2)直角三角形.
20.解:(1)80,可分割成直角三角形和长方形求面积.(答案不唯一)　(2)80.
21.解:(1)点A的坐标是(-2,0),点C的坐标是(1,2).　(2)如图所示,连接AC,在RtΔACD中,AD=OA+OD=3,CD=2,∴AC2=CD2+AD2=22+32=13,∴AC=13.
22.提示:答案不唯一,如:以EG所在直线为x轴,以FH所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则A(-5,-5),B(5,-5),C(5,5),D(-5,5),E(-5,0),F(0,-5),G(5,0),H(0,5).
23.提示:(1)1412.　(2)略.
24.解:(1)∵将点A(-3,4)向右平移5个单位长度到点A1,∴点A1的坐标为(2,4),∵又将点A1绕坐标原点顺时针旋转90°到点A2,∴A2的坐标为(4,-2).　(2)根据(1)中的规律,得B1的坐标为(a+m,b),B2的坐标为(b,-a-m).
(3)分两种情况:①当把点P(c,d)沿水平方向向右平移n个单位长度到点P1时,P1的坐标为(c+n,d),P2的坐标为(d,-c-n);②当把点P(c,d)沿水平方向向左平移n个单位长度到点P1时,P1的坐标为(c-n,d),然后将点P1绕坐标原点顺时针旋转90°到点P2,则P2的坐标为(d,-c+n).