第二部分·刷题型
选填题(一)
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝2x－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2<0}，则( )
A．－1∈A B.?B
C．A∩(?RB)＝A D．A∪B＝A
答案 D
解析 因为A＝{y|y>－1}，B＝{x|－1
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1＋i，则＝( )
A．1＋i B．－＋i
C．－＋i D.－
答案 B
解析 由题知z2＝1－i，＝＝＝.
3．(2019·厦门模拟)《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C．1－ D．1－
答案 C
解析 设此三角形内切圆半径为r，由题意得r＝×(5＋12－13)＝2，所以豆子落在其内切圆外的概率是P＝1－＝1－.
4．上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污损而看不到了，则此框图中因被污损而看不到的内容的数学运算式应是( )
A．a＝a＋b B．a＝a×b
C．a＝(a＋b)n D．a＝a×bn
答案 B
解析 由题意a×b为2009＝2008＋1＝n＋1年生产总值，a×b×b为2010＝n＋1＋1年生产总值，……所以处理框内应填a＝a×b.
5．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案 B
解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.
6．等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于( )
A．1 B．2 C．9 D．10
答案 A
解析 由等差数列的性质得a1＋a10＝a5＋a6＝11.
所以(a1＋a10)2＝121，即a＋2a1a10＋a＝121，又a＋a＝101，所以a1a10＝10.
又因为数列{an}是递增数列，所以由
得a1＝1，a10＝10，公差d＝＝1.
7．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．36 B．48 C．64 D．72
答案 B
解析 由几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为×3×4×4＋×3×4×4＝48，故选B.
8．(2019·枣庄模拟)函数f(x)＝的图象可能是( )
答案 A
解析 因为f(0)＝＝0，所以排除B，D.因为f(1)＝>0，所以排除C，故选A.
9．已知a>0，x，y满足约束条约若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
答案 B
解析 由已知约束条件，作出可行域，如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.
10．已知π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数，则( )
A．πe<3e B．πlog3e>3logπe
C．3e－2π<3πe－2 D．logπe>log3e
答案 B
解析 对于A，∵函数y＝xe是(0，＋∞)上的增函数，且π>3，∴πe>3e，错误；对于B，πlog3e>3logπe?>?πln π>3ln 3?ππ>33，正确；对于C,3e－2π<3πe－2?3e－3<πe－3，而函数y＝xe－3是(0，＋∞)上的减函数，错误；对于D，logπe>log3e?>?ln π11. 如图，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝，所以＝，b2＝a，c2＝a2＋a＝9，得a＝2，a＝－(舍去)，所以e＝＝.
12．设函数g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cosx－sinx，若a>0，则g(x)极值的情况为( )
A．极小值是g(0)＝－a
B．极大值是g(0)＝a
C．极大值是g(a)＝－a3－sina
D．极小值是g(a)＝－a3－sina
答案 D
解析 ∵g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，(x－sinx)′＝1－cosx≥0，若a>0，则当x∈(－∞，0)时，x－a<0，x－sinx<0，∴g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，x－sinx>0，∴g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，x－sinx>0，∴g′(x)>0，g(x)单调递增．∴当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sina，故选D.
二、填空题
13．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋b)⊥(a－2b)，则λ＝________.
答案 3
解析 因为平面向量a，b的夹角为，
且|a|＝1，|b|＝2，
所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝4，
a·b＝|a||b|cos＝－1.
又因为(λa＋b)⊥(a－2b)，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝λ－(1－2λ)－8＝0.
解得λ＝3.
14．(2019·安徽黄山第三次质量检测)(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝________.
答案 2
解析 因为(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°，又tan45°＝＝1，所以tan25°＋tan20°＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°＝2.
15．(2019·天津和平区第三次质量调查)某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生的校本课程学分，统计如下表：
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
用s，s分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差，得s＝________，并由此可判断成绩更稳定的班级是________班．
答案 62 甲
解析 根据表中数据，计算甲班的平均数为1＝×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙班的平均数为2＝×(6＋7＋10＋23＋24)＝14，甲班的方差为s＝×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，乙班的方差为s＝×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，
∴s＜s，由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．
16．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋2＞1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
课件30张PPT。选填题(一)第二部分 刷题型本课结束选填题(七)
一、选择题
1．若复数z＝(x2＋x－2)＋(x＋2)i为纯虚数，则实数x＝( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或2
答案 A
解析 由已知得解得x＝1.
2．(2019·广西南宁模拟)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 C
解析 B＝{x|x＝，n∈A}＝{0,1，，，2}．所以A∩B＝{0,1,2}，其真子集个数为23－1＝7个，故选C.
3．随着经济水平及个人消费能力的提升，我国居民对精神层面的追求愈加迫切，如图是2007年到2017年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，图中显示2007年的同比增速约为10%，即2007年与2006年同时期比较2007年的人均消费支出费用是2006年的1.1倍．则下列表述中正确的是( )
A．2007年到2017年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用逐年增加
B．2007年到2017年，同比增速的中位数约为10%
C．2011年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高
D．2007年到2017年，同比增速的极差约为12%
答案 B
解析 A错误，因为2013年人均消费支出的费用减少；B正确，2007年到2017年，同比增速由小到大排序后依次是2013年、2008年、2014年、2009年、2017年、2012年、2010年、2007年、2016年、2015年、2011年，中位数约为10%；C错误，2011年只是增速最大；D错误，极差约为16%.
4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为( )
A．a是偶数？ 6 B．a是偶数？ 8
C．a是奇数？ 5 D．a是奇数？ 7
答案 D
解析 由已知可得，①处应填写“a是奇数？”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.
5．点P(x，y)为不等式组所表示的平面区域内的动点，则的最小值为( )
A．－ B．－2 C．－3 D．－
答案 D
解析 如图所示，不等式组
所表示的平面区域为图中阴影部分．由
可得故A(3，－1).的几何意义为直线OP的斜率，故当点P与点A重合时，直线OP的斜率最小，此时kOP＝kOA＝－.
6．已知数列{an}是等差数列，若Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an(n≥2)，且T2＝7，T3＝16，则an＝( )
A．n＋1 B．2n－1 C．3n－1 D．4n－3
答案 A
解析 设数列{an}的公差为d，由已知可得，T2＝2a1＋a2＝3a1＋d＝7，T3＝3a1＋2a2＋a3＝6a1＋4d＝16，解得a1＝2，d＝1，∴an＝n＋1.
7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|·cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．4 B．2 C. D.
答案 D
解析 该几何体的直观图，如图所示，其体积V＝×12×2＝.
9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝，则A＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为＝，
所以由正弦定理得＝.
又sinB≠0，
所以2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，
所以2sinCcosA＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又sinC≠0，所以cosA＝，A＝.
10．(2018·全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
答案 A
解析 设AB＝b，AC＝a，BC＝c，则a2＋b2＝c2，
SⅠ＝ab，
SⅢ＝π2－ab，
SⅡ＝π2＋π2－SⅢ
＝＋－＋ab
＝(b2＋a2－c2)＋ab＝ab，
所以SⅠ＝SⅡ，故p1＝p2.
11．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A．5 B. C. D.
答案 A
解析 根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形．
解法一：如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，
所以|PF2|＝2d＝8，
|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.故选A.
解法二：由于直线4x－3y＋20＝0的斜率为k＝，故tan∠PFF2＝，故sin∠PFF2＝，且|FF2|＝10，所以|PF2|＝8，|PF|＝6，由双曲线定义知|PF2|－|PF|＝2a＝2，故a＝1，e＝＝5，故选A.
12．(2019·吉林长春质量检测三)已如函数f(x)＝若x1≠x2，且f(x1)＋f(x2)＝2，则x1＋x2的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 C
解析 根据题意，画出分段函数f(x)的图象如右：
由函数图象及题意可知x1，x2不可能同时大于1，也不可能同时小于1.否则不满足
f(x1)＋f(x2)＝2，
不妨设x1＜1＜x2，则
f(x1)＋f(x2)＝3x1－2＋1＋ln x2＝3x1＋ln x2－1，
∵f(x1)＋f(x2)＝2，
∴3x1＋ln x2－1＝2，∴x1＝1－ln x2，x1＋x2＝1－ln x2＋x2＝1＋x2－ln x2(x2＞1)．
构造函数g(x)＝1＋x－ln x(x＞1)，
则g′(x)＝1－，
∵x＞1，∴3x＞3，∴0＜＜，
∴－＜－＜0，∴＜1－＜1，∴g′(x)＞0.
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)＞1＋1－ln 1＝2，∴x1＋x2＞2.故选C.
二、填空题
13．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.
答案
解析 ∵a3·a9＝a，∴a＝2a，设等比数列{an}的公比为q，因此q2＝2，由于q>0，解得q＝，
∴a1＝＝.
14．设函数f(x)＝已知f[f(x)]＝2，则x＝________.
答案 －1
解析 由f(x)＝2得x＝，
因为f[f(x)]＝2，所以f(x)＝，
所以或解得x＝－1.
15．如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________．
答案 6
解析 易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，
在直角三角形ABC中，AC＝，
在三角形AEC中，CE＝，
在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，
所以DE＝CEsin60°＝·
＝×＝6.
16．(2019·沈阳摸底考试)如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是⊙O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为________，异面直线AC与BD所成角的余弦值为________．
答案 2
解析 连接CD，则∠BCD＝90°，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD＝2.因为∠CBD＝30°，所以CD＝1，BC＝，易知AB⊥BC，所以AC＝＝，所以AB＝2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE ＝2，∠CAE即异面直线AC与BD所成的角．又CE＝＝，所以cos∠CAE＝＝＝.
课件35张PPT。选填题(七)第二部分 刷题型本课结束选填题(三)
一、选择题
1．设i为虚数单位，复数z＝的虚部是( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 B
解析 z＝＝＝－i，所以复数z的虚部为－，选B.
2．已知集合A＝{x|y＝ln x}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|1答案 A
解析 ∵A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝{x|03．(2019·山东日照5月校际联考)在平面直角坐标系xOy中，P是角α终边上的一点，则sin2α＝( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 设r为点P到坐标原点的距离，由三角函数定义得sinα＝＝，cosα＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝，故选B.
4．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r)·.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A. R B. R C. R D. R
答案 D
解析 由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)·，整理得＝.又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈ ，∴r＝αR≈ R.故选D.
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的n为( )
A．9 B．11
C．13 D．15
答案 C
解析 由程序框图可知，S是对进行累乘，直到S<时停止运算，即当S＝1×××××<时循环终止，此时输出的n＝13，故选C.
6．某班从3名男生和2名女生中任意抽取2名学生参加活动，则抽到2名学生性别相同的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 记3名男生为1,2,3,2名女生为a，b，从这5人中任取2人，有以下情况：{1,2}，{1,3}，{1，a}，{1，b}，{2,3}，{2，a}，{2，b}，{3，a}，{3，b}，{a，b}，共10种等可能的情况．其中性别相同的有4种，故所求概率P＝＝.
7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，且l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1中得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，
依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，
∴e＝，选A.
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
A. B. C．1 D．3
答案 D
解析 该几何体是四棱锥，其直观图如图所示，由题意得V四棱锥＝××(1＋2)×2x＝3，解得x＝3.
9．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为( )
A．250 B．200 C．150 D．100
答案 D
解析 因为an＋1＋(－1)n＋1an＝2，
所以a2＋a1＝2，
a4＋a3＝2，
a6＋a5＝2，
…
a100＋a99＝2.
以上50个等式相加可得，
数列{an}的前100项和为2×50＝100.
10．(2019·河南省鹤壁高中压轴二)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sinB＋2sinCcosA＝0，则△ABC面积的最大值为( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 A
解析 由正弦定理，得b＋2ccosA＝0，则b＋2c·＝0，即2b2＝a2－c2，所以cosB＝＝＝≥＝，当且仅当c2＝，b2＝，a2＝4时取等号，所以B∈，所以011．已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)
答案 B
解析 因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.
12．(2019·湖南湘潭摸底考试) 如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：
①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；
③曲线C所围区域的面积必小于36；
④曲线C的总长度不大于6π.
其中所有正确命题的序号为( )
A．①③ B．②③
C．③④ D．②③④
答案 B
解析 对于①，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错误；对于②，联立两个椭圆的方程，得
得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错误．故选B.
二、填空题
13．在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝________.
答案 －5
解析 设菱形ABCD的对角线交于点M，则＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－AC2＝－5.
14．若过曲线f(x)＝xln x上的点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标是________．
答案 (e，e)
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，∵f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
曲线f(x)＝xln x上点P处的切线斜率为2，
∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e.y0＝eln e＝e.
故点P的坐标为(e，e)．
15．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：
货物
体积(升/件)
重量(千克/件)
利润(元/件)
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下，获得的最大利润为________．
答案 62元
解析 设该货运员运送甲种货物x件，乙种货物y件，获得的利润为z元，则由题意得
即z＝8x＋10y，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z＝8x＋10y经过点(4,3)时，目标函数z＝8x＋10y取得最大值，zmax＝62，所以获得的最大利润为62元．
16．(2019·安徽皖江摸底考试)设函数f(x)＝6x2ex－3ax＋2a(e为自然对数的底数)，当x∈R时，f(x)≥0恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 6e
解析 ∵f(x)≥0，
∴6x2ex≥a(3x－2)，
令g(x)＝6x2ex，
y＝a(3x－2)，则
g′(x)＝6(2x＋x2)ex，
由g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，分别作出g(x)＝6x2ex，y＝a(3x－2)的图象，要使g(x)＝6x2ex的图象不在y＝a(3x－2)的图象下方，设切点P(x0，y0)，切线为y－y0＝k(x－x0)，即y－6xe＝6(x＋2x0)(x－x0)e，由切线过得，0－6x·e＝6(x＋2x0)e，∴x0＝0或－x0＝(x0＋2)，即x0＝0或x0＝1或x0＝－，由图象知0≤a≤g′(1)＝6e.故实数a的最大值为6e.
课件29张PPT。选填题(三)第二部分 刷题型本课结束选填题(二)
一、选择题
1．若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
答案 D
解析 因为z＝4＋3i，所以＝4－3i，|z|＝＝5，所以＝＝－i.
2．设集合A＝{x|x>1}，集合B＝{a＋2}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 由A∩B＝?可知a＋2≤1，所以a≤－1.
3．已知α是第二象限角，sin(π＋α)＝－，则tan的值为( )
A．2 B．－2 C. D．±2
答案 B
解析 因为sin(π＋α)＝－sinα＝－，所以sinα＝，
又因为α是第二象限角，
所以cosα＝－＝－，
所以tan＝＝＝＝－2.
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.＋1
答案 B
解析 由已知得＝2，所以e＝＝ ＝ ＝，故选B.
5．(2019·烟台高三诊断检测)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－1,0)时，f(x)＝e－x，则f＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由已知得f＝f＝f＝－f＝－e＝－.
6．执行如图所示的程序框图，如果输出的n＝2，那么输入的a的值可以为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 执行程序框图，输入a，P＝0，Q＝1，n＝0，此时P≤Q成立，P＝1，Q＝3，n＝1，此时P≤Q成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2.因为输出的n的值为2，所以应该退出循环，即P>Q，所以1＋a>7，结合选项，可知a的值可以为7，故选D.
7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A. 又f＝＝>1，f(π)＝＝>0，排除选项B，C.故选D.
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后在半球里挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由图可知，球的半径为2，则V＝πr3＝.故选A.
9．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆．全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束．一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，时间轴点所示，概率为P＝＝.
10．(2019·湖北八校联考)已知实数x，y满足
且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3 C. D.
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与点D(－5，0)的距离的平方，数形结合可知，点D(－5，0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.
11. 如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是( )
A．(10,12) B．(12,14)
C．(10,14) D．(9,11)
答案 A
解析 解法一：由题意得，抛物线W的准线l：x＝－1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，半径为5，故△PQC的周长为|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP.联立，得得A(4,4)，则xP∈(4,6)，故6＋xP∈(10,12)，故△PQC的周长的取值范围是(10,12)．故选A.
解法二：平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|＝5可知△PQC的周长趋于2×5＝10；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5可知△PQC的周长趋于2×(1＋5)＝12.综上，△PQC的周长的取值范围是(10,12)．故选A.
12．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a(a>0)，P为线段AD(含端点)上一个动点，设＝x，·＝y，对于函数y＝f(x)，给出以下三个结论：
①当a＝2时，函数f(x)的值域为[1,4]；
②对任意的a∈(0，＋∞)，都有f(1)＝1成立；
③对任意的a∈(0，＋∞)，函数f(x)的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0,0)，A(－2，0)，C(0，a)，D(－1，a)，＝(1，a)，因为＝x，故点P的坐标为(x－2，xa)，＝(2－x，－xa)，＝(2－x，a－ax)，所以y＝f(x)＝·＝(2－x)2－xa(a－xa)＝(1＋a2)x2－(4＋a2)x＋4(0≤x≤1)，对于①，当a＝2时，函数f(x)＝5x2－8x＋4的值域为，故错误；对于②，对任意的a∈(0，＋∞)，f(1)＝1＋a2－(4＋a2)＋4＝1，故正确；对于③，对任意的a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝(1＋a2)x2－(4＋a2)x＋4为二次函数，其图象开口向上，所以f(x)的最大值在端点处取得，又f(0)＝4>f(1)＝1，所以函数f(x)的最大值为4，故正确．故选B.
二、填空题
13．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则表中m的值为________．
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
答案 3
解析 由题意，得＝＝4.5，
＝＝，
所以＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝3.
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案 乙
解析 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，且sinC＝2sinB，则角A的大小为________．
答案
解析 由sinC＝2sinB得c＝2b.则a2－b2＝bc＝×2b2.即a2＝7b2.
则cosA＝＝＝.
又A∈(0，π)，∴A＝.
16．(2019·宁夏模拟)已知函数f(x)＝(x－m)2＋(ln x－2m)2，当f(x)取最小值时，则m＝________.
答案 －ln 2
解析 (x－m)2＋(ln x－2m)2可转化为点A(x，ln x)与B(m,2m)之间距离的平方，点A在函数y＝ln x的图象上，点B(m,2m)在直线y＝2x上，所以原问题转化为函数y＝ln x的图象上任意一点与直线y＝2x上任意一点距离最小问题，设直线y＝2x＋t与y＝ln x 相切于点P(x0，y0)，因为y′＝(ln x)′＝，所以＝2，故P，解方程组
得x＝－ln 2，即为所求的m值．
课件32张PPT。选填题(二)第二部分 刷题型本课结束选填题(五)
一、选择题
1．已知集合A＝{1,2，－2}，B＝{a，a2－3}，若A∩B＝{－2}，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 因为A∩B＝{－2}，所以－2∈B，所以a＝－2或a2－3＝－2，解得a＝±1或a＝－2，经检验a＝－1.
2．若复数z满足z(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－ B．－i C. D.i
答案 C
解析 z＝＝＝，其虚部是.
3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )
A．12 B．15 C．20 D．21
答案 A
解析 由题意得抽样比为＝，所以从初中生中抽取男生人数是2000×60%×＝12.
4．将双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2－y2＝4的“黄金三角形”的面积是( )
A.－1 B．2－2 C．1 D．2
答案 B
解析 ∵双曲线C的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(2，0)，(2,0)，(0,2)，
∴所求面积S＝×(2－2)×2＝2－2.故选B.
5．函数f(x)＝ex2－2x2的图象大致为( )
答案 A
解析 计算f(0)＝e0＝1，f(1)＝e－2≈0.72，f(2)＝e4－8，结合选项可知A正确．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k的值应为( )
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
答案 B
解析 执行题图所示的程序框图，
n＝1，S＝k，n<4是
n＝2，S＝k－＝，n<4是
n＝3，S＝－＝，n<4是
n＝4，S＝－＝，n<4否
输出S＝＝1.5.
所以k＝6.
7．设a＝20.1，b＝lg ，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c
答案 D
解析 因为a＝20.1∈(1,2)，b＝lg ∈(0,1)，c＝log3<0，故选D.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为( )
A. B. C. D．4π
答案 B
解析 由三视图可知，此几何体是四棱锥(如图所示)．
它的外接球与棱长为1的正方体的外接球的体积相同，设外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋12，R2＝，R＝，所以该几何体外接球的体积为πR3＝··＝.
9．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案 A
解析 ∵cos2＝＝，∴cosB＝＝，解得a2＋b2＝c2，则角C为直角，则△ABC的形状为直角三角形．
10．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接A1B，易知A1B∥D1C，故∠A1BE为异面直线BE与CD1所成的角．在△A1EB中，由余弦定理，
得cos∠A1BE＝
＝＝，故选C.
11．(2019·广西南宁第一次适应性测试)已知四棱锥M－ABCD中，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠BAD＝180°，MA＝2，BC＝2，∠ABM＝30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．20π B．22π C．40π D．44π
答案 C
解析 如图，因为∠BCD＋∠BAD＝180°，
所以A，B，C，D四点共圆，
∠ADC＝∠ABC＝90°，
由tan30°＝，得AB＝2，
所以AC＝ ＝6.设AC的中点为E，MC的中点为O，连接OE，则OE∥MA，因为MA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.易知点O为四面体MACD外接球的球心，而OC＝＝，∴S球＝4π·OC2＝40π.故选C.
12．已知函数f(x)＝＋sinx，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2018)＋f(－2018)＋f′(2019)－f′(－2019)＝( )
A．2 B．2019 C．2018 D．0
答案 A
解析 设g(x)＝，则g′(x)＝，
而g(－x)＝＝；g′(－x)＝＝，所以g(x)＋g(－x)＝2，g′(x)－g′(－x)＝0，又(sinx)′＝cosx，所以f(x)＋f(－x)＝g(x)＋sinx＋g(－x)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝g′(x)＋cosx－[g′(－x)＋cos(－x)]＝0，所以f(2018)＋f(－2018)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.
二、填空题
13．已知a＝(2,5t－1)，b＝(t＋1，－1)，若|a＋b|＝|a－b|，则t＝________.
答案 1
解析 解法一：因为a＝(2,5t－1)，b＝(t＋1，－1)，所以a＋b＝(t＋3,5t－2)，a－b＝(1－t,5t)，因为|a＋b|＝|a－b|，所以(t＋3)2＋(5t－2)2＝(1－t)2＋(5t)2，解得t＝1.
解法二：由|a＋b|＝|a－b|易知a⊥b，所以a·b＝0，即2(t＋1)－(5t－1)＝0，解得t＝1.
14．已知实数x，y满足约束条件且z＝x＋2y的最小值为3，则常数k＝________.
答案 －2
解析 画出可行域如图所示：
z＝x＋2y可化为y＝－＋，与直线y＝－平行，结合图形可知，当直线y＝－＋经过点A时，在纵轴上的截距取最小值，z取最小值．
解方程组得A(1，－k－1)．
所以zmin＝1＋2(－k－1)＝3，解得k＝－2.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－1，an≠0，anan＋1＝2Sn－1，则a2n＝________.
答案 2n＋1
解析 因为a1＝－1，anan＋1＝2Sn－1，所以a2＝3，当n≥2时，anan＋1－an－1an＝2an，又an≠0，所以an＋1－an－1＝2，所以数列{a2n}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2n＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
16．(2019·烟台摸底考试)函数f(x)＝
当λ＝5时，不等式f(x)<－1的解集是________；若函数f(x)的值域是R，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－4，－1)∪(8，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 当λ＝5时，
不等式f(x)<－1?
或解得－48.若函数f(x)的值域是R，则只要(x2＋λx＋3)min≤1，
记g(x)＝x2＋λx＋3(x≤2)，下面求g(x)的最小值．
由于二次函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝－，
∴当－<2，即λ>－4时，g(x)min＝g＝3－；
当－≥2，即λ≤－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋2λ.
因此，或
解得－4<λ≤－2或λ≥2或λ≤－4，
∴λ的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
课件29张PPT。选填题(五)第二部分 刷题型本课结束选填题(八)
一、选择题
1．设全集U＝，集合A＝{x|x－1>0}，则?UA＝( )
A．{－1,1} B．[－1,1)
C．[－1,1] D．(－1,1]
答案 C
解析 因为U＝{x|3x≥3－1}＝{x|x≥－1}，A＝{x|x>1}，所以?UA＝[－1,1]．
2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝( )
A．2 B．3
C．2 D．3
答案 A
解析 由题图可知，＝(－2，－1)，＝(0,1)，
∴z1＝－2－i，z2＝i，z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.故选A.
3．执行右面的程序框图，若输入a＝5，b＝2，则输出的i＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 执行程序框图如下：
a＝5，b＝2，i＝1，
a＝5＋0.5×5＝7.5，
b＝2×2＝4，a≤b否，i＝2.
a＝7.5＋0.5×7.5＝11.25，
b＝2×4＝8，a≤b否，i＝3.
a＝11.25＋0.5×11.25＝16.875，
b＝2×8＝16，a≤b否，i＝4.
a＝16.875＋0.5×16.875＝25.3125，
b＝2×16＝32，a≤b是，输出i＝4.
4．已知等差数列{an}的前7项和为21，且a8＝7，则数列的前10项和为( )
A．1024 B．1023 C．512 D．511
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得解得a1＝0，d＝1，
所以an＝0＋(n－1)×1＝n－1，＝2an＝2n－1.
数列即{2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以S10＝＝1023.
5．(2019·浙江嘉兴期中)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc D.＜
答案 B
解析 当c＜0时，a＋c≥b－c不一定成立；因为c2≥0，a－b＞0，所以(a－b)c2≥0；当c＜0时，ac＞bc不成立；当c＝0时，<不成立．故选B.
6．若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
答案 D
解析 因为f(x)＝ax－a－x＝ax－x在R上为减函数，所以0因为y＝loga(|x|－1)＝为偶函数，所以其图象为D项．
7．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 ∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又已知切线方程为y＝2x＋b，
∴解得故选D.
8．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 B．2 C．3 D．2
答案 B
解析 根据题意，圆柱的侧面展开图是长为16，宽为2的矩形DEFG，如图．
由其三视图可知，点A对应矩形DEFG中的D点，B点为EF上靠近E点的四等分点，则所求的最短路径长为|AB|＝＝2.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 经过两点(c,0)，(0，b)的直线方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，由题意得＝，又b2＋c2＝a2，所以＝，离心率e＝＝.
10．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6 C．8 D．8
答案 C
解析 如图所示，∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°，又因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，
在Rt△ABC1中，BC1＝＝2，
在Rt△BC1B1中，
BB1＝＝ ＝2，
所以该长方体的体积V＝2×2×2＝8.
11．设函数f(x)＝－x2＋，则不等式f(2x－3)A．(1,2) B．(－∞，2)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 因为f(x)＝－x2＋是偶函数．
当x>0时，f(x)＝－x2＋，
y＝－x2在(0，＋∞)上为减函数，
y＝在(－2，＋∞)上为减函数，
所以f(x)＝－x2＋在(0，＋∞)上为减函数，
所以f(2x－3)1，解得x<1或x>2.
12．函数y＝2cosx(0A. B.
C. D.
答案 A
解析 由得2cosx＝，
所以2cos2x＝3sinx，即2－2sin2x＝3sinx，
解得sinx＝或sinx＝－2(舍去)．
又0不妨取A，B.
记C，易知A，B，C三点共线，
S△OAB＝S△OAC＋S△OBC
＝×|OC|×|yA|＋×|OC|×|yB|
＝××＋××
＝.
二、填空题
13．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.
14．(2019·山东四市4月联考)若双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离是________．
答案 10
解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由题意得|PF2|＝4，当点P在双曲线的左支上时，则有|PF2|－|PF1|＝6，不符合题意．当点P在双曲线的右支上时，则有|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝|PF2|＋6＝10，符合题意．故答案为10.
15．已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
答案
解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，则f(n)＝(n∈N*)的最小值为________．
答案 30
解析 当q＝1时，ap＋1＝ap·a1＝2ap，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，
∴Sn－1＝2n－2，Sn－1·(Sn－1＋2)＝(2n－2)·2n，
∴f(n)＝＝2n－2＋≥2－2＝30，
当且仅当2n＝16，即n＝4时，等号成立，f(n)min＝30.
课件32张PPT。选填题(八)第二部分 刷题型本课结束选填题(六)
一、选择题
1．复数z的共轭复数为，且z(3＋i)＝10(i是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 因为z(3＋i)＝10，所以z＝＝3－i，所以＝3＋i，其对应的点(3,1)位于第一象限．
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩?UA＝( )
A．{1,6} B．{1,7} C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴?UA＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，
∴B∩?UA＝{6,7}．故选C.
3．(2019·青岛模拟)下列命题中正确的是( )
A．命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”
B．若p为真命题，q为假命题，则(綈p)∨q为真命题
C．为了了解高考前高三学生每天的学习时间情况，现要用系统抽样的方法从某班50名学生中抽取一个容量为10的样本，已知50名学生的编号为1,2,3，…，50，若8号被选出，则18号也会被选出
D．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝m，则“n?α，n⊥m”是“α⊥β”的充分条件
答案 C
解析 选项A，需要先换量词，再否定结论，故命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定为“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，错误；选项B，∵綈p为假命题，q为假命题，∴(綈p)∨q为假命题，错误；选项C，根据系统抽样的特点，从50名学生中抽取10人，需间隔5人抽取1人，8＋2×5＝18,18号会被选出，C正确；选项D，根据线面垂直的判定定理可知，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线才能得出该直线与该平面垂直，故由n⊥m不能得到n⊥β，进而不能得到α⊥β，错误．故选C.
4．在如图所示的框图中，若输出S＝360，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( )
A．k>2? B．k<2?
C．k>3? D．k<3?
答案 D
解析 运行程序得
k＝6，S＝1，条件否，
S＝1×6，k＝5，条件否，
S＝6×5，k＝4，条件否，
S＝6×5×4，k＝3，条件否，
S＝6×5×4×3＝360，k＝2条件是，输出S，
所以判断条件是k<3？.
5．已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案 D
解析 a－b在向量a方向上的投影为＝a2－b·a＝1－|a||b|·cos60°＝1－1×1×＝.
6．某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率e＝.设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是( )
A．2b＝a＋c B．b2＝ac
C．a＝b＋c D．2b＝ac
答案 B
解析 ∵椭圆为黄金椭圆，e＝＝，c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－2＝a2＝ac，
∴b2＝ac.
7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且数列{an}满足＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，则S10＝( )
A．1023 B．1024 C．512 D．511
答案 C
解析 因为＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，所以＋＋＋…＋＝2n－3(n≥2)，两式相减得＝2，an＝2n－2(n≥2)，当n＝1时，＝2×1－1，a1＝1，所以an＝所以S10＝1＋1＋2＋…＋28＝1＋＝512.
8．由某棱柱和棱锥组成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．8＋12
B．10＋4
C．12＋4
D．12＋10
答案 A
解析 该几何体的直观图如图所示，故表面积为8＋12，故选A.
9．(2019·江西新八校第二次联考)读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一个正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将该正方体切割成27个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一个箱子里，搅拌均匀；第五步，从箱子里随机取一个小正方体．则取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 所有的小正方体共有27个，其中，恰有三个面为红色的小正方体必然位于原来大正方体的8个顶点处，故取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是，故选B.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线x2＝4y 共焦点F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，若三角形OMF的面积为2，则双曲线的离心率为( )
A. B．16
C.或 D．4或
答案 C
解析 ∵抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0，)，又∵双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线x2＝4y共焦点，∴双曲线的半焦距c＝，∵三角形OMF的面积为2，而OM＝a，FM＝b，∴2＝·ab，即ab＝4，又∵a2＋b2＝c2＝17，∴a＝1或a＝4，∴双曲线的离心率e＝或，故选C.
11．下列命题：
①f(x)＝x－sinx有3个零点；②f(x)＝x－tanx有3个零点；③f(x)＝|lg x|＋x－3有2个零点．
其中，真命题的个数是( )
A．0 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 ①f′(x)＝1－cosx≥0，因此f(x)单调递增．最多只有一个零点，故①错误．②因为f′(x)＝1－，显然f′(x)≤0，所以f(x)＝x－tanx在上单减，其最多有一个零点．故②错误．③画出y＝|lg x|与y＝－x＋3的图象，由图象可知，交点为2个，故③正确．所以真命题的个数为1.
12．某游乐园的摩天轮半径为40 m，圆心O距地面的高度为43 m，摩天轮作匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低点处登上吊舱，若忽略吊舱的高度，小明在小强登上吊舱4分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱t分钟后(0≤t≤24)，小强和小明距地面的高度之差为( )
A．40cos B．40sin
C．40cos D．40sin
答案 B
解析 小明登上吊舱t分钟后(0≤t≤24)，
小明距地面的高度为43－40cost，
小强距地面的高度为43－40cos，
小强和小明距地面的高度之差为
－40cos＋40cos
＝40
＝40
＝40
＝40cos
＝40sin.故选B.
二、填空题
13．点P(x，y)满足则x2＋y2的最小值为________．
答案
解析 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，而x2＋y2＝OP2，OP的几何意义为原点到可行域内点的距离，P为可行域内任一点．由图可知，OP2的最小值为原点到直线2x＋y＝2的距离的平方，所以OP2≥d2＝2＝，即x2＋y2的最小值为.
14．曲线y＝在点(1,0)处的切线方程为________．
答案 y＝x－1
解析 因为y′＝′＝＝，
所以y′＝＝1，
所以曲线y＝在点(1,0)处的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.
15．把函数f(x)＝sinx(x>0)所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{an}，数列{bn}满足bn＝3n·an，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案 π
解析 由题意得a1＝π，a2＝2π，…，an＝nπ，
所以bn＝nπ·3n，
Tn＝π·3＋2π·32＋…＋nπ·3n，
3Tn＝π·32＋2π·33＋…＋nπ·3n＋1，
上面两式相减得－2Tn＝π·3＋π·32＋…＋π·3n－nπ·3n＋1＝π(3＋32＋…＋3n)－nπ·3n＋1＝－nπ·3n＋1
所以Tn＝π.
16．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长，若sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则＝________.
答案 1
解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，
设a＝4x，b＝5x，c＝6x，由余弦定理知
cosA＝＝＝，
∴＝＝2××cosA＝2××＝1.
课件30张PPT。选填题(六)第二部分 刷题型本课结束选填题(四)
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝ex，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B＝( )
A．(0,2) B．(0,3] C．[－2,3] D．[2,3]
答案 B
解析 由已知得A＝(0，＋∞)，B＝[－2,3]，所以A∩B＝(0,3]．
2．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足z＝，则z∈R；p2：若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝－z2；p3：若复数z1＝2，则z1·z2∈R；p4：若复数z1，z2满足z1＋z2∈R，则z1∈R，z2∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p2，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
答案 A
解析 p1是真命题，设z＝a＋bi，则＝a－bi，若z＝，则b＝0，故z∈R.
p2是假命题，例如z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，虽有|z1|＝|z2|，但是z1≠z2，且z1≠－z2.
p3是真命题，设z2＝a＋bi，则z1＝2＝a－bi，于是z1·z2＝a2＋b2∈R.
p4是假命题，例如z1＝1－i，z2＝1＋i，虽有z1＋z2＝2∈R.但z1?R，z2?R.
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
B．若m∥α，n?α，则m∥n
C．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β
答案 C
解析 A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m?β；B.若m∥α，n?α，则m，n无交点，即平行或异面；C.若α∩β＝m，n∥α，n∥β，过n作平面与α，β分别交于直线s，t，则s∥n，t∥n，所以s∥t.再根据线面平行判定定理得s∥β，因为α∩β＝m，s?α所以s∥m，即m∥n；D.若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，当B在平面α内时才有AB⊥β.
4．(2019·贵州凯里一中模拟二)为上班方便，学校安排校车早上06：50,07：40,08：30从A校区发车带老师前往B校区上班．某老师在早上07：35至08：30之间到达A校区发车地点，且到达发车点的时刻是随机的，则该老师等车时间不超过5分钟的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设“该老师等车时间不超过5分钟”为事件A，用线段表示事件区域，如图，总的区间长度从7：35到8：30共55分钟，而事件A对应阴影部分的区间长度为10分钟，则P(A)＝＝.故选C.
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
答案 D
解析 由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，
故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.
6．(2019·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为( )
A．2 B．2π C．2 D．4
答案 D
解析 连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.
7．将函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝
答案 A
解析 f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得y＝2sin的图象，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)＝2sin＝2sin.
由4x＋＝kπ＋，k∈Z得x＝－，k∈Z，即为对称轴方程，离原点最近的是x＝－.
8．(2019·江西新余一中模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝( )
A．3 B. C．6 D．2
答案 A
解析 由题意，类比推理得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，即 ＝3.故选A.
9．(2019·河北高考模拟)函数f(x)＝x＋sinx的图象大致是( )
答案 C
解析 因为f(x)＝x＋sinx为奇函数，所以排除B，D；当x＞0，且x→0时，f(x)＞0，排除A，故选C.
10．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；
④f(x)＝ln (＋x)．
以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．
对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
11．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如下图1，“大衍数列”：0,2,4,8,12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图2是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m＝6，则输出的S＝( )
A．26 B．44 C．68 D．100
答案 B
解析 第一次运行，n＝1，a＝＝0，S＝0＋0＝0，不符合n≥m，n＝2，继续运行，
第二次运行，n＝2，a＝＝2，S＝0＋2＝2，不符合n≥m，n＝3，继续运行，
第三次运行，n＝3，a＝＝4，S＝2＋4＝6，不符合n≥m，n＝4，继续运行，
第四次运行，n＝4，a＝＝8，S＝6＋8＝14，不符合n≥m，n＝5，继续运行，
第五次运行，n＝5，a＝＝12，S＝14＋12＝26，不符合n≥m，n＝6，继续运行，
第六次运行，n＝6，a＝＝18，S＝26＋18＝44，符合n≥m，输出S＝44，故选B.
12．设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B.－1 C. D.
答案 A
解析 设线段PF2的中点为A，则＋＝2，又因为(＋)·＝0，所以2·＝0，故OA⊥PF2，因为O为F1F2中点，所以OA∥PF1，所以PF1⊥PF2.设|PF2|＝t，则|PF1|＝|PF2|＝t，|F1F2|＝＝2t，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝－1.
二、填空题
13．(2019·贵阳一模)设x，y满足约束条件
则z＝2x·y的最大值为________．
答案 4
解析 画出可行域如图阴影所示．
z＝2x·y＝2x·(2－4)y＝2x－4y，
令u＝x－4y，则y＝－.
结合图形可知，
平移直线y＝过点A时，
纵截距－最小，u最大．
解方程组得A点坐标为(－2，－1)，
所以umax＝－2－4×(－1)＝2.
所以z＝2x·y的最大值为22＝4.
14．在△ABC中，a＝2，c＝4，且3sinA＝2sinB，则cosC＝________.
答案 －
解析 因为3sinA＝2sinB，
所以由正弦定理得3a＝2b，
又a＝2，所以b＝＝3，
所以cosC＝＝＝－.
15．(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
答案 40
解析 由三视图可知该几何体是棱长为4的正方体切去一个底面为直角梯形、高为4的直四棱柱，其中直角梯形的上底为2，下底为4，高为2，所以该几何体的体积为V＝V正方体－V直四棱柱＝43－×2×4＝40.
16．过点(，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
答案 －
解析 解法一：设点P(，0)，结合题意可设直线l的方程为y＝k(x－)(k<0)，将之代入y＝，整理得(1＋k2)x2－2k2x＋2k2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(－2k2)2－4(1＋k2)(2k2－1)＝4－4k2>0，得k2<1，
所以弦长|AB|＝·
＝·＝2 .
因为点O到直线l：kx－y－k＝0的距离d＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2 ×
＝≤＝，
当且仅当即k＝－时不等式取等号．
故当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于－.
解法二：设点P(，0)，结合题意可设直线l的方程为x＝my＋(m<0)，将之代入y＝，整理得(1＋m2)y2＋2my＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝(2m)2－4(1＋m2)＝4m2－4>0，得m2>1.
于是，S△AOB＝|S△AOP－S△BOP|＝·|OP|·|y1－y2|＝·|OP|·＝××
＝≤＝，
当且仅当即m＝－时不等式取等号．
故当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于＝－.
解法三：设点P(，0)，则结合题意画出图形，如图所示．
根据图形可得S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当且仅当sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°时不等式取等号．于是，当△AOB的面积取最大值时，有∠AOB＝90°，此时作OM⊥l，垂足为M，易得|OM|＝，又|OP|＝，所以可得∠MPO＝30°，故所求直线l的斜率等于tan(180°－30°)＝－.
课件41张PPT。选填题(四)第二部分 刷题型本课结束