九年级上学期数学课时练习题
21.2二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
一、精心选一选
1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（ ）
A.直线x＝2 B.直线x＝－2 C.y轴 D.x轴
3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（ ）
A.y＝x2 B.y＝－2x2 C.y＝(2x+1)2 D.y＝(x－2)2
5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象是中心对称图形 B.开口向上
C.对称轴是直线x＝－2 D.最高点是（2，0）
6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（ ）
A.y＝(x+2)2 B.y＝2x2－2 C.y＝－2x2－2 D.y＝2(x－2)2
7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（ ）
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（ ）
A.只与a有关 B.只与h有关
C.与a、h都有关 D.与a、h都无关
9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（ ）
A.顶点坐标为（1，0）
B.对称轴为直线x＝0
C.当x＞1时，y随x的增大而增大
D.当x＜1时，y随x的增大而增减小
10.已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：
①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、细心填一填
11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.
12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.
13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.
14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）
15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.
16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.
17.抛物线y＝(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，
与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A
作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不
与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值
是___________.
三、解答题
19.已知二次函数y＝－(x－2)2.
（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.
（1）试求该抛物线的函数关系式；
（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.
21.二次函数y＝(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.
22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若点C（m，－）在该抛物线上，求m的值.
23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求
△ABC的面积.
24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.
21.2二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C D A C B B C
1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，
故选：D.
2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（ ）
A.直线x＝2 B.直线x＝－2 C.y轴 D.x轴
解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，
故选：B.
3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线
y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，
故选：B.
4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（ ）
A.y＝x2 B.y＝(2x+1)2 C.y＝－2x2 D.y＝(x－2)2
解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且＝ ∴它与y＝－2x2的图象形状相同，
故选：C.
5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象是中心对称图形 B.开口向上
C.对称轴是直线x＝－2 D.最高点是（2，0）
解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；
B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；
C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；
D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，
故选：D.
6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（ ）
A.y＝(x+2)2 B.y＝2x2－2 C.y＝－2x2－2 D.y＝2(x－2)2
解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，
故选：A.
7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（ ）
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，
故选：C.
8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（ ）
A.只与a有关 B.只与h有关
C.与a、h都有关 D.与a、h都无关
解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，
故选：B.
9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（ ）
A.顶点坐标为（1，0）
B.对称轴为直线x＝0
C.当x＞1时，y随x的增大而增大
D.当x＜1时，y随x的增大而增减小
解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，
故选：B.
10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：
①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，
故3个选项都是正确的，
故选：C.
二、细心填一填
11. y＝(x+2)2； 12. ，y＝(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；
14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；
17. 4； 18. 6.
11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.
解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，
故答案为：y＝(x+2)2.
12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.
解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝，
故答案为：，y＝(x－3)2.
13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.
解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，
故答案为：y＝－3(x－1)2.
14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）
解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，
故答案为：上升.
15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.
解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，
故答案为：（－1，0），0.
16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.
解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，
故答案为：向下，直线x＝5.
17.抛物线y＝(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.
解答：∵当y＝0时，即(x－3)2＝0，
∴x＝3，
∴A（3，0），
∵当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴S△AOB＝×3×4＝6，
故答案为：6.
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，
与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A
作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不
与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值
是___________.
解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，
∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，
∴B、C关于直线BD对称，
∴BD＝DC＝2，
∵顶点A到直线BC的距离最大，
∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：DC×AD＝×2×4＝4，
故答案为：4.
三、解答题
19.已知二次函数y＝－(x－2)2.
（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
解答：（1）二次函数y＝－(x－2)2的图象为：
抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；
（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.
20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.
（1）试求该抛物线的函数关系式；
（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.
解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝，
∴h＝－，则y＝a(x－)2，
又∵抛物线y＝a(x－)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，
∴a＝－3，
∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－)；
（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－)＝－3×(－)＝，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，）.
21.二次函数y＝(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.
解答：（1）∵点A为抛物线y＝(x－h)2的顶点，
∴A（h，0），
∴OA＝h，
∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，
∴OB＝h，
∴B（0，h），
把B（0，h）代入y＝(x－h)2得：h＝(0－h)2，
解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，
∴该抛物线的函数关系式y＝(x－2)2，
（2）由（1）知：OA＝2，
∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝(x+2)2，
故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝(x+2)2.
22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若点C（m，－）在该抛物线上，求m的值.
解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（－2，0），B（0，－2），
∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，
∴h＝2，则y＝a(x+2)2，
∵该抛物线经过点B（0，－2），
∴a(0+2)2＝－2，
解得：a＝－，
∴该抛物线的函数关系式为：y＝－(x+2)2，
（2）∵点C（m，－）在该抛物线y＝－(x+2)2上，
∴－(m+2)2＝－，
解得：m1＝1，m2＝－5，
即m的值为1或－5.
23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求
△ABC的面积.
解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，
∴A（0，8），
由，得：，，
∴B（－2，0），C（－1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴D（0，4），
∴AD＝8－4＝4，
∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝×4×2－×4×1＝2.
24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.
解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，
∴A（1，0），B（1，1），
由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），
∵抛物线的顶点A（1，0），
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，
把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，
∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；
（2）设直线OB的解析式为y＝kx，
把B（1，1）代入得：k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x，
由，得 或（不合题意，舍去），
故点C的坐标为（，），
对于y＝(x－1)2，当x＝0时，y＝1，
∴D（0，1）
故C（，），D（0，1）.
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九年级上学期数学课时练习题
21.2 二次函数y＝a(x+h)2+k的图象和性质
一、精心选一选
1﹒二次函数y＝(x+2)2－1的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
2﹒已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A. B. C.D.
3﹒若抛物线y＝(x－m)2+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A.m＞1 B.m＞0 C.m＞－1 D.－1＜m＜0
4﹒设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A.（1，0） B.（3，0） C.（－3，0） D.（0，－4）
5﹒抛物线y＝2(x+1)2+3的顶点坐标为（ ）
A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，－3） D.（－1，3）
6﹒将抛物线y＝(x－1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y＝(x－1)2+4 B. y＝(x－4)2+4 C.y＝(x+2)2+6 D.y＝(x－4)2+6
7﹒当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A.－ B.或－
C.2或－ D.2或或－
8﹒如图所示的直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称
轴，下列关系中不正确的是（ ）
A.h＝m B.k＝n
C.k＞n D.h＞0，m＞0
9﹒在二次函数y＝－(x－2)2+3的图象上有两点（－1，y1）,（1，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D.不能确定
10.对于抛物线y＝－(x+1)2+3，有下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为（－1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、细心填一填
11.当－7≤x≤a时，二次函数y＝－(x+3)2+5恰好有最大值3，则a＝_______.
12.把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为________________________.
13.已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_______________________.
14.已知二次函数y＝a(x－h)2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0），则该函数图象的顶点坐标为_____________.
15.已知抛物线y＝(x+1)2－2的对称轴为直线l，如果点M（－3，0）与点N关于直线l对称，那么点N的坐标为__________________.
16.已知函数y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有一个，则k的取值范围是__________________.
17.已知二次函数y＝(x－3a)2－(3a+2)（a为常数），当a取
不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.图中分别是
当a＝－1，a＝－，a＝1时二次函数的图象.则它们的
顶点所满足的函数关系为_____________________.
18.如图，抛物线y1＝a(x+2)2－3与y2＝(x－3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C.则下列结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝；
③当x＝0时，y2－y1＝6；
④AB+AC＝10；
⑤y1最小值－y2最小值＝－4.
其中正确结论的个数是________.
三、解答题
19.二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与y轴的交点坐标，并写出抛物线的顶点坐标.
20. 已知抛物线y＝(x－4)2－1与直线y＝x交于A、B两点（点A在B点左侧）.
（1）求A、B两点坐标；
（2）设抛物线的顶点为C，试求△ABC的面积.
21.如图，已知抛物线y＝a(x－h)2+k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点B(0，3)，其顶点为C，对称轴为直线x＝1.
（1）求该抛物线的顶点C的坐标；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标.
22.如图所示，抛物线y＝a(x－1)2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作
CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（－1，0）.
（1）试求a的值；
（2）求四边形COBD的面积.
23.如图，二次函数y＝(x－2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B.
（1）求一次函数及二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥(x－2)2+m的x的取值范围.
24.如图，已知抛物线y＝(x+)2－与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），连接AC.
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.
21.2二次函数y＝a(x+h)2+k的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B D B C B A C
1﹒二次函数y＝(x+2)2－1的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
解答：由解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为x＝－2，顶点坐标为（－2，－1），符合这些条件的只有D选项，
故选：D.
2﹒已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A. B. C.D.
解答：由已知二次函数的图象可得出：a＞0，c＞0，因此一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、三象限，进而判断出A选项符合，
故选：A.
3﹒若抛物线y＝(x－m)2+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A.m＞1 B.m＞0 C.m＞－1 D.－1＜m＜0
解答：由题意得：，解得：m＞0，
故选：B.
4﹒设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A.（1，0） B.（3，0） C.（－3，0） D.（0，－4）
解答：∵二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线x＝3，
∴直线l上所有点的横坐标均为3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，因此点M的坐标有可能是（3，0），
故选：B.
5﹒抛物线y＝2(x+1)2+3的顶点坐标为（ ）
A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，－3） D.（－1，3）
解答：抛物线y＝2(x+1)2+3的顶点坐标为（－1，3），
故选：D.
6﹒将抛物线y＝(x－1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y＝(x－1)2+4 B. y＝(x－4)2+4 C.y＝(x+2)2+6 D.y＝(x－4)2+6
解答：∵抛物线y＝(x－1)2+2的顶点坐标为（1，2），
∴向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后顶点则为（4，4），
∴得到平移后的抛物线的解析式为 y＝(x－4)2+4，
故选：B.
7﹒当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A.－ B.或－
C.2或－ D.2或或－
解答：分三种情况讨论：
①当m＜－2时，x＝－2时，二次函数有最大值，
此时－(－2+m)2+m2+1＝4，
解得，m＝－，这与m＜－2相矛盾，故m的值不可能为－，
②当－2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时m2+1＝4，
解得：m1＝－，m2＝（舍去），
③当m＞1时，x＝1时，二次函数有最大值，
此时－(－2+m)2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综合上述，m的值为2或－，
故选：C.
8﹒如图所示的直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称
轴，下列关系中不正确的是（ ）
A.h＝m B.k＝n
C.k＞n D.h＞0，m＞0
解答：由图象可知这两个抛物线的顶点坐标的横坐标相同，纵坐标不同，且顶点（h，k）在顶点（m，n）的上方，故k≠n，
故选：B.
9﹒在二次函数y＝－(x－2)2+3的图象上有两点（－1，y1）,（1，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D.不能确定
解答：∵二次函数的解析式为y＝－(x－2)2+3，
∴该抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∵点（－1，y1）,（1，y2）在该抛物线上，且－1＜1＜2，
∴y1＜y2，
故选：A.
10.对于抛物线y＝－(x+1)2+3，有下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为（－1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解答：∵a＝－1，∴抛物线的开口向下，故①正确；∵h＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，故②错误；∵h＝1，k＝3，∴抛物线的顶点坐标为（－1，3），故③正确；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确，
综合上述，正确结论有①③④，
故选：C.
二、细心填一填
11. －5； 12. y＝2(x+1)2－2； 13. y3＞y1＞y2；
14.（1，）； 15. （1，0）； 16. k＞3或k＜－1；
17. y＝－x－2； 18. 4.
11.当－7≤x≤a时，二次函数y＝－(x+3)2+5恰好有最大值3，则a＝_______.
解答：对于二次函数y＝－(x+3)2+5，它的图象开口向下，顶点坐标为（－3，5），
∴当x＜－3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝－(x+3)2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入y＝－(x+3)2+5得：3＝－(x+3)2+5，
解得：x1＝－5，x2＝－1（舍去），
∴a＝－5
故答案为：－5.
12.把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为________________________.
解答：根据“上加下减，左加右减”的原则可得平移后抛物线的解析式为：y＝2(x+1)2－2，
故答案为：y＝2(x+1)2－2.
13.已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_______________________.
解答：把A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）分别代入y＝(x－2)2－1得：
y1＝3，y2＝5－4，y3＝15，
∵5－4＜3＜15，
∴y3＞y1＞y2，
故答案为：y3＞y1＞y2.
14.已知二次函数y＝a(x－h)2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0），则该函数图象的顶点坐标为_____________.
解答：∵二次函数y＝a(x－h)2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0），
∴该函数图象的对称轴为：x＝，
∴h＝1，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，），
故答案为：（1，）.
15.已知抛物线y＝(x+1)2－2的对称轴为直线l，如果点M（－3，0）与点N关于直线l对称，那么点N的坐标为__________________.
解答：∵抛物线y＝(x+1)2－2的对称轴为直线x＝－1，
∴点M（－3，0）与点N关于直线x＝－1对称，
设N（a，0），则＝－1，
解得：a＝1，
∴点N的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）.
16.已知函数y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有一个，则k的取值范围是__________________.
解答：函数y＝
的图象如图所示，
根据图象可知：当y＝3或－1时，对应成立的x值恰好有2个，
故当y＞3时或y＜－1时x的值恰好有一个，
即k的取值范围是：k＞3或k＜－1，
故答案为：k＞3或k＜－1.
17.已知二次函数y＝(x－3a)2－(3a+2)（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.图中分别是当a＝－1，a＝－，a＝1时二次函数的图象.则它们的顶点所满足的函数关系为_____________________.
解答：由已知抛物线的解析式可得它的顶点坐标为（3a，－3a－2），
设x＝3a①，y＝3a－2②，
①+②得：x+y＝－2，
即y＝－x－2，
故答案为：y＝－x－2.
18.如图，抛物线y1＝a(x+2)2－3与y2＝(x－3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C.则下列结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝；
③当x＝0时，y2－y1＝6；
④AB+AC＝10；
⑤y1最小值－y2最小值＝－4.
其中正确结论的个数是________.
解答：由图象可知：抛物线 y2＝(x－3)2+1在x轴的上方，所以无论x取何值，y2的值总是正数，故①正确；
∵抛物线y1＝a(x+2)2－3经过点A（1，3），
∴3＝9a－3，
∴a＝，故②正确；
当x＝0时，y1＝－，y2＝，
∴y2－y1＝，故③错误；
当y＝3时，y1＝a(x+2)2－3＝3，解得：x＝－5或1，
y2＝(x－3)2+1＝3，解得：x＝1或5，
∴AB+AC＝10，故④错误；
∵y1＝a(x+2)2－3的最小值为－3，y2＝(x－3)2+1＝3最小值为1，
∴y1最小值－y2最小值＝－4，故⑤正确，
综合上述，正确结论有①②④⑤，
故答案为：4.
三、解答题
19.二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与y轴的交点坐标，并写出抛物线的顶点坐标.
解答：（1）画出图象如下：
平移后的二次函数的解析式为：y＝(x－1)2－2；
（2）当x＝0时，y＝(0－1)2－2＝－1，
∴经过两次平移后的图象与y轴的交点坐标为（0，－1），
∵平移后的二次函数的解析式为：y＝(x－1)2－2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）.
20. 已知抛物线y＝(x－4)2－1与直线y＝x交于A、B两点（点A在B点左侧）.
（1）求A、B两点坐标；
（2）设抛物线的顶点为C，试求△ABC的面积.
解答：（1）由题意得：，
解得：，，
∵点A在B点左侧，
∴A（2，1），B（7，）；
（2）∵y＝(x－4)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为：C（4，－1），
过点C作CD∥x轴交直线于点D，
对于y＝x，令y＝－1时，x＝－2，
∴D（－2，－1），
∴CD＝2+4＝6，
∴S△ABC＝S△BCD－S△ACD＝×6×(+1)－×6×(1+1)＝,
即△ABC的面积为.
21.如图，已知抛物线y＝a(x－h)2+k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点B(0，3)，其顶点为C，对称轴为直线x＝1.
（1）求该抛物线的顶点C的坐标；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标.
解答：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴h＝1，
∴y＝a(x－1)2+k，
∵该抛物线经过A（3，0），B（0，3），
∴，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2+4，
故抛物线的顶点C的坐标为（1，4）；
（2）由题意知：OA＝3，OB＝3，
由勾股定理得：AB＝＝＝3，
当△ABM为等腰三角形时，
①若以AB为底，∵OA＝OB＝3,
∴此时点O即为所求的点M，
故点M的坐标为（0，0）；
②若以AB为腰，
以点B为圆心，以3长为半径画弧，交y轴于两点，
此时两点坐标为（0，3－3），（0，3+3），
以点A为圆心，以3长为半径画弧，交y轴于点（0，－3），
综合上述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为（0，0）、（0，3－3）、（0，3+3）、（0，－3）.
22.如图所示，抛物线y＝a(x－1)2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作
CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（－1，0）.
（1）试求a的值；
（2）求四边形COBD的面积.
解答：（1）∵抛物线y＝a(x－1)2+4与x轴交于点A（－1，0），
∴a(－1－1)2+4＝0，
解得：a＝－1；
（2）由（1）知：a＝－1，
∴抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2+4，
令x＝0，则y＝－(0－1)2+4＝3，
∴C（0，3），故OC＝3，
∵CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，且对称轴为直线x＝1，
∴CD＝1，
∵A的坐标为（－1，0），
∴B（3，0），
∴OB＝3，
∴四边形COBD的面积＝(CD+OB)OC＝(1+3)×3＝6.
23.如图，二次函数y＝(x－2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B.
（1）求一次函数及二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥(x－2)2+m的x的取值范围.
解答：（1）将（1，0）代入y＝(x－2)2+m得：0＝(1－2)2+m，
解得：m＝－1，
∴二次函数的解析式为y＝(x－2)2－1，
当x＝0时，y＝3，故C（0，3），
∵点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为3，
当y＝3时，则(x－2)2－1＝3，
解得：x1＝4，x2＝0，
故B（4，3），
将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x－1；
（2）∵A（1，0），B（4，3），
∴满足kx+b≥(x－2)2+m的x的取值范围为1≤x≤4.
24.如图，已知抛物线y＝(x+)2－与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），连接AC.
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.
解答：（1）∵抛物线y＝(x+)2－对称轴为直线x＝－，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（－4，0），
把x＝0代入y＝(x+)2－得：y＝－3，
∴C（0，－3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（－4，0），C（0，－3）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝－x－3；
（2）∵A（－4，0），B（1，0），C（0，－3）
∴OA＝4，AB＝5，OC＝3，
∴S△ABC＝AB×OC＝×5×3＝，
过点D作DN∥y轴分别交AC和x轴于点M、N，
则S△ADC＝DM×AN+DM×ON＝DM(AN+ON)＝DM×OA＝2DM，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+2DM，
设点D的横坐标为x，则纵坐标为(x+)2－，
∴点M的坐标为（x，－x－3）
∴DM＝－x－3－[(x+)2－]＝－(x+2)2+3，
∴当x＝2时，DM有最大值3，
∴四边形ABCD面积的最大值为+2×3＝.
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九年级上学期数学课时练习题
21.2二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
一、精心选一选
1﹒如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣2x+k2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2﹒下列函数：①y＝﹣3x2；②y＝2x2﹣1；③y＝(x－2)2；④y＝﹣x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（ ）
A．4个 B． 3个 C．2个 D．1个
3﹒在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
5﹒将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A.y＝(x﹣4)2﹣6 B.y＝(x﹣4)2﹣2
C.y＝(x﹣2)2﹣2 D.y＝(x﹣1)2﹣3
6﹒如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A.y＝x2－1 B.y＝x2+6x+5 C.y＝x2+4x+4 D.y＝x2+8x+17
7﹒抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ）
A.－16 B.－4 C.8 D.16
8﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
9﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个
交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③a－b+c＞0；
④4a－2b+c＜0.
其中正确的是（ ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
二、细心填一填
11.把二次函数y＝2x2－6x+10，化成y＝a(x－h)2+k的形式是_______________________．
12.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为______．
13.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_______________________．
14.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________________.
15.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为______________.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为____________.
第16题图 第17题图 第18题图
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_________.（用含a的式子表示）
18.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___________.
（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
三、解答题
19.已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.
20.已知抛物线y＝－x2+4x－3.
（1）在给定的坐标标中画出该抛物线；
（2）用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，请根据图象直接写出A、B、C三点的坐标；
（4）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
21.设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.
（1）求点A、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
23.如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y
轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
21.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D B B D D D D
1﹒如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣2x+k2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
解答：当k＜0时，抛物线y＝kx2﹣2x+k2开口向下，所以可以排除B、C，对称轴为直线
x＝＜0，故对称轴在y轴的左侧，所以A选项符合.
故选：A.
2﹒下列函数：①y＝﹣3x2；②y＝2x2﹣1；③y＝(x－2)2；④y＝﹣x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（ ）
A．4个 B． 3个 C．2个 D．1个
解答：①y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此项正确；②y＝2x2﹣1，当x＜0时，y随x的增大而减小，故此项错误；③y＝(x－2)2，当x＜0时，y随x的增大而减小，故此项错误；④y＝﹣x2+2x+3，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此项正确；
综合上述，有2个符合题意，
故选：C.
3﹒在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：分4种情况讨论：①a＞0，b＞0；②a＞0，b＜0；③a＜0，b＞0；④a＜0，b＜0，
其中当a＜0，b＞0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，直线经过一、三、四象限，由此可知C选项符合，
故选：C.
4﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
解答：设点（－2，0）关于对称轴对称的点的横坐标为x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，
∴－2＜x2＜2，∴－2＜＜0，
即抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧，
故选：D.
5﹒将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A.y＝(x﹣4)2﹣6 B.y＝(x﹣4)2﹣2
C.y＝(x﹣2)2﹣2 D.y＝(x﹣1)2﹣3
解答：把y＝x2﹣6x+5配方得y＝(x－3)2－4，所以将它向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为y＝(x－3－1)2－4+2＝(x－4)2－2，
故选：B.
6﹒如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A.y＝x2－1 B.y＝x2+6x+5 C.y＝x2+4x+4 D.y＝x2+8x+17
解答：A.y＝x2－1先向上平移1个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位即可得到y＝x2+1，故A选项正确；
B.y＝x2+6x+5＝(x+3)2－4，无法经两次简单变换得到y＝x2+1，故B选项错误；
C.y＝x2+4x+4＝(x+2)2，先向右平移2个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位即可得到y＝x2+1，故C选项正确；
D.y＝x2+8x+17＝(x+4)2+1，先向右平移2个单位得到y＝(x+2)2+1，再向右平移2个单位即可得到y＝x2+1，故D选项正确，
故选：B.
7﹒抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ）
A.－16 B.－4 C.8 D.16
解答：抛物线y＝x2－8x+m的顶点为（4，m－16），
∵抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，
∴m－16＝0，则m＝16，
故选：D.
8﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
解答：抛物线的对称轴为直线x＝－，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴－≤1，
∴m≥－1，
故选：D.
9﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个
交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
解答：由图象可知：图象关于直线x＝1对称，故A选项正确；抛物线的开口向上，有最小值－4，故B正确；抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－1，3，故C正确；当x＜1时，y随x的增大而减小，故D选项错误，
故选：D.
10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③a－b+c＞0；
④4a－2b+c＜0.
其中正确的是（ ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
解答：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵－＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴－＝－1，则2a－b＝0，故②错误；
当x＝－1时，y＜0，
∴a－b+c＜0，故③错误；
当x＝－2时，y＜0，
∴4a－2b+c＜0，故④正确，
故选：D.
二、细心填一填
11. y＝2(x－)2+； 12. 4； 13. y＝－(x+3)2+2，不唯一；
14.（4，3）； 15.（－1，7）； 16. 1；
17. a+4； 18. ③④ .
11.把二次函数y＝2x2－6x+10，化成y＝a(x－h)2+k的形式是_______________________．
解答：y＝2x2－6x+10＝2(x2－3x)+10＝2[(x－)2－]+10＝2(x－)2+，
故答案为：y＝2(x－)2+.
12.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为______．
解答：∵抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，
∴＝n，
∴k－n＝4，
故答案为：4.
13.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_______________________．
解答：本题答案不唯一，如y＝－(x+3)2+2，
故答案为：y＝－(x+3)2+2，不唯一.
14.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________________.
解答：由题意知：A、B两点的纵坐标相等，且到对称轴的距离相等，
∴点B的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
15.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为______________.
解答：抛物线的对称轴为直线x＝－2，
设点A关于对称轴对称的点的坐标为（x，7），
则＝－2，
解得：x＝－1，
所以对称点的坐标为（－1，7），
故答案为：（－1，7）.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为____________.
第16题图 第17题图 第18题图
解答：∵y＝x2－2x+2＝(x－1)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∵AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1，
故答案为：1.
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_________.（用含a的式子表示）
解答：如图，∵对称轴为直线x＝﹣2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，
∴OB＝4，
∵由抛物线的对称性知AB＝AO，
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB＝△ABC的周长+OB＝a+4，
故答案为：a+4．
18.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___________.
（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
解答：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x＝－＞0，
∴b＜0，故①不正确；
∵x＝－1时，y＞0，
∴a－b+c＞0，故②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底为2，
∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝－2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2＝4，故③正确；
由＝－2，得c＝－1，
∴b2＝4a，故④正确，
综合上述，结论正确的有：③④，
故答案为：③④.
三、解答题
19.已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.
解答：（1）画函数图象如图所示：
（2）抛物线的顶点坐标为（－1，2）；抛物线与x轴的两个交点坐标（－3，0），（1，0）；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣(x+1)2+2，
∴平移后的函数关系式为y＝﹣(x+1－3)2+2＝﹣(x－2)2+2，
即y＝﹣x2+2x.
20.已知抛物线y＝－x2+4x－3.
（1）在给定的坐标标中画出该抛物线；
（2）用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，请根据图象直接写出A、B、C三点的坐标；
（4）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
解答：（1）画函数图象如图所示：
（2）∵y＝－x2+4x－3＝－(x－2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（3）由图象可知：A(1，0)，B（3，0），C（0，－3）；
（4）当1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方.
21.设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.
解答：（1）当k＝0时，y＝－(x－1)(x+3)，所画函数图象如图所示：
（2）①根据图象可知，图象都经过点（1，0）和（－1，4）；
②图象与x轴的交点是（1，0）；
③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称；
④函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）的图象都经过（1，0）和（－1，4）等.
（3）平移后的函数y3的表达式为y3＝(x+3)2－2，
所以当x＝－3时，函数y3的最小值是－2.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.
（1）求点A、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
解答：（1）由，得：，，
∴点A、C的坐标分别为（3，2），（0，－1）；
（2）由题意知：点A与B关于抛物线C1的对称轴对称，
∵抛物线C1的对称轴为x＝1，且A（3，2），
∴B（－1，2），
∴AB＝4，
设直线AB与y轴交于点D，则CD＝1+2＝3，
∴S△ABC＝ABCD＝×4×3＝6；
（3）如图，当C2过点A点，B点临界点时，
把A（3，2）代入y＝ax2得：a＝，
把B（－1，2）代入y＝ax2得：a＝2，
∴a的取值范围为≤a＜2.
23.如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y
轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
解答：（1）∵点A在y轴上，且直线y＝－x+1经过点A，
∴当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∵BC⊥x轴，且C（－3，0），
∴当x＝－3时，y＝－×(－3)+1＝，
∴B（－3，），
∵点N是抛物线y＝－x2－x+1上，
∴可设N（x，－x2－x+1），则M，P点的坐标分别为（x，－x+1），（x，0），
∴MN＝PN－PM＝－x2－x+1－(－x+1)＝－x2－x＝－(x+)2+，
∴当x＝－时，MN的最大值为；
（3）如图，连接BN，BM，BM与NC互相垂直平分，
则四边形BCMN是菱形，
∴BC∥MN，MN＝BC，且BC＝MC，
∴－x2－x＝，且(－x+1)2+(x+3)2＝，
解得：x＝－1，则y＝4，
故当N的坐标为（－1，4）时，BM和NC互相垂直平分.
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九年级上学期数学课时练习题
21.2 二次函数表达式的确定
一、精心选一选
1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（ ）
A.y＝－6x2+3x+4 B.y＝－2x2+3x－4 C.y＝x2+2x－4 D.y＝2x2+3x－4
2﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A.y＝(x+6)2 B.y＝(x－6)2 C.y＝－(x+6)2 D.y＝－(x－6)2
3﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A.y＝－(x－2)2－1 B.y＝－(x－2)2－1 C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x－2)2－1
4﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（ ）
A.y＝2x2－4x B.y＝－x(x－2)
C.y＝－(x－1)2+2 D.y＝－2x2+4x
5﹒已知抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，则
该抛物线的解析式为（ ）
A.y＝x2－4x+1 B.y＝x2－6x+6
C.y＝x2－8x+15 D.y＝x2－10x+28
6﹒如果二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（ ）
A. b＝2，c＝4 B.b＝2，c＝－4 C.b＝－2，c＝4 D.b＝－2，c＝－4
7﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（ ）
A.y＝x2－2x+4 B.y＝－x2+2x－4 C.y＝x2－2x－4 D.y＝－x2+6x－12
8﹒如果抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
小明观察上表，得出下面结论：
①该抛物线的开口向下；
②该抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y的最大值为6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
10.如图，已知抛物线y＝－x2+px+q的对称轴为x＝－3，过
抛物线的顶点M的一条直线y＝kx+b与抛物线的另一个交
点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN
的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A.（0，2） B.（，0）
C.（0，2）或（－，0） D. （0，2）或（，0）
二、细心填一填
11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为___________.
12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.
13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.
14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.
15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.
17.如图，已知直线y＝－x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.
18.如图，抛物线y＝－x2+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.
三、解答题
19.已知二次函数y＝－2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.
20.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.
21.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.
22.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.
23.如图，抛物线y＝x2－bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
21.2二次函数表达式的确定课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B B B D A C
1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（ ）
A.y＝－6x2+3x+4 B.y＝－2x2+3x－4 C.y＝x2+2x－4 D.y＝2x2+3x－4
解答：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
则，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝2x2+3x－4，
故选：D.
2﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A.y＝(x+6)2 B.y＝(x－6)2 C.y＝－(x+6)2 D.y＝－(x－6)2
解答：∵抛物线的顶点为（6，0），
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2，
∵所求抛物线的开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同，
∴a＝－，
∴y＝－(x－6)2，
故选：D.
3﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A.y＝－(x－2)2－1 B.y＝－(x－2)2－1 C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x－2)2－1
解答：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－1，
把（0，3）代入上式得：a(0－2)2－1＝3，
解得：a＝1，
∴y＝(x－2)2－1，
故选：C.
4﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（ ）
A.y＝2x2－4x B.y＝－x(x－2)
C.y＝－(x－1)2+2 D.y＝－2x2+4x
解答：由图象可知：抛物线的对称轴是x＝1（根据抛物线的对称性），顶点坐标为（1，2），
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2+2，
∵抛物线过点（2，0），
∴a(2－1)2+2＝0，
解得：a＝－2，
∴y＝－2(x－1)2+2＝－2x2+4x，
故选：D.
5﹒已知抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，则该抛物线的解析式为（ ）
A.y＝x2－4x+1 B.y＝x2－6x+6
C.y＝x2－8x+15 D.y＝x2－10x+28
解答：∵抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，
∴m+1=3，
解得：m＝2，
∴y＝x2－2(2+1)x+2×22－2＝x2－6x+6，
故选：B.
6﹒如果二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（ ）
A. b＝2，c＝4 B.b＝2，c＝－4 C.b＝－2，c＝4 D.b＝－2，c＝－4
解答：∵二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），
∴－＝1，则b＝2，
＝－3，则c＝－4，
故选：B.
7﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（ ）
A.y＝x2－2x+4 B.y＝－x2+2x－4 C.y＝x2－2x－4 D.y＝－x2+6x－12
解答：设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－1，
把（0，－4）代入得a×(－3)2＝－4，
解得：a＝－
∴y＝－(x－3)2－1＝－x2+2x－4，
故选：B.
8﹒如果抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
小明观察上表，得出下面结论：
①该抛物线的开口向下；
②该抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y的最大值为6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解答：根据表格中数据可得出抛物线的开口向下，故①正确；
根据表格中数据规律可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）即当x＝－2时，y＝0和当x＝3时，y＝0，所以对称轴为x＝，故②正确；
当x＝时，函数有最大值，而表中0和1所对应的y值为6，所以最大值不为6，故③错误；并在直线x＝的左侧，y随x的增大而增大，故④正确，
综合上述，正确的结论为①②④，
故选：D.
9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
解答：∵抛物线y＝x2－2x+c的对称轴为x＝1，
∴顶点A的横坐标为1，
∵顶点A在直线y＝x－5上，
∴y＝1－5＝－4，则A（1，－4），
把A（1，－4）代入y＝x2－2x+c得：1－2+c＝－4，
解得：c＝－3，
∴y＝x2－2x－3，
故选：A.
10.如图，已知抛物线y＝－x2+px+q的对称轴为x＝－3，过
抛物线的顶点M的一条直线y＝kx+b与抛物线的另一个交
点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN
的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A.（0，2） B.（，0）
C.（0，2）或（－，0） D. （0，2）或（，0）
解答：由题意得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－6x－4，
由y＝－x2－6x－4＝－(x+3)2+5得：顶点M的坐标为（－3，5），
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，
∴只需PM+PN最小，
①如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P，则M′（3，5），
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得：，
∴该直线的解析式为y＝x+2，
故当x＝0时，y＝2，即P（0，2）；
②如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则M′N与y轴的交点即为所求的点P，
如①类似即可求得P（－，0），
综合上述，符合条件的点P的坐标是（0，2）或（－，0），
故选：C.
图1 图2
二、细心填一填
11.y＝－4x2－2x； 12. 3； 13. y＝－2x2+8或y＝－2x2－8；
14. y＝x2+x－； 15. y＝－x2+2x+3； 16. y＝x2－2x－3；
17. －1，4，4+2，4－2； 18. .
11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为_________.
解答：∵抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，
∴m2－4＝0，且m－2≠0，
∴m＝－2，
∴y＝－4x2－2x，
故答案为：y＝－4x2－2x.
12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.
解答：∵抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在y轴上，
∴＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：3.
13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.
解答：∵函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，
∴把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，
∵函数的最大值为8，
∴抛物线的开口向下，即a＜0，顶点纵坐标k＝8，
又∵所求抛物线的形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，
∴a＝－2，
把a＝－2代入ah2+h＝0得：－2 h2+k＝0，
解得：h＝±2，
∴此函数表达式为y＝－2(x－2)2+8或y＝－2(x+2)2+8，
即y＝－2x2+8或y＝－2x2－8，
故答案为：y＝－2x2+8或y＝－2x2－8.
14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.
解答：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，且与x轴的两个交点A、B，AB＝6，
∴直线与x轴交于（－4，0），（2，0），顶点的横坐标为－1，
∵顶点在函数y＝2x的图象上，
∴y＝2×(－1)＝－2，
∴顶点坐标为（－1，－2），
设二次函数的解析式为y＝a(x+1)2－2，
把（2，0）代入得：0＝9a－2，
解得：a＝，
∴y＝(x+1)2－2＝x2+x－，
故答案为：y＝x2+x－.
15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
解答：由图象可知，
抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（－1，0），
设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
则：，解得：，
∴y＝－x2+2x+3，
故答案为：y＝－x2+2x+3.
16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.
解答：根据图象可：抛物线与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x－3)，
把（0，－3）代入解析式得：－3＝－3a，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x+1)(x－3)＝x2－2x－3，
故答案为：y＝x2－2x－3.
17.如图，已知直线y＝－x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.
解答：由题意知：P（a，－a 2+2a+5），
则点Q为（a，－a+3），点B为（0，3），
当点P在点Q上方时，BQ＝，
PQ＝－a 2+2a+5－(－a+3)＝－a 2+a+2，
∵PQ＝BQ，
∴＝－a 2+a+2，
解得：a＝－1或a＝4，
当点P在点Q下方时，BQ＝，
PQ＝－a+3－(－a 2+2a+5)＝a 2－a－2，
∵PQ＝BQ，
∴＝a 2－a－2，
解得：a＝4+2或a＝4－2，
综合上述，a的值为－1，4，4+2，4－2，
故答案为：－1，4，4+2，4－2.
18.如图，抛物线y＝－x2+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.
解答：把A（0，2），B（1，3）代入y＝－x2+bx+c得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝－x2+x+2，
设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1－a，a），
把E（1－a，a）代入y＝－x2+x+2得：－(1－a)2+(1－a)+2＝a，
整理得：a2+3a－6＝0，
解得：a1＝，a2＝（舍去），
∴正方形CDEF的边长为，
故答案为：.
三、解答题
19.已知二次函数y＝－2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.
解答：（1）把A（0，4）和B（1，－2）代入y＝－2x2+bx+c得：
，解得：，
∴此抛物线的解析式为y＝－2x2－4x+4，
（2）∵y＝－2x2－4x+4
＝－2(x2+2x)+4
＝－2[(x+1)2－1]+4
＝－2(x+1)2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，6）；
（3）由（2）知：顶点C（－1，6），
∵点A（0，4），∴OA＝4，
∴S△CAO＝OA＝×4×1＝2，
即△CAO的面积为2.
20.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.
解答：（1）把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得：，
∴此抛物线的函数关系式为y＝x2－6x+5；
（2）∵y＝x2－6x+5＝(x－3)2－4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
又∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大；
（3）把x＝4代入y＝x2－6x+5得：y＝－3，
∴E（4，－3），
把C（0，5），E（4，－3）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y＝－2x+5，
设直线y＝－2x+5交x轴于点D，则D（，0），
∴OD＝，
∴BD＝5－＝，
∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD＝××5+××3＝10，
即△BCE的面积为10.
21.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.
解答：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2+4，
即y＝－x2+2x+3；
（2）当y＝0时，－(x－1)2+4＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，
∴A（－1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝3，则C（0，3），
抛物线y＝－(x－1)2+4的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
连接BC交直线x＝1于点P，如图，则PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时AP+CP的值最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，3）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝－x+3，
当x＝1时，y＝－x+3＝2，
∴P点坐标为（1，2）.
22.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.
解答：（1）∵对称轴是经过（－1，0）且平行于y轴的直线，
∴－＝－1，
∴m＝2，
∵二次函数的图象经过点P（－3，1），
∴9－3m－8＝0，
解得：n＝－2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x－2；
（2）把P（－3，1），A（－4，0）代入y＝kx+b得：
，解得：，
∴直线PA的解析式为y＝x+4，
由得或，
∵点B在点P的右侧，
∴点B的坐标为（2，6）.
23.如图，抛物线y＝x2－bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解答：（1）由题意得：，
解得：b＝4，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x+3；
（2）存在，
∵点A与点C关于直线x＝2对称，
∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，解得：k＝－1，b＝3，
∴直线BC的解析式为y＝－x+3，
∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为（2，1），
即点P的坐标为（2，1）.
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九年级上学期数学课时练习题
21.3二次函数与一元二次方程
一、精心选一选
1﹒下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（ ）
A.y＝3x2－5x+3 B.y＝4x2－12x+9 C.y＝x2－2x+3 D.y＝2x2+3x－4
2﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
3﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（ ）
A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝3
5﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），
对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A.x1＝－3，x2＝1 B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3 D.x＝－2
7﹒已知抛物线y＝－x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，则CD的长为（ ）
A. B. C. D.
8﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和
（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜－2
B.－2＜x＜4
C.x＞0
D.x＞4
9﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7 这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
10.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（ ）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
二、细心填一填
11.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.
12.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为_______________________.
13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是_______________.
14.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.
15.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________________.
16.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.
17.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.
18.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.
三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分）
19.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
20.已知二次函数y＝－x2+2x+m .
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
21.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.
22.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
23.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
24.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
21.3二次函数与一元二次方程课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B D A B A C
1﹒下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（ ）
A.y＝3x2－5x+3 B.y＝4x2－12x+9 C.y＝x2－2x+3 D.y＝2x2+3x－4
解答：A.y＝3x2－5x+3，△＝(－5)2－4×3×3＝－9＜0，抛物线与x轴没有交点，故A错误；
B.y＝4x2－12x+9，△＝(－12)2－4×4×9＝0，抛物线与x轴有一个交点，故B错误；
C.y＝x2－2x+3，△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，抛物线与x轴没有交点，故C错误；
D.y＝2x2+3x－4，△＝32－4×2×(－4)＝41＞0，抛物线与x轴有两个交点，故D正确，
故选：D.
2﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
解答：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，
∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，
综合上述：k的取值范围是k≤3，
故选：C.
3﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解答：∵抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，
∴△＝(－2)2－4a×1＜0，且a≠0，
解得：a＞1，
∴－＝＞0，＝1－＜0，
∴抛物线顶点在第四象限，
故选：D.
4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（ ）
A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝3
解答：抛物线y＝x2－3x+m的对称轴是x＝，且与x轴的一个交点为（1，0），
∵a＝1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2，
故选：B.
5﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
解答：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故选：D.
6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），
对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A.x1＝－3，x2＝1 B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3 D.x＝－2
解答：由图象可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，
故选：A.
7﹒已知抛物线y＝－x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，则CD的长为（ ）
A. B. C. D.
解答：解方程－x2+x+6＝0得x1＝12，x2＝－3，
∴A、B两点坐标分别为（12，0）、（－3，0），
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD＝4.5，
当x＝0时，y＝6，
∴OC＝6，
∴CD＝＝，
故选：D.
8﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和
（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜－2
B.－2＜x＜4
C.x＞0
D.x＞4
解答：∵当函数值y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，
∴当－2＜x＜4时，y＞0，
即自变量x的取值范围是－2＜x＜4 ，
故选：B.
9﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7 这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解答：∵抛物线y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）得4a－4＝0，解得a＝1．
故选：A．
10.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（ ）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
解答：由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2－4ac＞0，则b2＞4ac，故A正确；
∵抛物线开口向上，且顶点坐标为（－3，－6），
∴函数y的最小值是－6，则ax2+bx+c≥－6，故B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴点（－2，m）离对称轴的距离比点（－5，n）离对称轴距离近，
∴m＜n，故C错误；
根据抛物线的对称性可知：（－1，－4）关于对称轴对称的对称称点为（－5，－4），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1，故D正确，
故选：C.
二、细心填一填
11. x＝0，横； 12. （2，0），（－5，0）； 13. m≥－2；
14. k＝0或k＝－1； 15. m≤－； 16. x1＝－1，x2＝3；
17. 4； 18. －＜a＜－2.
11.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.
解答：一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线x＝0的交点的横坐标，
故答案为：x＝0，横.
12.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为_______________________.
解答：令y＝0，则－3(x－2)(x+5)＝0，
解这个方程得：x1＝2，x2＝－5，
∴此抛物线与x的交点坐标为（2，0），（－5，0），
故答案为：（2，0），（－5，0）.
13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是_______________.
解答：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，
又∵当x＞2时，y的值随x的增大而增大，
∴－≤2，解得m≥－2，
故答案为：m≥－2.
14.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.
解答：①当k＝0时，此函数为一次函数，则直线y＝2x－1与x轴只有一个公共点；
②当k≠0时，△＝22－4k×(－1)＝0，解得k＝－1，此时抛物线与x轴只有一个公共点，
综合上述，实数k的值为k＝0或k＝－1，
故答案为：k＝0或k＝－1.
15.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________________.
解答：当m+6＝0，即m＝－6时，此函数为一次函数，这时图象必与x轴有交点；
当m+6≠0，即m≠－6时，△＝4(m－1)2－4(m+6)(m+1)＝－20－36m≥0，
解得m≤－，
综合上述，m的取值范围是m≤－，
故答案为：m≤－.
16.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.
解答：抛物线y＝ax2－2ax+3的对称轴为直线x＝－＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为x1＝－1，x2＝3，
故答案为：x1＝－1，x2＝3.
17.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.
解答：设抛物线与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），
则x1+x2＝2，x1x2＝－3，
∴＝＝＝4，
即此抛物线在x轴上截得的线段长度为4，
故答案为：4.
18.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.
解答：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴△＝(－3)2－4a×（－4）＞0，
解得：a＞－，
设y＝ax2－3x－1，则可画出图象如图，
∵实数根都在－1和0之间，
∴－1＜－＜0，
解得a＜－，
由图象可知：当x＝－1时，y＜0，当x＝0时，y＜0，
即a×(－1)2－3×(－1)－1＜0，－1＜0，
解得a＜－2，
∴－＜a＜－2，
故答案为：－＜a＜－2.
三、解答题
19.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
解答：（1）证明：y＝(x－m)2﹣(x﹣m)＝x2－(2m+1)x+m2+m，
∵△＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝－＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52－4(6+k)＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
20.已知二次函数y＝－x2+2x+m .
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
解答：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4m＞0
∴m＞﹣1，
即m的取值范围是m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+m
∴m＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）．
21.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.
解答：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE＝＝，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH＝BE＝×＝．
22.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
解答：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－1；
（2）当y＝0时，则x2－x－1＝0，
解得：x1＝2，x2＝－1，
∴点D的坐标为（－1，0）；
（3）图象如图所示，当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.
23.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
解答：（1）令x＝0，则y＝1，
故不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的定点（0，1）；
（2）①当m＝0时，函数y＝mx2－6x+1为y＝－6x+1，
∵函数y＝－6x+1图象为一条直线，
∴此时函数图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，∵函数y＝mx2－6x+1与x轴只有一个交点，
∴方程mx2－6x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(－6)2－4m＝0，
解得：m＝9，
综合上述，该函数的图象与x轴只有一个交点时，m的值为0或9.
24.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
解答：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x+)2+k，
把（2，0），（0，3）代入上式得：，
解得：a＝－，k＝，
∴y＝－(x+)2+，即y＝－x2－x+3，
（2）令y＝0，则－x2－x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝－3，
∴B（－3，0），
①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，
即△BOC是等腰直角三角形，
∴当M点在坐标原点O处时，△MBC是等腰三角形，
∴M（0，0）；
②当BC＝BM时，在Rt△BOC中, BO＝CO＝3，
由勾股定理得：BC＝＝3，
∴BM＝3，
∴M（3－3，0），
综合上述，点M的坐标为（0，0）或（3－3，0）.
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九年级上学期数学课时练习题
21.4 二次函数的应用
一、精心选一选
1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A.6cm B.12cm C.24cm D.36cm
2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A.5元 B.10元 C.15元 D.20元
3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A.3s B.4s C.5s D.6s
4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.－20m B.10m
C.20m D.－10m
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成
矩形ABCD的最大面积是（ ）
A.60m2 B.63m2
C.64m2 D.66m2
7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.14元 B.15元 C.16元 D.18元
8﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛
物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线
的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离
OB是（ ）
A.2m B.3m C.4m D.5m
9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（ ）
A.出球点A离地面点O的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到m
D.当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点
10.图2是图1拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝(x－80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A.16米 B.米 C.16米 D.米
图1 图2
二、细心填一填
11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.
13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t－5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.
15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.
16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为________米.
三、解答题
17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
18.某商场有 A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元.
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数
关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
21.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
21.4 二次函数的应用课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D C C B B B
1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A.6cm B.12cm C.24cm D.36cm
解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选：A．
2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A.5元 B.10元 C.15元 D.20元
解答：设应降价x元，
则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选：A．
3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A.3s B.4s C.5s D.6s
解答：∵h＝﹣t2+20t+1，
∴h＝﹣(t﹣4)2+41，
∴当t＝4秒时，礼炮达到最高点爆炸．
故选：B．
4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.－20m B.10m
C.20m D.－10m
解答：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
解答：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选：D．
6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成
矩形ABCD的最大面积是（ ）
A.60m2 B.63m2
C.64m2 D.66m2
解答：设BC＝xm，则AB＝(16﹣x)m，矩形ABCD面积为ym2，
根据题意得：y＝(16﹣x)x＝﹣x2+16x＝﹣(x﹣8)2+64，
当x＝8m时，y最大值＝64m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
故选：C．
7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.14元 B.15元 C.16元 D.18元
解答：设每张床位提高x个2元，每天收入为y元．
则有y＝(10+2x)(100﹣10x)
＝﹣20x2+100x+1000．
当x＝﹣＝2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2时，y＝1120；
x＝3时，y＝1120；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费＝10+3×2＝16（元）．
故选：C．
8﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛
物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线
的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离
OB是（ ）
A.2m B.3m C.4m D.5m
解答：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+，
把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣，
因此抛物线解析式为y＝﹣(x﹣1)2+，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米．
故选：B．
9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（ ）
A.出球点A离地面点O的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到m
D.当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点
解答：A.当x＝0时，y＝1，
则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；
B.当y＝0时，﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；
C.∵y＝﹣x2+ x+1，
∴y＝﹣(x﹣)2+，
∴此次羽毛球最高可达到m，故C正确；
D.∵y＝﹣(x﹣)2+，
∴当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点．故D正确．
∴只有B是错误的．
故选：B．
10.图2是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝(x－80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A.16米 B.米 C.16米 D.米
图1 图2
解答：∵AC⊥x轴，OA＝10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x＝﹣10时，y＝(x－80)2+16＝(－10－80)2+16＝﹣，
∴C（﹣10，﹣），
∴桥面离水面的高度AC为m．
故选：B．
二、细心填一填
11. 22； 12. 19.6； 13. 25；
14. 20； 15. 75； 16. 2．
11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
解答：设定价为x元，
根据题意得：y＝(x﹣15)[8+2(25﹣x)]
＝﹣2x2+88x﹣870
∴y＝﹣2x2+88x﹣870，
＝﹣2(x﹣22)2+98
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝22时，y最大值＝98．
故答案为：22．
12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.
解答：由题意得：t＝4时，h＝0，
因此16a+19.6×4＝0，
解得：a＝﹣4.9，
∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，
足球距地面的最大高度是： ＝19.6（m），
故答案为：19.6．
13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.
解答：设最大利润为w元，
则w＝(x﹣20)(30﹣x)＝﹣(x﹣25)2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t－5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.
解答：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5(t﹣2)2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
故答案为：20.
15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.
解答：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x(30﹣3x)＝﹣3x2+30x＝﹣3(x﹣5)2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故答案为：75．
16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为________米.
解答：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，
故答案为：2．
三、解答题
17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
解答：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴W＝﹣2x+400；
（2）由题意得，y＝(x﹣60)(﹣2x+400)
＝﹣2x2+520x﹣24000
＝﹣2(x﹣130)2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
18.某商场有 A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元.
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
解答：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y＝(x﹣20)[100﹣5(x﹣30)]
∴y＝﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5(x﹣35)2+1125，
∴当x＝35时，y最大＝1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解答：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝a，则AE＝2a，
∴8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，2a＝﹣x+20，
∴y＝(﹣x+20)x+(﹣x+10)x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y＝﹣x2+30x＝﹣(x﹣20)2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数
关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解答：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣t2+5t+，
∴当t＝时，y最大＝4.5；
（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y＝－×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
21.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
解答：（1）连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，
∴HG∥FC，
∴四边开FCGH是平行四边形，
∴FH∥CG，且FH＝CG，
又∵EG＝BC，
∴EG－EC＝BC－EC，即CG＝BE，
∴FH＝BE，
∵FH∥CG，
∴∠DFH＝∠DCG＝90°，
由题意可知：CF＝BE＝a，
在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，
∴DH＝＝a；
（2）设BE＝x，△DHE的面积为y，根据题意得：
y＝S△CDE+S梯形CDHG－S△EGH＝×3a(3a－x)+ (3a+x)x－×3a×x，
∴y＝x2－ax+a2＝(x－a)2+a2，
∴当x＝a，即E为BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是a2.
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九年级上学期数学课时练习题
21.5 反比例函数（1）
一、精心选一选
1﹒下列函数中，y是x的反比例函数的为（ ）
A.y＝2x+1 B.y＝ C.y＝－ D.y＝x2－2x
2﹒函数y＝k是反比例函数，则k的值是（ ）
A.－1 B.2 C.±2 D.±
3﹒若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（ ）
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数
4﹒下列关系中，两个变量之间成反比例函数关系的是（ ）
A.正方形的面积S与边长a的关系
B.正方形的周长C与边长a的关系
C.矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D.矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
5﹒若反比例函数y＝的图象经过点（3，－2），那么这个函数的表达式为（ ）
A.y＝－6x B.y＝－ C.y＝6x D.y＝－
6﹒若y＝是反比例函数，则k必须满足（ ）
A.k≠3 B.k≠0 C.k≠3或k≠0 D.k≠3且k≠0
7﹒已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A.t＝20v B.t＝ C.t＝ D.t＝
8﹒如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，它的面积为10时，则y与x的函数关系式为（ ）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝
9﹒已知变量y与x成反比例函数关系，当x＝3时，y＝－6，那么当y＝3时，x的值是（ ）
A.6 B.－6 C.9 D.－9
10. 某次实验中，测得两个变量v与m的对应数据如下表，则v与m之间的关系最接近下列函数中的是（ ）
m 1 2 3 4 5 6 7
v －6.10 －2.90 －2.01 －1.51 －1.19 －1.05 －0.86
A.v＝m2－2 B.v＝－6m C.v＝－3m－1 D.v＝－
二、细心填一填
11.若函数y＝(m+3)是反比例函数，则m＝_______________.
12.若函数y＝是反比例函数，则m的取值范围是_______；当m＝______时，y是x的反比例函数，且比例系数为3.
13. 一个反比例函数的图象过点A（－2，－3），则这个反比例函数的表达式是____________.
14. 已知A（－1，m）与B（2，m－3）是反比例函数y＝图象上的两个点，则m的值_____.
15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为_______________________.
16.把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为________________________.
三、解答题
17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成.
（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t＞4）之间的函数关系式；
（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？
18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.
（1）这批产品的数量是________件；
（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M（件）与所需天数t（天）之间的函数表达式；
（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？
19.已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当
x＝－1时，y＝1.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝－时，求y的值.
20.小明说：“在如图所示的矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是BC边上一动点，过D作DE⊥AP于点E，设AP＝x，DE＝y，则y是x的反比例函数.”你认为小明说法正确吗？如果正确，请给出证明过程，并写出自变量x的取值范围；如果不正确，请说明理由.
21.如图，某饲养厂计划在靠围墙一面围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案.
22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
（1）猜测并确定y与x的函数关系式；
（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.
23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.
21.5 反比例函数课时练习题（1）
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B D B C A D
1﹒下列函数中，y是x的反比例函数的为（ ）
A.y＝2x+1 B.y＝ C.y＝－ D.y＝x2－2x
解答：A.y＝2x+1，y是x的一次函数，故A不合题意；
B.y＝，y是x2的反比例函数，故B不合题意；
C.y＝－，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.y＝x2－2x，y是x的二次函数，故D不合题意，
故选：C.
2﹒函数y＝k是反比例函数，则k的值是（ ）
A.－1 B.2 C.±2 D.±
解答：∵y＝k是反比例函数，
∴k2－3＝－1，且k≠0，
解得：k＝±，
故选：D.
3﹒若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（ ）
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数
解答：∵y与x成反比例，x与z成反比例，
∴设y＝ ①，x＝k2z ②，
把②代入①得：y＝，
故y与z成反比例函数关系，
故选：B.
4﹒下列关系中，两个变量之间成反比例函数关系的是（ ）
A.正方形的面积S与边长a的关系
B.正方形的周长C与边长a的关系
C.矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D.矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
解答：A.根据题意，得：S＝a2，所以正方形的面积S与边长a是二次函数关系，故A错误；
B.根据题意，得C＝4a，所以正方形的周长C与边长a是正比例函数关系，故B错误；
C.根据题意，得S＝20a，所以矩形的面积S与a是正比例函数关系，故C错误；
D.根据题意，得a＝，所以矩形的长a与宽b之间是反比例函数关系，故D正确，
故选：D.
5﹒若反比例函数y＝的图象经过点（3，－2），那么这个函数的表达式为（ ）
A.y＝－6x B.y＝－ C.y＝6x D.y＝－
解答：把（3，－2）代入y＝得：－2＝，
∴k＝－6，
∴y＝－,
故选：B.
6﹒若y＝是反比例函数，则k必须满足（ ）
A.k≠3 B.k≠0 C.k≠3或k≠0 D.k≠3且k≠0
解答：由题意，得：k(k－3)≠0，
解得：k≠3且k≠0，
故选：D.
7﹒已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A.t＝20v B.t＝ C.t＝ D.t＝
解答：由题意，得：vt＝20，则t＝，
故选：B.
8﹒如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，它的面积为10时，则y与x的函数关系式为（ ）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝
解答：根据题意，得：xy＝10，
∴y＝,
故选：C.
9﹒已知变量y与x成反比例函数关系，当x＝3时，y＝－6，那么当y＝3时，x的值是（ ）
A.－6 B. 6 C.－9 D.9
解答：设y＝，把x＝3，y＝－6代入得：k＝－18，
∴y＝，
∴当x＝3时，y＝－6，
故选：A.
10. 某次实验中，测得两个变量v与m的对应数据如下表，则v与m之间的关系最接近下列函数中的是（ ）
m 1 2 3 4 5 6 7
v －6.10 －2.90 －2.01 －1.51 －1.19 －1.05 －0.86
A.v＝m2－2 B.v＝－6m C.v＝－3m－1 D.v＝－
解答：将m的值代入各选项的函数关系式中，看v的值是否与表中数据相近，若相近，则为正确的解析式，如把m＝1代入各式：A.v＝－1；B.v＝－6；C.v＝－4；D.v＝－6.再把m＝2代入各式：A.v＝2；B.v＝－12；C.v＝－7；D.v＝－3.由此可发现D选项的值与表中数据相近，故D选项符合题意，
故选：D.
二、细心填一填
11. 3； 12. m≠1，4； 13. y＝；
14. 2； 15. y＝； 16. S＝.
11.若函数y＝(m+3)是反比例函数，则m＝_______________.
解答：∵函数y＝(m+3)是反比例函数，
∴8－m2＝－1，且m+3≠0，
∴m＝3，
故答案为：3.
12.若函数y＝是反比例函数，则m的取值范围是_______；当m＝______时，y是x的反比例函数，且比例系数为3.
解答：∵函数y＝是反比例函数，
∴m－1≠0，则m≠1，
由m－1＝3得：m＝4，
故答案为：m≠1，4.
13. 一个反比例函数的图象过点A（－2，－3），则这个反比例函数的表达式是____________.
解答：设这个反比例函数的表达式为y＝，
把A（－2，－3）代入得：k＝6，
∴y＝，
故答案为：y＝.
14. 已知A（－1，m）与B（2，m－3）是反比例函数y＝图象上的两个点，则m的值_____.
解答：∵A（－1，m）与B（2，m－3）是反比例函数y＝图象上的两个点，
∴，解得：，
故答案为：2.
15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为_______________________.
解答：由题意得：人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为y＝＝，
故答案为：y＝.
16.把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为________________________.
解答：由题意得：Sh＝3×2×1，
则S＝，
故答案为：S＝.
三、解答题
17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成.
（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t＞4）之间的函数关系式；
（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？
解答：（1）每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t＞4）之间的函数关系式为：
w＝（t＞4），
（2）由题意，得：－＝＝，
答：每天要多做（t＞4）件夏凉小衫才能完成任务.
18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.
（1）这批产品的数量是________件；
（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M（件）与所需天数t（天）之间的函数表达式；
（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？
解答：（1）60×8＝480（件），
故答案为：480；
（2）乙厂每天加工件数M（件）与所需天数t（天）之间的函数表达式为
y＝（t＞0），
（3）把t＝5代入上式得M＝96，
故如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工96件.
19.已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当
x＝－1时，y＝1.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝－时，求y的值.
解答：∵y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，
∴可设y1＝k1x2，y2＝，
把x＝1时，y＝3和x＝－1时，y＝1代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝2x2+，
（2）当x＝－时，
y＝2×(－)2+(－2)＝－.
20.小明说：“在如图所示的矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是BC边上一动点，过D作DE⊥AP于点E，设AP＝x，DE＝y，则y是x的反比例函数.”你认为小明说法正确吗？如果正确，请给出证明过程，并写出自变量x的取值范围；如果不正确，请说明理由.
解答：小明说法正确，证明如下：
连接DP，
则S△APD＝S矩形ABCD－S△ABP－S△DCP＝6×8－AB(BP+PC)＝24，
又∵S△APD＝xy，
∴xy＝48，即y＝，
自变量x的取值范围是6≤x≤10，
故y是x的反比例函数.
21.如图，某饲养厂计划在靠围墙一面围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案.
解答：（1）由题意，得：xy＝18，
∴y＝，
故y与x之间的函数表达式为y＝（0＜x≤8）；
（2）由y＝，且x、y都为正整数，
∴x可取1、2、3、6、9、18，
但x≤8，x+2y≤18，
∴符合条件的有：x＝3时，y＝6；x＝6时，y＝3，
答：满足条件的所有围建方案：AD＝6cm，CD＝3cm或AD＝3cm，CD＝6cm.
22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
（1）猜测并确定y与x的函数关系式；
（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.
解答：（1）由表中数据可以发现x与y的乘积是一个定值，所以可知y与x成反比例，
设y＝，把（3，20）代入得：k＝60，
∴y与x的函数关系式为y＝；
（2）当x＝10时，y＝6，
所以日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；
（3）∵W＝(x－2)y＝60－，
又∵x≤10，
∴当x＝10时，W最大＝60－＝48，
故日销售单价为10元时，每天获得的利润最大，最大利润为48元.
23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.
解答：∵点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a＝4，
∵点M（2，4）在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）假设函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x）,
则有3mx－1＝2x，
整理得：（3m－2）x＝1，
当3m－2≠0，即m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（，），
当3m－2＝0，即m＝时，x无解，
综合上述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（，），当m＝时，函数图象上不存在“理想点”.
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九年级上学期数学课时练习题
21.5 反比例函数（2）
一、精心选一选
1﹒关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是（ ）
A.图象过（1，2）点 B.图象在第一、三象限
C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.当x＜0时，y随x的增大而增大
2﹒在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3﹒反比例函数y＝（m为常数），当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＜0 B.m＜ C.m＞ D.m≥
4﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例函数y＝－的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时，a的值是（ ）
A.0 B.－3 C.3 D.4
5﹒反比例函数y＝－的图象上有两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A.y1＜y2＜0 B.y1＜0＜y2 C.y1＞y2＞0 D. y1＞0＞y2
6﹒如图，直线y＝－x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
7﹒已知反比例函数y＝的图象经过点P（－1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A.第二、三象限 B.第一、三象限
C.第三、四象限 D.第二、四象限
8﹒如图，直线y＝mx与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A.2 B.m－2 C.m D.4
第8题图 第9题图 第10题图
9﹒如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、C，则矩形OABC的面积为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y＝的图象经过点C，且与AB交于点E.若OD＝2，则△OCE的面积为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
二、细心填一填
11.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是__________________.
12.反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是__________.
13.若函数y＝－kx+2k+2与y＝（k≠0）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
14.如图，直线y＝－x+b与双曲线y＝－（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2－OB2＝__________.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b相交于点M，N，且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程＝kx+b的解为________________.
16. 如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点B，E在反比例函数y＝－的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________.
三、解答题
17.已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象.
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值.
18.如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于A(1，8)，B(－4，m).
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M(x1，y1)、N(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由.
19.反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图于点D，且AB＝3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d＝MC+MD最小，求点M的坐标.
20.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
21.如图，已知一次函数y＝x－3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B.
（1）填空：n的值为______，k的值为__________；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）考察反比例函数y＝的图象，当y≥－2时，请直接写出自变量x的取值范围.
21.5 反比例函数课时练习题（2）
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D B D A B C
1﹒关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是（ ）
A.图象过（1，2）点 B.图象在第一、三象限
C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＜0时，y随x的增大而增大
【解答】当x＝1时，y＝－2，则反比例函数y＝－图象不经过点（1，2），故A错误；
∵k＝－2＜0，∴函数图象位于二、四象限，故B错误；
∵k＝－2＜0，∴该反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C错误；当x＜0时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D.
2﹒在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【解答】当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，
当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．
A.图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误；
B.图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；
C.图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；
D.图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．
故选：B．
3﹒反比例函数y＝（m为常数），当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＜0 B.m＜ C.m＞ D.m≥
【解答】∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴1－2m＜0，则m＞，
故选：C.
4﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例函数y＝－的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时，a的值是（ ）
A.0 B.－3 C.3 D.4
【解答】设A（t，－），
∵A、B两点关于原点对称，
∴B（－t，），
把A（t，－），B（－t，），分别代入y＝－x+a－3得：，
①+②得：2a－6＝0，则a＝3，
故选：C.
5﹒反比例函数y＝－的图象上有两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A.y1＜y2＜0 B.y1＜0＜y2 C.y1＞y2＞0 D. y1＞0＞y2
【解答】∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1＞0＞y2，
故选：D．
6﹒如图，直线y＝－x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
【解答】∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
把C（﹣1，4）代入y＝得：k＝－4，
∴反比例函数的解析式为：y＝－．
故选：B．
7﹒已知反比例函数y＝的图象经过点P（－1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A.第二、三象限 B.第一、三象限
C.第三、四象限 D.第二、四象限
【解答】∵反比例函数y＝的图象经过点P（－1，2），
∴k＝－1×2＝－2＜0，
∴反比例函数的图象分布在二、四象限，
故选：D.
8﹒如图，直线y＝mx与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A.2 B.m－2
C.m D.4
【解答】设A（x，y），
∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM＝，S△AOM＝，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝＝1，则k＝±2．
又∵反比例函数位于一三象限，∴k＞0，故k＝2，
故选：A．
9﹒如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、C，则矩形OABC的面积为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
【解答】设B（m，）（m＞0），
∵BA⊥x轴，
∴A（m，0），∴OA＝m，AB＝，
∴S矩形OABC＝OAAB＝m×＝2，
故选：B.
10.如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y＝的图象经过点C，且与AB交于点E.若OD＝2，则△OCE的面积为（ ）
A.2 B.4
C.2 D.4
【解答】连接AC，
∵OD＝2，CD⊥x轴，
∴OD×CD＝xy＝4，
解得CD＝2，
由勾股定理，得OC＝＝2，
由菱形的性质，可知OA＝OC，
∵OC∥AB，
∵△OCE与△OAC同底等高，
∴S△OCE＝S△OAC＝×OA×CD＝×2×2＝2．
故选：C．
二、细心填一填
11.（－1，－3）； 12. a＞； 13. k＞－且k≠0；
14. 2； 15. x1＝1，x2＝－3； 16. 2.
11.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是__________________.
【解答】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴所求点的坐标为（－1，－3），
故答案为：（－1，－3）.
12.反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是__________.
【解答】∵反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，
∴2a－1＞0，解得：a＞，
故答案为：a＞.
13.若函数y＝－kx+2k+2与y＝（k≠0）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
【解答】把方程组消去y得：－kx+2k+2＝，
整理得：kx2－(2k+2)x+k＝0，
由题意得：△＝(2k+2)2－4k2＞0，解得：k＞－，
∴当k＞－时，函数y＝－kx+2k+2与y＝（k≠0）的图象有两个不同的交点，
故答案为：k＞－且k≠0.
14.如图，直线y＝－x+b与双曲线y＝－（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2－OB2＝__________.
【解答】∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝﹣（x＜0）交于点A，
设A的坐标（x，y），
∴x+y＝b，xy＝﹣1，
而直线y＝﹣x+b与x轴交于B点，
∴OB＝b，
∴又OA2＝x2+y2，OB2＝b2，
∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝(x+y)2﹣2xy﹣b2＝b2+2﹣b2＝2．
故答案为：2．
15.如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b相交于点M，N，且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程＝kx+b的解为________________.
【解答】∵点M（1，3）在反比例函数的图象上，
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点N在反比例函数的图象上，且N点的纵坐标为－1，
∴x＝3，
∴点N的坐标为（－3，－1），
∵点M，N是一次函数图象与反比例函数图象的交点，
∴关于x的方程＝kx+b的解为：x1＝1，x2＝－3，
故答案为：x1＝1，x2＝－3.
16. 如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点B，E在反比例函数y＝－的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________.
【解答】∵OA＝1，OC＝6，
∴点B的坐标为（1，6），
∴k＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设AD＝t，则OD＝1+t，
∴点E的坐标为（1+t，t）,
∴(1+t)t＝6，
解得：t1＝2，t2＝－3（舍去）
∴正方形ADEF的边长为2，
故答案为：2.
三、解答题
17.已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象.
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值.
【解答】（1）根据反比例函数图象关于原点对称知，该函数图象的另一支位于第三象限，
∴m－7＞0，
∴m的取值范围为m＞7；
（2）∵点B与点A关于x轴对称，
∴△AOC≌△BOC，
∴S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝3，
设A（x，），则x×＝3，
解得：m＝13，
故m的值为13.
18.如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于A(1，8)，B(－4，m).
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M(x1，y1)、N(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由.
【解答】（1）把A(1，8)，B(－4，m) 分别代入y＝，得k1＝8，m＝－2，
∵A(1，8)，B(－4，m)在y＝k2x+b图象上，
∴，解得：k2＝2，b＝6
（2）设直线y＝2x+6与x轴交于点C，当y＝0时，x＝－3，
∴OC＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×8+×3×2＝15.
（3）点M在第三象限，点N在第一象限.
①若x1＜x2＜0，点M、N在第三象限分支上，则y1＞y2，不合题意；
②若0＜x1＜x2，点M、N在第一象限分支上，则y1＞y2，不合题意；
③若x1＜0＜x2，点M在第三象限，点N在第一象限，
则y1＜0＜y2，符合题意.
19.反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图于点D，且AB＝3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d＝MC+MD最小，求点M的坐标.
【解答】（1）∵A（1，3），
∴AB＝3，OB＝1，
∵AB＝3BD，
∴BD＝1，
∴D（1，1），
将D（1，1）代入反比例函数解析式得：k＝1；
（2）由（1）知，k＝1，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
由得：或，
∵x＞0，∴C（，），
（3）如图，作C关于y轴的对称点C′,连接C′D交y轴于M，则d＝MC+MD最小，
∴C′（－，），
设直线C′D的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴y＝(3－2)x+2－2，
当x＝0时，y＝2－2，
∴M（0，2－2）.
20.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
【解答】（1）当0≤x＜4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，8）代入得：8＝4k，
解得：k＝2，
故直线解析式为：y＝2x，
当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y＝，
将（4，8）代入得：8＝，
解得：k＝32，
故反比例函数解析式为：y＝；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x＜4），下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．
（2）当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2，
当y＝4，则4＝，解得：x＝8，
∵8﹣2＝6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
21.如图，已知一次函数y＝x－3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B.
（1）填空：n的值为______，k的值为__________；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）考察反比例函数y＝的图象，当y≥－2时，请直接写出自变量x的取值范围.
【解答】（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x－3得：n＝×4﹣3＝3；
把点A（4，3）代入反比例函数y＝得：3＝，
解得k＝12，
故答案为：3，12；
（2）∵一次函数y＝x－3与x轴相交于点B，
∴x－3＝0，解得x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE＝4，AE＝3，OB＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2，
在Rt△ABE中，
AB＝＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3，
∴OF＝OB+BC+CF＝2++2＝4+，
∴点D的坐标为（4+，3）．
（3）当y＝﹣2时，﹣2＝，解得x＝﹣6．
故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．
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九年级上学期数学课时练习题
21.6 综合与实践－获取最大利润
一、精心选一选
1﹒某商人将进货价为100元的商品按每件x元出售，每天可销售（200－x）件.若商人获取最大利润，则每件定价x应为（ ）
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
2﹒一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每件降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A.5元 B.10元 C.0元 D.3元
3﹒便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件售价x（元）之间的关系满足y＝－2(x－20)2+1558，由于某种原因，价格只能在15≤x≤22范围，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.20元 B.1508元 C.1550元 D.1558元
4﹒某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件.如果每件提价1元，日销售量就要减少10件，那么要使每天获得的利润最大，商品的售出价应定为（ ）
A.22元 B.24元 C.26元 D.28元
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元
二、细心填一填
6﹒某商店经营皮鞋，已知所获利润y（单位：元）与销售单价x（单价：元）之间的函数关系式为y＝－x2+24x+2956，则获利最多为___________元.
7﹒出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可以售出（6－x）个，则当x_________元时，一天出售该种文具盒的总利润最大.
8﹒某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
三、解答题
9﹒某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商城试销中发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少？来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？
10.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；
（1）求一次函数的解析式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
11.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______元；②月销量是_____件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
12.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.
（1）试求出每的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
13.某网店打出促销广告：最新潮款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
14.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，
y与x满足如下关系：y＝.
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画.若李明第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
21.6 综合与实践-获取最大利润课时练习
参考答案
一、精心选一选
1﹒某商人将进货价为100元的商品按每件x元出售，每天可销售（200－x）件.若商人获取最大利润，则每件定价x应为（ ）
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
【解答】设商人获取的最大利润为W，则：
W＝(x－100)(200－x)＝－x2+300x－20000，
∵a＝－1＜0，
∴当x＝－＝150时，W有最大值，
故选：A.
2﹒一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每件降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A.5元 B.10元 C.0元 D.3元
【解答】设每件需降价x元，获得利润为W元，
由题意得：W＝(135－x－100)(100+4x)＝－4x2+40x+3500，
∵a＝－4＜0，
∴当x＝－＝5时，W有最大值，
故选：A.
3﹒便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件售价x（元）之间的关系满足y＝－2(x－20)2+1558，由于某种原因，价格只能在15≤x≤22范围，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.20元 B.1508元 C.1550元 D.1558元
【解答】∵函数y＝－2(x－20)2+1558中a＝－2＜0，
∴抛物线开口向下，函数y有最大值，
∴当x＝20时，y最大值＝1550，
而x＝20在15≤x≤22范围，
∴y的最大值为1550，
故选：C.
4﹒某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件.如果每件提价1元，日销售量就要减少10件，那么要使每天获得的利润最大，商品的售出价应定为（ ）
A.22元 B.24元 C.26元 D.28元
【解答】设售价定为每件x元，利润为y元，
由题意得：y＝(x－18)[100－10(x－20)]，
整理得：y＝－10x2+480x－5400＝－10(x－24)2+360，
∵－10＜0，∴当x＝24时，y有最大值为360元，
故先：B.
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元
【解答】设利润为W，在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，
由题意得：W＝－x2+10x+2(15－x)＝－x2+8x+30，
∵－1＜0，
∴W最大值＝＝＝46（元），
故选：D.
二、细心填一填
6﹒某商店经营皮鞋，已知所获利润y（单位：元）与销售单价x（单价：元）之间的函数关系式为y＝－x2+24x+2956，则获利最多为___________元.
【解答】∵a＝－1，
∴y有最大值，最大值为＝3100（元），
故答案为：3100元.
7﹒出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可以售出（6－x）个，则当x_________元时，一天出售该种文具盒的总利润最大.
【解答】设一天出售该种文具盒的利润为W，由题意得：
W＝x(6－x)＝－x2+6x＝－(x－3)2+9，
∵a＝－1＜0，
∴当x＝3时，W最大值＝9，
故答案为：3.
8﹒某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_______元时，该服装店平均每天的销售利润最大，最大利润为______元.
【解答】设定价为x元，
由题意得：y＝(x－15)[8+2(25－x)]
＝－2x2+88x－870
＝－2(x－22)2+98，
∵a＝－2＜0，
∴当x＝22时，y最大值＝98，
即当定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大，最大利润为98元，
故答案为：22，98.
三、解答题
9﹒某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商城试销中发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少？来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图象可得：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x+180，
（2）由题意得：W＝(x－100)y＝(x－100)(－x+180)
＝－x2+280x－18000
＝－(x－140)2+1600，
∵a＝－1＜0，
∴当x＝140时，y最大值＝1600，
答：将售价定140元时，每天可获得最大利润为1600元.
10.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；
（1）求一次函数的解析式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
【解答】∵把x＝65，y＝55；x＝75，y＝45代入y＝kx+b得：
，解得：，
∴所求一次函数的解析式为y＝－x+120，
（2）W＝(x－60)(－x+120)
＝－x2+180x－7200
＝－(x－90)2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
又∵60≤x≤87，
∴当x＝87时，W＝－(87－90)2+900＝891，
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
（3）由W＝500，得500＝－x2+180x－7200，
整理得：x2－180x+7700＝0，
解得：x1＝70，x2＝110，
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60≤x≤87，所以，销售单价x的范围是70≤x≤87.
11.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______元；②月销量是_____件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
【解答】（1）①销售该运动服每件的利润是（x－60）元；
②设月销量W与x的关系式为W＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴W＝－2x+400，
故答案为：x－60，400－2x；
（2）由题意得：y＝(x－60)（－2x+400）
＝－2x2+520x－24000
＝－2(x－130)2－9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润为9800元.
13.某网店打出促销广告：最新潮款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
【解答】（1）由题意得：，
（2）在0≤x≤10时，y＝100x，当x＝10时，y有最大值为1000；
在10＜x≤30时，y＝－3x2+130x，
∴当x＝－＝21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得：x＝22时，y有最大值为1408，
∵1408＞1000，
∴顾客一次性购买22件时，该网站从中获利最多.
14.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y＝.
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画.若李明第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
【解答】（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意得：30n+120＝420，
解得：n＝10，
答：第10天生产的粽子数量为420只；
（2）由图象知：当0≤x≤9时，P＝4.1；
当9≤x≤15时，设P＝kx+b，
把点（9，4.1），（15，4.7）代入得：，
解得：，
∴P＝0.1x+3.2，
①0≤x≤5时，W＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，W最大＝513（元），
②5＜x≤9时，W＝(6－4.1)(30x+120)＝57x+228，
∵x是整数，
∴当x＝9时，W最大＝741（元），
③9＜x≤15时，W＝(6－0.1x－3.2)(30x+120)＝－3x2+72x+336，
∵a＝－3＜0，
∴当x＝－＝12时，W最大＝768（元），
综合上述，当x＝12时，W有最大值，最大值为768元.
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九年级上学期数学课时练习题
21.1 二次函数
一、精心选一选
1﹒下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y＝3x－1 B.y＝ax2+bx+c C.s＝2t2－2t+1 D.y＝x2+
2﹒已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（ ）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
3﹒已知二次函数y＝1－3x+x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A.a＝1，b＝－3，c＝ B.a＝1，b＝3，c＝
C.a＝，b＝3，c＝1 D.a＝，b＝－3，c＝1
4﹒若二次函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A.1 B.－1 C.±1 D.
5﹒已知二次函数y＝3(x－2)2+1，当x＝3时，y的值为（ ）
A.4 B.－4 C.3 D.－3
6﹒下列函数关系中，满足二次函数关系的是（ ）
A.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
B.等边三角形的周长与边长之间的关系
C.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系
D.圆的面积与半径之间的关系
7﹒矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成（ ）
A.y＝x2 B.y＝12－x2 C.y＝(12－x)x D.y＝2(12－x)
8﹒某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品产量y与x的函数关系是（ ）
A.y＝20(1－x)2 B.y＝20+2x
C.y＝20(1+x)2 D.y＝20+20x+20x2
9﹒一只小球由静止开始在一个斜面上向下滚动，通过仪器测得小球滚动的距离s（米）与滚动时间t（秒）之间的关系可用数据表示如下：
时间t/秒 1 2 3 4 5 …
距离s/米 2 8 18 32 50 …
则s与t之间的函数关系式为（ ）
A.s＝2t B.s＝2t2+3 C.s＝2t2 D.s＝2(t－1)2
10.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系是（ ）
A.y＝x2 B.y＝x2
C.y＝x2 D.y＝x2
二、细心填一填
11.形如_______________________________________的函数叫做二次函数，判断一个函数是不是二次函数从①解析式是___________________________________，②次数等于_____，③二次项系数______三个方面判断.
12.二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使_______________________.
13.已知函数y＝(m－1)+3x，当m＝________时，它是二次函数.
14.二次函数y＝(x－2)2－3中，二次项系数为____，一次项系数为_____，常数项为_____.
15.设矩形窗户的周长为6cm，则窗户面积s（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______
______________________，自变量x的取值范围是_________________.
16.如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是_____________.
17.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝______________________.
18.经市场调查，某种商品的进价为每件6元，专卖商店的每日固定成本为150元.当销售价为每件10元时，日均销售量为100件，单价每降低1元，日均销售量增加40个.设单价为x元时的日均毛利润为y元，则y关于x的函数解析式为_________________________.
三、解答题
19.已知函数y＝(m2－m)x2+(m－1)x+m+1.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
20.如图所示，有一块矩形草地长80m，宽60m，现要在中间修筑两条互相垂直的小路，设小路的宽为xm，剩余部分的草坪面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
21.某宾馆客户部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.
（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）求该宾馆客房部每天的收入z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式.
22.某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双.经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双.设每双降价x元，每天总获利y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如果降价50元，每天总获利多少元呢？
23.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现他采用提高售出单价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的售出单价每提高1元，其销售量就要减少10件，若他将售出单价定为每件x元，每天所赚利润为y元，请你求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
24.如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C、E、B、F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，设AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为s，求：
（1）s与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）当x＝3时，求△PBE的面积.
21.1二次函数课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C A D B C C C
1﹒下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y＝3x－1 B.y＝ax2+bx+c C.s＝2t2－2t+1 D.y＝x2+
解答：A.y＝3x－1是一次函数，故A选项错误；
B.y＝ax2+bx+c只有当a不为0时，它才是二次函数，故B选项错误；
C.s＝2t2－2t+1符合二次函数的条件，故C选项正确；
D.y＝x2+含自变量的式子不是整式，故D选项错误，
故选：C.
2﹒已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（ ）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
解答：∵二次项系数a≠0，∴m2+m≠0，解得：m≠0或m≠-1，
∴m的取值范围是m≠0或m≠-1，
故选：C.
3﹒已知二次函数y＝1－3x+x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A.a＝1，b＝－3，c＝ B.a＝1，b＝3，c＝
C.a＝，b＝3，c＝1 D.a＝，b＝－3，c＝1
解答：整理二次函数关系式得：y＝x2－3x+1，所以a＝，b＝－3，c＝1，
故选：D.
4﹒若二次函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A.1 B.－1 C.±1 D.
解答：把y＝5代入函数关系式得：4x2+1＝5，解得：x＝±1，
故选：C.
5﹒已知二次函数y＝3(x－2)2+1，当x＝3时，y的值为（ ）
A.4 B.－4 C.3 D.－3
解答：把x＝3代入二次函数关系式得：y＝3(3－2)2+1，解得：y＝4，
故选：A.
6﹒下列函数关系中，满足二次函数关系的是（ ）
A.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
B.等边三角形的周长与边长之间的关系
C.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系
D.圆的面积与半径之间的关系
解答：A.若设距离为s，速度为v，时间为t，则v＝，故A选项错误；
B.等边三角形的周长与边长之间的关系为c＝3a，故B选项错误；
C.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间成正比例函数关系，故C错误；
D.圆的面积与半径之间的关系为s＝r2，故D正确，
故选：D.
7﹒矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成（ ）
A.y＝x2 B.y＝(12－x)x C. y＝12－x2 D.y＝2(12－x)
解答：矩形的周长为24cm，其中一边为xcm，则另一边长为(12－x)cm，
所以y＝(12－x)x，
故选：B.
8﹒某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品产量y与x的函数关系是（ ）
A.y＝20(1－x)2 B.y＝20+2x
C.y＝20(1+x)2 D.y＝20+20x+20x2
解答：∵产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后的产量为20(1+x)，
∴两年后产品产y与x的函数关系为：y＝20(1+x)2，
故选：C.
9﹒一只小球由静止开始在一个斜面上向下滚动，通过仪器测得小球滚动的距离s（米）与滚动时间t（秒）之间的关系可用数据表示如下：
时间t/秒 1 2 3 4 5 …
距离s/米 2 8 18 32 50 …
则s与t之间的函数关系式为（ ）
A.s＝2t B.s＝2t2+3 C.s＝2t2 D.s＝2(t－1)2
解答：方法一：由表格中的数据可得出规律：2＝1×12，8＝2×22，18＝2×32…，
∴s＝2t2；
方法二：将表格中的数据依次代入到各关系式中去，若能使表格中的数据均成立的关系即可，
故选：C.
10.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系是（ ）
A.y＝x2 B.y＝x2
C.y＝x2 D.y＝x2
解答：作AE⊥AC，DE⊥AE，两垂线相交于点E，作DF⊥AC于点F，则四边形AEGF是矩形，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC＝DE，AC＝AE，
设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a，
CF＝AC－AF＝AC－DE＝3a，
在Rt△CDF中，CF2+DF2＝CD2，
即(3a)2+(4a)2＝x2，
解得：a＝，
∴y＝S梯形ACDE＝(DE+AC)DF＝10a2＝，
故选：C.
二、细心填一填
11. y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）；y＝ax2+bx+c；2；a≠0； 12. 实际问题有意义； 13. －1；
14. ，－2，－1； 15. S＝(3－x)x，0＜x＜3；
16. y＝4x2+160x+1500； 17. a(1+x)2； 18. y＝－40x2+740x－3150（6≤x≤10）.
11.形如_______________________________________的函数叫做二次函数，判断一个函数是不是二次函数从①解析式是___________________________________，②次数等于_____，③二次项系数______三个方面判断.
解答：形如y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，判断一个函数是不是二次函数从①解析式是y＝ax2+bx+c，②次数等于2，③二次项系数a≠0三个方面判断，
故答案为：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）；y＝ax2+bx+c；2；a≠0.
12.二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使_______________________.
解答：二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义，
故答案为：实际问题有意义.
13.已知函数y＝(m－1)+3x，当m＝________时，它是二次函数.
解答：∵函数y＝(m－1)+3x是二次函数，
∴m2+1＝2，且m－1≠0，
解得：m＝－1，
故答案为：－1.
14.二次函数y＝(x－2)2－3中，二次项系数为____，一次项系数为_____，常数项为_____.
解答：由y＝(x－2)2－3得y＝x2－2x－1，所以二次项系数为，一次项系数为－2，常数项为－1，
故答案为：，－2，－1.
15.设矩形窗户的周长为6cm，则窗户面积s（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______
______________________，自变量x的取值范围是_________________.
解答：∵矩形窗户的周长为6cm，宽为x（m），
∴矩形窗户的长为(3－x)m，
由矩形的面积等于长×宽，得S＝(3－x)x，自变量x的取值范围是0＜x＜3，
故答案为：S＝(3－x)x，0＜x＜3.
16.如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是_____________.
解答：由题意，得：y＝(50+2x)(30+2x)
＝4x2+160x+1500，
故答案为：y＝4x2+160x+1500.
17.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝______________________.
解答：∵一月份新产品的研发资金为a元，
二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份研发资金为a×(1+x)，
∴三月份的研发资金为y＝a×(1+x) ×(1+x)＝a(1+x)2，
故答案为：a(1+x)2.
18.经市场调查，某种商品的进价为每件6元，专卖商店的每日固定成本为150元.当销售价为每件10元时，日均销售量为100件，单价每降低1元，日均销售量增加40个.设单价为x元时的日均毛利润为y元，则y关于x的函数解析式为_________________________.
解答：单价为x元时，日销量是(400－40x+100)个，每件的利润是(x－6)元，
则利润y＝(x－6)(400－40x+100)－150，
整理，得：y＝－40x2+740x－3150（6≤x≤10），
故答案为：y＝－40x2+740x－3150（6≤x≤10）.
三、解答题
19.已知函数y＝(m2－m)x2+(m－1)x+m+1.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
解：（1）∵要使此函数为一次函数，
∴必须有：m2－m＝0，且m－1≠0，
解得：m1＝0，m2＝1，且m≠1，
故当m＝0时，这个函数是一次函数，
即m的值为0；
（2）∵要使此函数为二次函数，
∴必须有m2－m≠0，
解得：m1≠0，m2≠1，
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.
20.如图所示，有一块矩形草地长80m，宽60m，现要在中间修筑两条互相垂直的小路，设小路的宽为xm，剩余部分的草坪面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意得：y＝(80－x)(60－x)，
整理得：y＝x2－140x+4800，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x2－140x+4800，
自变量x的取值范围是0＜x＜60.
21.某宾馆客户部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.
（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）求该宾馆客房部每天的收入z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式.
解：（1）由题意得：y＝60－，
（2）∵z＝(200+x)(60－)，
∴z＝－x2+40x+12000；
（3）∵w＝－x2+40x+12000－20(60－)，
∴w＝－x2+42x+10800.
22.某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双.经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双.设每双降价x元，每天总获利y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如果降价50元，每天总获利多少元呢？
解：（1）根据题意知：单价为(300－x)元，销售量为(400+5x)双，
则y＝(400+5x)(300－x－100)
＝－5x2+600x+80000，
即y与x的函数关系式为y＝－5x2+600x+80000；
（2）当x＝50时，y＝－5×502+600×50+80000＝97500，
答：如果降价50元，每天总获利97500元.
23.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现他采用提高售出单价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的售出单价每提高1元，其销售量就要减少10件，若他将售出单价定为每件x元，每天所赚利润为y元，请你求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解：由题意知：每件利润为(x－8)元，销量为[100－10(x－10)]件，
则y＝(x－8) [100－10(x－10)]
＝－10x2+280x－1600，
自变量x的取值范围是10≤x＜20，
答：y与x之间的函数关系式为y＝－10x2+280x－1600，自变量x的取值范围是10≤x＜20.
24.如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C、E、B、F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，设AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为s，求：
（1）s与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）当x＝3时，求△PBE的面积.
解：（1）∵CE＝x，BC＝8，
∴EB＝8－x，
∵△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝45°，
∴△PBE也是等腰三角形，
∴PB＝PE，且PB2+PE2＝EB2，
∴PB＝PE＝EB＝(8－x)，
∴S＝PBPE＝×(8－x)×(8－x)＝(8－x)2＝x2－4x+16，
即S＝x2－4x+16，
∵8－x＞0，
∴x＜8，
又∵x＞0，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜8；
（2）当x＝3时，△PBE的面积＝(8－3)2＝，
答：当x＝3时，△PBE的面积为.
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九年级上学期数学课时练习题
21.2 二次函数y=ax2+k的图象和性质
一、精心选一选
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3﹒二次函数y＝x2+1与y＝x2+2的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A.（2，1） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，2）
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A.它的开口方向是向下 B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2 D.当x＝0时，y有最大值是3
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（－3，0） D.（－3，0）或（3，0）
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（ ）
A.y＝－x2+2 B.y＝－(x+2)2 C.y＝－(x－1)2 D.y＝－x2－2
9﹒已知：x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A.－1 B.2 C. D.3
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A.点C的坐标是（0，1） B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.当x＞0时，y随x的增大而增大
二、细心填一填
11.抛物线y＝2+(m－5)的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
16.两条抛物线y1＝－x2+1，y2＝－x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.
第17题图 第17题图 第18题图
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝－x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
20.已知：一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论.
21.已知：抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
23.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
21.2二次函数y=ax2+k的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C B B A A D D
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
解答：抛物线y＝－x2－1的开口向下，顶点坐标为（0，－1），所以B选项符合要求，
故选：B.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：∵二次函数y＝x2+a的图象开口向上，∴首先排除B错误，
当a＞0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的上方，∴排除A、D错误，
当a＜0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的下方，故C符合要求，
故选：C.
3﹒二次函数y＝x2+1与y＝x2+2的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
解答：∵抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝x2+2的顶点坐标是（0，2），
∴它们的顶点坐标位置不同，
故选：C.
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答：当x＞0时，y随x的增大而增大的函数有：y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，
故选：C.
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A.（2，1） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，2）
解答：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（0，1），
故选：B.
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A.它的开口方向是向下 B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2 D.当x＝0时，y有最大值是3
解答：A.它的开口方向是向上，故A选项错误；
B.当x＜－1时，y随x的增大而减小，故B选项正确；
C.它的对称轴是直线x＝0，故C选项错误；
D.当x＝0时，y有最小值是3，故D选项错误，
故选：B.
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（－3，0） D.（－3，0）或（3，0）
解答：抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（0，9），
故选：A.
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（ ）
A.y＝－x2+2 B.y＝－(x+2)2 C.y＝－(x－1)2 D.y＝－x2－2
解答：将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是y＝－x2+2，
故选：A.
9﹒已知：x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A.3 B.2 C. D.－1
解答：由x2+y＝3得：y＝－x2+3，
当x＝－1时，y＝2，当x＝2时，y＝－1，
∴y的最小值为－1，
故选：D.
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A.点C的坐标是（0，1） B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.当x＞0时，y随x的增大而增大
解答：二次函数y＝－x2+1的图象与y轴交于点坐标为（0，1），故A选项正确；
当y＝0时，即－x2+1＝0，x1＝1，x2＝－1，所以A、B两点坐标分别为（1，0），（－1，0），故AB＝2，所以B选项正确；
∵二次函数图象是轴对称图形，该抛物线又是以y轴为对称轴，∴△ABC是等腰直角三角形，故C选项正确；
∵抛物线y＝－x2+1的开口向下，且以y轴为对称轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故D选项错误.
故选：D.
二、细心填一填
11. －1； 12. 上升； 13. 5；
14. －17，（2，3）； 15. －1； 16. 8；
17. 8； 18. －2.
11.抛物线y＝2+(m－5)的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
解答：由题意知：y＝2+(m－5)是二次函数，
∴m2－4m－3＝2，解得：m1＝－1，m2＝5，
又∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴m－5＜0，故m＜5，
∴m只能取－1，
故答案为：－1.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
解答：抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升的，
故答案为：上升.
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.
解答：根据抛物线是轴对称图形，∵当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴x1与x2互为相反数，即x1+x2＝0，∴当x＝0时，y＝5，
故答案为：5.
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
解答：把x＝2代入y＝2x－1得：y＝3，∴它们的交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝5x2+k得：3＝5×22+k，解得：k＝－17，
故答案为：－17，（2，3）.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
解答：抛物线y＝x2－m的开口向上，有最小值－m，而y的最小值是1，
∴－m＝1，故m＝－1，
故答案为：－1.
16.两条抛物线y1＝－x2+1，y2＝－x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.
解答：如图，过y2＝－x2－1的顶点（0，－1）作平行于x轴的直线与y1＝－x2+1围成的阴影，同过点（0，－3）作平行于x轴的直线与y2＝－x2－1围成的形状相同，
故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，
因此矩形的面积为4×2＝8，
故答案为：8.
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.
解答：∵抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
把y＝4代入y＝x2得：x2＝4，
解得：x＝±4，
又∵过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，
∴B、C两点的横坐标分别为－4，4，
∴BC＝＝8，
故答案为：8.
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
解答：设正方形的对角线OA长为2m，
则B（－m，m），C（m，m）,A（0，2m），
把A、C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
把①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝－，
则ac＝－×2m＝－2，
故答案为：－2.
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝－x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
解答：如图：
（1）y＝x2+1与y＝－x2－1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝－x2－1开口向下，顶点坐标是（0，1）；
（2）它们性质的相同点是：开口程度相同，不同点是：y＝x2+1当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y＝－x2－1当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大.
20.已知：一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，对于x的同一个数值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论.
解答：（1）填表如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y1＝2x －6 －4 －2 0 2 4 6
y2＝x2+1 10 5 2 1 2 5 10
（2）当x取同一数值时，y2≥y1，
证明：∵y2－y1＝x2+1－2x＝(x－1)2，
而(x－1)2≥0，
∴y2－y1≥0，
即y2≥y1.
21.已知：抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.
解答：（1）把x＝m，y＝3代入y＝2x－1得：2m－1＝3，
解得：m＝2，则交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝2x2+n得：3＝8+n，
解得：n＝－5，
故m＝2，n＝－5；
（2）由（1）知：抛物线为y＝2x2－5，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，－5），对称轴为y轴；
（3）当x＜0时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）有，根据题意得：，解得：，，
∴两函数图象还有一个交点，其坐标为（－1，－3）.
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
解答：（1）由得：，，
∵点A在第三象限，点B在第四象限，
∴A（－1，－2），B（2，－5）；
（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？
（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∴C（0，－1），
设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），
∴CD＝＝2，
∴S△ACD＝×2×1＝1，S△BCD＝×2×5＝5，
∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝1+5＝6，
即△ABC的面积为6.
23.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
解答：（1）根据题意得：x2+m＝－2x－2，
整理得：x2+2x+m+2＝0，
∵抛物线c与直线l没有公共点，
∴△＝22－4(m+2)＜0，
解得：m＞－1，
∴当m＞－1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，
∴抛物线c的顶点为（0，－2），
将（0，－2）代入y＝x2+m得：m＝－2，
∴抛物线c的解析式为y＝x2－2，
由得：或，
∴直线l与抛物线c的交点为（0，－2），（－2，2）
∴直线l被抛物线c所截得的线段长为＝2.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，
当x＝±1时，y＝－×(±1)2+4＝，
此处隧道高为+2＝＞4，
故货车能通过隧道.
（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，
反x＝2或－2代入y＝x2+4得：y＝3，
此处隧道高为3+2＝5＞4，
故货车能通过隧道.
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九年级上学期数学课时练习题
21.2二次函数y=ax2的图象和性质
一、精心选一选
1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.都有最低点 D.y随x的增大而减小
2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
4﹒抛物线y＝x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定
5﹒二次函数y＝x2的图象的开口方向是（ ）
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A.B.C.D.
8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（ ）
A.对称轴是y轴 B.顶点是坐标原点
C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.y有最大值
9﹒已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y1＞y2＞y3
C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
10.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝（ ）
A.2 B. C. D.3
二、细心填一填
11.已知关于x的二次函数y＝a，当a＝_____时，其图象开口向上；当a＝_____时，其图象开口向下.
12.已知坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，则m的取值范围是___________________.
13.已知二次函数y＝x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线
于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为__________.
14.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，
则常数a的值是___________.
15.写出抛物线y＝x2与抛物线y＝－x2的一条共同特征
是_________________________.
16.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则当x＝2时，y＝______.
17.抛物线y＝－3x2的对称轴是_______________，当x____________时，抛物线上的点都在x轴的下方.
18.下列函数中，具有过原点，且当x＞0时，y随x的增大而减小，这两个特征的函数有
_______________.（只填序号）
①y＝－ax2（a＞0）；②y＝(a－1)x2（a＜1）；③y＝－2x+a2（a≠0）；④y＝x－a.
三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分）
19.已知函数y＝(m+3)是关于x的二次函数.
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数的增减性.
20.已知，二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.
（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；
（2）求△AOB的面积.
21.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.
22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求△COB的面积.
23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
x/m 5 10 20 30 40 50
y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
甲 乙
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；
（3）当水面宽度为36m时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A A A C D D A
1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.都有最低点 D.y随x的增大而减小
解答：∵a＝2＞0，
∴抛物线y＝－2x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
∵a＝－2＜0，
∴抛物线y＝2x2开口向上，以y轴为对称轴，有最低点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
∵a＝＞0，
∴抛物线y＝x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
综合上述，这三条抛物线均以y轴为对称轴，
故选：B.
2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2，
当a＞0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象，抛物线y＝－ax2开口向下；
当a＜0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象，抛物线y＝－ax2开口向上；
符合上述要求的只有A选项，
故选：A.
3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
解答：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2经过三、四象限，
故选：B.
4﹒抛物线y＝x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定
解答：∵＜＜，
∴抛物线y＝x2的图象开口最大，
故选：A.
5﹒二次函数y＝x2的图象的开口方向是（ ）
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
解答：∵a＝＞0，
∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，
故选：A.
6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答：①y＝－x，要分两种情况判断其增减性，故不符合题意；②y＝－x2（x＜0），y随x的增大而增大，故不符合题意；③y＝2x+1，y随x的增大而增大，故不符合题意；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小，故符合题意，
综上，可知只有④符合题意，
故选：A.
7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A.B.C.D.
解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数，且g＞0，自变量t的取值范围为t＞0，
所以只有C符合题意，
故选：C.
8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（ ）
A.对称轴是y轴 B.顶点是坐标原点
C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.y有最大值
解答：对于二次函数y＝3x2有下列性质：开口向上；以y轴为对称轴；顶点是坐标原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y有最小值，
故选：D.
9﹒已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y1＞y2＞y3
C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
解答：当x＝－3时，y1＝6；当x＝－1时，y2＝；当x＝2时，y3＝，
而＜＜6，∴y2＜y3＜y1，
故选：D.
10.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝（ ）
A.2 B. C. D.3
解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得：x＝，
∴B（，a），
当＝a时，x＝2，
∴C（2，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为2，
∴y1＝(2)2＝4a，
∴点D的坐标为（2，4a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4a，
∴＝4a，解得：x＝4，
∴点E的坐标为（4，4a），
∴DE＝4－2＝2，
∴＝＝2，
故选：A.
二、细心填一填
11. 4，－2； 12. m＜－1； 13. 4；
14. －； 15. 以y轴为对称轴； 16. 4；
17. y轴，≠0； 18. ①②.
11.已知关于x的二次函数y＝a，当a＝_____时，其图象开口向上；当a＝_____时，其图象开口向下.
解答：∵y＝a是二次函数，
∴a2－2a－6＝2，解得：a1＝－2，a2＝4，
∴当a＝4时，其图象开口向上；当a＝－2时，其图象开口向下，
故答案为：4，－2.
12.已知坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，则m的取值范围是___________________.
解答：∵坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，
∴该抛物线的开口向下，则m+1＜0，
解得：m＜－1，
故答案为：m＜－1.
13.已知二次函数y＝x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线
于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为__________.
解答：当y＝2时，x＝±2，则A、B两点横坐标分别为－2，2，
∵AB∥x轴，
∴AB＝＝4，
故答案为：4.
14.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，
则常数a的值是___________.
解答：当x＝1时，y＝ax2＝a，当x＝2时，y＝ax2＝4a，
由a－4a＝4得：a＝－，
故答案为：－.
15.写出抛物线y＝x2与抛物线y＝－x2的一条共同特征
是_________________________.
解答：均以y轴为对称轴，
故答案为：以y轴为对称轴.
16.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则当x＝2时，y＝______.
解答：将P（－2，4）代入y＝ax2得：(－2)2a＝4，
解得：a＝1，∴y＝x2，
∴当x＝2时，y＝4，
故答案为：4.
17.抛物线y＝－3x2的对称轴是_______________，当x____________时，抛物线上的点都在x轴的下方.
解答：抛物线y＝－3x2的对称轴是y轴，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的下方，
故答案为：y轴，≠0.
18.下列函数中，具有过原点，且当x＞0时，y随x的增大而减小，这两个特征的函数有
_______________.（只填序号）
①y＝－ax2（a＞0）；②y＝(a－1)x2（a＜1）；③y＝－2x+a2（a≠0）；④y＝x－a.
解答：具有过原点，且当x＞0时，y随x的增大而减小，这两个特征的函数有：①y＝－ax2（a＞0）；②y＝(a－1)x2（a＜1），
故答案为：①②.
三、解答题
19.已知函数y＝(m+3)是关于x的二次函数.
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数的增减性.
解：∵函数y＝(m+3)是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数；
（2）∵函数图象的开口向下，
∴m+3＜0，
∴m＜－3，
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵该函数有最小值，
∴m+3＞0，
∴m＞－3，
∴当m＝1时，该函数有最小值；
（4）①当m＝－4时，此函数为y＝－x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；②当m＝1时，此函数为y＝4x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小.
20.已知，二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.
（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；
（2）求△AOB的面积.
解：（1）画函数图象如下：
（2）由图象可知：A（－1，1），B（3，9），
设直线y＝2x+3与y轴交点为C，则点C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝×3×1+×3×3
＝+
＝6.
21.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.
解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，
得k＝－1，b＝4，
故y＝－x+4，
∵△AOP的面积为4.5＝×4×y，
∴y＝，
再把y＝代入y＝－x+4，得x＝，
∴P（，），
把P（，）代入到y＝ax2得：a＝.
22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求△COB的面积.
解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝－x+2；
∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2；
（3）由得：或，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（－2，4），
∴S△COB＝S△AOC－S△OAB＝×2×4－×2×1＝3，
即△COB的面积为3.
23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
x/m 5 10 20 30 40 50
y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
甲 乙
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；
（3）当水面宽度为36m时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
解：（1）画出y关于x的函数图象如下：
（2）猜想：y＝x2；
（3）当水面宽度为36m时，相应的x＝18，
则y＝x2＝×182＝1.62，
即此时河段的最大水深为1.62m，
∵货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，
∴当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段.
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