2．1 椭圆 第一课时椭圆及其标准方程 课件 （共31张PPT）

(共31张PPT)
神奇的椭圆
1、经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，感受数学与生活的联系；掌握椭圆的定义、标准方程及标准方程的推导过程；在化简椭圆方程的过程中培养并提高学生运算推理的数学核心素养；
2、经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，培养学生抽象概括的核心素养和数形结合的思想方法；
3、感悟解析几何问题的基本思维模式。解析几何首先是几何，“代数”只是我们解决几何问题时用到的工具。学生在解答过程中，首先要将几何图形的性质用代数的语言来描述，最终是通过坐标的代数运算来研究几何图形的性质。“几何”是我们思考的起点和终点，也是问题的缘起和归宿。

学习目标

栏目索引
知识梳理 自主学习
例题精讲 重点突破
当堂检测 自查自纠
知识梳理 自主学习
1.创设情景 提出问题
请举出日常生活当中哪些图形给我们椭圆的感觉？
我们能否举一些“会动”的椭圆？

——仙女座星系
2.动手操作 构建概念
椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。






M

几点说明：
1、F1、F2是两个不同的点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）

2a
归纳与总结
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆 (是线段F1F2)。
(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
跟踪训练1

解析答案

3.建立椭圆标准方程
1.猜想椭圆的标准方程
当圆柱形透明玻璃杯正常放置时，水面的边界线是一个圆，如果倾斜放置时，水面的边界线是一个椭圆，圆与椭圆有着密切的关系，那么怎么从圆得到椭圆呢？
把圆压扁就是椭圆.
圆心在原点的圆的标准方程为:

可将其变形为下式:
那么椭圆的标准方程会是什么呢？
如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。
解析：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。






O
X
Y
F1
F2


M
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，按椭圆的定义可得:
2.推导椭圆的标准方程


解析答案



①


解析答案
椭圆的标准方程：
(a＞b＞0).

这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.

由图可知椭圆具有对称性，于是表示它的方程也应该有对称性.






O
X
Y
F1
F2


P

那么①式就是:

解析答案
反思与感悟
反思与感悟
含有根式的化简步骤：
（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；
（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)，则椭圆方程为?
(a＞b＞0).
问题思考










如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？


椭圆的方程
两种形式的标准方程的比较：
与


椭圆的焦点在x轴上 椭圆标准方程中x2项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上 椭圆标准方程中y2项的分母较大．
跟踪训练2
轴上,焦点坐标为
轴上,焦点坐标为


3
2


2
3




解析答案
当堂检测

[尝试解答]　(1)法一：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为
由椭圆的定义知



4.例题讲解与变式

解析答案
问题思考
还能用其它方法求其方程吗?
法二：设标准方程为
依题意得


变式1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点到两个焦点的距离和等于 ,求它的标准方程．

变式2、若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．

解析答案
变式训练
变式1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点P到两个焦点的距离和等于 ，求它的标准方程．

整理得







解析答案
变式2、若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．
[尝试解答]法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，

解析答案

解析答案
反思与感悟
反思与感悟
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
当堂检测
1
2
3

解析答案

解析答案

解析答案

解析答案
归纳感悟

作 业
教材Ｐ36 2



同学们，再见！