沪教版（五四学制）上海市松江区 2018-2019学年度第一学期期末质量监控初三数学 试卷（PDF版含答案）
文档属性
| 名称 | 沪教版（五四学制）上海市松江区 2018-2019学年度第一学期期末质量监控初三数学 试卷（PDF版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 845.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-24 07:18:57 | ||
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文档简介
第 1 页 / 共 11 页
松江区 2018 学年度第一学期期末质量监控
初三数学
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2019.01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题纸的相应位置上】
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
4
3
3
4
5
3
5
4
2．把抛物线 向右平移 1 个单位后得到的抛物线是（ ） 2xy ?
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ． 12 ?? xy 12 ?? xy 2)1( ?? xy 2)1( ?? xy
3．下列各组图形一定相似的是（ ）
（A）两个直角三角形； （B）两个等边三角形； （C）两个菱形； （D）两个矩
形．
4．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 AD=2，
BD=3，那么由下列条件能判断 DE∥BC 的是（ ）
（A） ； （B） ； C） ； （D） ．
3
2
?
BC
DE
5
2
?
BC
DE
3
2
?
AC
AE
5
2
?
AC
AE
5．已知 为单位向量， ，那么下列结论中错误的是（ ） e
?
3a e
?
? ?
r
（A） ∥ ； （B） ； （C） 与 方向相同； （D） 与 方向相a
r
e
?
3a ?
r
a
r
e
?
a
r
e
?
反．
6．如图，在△ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，EF∥CD 交 AB 于 F，那么
下列比例式中正确的是（ ）
（A） ； （B） ；
BC
DE
DF
AF
?
DF
AF
DB
DF
?
（第 4 题
图）
A
D E
B C
（第 6 题
图）
F
ED
CB
A
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（C） ； （D） ．
BC
DE
CD
EF
?
AB
AD
BD
AF
?
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知 ，那么 =_____．
3
4
?
b
a
b
ba ?
8．在比例尺为 1︰50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 12 厘米，则甲、乙两地的实
际距离是___________千米.
9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 ，BC=4，那么 AB=________． 2sin
5
A ?
10．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm．
11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：
_______．
12．如果点 、 是二次函数 （k 是常数）图像上的两点，那么? ?14,A y? ? ?23,B y? 22 +y x k? 1y
_______ ．（填“>”、“<”或“=”） 2y
13．小明沿坡比为 1︰ 的山坡向上走了 100 米．那么他升高了______米． 3
14．如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E 和 B、D、F，如
果 AC=3，CE=5，DF=4，那么 BD=_______．
15．如图，已知△ABC，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且 ．设 ，1
3
AD AE
AB AC
? ? AB a?
uuur r
，那么 ______________.（用向量 、 表示） DE b?
uuur r
AC ?
uuur
a b
16．如图，已知△ABC，D、E 分别是边 BA、CA 延长线上的点，且 DE∥BC．如果
,CE=4，那么 AE 的长为_______． 3
5
DE
BC
?
17．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D 是边 AB 的中点，E 是边 AC
上一点，∠ADE=∠C，∠BAC 的平分线分别交 DE、BC 于点 F、
G，那么 的值为_______． AF
AG
（第 18 题图）
x
y
C
B
O
A
a
b
c
A B
C D
E F
m n
（第 14 题图） （第 17 题图）
G
F
E
D
CB
A
（第 16 题
图）
CB
A
DE
AE
（第 15 题
图）
D
CB
A
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18．如图，在直角坐标平面 xoy 中，点 A 坐标为（3，2），∠AOB=90°，∠OAB=30°，AB
与 x 轴交于点 C，那么 AC:BC 的值为______．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
将二次函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图像的22 4 1y x x? ? ? ? ? kmxay ??? 2
开口方向、顶点坐标和对称轴．
20．（本题满分 10 分）
如图，已知△ABC 中，AB=AC=5， ．求底边 BC 的长． 3cos
5
A ?
21．（本题满分 10 分）
如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，DE∥BC，
点 F 在线段 DE 上，过点 F 作 FG∥AB、FH∥AC 分别交 BC 于
点 G、H，如果 BG︰GH︰HC=2︰4︰3．求 的值．
FGH
ADE
S
S
?
?
CB
A
（第 20 题图）
（第 21 题图）
HG
F ED
B C
A
第 4 页 / 共 11 页
22．（本题满分 10 分）
某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长），直线
MN 垂直于地面，垂足为点 P．在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58°、点 N 的仰角为 45°，在
B 处测得点 M 的仰角为 31°，AB=5 米，且 A、B、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广
告牌的宽 MN 的长．
（参考数据： ， ， ， sin 58 0.85? ? cos58 0.53? ? tan 58 1.60? ?
， ， ．） sin 31 0.52? ? cos31 0.86? ? tan 31 0.60? ?
23.（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）
已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，
AB=DC，E 是对角线 AC 上一点，且
AC·CE=AD·BC.
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长 BE 交 AD 于 F，求证：AB2=AF·AD.
（第 22 题图）
B A
M
N
P
广告牌
（第 23 题图）
E
D
CB
A
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24.（本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）
如图，抛物线
cbxxy ???? 2
2
1
经过点 A（﹣2，0），点
B（0，4）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结 AB、PB，如果
∠PBO=∠BAO，求点 P 的坐标；
（3）将抛物线沿 y 轴向下平移 m 个单位，所得新抛物线与
y 轴交于点 D，过点 D 作 DE∥x 轴交新抛物线于点 E，射
线 EO 交新抛物线于点 F，如果 EO=2OF，求 m 的值.
(第 24 题图)
y
xO
B
A
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25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）
如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与
CD 相交于点 E．
（1）如果 BC=6，AC=8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；
（2）联结 PD，如果 PD⊥AB，且 CE=2，ED=3，求 cosA 的值；
（3）联结 PD，如果 ，且 CE=2，ED=3，求线段 PD 的长． 2 22BP CD?
（备用图 2）
A
B
C
D
（备用图 1）
A
B
C
D
（第 25 题
图）
A
B
PC
D
E
第 7 页 / 共 11 页
松江区 2018 学年度第一学期期末质量监控试卷
初三数学参考答案及评分说明
一、选择题：
1．A； 2．D； 3．B； 4．D； 5．C； 6．C．
二、填空题：
7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11． 等；
3
1 6 10 15 ? 2xy ??
12． ； 13． ； 14． ； 15． ； 16． ； ? 50
5
12 ba 3?
2
3
17． ； 18． ．
5
3
3
32
三、解答题：
19．解： ……………………………………………………（1 分） ? ? 122 2 ??? xxy
………………………………………………………（1 分） ? ? 12122 2 ????? xxy
…………………………………………………………………（3 分） ? ? 312 2 ??? xy
开口方向：向上……………………………………………………………………（1 分）
顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2 分）
对称轴：直线 ……………………………………………………………（2 分） 1??x
20．解：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D………………………………………（1 分）
在 Rt△ABD 中， …………………………………………………（2 分）
AB
ADA ?cos
∵ ，AB=5，∴AD=AB·cosA=5× =3……………………………（2 分）
5
3cos ?A
5
3
第 8 页 / 共 11 页
∴BD=4……………………………………………………………………………（2 分）
∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1 分）
∴BC= ………………………………………………………………………（2 分） 52
21．解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B…………………………………………（1 分）
∵FG∥AB，∴∠FGH=∠B………………………………………………………（1 分）
∴∠ADE=∠FGH…………………………………………………………………（1 分）
同理：∠AED=∠FHG……………………………………………………………（1 分）
∴△ADE∽△FGH ………………………………………………………………（1 分）
∴ ……………………………………………………………（1 分）
2
?
?
?
?
?
??
?
?
GH
DE
S
S
FGH
ADE
∵DE∥BC ，FG∥AB，∴DF=BG………………………………………………（1 分）
同理：FE=HC ……………………………………………………………………（1 分）
∵BG︰GH︰HC=2︰4︰3，∴设 BG=2k，GH=4k，HC=3k
∴DF=2k，FE=3k，∴DE=5k ……………………………………………………（1 分）
∴ ……………………………………………………（1 分）
16
25
4
5 2
??
?
?
?
?
??
?
?
k
k
S
S
FGH
ADE
22．（1）在 Rt△APN 中，∠NAP=45°，∴PA=PN………………………………（1 分）
在 Rt△APM 中， ……………………………………………（2 分）
AP
MPMAP ??tan
设 PA=PN=x，∵∠MAP=58°
∴ =1.6x…………………………………………………（1 分） MAPAPMP ??? tan
在 Rt△BPM 中， ……………………………………………（2 分）
BP
MPMBP ??tan
∵∠MBP=31°，AB=5
∴ ……………………………………………………………………（2 分）
x
x
?
?
5
6.16.0
∴ x=3………………………………………………………………………………（1 分）
∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）…………………………………………………（1 分）
答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米．
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23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA………………………………（1 分）
∵AC·CE=AD·BC，∴ ……………………………………………（2 分）
CE
AD
BC
AC
?
∴△ACD∽△CBE ………………………………………………………………（1 分）
∴∠DCA=∠EBC…………………………………………………………………（1 分）
（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=∠EBC……………………………………………（1 分）
∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA……………………………………………（1 分）
∵AD∥BC，AB=DC
∴∠BAD=∠ADC……………………………（2
分）
∴△ABF∽△DAC………………（1 分）
∴ ………………………………（1
DC
AF
AD
AB
?
分）
∵AB=DC，∴ …………（1 分） ADAFAB ??2
24．解：（1）∵抛物线经过点 A（﹣2，0），点 B（0，4）
∴ …………（1 分）， 解得 ………………………（1 分）
?
?
?
?
????
4
022
c
cb 1
4
b
c
??
? ??
∴抛物线解析式为 …………………………………………（1 分） 2
1 4
2
y x x? ? ? ?
（2） ………………………（1 分） ? ?
2
91
2
14
2
1 22 ???????? xxxy
∴对称轴为直线 x=1，过点 P 作 PG⊥y 轴，垂足为 G
∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，
∴ ……………………………………………（1 分）
PG BO
BG AO
?
∴ ，∴ …………………………………（1 分）∴
1 2
1BG
?
1
2
BG ?
，∴P（1， ）………………………………（1 分）
7
2
OG ?
2
7
（3）设新抛物线的表达式为 …（1 分） 2
1 4
2
y x x m? ? ? ? ?
则 , ，DE=2……………………（1 分） ? ?0,4D m? ? ?2,4E m?
过点 F 作 FH⊥y 轴，垂足为 H，∵DE∥FH，EO=2OF
F
（第 23 题图）
E
D
CB
A
(第 24 题图)
y
x
O
B
A
ED
F H
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∴ ，∴FH=1……………………………………………（1 分）
2=
1
DE EO DO
FH OF OH
? ?
① 点 D 在 y 轴的正半轴上，则 ，∴
51,
2
F m? ?? ?? ?
? ?
5
2
OH m? ?
∴ ，∴m=3……………………………………………………（1 分）
4 2
5 1
2
DO m
OH m
?
? ?
?
② 点 D 在 y 轴的负半轴上，则 ，∴
91,
2
F m? ??? ?
? ?
9
2
OH m? ?
∴ ，∴m=5……………………………………………………（1 分）
4 2
9 1
2
DO m
OH m
?
? ?
?
∴综上所述 m 的值为 3 或 5.
25．解：（1）∵P 为 AC 的中点，AC=8，∴CP=4……………………………（1 分）
∵∠ACB=90°，BC=6，∴BP= ……………………………………………（1 分） 2 13
∵D 是边 AB 的中点，P 为 AC 的中点，∴点 E 是△ABC 的重心……………（1 分）
∴ …………………………………………………………（1 分）
2 4 13
3 3
BE BP? ?
（2）过点 B 作 BF∥CA 交 CD 的延长线于点 F………………………………（1 分）
∴ ………………………………（1
CA
BF
DC
FD
DA
BD
??
分）
∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC…………………（1
分）
∵CE=2，ED=3，则 CD=5，∴EF=8
∴ …………………………（1 分）
4
1
8
2
???
EF
CE
BF
CP
∴ ，∴ ，设 CP=k，则 PA=3k，
4
1
?
CA
CP 1
3
CP
PA
?
∵PD⊥AB，D 是边 AB 的中点，∴PA=PB=3k
∴ ，∴ ，∵ ，∴ …………（1 分） kBC 22? kAB 62? kAC 4? 6cos
3
A ?
（3）∵∠ACB=90°，D 是边 AB 的中点，∴
1
2
CD BD AB? ?
（备用图 2）
A
B
C
D
P
E
P
E
（备用图 1）
A
B
C
D
F
第 11 页 / 共 11 页
∵ ，∴ ……………（1 分） 2 22BP CD? 2 2BP CD CD BD AB? ? ? ?
∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP…………………………（1 分）
∴∠BPD=∠A……………………………………………………（1 分）
∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，
△DPE∽△DCP，∴ …………………………（1 分） DCDEPD ??2
∵DE=3,DC=5，∴ …………………………………………………（1 分）15?PD
松江区 2018 学年度第一学期期末质量监控
初三数学
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2019.01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题纸的相应位置上】
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
4
3
3
4
5
3
5
4
2．把抛物线 向右平移 1 个单位后得到的抛物线是（ ） 2xy ?
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ． 12 ?? xy 12 ?? xy 2)1( ?? xy 2)1( ?? xy
3．下列各组图形一定相似的是（ ）
（A）两个直角三角形； （B）两个等边三角形； （C）两个菱形； （D）两个矩
形．
4．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 AD=2，
BD=3，那么由下列条件能判断 DE∥BC 的是（ ）
（A） ； （B） ； C） ； （D） ．
3
2
?
BC
DE
5
2
?
BC
DE
3
2
?
AC
AE
5
2
?
AC
AE
5．已知 为单位向量， ，那么下列结论中错误的是（ ） e
?
3a e
?
? ?
r
（A） ∥ ； （B） ； （C） 与 方向相同； （D） 与 方向相a
r
e
?
3a ?
r
a
r
e
?
a
r
e
?
反．
6．如图，在△ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，EF∥CD 交 AB 于 F，那么
下列比例式中正确的是（ ）
（A） ； （B） ；
BC
DE
DF
AF
?
DF
AF
DB
DF
?
（第 4 题
图）
A
D E
B C
（第 6 题
图）
F
ED
CB
A
第 2 页 / 共 11 页
（C） ； （D） ．
BC
DE
CD
EF
?
AB
AD
BD
AF
?
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知 ，那么 =_____．
3
4
?
b
a
b
ba ?
8．在比例尺为 1︰50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 12 厘米，则甲、乙两地的实
际距离是___________千米.
9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 ，BC=4，那么 AB=________． 2sin
5
A ?
10．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm．
11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：
_______．
12．如果点 、 是二次函数 （k 是常数）图像上的两点，那么? ?14,A y? ? ?23,B y? 22 +y x k? 1y
_______ ．（填“>”、“<”或“=”） 2y
13．小明沿坡比为 1︰ 的山坡向上走了 100 米．那么他升高了______米． 3
14．如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E 和 B、D、F，如
果 AC=3，CE=5，DF=4，那么 BD=_______．
15．如图，已知△ABC，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且 ．设 ，1
3
AD AE
AB AC
? ? AB a?
uuur r
，那么 ______________.（用向量 、 表示） DE b?
uuur r
AC ?
uuur
a b
16．如图，已知△ABC，D、E 分别是边 BA、CA 延长线上的点，且 DE∥BC．如果
,CE=4，那么 AE 的长为_______． 3
5
DE
BC
?
17．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D 是边 AB 的中点，E 是边 AC
上一点，∠ADE=∠C，∠BAC 的平分线分别交 DE、BC 于点 F、
G，那么 的值为_______． AF
AG
（第 18 题图）
x
y
C
B
O
A
a
b
c
A B
C D
E F
m n
（第 14 题图） （第 17 题图）
G
F
E
D
CB
A
（第 16 题
图）
CB
A
DE
AE
（第 15 题
图）
D
CB
A
第 3 页 / 共 11 页
18．如图，在直角坐标平面 xoy 中，点 A 坐标为（3，2），∠AOB=90°，∠OAB=30°，AB
与 x 轴交于点 C，那么 AC:BC 的值为______．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
将二次函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图像的22 4 1y x x? ? ? ? ? kmxay ??? 2
开口方向、顶点坐标和对称轴．
20．（本题满分 10 分）
如图，已知△ABC 中，AB=AC=5， ．求底边 BC 的长． 3cos
5
A ?
21．（本题满分 10 分）
如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，DE∥BC，
点 F 在线段 DE 上，过点 F 作 FG∥AB、FH∥AC 分别交 BC 于
点 G、H，如果 BG︰GH︰HC=2︰4︰3．求 的值．
FGH
ADE
S
S
?
?
CB
A
（第 20 题图）
（第 21 题图）
HG
F ED
B C
A
第 4 页 / 共 11 页
22．（本题满分 10 分）
某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长），直线
MN 垂直于地面，垂足为点 P．在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58°、点 N 的仰角为 45°，在
B 处测得点 M 的仰角为 31°，AB=5 米，且 A、B、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广
告牌的宽 MN 的长．
（参考数据： ， ， ， sin 58 0.85? ? cos58 0.53? ? tan 58 1.60? ?
， ， ．） sin 31 0.52? ? cos31 0.86? ? tan 31 0.60? ?
23.（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）
已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，
AB=DC，E 是对角线 AC 上一点，且
AC·CE=AD·BC.
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长 BE 交 AD 于 F，求证：AB2=AF·AD.
（第 22 题图）
B A
M
N
P
广告牌
（第 23 题图）
E
D
CB
A
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24.（本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）
如图，抛物线
cbxxy ???? 2
2
1
经过点 A（﹣2，0），点
B（0，4）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结 AB、PB，如果
∠PBO=∠BAO，求点 P 的坐标；
（3）将抛物线沿 y 轴向下平移 m 个单位，所得新抛物线与
y 轴交于点 D，过点 D 作 DE∥x 轴交新抛物线于点 E，射
线 EO 交新抛物线于点 F，如果 EO=2OF，求 m 的值.
(第 24 题图)
y
xO
B
A
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25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）
如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与
CD 相交于点 E．
（1）如果 BC=6，AC=8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；
（2）联结 PD，如果 PD⊥AB，且 CE=2，ED=3，求 cosA 的值；
（3）联结 PD，如果 ，且 CE=2，ED=3，求线段 PD 的长． 2 22BP CD?
（备用图 2）
A
B
C
D
（备用图 1）
A
B
C
D
（第 25 题
图）
A
B
PC
D
E
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松江区 2018 学年度第一学期期末质量监控试卷
初三数学参考答案及评分说明
一、选择题：
1．A； 2．D； 3．B； 4．D； 5．C； 6．C．
二、填空题：
7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11． 等；
3
1 6 10 15 ? 2xy ??
12． ； 13． ； 14． ； 15． ； 16． ； ? 50
5
12 ba 3?
2
3
17． ； 18． ．
5
3
3
32
三、解答题：
19．解： ……………………………………………………（1 分） ? ? 122 2 ??? xxy
………………………………………………………（1 分） ? ? 12122 2 ????? xxy
…………………………………………………………………（3 分） ? ? 312 2 ??? xy
开口方向：向上……………………………………………………………………（1 分）
顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2 分）
对称轴：直线 ……………………………………………………………（2 分） 1??x
20．解：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D………………………………………（1 分）
在 Rt△ABD 中， …………………………………………………（2 分）
AB
ADA ?cos
∵ ，AB=5，∴AD=AB·cosA=5× =3……………………………（2 分）
5
3cos ?A
5
3
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∴BD=4……………………………………………………………………………（2 分）
∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1 分）
∴BC= ………………………………………………………………………（2 分） 52
21．解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B…………………………………………（1 分）
∵FG∥AB，∴∠FGH=∠B………………………………………………………（1 分）
∴∠ADE=∠FGH…………………………………………………………………（1 分）
同理：∠AED=∠FHG……………………………………………………………（1 分）
∴△ADE∽△FGH ………………………………………………………………（1 分）
∴ ……………………………………………………………（1 分）
2
?
?
?
?
?
??
?
?
GH
DE
S
S
FGH
ADE
∵DE∥BC ，FG∥AB，∴DF=BG………………………………………………（1 分）
同理：FE=HC ……………………………………………………………………（1 分）
∵BG︰GH︰HC=2︰4︰3，∴设 BG=2k，GH=4k，HC=3k
∴DF=2k，FE=3k，∴DE=5k ……………………………………………………（1 分）
∴ ……………………………………………………（1 分）
16
25
4
5 2
??
?
?
?
?
??
?
?
k
k
S
S
FGH
ADE
22．（1）在 Rt△APN 中，∠NAP=45°，∴PA=PN………………………………（1 分）
在 Rt△APM 中， ……………………………………………（2 分）
AP
MPMAP ??tan
设 PA=PN=x，∵∠MAP=58°
∴ =1.6x…………………………………………………（1 分） MAPAPMP ??? tan
在 Rt△BPM 中， ……………………………………………（2 分）
BP
MPMBP ??tan
∵∠MBP=31°，AB=5
∴ ……………………………………………………………………（2 分）
x
x
?
?
5
6.16.0
∴ x=3………………………………………………………………………………（1 分）
∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）…………………………………………………（1 分）
答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米．
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23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA………………………………（1 分）
∵AC·CE=AD·BC，∴ ……………………………………………（2 分）
CE
AD
BC
AC
?
∴△ACD∽△CBE ………………………………………………………………（1 分）
∴∠DCA=∠EBC…………………………………………………………………（1 分）
（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=∠EBC……………………………………………（1 分）
∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA……………………………………………（1 分）
∵AD∥BC，AB=DC
∴∠BAD=∠ADC……………………………（2
分）
∴△ABF∽△DAC………………（1 分）
∴ ………………………………（1
DC
AF
AD
AB
?
分）
∵AB=DC，∴ …………（1 分） ADAFAB ??2
24．解：（1）∵抛物线经过点 A（﹣2，0），点 B（0，4）
∴ …………（1 分）， 解得 ………………………（1 分）
?
?
?
?
????
4
022
c
cb 1
4
b
c
??
? ??
∴抛物线解析式为 …………………………………………（1 分） 2
1 4
2
y x x? ? ? ?
（2） ………………………（1 分） ? ?
2
91
2
14
2
1 22 ???????? xxxy
∴对称轴为直线 x=1，过点 P 作 PG⊥y 轴，垂足为 G
∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，
∴ ……………………………………………（1 分）
PG BO
BG AO
?
∴ ，∴ …………………………………（1 分）∴
1 2
1BG
?
1
2
BG ?
，∴P（1， ）………………………………（1 分）
7
2
OG ?
2
7
（3）设新抛物线的表达式为 …（1 分） 2
1 4
2
y x x m? ? ? ? ?
则 , ，DE=2……………………（1 分） ? ?0,4D m? ? ?2,4E m?
过点 F 作 FH⊥y 轴，垂足为 H，∵DE∥FH，EO=2OF
F
（第 23 题图）
E
D
CB
A
(第 24 题图)
y
x
O
B
A
ED
F H
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∴ ，∴FH=1……………………………………………（1 分）
2=
1
DE EO DO
FH OF OH
? ?
① 点 D 在 y 轴的正半轴上，则 ，∴
51,
2
F m? ?? ?? ?
? ?
5
2
OH m? ?
∴ ，∴m=3……………………………………………………（1 分）
4 2
5 1
2
DO m
OH m
?
? ?
?
② 点 D 在 y 轴的负半轴上，则 ，∴
91,
2
F m? ??? ?
? ?
9
2
OH m? ?
∴ ，∴m=5……………………………………………………（1 分）
4 2
9 1
2
DO m
OH m
?
? ?
?
∴综上所述 m 的值为 3 或 5.
25．解：（1）∵P 为 AC 的中点，AC=8，∴CP=4……………………………（1 分）
∵∠ACB=90°，BC=6，∴BP= ……………………………………………（1 分） 2 13
∵D 是边 AB 的中点，P 为 AC 的中点，∴点 E 是△ABC 的重心……………（1 分）
∴ …………………………………………………………（1 分）
2 4 13
3 3
BE BP? ?
（2）过点 B 作 BF∥CA 交 CD 的延长线于点 F………………………………（1 分）
∴ ………………………………（1
CA
BF
DC
FD
DA
BD
??
分）
∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC…………………（1
分）
∵CE=2，ED=3，则 CD=5，∴EF=8
∴ …………………………（1 分）
4
1
8
2
???
EF
CE
BF
CP
∴ ，∴ ，设 CP=k，则 PA=3k，
4
1
?
CA
CP 1
3
CP
PA
?
∵PD⊥AB，D 是边 AB 的中点，∴PA=PB=3k
∴ ，∴ ，∵ ，∴ …………（1 分） kBC 22? kAB 62? kAC 4? 6cos
3
A ?
（3）∵∠ACB=90°，D 是边 AB 的中点，∴
1
2
CD BD AB? ?
（备用图 2）
A
B
C
D
P
E
P
E
（备用图 1）
A
B
C
D
F
第 11 页 / 共 11 页
∵ ，∴ ……………（1 分） 2 22BP CD? 2 2BP CD CD BD AB? ? ? ?
∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP…………………………（1 分）
∴∠BPD=∠A……………………………………………………（1 分）
∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，
△DPE∽△DCP，∴ …………………………（1 分） DCDEPD ??2
∵DE=3,DC=5，∴ …………………………………………………（1 分）15?PD
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