朝阳中学 九 年级 下 册 数学 学科教学案
课题 2.3确定二次函数的表达式2 课型 新授 主备人 尚广成
授课时间 年 月 日 总第 78 课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识. 过程与方法：会用待定系数法求二次函数的表达式. 情感与态度价值观：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.教学过程：情景导入已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？ 合作学习知识点1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式例2 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 练一练：一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流 知识点2.用顶点式确定二次函数表达式例3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的解析式. 随记
2、 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中三个点． (1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上． (2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值． 知识点3、用交点式确定二次函数的表达式例5如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平 移后抛物线的顶点落在直线y＝ －x上，并写出平移后抛物线对应的函数表达式． 展示反馈（亮出你的风采！）1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式 ． (2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式 (3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通常可设交点式 。 四、课堂小结：本节课你学会了什么知识? 五、达标检测：六、布置作业：
教学 反思
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(共18张PPT)
第二章 二次函数
第3节 确定二次函数的表达式
第二课时
已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？
1
知识点
用一般式(三点式)确定二次函数表达式
例2 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代人表达式，得
所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为
用一般式求待定系数基本步骤是什么？
已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．
知2－讲
二次函数的表达式的求法的综合运用
一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.
解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
二次函数的表达式的求法的综合运用
一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.
解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
2
知识点
用顶点式确定二次函数表达式
知3－讲
例3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，
3)求这条抛物线的解析式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的解析
式为：y= (x-4)2-1.
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
知3－讲
3
知识点
用交点式确定二次函数的表达式
例5〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物
线对应的函数表达式．
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上
加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个
单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移
后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
知4－讲
1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．
知1－导
1.
一个
两个
三个
形式 含有的字母 需用条件
y＝ax2 a
y＝ax2＋c a，c
y＝a(x－h)2 a，h
y＝a(x－h)2＋k a，h，k
y＝ax2＋bx＋c a，b，c
y＝a(x－x1)(x－x2) a，x1，x2
知1－导
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．
待定系数法
顶点式
y＝a(x－h)2＋k
交点式
y＝a(x－x1)(x－x2)
一般式
y＝ax2＋bx＋c
1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
课堂检测
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
2 (中考·宁波)已知二次函数的图象经过点 A(1,0),B(3,0),
C(2,3), 求这个二次函数的表达式。
知4－练
朝阳中学九年级 班 姓名： 等级：
数学科课堂检测纸
第 二 章 2.3确定二次函数的表达式2总第 78 课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函数表达式．
vs
4-3-2-10
0
04
