朝阳中学 九 年级 下 册 数学 学科教学案
课题 2.4二次函数的应用2 课型 新授 主备人 尚广成
授课时间 年 月 日 总第 80 课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值. 过程与方法： 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力. 情感与态度价值观：体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.教学过程：情景导入某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少? 合作学习 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多? 思考下面的问题: 此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? 2.此题的等量关系是什么? 3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题: (1)销售量可以表示为 ;? (2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;? (3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .? 4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?厂家批发单价是多少时可以获利最多? 随记
例2 某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高? 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x) =-5x2+100x+60000. 问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上? 展示反馈（亮出你的风采！）1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为( ) A.3144元 B.3100元 C.144元 D.2956元 2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( ) A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元 四、课堂小结：本节课你学会了什么知识? 五、达标检测：六、布置作业：
教学 反思
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第二章 二次函数
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?
求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.
即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000= -(x-1000)2+990000.
∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.
问题思考
我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?
利用二次函数解决最大利润问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?
思考下面的问题:
1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
2.此题的等量关系是什么?
3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:
(1)销售量可以表示为 ;?
(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;?
(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .?
4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?厂家批发单价是多少时可以获利最多?
利用二次函数解决最大利润问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
厂家批发单价是多少时可以获利最多?
解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得
=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.
∴当x=12时,y最大=20000.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
例2 某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?
〔解析〕 此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.
解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,
则y=(160+10x)(120-6x),
即y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0,且120-6x＞0, ∴0≤x＜20.
当x=2时,y最大=19440,
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),
因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.
利用二次函数图象解决实际问题
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.
问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?
利用二次函数图象解决实际问题
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.
问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?
结论1:当x＜10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x＞10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.
1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为( )
A.3144元 B.3100元 C.144元 D.2956元
B
2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
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本节课你的收获和困惑是什么？
1.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .?
120元
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.?
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3.(选作)每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,
由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,
∵a=-10＜0,∴当x=9时,w有最大值.
∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.
解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,
由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.
∵k＞0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.
∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.
朝阳中学九年级 班 姓名： 等级：
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第 二 章 2.4二次函数的应用2总第 80 课时
1.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .?
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.?
3.(选作)每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
