朝阳中学 九 年级 下 册 数学 学科教学案
课题 2.5二次函数与一元二次方程1 课型 新授 主备人 尚广成
授课时间 年 月 日 总第 81 课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：理解二次函数 的图象与x轴交点的个数与一元二次方程 根的个数之间的对应关系；过程与方法： 通过观察二次函数 图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程 的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想； 情感与态度价值观：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，结合数形结合的思想体会二次函数与方程之间的联系；教学过程：知识回顾1、二次函数式 (a,b,c是常数，a≠0)，它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线 , 顶点坐标是 。2、观察下列函数的图象， （1）抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 . （2）当x=1时，y= ，当x= 时， y=-2.合作学习 例1 竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示,其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么： h和t的关系式是什么？ (2) 小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 分别求出二次函数 的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图. 随记
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？(2) 一元二次方程 有几个根?验证一下,一元二次方程 有根吗? 探究1：求二次函数图象y=x2-5x+4与x轴的交点A、B的坐标。 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系? 展示反馈（亮出你的风采！）例：已知二次函数 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标. 四、课堂小结：本节课你学会了什么知识? 五、达标检测：六、布置作业：
教学 反思
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(共16张PPT)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
二次函数与一元二次方程
（1）
1、二次函数式 (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线 , 顶点坐标是（ ， ）
2、观察下列函数的图象，
（1）抛物线与x轴有 个交点，
它们的横坐标是 .
二次函数
（2）当x=1时，y=
当x= 时， y=-2.
-2或1
两
0
0
温故检测
（例）竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
(1)h和t的关系式是什么？
(2) 小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴
进行交流.
做一做
解：（1）由题意可知：
做一做
由图象可得：
所以h与t的关系式为：
(2)解法思路： 8s.
可以利用图象直接得出，
也可以解方程
得出.
分别求出二次函数 的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
灵活运用
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后写成点的坐标.
（1，0）
图象与x轴无交点
（-2，0）和（0，0）
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 有几个根?
验证一下,一元二次方程 有根吗?
(3) 二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系?
观察下列二次函数 的图象.
探究总结
探究1：求二次函数图象y=x2-5x+4与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-5x+4=0
解得：x1=1，x2=4；
∴A（1，0） ， B（4，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-5x+4=0
考考你
结论：方程x2-5x+4=0的解就是抛物线y=x2-5x+4与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）
x1，0
x2，0
x
O
A
B
x1
x2
y
二次函数与一元二次方程的联系
如果二次函数的值为y, 求相应的自变量x，就是求相应的一元二次方程的根
合作探索
例如：如果已知二次函数
的值为-1，
求自变量x值，就是求一元二次方程
的根
反之，解方程
，又可以看做已知
二次函数
的值为-1，
求自变量x值
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系?
当二次函数 的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程
的根.
归纳整理:
二次函数 的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
归纳整理
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程 的根关系表
二次函数的图象和x轴的交点 一元二次方程
的根 一元二次方程根的判别式
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
归纳小结
例：已知二次函数
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、
B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标.
拓展延伸，灵活运用
（2）
∵A(1,0)在抛物线 上
B点坐标为（-2，0）
解：（1）证明：令y=0,得
无论m取何值，抛物线与x轴总有公共点.
拓展延伸，灵活运用
归纳小结，课后反思
1、二次函数
的图象和x轴交点
一元二次方程
的根
2、数形结合
3、函数思想
（1）抛物线
与x轴的交点个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（2）抛物线 经过原点，则其顶点坐标为（ ）
（3）关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
A
A
课堂检测
作业布置：
习题2.10 1,2题.
朝阳中学九年级 班 姓名： 等级：
数学科课堂检测纸
第 二 章 2.5二次函数与一元二次方程1总第 81 课时
抛物线 与x轴的交点个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
抛物线 经过原点，则其顶点坐标为（ ）
关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线
的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
