2.2.1综合法与分析法[1]（33张PPT)

(共33张PPT)
2.2.1综合法和分析法
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
新课导入
在以前的学习中，大家已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但是对这些证明方法的内涵和特点，大家又了解多少呢？
本节课我们对综合法和分析法这些证明方法进行较系统的学习.
综合法
不等式：
(a>0,b>0)的证明.
运用以前学过的数学知识，大家自己证明试试看！
回忆…
动动脑
你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
证明:
因为:
所以
所以
所以 成立

再来分析一个例题.
例:
已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
提示
首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.
其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.
最后，给出具体证明：由 b2+c2 ≥ 2ab及条件a>0，
得a(b2+c2) ≥ 2abc；
类似地，得b(c2+a2) ≥ 2abc.
从而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0
∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.

探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论.
知识要点

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
则综合法可用框图表示如下：
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.






…


你能用框图表示综合法吗？


例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．
分析
将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°；
证明：
由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C.
①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以
Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.
②
③
由a，b，c成等比数列，有
④
由
①
②，得
①
②，得
由
①
②，得
由余弦定理及③，可得
再由④，得
即
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由
②
③
,得
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.
⑤
分析法
不等式：
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想，除了综合法，还有别的证明方法吗？
证明:要证
只需证:
只需证:
只需证:
因为: 成立
所以 成立

类比综合法，你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
这类证法的特点是:
这就是另一种证明方法——分析法.
知识要点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：




得到一个明显成立的结论
…




分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
注意

例题2
分析

从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.
证明：
只需证
展开得
只需证
因为 和 都是正数，所以要证
只需证
21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.

综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
分析法最大的特点就是执果索因.
注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 .若由 可以推出 成立，就可以证明结论成立.

例题3
求证
分析
比较已知条件和结论，发现结论中没有 出现角 ，因此第一步工作可以从已知条件中消去 .
观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系 ，于是，由(1) ×(1)-2(2)得 .把它与结论相比较，发现角相同，但函数名不同.
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为
再与 比较，发现只要把 的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
证明：
（3）
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
3.分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
4.在证明数学问题时，通常把综合法和分析法结合起来使用.