3.1.1_数系的扩充和复数的概念[1](29张PPT)

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第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解数系的扩充过程.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要
条件.（重点）
3.了解复数的代数表示法.（难点）
从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.
探究点1 数系的扩充
负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集





分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.
数集扩充到有理数集

1
1
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
毕达哥拉斯
(约公元前560——480年）
无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.
数集扩充到有实数集
数集扩充到实数集
正数与负数，
有理数与无理数，
都是具有“实际意义的量”，
称之为“实数”，构成实数系统.
实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
?
思考？
引入一个新数：

满足
探究点2 复数的概念
?
复数的概念
虚数
纯虚数




≠
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.
笛卡尔
(R.Descartes,1596—1650)
由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.
?
问题1，若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i成立吗？
【提示】　b＝0，a>2.
【提示】　不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．

问题2，　若(a－2)＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？

已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
【精彩点拨】　两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．
1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.非必要非充分条件
2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是（ ）
A.-2+3i B.3-3i
C.-3+3i D.3+3i
A
B
3.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一
个根，那么方程x2=－1的另一个根是________. 　
－i
4.复数i2 (1+i)的实部是________.
-1
解 根据复数相等的定义，得方程组
解得
1. 虚数单位i的引入，数系的扩充；
2. 复数有关概念：

复数的代数形式:
复数的实部、虚部
复数相等
复数的分类
用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路. ———笛卡尔