二项式定理（一）教案[1]
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文档简介
镇原县第二中学教案 自省明德 自胜成学
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学 海 千 秋 勤 汲 取 心 田 万 亩 好 耕 耘1
镇原二中数学组信息化教学教案
课 题 §1.3.1 二项式定理
授课地点 高二（9)教室 授课班级 高二（9)班 授课时间 2018 年 5 月 15 日
授课类型 新授课 课时 第一课时 授课教师 王玥儒
教学目标
知识与技能
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理及相关定义．
过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以
及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
情感与价值
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学
语言的简洁和严谨．
教材分析
教学重点 用计数原理分析得到二项式定理及通项公式
教学难点 用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
学法指导
1、问题诱导→启发讨论→归纳抽象→总结规律→引用延伸。
2、把自己易忘、易出错的疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
教学方法 启发、引导、讨论.
教 学 过 程 学生活动
先
学
自
研
互
动
一、前提测评
当 n=2，3 时，写出
nba )( ? 的展开式。
2)( ba ? =_______________________________________
3)( ba ? = ______________________________________
思考：
1 展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？
2 展开式中各项的系数代表什么？
二、教学过程
（一）、提出问题，引入课题
二项式定理研究的是
nba )( ? 的展开式，如： 222 2)( bababa ???? ，
32233 33)( babbaaba ????? 那么 nba )( ? 的展开式是什么？
（二）引导探究，发现规律
2)( ba ? 、 3)( ba ? 展开式的再认识
探究 1：不运算 3)( ba ? ，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4)根据上述三个问题，你能否从计数原理角度得出 2)( ba ? 、 3)( ba ? 的展开式？
探究 2：仿照上述过程，请你推导 4)( ba ? 的展开式.
（1）分组讨论，互动探究。
（2）用多项式乘法再验证。
（3）写出结果。
探究 3：仿照上述过程，猜想 nba )( ? 的展开式．
)()( *110 NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ???????? ?? ??
自学自研
自主探究
比较异同
总结归纳
探
究
(三) 形成定理，说理证明
证明：
nba )( ? 是 n 个 )( ba ? 相乘，每个 )( ba ? 在相乘时，有两种选择，选 a或选 b，由分步
计数原理可知展开式共有
n2 项（包括同类项），其中每一项都是 kkn ba ? ),1,0( nk ?? 的形式，
对于每一项
kkn ba ? ，它是由 k 个 )( ba ? 选了 b，n－k 个 )( ba ? 选了 a 得到的，它出现的次数
相当于从 n 个 )( ba ? 中取 k 个 b 的组合数 knC ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是
二项式定理．
(四) 熟悉定理，掌握特征
0 1( ) ( )n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N
? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，
这个公式所表示的规律叫二项式定理，等式的左边叫做二项式；等式的右边叫做二项展开式；
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有 ?n １项.
2. 次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n．
各项的次数都等于 n．
3. 二项式系数: 依次为
n
n
k
nnnn CCCCC ,,,,,,
210 ?? ，这里 ),,1,0( nkC kn ???? 称为二项式系数.
4. 二项展开式的通项: 式中的
kknk
n baC
?
叫做二项展开式的通项. 用 1?k
T
表示.
即通项为展开式的第 ?k １项: 1?kT =
kknk
n baC
?
认真思考
分析整合
归纳总结
理解记忆
精
讲
例 1、 求
6)12(
x
x ? 的展开式.
解：分析:先化简再运用公式
6
3
66 )12(1)12()12( ????? x
xx
x
x
x
])2()2()2()2()2()2[(1 6
6
5
6
24
6
33
6
42
6
51
6
6
3 CCCCCC xxxxxxx ???????
)126415820161532664(1 234563 ???????????? xxxxxxx
.1126016024019264 32
23
xxx
xxx ???????
思考：1、展开式的第３项的系数是多少？
2、展开式的第３项的二项式系数是多少？
例 2、（1）求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的系数
所以展开式第 4 项的系数是 280
? ? .12 3
9
的系数的展开式中求 x
x
x ?
?
?
?
?
? ?
T3+1=C73?17-3?(2x)3
=35×23×x3
=280x3
静听思考
观察回答
积极思考
(1)解： (1+2x)
7
的展开式的第 4 项是
镇原县第二中学教案 自省明德 自胜成学
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学 海 千 秋 勤 汲 取 心 田 万 亩 好 耕 耘2
释
疑
（2）解：分析: 先求出 x3 是展开式的那一项,再求它的系数。
91
?
?
?
?
?
? ?
x
x 的展开式的通项是
.)1()1( 9
9
9
9
rrrrrr x
x
x CC ?? ???
根据题意，得
,329 ?? r
.3?r
因此，
3x 的系数是
.84)1( 3
9
3 ??? C
注：
1) 二项式定理的灵活应用
2)区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数：
r
nC ；
项的系数：1.二项式系数与数字系数的积
2.求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开
静听思考
思考回答
总结归纳
记忆归纳
巧
练
内
化
1、
6)1( x? ________________________ 。
（1）展开式共有_____ 项，
（2）展开式的通项公式是 ____________ ，
（4）展开式中第 4 项的二项式系数是 ______，第 4 项系数是_______。
2、写出
7)( ba ? 的展开式。
3、
6)32( ba ? 展开式的第三项为 ________________________ 。
4、
n
nnn CCC ??? ...
21
的值为（ ）
A、 12 ?n B 、 n2 C 、 12 ?n D、 12 ?n
5、写出
n
x
x )
2
1(
3
3 ? 展开式的第 r+1 项。
认真思考
独立作答
订正答案
总结得失
诊
断
反
思
课堂小结：
一个定理： )()( *110 NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ???????? ?? ??
两种思想：1.从特殊到一般的思维方式.
2.用计数原理分析二项式的展开过程.
三个注意：
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
要求：
1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。
2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。
提炼观点
总结归纳
作
业
布
置
1、Ｐ36 习题 1、 2、3、4 题
2、选做 (1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
3、（课外延伸）已知在(
3
x－
1
2
3
x
)
n
的展开式中，第 6项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
认真思考
独立完成
高考
链接
1.（2017.湖南高考）
1053 被 8 整除余数为（ ）
A、1 B 、2 C 、 3 D、7
2. ( 2018.贵阳模拟）二项式
n
4 x
1x2 ?
?
?
?
?
? ? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等
差数列，则此展开式有理项的项是________________________ 。
3. （金太阳示范卷） 已知(
1 2
4
x? )n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展式中
二项式系数最大的项的系数．
自主交流
合作探究
教导
处审
阅
教研组长审批
教学
后记
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学 海 千 秋 勤 汲 取 心 田 万 亩 好 耕 耘1
镇原二中数学组信息化教学教案
课 题 §1.3.1 二项式定理
授课地点 高二（9)教室 授课班级 高二（9)班 授课时间 2018 年 5 月 15 日
授课类型 新授课 课时 第一课时 授课教师 王玥儒
教学目标
知识与技能
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理及相关定义．
过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以
及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
情感与价值
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学
语言的简洁和严谨．
教材分析
教学重点 用计数原理分析得到二项式定理及通项公式
教学难点 用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
学法指导
1、问题诱导→启发讨论→归纳抽象→总结规律→引用延伸。
2、把自己易忘、易出错的疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
教学方法 启发、引导、讨论.
教 学 过 程 学生活动
先
学
自
研
互
动
一、前提测评
当 n=2，3 时，写出
nba )( ? 的展开式。
2)( ba ? =_______________________________________
3)( ba ? = ______________________________________
思考：
1 展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？
2 展开式中各项的系数代表什么？
二、教学过程
（一）、提出问题，引入课题
二项式定理研究的是
nba )( ? 的展开式，如： 222 2)( bababa ???? ，
32233 33)( babbaaba ????? 那么 nba )( ? 的展开式是什么？
（二）引导探究，发现规律
2)( ba ? 、 3)( ba ? 展开式的再认识
探究 1：不运算 3)( ba ? ，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4)根据上述三个问题，你能否从计数原理角度得出 2)( ba ? 、 3)( ba ? 的展开式？
探究 2：仿照上述过程，请你推导 4)( ba ? 的展开式.
（1）分组讨论，互动探究。
（2）用多项式乘法再验证。
（3）写出结果。
探究 3：仿照上述过程，猜想 nba )( ? 的展开式．
)()( *110 NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ???????? ?? ??
自学自研
自主探究
比较异同
总结归纳
探
究
(三) 形成定理，说理证明
证明：
nba )( ? 是 n 个 )( ba ? 相乘，每个 )( ba ? 在相乘时，有两种选择，选 a或选 b，由分步
计数原理可知展开式共有
n2 项（包括同类项），其中每一项都是 kkn ba ? ),1,0( nk ?? 的形式，
对于每一项
kkn ba ? ，它是由 k 个 )( ba ? 选了 b，n－k 个 )( ba ? 选了 a 得到的，它出现的次数
相当于从 n 个 )( ba ? 中取 k 个 b 的组合数 knC ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是
二项式定理．
(四) 熟悉定理，掌握特征
0 1( ) ( )n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N
? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，
这个公式所表示的规律叫二项式定理，等式的左边叫做二项式；等式的右边叫做二项展开式；
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有 ?n １项.
2. 次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n．
各项的次数都等于 n．
3. 二项式系数: 依次为
n
n
k
nnnn CCCCC ,,,,,,
210 ?? ，这里 ),,1,0( nkC kn ???? 称为二项式系数.
4. 二项展开式的通项: 式中的
kknk
n baC
?
叫做二项展开式的通项. 用 1?k
T
表示.
即通项为展开式的第 ?k １项: 1?kT =
kknk
n baC
?
认真思考
分析整合
归纳总结
理解记忆
精
讲
例 1、 求
6)12(
x
x ? 的展开式.
解：分析:先化简再运用公式
6
3
66 )12(1)12()12( ????? x
xx
x
x
x
])2()2()2()2()2()2[(1 6
6
5
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24
6
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6
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51
6
6
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)126415820161532664(1 234563 ???????????? xxxxxxx
.1126016024019264 32
23
xxx
xxx ???????
思考：1、展开式的第３项的系数是多少？
2、展开式的第３项的二项式系数是多少？
例 2、（1）求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的系数
所以展开式第 4 项的系数是 280
? ? .12 3
9
的系数的展开式中求 x
x
x ?
?
?
?
?
? ?
T3+1=C73?17-3?(2x)3
=35×23×x3
=280x3
静听思考
观察回答
积极思考
(1)解： (1+2x)
7
的展开式的第 4 项是
镇原县第二中学教案 自省明德 自胜成学
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学 海 千 秋 勤 汲 取 心 田 万 亩 好 耕 耘2
释
疑
（2）解：分析: 先求出 x3 是展开式的那一项,再求它的系数。
91
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?
?
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x 的展开式的通项是
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9
9
9
rrrrrr x
x
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根据题意，得
,329 ?? r
.3?r
因此，
3x 的系数是
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3 ??? C
注：
1) 二项式定理的灵活应用
2)区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数：
r
nC ；
项的系数：1.二项式系数与数字系数的积
2.求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开
静听思考
思考回答
总结归纳
记忆归纳
巧
练
内
化
1、
6)1( x? ________________________ 。
（1）展开式共有_____ 项，
（2）展开式的通项公式是 ____________ ，
（4）展开式中第 4 项的二项式系数是 ______，第 4 项系数是_______。
2、写出
7)( ba ? 的展开式。
3、
6)32( ba ? 展开式的第三项为 ________________________ 。
4、
n
nnn CCC ??? ...
21
的值为（ ）
A、 12 ?n B 、 n2 C 、 12 ?n D、 12 ?n
5、写出
n
x
x )
2
1(
3
3 ? 展开式的第 r+1 项。
认真思考
独立作答
订正答案
总结得失
诊
断
反
思
课堂小结：
一个定理： )()( *110 NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ???????? ?? ??
两种思想：1.从特殊到一般的思维方式.
2.用计数原理分析二项式的展开过程.
三个注意：
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
要求：
1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。
2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。
提炼观点
总结归纳
作
业
布
置
1、Ｐ36 习题 1、 2、3、4 题
2、选做 (1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
3、（课外延伸）已知在(
3
x－
1
2
3
x
)
n
的展开式中，第 6项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
认真思考
独立完成
高考
链接
1.（2017.湖南高考）
1053 被 8 整除余数为（ ）
A、1 B 、2 C 、 3 D、7
2. ( 2018.贵阳模拟）二项式
n
4 x
1x2 ?
?
?
?
?
? ? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等
差数列，则此展开式有理项的项是________________________ 。
3. （金太阳示范卷） 已知(
1 2
4
x? )n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展式中
二项式系数最大的项的系数．
自主交流
合作探究
教导
处审
阅
教研组长审批
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