沪教版（上海）高二上学期8．1向量的坐标表示及其运算 教案

资源信息表
标 题: 8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）
关键词: 平行、点共线、定比分点坐标公式
描 述: 教学目标1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固充要条件的证明方式；2．会用平行的充要条件解决点共线问题；3．定比分点坐标公式.教学重点与难点课本例5的演绎证明；向量在平面几何中的应用.
学 科: 高中二年级>数学第一学期>8.1 语 种: 汉语
媒体格式: 教学设计.doc 学习者: 学生、教师
资源类型: 文本类素材 教育类型: 高中教育>高中二 年级


8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）

一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
2．会用平行的充要条件解决点共线问题；
3、定比分点坐标公式.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
四、教学流程设计

五、教学过程设计 ：
复习向量平行的概念：
提问：（1）升么是平行向量？方向相同或相反的向量叫做平行向量。
（2）实数与向量相乘有何几何意义?
（3）由此对任意两个向量，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行？对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行
（4）思考：如果向量用坐标表示为能否用向量的坐标来刻画这个数量关系？
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（ ）条件.
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5 若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.
证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：
非零向量存在非零实数，使得，即
，化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性：
（1）若,则、、、全不为零，显然有，即
（2）若，则、、、中至少有两个为零.
①如果，则由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即
②如果，则有，同理可证
综上，当时，总有
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ②；③(+)//(－)
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为 ；
[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题一：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____
（学生讨论与分析）
[说明] 三点共线的证明方法总结：
法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.
*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.
问题二：定比分点公式：
设点P（，，点P是直线 上任意一点，且满足 ，求点P的坐标.
解：由 ，可知，因为≠-1，
所以 ，这就是点P的坐标.
[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段的定比分点公式.
2．小组交流
（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当=1时，点P的坐标是什么？
（2）满足式子的点P称为向量 的分点.
思考：上式中正确反映 P，， 三点位置关系的是（ ）
A、 始→分，分→终.B、始→分，终→分.C、终→分，分→始
（3）关于定比和分点P 叙述正确的序号是
1）点在线段中点时，=1;2）点在线段上时，0
3）点在线段外时，﹤0; 4）定比
[说明]由定比分点公式可知=1 时有 ，此公式叫做线段的中点公式. 此公式应用很广泛.
3．例题辨析
例1、已知平面上A、B、C三点的坐标分别为A（ ， ， ，G是△ABC的重心，求点G的坐标.
解：由于点G是△ABC的重心，因此CG与AB的交点D是AB的中点，于是点D的坐标是（）.
设点G的坐标为，且
则由定比分点公式得 ，整理得
这就是△ABC的重心G的坐标.
[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.

例2、 且有求实数的值.
解1： 由已知可求 ， 故10= .（-15），
所以定比=- .
解2： 因为，所以P，，三点共线，由定比分点公式
得12= 解出实数=- .
解3：由图形可知点P 在线段外，故﹤0 ，又 = ，
所以=- .
[说明] 本题已知三点坐标求定比的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.
课后作业

复习引入