课件16张PPT。第2章 一元二次方程1 一元二次方程（1）九年级数学上 新课标 [北师] 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?生活思考（2）如果将这个五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？观察下面等式：
数学思考（1）你还能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？生活中的数学如图所示，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的低端滑动多少米？你能化简这个方程吗?6x＋672＋(x＋6)2 ＝102xm8m10m7m6m10m1m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 m;
根据题意，可得方程：一元二次方程的定义归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.这三个方程有什么共同特点? 什么样的方程是一元二次方程呢?
由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)二次项一次项常数项二次项系数一次项系数知识拓展构成一元二次方程的条件 例题讲解 例1 判断下列方程是否是一元二次方程. (1)2x-x2=0; (2)2x2-x+5=0; (3)ax2+bx+c=0; (4)4x2- +7=0.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.例题讲解 例2 把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=2x+4+8, 移项,合并同类项,得3x2-5x-12=0, 二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12. （2）任何一个一元二次方程，经过整理都可以变为一般形式.【知识拓展】对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点： （1）“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分，因为方程ax2 ＋bx ＋c =0只有当a≠0时，才叫做一元二次方程.当a=0，b≠0时，它是一元一次方程.（4）要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.（3）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式. a x 2 + b x + c = 0(a、b、c为常数且a ≠ 0) 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？二次项系数一次项系数常数项b x叫一次项 a x 2 又叫二次项课堂小结 1.下列6个方程 (1)3x+2=x2; (2) +y=5; (3)y2+2x3=0; (4)mnx2+(m+n)x+1=0; (5)x2-2 x+4=0; 其中是一元二次方程的是 .(填序号)? 解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).(1)(5) 2.将方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式为 .? ? 解析:一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2=0.故填3x2-5x-2=0. 解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2+4+(-1)=5.故填5.53x2-5x-2=03.一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .4.下列方程中,是一元二次方程的是 ( ） A.x2+5x=2 B. x3+7x-2=0 C.x2+=3 D.7x-=2 解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.A课件18张PPT。第 2 章 一元二次方程1 一元二次方程（2）九年级数学上 新课标 [北师] 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗? 观察思考 如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗? (1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由. 探索尝试分析:因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5. 分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(2)你能确定x的大致范围吗? (3)计算,填写下表:分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗? 问题探究 在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0. (1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么? 分析:若底端也滑动了1 m,此(1+6)2+72<102,因此滑动的距离是大于1 m的. (2)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? 分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知,如果底端滑动的距离是2 m或者3 m,那么x2+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑动的距离小于2 m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?根据前面的分析,得出x的取值范围大致是12.当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?根据上表思考:
1.当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?(1.3更接近)(1.2更接近)
综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1所以x的整数部分是1,十分位是1.(大于真实值)3.当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)4.当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x10)而a+b+c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2+bx+c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2+bx+c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.[知识拓展] 课堂小结在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围; (1)将方程变为一元二次方程的一般形式; 采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解. 3.解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0. (2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数. (3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40. 1.根据下表,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 ( )
A.3解析:由表中的数据可知,当x的值由3.24变化到3.25时,ax2+bx+c的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax2+bx+c的值等于0.故选C.C 2.用22 cm长的铁丝,折成一个面积为15 cm2的矩形,设矩形的一边长为x cm,则x的大致范围是 ( ) A.x>0 B.030时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40. 课件13张PPT。第2章 一元二次方程2配方法求解一元二次方程（1）九年级数学上 新课标 [北师]你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?
(1)x2=5; (2)2x2+3=5;
(3)x2+2x+1=5; (4)(x+6)2+72=102.
解:(1)x2=5?x=±.(2)2x2+3=5?2x2=2?2x2=1?x=±1.(3)x2+2x+1=5?(x+1)2=5?x=-1±..(4)(x+6)2+72=102?(x+6)2=51?x=-6±思考探索填上适当的数,使下列等式成立.
(1)x2+12x+ =(x+6)2;?
(2)x2-4x+ =(x- )2;?
(3)x2+8x+ =(x+ )2.?在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?(常数项等于一次项系数的一半的平方)62?22?2?42?4?学 习 新 知例1 解方程:x2+8x-9=0.解:移项,得:x2+8x=9,配方,得:x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方),
即(x+4)2=25,开平方,得x+4=±5, 即x+4=5或x+4=-5,
所以x1=1,x2=-9.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.(5)定解:写出原方程的解.利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程；(4)求解:解一元一次方程;知识拓展例题 已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少?解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).
则x+2=10+2=12(m).解:设矩形的宽为x m,则长为(x+2)m,
依题意,得x(x+2)=120,
即x2+2x=120,方程可化为(x+1)2=121,答:苗圃的长为12 m,宽为10 m.知识拓展 配方法,顾名思义,就是利用添项或拆项的方法,结合已有项,构造完全平方式.下面我们用图形面积解释配方法解方程的过程,如求方程x2+10x=39的解,把x2+10x解释为下图中.多边形ABCDEF的面积,为了求出x,我们考虑把这块图形补成一个正方形,为此必须补上正方形DCGE.从图中可以看出,正方形DCGE的面积为52(它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方),由于大正方形的面积为39+25=64,可知这个大正方形的边长为8,又由图形可知边长为x+5,故x=3.这里,我们直观地看到了配方的几何意义.有时受几何图形的限制,我们只能求出方程的正数解.解析:移项得x2-10x=11,配方得x2-10x+25=11+25,即(x-5)2=36.故填(x-5)2=36.1.将方程x2-10x-11=0化成(x+m)2=n(n≥0)的形式是 .?(x-5)2=362.用配方法解下列方程.
(1)x2+8x=9;
解:(1)配方,得x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方),
即(x+4)2=25,开平方,得x+4=±5,
即x+4=5或x+4=-5,
所以x1=1,x2=-9.2.用配方法解下列方程.
(3)x2-6x=2; 解：配方,得x2-6x+32=2+32,,即(x-3)2=11,开平方,得x-3=±,2.用配方法解下列方程.
(4)x2-x-1=0.移项,得x2-x=1,2.用配方法解下列方程.
(2)x2+2x-15=0;
即x+1=4或x+1=-4,
所以x1=3,x2=-5.移项,得x2+2x=15,配方,得x2+2x+12=15+12,即(x+1)2=16,开平方,得x+1=±4,课件24张PPT。第2章 一元二次方程2配方法求解一元二次方程（2）九年级数学上 新课标 [北师]开平方,得x-3=±7,
即x-3=7或x-3=-7,
所以x1=10,x2=-4.课前复习解方程:x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40,配方,得x2-6x+32=40+32,
即(x-3)2=49,将下列各式填上适当的项,使其配
成完全平方式.
(1)x2+2x+ =(x+ )2;?
(2)x2-4x+ =(x- )2;?
(3)x2+ +36=(x+ )2;?
(4)x2+10x+ =(x+ )2;?
(5)x2-x+ =(x- )2.?114212x6255学 习 新 知知识拓展 (1)利用配方法解一元二次方程的一般步骤:①方程两边同时除以二次项系数,将二次项系数化为1;②把常数项移到方程右边;③在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方式;④利用直接开平方法求解.解方程:3x2+8x-3=0.例1 解方程:x2+8x-9=0.解:移项,得:x2+8x=9,配方,得:x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方),
即(x+4)2=25,开平方,得x+4=±5, 即x+4=5或x+4=-5,
所以x1=1,x2=-9.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.(5)定解:写出原方程的解.利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程；(4)求解:解一元一次方程;知识拓展（1）（2）配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“配凑法”.(3)最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,其依据是完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab.(4)在应用配方法解一元二次方程时有两种做法:一种是先移走常数项,然后方程两边同时除以二次项系数,把二次项系数化为1,两边再同时加上一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方,把原方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,两边同时开方,把一元二次方程转化为一元一次方程.另一种是先移走常数项,通过“凑”与“配”进行配方.例题 已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少?解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).
则x+2=10+2=12(m).解:设矩形的宽为x m,则长为(x+2)m,
依题意,得x(x+2)=120,
即x2+2x=120,方程可化为(x+1)2=121,答:苗圃的长为12 m,宽为10 m. 知识拓展（2）, 1.解方程:2x2+6x-3=0.解法1:移项,得2x2+6x=3,解法2:移项,得2x2+6x=3,原方程可变为:证明:∵x2-4x+4.5=x2-4x+22-22+4.5=(x-2)2+0.5≥0.5>0,
∴无论x为何值,代数式x2-4x+4.5的值恒大于零.2.用配方法证明:无论x为何值,代数式x2-4x+4.5的值恒大于零.〔解析〕此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧,把-20xy裂成-18xy与-2xy的和来完成配方,并根据完全平方式为非负数的性质,把方程化为二元一次方程组求解.3.若x2y2-20xy+x2+y2+81=0,求x,y的值.解:∵x2y2-20xy+x2+y2+81=0,
∴(x2y2-18xy+81)+(x2-2xy+y2)=0,
即(xy-9)2+(x-y)2=0,
【解析】先将多项式转化成几个完全平方式的和的形式,然后就其结构特征进行合理的分析、推理.因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0,并且2(x-2y)2,(x-2)2,(y+3)2这三个式子不可能同时为0,所以M>0.故选A.4.若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数),则M的值一定是 ( )
A.正数 B.负数 C.零 D.整数A【解析】 复合二次根式的化简是将被开方数化成完全平方的形式,要用到配方的思想.已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,判断这个三角形的形状.【解析】确定三角形的形状,主要是讨论三条边之间的关系.代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式,可以重新拆项、组合.
即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,所以a=b=c,即三角形是等边三角形.解:已知条件可化为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,(1)x2- 解析:第一个代数式的配方要注意二次项的系数没有化为1,而是提到括号的前面,第二个是同时在方程的两边加上一次项系数一半的平方.2. 2x2-6x+3=2(x- )2- ;
x2+mx+n=(x+ )2+ .? ,,3.用配方法解下列方程.
(1)3x2-4x-2=0;3.用配方法解下列方程.
(2)2x2+3x-2=0;3.用配方法解下列方程.
(3)4(x-3)2=225;3.用配方法解下列方程课件21张PPT。第2章 一元二次方程3公式法求解一元二次方程（1）九年级数学上 新课标 [北师]课前复习用配方法解下列方程.
(1)2x2+3=7x; 解:(1)将方程化成一般形式:2x2-7x+3=0,
两边都除以二次项系数:用配方法解下列方程.
(2)3x2+2x+1=0.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;学 习 新 知3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.根的判别式对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.例1 解方程：x2-7x-18=0解：这里 a=1, b= -7, c= -18.∵ b 2 - 4a c =(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,即：x1=9, x2= -2.例题讲解例2 4x2+1=4x.例题讲解解:原方程化为一般形式,得4x2-4x+1=0,
这里a=4,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,知识拓展公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);(2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根);(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出
的值.最后写出方程的根.不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)2x2+3x-4=0;例题补充解:(1)∵a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.(2)4y2+9=12y;解：原方程可化为4y2-12y+9=0,
∴a=4,b=-12,c=9,
∴b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0,
∴原方程有两个相等的实数根.(3)5(x2+1)-7x=0.解：原方程可化为5x2-7x+5=0,
∴a=5,b=-7,c=5,
∴b2-4ac=(-7)2-4×5×5<0,
∴原方程无实数根.(5)用公式法解出的根应注意适当化简.正确使用求根公式解一元二次方程时应注意以下五点:知识拓展(1)注意化方程为一般式:ax2+bx+c=0(a≠0);(2)注意a,b,c的值应包括各自的符号;(3)注意方程有实数根的前提条件是判别式b2-4ac≥0;(4)由判别式Δ的值决定方程的根,解题时灵活选用解题方法和技巧;(1)x2- 解析:可以把方程左边的项移到右边,这样化简比较简便.原方程可化为x2+3x-4=0,这里a=1,b=3,c=-4,b2-4ac=32-4×1×(-4)=25.
答案:x2+3x-4=0 251.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为 ,b2-4ac= .?x2+3x-4=025 2.方程x2+x-1=0的根是 .?解析:直接代入公式 即可. 方程x2+x-1=0中,a=1,b=1,c=-1,∴b2-4ac=5,,3.用公式法解方程 时，其中求得的b2-4ac的值是 .?解析:要求b2-4ac的值,需将原方程先转化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.原方程可化为644.用公式法解下列方程.
(1)3x2-x-2=0;
解:(1)∵a=3,b=-1,c=-2,
∴b2-4ac=(-1)2-4×3×(-2)=25>0,4.用公式法解下列方程.
(2)2x2+1=3x;解：移项,得2x2-3x+1=0,
∴a=2,b=-3,c=1,
∴b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0,4.用公式法解下列方程.
(3)4x2-3x-1=x-2;整理,得4x2-4x+1=0,
∴a=4,b=-4,c=1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,4.用公式法解下列方程.
(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).解：整理,得x2-9x+2=0,
∴a=1,b=-9,c=2,
∴b2-4ac=(-9)2-4×1×2=73>0,课件14张PPT。第2章 一元二次方程3公式法求解一元二次方程（2）九年级数学上 新课标 [北师]问题探索在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗? 小明的做法是：设小路的宽度为x m，根据题意，得整理，得x2－14x＋24=0，解得x1=2， x2=12（不符合题意，舍去).学 习 新 知小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m，根据题意，得设计方案欣赏例1 （补充）一间会议室,它的地板长为20 m,宽为15 m,现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯,要求四周未铺地毯的部分宽度相同,而且地毯的面积是会议室地板面积的一半,那么未铺地毯的部分的宽度应该是多少?解:设未铺地毯的部分宽为x m,则地毯的长为(20-2x)m,宽为(15-2x)m,根据题意,得解得x1=2.5,x2=15(不合题意,舍去).
所以未铺地毯的部分的宽度应该是2.5 m.例2（补充）某超市将进货单价为40元的商品按50元/件出售,每天可卖500件,且这种商品每涨价1元,其销售量就减少10件,若超市要使这种商品每天赚得8000元利润,则商品的售价应定为每件多少元?所以若每天要赚得8000元的利润,则这种
商品的售价应定为每件60元或80元.解:设该商品的售价为每件(50+x)元,则每件商品的利润为[(50+x)-40]元,销售量为(500-10x)件,根据题意,得[(50+x)-40](500-10x)=8000,解得x1=10,x2=30.例3 （补充）某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元.如果每降价1元,每天可多销售5件,那么每天要盈利1600元,每件应降价多少元?所以每件服装应降价4元或36元.解:设每件服装应降价x元,则根据题意,得(44-x)(20+5x)=1600,解得x1=36,x2=4.例4 （补充）如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过几秒钟,可使得△PBQ的面积等于8 cm2?解:设经过x秒,△PBQ的面积等于8 cm2,由题意得,此时PB=(6-x)cm,QB=2x cm,则有所以经过2秒或4秒,△PBQ的面积为8 cm2.解得x1=2,x2=4. 1.学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则x应满足的关系式为 ( )A. x(x+1)=28C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28B. x(x-1)=28解析:每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为 x(x-1)=4×7.故选B.B(1)x2- 2.某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ( )A.144(1-x)2=100 B.100(1-x)2=144
C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144解析:由题意得2012年水果产量为100(1+x)吨,2013年水果产量为100(1+x)2吨,所以方程为100(1+x)2=144.故选D.D(1)x2- 解得x1=x2=5.
所以与墙垂直的两边长分别为5 m,与墙平行的边长为10 m.3.利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆,怎样围成一个面积为50 m2的矩形场地?解:设与墙垂直的一边长为x m,则与墙平行的一边长为(20-2x)m,根据题意,得x(20-2x)=50, 4.一块矩形耕地的大小尺寸如图(1)所示,现要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠,如果小渠的宽相等,而且要保证余下的耕地面积为9600 m2,那么水渠应挖多宽? 解析:这类问题的特点是挖掘土地的面积只与挖渠的条数,渠道的宽度有关,而与渠道的位置无关,为了研究问题方便,可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起,最好靠一边,如图所示,那么剩余可耕的矩形土地的长为(162-2x)m,宽为(64-4x)m.答:水渠应挖1 m宽.解:设水渠应挖x m宽,则根据题意,得(162-2x)(64-4x)=9600,
解得x1=1,x2=96(不合题意,舍去).课件18张PPT。第2章 一元二次方程4 用因式分解法解一元二次方程九年级数学上 新课标 [北师]问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的?小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意,可得方程x2=3x,但是他们的解法却各不相同.小明的做法是不正确的,方程两边同时除以x,这样解使方程少了一个解,原因在于两边同时除以的因式x可能为0,而方程两边不可以同时除以0. 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因式分解法.因式分解法结论:如果一个一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积,那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解.下面哪些方程用因式分解法求解比较简便?
(1)x2-2x-3=0; (2)(2x-1)2-1=0;
(3)(x-1)2-18=0; (4)3(x-5)2=2(5-x).第(1)(4)小题用因式分解法求解比较简便.教材例题： 解下列方程.
(1)5x2=4x; (2)x(x-2)=x-2.【解析】第(1)小题先化为一般形式,再提取公因式分解因式求解.第(2)小题先移项,然后把x-2看成一个整体,提取公因式求解.∴x=0或5x-4=0,解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0,即x(5x-4)=0,∴x1=2,x2=1.(2)x(x-2)=x-2.解：原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0,即(x-2)(x-1)=0,∴x-2=0或x-1=0,〔解析〕第(1)小题方程的右边是0,左边x2-4可分解因式,即x2-4=(x-2)(x+2),这样,方程x2-4=0就可以用分解因式法来解.解下列方程.
(1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0.第(2)小题方程的右边是0,左边是(x+1)2-25,可以把x+1看做一个整体,这样左边就是一个平方差,利用平方差公式即可分解因式,从而求出方程的解.
(2)原方程可化为[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,解:(1)原方程可化为(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0或x-2=0,∴x1=-2,x2=2.∴x1=-6,x2=4.∴(x+1)+5=0或(x+1)-5=0,一元二次方程四种基本解法的比较如下表所示:
二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方.b≥0时有解,b<0时无解.b2-4ac≥0时,方程有解;b2-4ac<0时,方程无解.先化为一般形式后,再用公式法求解.方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式.方程的一边为0,另一边可分解成两个一次因式的积.1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为一元一次方程: 或 ,方程的根是 .?解析:(x-1)(x-2)=0可化为一元一次方程:x-1=0或x-2=0,求得方程的根为x1=1,x2=2.(x-1)=0(x-2)=0x=1或 x=22.方程3x2=0的根是 ,方程(y-2)2=0的根是 ,方程(x+1)2=4(x+1)的根是 .? x1=x2=0y1=y2=2x1=-1,x2=3 3.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化为 ,再选择适当的方法求解.方程的两根为x1= ,x2= .?x2+x-2=01-24.用因式分解法解下列方程.
(1)x2+16x=0;∴x1=0,x2=-16.解:(1)原方程可变形为x(x+16)=0,∴x=0或x+16=0,4.用因式分解法解下列方程.
(2)5x2-10x=-5;即(x-1)2=0, ∴x1=x2=1.解：原方程可变形为x2-2x+1=0,4.用因式分解法解下列方程.
(3)x(x-3)+x-3=0;∴x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.解：原方程可变形为(x-3)(x+1)=0,4.用因式分解法解下列方程.
(4)2(x-3)2=9-x2.∴x-3=0或3x-3=0,
∴x1=3,x2=1.解：原方程可变形为2(x-3)2+x2-9=0,即(x-3)(2x-6+x+3)=0,即(x-3)(3x-3)=0,课件12张PPT。第2章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系九年级数学上 新课标 [北师]1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？回顾整理回顾整理一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数的关系的一种形式,除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?(1)x2-2x+1=0;(3)2x2-3x+1=0.每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢?数学思考一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两个根:于是，两根之和为：于是，两根之积为：,x1·x2=.例题：利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2+7x+6=0; 解:(1)这里a=1,b=7,c=6, ∴方程有两个实数根,设这两个实数根分别为x1,x2,∴b2-4ac=72-4×1×6=25>0,∴x1+x2=-7,x1·x2=6.（补充例题） 已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,求p和q的值.解法1:因为关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,所以有x(x+3)=0,
即x2+3x=0,
所以p=-3,q=0.解法2:由方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,
可得0+(-3)=p,0×(-3)=q,
即p=-3,q=0.(5)判断当字母的值为何值时,二次三项式是完全平方式.一元二次方程的根与系数的关系的几种应用:(1)不解方程,判断根的情况.(2)根据方程的根的情况,确定待定系数的取值范围.(3)证明字母系数方程有实数根或无实数根.(4)应用根的判别式判断三角形的形状. 1.已知x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根,不解方程,求下列代数式的值.3.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,则x1与x2能否同号?若同号,求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由.解析:由方程有两个实根可得Δ≥0,进而求出m的取值范围,再由根与系数的关系可判断x1与x2是否能同号.解:由Δ=-32m+16≥0,得x1+x2=-m+1,∴x1与x2可能同号,分两种情况讨论:4.已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;课件14张PPT。第2章 一元二次方程6 应用一元二次方程（1）九年级数学上 新课标 [北师]数学思考本章开始时梯子下滑的问题：
(1)在这个问题中,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?
(2)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少?例1 如图所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200 海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头.小岛F位于BC的中点,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1 海里)〔解析〕题中含有等量关系:DE2=DF2+EF2,结合三角形中位线定理求出DF,利用AB+BE=2DE表示出EF的长,即可求出DE. 解: 连接DF,则DF⊥BC. 设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程(6)答:答案必须是完整的语句,注明单位,要贴近生活.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系;(2)设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;(3)列:列代数式,列方程;(4)解:解所列的方程;(5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意;1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,则平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是 ( )
A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15解析:根据已知,若每盆多植x株,则每盆有(x+3)株,平均每株盈利为(4-0.5x)元,由题意得(x+3)(4-0.5x)=15.故选A.A2.如图所示,要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈,用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?答:羊圈的边长AB,BC都是20 m.解:设AB的长为x m,则BC的长为(100-4x)m,根据题意,得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5.当AB=20 m时,BC=100-4x=20(m),
此时20<25,符合题意;当AB=5 m时,BC=100-4x=80(m),
此时80>25,不符合题意,舍去,
即AB=20 m,BC=20 m. (1)经过几秒钟后,可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)点P,Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.解:(1)设经过x s后,△PCQ的面积为8 cm2,此时AP=x cm,PC=(6-x)cm,CQ=2x cm,则根据题意,得所以经过2 s或4 s后,可使△PCQ的面积为8 cm2.整理,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.(2)设点P出发a s后,△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半,则根据题意,得整理,得a2-6a+12=0,此时Δ=(-6)2-4×1×12=-12<0,所以方程无实数解.
所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.课件15张PPT。第2章 一元二次方程6 应用一元二次方程（2）九年级数学上 新课标 [北师]生活思考 问题:某果园有100棵桃树,平均一棵桃树结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,经试验发现,每多种一棵桃树,平均每棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?分析:找出等量关系“现有桃树棵数×每棵桃树的现产量=现在总产量”和“每棵桃树的现产量=每棵桃树的原产量-2×多种的桃树棵数”,将未知数代入列出的代数式与方程即可.学习新知例2 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?〔解析〕找出等量关系“每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元”,如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元,平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程,从而使问题得到解决.解:设每台冰箱降价x元,由题意得: 经检验x=150符合题意,是原方程的解,所以每台冰箱的定价是2900-150=2750(元).解方程得x1=x2=150,答:每台冰箱的定价应为2750元.补充例1 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个?〔解析〕设这种台灯的售价应定为x元/个,已知这种台灯的售价每上涨1元,其月销售量就减少10个,为了实现平均每月10000元的销售利润,可列方程求解.答:这种台灯的售价应定为50元/个,这时应购进台灯500个.解:设这种台灯的售价应定为x元/个,
则(x-30)[600-10(x-40)]=10000,∴每月应购进台灯600-10(x-40)=600-10×10=500(个).解得x1=50,x2=80(不合题意,舍去), 一元二次方程与增长率问题:若原来的数量为a,平均每次增长或降低的百分率为x,经过第一次调整,就调整到a×(1±x),再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.[知识拓展]补充例2 某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率相同.
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率;
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?〔解析〕根据提高后的产量=提高前的产量×(1+增长率),设年平均增长率为x,则2014年的产量是100(1+x),2015年的产量是100(1+x)2,已知计划2015年产量达到121万件,列方程即可求得增长率,然后再求2014年该工厂的年产量.答:2014年这种产品的产量应达到110万件.解:(1)设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为x,则100(1+x)2=121,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去),答:2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为10%.(2)2014年这种产品的产量为100(1+0.1)=110(万件).B1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.如果两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是 ( )
A.100(1+x)2=81 B.100(1-x)2=81
C.100(1-x%)2=81 D.100x2=81解析:已知两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1-x)元,第二次降价后价格为100(1-x)(1-x)=100(1-x)2元,根据题意找出等量关系:第二次降价后的价格=81元,由此等量关系列出方程即可.故选B.2.某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的年平均增长率应为多少?解:设原值为1,年平均增长率为x,
则根据题意得1×(1+x)2=2,解这个方程得答:这两年中财政净收入的年平均增长率约为41.4%.3.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵,已知这些学生在初一时种了400棵,若平均成活率为95%,求这个年级学生每年植树数的平均增长率.(精确到0.1%)解:设这个年级学生每年植树数的平均增长率为x,则第二年种了400(1+x)棵,第三年种了400(1+x)2棵,答:这个年级学生每年植树数的平均增长率为62.4%.三年一共种了400+400(1+x)+400(1+x)2棵,三年一共成活了[400+400(1+x)+400(1+x)2]×95%棵,根据题意得[400+400(1+x)+400(1+x)2]×95%=2000,解这个方程得x1≈0.624=62.4%,x2≈-3.624=-362.4%,因为x2=-362.4%不合题意,舍去,所以x=62.4%.答:这两年的年平均增长率为20%.4.学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为x,根据题意得5000(1+x)2=7200,
即(1+x)2=1.44,开方得x+1=1.2或x+1=-1.2,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去).
