北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算全章教案（共180页）

第二章　有理数及其运算
1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数).
3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).
4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.
5.能运用有理数的运算解决简单的问题.
1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧.
3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法.
1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.
就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象(事物)“表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:产生的实际背景——有理数的意义——数的表示.
对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景,如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解(+1)+( - 1)=0和( - 1)+(+1)=0,然后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法则,并借助数轴加深理解.
基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小数、分数的运算.
【重点】　理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.
【难点】　利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.
1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.
2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.
3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.
4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.
5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.
1　有理数
1课时
2　数　轴
1课时
3　绝对值
1课时
4　有理数的加法
2课时
5　有理数的减法
1课时
6　有理数的加减混合运算
3课时
7　有理数的乘法
2课时
8　有理数的除法
1课时
9　有理数的乘方
2课时
10　科学记数法
1课时
11　有理数的混合运算
1课时
12　用计算器进行运算
1课时
本章概括整合
1课时
1　有理数
1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数应用的广泛性.
2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.
3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.
会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数合理分类和把具体数正确归类.
1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解.
2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要.
3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知识的兴趣.
【重点】　负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类.
【难点】　正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P23~24.
导入一:
师:同学们小学都学过哪些数?
生:整数、小数、分数、奇数、偶数……
师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?
[设计意图]　通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点,使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及其分类做好铺垫.
导入二:
观察课本P22的图片.
珠穆朗玛峰高出海平面8844 m,记作:+8844 m;吐鲁番盆地低于海平面155 m,记作: - 155 m.
教师出示图片,并提出问题:
1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?
2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识?
3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?有了负数,能解决哪些实际问题?
本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用有理数的知识解决实际问题.
[设计意图]　通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣.
　　[过渡语]　同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧!
探究活动1　认识生活中的负数
(出示课件1)　(例题讲解)请同学们完成以下问题,并与同伴交流.
某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:
答题情况
第
一
队
第
二
队
　　如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?
思路一
试完成下表:
答对题的得分
答错题的得分
未回答题的得分
第一队
+6
第二队
- 2
　　思路二
提出思考问题:
(1)第一队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?
(2)第二队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?
(3)如何理解+6和 - 2?
(出示课件2)　(教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.
想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?
[处理方式]　学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评.
师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.
[设计意图]　本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与,在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.
探究活动2　用正、负数表示生活中具有相反意义的量
　　[过渡语]　我们已经认识了负数,你能顺利的利用正数和负数表示生活中具有相反意义的量吗?请同学们观察教材例题,想一想如何解答.(课件3出示)
(出示课件3)　(教材例题)
(1)某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?
(2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g 记作+0.02 g,那么 - 0.03 g表示什么?
(3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g” 表示什么?
[处理方式]　学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
思路一
如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是　　　　,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为　　　　; 一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是　　　　,所以 - 0.03 g可以表示为　　　　;综上所述,“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g” 表示　　　　.
思路二
(1)想一想:什么是具有相反意义的量?
(2)品一品:如何表示具有相反意义的量?
(3)考一考:和逆时针方向具有相反意义的量是　　　　,和超出标准质量具有相反意义的量是　　　　.
【师生活动】　学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决.
解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作 - 12圈.
(2) - 0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g.
(3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有150 g的误差,即每袋大米的净含量最多是10 kg+150 g,最少是10 kg - 150 g.
　　[过渡语]　同学们,我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量,那么一起来试一试吧.
反馈练习
(出示课件4)　(1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么?
(2)东、西为两个相反方向,如果 - 4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?
(3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?
议一议:你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗?你是怎样表示的?与同伴交流.
通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”.教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10 kg”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”.
学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.
探究活动3　有理数的概念及分类
1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.
整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数
2.有理数的分类.
问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?
待学生思考后,请学生回答、评议、补充.
教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.
[设计意图]　使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义.
[知识拓展]　对正数和负数的理解要注意以下几点:
(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.
(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.
(3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.
即时巩固
将下列各数填入到相应的数集中: - 2015, - 13,14,12, - 513, - 7.3,3,369,0.1,92, - 374.
正数集合{　　　　…};
负数集合{　　　　…};
正整数集合{　　　　…};
负整数集合{　　　　…};
分数集合{　　　　…};
负分数集合{　　　　…};
负有理数集合{　　　　…};
有理数集合{　　　　…}.
〔解析〕　小数 - 7.3,0.1都属于分数,369=4不属于分数.(学生口述解答过程,师总结、板演)
1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.
2.正数前面添上“ - ”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限.
3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.
1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为 - 3千米表示的是 (　　)
A.向西行驶3千米
B.向南行驶3千米
C.向北行驶3千米
D.向东南方向行驶3千米
解析:先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而 - 3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A.
2.在0,2, - 7, - 513,3.14, - 317, - 3,+0.75中,负数共有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:在正数的前面加上“ - ”号的数即是负数,本题中的 - 7, - 513, - 317, - 3是负数.故选D.
3.飞机上升了 - 80米,实际上是 (　　)
A.上升80米
B.下降 - 80米
C.先上升80米,再下降80米
D.下降80米
解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D.
4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义.
解:本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:河道中第一天的水位是 - 0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中 - 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.
1　有理数
1.认识生活中的负数.
2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
3.有理数的概念及分类.
一、教材作业
【必做题】
教材第26页习题2.1的2,3题.
【选做题】
教材第26页习题2.1的4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结论中正确的是 (　　)
A.0既是正数,又是负数
B.0是最小的正数
C.0是最大的负数
D.0既不是正数,也不是负数
2.向东运动记作“+”,向西运动记作“ - ”,下列说法正确的是 (　　)
A. - 5米表示向东运动了5米
B.向西运动5米表示向东运动了 - 5米
C.+5米表示向西运动了5米
D.向西运动5米也可以记作向西运动 - 5米
3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作 (　　)
A.+8 ℃　 - 2 ℃ B.+8 ℃　+2 ℃
C. - 8 ℃　 - 2 ℃ D. - 8 ℃　+2 ℃
4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2) ℃,该药品在　　　　温度范围内保存才合适.
5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.
- 18,+227,3.1416,0.2011, - 35, - 0.1010…, - π, - 2,99%.
【能力提升】
6.如果海平面的高度为0 m,一潜水艇在海平面以下40 m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10 m处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.
7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.
(1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作 - 20°,顺时针方向旋转30°记作　　　　;
(2)运进200箱记作　　　　,运出150箱记作 - 150箱.
【拓展探究】
8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作 - 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?距A地多远?
【答案与解析】
1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.)
2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为 - 5米,故D错误.故选B.)
3.A (解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记作:+8 ℃, - 2 ℃.故选A.)
4.18~22 ℃(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃ - 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.)
5.解:正数有:+227,3.1416,0.2011,99%;负数有: - 18, - 35, - 0.1010…, - π, - 2.
6.解:因为海平面的高度为0 m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方,故分别为 - 40 m和 - 30 m.
7.(1)+30°　(2)+200箱
8.解:如果把向北跑1100 m记作 - 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m,说明小明又向南跑了1200 m,此时他在A地的南边,距A地的距离=1200 - 1100=100(m).
本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反意义的量的成长过程。
学生在刚开始接触这部分内容时或多或少会有点不习惯.对具有相反意义的量的理解不是太好,学习中发现仍有部分同学在书写负数时漏掉负号.
在教学方法和教学语言的选择上,尽可能注意中小学的衔接,既不违反科学性,又符合可接受性原则,教师在课堂上要起到主导作用,并让学生有充分的活动机会,使得课堂气氛有新鲜感.
随堂练习(教材第25页)
1.解:(1)零下3 ℃记作 - 3 ℃.　(2)+2 m表示向东运动2 m,物体原地不动记作0 m.　(3)运出3.8 t记作 - 3.8 t.
2.解:正数集合:3,5.6·,15,19,…;负数集合: - 7, - 23, - 814,…;整数集合:3, - 7,0,15,…;分数集合: - 23,5.6·, - 814,19,….
习题2.1(教材第26页)
1.解:答案不唯一.如球队得10分与失3分,利率上调5%与下降2%,乒乓球超出标准重量0.02 g与低于标准重量0.01 g,可分别表示为+10分与 - 3分,+5%与 - 2%,+0.02 g与 - 0.01 g.
2.解:(1) - 10 kW·h.　(2)+100.57元表示盈利100.57元.　(3) - 6%表示减少6%.
3.解:正整数:7;负整数: - 301;正分数:427,31.25,715;负分数: - 9.25, - 910, - 3.5;正数:7,427,31.25,715;负数: - 9.25, - 910, - 301, - 3.5.
4.解:正数集合:+2,+70,+1.5,+1003,+1200,…;负数集合: - 5.4, - 10, - 207, - 130, - 1540,….(答案不唯一)
5.解:不对,因为0既不是正数,也不是负数.
6.解:设标准体重为50 kg,超过部分记为正,不足部分记为负,依次表示为+2,+1.5, - 0.5,+0.5, - 5,+6, - 2.5, - 7.5.(答案不唯一)
1.现实生活中,“具有相反意义的量”的实例非常多,学生列举实例的前提是教师要引导学生分析出这些实例的共同特点.对有理数的分类同样要引导学生先去观察、概括、对比、交流、讨论,所以本节课主要采取启发引导的教学方法.
2.由于这节课是让学生列举现实生活中“具有相反意义的量”的例子,并用正数和负数来表示,在实际背景中理解正数和负数的意义.还有让学生自己总结已经学过的数,尝试进行分类,通过交流、讨论和教师的引导,得到有理数的分类,所以独立思考、自主互助学习是本节课的主要方式.
　观察下面一列数: - 12, - 23, - 34, - 45, - 56, - 67,….
(1)写出第7个数和第8个数;
(2)第400个数是多少?
(3)如果这一列数无限排列下去,那么与哪个数越来越接近?
〔解析〕　认真观察这列数,可发现均为负数,分子分别为1,2,3,…,分母相应地为2,3,4,…,利用这些规律,问题便可得解.
解:(1)第7个数是 - 78,第8个数是 - 89.
(2)第400个数是 - 400401.
(3) - 1.
[解题策略]　注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系,由简单的、特殊的着手,发现规律,进一步验证后,再推广到一般.
2　数　轴
1.识记数轴三要素并会画数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点表示的数,并会利用数轴比较有理数的大小.
通过对比与迁移来掌握数轴的概念和性质.
1.通过数轴与数的结合,培养数形结合思想.
2.在实践与交流中进行自主学习,培养自学能力.
3.将所学知识进行归纳、比较,提高语言表达能力和概括能力.
【重点】
1.数轴的概念.
2.用数轴上的点表示有理数.
【难点】　利用数轴比较有理数的大小.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P27~28.
导入一
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗?
【思考】　(1)图中温度计上显示的温度各是多少?
(2)温度计上的刻度有什么特点?
[处理方式]　找几个同学读温度计,看温度计时,因为它上面标有刻度数,所以我们只需看一看温度计液面指在哪个刻度上,就知道温度了.通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的特点.(通过多媒体展示读温度计的方法)
导入二
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
【思考】　(1)汽车站东3 m和西3 m分别表示什么意义?
(2)汽车站处可以理解为温度计的什么点?
请你尝试画图理解.
[处理方式]　理解题意,思考,并根据题意画图.教师指导,根据学生的画图情况用实物投影展示,对于作图较好的学生给予表扬.
[设计意图]　结合实例使学生以轻松愉快的心情进入到本节课的学习,在生活中发现数学,让学生感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识,同时对新知识的学习有了期待,创设问题情境,激发学生学习热情,培养学生学习兴趣.
　　[过渡语]　由上述两问题得到什么启发?你能用一条直线上的点表示有理数吗?
探究活动1　数轴的画法
思路一
(1)学生小组活动,在讨论的基础上动手操作,在操作的基础上归纳出:可以表示有理数的直线必须满足什么条件?从而得出数轴需满足的三个条件:原点、正方向、单位长度.
(2)让学生根据自己的理解,小组内交流,用一条直线上的点表示有理数.用实物投影仪展示学生的画图,引导学生发现画图中出现的问题,不断完善数轴的画法.板演具体画法:
第一步:画一条水平直线,定原点(如图(1)),原点表示0.
第二步:规定从原点向右的方向为正方向,那么相反的方向(从原点向左)则为负方向(如图(2)).
第三步:选择适当的长度为单位长度(如图(3)).
思路二
提出思考问题:
(1)小学数学是如何利用温度计表示正数和零的?
(2)如何利用直线上的点表示有理数?
[处理方式]　学生在讨论的基础上动手操作,一边画图一边说画法,然后教师加以矫正.
要强调说明的是正数从0向右写,负数从0向左写,并且总结数轴的画法,最后强调数轴必须满足三个条件:原点、正方向、单位长度.也可以类比于温度计,把温度计水平放置即可.
[设计意图]　借助于温度计作类比,让学生分组展开积极讨论,引导学生合作学习,指出画数轴需要具备的条件,从而揭示了本节的目标,即让学生正确地画出数轴.
教师引导学生总结出:
画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到了数轴.
几点说明:
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;
(2)直线一般画水平的;
(3)原点可取直线上任一点,但一取定就不再改变;
(4)正方向用箭头表示,一般取从左到右;
(5)单位长度的选取应结合实际需要,但一取定就不再改变,要做到刻度均匀.
探究活动2　抽象建模
观察画好的数轴(如图所示),思考以下问题:
(1)原点表示什么数?
(2)原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?
(3)+3, - 4,14, - 1.5,0分别在数轴的什么位置?
[处理方式]　学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,语句通顺后举手回答.
结论:
(1)根据点在原点的左右两边确定有理数的符号.
(2)根据点与原点的距离确定数值.
[设计意图]　加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
　　[过渡语]　我们已经认识了数轴,知道了画数轴需要满足的三个条件,那么请同学们观察例1,想一想如何解答.(出示例1)
　指出数轴上A,B,C,D各点分别表示什么数.
[处理方式]　先给学生10秒钟时间观察例1中数轴的特点,再分别回答,教师板书,在学生口述过程中,教师可进行有针对性的提问,让学生明确A,B,C,D四点所表示的数是什么;根据学生的生活经验,不难得出结论,所以让学生直接口答说出答案.
解:A点表示 - 2,B点表示2,C点表示0,D点表示 - 1.
[设计意图]　通过学生指出数轴上已知点所表示的数,是由“形”到“数”的思维过程,加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
　画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:32, - 5, 0, 5, - 4, - 32.
[处理方式]　首先让学生到黑板上正确地画出数轴,其他学生在练习本上完成,教师巡视.学生完成后教师及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题,并进行矫正.让学生互相提问、点评.一般情况下,整数点比较好找,分数点有一定的难度,特别在找 - 32的位置时,相当多的同学可能要出现错误,可能选择在 - 12处,所以教师要及时引导和矫正.
解:如图所示.
[设计意图]　本题是用给定的数在数轴上进行描点,是由“数”到“形”的思维过程,再次渗透数形结合的思想.
探究活动3　观察思考,发现规律
(1)我们把温度计按如图所示的方式放置,温度变化的规律是什么?
(2)①数轴上的两个点,右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系?
②正数、负数在数轴上的什么位置?判断它们的大小.
[处理方式]　观察温度计上的温度变化,猜想数轴上的原点右边的数与左边的数之间存在怎样的大小关系.你能得出哪些结论?类比温度计上的温度变化,让学生通过数轴观察、小组交流,得出第1个问题的答案:温度计上的温度会越往右越高,利用类比的方法观察数轴也会发现数轴上的点表示的数由左向右越来越大.根据学生的回答情况,引导学生总结出:
数轴上两个点所表示的数,右边的总比左边的大.
正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
[设计意图]　继续运用类比的方法,通过演示和讲解,强化学生的视觉感受,从而得出有理数大小比较的方法,深化对数轴的认识,进一步渗透了数形结合的思想.
即时巩固
比较下列每组数的大小,并说明理由.
(1) - 2和+6;(2)0和 - 1.8;(3) - 3 - 2和 - 4.
[处理方式]　由学生讨论、自己动手做,借助数轴或结论比较数的大小.可由三名学生黑板板演,其他学生在练习本上完成,然后给板演的答案纠错、规范解答步骤,最后教师出示解答步骤,学生更改自己解题答案或步骤.
[设计意图]　通过练习加深利用数轴比较数的大小,即数轴上两个点所表示的数,右边的总比左边的大,正数大于0,负数小于0,正数大于负数,从而深化了目标.
[知识拓展]　数轴是一条直线,可向两方无限延伸,数轴的三要素为原点、正方向、单位长度.画数轴时,三要素缺一不可.原点的选择和长度单位的大小是根据需要确定的,一般取向右的方向为正方向.任何一个有理数都能表示在数轴上,但数轴上的点并不都表示有理数.
本节课主要学习了:
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.
3.利用数轴进行有理数的大小比较.
1.若数轴规定了原点向右的方向为正方向,则原点表示的数为　　　　,表示负数的点在原点的　　　　,表示正数的点在原点的　　　　.
答案:0　左侧　右侧
2.在数轴上,表示有理数 - 3的点与原点的距离为　　　　个单位长度.
解析:表示 - 3的点是在原点左边离原点的距离为3个单位长度的点.故填3.
3.如图所示的图形中,不是数轴的是 (　　)
解析:此题考查的是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.故选B.
4.如图所示,在数轴上A,B两点所表示的有理数分别为 (　　)
A.3.5和3 B.3.5和 - 3
C. - 3.5和3 D. - 3.5和 - 3
解析:在数轴上原点右边的数为正数,左边的数为负数,所以A表示 - 3.5,B表示3.故选C.
5.下列说法中,正确的是 (　　)
A.数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线
B.离原点近的点所表示的有理数较小
C.数轴上的点可以表示任意有理数
D.原点在数轴的正中间
解析:选项A,数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线是错的;选项B,离原点近的点所表示的有理数较小是错的;选项C,数轴上的点可以表示任意有理数是对的;选项D,原点在数轴的正中间是错的.故选C.
6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则 (　　)
A.a,b,c均是正数
B.a,b,c均是负数
C.a,b是正数,c是负数
D.a,b是负数,c是正数
解析:本题考查数形结合思想,a,b在数轴上原点的左侧,为负数,c在数轴上原点的右侧,为正数.故选D.
7.如图所示,在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点是 (　　)
A.点D B.点A
C.点A和点D D.点B和点C
解析:本题考查数形结合思想,在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点有两个,为表示3和 - 3的点,所以点A和点D符合要求.故选C.
2　数　轴
1.数轴的画法
2.抽象建模
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第29页习题2.2的1,2,3题.
【选做题】
教材第29页习题2.2的5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是 (　　)
A.负数 B.非负数
C.正数 D.正整数和0
2.在数轴上,距离原点4个单位长度的点所表示的数是 (　　)
A.4 B. - 4
C.±4 D.无法确定
3.下列说法中,错误的是 (　　)
A.数轴上原点表示的数是0
B.任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示
C.数轴上到原点的距离为6个单位长度的点表示的数为6
D.数轴上表示正数的点位于原点的右侧
4.在如图所示的数轴上标出表示下列各数的点: - 112,5,0,2.5, - 5.
5.如图所示,指出数轴上的点A,B,C,D所表示的数.
【能力提升】
6.点A从数轴上的原点开始,先向左移动3个单位长度,再向右移动5个单位长度,此时它表示的数是多少?
7.在数轴上,将点A先向右移动8个单位长度,再向左移动5个单位长度即可到达点B.若点B表示的数为4,则点A表示的数是多少?
【拓展探究】
8.数轴上的点A对应的数是 - 3,一只蚂蚁从点A出发沿着数轴以每秒2个单位长度的速度爬行,当它到达数轴上的点B后,立即沿原路返回到点A,共用去11 s.
(1)蚂蚁爬行的路程是多少?
(2)点B对应的数是多少?
【答案与解析】
1.B(解析:数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数,所以数轴上原点及原点右边的点表示0和正数,即非负数.故选B.)
2.C(解析:数轴上距离原点4个单位长度的点有两个,即表示+4, - 4的点.故选C.)
3.C (解析:选项A,数轴上原点表示的数是0是对的;选项B,任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示是对的;选项C,数轴上到原点的距离为6个单位长度的点表示的数为6是错误的,应为±6;选项D,数轴上表示正数的点位于原点的右侧是对的.故选C.)
4.解:如图所示.
5.解:点A,B,C,D表示的数分别为 - 4, - 1,0,4.
6.解:从数轴上的原点开始,先向左移动3个单位长度,表示的数为 - 3,再向右移动5个单位长度,表示的数为2.
7.解:在数轴上,因为点B表示的数为4,所以点B向右移动5个单位长度,再向左移动8个单位长度就是1.所以点A表示的数是1.
8.解:(1)22个单位长度.　(2)由题知A,B两点相距11个单位长度,所以点B对应的数为8或 - 14.
在教学过程中和学生一起抽象出数轴,然后学习数轴的画法和作用.始终注意激发学生的求知欲,培养学生由浅入深、循序渐进的思维过程.在具有较多的时间和空间的条件下,让学生亲身参加探索发现,主动地获取知识和技能.
教学过程中运用类比、数形结合的思想让学生从实际问题入手,从模仿开始,由易到难,遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律,引导学生掌握学习方法,将所学的知识进行归纳、总结.
学生在画数轴时容易出现一些画法上的小错误,所以作为教师在示范时要同时附上几点说明:原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
在教学的过程中要注意从培养学生的数形结合思想入手,引导学生进行对比与归纳,增强学生的自学与理解能力.
随堂练习(教材第29页)
解:图略.3>1.5>0> - 0.5> - 34> - 2.
习题2.2(教材第29页)
1.解:A: - 3,B:3.5,C:2,D:0,E:0.5. - 3<0<0.5<2<3.5.
2.解:如图所示.7>43>0> - 45> - 3.5.
3.解:(1) - 10< - 7.　(2) - 3.5<1.　(3) - 12< - 14.　(4) - 9<0.　(5) - 5< - 2.7<3.　(6) - 4.1< - 3.9<3.8.
4.解:(1)12.7 ℃>0.5 ℃> - 1.2 ℃> - 7.6 ℃> - 20.8 ℃.　(2)略.
5.提示:是0.
1.为了让学生直观理解、接受新知识,借助多媒体辅助教学,通过动画展示数轴的形成过程,填补学生空间想象不足,培养学生的观察能力.
2.充分发挥教师的主导作用与学生的主体地位,教师精心设问,充分体现知识的发生、发展过程,解决学生的认知矛盾,培养学生思维的灵活性及创新意识.
　如图所示,在数轴上点A表示的数可能是 (　　)
A.1.5 B. - 1.5 C. - 2.4 D.2.4
〔解析〕　本题考查数形结合思想.观察数轴知点A位于原点的左侧,故点A表示的是一个负数.观察数轴可知点A表示的数在 - 3与 - 2之间.故选C.
[解题策略]　本题考查了数轴,数轴的三要素(正方向、原点、单位长度),原点左边的点表示负数,右边的点表示正数.
3　绝对值
1.能借助数轴理解相反数的概念,会求一个数的相反数.
2.理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值,知道|a|的含义.
3.会利用绝对值比较负数的大小.
指导学生借助数轴,通过观察实例来理解绝对值的概念,体会绝对值的意义.
1.培养学生数形结合思想.
2.提高学生的观察与归纳能力.
【重点】
1.理解绝对值、相反数的概念.
2.会用绝对值解决实际问题.
【难点】
1.利用绝对值比较两个负数的大小.
2.体会绝对值的意义和作用.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P30~31.
导入一:
问题1
我们正在学习的这一章知识的标题是什么?
问题2
如果我们把数学知识比喻成一条链子的话,那么每一个知识点就是组成链子的每一环,一环扣一环,环环相扣,才能组成一条完整的链子.你能不能说一下,组成“有理数及其运算”的这条链子的环,我们已经学过哪几个了?
[设计意图]　从给数学打比喻引入,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会了我们所学知识的内在联系.
导入二:
问题1
如果支出50元记作 - 50元,那么收入50元记作什么?
问题2
河道中的水位比正常水位高3厘米记作+3厘米,那么比正常水位低3厘米记作什么?
[处理方式]　引导学生通过类比的方法完成两个问题的解答,然后教师总结这些问题的共同方面,即实际生活中存在着许多具有相反意义的量,因此产生了正数与负数,并且像+3与 - 3这样的一对数较为特殊,从而引出新课.
[设计意图]　用正、负数表示意义相反的量,并发现特殊的一对数,从而为本节课的学习做好铺垫.
导入三:
下列各数中: - 3,32, - 5,3,0,5, - 32.
(1)哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
(2)画一条数轴,并在数轴上标出上面各数.
学生活动:认真思考,动手操作,画数轴标数字.
[设计意图]　从学生已有的知识出发,有意识地激活学生头脑中已有的这部分知识,促进学生把旧知识迁移到新的学习中来,为本节课的学习打下了坚实的基础.
　　[过渡语]　请同学们仔细观察下面的数,它们有什么特点: - 3,32, - 5,3,0,5, - 32.
探究活动1　互为相反数的概念
3与 - 3有什么相同点?有什么不同点?它们在数轴上的位置有什么关系?32与 - 32,5与 - 5呢?你还能列举两个这样的数吗?
思路一
小组交流讨论它们的异同点,并回答:这三对数中的每两个数只有符号不同.
像以上这样,如果两个数只有　　　　,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.?
特别地,0的相反数是0. (板书)
正数的相反数是　　　　;
负数的相反数是　　　　.(板书)
尝试训练
分别写出下列各数的相反数:5, - 7, - 312, +11.2,0.
解: 5的相反数是 - 5, - 7的相反数是7, - 312的相反数是312,+11.2的相反数是 - 11.2, 0的相反数是0.
[设计意图]　通过学生的自主探究、合作交流、观察发现,理解并掌握本节课的第一个重点,让学生在尝试中发现,在实践中体验,培养学生观察、分析、归纳、总结的能力.
思路二
请同学们观察3与 - 3,32与 - 32,5与 - 5有什么相同点和不同点,完成以下探究问题,并与同伴交流.
如果两个数只有　　　　不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数　　　　.特别地,0的相反数是　　　　.
尝试训练
(1) - 25的相反数是　　　　;
(2)1.7与　　　　互为相反数;
(3)x的相反数是　　　　.
[处理方式]　学生直接口答,第(3)小题是利用字母表示数,比较抽象,教师可以先让学生讨论再适当引导.
[设计意图]　本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对相反数的概念从感性认识上升到理性认识.通过求x的相反数,让学生加深对相反数的理解.
探究活动2　绝对值的概念及其意义
问题1
完成以下问题,并与同伴进行交流.(多媒体出示)
(1)请将下面三组数用数轴上的点表示出来,并思考每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系.
①3与 - 3;②32与 - 32;③5与 - 5.
(2)在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的　　　　,并且与原点的距离　　　　.
(3)绝对值的概念:
在数轴上,一个数所对应的点与　　　　的　　　　叫做这个数的绝对值.
有理数a的绝对值记作　　　　,其含义是　　　　.
(4)根据绝对值的定义可知,|+2|=　　　　;| - 3|=　　　　;|0|=　　　　;|1.5|=　　　　.
[处理方式]　在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式初步理解绝对值的概念,并能利用字母表示出一个数的绝对值,体会到“绝对值”就是一个表示距离的数值.
[设计意图]　通过利用数轴上的点学习绝对值的概念,在掌握绝对值概念的同时,体会数形结合思想的应用.
问题2
如果在你刚才所画数轴的+3和 - 3处各有一只蚂蚁以相同的速度向原点爬去,会是谁先爬到原点呢?为什么?观察3与 - 3, 32与 - 32,5与 - 5这三组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系?
[处理方式]　合作讨论,得出答案是同时到达.因为两只蚂蚁爬行的距离都是3个单位长度且速度相同.所给的每组数所对应的两个点分别在原点的两侧,而且与原点的距离相等.
师生共同总结:在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相等(如图所示).(板书)
在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度,与位于原点何方无关.
像这样在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.(板书)
例如,+2的绝对值等于2,记作|+2|=2;
- 3的绝对值等于3,记作| - 3|=3.
[设计意图]　通过学生的自主探究、合作交流、观察发现,理解并掌握本节重点,突破难点,让学生在尝试中发现,在实践中体验,亲身经历知识的形成过程,培养学生观察、分析、归纳、总结的能力.
探究活动3　对绝对值概念的进一步理解
在数轴上表示+5的点到原点的距离是　　　　个单位长度,所以+5的绝对值是　　　　,记作　　　　;在数轴上表示 - 5的点到原点的距离是　　　　个单位长度,所以 - 5的绝对值是　　　　,记作　　　　;0的绝对值是　　　　,表明它到原点的距离是　　　　个单位长度,记作　　　　.由此可以看出,不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数).即对任意有理数a,总有|a|≥0. (板书)
在数轴上表示 - 3的点和表示3的点与原点的距离都是3个单位长度,所以 - 3和3的绝对值都是3,记作| - 3|=|3|=3.
口答: |+6|=　　　　;| - 6|=　　　　;35=　　　　; - 35=　　　　.
由绝对值的意义,引导学生归纳出:
(1)互为相反数的两个数的绝对值的关系是　　　　.
(2)一个数的绝对值与这个数有什么关系?
正数的绝对值是　　　　;负数的绝对值是　　　　;0的绝对值是　　　　.
(3)|a|=　　　　.
[处理方式]　在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式逐步加深理解绝对值的概念.
[设计意图]　通过对绝对值的概念的进一步理解,为正确求一个数的绝对值做准备,同时体会数形结合思想的应用.
探究活动4　例题解析
　　[过渡语]　我们已经学习了相反数和绝对值,知道了相反数和绝对值的意义,那么请同学们观察例1和例2,想一想如何解答.
　求下列各数的绝对值.
- 21,49,0, - 7.8,21,a2.
[处理方式]　第1个数,老师先教给学生做法,其余小题学生自己做,写出过程后再分别口述结果即可;对于最后一个数,是老师补充的,可以先让学生分组讨论,再共同完成.
解:| - 21|=21;49=49;|0|=0;| - 7.8|=7.8;|21|=21;|a2|=a2.
议一议:探究如何比较两个负数的大小.
(1)在数轴上表示下列各数,并比较它们的大小: - 1.5, - 3, - 1, - 5.
(2)求出(1)中各数的绝对值,并比较它们的大小.
(3)我发现:两个负数比较大小,　　　　　　　　.
[处理方式]　通过学生的独立思考、交流、讨论,探究并总结比较两个负数大小的方法.
[设计意图]　由利用数轴比较两个负数的大小,引导到利用绝对值比较两个负数的大小,从而探究总结出比较两个负数大小的方法.
　比较下列每组数的大小.
(1) - 1和 - 5;(2) - 56和 - 2.7.
〔解析〕　比较两个负数大小的步骤是:(1)先求它们的绝对值;(2)比较它们的绝对值的大小;(3)根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”比较原数的大小.
解:(1)因为| - 1|=1,| - 5|=5,(首先求出两个负数的绝对值)
1<5,(再比较两个绝对值的大小)
所以 - 1> - 5.(“根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论)
(2)因为 - 56=56,| - 2.7|=2.7,(首先求出两个负数的绝对值)
56<2.7,(再比较两个绝对值的大小)
所以 - 56> - 2.7.(根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论)
[知识拓展]　
1.相反数是成对出现的,不能单独出现.
2.距离不能为负值,所以任何一个有理数a的绝对值都是非负数,即|a|≥0.
3.为了便于解决有关绝对值的问题,绝对值的代数意义可以这样理解:正数和0的绝对值是其本身,负数的绝对值是其相反数,即|a|=a(a≥0), - a(a<0).
1.相反数的概念.
2.互为相反数的两个数在数轴上的位置关系.
3.绝对值的意义:(1)几何意义;(2)代数意义.
4.用绝对值比较负数的大小.
1.　　　　的倒数是它本身,　　　　的绝对值是它本身.
解析:倒数等于它本身的数是±1,正数和0的绝对值等于它本身.
答案:±1　正数和0
2.若a+b=0,则a与b　　　　.
解析:互为相反数的两个数的和为0.故填互为相反数.
3.绝对值最小的有理数是　　　　.
解析:正数的绝对值是正数,负数的绝对值是正数,0的绝对值为0.故填0.
4.一个数的相反数是8,则这个数的绝对值是　　　　.
解析:因为一个数的相反数为8,所以这个数为 - 8, - 8的绝对值为8.故填8.
5.若|x|=15,则x的相反数是　　　　.
解析:由绝对值的意义可知x=±15,再由相反数的意义可知+15的相反数为 - 15, - 15的相反数为+15.故填±15.
3　绝对值
1.互为相反数的概念.
2.绝对值的概念及其意义.
3.对绝对值概念的进一步理解.
4.例题解析.
一、教材作业
【必做题】
教材第32页习题2.3的1,3题.
【选做题】
教材第32页习题2.3的4,5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.绝对值最小的正整数是　　　　,绝对值是1的数是　　　　.
2.绝对值小于4的整数有　　　　.
3.已知数轴上有一点到原点的距离是3个单位长度,则这点所表示的数的绝对值是　　　　,这点所表示的数是　　　　.
【能力提升】
4.若|x|=2,则x是 (　　)
A.2 B.2或 - 2
C. - 2 D.以上都错
5.12a= - 12a,则a一定是 (　　)
A.负数 B.正数
C.非正数 D.非负数
6.一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m(m>0)个单位长度,则这个数为 (　　)
A. - m B.m C.±m D.2m
7.比较 - 78和 - 67的大小.
8.若|x - 2|+|y+3|+|z - 5|=0,求:
(1)x,y,z的值;
(2)|x|+|y|+|z|的值.
【拓展探究】
9.如果a ,b互为相反数,c, d 互为倒数(如果两个有理数的乘积为1,那么称这两个有理数互为倒数),m 的绝对值为2.求式子a+ba+b+c+m - cd的值.
【答案与解析】
1.1　±1(解析:绝对值最小的正整数是1, - 1的绝对值是1,1的绝对值是1,所以绝对值是1的数是±1.)
2.0,±1,±2,±3(解析:由绝对值的几何意义可知绝对值小于4的整数是0,±1,±2,±3.)
3.3　±3 (解析:由绝对值的意义可知到原点的距离是3个单位长度的数的绝对值是3,这点表示的数是±3.)
4.B(解析:由题意得x=±2.故选B.)
5.C (解析:由12a= - 12a可知a是负数或0,即非正数.故选C.)
6.C(解析:由题意得这个数为±m.故选C.)
7.解: - 78=78=4956, - 67=67=4856,因为4956>4856,所以 - 78< - 67.
8.解:(1)因为|x - 2|+|y+3|+|z - 5|=0,所以|x - 2|=0,|y+3|=0,|z - 5|=0,即x=2,y= - 3,z=5.　(2)由(1)知|x|=2,|y|=3,|z|=5,所以|x|+|y|+|z|=2+3+5=10.
9.解:因为a ,b互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为2,所以a+b=0, cd=1,m=±2,故a+ba+b+c+ m - cd=0+2 - 1=1或a+ba+b+c+m - cd=0 - 2 - 1= - 3.
本节课引导学生回顾前面学习的内容,接下来和学生一起抽象出绝对值的意义,然后学习绝对值的求法和应用.在整节课中给学生提供了一定的探索问题的时间和空间,并让学生自己归纳和总结获得新知识,锻炼了学生有条理的表达能力以及与他人合作交流的能力.
由于本节课的知识点太多,所以上课期间没有给学生提供充足的探索问题的时间和空间,这对部分“学困生”来讲,对本节课的知识掌握有一定难度.在练习和检测环节,也未能真正深入到对每一个小组进行针对性的指导,在某种程度上没有达到预期的教学效果.
绝对值的概念比较抽象,要充分利用数轴帮助学生思考,体会绝对值的实际意义.
随堂练习(教材第32页)
1.解:+2或 - 2.
2.解:图略. - 32,6, - 3的相反数分别为32, - 6,3. - 32=32,|6|=6,| - 3|=3.
3.解:(1) - 110> - 27.　(2) - 0.5> - 23.　(3)0< - 23.　(4)| - 7|=|7|.
习题2.3(教材第32页)
1.解:(1)错误,有理数的绝对值一定大于0或等于0.　(2)错误,有理数的相反数不一定比0小.　(3)错误,如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数.　(4)正确.
2.解:(1)18.6.　(2)7.49.　(3)516.　(4)17.
3.解:(1)略.　(2) - 3< - 1.4<0<15.　(3) - 15<0<1.4<3.　(4)3>1.4>15>0.
4.解:(1) - 89> - 910.　(2) - 0.618< - 35.　(3)0<| - 8|.　(4) - 127> - 113.
5.解:+10表示的那袋食品质量更标准.因为第一袋实际质量为450 - 25=425(g),第二袋实际质量为450+10=460(g),第三袋实际质量为450 - 20=430(g),第四袋实际质量为450+30=480(g),第五袋实际质量为450+15=465(g),第六袋实际质量为450 - 40=410(g).由此可见,检测结果的绝对值越小, 其所表示的食品质量越标准.
6.解:如图所示.(答案不唯一)
7.解: - a表示a的相反数, - a未必是负数.
绝对值概念的教学是一个重点,同时也是教学的难点.在教学上要以数轴为工具,对照相反数的性质来加深对绝对值概念的理解.在讲解比较负数的大小时,可向学生布置一些简单的练习,以巩固和强化学生对负数的理解.在教学过程中要进一步强化数形结合思想,培养学生这方面的意识.
　若|x - 1|+|y+2|=0,求x,y的值.
〔解析〕　本题可根据非负数的性质“若两个非负数相加和为0,则这两个非负数的值都为0”求出x,y的值.
解:由题意,得|x - 1|=0,|y+2|=0,所以x - 1=0,y+2=0,所以x=1,y= - 2.
4　有理数的加法
1.掌握有理数的加法法则,并能运用法则进行计算.
2.在有理数加法法则教学过程中,渗透分类、探索、归纳等思想方法,使学生了解研究数学的一些基本方法.
在教学过程中,通过一些例子,注重引导学生参与探索和归纳有理数加法法则的过程,以深化学生对这一法则的理解.
1.培养学生的分类与归纳能力.
2.强化学生的数形结合思想.
3.提高学生的自学能力以及理解能力,激发学生学习数学的兴趣.
【重点】
1.掌握有理数的加法法则和运算律.
2.整数的加法运算.
3.应用运算律简化运算.
【难点】
1.理解有理数加法法则的推导过程.
2.熟练运用有理数加法法则进行计算.
第课时
1.经历探索有理数的加法法则的过程,理解有理数加法的意义.
2.运用有理数加法法则熟练进行有理数加法运算.
在有理数加法法则的导出及运用过程中,训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力,渗透数形结合的思想,培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力.
1.渗透分类、探索、归纳等思想方法,使学生了解研究数学的一些基本方法.
2.通过师生合作交流,学生主动参与探索获得数学知识,从而提高学生学习数学的积极性,体会数学来源于生活,服务于生活,培养热爱数学的情感.
【重点】　理解有理数加法法则,并能熟练进行有理数的加法运算.
【难点】　能熟练运用有理数加法法则进行简单的加法运算,尤其是异号两数相加的运算.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习绝对值的有关概念.
导入一:
某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一道题加1分,可以记作“+1”分;答错一道题减1分,记作“ - 1”分;不回答得0分.每个队的基本分均为0分.
想想看,如果某个队:
(1)答对1道题,又答错1道题,他们的得分是多少?
(2)答对3道题,又答错2道题,他们的得分是多少?
(3)答对2道题,又答错3道题,他们的得分是多少?
[设计意图]　从学生熟悉的生活情境出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速进入学习状态.
导入二:
动物王国开运动会,蚂蚁充当火炬手.小蚂蚁从某点出发在一直线上来回爬,假设向右爬为正数,爬过的情况记为(单位:cm):+5,+10, - 6, - 7, - 2.
出示问题:小蚂蚁最后能回到出发点吗?
[设计意图]　创造一种轻松的学习氛围,体现了数学源于生活,体会学习有理数加法的必要性,激发学生探究新知识的兴趣,同时肯定学生的知识准备,树立学生进一步学习的信心,激发学生的斗志,让学生尽快参与到教学中来,进一步体会到自己是课堂的主人.
导入三:
问题1
在足球比赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫做净胜球数.世界杯中,德国队在第一场上半场赢了2个球,下半场输了1个球,求德国队在本场比赛中的净胜球数是多少.
问题2
若我们把进一个球记为+1,失一个球记为 - 1,则德国队本场的净胜球数如何用算式表示呢?
[设计意图]　从学生熟悉的生活情境出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,不仅使学生快速进入学习状态,同时又让学生觉得数学源于生活又应用于生活,使学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣.
　　[过渡语]　同学们,上面的问题中都出现了有理数的加法计算,那么有理数的加法到底如何运算呢?
探究活动1　列出算式表示结果
(1)上半场赢了3个球,下半场输了2个球,则该场的净胜球数为　　　　.
(2)上半场输了3个球,下半场赢了2个球,则该场的净胜球数为　　　　.
(3)上半场赢了3个球,下半场输了3个球,则该场的净胜球数为　　　　.
(4)上半场输了2个球,下半场没有进球,则该场的净胜球数为　　　　.
[处理方式]　题目较容易,学生讨论交流,找学生在黑板上写出算式,如有疑问,学生之间可互相补充.教师适时点评,指出:正数的“+” 可以省略.
探究活动2　有理数加法法则
思路一
　　[过渡语]　大家都表现得很好,现在我想考一考大家,你能根据类似的情境,快速算出下列算式的结果吗?
第一组:①( - 3)+( - 6)=　　　　,②5+6=　　　　,③( - 5)+( - 2)=　　　　.
[处理方式]　在教师的指导下,学生根据进球、输球的情况快速地算出结果,教师巡视,个别学生可适当指导.可先由教师完成一题,学生可模仿教师完成余下各题.引导性语言举例:我先完成第一题,上半场赢了3个球,下半场输了2个球,则本场比赛的净胜球数为1个,即(+3)+( - 2)=1.
问题1
通过计算可以知道你们能看出第一组三个算式中两个加数的符号是什么关系吗?
问题2
它们和的符号和加数的符号有什么关系?和的绝对值又和加数的绝对值有何关系?请用简单的语言概括一下.
[处理方式]　教师提问,学生分小组讨论,并举手回答问题.这一组是两数同号的有理数的加法,学生应该能容易得出结论,教师可适时的总结,及时的给予学生反馈.
第二组:①6+( - 3)=　　　　,②( - 2)+5=　　　　,③( - 4)+4=　　　　,④3+( - 3)=　　　　.
问题3
在第二组四个算式中和的符号和两个加数的符号之间有什么关系呢?和的绝对值和加数的绝对值有何关系呢?用简单的语言概括一下.
[处理方式]　学生在教师的引导下分类观察,以小组的形式合作交流,发现规律总结异号的两个有理数相加的加法法则.在学生讨论的过程中,教师巡视,个别情况可予以指导.
第三组:①( - 5)+0=　　　　,②4+0=　　　　,③0+( - 2)=　　　　.
问题4
观察第三组算式,请回答一个有理数同0相加时,和是多少?
[处理方式]　教师提问,学生分小组讨论,并举手回答问题.
[设计意图]　通过以上的练习,使学生借助生活情境自主探索,进一步认识有理数的加法,认识运算的作用,加深学生对运算本身意义的理解.
问题5
有没有同学能完整的总结一下两个有理数相加时的运算法则是什么?
[处理方式]　学生思考后举手回答,教师给予评价并用多媒体展示有理数的加法运算法则.
有理数加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
[设计意图]　出示以上三组题目使学生进一步验证并熟悉两个有理数相加的运算方法,然后通过自己观察、思考、争辩,发现规律、归纳总结,加深对有理数加法法则的认识与理解,培养学生的分析和概括的能力.
思路二
思考下面的问题:
1.如果用一个??表示+1,用一个??表示 - 1,那么一个??和一个??合起来是多少?
生:正负抵消,结果是0.
师:同样,一个??和一个??合起来是多少?
生:(齐答)0.
师:说得好!下面利用你们手中的正、负号棋子,小组合作讨论下面四个题目,然后到讲台展示你们小组讨论的过程和结果.
(1)( - 2)+( - 3);(2)( - 3)+2;(3)3+( - 2);(4)( - 4)+4.
(1)计算( - 2)+( - 3)时,在方框内先后放进2个负号棋子和3个负号棋子,方框内共有5个负号棋子,因此,( - 2)+( - 3)= - 5. (学生演示)
(2)计算( - 3)+2时,在方框内放进3个负号棋子和2个正号棋子,一个正号棋子和一个负号棋子相互抵消,方框内还剩一个负号棋子,因此,( - 3)+2= - 1. (学生演示)
(3)计算3+( - 2)时,在方框内放进3个正号棋子和2个负号棋子,一个正号棋子和一个负号棋子相互抵消,方框内还剩一个正号棋子,因此,3+( - 2)=1. (学生演示)
(4)计算( - 4)+4时,在方框内放进4个负号棋子和4个正号棋子,正负都抵消了,方框内没有棋子了,因此,( - 4)+4=0. (学生演示)
议一议:两个有理数相加,和的符号怎样确定?和的绝对值怎样确定?一个有理数同0相加,和是多少?
教师巡视并适时点拨,学生观察、思考、交流并归纳回答.
　　[过渡语]　同学们,做得非常好,那么能不能设计一种新的情境来验证上面的四个算式?
(1)规定向东为正,向西为负,先向西走了2米,再向西走了3米,两次共向西走了5米,所以( - 2)+( - 3)= - 5.
(2)从河岸水位线开始,规定上升为正,下降为负,下降3米,再上升2米,结果水位下降了1米,所以( - 3)+2= - 1.
(3)如果水位上升3米,再下降2米,结果水位上升了1米,所以3+( - 2)=1.
(4)温度下降4 ℃,再上升4 ℃,结果温度没有变化,如果上升为正,下降为负,那么( - 4)+4=0.
师生共同总结有理数的加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
[设计意图]　借助正、负号棋子,以游戏的方式,让学生亲身参与探索发现,主动获取知识,初步感受两个有理数相加的方法,并通过不同的情境进一步验证结论的正确性.
(教材例1)　计算下列各题.
(1)180+( - 10); (2)( - 10)+( - 1);
(3)5+( - 5); (4)0+( - 2).
〔解析〕　在进行有理数的加法时,先要判断加数是同号还是异号,有一个加数是否为零,再根据两个加数的符号的具体体现,选用某一条加法法则,进行计算时,通常应该先确定和的符号,再计算和的绝对值.
解:(1)180+( - 10)=+(180 - 10)=170.
(2)( - 10)+( - 1)= - (10+1)= - 11.
(3)5+( - 5)=0.
(4)0+( - 2)= - 2.
(讲解的过程中,提示学生思考每一步这样计算的理由.)
[知识拓展]　两个有理数相加和的符号取决于绝对值较大的数的符号,和的绝对值是根据“两个有理数相加,和的绝对值同号相加,异号相减”的原则进行计算的;互为相反数的两数相加得0,反之,如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;任何数同0相加,仍得这个数.
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2.异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.一个数同0相加,仍得这个数.
1.小明家的冰箱冷冻室的温度为 - 6 ℃,调高2 ℃后的温度为 (　　)
A.8 ℃ B.4 ℃ C. - 4 ℃ D. - 8 ℃
解析: - 6 ℃+2 ℃= - 4 ℃.故选C.
2.在如图所示的数轴上,A ,B两点所表示的有理数的和是 (　　)
A.5 B. - 5 C.1 D. - 1
解析:( - 3)+2= - 1.故选D.
3.有理数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示,则a + b的值 (　　)
A.大于0 B.小于0
C.小于a D.大于b
解析:根据a,b两点在数轴上的位置可知a<0,b>0,且|b|>|a|,所以a + b>0.故选A.
4.若x的相反数是3,|y |=5,则 x+y=　　　　.
解析:因为x的相反数是3,|y |=5,所以x= - 3,y=±5,x+y= - 3+5=2或x+y= - 3+( - 5)= - 8.故填2或 - 8.
5.计算下列各式.
(1)( - 8)+( - 7);
(2)( - 19)+11;
(3)( - 32)+0;
(4)72+( - 72).
解:(1) - 15.　(2) - 8.　(3) - 32.　(4)0.
6.某星球表面的夜间平均温度为 - 160 ℃,白天比夜间高37 ℃,那么白天的平均温度是多少?
解:( - 160 ℃)+37 ℃= - 123 ℃.
第1课时
1.列出算式表示结果.
2.有理数加法法则.
一、教材作业
【必做题】
教材第36页习题2.4的1,2题.
【选做题】
教材第36页习题2.4的3,4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某天股票A开盘价18元,上午11:30跌1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,则股票A这天收盘价为 (　　)
A.0.3元 B.16.2元 C.16.8元 D.18元
2.下面的数中,与 - 3的和为0的是 (　　)
A.3 B. - 3 C.13 D. - 13
3.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|等于 (　　)
A.5 B.1
C.5或1 D.±5或±1
4.当a<0,b<0时,比较大小:|a|+|b|　　　　|a+b|.(填“>”“<”或“=”)?
【能力提升】
5.绝对值大于2小于8的整数中,最小的整数是　　　　,最大的整数是　　　　,满足条件的全部整数的和为　　　　.
6.某出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的, 如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车情况(单位:千米)如下:+15, - 2,+5, - 1,+10, - 3, - 2,+12,+4, - 5,+6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点多远?
(2)若出租车耗油量为a升/千米,则这天下午小李的出租车共耗油多少升?
【拓展探究】
7.已知a,b是有理数,比较a+b与b的大小.
【答案与解析】
1.C(解析:18+( - 1.5)+(+0.3)=+16.8.故选C.)
2.A(解析:逆用互为相反数的两数相加得0.故选A.)
3.C (解析:由|a|=3,|b|=2,得a=±3, b=±2,所以a+b=±5或a+b=±1,故|a+b|=5或1.故选C.)
4.=(解析:因为a<0,b<0,所以|a|+|b|= - a+( - b)= - (a+b),|a+b|= - (a+b),所以|a|+|b|=|a+b|.故填=.)
5. - 7　7　0(解析:绝对值大于2小于8的整数有±3,±4,±5,±6,±7.所以最小的整数是 - 7,最大的整数是7,满足条件的全部整数的和是0.)
6.解:(1)(+15)+( - 2)+(+5)+( - 1)+(+10)+( - 3)+( - 2)+(+12)+(+4)+( - 5)+(+6)=39(千米).　(2)a×(|+15|+| - 2|+|+5|+| - 1|+|+10|+| - 3|+| - 2|+|+12|+|+4|+| - 5|+|+6|)=65a(升),故这天下午小李的出租车共耗油65a升.
7.解:当a为正数时,a+b>b;当a为0时,a+b=b;当a为负数时,a+b本节课首先让学生经历从问题情境中得到算式并体验规定的合理性,注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程,主动获取知识,培养学生的观察、比较、归纳能力,从而激发学生的求知欲望和学习兴趣,帮助学生主动探究,鼓励学生表达与交流.
练习应用有理数加法法则进行计算的时间有点欠缺,所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差.
课堂上既要培养学生的计算能力,又要让学生在练习中不断总结计算技巧,练习题的设计还应贴近现实生活,进一步作全面设计.
随堂练习(教材第36页)
解:(1) - 32.　(2) - 8.　(3) - 23.　(4)0.
习题2.4(教材第36页)
1.解:(1) - 17.　(2)4.　(3)13.　(4)22.　(5) - 22.　(6) - 60.　(7) - 84.　(8)9.　(9) - 13.
2.提示: - 123 ℃.
4.解:答案不唯一,例如:今天的最高气温为 - 4 ℃,天气预报报明天的最高气温较今天将上升3 ℃,那么明天的最高气温可以表示为[( - 4)+3] ℃,即 - 1 ℃.
5.解:不正确.当两个加数都是负数,或其中一个为0时,两个加数的和一定不大于每个加数,例如:( - 3)+( - 5)= - 8.
6.解:李伯伯到达纽约时当地的时间是8+20+( - 13)=15(h).即李伯伯到达时纽约时间是15:00.
在教学过程中,让学生主动探究生活情境,教师适当点拨、启发,体现教师的主导作用和学生的主体地位,利用学生的好奇心,采用形象、生动的事例,让学生亲身参加演练,动手操作,从而获取知识.在教学有理数加法法则的推导过程中,利用多媒体创设情境,采取合作、交流学习的方式.学生在动手操作、亲身体验、探索发现中观察、归纳、概括有理数的加法法则.让学生通过活动和相互出题来体验成功,增强学生学习数学的自信心,利用课件、教具和卡片辅
助教学,使教学内容形象、直观.通过实例讲解、学有所思、快速反应和挑战性的作业让学生体验“数学来源于生活”.
　已知|a|=8,|b|=6,求a+b的值.
解:∵|a|=8,∴a=±8.
∵|b|=6,∴b=±6.
∴a+b=8+6=14或a+b=8+( - 6)=2或a+b=( - 8)+6= - 2或a+b=( - 8)+( - 6)= - 14.
第课时
1.进一步熟练掌握有理数加法的法则.
2.掌握有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简化运算.
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中教会学生向别人清晰地表达自己想法的能力,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
1.培养学生的分类、观察与归纳能力.
2.提高学生的自学以及理解能力,激发学生学习数学的兴趣.
【重点】　加法运算律的灵活运用,解决实际问题.
【难点】　能运用加法运算律简化运算,理解加法在实际问题中的应用.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习有理数加法运算法则.
导入一:
问题1
计算1+2+3+…+99+100.
解法1:1+2+3+…+99+100
=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
=101+101+…+101
=50×101
=5050.
解法2: 1+2+3+…+99+100
=(1+99)+(2+98)+…+(49+51)+100+50
=100+100+…+100+50
=50×100+50
=5050.
【师生交流】　利用了加法交换律和加法结合律.
问题2
对于下面这道题我们是否也可以利用加法的运算律简便运算呢?
( - 3)+( - 2)+( - 1)+0+1+2+3.
师:下面我们就来探索一下到底能不能,今天我们来学习《有理数的加法(2)》.(板书课题)
[设计意图]　利用小学学过的一道题目来复习加法的运算律,并利用一道明显可以简便运算的简单题目引起学生对探索有理数的加法的运算律在实际应用中的兴趣.
导入二:
请同学们阐述上节课所学的内容,并完成相关题目.
有理数加法法则:
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2.异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.一个数同0相加,仍得这个数.
注意:1.确定和的符号;
2.确定和的绝对值.
巩固训练
计算下列各题.
(1)( - 8)+( - 9), ( - 9)+( - 8);
(2)4+( - 7),( - 7)+4;
(3)[2+( - 3)]+( - 8), 2+[( - 3)+( - 8)];
(4)[10+( - 10)]+( - 5),10+[( - 10)+( - 5)].
通过计算上面的题目,你有什么发现?
[设计意图]　在回答问题的过程中,选择不同程度的学生来回答.一是为了检查学生对上节课知识的掌握情况,二是为了培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为新课的学习做好铺垫.
探究活动1　初探有理数加法运算律
　　[过渡语]　同学们,从上面的训练中,我们发现了:
(1)( - 8)+( - 9)=( - 9)+( - 8),
(2)4+( - 7)=( - 7)+4,
(3)[2+( - 3)]+( - 8)=2+[( - 3)+( - 8)],
(4)[10+( - 10)]+( - 5)=10+[( - 10)+( - 5)].
那么同学之间仿照黑板的题目,再换一些数试试看还成立吗?看看有哪个同学能驳倒刚刚我们归纳的理论.(两个有理数相加,交换加数的位置,和不变,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变)
[处理方式]　给学生充足的时间让学生发挥想象,去驳倒老师的结论,选不同的数来验证,同时巩固有理数加法的运算,结果是换了数字也成立.
探究活动2　总结归纳有理数加法运算律
　　[过渡语]　我们能不能用字母来代替数字,表示一下加法的交换律和结合律?
思路一
[处理方式]　先独立思考,再小组交流,最后尝试用字母表示出加法交换律和结合律.
生:加法的交换律:a+b=b+a;
加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(教师板书)
师:你能不能用语言叙述一下加法的交换律和结合律?
生:加法的交换律:两个有理数相加,交换加数的位置,和不变.加法的结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.(教师板书)
师:这里注意运算律式子中的字母a,b表示任意的一个有理数,可以是正数,也可以是负数或者零.在同一个式子中,同一个字母表示同一个数.我们已经知道加法的交换律和结合律在有理数的加法中也成立,那么( - 3)+( - 2)+( - 1)+0+1+2+3,我们可以怎样简便计算呢?
生:解:( - 3)+( - 2)+( - 1)+0+1+2+3
=[( - 3)+3]+[( - 2)+2]+[( - 1)+1]+0
=0+0+0+0
=0.
[设计意图]　利用两组不同式子的计算,来归纳总结有理数加法的交换律和结合律,并设计自选换数来验证.在本环节中教师始终设问引导,逐步引领学生完成本运算律的探索,最后返回到开篇设计的题目,并对后续的计算起到了过渡的作用.
思路二
通过计算( - 8)+( - 9)= - 17和( - 9)+( - 8)= - 17发现加法交换律和结合律在有理数加法运算中仍然适用.
鼓励学生通过自己的探索、交流、归纳,自主得出有理数加法的运算律.
语言叙述:
加法的交换律:　　　　　　　　;
加法的结合律:　　　　　　　　.
请用字母表示加法的交换律、结合律.
加法的交换律:　　　　　　　　;
加法的结合律:　　　　　　　　.
巩固训练
(1)( - 30)+40=40+　　　　;
(2)a+( - b)=( - b)+　　　　;
(3)1.5+2.6+( - 1.5)=1.5+　　　　+2.6.
探究活动3　加法的运算律的应用
　　[过渡语]　我们发现利用加法的交换律和结合律能使计算更加简便.看一下下面的题目,如何利用运算律进行简便运算.
(教材例2)　计算31+( - 28)+28+69.
[处理方式]　先让学生观察一下,然后引导学生发现,在本例中,把相反数和和为整数的数分别结合在一起再相加,计算比较简便.(课件展示)
解:31+( - 28)+28+69
=31+69+[( - 28)+28](加法交换律,加法结合律)
=100+0
=100.
【思考】　运用了什么运算律?为什么要这么做?
生:用了加法的交换律和结合律.发现 - 28和28互为相反数,相加等于0,31和69相加结果是整数,所以我这样做.
动手做一做:635+ - 523+425+ - 113
=635+425+ - 523+ - 113(加法交换律)
=635+425+ - 523+ - 113(加法结合律)
=11+( - 7)(异号两数相加)
=4.
教师总结展示:
1.同号:把正数和负数分别结合在一起相加.
2.凑整:把和为整数的数相加.
3.凑零:把和为0的数相加.(有相反数的直接把相反数相加和为0)
4.分数相加:把分母相同的或易于通分的分数相加.
5.带分数相加:把带分数的整数部分、真分数部分分别结合相加.
6.小数相加:整数部分、纯小数部分分别结合相加.
[设计意图]　利用课本例题,让学生体会到运用加法运算律可以简化运算,多个有理数相加,往往是既运用加法的交换律又运用加法的结合律.在运用之后及时总结,让学生明晰加法交换律和结合律一般在什么样的情况下使用.在例题中设置了分层教学,让先做完的学生有事做.
探究活动4　实际应用
(教材例3)　有一批食品罐头,标准质量为每听454 g.现抽取10听样本进行检测,结果如下表:
听号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量
444
459
454
459
454
454
449
454
459
464
这10听罐头的总质量是多少?
解法1:这10听罐头的总质量为:
444+459+454+459+454+454+449+454+459+464=4550(g).
师:大家都发现这样算既麻烦又容易出错,那么我们观察一下题目,“标准质量为每听454 g”,我们还可以怎样做呢?
解法2:把超过标准质量的克数用正数表示,不足的用负数表示,列出10听罐头与标准质量的差值表:
听号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
与标准质量的差值
- 10
+5
0
+5
0
0
- 5
0
+5
+10
这10听罐头与标准质量差值的和为:( - 10)+5+0+5+0+0+( - 5)+0+5+10=[( - 10)+10]+[( - 5)+5]+5+5=10(g).
因此,这10听罐头的总质量为:454×10+10=4540+10=4550(g).
[设计意图]　通过本题的学习让学生明白数学来源于生活,应用于生活,同一个问题用不同方法来解决,难易程度不同,激发学生的求知欲.在解决问题时,应注意与加法交换律、结合律的结合.
[知识拓展]　利用有理数的加法交换律和结合律,可以简化计算,提高准确率.在中考中,有理数的加法很少单独命题,与其他知识点结合解决实际问题是命题的热点,题型有选择题、填空题、解答题.
有理数的加法运算律:
(1)加法交换律:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.
(2)加法结合律:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
计算.
(1) - 0.375+ - 78+ - 18+38;
(2)0.25+ - 34+ - 14+0.75;
(3)27+( - 27)+63+( - 13);
(4)12+ - 23+ - 12+ - 13.
解:(1)原式= - 0.375+38+ - 78+ - 18=0+ - 78+18=0+( - 1)= - 1.
(2)原式=(0.25+0.75)+ - 34+ - 14=1+ - 34+14=1+( - 1)=0.
(3)原式=27+( - 27)+[63+( - 13)]=0+50=50.
(4)原式=12+ - 12+ - 23+ - 13=0+ - 23+13=0+( - 1)= - 1.
第2课时
有理数加法的运算法则:
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第38页习题2.5的1题.
【选做题】
教材第39页习题2.5的3,4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.15+　　　　=6.
2.( - 3)+　　　　=1.
3.计算.
(1)( - 35)+34+166+( - 65);
(2)( - 46)+57+( - 84)+23;
(3)41+( - 10)+( - 31)+0.
【能力提升】
4.10筐苹果,以每筐30 kg为准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,记录如下:2, - 4,2.5,3, - 0.5,1.5,3, - 1,0, - 2.5.求这10 筐苹果的总质量.
【拓展探究】
5.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,规定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走的情况为:+10, - 3,+4,+2, - 8,+13, - 2,+12,+8,+5.(单位:km)
(1)到收工时距A地多远?
(2)若汽车每千米耗油0.2 L,则从A地出发到收工共耗油多少升?
【答案与解析】
1.( - 9)(解析:由15 - 9=6可知15+( - 9)=6.故填( - 9).)
2.4(解析:由1+3=4可知( - 3)+4=1.故填4.)
3.解:(1)原式=[( - 35)+( - 65)]+(34+166)=( - 100)+200=100.　(2)原式=[( - 46)+( - 84)]+(57+23)= - 130+80= - 50.　(3)原式=41+[( - 10)+( - 31)]+0=41+( - 41)+0=0.
4.解:由题意得2 - 4+2.5+3 - 0.5+1.5+3 - 1+0 - 2.5=4(kg),10筐苹果共超过4 kg.所以30×10+4=304(kg).答:10筐苹果共304 kg.
5.解:(1)10 - 3+4+2 - 8+13 - 2+12+8+5=41(km).　(2)|+10|+| - 3|+|+4|+|+2|+| - 8|+|+13|+| - 2|+|+12|+|+8|+|+5|=67(km),67×0.2=13.4(L).答:收工时距离A地41 km,从A地出发到收工时共耗油13.4 L.
教案设计中有理数运算律的探究、例题的讲解、习题的完成、知识的总结大部分是由学生完成的,真正体现了教师的点拨、评价和指导为辅,学生的学为主的教学思想,更好地提高了学生的综合运算能力,同时规范了学生的解题步骤,让学生知道了每进行一步运算都要有根有据.通过运算逐步培养了学生的逻辑思维能力.
整堂课时间上有点紧张,没有体现小组合作学习的优势.
在教学的过程中一定要在法则的推导过程上下功夫,让学生理解法则的来龙去脉.合理安排时间,让“兵教兵”“兵帮兵”发挥最大的效能.
随堂练习(教材第38页)
1.提示:(1) - 3.　(2) - 30.　(3) - 50.
2.解:水下29 m.
习题2.5(教材第38页)
1.提示:(1)100.　(2) - 2.　(3) - 92.　(4)2.　(5)50.　(6) - 90.　(7) - 13.　(8) - 30.
2.解:22+6+( - 10)=18(℃).
3.解:55+( - 40)+10+( - 16)+27+( - 5)=31(kg),增产31 kg.
4.提示:在A地的南边,距A地245 m,小明共跑了5867 m.
5.解:(1)( - 2)+( - 3)= - 5(答案不唯一).　(2)( - 5)+0= - 5(答案不唯一).　(3)(+6)+( - 11)= - 5(答案不唯一).
6.提示:(1)只要是大于15的整数都可以.　(2)只要是小于15的整数都可以.　(3)15.
7.解:9546+( - 150)+280+( - 315)+( - 540)+( - 470)=8351(元).
有理数加法运算律的得出是要学生自主探索的,同时通过具体运算体会运算律对计算的简便之处.启发引导式教学,能够由特殊到一般、由一般到特殊,了解研究数学的一些基本方法.本课时教学重点是有理数加法运算律,并能运用加法运算律简化运算;教学难点是灵活运用运算律简化运算.在教学中注意培养学生的分类与归纳能力,强化学生的数形结合思想,提高学生的自学以及理解能力,激发学生学习数学的兴趣.
有甲、乙两种得分卡片各10张,甲卡片上分别写有1,2,3,4,…,10共十个得分数字;乙卡片上分别写有 - 1, - 2, - 3, - 4,…, - 10共十个得分数字.两种卡片的背面相同,将两种卡片混合后,把背面朝上.
(1)如果你从中抽取3张卡片,那么你可能得到的最高分是多少分?最低分是多少分?
(2)可能零分吗?
〔解析〕　根据题意灵活运用有理数的加法法则进行解题.
解:(1)得到最高分时应取到最大的三个数,即10,9,8,相加可得最高分为27分,得到最低分时,应取到最小的三个数,即 - 10, - 9, - 8,相加可得最低分为 - 27分.
(2)可能,例如3, - 2, - 1或4, - 3, - 1等.
5　有理数的减法
1.掌握有理数的减法法则,运用法则进行计算.
2.在有理数减法法则的教学中,渗透探索、归纳等方法,使学生了解研究数学的一些基本方法.
在讲课的过程中,注重学生参与推导减法法则的过程,从而深化学生对这一法则的理解.
1.抽象概括能力.
2.迁移、对比能力.
【重点】　掌握有理数的减法法则,并能熟练地进行计算.
【难点】　利用有理数的减法法则解决相关实际问题.
【教师准备】　教材引例、三个例题的投影图片;预想学生学习过程中遇到的困难.
【学生准备】　复习有理数加法运算法则.
导入一:
乌鲁木齐某一天的气温是 - 3 ℃~4 ℃,小明想寻求大家的帮助,知道那里的早晚温差是多少,便于准备衣物,哪位同学可以帮助他呢?
师:你能直接从如图所示的温度计上看出4比 - 3高多少摄氏度吗?
生: 7 ℃.
师:很好!这个问题该如何列算式表达呢?
生:4 - ( - 3)= ?
师:请大家观察这个算式,它属于有理数的哪种运算呢?(学生观察后并作回答)
生:有理数的减法.(教师板书课题,引出新课)
[设计意图]　通过生活中的现实情境引入,感受数学知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣.
导入二:
我们想了解每天的天气情况,就得留心收看电视、收听广播.下面就来看某一天的全国主要城市的天气情况:
全国主要城市天气预报
城市
天气
最高
最低
城市
天气
最高
最低
哈尔滨
小雨
15
6
长春
多云
18
10
沈阳
小雨
19
7
天津
小雨
12
8
呼和浩特
雨夹雪
8
- 3
乌鲁木齐
晴
4
- 3
西宁
小雪
5
- 4
银川
小雪
0
- 3
兰州
雨夹雪
3
- 3
西安
小雪
16
7
拉萨
多云
15
1
成都
雷阵雨
17
10
重庆
雷阵雨
22
11
贵阳
雷阵雨
23
8
出示问题:(1)哈尔滨的最高气温是15 ℃,最低气温是6 ℃,这天的温差是多少?
(2)乌鲁木齐的温差是多少?你能用算式表示吗?你是如何算的?
生:温差就是算两个温度的差,用减法计算,哈尔滨温差为15 - 6=9(℃);乌鲁木齐的温差列式为4 - ( - 3).
师:4 - ( - 3)等于多少呢?这就是我们这节课重点研究的内容——有理数的减法.
[设计意图]　创设一个学生熟悉的温差情境,可以激发学习兴趣,有利于学生主动参与学习、思考和探索.
导入三:
活动内容1:口算.
(1)10+(+3); (2)( - 4)+( - 5);
(3)15+( - 6); (4)(+2)+( - 9).
[处理方式]　学生积极抢答,提高了学生的学习兴趣,课堂气氛也逐渐活跃起来,轻松过渡到下一个环节.
[设计意图]　此组练习在于复习有理数加法法则,特别是异号两数相加,容易出错,可以让学生先口述法则,再计算结果.复习巩固加法,为减法的引出及减法法则的学习做好铺垫.
活动内容2:前面我们复习了有理数的加法运算,希望同学们熟练运用法则,正确计算,今天我们继续学习有理数的减法.同学们请看图:哪位同学能列算式表示出周六的温差呢?
[处理方式]　首先让学生解释“温差”的意义,再列出算式4 - ( - 3).
[设计意图]　通过生活中现实情境的引入,让学生体会到“数学源于生活,扎根于生活”,激发学生的学习兴趣,使教师顺利引出课题并板书课题.
探究活动1　感知有理数减法法则
问题1
某天,滕州的最高温度为4 ℃,最低温度为 - 3 ℃,这天滕州的温差是多少?你是怎么算的?你能从温度计上看出4 ℃比 - 3 ℃高多少摄氏度吗?
[处理方式]　先请同学们同桌之间相互讨论交流,然后请2~3个学生发言.有些同学列出算式4 - ( - 3),教师继续引导该如何计算.
问题2
如何计算4 - ( - 3)呢?
[处理方式]　先引导学生回忆:被减数、减数、差之间的关系,被减数 - 减数=差,再利用减法是加法的逆运算,引导学生得出:差+减数=被减数.
思路一
如:计算4 - 3就是求一个数“x”,使它加上3等于4,同样地,要计算4 - ( - 3)就是求一个数“x”,使x与 - 3相加等于4.
即x+( - 3) =4,因为7+( - 3) =4,所以4 - ( - 3) =7.
减法→(+4) - ( - 3)=+7
　　　　↓　↓
加法→(+4)+(+3)=+7
让学生比较上面这两个算式并讨论得出:(+4) - ( - 3)=(+4)+(+3).
4+(+3) = 7,用彩色粉笔在4 - ( - 3)与4+(+3)处画出着重号.引导学生观察4+(+3)=7与4 - ( - 3)=7,从而提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”,即4 - ( - 3)=4+(+3).(学生回答,教师板书)
思路二
师:在小学我们探讨了减法,那什么是减法呢?
生:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫减法.
师:很好.由减法的定义可知减法与加法是互为逆运算的.
现在要计算:4 - ( - 3)等于多少,应如何计算呢?大家想想办法.
生:要计算4 - ( - 3)等于多少,可先考虑一下:　　　　+( - 3)=4.利用有理数的加法法则可知7+( - 3)=4,所以4 - ( - 3)=7.
师:很好,这位同学从加法和减法是互为逆运算的角度来考虑的,并且计算正确.想一想,还可以怎样考虑?
生:还可以利用温度计.如图所示,因为温度是由温度计测出的,所以可以在温度计上找到4和 - 3所表示的点,然后看两个点之间有多少小格,一共有7格,因而4 - ( - 3)=7.
师:这位同学想的办法很好,利用温度计从零上4 ℃数到零下3 ℃,这中间相隔7个小格,上面4个小格加上下面3个小格,即4+3=7.4 - ( - 3)=7,4+3=7.大家观察这两个算式及结果,你发现了什么?提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”,即4 - ( - 3)=4+(+3).
[设计意图]　画图帮助学生分析,让学生从图形中直观地找出答案,在此基础上启发同学们列式计算;培养学生的动手能力以及善于运用数形结合思想的良好习惯.同时也教育学生学好数学的实际意义与价值.
探究活动2　有理数减法法则
请同学们计算下面一组题目.
(1)15 - 6=　　　　,15+( - 6)=　　　　;
(2)19 - 3=　　　　,19+( - 3)=　　　　;
(3)12 - 0=　　　　,12+0=　　　　;
(4)8 - ( - 3)=　　　　,8+3=　　　　;
(5)10 - ( - 3)=　　　　,10+3=　　　　.
对于每组题目的计算和结果,你发现了什么?
[处理方式]　教师请两名踊跃的同学到讲台前用投影仪展示出他们的答案,其他同学在下面进行校对,对个别错误进行纠正.对比两组题目的答案,教师继续引导同学们有什么发现,同学们会说出他们的发现:每组的两个式子结果都相等.教师及时给予鼓励,并继续追问:根据这两组式子,你能发现什么结论呢?提示学生观察等号两边分别是什么计算.学生快速进入讨论交流状态,此时教师在各小组间巡视.一分钟后,学生讨论基本成熟,教师请小组代表向全班汇报结果,并在此基础上归纳有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示法则:a - b=a+( - b).强调运用法则时,被减数不变,减号变加号,减数变成其相反数.
[设计意图]　通过这个活动,让学生把减法问题转化为加法问题,进而总结减法法则.学生经历由特例到一般的归纳过程,培养学生的抽象概括能力及口头表达能力.在小学所学加法和减法的关系的基础上,揭示了有理数运算中加法和减法的关系,建立了新知与旧知之间的联系,让学生在这一过程中体会到了转化的数学思想.
　计算下列各题:
(1)9 - ( - 5);　(2)( - 3) - 1;
(3)0 - 8;　(4)( - 5) - 0.
解:(1)9 - ( - 5)=9+5=14.　(2)( - 3) - 1=( - 3)+( - 1)= - 4.　(3)0 - 8=0+( - 8)= - 8.　(4)( - 5) - 0= - 5.
　世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度大约是8844 m,吐鲁番盆地的海拔高度大约是 - 155 m,两处高度相差多少米?
[处理方式]　请学生思考后,直接解决此问题,教师巡视指导,强调解题的规范.
解:8844 - ( - 155)=8844+155=8999(m).
答:两处高度相差8999米.
师:假设一层楼3米高,8844 米有多少层楼高?
[处理方式]　学生先独立计算,然后小组交流,并选代表回答.
[设计意图]　利用课件展示世界海拔之最能把学生的注意力重新集中回课堂,再次激发学生的学习热情.同时增加了学生的知识面和探索世界奥妙的兴趣.课件的板书示范,也培养学生严谨的学风和良好的学习习惯.从“假设一层楼3米高,8844 米有多少层楼高?”问题情境中培养数感,数感是对数或数的关系的一种良好直觉,它的培养是一个潜移默化的过程.让学生进行估算既可培养数感也为以后对大数的感受活动做铺垫.
　全班学生分为五个组进行游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下:
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
- 400
350
- 100
(1)第一名超出第二名多少分?
(2)第一名超出第五名多少分?
解:由上表可以看出,第一名得了350分,第二名得了150分,第五名得了 - 400分.
(1)350 - 150=200(分).
(2)350 - ( - 400)=750(分).
答:第一名超出第二名200分,第一名超出第五名750分.
[知识拓展]　在进行有理数的减法运算时,关键是如何正确解决符号问题,使减法运算合理地转化为加法运算.进行有理数的减法运算应同时改变两个符号:一是运算符号,由“ - ”变为“+”;二是减数的性质符号,由“+”变为“ - ”,或由“ - ”变为“+”.减数与被减数不能互换,即减法没有交换律.
1.有理数的减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示为:a - b=a+( - b).
2.有理数减法运算步骤:(1)根据有理数的减法法则,把减号变为加号,把减数变为它的相反数;(2)利用有理数的加法法则进行运算.
1.如果两个数相加等于0,那么这两个数一定是　　　　.
解析:由互为相反数的两个数的和为0,可知这两个数一定是互为相反数.故填互为相反数.
2.水位上升了8 cm,又下降了5 cm,那么水位