北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减全章教案

第三章　整式及其加减
1.掌握用代数式表示简单的数量关系的方法,并能够计算代数式的值.
2.理解代数式求值的意义,以及代数式和代数式求值之间的关系.
3.掌握合并同类项和去括号的方法,并能够用其化简代数式.
4.了解整式的相关概念,理解合并同类项和去括号的法则,并会进行简单的整数加减运算,发展运算能力.
5.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维.
1.经历探索事物之间的数量关系,并用字母与代数式进行表示的过程,建立初步的符号意识,发展抽象思维.
2.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.
3.会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
1.经历用代数式探求数学规律的过程,初步体会代数式在数学和实际中的应用.
2.探求具体问题中的一般规律及解释具体问题中的现象或规律.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
用字母表示数,是数学上一次伟大的进步,它使得数的概念一般化了.由于学生在此前缺乏符号感和必要的逻辑思维,所以本章在安排上注意通过实验引入有关知识.
本章在学习有理数的基础上,结合学过的知识和已有的生活经验,引入字母表示数,使思维达到由数到式的飞跃,继而介绍了代数式、代数式的值、整式、单项式与多项式及其相关概念,并在理解这些概念的基础上逐步学习同类项的概念、合并同类项法则以及去括号法则,最后将这些法则应用于本章的重点——整式的加减,使得全章知识井然有序,层层深入,结构分明,重点突出.
【重点】
1.用代数式准确表示数量关系.
2.能够使用合并同类项和去括号法则对代数式进行化简.
【难点】
1.掌握代数式求值的方法,理解所求值的实际意义.
2.通过代数式对问题进行分析和思考,培养抽象思维能力.
1.让学生通过大量的既生动又有现实意义的例子体会到使用字母表示数的重要意义,逐步熟悉这种用符号进行逻辑思维的方法,通过用语言描述代数式,锻炼学生表述的能力.
2.本章重点是代数式及其运算,但是决不能脱离实际背景来空谈代数式的内容.在各个部分的教学中都应该给出具有实际背景的事实材料,让学生充分认识到使用代数知识能够很好地认识实际问题中的数学规律,避免给学生造成代数就是进行纯粹的符号运算的认识.
3.用整式表示数学关系,使很多数学规律一般化、形式化.在教学中让学生用整式表示以前学过的有关运算律和各种公式等内容,使学生能够从事物的本质上把握规律,提高对规律本身的认识,同时也发展了抽象思维能力.
4.在教学中,通过代数关系认识和理解一些有趣的数学规律,既能够增强学生对数学的热爱,同时又使学生充分地认识到代数对于探索数学规律的重要作用,形成学习代数知识的正确态度.
1　字母表示数
1课时
2　代数式
2课时
3　整式
1课时
4　整式的加减
3课时
5　探索与表达规律
2课时
本章概括整合
1课时
1　字母表示数
1.在观察、思考的过程中形成字母表示数的一般概念.
2.体会用字母表示数的特点和意义.
3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维能力和符号逻辑.
在实践的过程中,体会用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式.
1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力.
2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.
3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识.
【重点】
1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律.
2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.
【难点】
1.认识用字母表示数具有不唯一性.
2.能根据实际情况列出合理的代数式.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P78~79.
导入一:
同学们,我们来欣赏一首非常熟悉的儿歌.
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,扑通一声跳下水;
两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,扑通扑通两声跳下水;
三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿,扑通扑通扑通三声跳下水……
[处理方式]　引导学生接着唱下去,激发学生的学习兴趣.刚开始有的同学还能接着唱,唱着,唱着,唱不完了,怎么办?
师:你能不能用一句话来概括这首儿歌?
生:n只青蛙n张嘴,2n只眼睛4n条腿,扑通n声跳下水.
师:很好,掌声鼓励.这样一首儿歌我们用一个字母n就概括了,这就是我们今天所要学习的“字母表示数”(板书课题).
[设计意图]　利用儿歌使学生感受使用一般性符号表达事物的重要性,自然的渗透更说明生活处处有数学,使学生注意力集中.让学生体验把实际问题抽象成数学问题,把特殊问题上升到一般问题的方法,产生认知冲突,变被动学习为主动学习,有利于学生完成知识的自我构建.
导入二:
在我们的生活中,到处可见用字母表示的图片,下面是我搜集的部分图片:
提出问题:
1.以上这些图案都是什么标志,每个标志中的字母都代表什么?
2.谁还能说一说,我们身边的其他用字母来表示的例子?
学生先独立思考,再小组交流.展示交流成果:
生1:NBA——美国职业篮球联赛.
生2:UFO——不明飞行物.
生3:WC——厕所(全班哄堂大笑).
生4:……
师:很好,你们知识真丰富,那么这些名称用字母表示有什么优势呢?今天,我们就一起探究用字母表示数(板书课题).
[设计意图]　利用身边的一些事物让学生明白字母能简明表示一些名称,与此同时培养学生观察和积累的能力.本设计能启发学生思维迁移,使学生明白用字母也可以表示数,也能让复杂的运算变得简单.
　　[过渡语]　在我们身边有许多用字母来表示的例子,数学也可以.想一想,你在以前的学习中有哪些地方用到了字母?这些字母都表示什么?
探究活动1　公式中的字母
(1)长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长与宽.
(2)圆的面积计算公式S=πr2,S表示面积,r表示圆的半径.
(3)长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高.
(4)圆柱的体积计算公式V=πr2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高.
(5)运算律:a+b=b+a ,(a+b)+c =a+(b+c),ab=ba, a(b+c)=ab+ac,其中a,b,c分别表示任何数.
教师板书:字母可以表示任何数.
强调:
(1)我们在不引起混淆的情况下,a×b,2×a通常表示为ab,2a.
(2)一般除号可用分数线来代替,例如a÷b可以写成ab.
[设计意图]　过渡到由字母表示的以前学过的运算律、公式中,在复习旧知识的基础上,把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认字母可以表示任何数这一点.
探究活动2　用字母表示数(1)
　　[过渡语]　公式中字母表示数,让我们更进一步地感受到字母表示数的价值,下面我们做个游戏,请同学们取出课前准备的火柴棒,动手拼以下图形,并同时思考以下几个问题.(以4人为一个小组合作完成,也可以通过画图完成探索)
思路一
搭一个正方形需要4根火柴棒.
(1)按上图的方式,搭2个正方形需要几根火柴棒?搭3个正方形需要几根火柴棒?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?
(4)如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
[处理方式]　先动手摆一摆,数一数火柴棒的根数,再小组交流,体会用字母表示数的优越性.
展示交流结果:
(1)2个正方形需7根;3个正方形需10根.
(2)31根.(有些同学动手画出正方形为10个时的图形,再确定用几根火柴棒,有些同学通过找规律得到了答案.)
(3)301根.将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,所以搭100个这样的正方形需要火柴棒1+3×100=301(根).(无法动手摆出或画出相应图形,都投入了思考和讨论.)
(4)教师巡视观察学生思考,通过操作实践,探究交流,学生从多角度去思考,再去发现规律,将小组的作用发挥到极致.
生1:第一个正方形用火柴棒4根,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,那么搭x个这样的正方形需要火柴棒[4+3(x - 1)]根.
生2:将第一根火柴棒摘出来,后面每增加一个正方形火柴棒就增加3根,那么搭x个这样的正方形需要火柴棒(1+3x)根.
生3:假设每一个正方形都用4根火柴棒,则搭x个正方形需要火柴棒4x根,而这样会多算火柴棒(x - 1)根,所以搭x个这样的正方形需要火柴棒[4x - (x - 1)]根.
生4:上面的一排和下面的一排各用了x根火柴棒,竖直方向用了(x+1)根火柴棒,共用了 [x+x+(x+1) ] 根火柴棒.
[设计意图]　摆火柴棒的环节,涉及的知识主要是运用字母表示规律,但其中蕴涵丰富的教育价值.此环节可以使学生经历运用数学符号描述变化规律的过程 ,发展了符号感和抽象思维.通过与同伴交流,学生将体验解决问题的策略的多样性,学会合理清晰地阐述自己的观点.
思路二
(1)按照上图的方式,搭2个正方形需要多少根火柴棒?搭3个正方形需要多少根火柴棒?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?
(4)如果用n表示所搭的正方形的个数,那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流.
师:请各小组选派一名学生说一说(1),(2),(3)的答案.
生1:(1)搭2个正方形需要7根火柴棒,3个需要10根火柴棒.　(2)需31根火柴棒.　(3)需301根.这301根火柴棒我们是这样得到的,第一个正方形用4根,其余的99个正方形每个用的3根,所以总共用301根.
师:你能用算式表示吗?
生1:算式为4+3×(100 - 1).
师:同学们同意吗?他的结果对不对,解释得有道理吗?
生:结果对,解释得有道理.
师:这位同学说得很好.(鼓掌)还有不同的方法吗?
生2:我是这样想的,如果把每个正方形都看成需要4根火柴棒,那么100个正方形需400根火柴棒,可是除去第一个正方形,其余的正方形都少用1根火柴棒,所以我的算式是4×100 - 99.
师:同学们明白了吗?这道题还有没有其他方法呢?
(生沉默思考)
生3:还有就是把每个正方形都看成是由3根火柴棒搭成的,100个正方形就需要300根,但第一个正方形多用了1根,所以列出的算式是3×100+1.
师:这位同学的方法也非常好.大家想了三种不同的方法去解决问题,充分说明了大家善于动脑,也展示了同学们心灵手巧的优点.我们看第(4)个问题,大家再分组研究一下怎样解决,有几种方法,越多越好.
生4:第(4)个问题基本上和第(3)个问题差不多,列出的算式是:①3n+1,②4+3(n - 1),③4n - (n - 1).
探究活动3　用字母表示数(2)
课本78页,做一做
(1)根据你的计算方法,搭200个这样的正方形需要　　　　根火柴棒.
(2)利用小明的计算方法,我们用200代替4+3(x - 1)中的x,可以得到4+3×(200 - 1)=601,你的结果与小明的结果一样吗?
[处理方式]　学生根据自己的计算方法得出搭200个这样的正方形需要601根火柴棒.
生1:601个,一样.我的算式是1+3×200.
生2:601个,一样.我的算式是4×200 - (200 - 1).
生3:601个,一样.我的算式是200+200+(200+1).
师:很好,不同的方法得到的算式是不一样的,我们已经知道当正方形的个数为200时,3个算式的结果是相等的.下面同学们用自己得到的式子验证一下当正方形个数为2,3,10,100时,是否和你刚才计算的结果一样呢?(独立完成验证后,小组内简单交流结果.)
[知识拓展]　用字母表示数,同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需要使这个问题有意义,并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.
1.用字母表示数量关系、公式、法则、运算律等.
2.规律的探求.
3.把题中变量或未知数用字母表示是写表达式的前提.
1.某种糖每千克10元,小红妈妈买了a千克,共花了多少元?
解析:根据“单价×数量=总价”可求出答案.
解:共花了10×a=10a(元).
2.如图所示,把一个长、宽分别是a,b的长方形纸板的四角各剪去一个边长为c的正方形(a>b>2c),再做成一个无盖的长方体盒子,用字母表示它的体积和表面积.
解析:由题意知长方体的长为a - 2c,宽为b - 2c,高为c.该长方体的体积=长×宽×高,表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2.
解:长方体的体积为(a - 2c)(b - 2c)c;
表面积为(a - 2c)(b - 2c)+2[(a - 2c)c+(b - 2c)c].
1　字母表示数
用字母表示数的例子:
(1)长方形的面积计算公式S=ab;
(2)圆的面积计算公式S=πr2 ;
(3)长方体的体积计算公式V=abc;
(4)圆柱的体积计算公式V=πr2h.
一、教材作业
【必做题】
教材第79页习题3.1的1题.
【选做题】
教材第79页习题3.1的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.香蕉每千克售价3元,m千克售价　　　　元.
2.温度由5 ℃上升t ℃后是　　　　℃.
3.每台电脑售价x元,降价10%后每台售价为　　　　元.
4.某人完成一项工程需要a天,此人的工作效率为　　　　.
5.一圆半径为a cm,将圆半径增加5 cm后,圆的周长是　　　　cm,圆的面积是　　　　cm2.
【能力提升】
6.某市对一段全长1500米的道路进行改造. 原计划每天修x米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际用了多少天?
【拓展探究】
7.已知a≠0,S1=2a,S2=2S1,S3=2S2……则S2013=　　　　.(用含a的式子表示)
【答案与解析】
1.3m(解析:总价=单价×数量.故填3m.)
2.(5+t)(解析:上升后的温度=原来的温度+上升的温度.故填(5+t).)
3.(1 - 10%)x(解析:降价后的价格等于原价减去降价,x - 10%x=(1 - 10%)x.故填(1 - 10%)x.)
4.1a(解析:工作效率=工作总量÷工作时间=1÷a=1a.故填1a.)
5.2π(a+5)　π(a+5)2 (解析:由圆的周长、面积公式可知周长=2πr=2π(a+5)cm,面积=πr2=π(a+5)2 cm2.)
6.解:修这条路实际用的天数等于这条路的全长1500米除以实际每天的工作量,原计划每天修x米,所以实际施工时每天修(2x+35)米,所以修这条路实际用了1500÷(2x+35)=15002x+35(天).
7.2a(解析:依题意可得S2=2S1=22a=1a,S3=2S2=21a=2a,S4=2S3=22a=1a……由此可以看出Sn的值的规律是:当n为奇数时,Sn等于2a;当n为偶数时,Sn等于1a.所以S2013=2a.)
通过对正方形的个数与火柴棒的数量关系的探索,让学生动手,动口,动脑,合作探究,从而经历寻找规律的过程,在过程中锻炼学生的思维,让学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维模式,感受用字母表示数或数量关系的优越性.在规律探索中,要给学生留有充分的思考时间,要充分相信学生的能力.
课堂节奏把握的不够紧凑,最后达标检测环节时间不够充分.
本节课始终要围绕着字母表示数展开,让学生多角度、多层次地感受字母表示数.
随堂练习(教材第79页)
(1)3v　(2)解:mn - pq.
习题3.1(教材第79页)
1.(1)(t - 2)　(2)(m - 1)　(m+5)　(3)1an　(4)(2a+10)　(5)st　(6)(a - 1)3　6(a - 1)2
2.解:对,她先把每个正方形看成由4根火柴棒搭成的,然后再减去多数的根数,就得到4x - (x - 1).
3.解:(1)从左到右依次填:7,12,17,22,27,32.(2)第n个图形需要[7+5(n - 1)]根或(5n+2)根.
教法:根据教师为主导学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法.
学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力.
　将一些小圆点按如图所示的规律摆放,第1个图形中有6个小圆点,第2个图形中有10个小圆点,第3个图形中有16个小圆点,第4个图形中有24个小圆点……依此类推,第6个图形中有　　　　个小圆点,第n(n为正整数)个图形中有　　　　个小圆点.
〔解析〕　观察这些图形的外部可知每个图形的最外侧都有4个小圆点,再观察每个图形内部圆点的行数和列数可知第1个图形中共有4+1×2=6个小圆点,第2个图形中共有4+2×3=10个小圆点,第3个图形中共有4+3×4=16个小圆点,第4个图形中共有4+4×5=24个小圆点……依此类推,第6个图形中共有4+6×7=46个小圆点,第n个图形中共有[4+n(n+1)]个小圆点.
〔答案〕　46　[4+n(n+1)]
2　代数式
1.进一步认识用字母表示数的方法和意义.
2.能够根据实际意义列出代数式.
3.能够说出一个代数式的意义.
使学生通过自主式学习和探究式学习在实践中尝试归纳自己观察到的数学现象的规律,初步形成数学归纳的能力.
1.进一步了解用字母表示数是学生在数学学习上的一个重要的突破.
2.培养思维的灵活性和多样性.
【重点】
1.理解具体代数式的意义.
2.能够用代数式表示简单的数量关系.
3.能够进行简单的代数式求值.
【难点】
1.准确理解代数式的意义.
2.在理解实际问题的基础上准确列出代数式.
第课时
1.进一步理解字母表示数的意义,能结合具体情境给字母赋予实际意义;理解代数式和代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代数式的值.
2.通过创设实际背景和引用符号,经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题的能力和数学探究意识.
教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自主探索与交流合作中掌握知识.
在解决问题的过程中体验类比、联想等思维,体验数学美,增强学习的自信心.
【重点】　理解具体代数式的意义,能够用代数式表示简单的数量关系,并能对简单的代数式求值.
【难点】　正确列出代数式,解释代数式的实际意义.
【教师准备】　预想学生在学习过程中可能遇到的问题.
【学生准备】　预习教材P81~82.
导入一:
(多媒体展示:播放建国60年国庆阅兵式上女民兵和三军女兵两种方队的视频影像.)
　　[过渡语]　有一种视觉叫震撼!有一种感觉叫澎湃!相信国庆阅兵一定给同学们留下了难以磨灭的记忆,接下来请同学们完成下面的问题.
在国庆阅兵式上,检阅了女民兵和三军女兵两种特殊方队,请据此回答:
(1)若女民兵有a人,三军女兵有b人,两种方队共有女兵　　　　人.
(2)若三军女兵平均年龄为m岁,比女民兵平均年龄大n岁,则女民兵平均年龄为　　　　岁.
(3)若三军女兵共有m排,且每排有25人,则三军女兵的人数为　　　　人.
(4)女民兵方队用t秒走了s米,她们的平均速度可以表示为　　　　米/秒.
[处理方式]　让学生独立思考理解题意,选出4名同学依次说出4个问题相应的数量关系式,其他同学纠错互评,规范答案.
生1:(a+b).
生2:(m - n).
生3:25m.
生4:st.
[设计意图]　通过阅兵式的情境再现,激励学生的斗志,激发学生的学习热情.既复习上节课所学的用字母表示数的知识,也为学习代数式做铺垫.学生回答问题中的几个式子包含有+, - ,×,÷等多种运算,学生口答过程中,教师顺势板书好答案,为下一步学生观察、理解和引出代数式埋下了伏笔.
导入二:
问题1
用字母表示下列数量关系.
1.用火柴棒拼摆正方形,如下图所示,如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?请用不同式子来表示这个数量关系?
2.填空:
(1)边长为a cm的正方形的周长是　　　　cm,面积是　　　　cm2;
(2)钢笔每支2元,铅笔每支0.5元,m支钢笔和n支铅笔共　　　　元;
(3)温度由2 ℃下降t ℃后是　　　　 ℃;
让学生独立思考理解题意,选出2名同学在黑板上写出2个问题相应的数量关系式,其他纠错互评,规范答案.
生1:1.〔4+3(x - 1)〕根;〔x+x+(x+1)〕根;(3x+1)根.
生2:2.(1)4a　a2　(2) (2m+0.5n)　(3) (2 - t)
问题2
仔细观察以上式子,它们有什么共同的特点?
[处理方式]　学生互相讨论数量关系式的特点,教师引入课题.(板书课题)
[设计意图]　通过复习上一节的知识内容,承接先前的若干实例,为引出代数式埋下了伏笔,不仅降低了教学难度,而且激发了学生的学习兴趣.
探究活动1　认识代数式
思路一
　　[过渡语]　请同学们仔细观察下面式子:4+3(x - 1);x+x+(x+1);3x+1;4a;a2;2m+0.5n;2 - t.它们有什么特点?
出示问题:谈谈你对代数式的认识?
[处理方式]　学生自主学习,畅所欲言,教师给予评价,从而归纳代数式的意义:用运算符号把数字和字母连接而成的式子称为代数式.
教师进而强调:
(1)运算符号包括:加、减、乘、除、乘方.
(2)单独的一个数或字母也是代数式.
(3)用具体数值代替代数式中的字母,就可以求出代数式的值.
[设计意图]　让学生经历代数式概念产生的过程,使学生在学习过程中构建自己的数学知识结构,获得对代数式概念的理解,发展数学能力.
思路二
师:请同学们观察并思考下列式子:a+b,m - n,25m,st,6a2,a3,它们有哪些共同点?
生1:都含有数字或字母.
师:除了数字和字母外,还有什么?
生2:还有运算符号(+, - ,×,÷,乘方).
师:运算符号在数字和字母之间起到什么样的作用?
生3:把数和字母连接起来了.
师:回答得很好!同学们,这就是代数式.现在你们能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗?
(学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导,然后投影展示代数式的定义.)
(投影展示)定义:像a+b,m - n,25m,st,6a2,a3……这样,用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式. 单独的一个数或字母也是代数式 .
师:你能举个代数式的例子吗?
(找几个同学进行举例,教师做好板书并给予积极的评价.)
[设计意图]　通过观察、思考、小组合作交流等活动,加深学生对知识的认识和理解,从而生成新知识,体验探究成功的快乐感.
探究活动2　典例讲评
(教材例题)列代数式,并求值.
(1)某公园的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人,学生y人,那么该旅游团应付多少门票费?
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么他们应付多少门票费?
[处理方式]　学生理解题意,自主探究,然后小组内讨论、交流,教师同时巡视指导,参与小组讨论,请一名学生给全体同学讲解板演,然后借助多媒体展示解答过程.
解:(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y得 10×37+5×15 =445.
因此,他们应付445元门票费.
[设计意图]　让学生从实际问题中抽象出数学问题,学会列代数式和求代数式的值,体验数学来源于生活,又为现实生活服务.用多媒体展示解题过程,进一步规范学生的解题格式,让学生体会数学的规范性、严密性.
探究活动3　代数式在现实生活中的意义
出示问题:在例题中,10x+5y表示的是x个成人,y个学生进公园的门票费,那么它还可以表示什么呢?请大家编写能用此式来表达的情境.
[处理方式]　教师举例引导,对于10x+5y,如果用x(m/s)表示小明跑步的速度,用y(m/s)表示小明走路的速度,那么10x+5y表示他跑步10 s和走路5 s所经过的路程.然后要求学生在独立思考的基础上,建立自己的情境框架,小组交流,随后全班交流,教师给予鼓励和引导,并作出积极的评价,共同归纳: 10x+5y可以赋予很多的实际意义.投影展示学生思考的多种结果.
[设计意图]　让学生充分体会代数式在现实背景中的意义,提高学生活学活用知识的能力,将学生的知识进行深化和升华.
探究活动4　趣题滋润,建模感悟
　　[过渡语]　大家的思维活跃,能把数学知识和生活实例结合起来,看来数学与现实生活是密切相关的.下面我们再研究一个生活中的实际问题.(出示题目)
(教材做一做)现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度,这个指数等于人体体重(kg)与人体身高(m)平方的商.对于成年人来说,身体质量指数在20~25之间,体重适中;身体质量指数低于18,体重过轻;身体质量指数高于30,体重超重.
(1)设一个人的体重为w(kg),身高为h(m),求他的身体质量指数;
(2)张老师的身高是1.75 m,体重是60 kg,他的体重是否适中?
(3)你的身体质量指数是多少?
[处理方式]　先让学生自主探究,然后小组内讨论、交流.教师同时巡视指导,参与小组讨论.请一名学生板演,其他学生在练习本上面解答.
[设计意图]　这里首先展示出学生生活中用身体质量指数衡量人体胖瘦程度的问题,目的是刺激学生的感官,引发学生的求知欲望.对于第(1)问,根据题意列代数式,让学生体会数学建模的思想.对于第(2)问,目的在于让学生进一步学会求代数式的值.对于第(3)问,目的在于加深学生对人体胖瘦程度与人体体重(kg)和人体身高(m)的关系的体会.
探究活动5　练习巩固,深化提高
1.代数式6a可以表示什么?
2.(1)一个两位数的个位数字是a,十位数字是2,请用代数式表示这个两位数;
(2)一个两位数的个位数字是a,十位数字是b,请用代数式表示这个两位数;
(3)如何用代数式表示一个三位数?
3.(1)代数式(1+8%)x可以表示什么?
(2)用具体数值代替(1+8%)x中的x,并解释所得代数式值的意义.
[处理方式]　学生独立思考,自主完成.教师巡视学生的答题情况,对做得好的同学应给予表扬,同时对做得不够好的同学加强辅导.
[设计意图]　在课堂练习中强化学生列代数式的能力,了解代数式的用途,调动学生的积极性,使他们人人具有成就感,充分体现了人文关怀.
[知识拓展]　1.对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.
2.如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的式子不是代数式.
3.数与字母,字母与字母相乘,乘号可以省略,也可以写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能省略;数字要写在字母前面.
4.在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
5.带分数一定要写成假分数.
1.什么是代数式?
用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式 .
2.代数式书写要求.
3.代数式求值的步骤:先把未知数的值代入,然后按照给定的运算顺序计算.
1.下列各式:(1)a+b=5;(2)5a - 3y;(3)2;(4)n;(5)2(a+b)+7;(6)4ab+c;(7)2+7 - 6;(8)23;(9)x+5>3.其中哪些是代数式,哪些不是代数式?
解析:代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数和字母连接而成的式子,而用“=”“≠”“<”“>”“≤”“≥”等关系符号连接而成的式子都不是代数式.
解:(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)是代数式,而(1)(9)不是代数式.
2.下列各式中符合代数式书写要求的个数为 (　　)
①514x2y;②y×3;③ab÷2;④a2 - b6.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:根据代数式的书写要求,不能出现带分数,故①不符合;数字与字母相乘时,乘号省略或用“·”表示,并且数字在前,故②不符合;含有字母的除法中,一般应写成分数的形式,故③不符合.故选D.
3.对于代数式2x - 3y,下列读法不正确的有 (　　)
A.2x减去3y
B.2x与3y的差
C.x的2倍与y的3倍的差
D.2乘x减去3乘y
解析:代数式的读法有两种,一种是按运算关系读,另一种是按运算结果来读.无论哪一种,都要注意运算顺序.A,B,C的读法都可以与代数式相对应,D有可能误理解为(2x - 3)y.故选D.
第1课时
1.代数式:
用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式,并求值.
(1)某公园的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人,学生y人,那么该旅游团应付多少门票费?
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么他们应付多少门票费?
一、教材作业
【必做题】
教材第83页习题3.2的1,2题.
【选做题】
教材第83页习题3.2的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式: - x+1,π+3,9>2,x - yx+y,S=12ab,其中代数式的个数是 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.以下代数式书写规范的是 (　　)
A.(a+b)÷2 B.65y
C.113x D.x×y
3.举例说明下列代数式的意义.
(1)4a2可以解释为　　　　　　　　　　　　;
(2)x(1 - 5%)可以解释为　　　　　　　　　.
4.今年小明m岁,前年小明　　　　岁,8年后小明　　　　岁.
5.一个长方形的宽为a cm,长比宽的2倍少1 cm,这个长方形的长是　　　　cm.
【能力提升】
6.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示下列关系.
(1)甲、乙两数的差除以两数的积:　　　　.
(2)甲数的立方与乙数的3倍的和:　　　　.
(3)甲数除以乙数的商与乙数平方的差:　　　　.
(4)甲数与乙数差的立方:　　　　.
【拓展探究】
7.已知a - b=1,则代数式2a - 2b - 3的值是多少?
【答案与解析】
1.C(解析:由代数式的定义可知 - x+1,π+3,x - yx+y是代数式,9>2和S=12ab不是代数式.故选C.)
2.B (解析:根据代数式的书写要求,代数式中不能出现除号,故A不符合;不能出现带分数,故C不符合;字母与字母相乘时,乘号省略或用“·”表示,故D不符合.故选B.)
3.(1)如果一个正方形的边长为a,则4个这样的正方形的面积为4a2　(2)如果某件商品的原价为x元,按照降价5%进行降价促销,则降价后这件商品的售价为x(1 - 5%)元(答案不唯一)
4.(m - 2)　(m+8)(解析:前年比今年小两岁,所以为(m - 2)岁,8年后比今年大8岁,所以为(m+8)岁.)
5.(2a - 1)
6.(1)x - yxy　(2)x3+3y　(3)xy - y2　(4)(x - y)3
7.解:2a - 2b - 3=2(a - b) - 3=2×1 - 3= - 1.
在实际情境中说明代数式的意义,让学生通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从中能体会代数式在社会生活中的实际意义.发挥小组合作的积极作用,使每个同学都参与课堂,培养了学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.
让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题的状态中,对于这部分学生教师关注度还不是很高.
积极参与到学生的小组讨论中,及时发现问题,解决问题.
随堂练习(教材第82页)
1.解:答案不唯一. 例如如果a表示正六边形的边长,那么代数式6a表示正六边形的周长;如果a表示一本书的价格,那么代数式6a表示6本这样的书的价格.
2.解:(1)10b+a.　(2)用a,b,c分别代表一个三位数的个位、十位和百位上的数字,则这个三位数可表示为100c+10b+a.
3.解:(1)答案不唯一.例如若x表示某件商品的进价,那么(1+8%)x表示价格提高8%后的售价.
(2)答案不唯一.合理即可.
习题3.2(教材第83页)
1.(1)11f+2　(2)18a+a　(3)2n　4n　(4)(1+15%)m
2.B
3.答案不唯一.以下均为参考答案.(1)某种笔记本单价为2元,买x本需要2x元　(2)甲种商品每件a元,乙种商品每件b元,因母亲节做活动,两种商品均打5折,则a+b2表示买两种商品各一件共需的钱数　(3)正方体的棱长为a, 8a3表示8个正方体的体积
4.解:(1)用x表示蟋蟀1 min叫的次数,该地当时的温度为x7+3 ℃.　(2)温度大约是14 ℃,17 ℃和20 ℃.
合作探究法——借助多媒体为辅助手段,充分利用生活中的实际背景,让学生积极主动地参与,经历知识的生成过程,了解其生活化的意义,理论联系实际,拓展学生的思维,培养学生探究的习惯,提高学生语言表达能力及小组合作意识,提高学生应用数学的习惯和意识.
　下列代数式中,a不能取0的是 (　　)
A.13a 　B.3a C.2a - 5 D.2a - b
〔解析〕　代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义,由分母不能为0可知B选项中的a不能取0.故选B.
第课时
1.能熟练地求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程.
2.掌握代数式求值的方法和步骤,能解释代数式值的实际意义.
教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自主探索与交流合作中掌握知识.
感受字母取值的变化与代数式的值的变化之间的联系,能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律.
【重点】　会求代数式的值并解释代数式的值的实际意义.
【难点】　利用代数式的值推断代数式所反映的规律.
【教师准备】　问题卡片.
【学生准备】　预习教材P83~84.
导入一:
　　[过渡语]　上节课,我们学习了代数式的有关内容,想一想,如何列代数式?
1.用代数式表示.
(1)a与b的和的平方　　　　;
(2)a,b两数的平方和　　　　;
(3)a与b的和的50%　　　　;
(4)x的平方与y的立方的差　　　　;
(5)一个三位数,个位是a,十位是b,百位是c,则这个三位数是　　　　.
2.某商店购进一批茶杯,每个1.5元,则买n个茶杯需付款　　　　元.如果茶杯的零售价为每个2元,则售完茶杯盈利　　　　元.当n=300时,该商店的利润为　　　　元.
[处理方式]　第1题由学生独立完成后说出答案,然后教师加以矫正,第2题学生认真审题,教师引导学生分析题目,首先正确书写代数式,再进行代入计算.
[设计意图]　将复习旧知识与引入新知识有效地结合起来,既达到了温故而知新的效果,也为下面的学习做好铺垫.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,你们想预测一下自己的身高吗?
出示问题:(1)遗传是影响一个人身高的因素之一. 国外有学者总结出由父母身高预测子女身高的公式:儿子成年后的身高=1.08(a+b)2,女儿成年后的身高=0.923a+b2,其中a是父亲的身高,b是母亲的身高,单位:m. 现在你可以预测一下自己的身高了.
(2)你们用同一个公式计算的结果相同吗?为什么?
[处理方式]　学生独立思考,完成第(1)问答案,然后互相交流,完成第(2)问答案.
[设计意图]　学生通过计算自己的身高,发现实际就是代入求值问题,为本节课代数式的求值的学习做准备.
探究活动1　认识数值转换机
思路一
出示图片:
如图所示的是一对“数值转换机”,根据数值转换机填写下表:
输入
- 2
- 12
0
0.26
13
52
4.5
图①的输出
图②的输出
　　[处理方式]　小组合作来完成图①输出的数据,可以引导学生直接代入运算,也可以写出代数式之后代入计算.一般地,对于同一个数值转换机,当输入的字母x的值不同时,输出的结果不相同;对于图②,学生可以试着说出“?”表示什么,也可以引导学生直接代入代数式计算.最后观察计算结果是否相同,写出的代数式是否相同,然后总结因为两个数值转换机所表示的代数式不同,所以输出的结果不相同.
[设计意图]　使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.进一步理解求代数式值的方法就是用数值代替代数式里的字母,在进行计算时必须按代数式指明的运算顺序进行计算.
思路二
　　[过渡语]　下面是一组“数值转换机”,请根据图上的信息,回答下列问题.
(展示)
(1)图①输出的结果是什么?简单叙述一下过程.
(2)请写出图②的转换步骤.
生1:从图①中可以看出x表示输入的数字,先算x与6的积,再算与3的差,因此输出的结果可表示为6x - 3.
生2:图②这台转换机是先用输入的x值减去3,所得的差再乘6.
探究活动2　议一议:
　　[过渡语]　同学们说得很好,下面我们一起完成下表.
出示问题:填写下表,并观察下列两个代数式的值的变化情况.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
5n+6
n2
　　(1)随着n的值逐渐变大,两个代数式的值如何变化?
(2)估计一下,哪个代数式的值先超过100?
[处理方式]　根据求代数式值的方法让学生计算填表,然后观察并分析表中的数据来回答两个代数式的值的变化情况.小组讨论完成第(2)个问题,然后教师引导得出结果.
[设计意图]　通过填表使学生进一步感受求代数式值的过程和方法,进一步理解代数式值的概念,并感知字母的取值的变化与代数式的值之间的联系,能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律,从而解决问题.
探究活动3　例题解析,应用新知
　有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,…,请你探索第2014次输出的结果是　　　　.
[处理方式]　首先让学生认真阅读例题,由小组合作完成.如果学生不理解题意,由教师引导完成.首先由数值转换器发现第二次输出的结果是4,为偶数,所以第三次输出的结果为2,第四次为1,第五次为4,第六次为2,…,可得出规律:从第二次开始,每三次一个循环.因为(2014 - 1)÷3=671,所以第2014次输出的结果是1.
[设计意图]　此题考查了代数式的求值,关键是由已知找出规律,从第二次开始每三次一个循环,根据此规律求出第2014次输出的结果.也考查了学生利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律的能力.
探究活动4　变式训练,能力提高
物体自由下落的高度h m和下落的时间t s的关系,在地球上大约是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t
0
2
4
6
8
10
h=4.9t2
h=0.8t2
(2)物体在哪儿下落得快?
(3)当h=20 m时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
[处理方式]　首先由学生独立思考,遇到不解问题时,可与同学互相交流,最后由教师引导,共同完成答案.
[知识拓展]　
(1)代数式的值是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同,字母的值确定了,代数式的值也就确定了,但字母的取值必须确保代数式有意义.
(2)代数式中原来省略乘号时,代入具体数值后出现数与数相乘时,必须恢复乘号.
(3)若做乘方运算,字母给出的数值是负数或分数时,代入时要加括号.
(4)一个代数式的值由它所含字母的值决定,具有不唯一性.
1.代数式求值步骤:
求代数式的值时,先确定是直接代入还是整体代入,然后按照运算顺序进行计算.
2.如何列代数式?
列代数式时,要善于抓住关键性的词语,如“大、小、多、少、增加、减少、和、差、积、商”等,还要注意已知量和未知量之间的关系.
1.当x=2时,下列代数式中与代数式2x+1的值相等的是 (　　)
A.1 - x2 B.3x+1
C.3x - x2 D.x2+1
解析:将x=2代入各代数式,得2x+1=5,1 - x2= - 3,3x+1=7,3x - x2=2,x2+1=5.故选D.
2.如右图所示的图形的面积用代数式表示是 (　　)
A.ab+bc
B.c[b - d+d(a - c)]
C.ad+c(b - d)
D.ab - cd
解析:把图形看成一个大的长方形,面积为ab,再减去长为d,宽为c的长方形的面积,剩下的就是所求图形的面积,即ab - cd.故选D.
3.当m=3,n= - 2时,代数式m2 - 2n2的值是　　　　.
解析:将m=3,n= - 2代入m2 - 2n2得9 - 2×( - 2)2=1.故填1.
4.若x2 - 2x+1=0,则2x2 - 4x=　　　　.
解析:根据已知条件目前还解不出x的值,所以把x2 - 2x+1=0进行整体思考,将x2 - 2x+1=0变形为x2 - 2x= - 1,2x2 - 4x=2(x2 - 2x)=2×( - 1)= - 2,所以求得2x2 - 4x= - 2.故填 - 2.
5.代数式x2+x+3的值为7,则代数式2x2+2x - 3的值为　　　　.
解析:由x2+x+3=7可知x2+x=4,所以2x2+2x - 3=2(x2+x) - 3=2×4 - 3=5.故填5.
第2课时
1.用代数式表示.
(1)a与b的和的平方(a+b)2;
(2) a,b两数的平方和a2+b2;
(3)a与b的和的50%(a+b)×50%;
(4)x的平方与y的立方差x2 - y3.
2.数值转换机
一、教材作业
【必做题】
教材第85页习题3.3的1,2题.
【选做题】
教材第85页习题3.3的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列表述中,不能代表“4a”的意义的是 (　　)
A.4的a倍 B.a的4倍
C.4个a相加 D.4个a相乘
2.当x=2与x= - 2时,代数式x4 - 2x2+3的两个值 (　　)
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.既不相等也不互为相反数
3.当x= - 2时,代数式 - x2+2x - 1的值等于 (　　)
A.9 B.1
C. - 9 D. - 1
4.如下图所示的是一个正三角形场地,如果在每边上放2盆花共需要3盆花,如果在每边上放3盆花共需要6盆花,如果在每边上放n(n>1)盆花,那么共需要花 (　　)
A.3n盆 B.(3n - 1)盆
C.(3n - 2)盆 D.(3n - 3)盆
5.若2m - 4=6,n=2,则(m - 2)n=　　　　.
6.已知 - x+2y=6,则3(x - 2y)2 - 5(x - 2y)+6的值是　　　　.
7.下面是一组数值转换机,写出图①的输出结果(写在横线上),写出图②的转换步骤(填写在框内).
【能力提升】
8.已知(p+2)2+|q - 1|=0,求代数式p2+3pq+6 - 8p2+pq的值.
9.已知|a|=3,|b|=2,且b<0,求a - b的值.
【拓展探究】
10.如果代数式(a - 1)2x3+5x2 - |b - a+1|x - 1中不含x3和x,求a,b的值.
【答案与解析】
1.D(解析:4个a相乘应为a4.故选D.)
2.A(解析:将x=2与x= - 2分别代入x4 - 2x2+3
可得11和11.故选A.)
3.C (解析:将x= - 2代入 - x2+2x - 1得 - x2+2x - 1= - 9.故选C.)
4.D(解析:当n=2时,共需要3×2 - 3=3盆;当n=3时,需要3×3 - 3=6盆.依此类推,可知选D.)
5.9 (解析:由2m - 4=6可知m - 2=3,又n=2,所以(m - 2)n=9.故填9.)
6.144(解析:由 - x+2y=6可知x - 2y= - 6,将x - 2y= - 6代入3(x - 2y)2 - 5(x - 2y)+6得3×( - 6)2 - 5×( - 6)+6=144.故填144.)
7.解:图①输出结果为2x - 3.图②从上到下依次填+3,÷2.
8.解:由(p+2)2+|q - 1|=0可知(p+2)2=0,|q - 1|=0,所以p= - 2,q=1,将p= - 2,q=1代入p2+3pq+6 - 8p2+pq得代数式的值为 - 30.
9.解:因为|a|=3,|b|=2,所以a=±3,b=±2,又因为b<0,所以b= - 2,所以a - b=5或 - 1.
10.解:因为代数式不含x3项,所以(a - 1)2=0,所以a=1,又代数式也不含x,所以|b - a+1|=0,所以b - 1+1=0,所以b=0.
根据课程标准把握教材.新的课程标准要求注重知识的形成过程和学生对概念的感知和理解,如通过表格计算,让学生熟练掌握代数式值的概念.
由于填表格用的时间较多,对于不会列代数式
的那部分学生,教师没有时间指导到位.
在教学过程中,让学生重点体会如何根据实际问题列出代数式,并掌握代数式求值的方法步骤.
随堂练习(教材第84页)
1.解:(1)6%a kg~7.5%a kg.　(2)2.1 kg~2.625 kg.　(3)略.
2.解:(1)填表如下:
t
0
2
4
6
8
10
h=4.9t2
0
19.6
78.4
176.4
313.6
490
h=0.8t2
0
3.2
12.8
28.8
51.2
80
(2)地球.　(3)由表格可以估计,当h=20 m时,t(地球)≈2 s, t(月球)≈5 s,本题要求通过表中的数据估计时间,不用开方运算.
习题3.3(教材第85页)
1.解:72 ℉≈22.2 ℃,88 ℉≈31.1 ℃.
2.解:(1)如图所示.　(2)4x+6y　(3)3.5xy　(4)46　77
3.解:运算过程为x2+y32.填表如下:
x
- 1
0
1
2
y
1
- 0.5
0
0.5
输出
1
- 0.0625
0.5
2.0625
4.解:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
- 8n+5
- 3
- 11
- 19
- 27
- 35
- 43
- 51
- 59
- n2
- 1
- 4
- 9
- 16
- 25
- 36
- 49
- 64
(1)随着n的值逐渐变大,代数式 - 8n+5和 - n2的值逐渐变小.　(2) - n2的值先小于 - 100.
5.解:(1)大约1.82 m.　(2)略.
6.可列表比较.
a
a2 - a
- 1
>0
- 0.5
>0
0
=0
a
a2 - a
0.5
<0
1
=0
1.5
>0
2
>0
由此可以估计,当|a|>2时,a2 - a>0.
教法:应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律,让学生感受不同的代数式在字母取相同值时的值的不同,并感知代数式的值随字母取值的变化而变化的情况,激发学生的学习兴趣,渗透变量之间的关系,渗透字母的取值和代数式值对应的思想,培养学生通过对代数式求值推断出代数式所反映的规律的能力.
学法:应重视在具体情境中去体验、理解知识,注重过程,提倡在学习过程中自主探究,逐步掌握从实际问题中建立数学模型、抽象出数学问题的方法,增强利用数学解决问题的意识,体验数学与实际生活的密切关系,提高学习数学的积极性和主动性.
　已知|x|=3,|y|=2,且xy<0,求x+y的值.
解:因为|x|=3,所以x=3或x= - 3.因为|y|=2,所以y=2或y= - 2.
当x=3,y=2时,xy>0,不合题意.
当x=3,y= - 2时,xy<0,此时x+y=3+( - 2)=1.
当x= - 3,y=2时,xy<0,此时x+y= - 3+2= - 1.
当x= - 3,y= - 2时,xy>0,不合题意.
综上所述,x+y的值为1或 - 1.
3　整　式
1.了解单项式、多项式、整式的概念,并能弄清它们与代数式之间的关系.
2.掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念,明确它们之间的关系.
3.会把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列.
4.能找出多项式的最高次数项及其系数、常数项.
1.创设问题情境,通过对某些例题的分析引入新内容的学习.
2.通过对定义、概念和相关内容的掌握,进一步理解概念.
3.通过对例题的分析熟悉概念的应用.
在引导学生进行升幂或降幂排列的同时让学生发现数学中的形象美,培养学生的审美情操.
【重点】
1.单项式与多项式的相关概念的理解.
2.能把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列.
【难点】
1.能熟练地判定一个单项式的系数、次数,多项式的项和次数.
2.能熟练地按升幂或降幂排列多项式.
【教师准备】　本节拓展题.
【学生准备】　预习教材P87~88.
导入一:
　　[过渡语]　我们每个家庭在装修房子的时候,往往会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房间的作用,窗帘的选择不仅要美观大方还要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘都是怎么设计的吗?下面让我们一起看看小芳家的窗帘.
小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同).
(1)装饰物所占的面积是多少?
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?(窗框面积忽略不计)
学生完成:
(1)π16b2.　(2)ab - π16b2.
师:这两个式子都是代数式,那么不同代数式之间都有哪些区别和联系呢?我们这节课就来研究整式.(板书课题:3 整式)
[设计意图]　问题是思维的出发点,从实际出发,为学生创设了丰富的问题情境,自然引入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
导入二:
师:大家能利用我们学过的知识表示出如图所示的草坪和小路的占地面积吗?
[处理方式]　学生小组完成,老师参与到小组学习中,引导后学生完成计算,及时鼓励独立解决问题的同学.
展示学生计算结果:
草坪的占地面积为14πa2+14πb2.
小路的占地面积为a(a+b) - 14πa2 - 14πb2.
师:在上述问题中大家列出的代数式有14πa2+14πb2,a(a+b) - 14πa2 - 14πb2,这就是我们这节课要研究的整式.(教师板书课题)
[设计意图]　利用求草坪与小路的占地面积,体现了数学源于生活,体会学习整式的必要性,激发学生探究新知的兴趣,同时肯定学生的知识准备,树立学生进一步学习的信心,激发学生的学习斗志,进一步体会到自己是课堂的主人.
探究活动1　单项式、多项式、整式的概念
　　[过渡语]　下面我们通过实际问题进一步认识整式,以小组为单位,完成以下的问题.(多媒体出示)
(1)如图所示,一个十字形花坛铺满了草皮,这个花坛草地面积是　　　　;
(2)当水结冰时,其体积大约会比原来增加19,x m3的水结成冰后体积约为　　　　 m3;
(3)如图所示,一个长方体的箱子紧靠墙角,它的长、宽、高分别是a,b,c.这个箱子露在外面的表面积是　　　　;
(4)某件商品的成本价为a元,按成本价提高15%后标价,又以八折销售,此件商品的售价为　　　　元.
[处理方式]　学生思考后,在小组内交流、讨论,然后小组派代表展示结果.
生:(1)ab - 4c2　(2)109x　(3)ab+ac+bc　(4)0.92a
师:我把大家得到的结果分两组,观察下面两组式子各有什么特点.(多媒体出示)
(1)π16b2,109x,0.92a;
(2)ab - 4c2, ab+ac+bc,ab - π16b2.
生:(1)都是数与字母的乘积, (2)不仅有乘积还有加减.
师:像π16b2,109x,0.92a等,都是数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.代数式ab - 4c2是单项式ab与 - 4c2的和,像这样的几个单项式的和所形成的代数式,我们把它叫做多项式.如ab+ac+bc,ab - π16b2都是多项式.单项式和多项式统称为整式.
教师板书相关定义的关键词,同时强调:
1.单项式:数与字母的乘积.
2.单独一个数或字母也是单项式.
3.分母中出现字母的式子一定不是单项式.
小试牛刀:下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?分别填入所属的圈中.
15a2b,3x2π,2x - 3y,4a2b2 - 4ab+b2, - a,x3+2y - x.
学生在导学案中完成该练习题,完成后教师用实物投影展示做题情况,并及时进行点评强调.
[设计意图]　进一步丰富整式的实际背景,使学生再一次体会代数式的表示作用,并借此引出单项式、多项式及整式的概念.通过练习巩固相关定义.
探究活动2　单项式、多项式相关概念
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如π16b2,109x的系数分别是π16,109.
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如π16b2,12a3b的次数分别为2,4.
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,如多项式ab - π16b2,ab与 - π16b2是这个多项式的项.一个多项式里,最高次数项的次数就是这个多项式的次数.如ab - π16b2的次数是2,a3 - 3a2+1的次数是3.
【温馨提示】　求多项式的次数时,先判断各项的次数,然后再取其最高值.
练习:
1.单项式 - 25πa3b2c的系数是　　　　,次数是　　　　; - a的系数是　　　　,次数是　　　　;8的次数是　　　　.
强调:单项式由数字因数和字母因数两部分组成.
2.多项式 - 13x+x2+x2y+2π有　　　　项,分别是　　　　,次数是　　　　.
[设计意图]　让学生试着分类,使学生初步感受单项式、多项式的特点与不同,激发学生学习兴趣.紧跟着的练习也检查了学生的学习情况.
探究活动3　变式训练,拓展思维
1.(教材议一议)小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示,它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同).
(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少?(窗框面积忽略不计)
(2)你能指出其中的单项式或多项式吗?它们的次数分别是多少?
2.多项式x2 - (3k - 1)xy - 3y2+8中不含xy项,求k的值.
解:1.(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是:ab - π8b2,ab - π32b2.
(2)都是多项式,次数都是2.
2.由题意可知不含xy项,说明xy项的系数为0,所以 - (3k - 1)=0,所以k=13.
[设计意图]　提供两个问题,一方面巩固学生对所学知识的掌握,另一方面充分利用情境,一题多变有助于学生发散思维能力的培养.
[知识拓展]　
1.分数与字母的积的形式也是单项式,如18a.
2.判断一个代数式是否为单项式的主要方法:①看是不是只有乘法运算;②看这个代数式的分母上是否有字母.如23x,1x就不是单项式,而1π是单项式,因为π表示一个具体的数,而不是字母,所以π出现在分母上可以成为单项式.
3.单项式的系数包括它前面的符号,当系数是 - 1或1时,数字1通常省略不写.
4.代数式包括整式,但还有其他类型,如分式1x等,而整式包括单项式和多项式,注意分母中含有字母的必定不是整式.
1.单项式、多项式、整式的概念.
数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项式统称为整式.单独一个数或字母也是单项式.分母中出现字母的式子一定不是整式.
2.单项式的系数、次数.
3.多项式的项数、次数.
1.单项式 - 17x2y3z的系数是　　　　,次数是　　　　.
解析:单项式的系数是前面的数字因数,次数为所有字母指数的和,所有字母指数的和为6.
答案: - 17　6
2.多项式4x3+3xy2 - 5x2y3+y是　　　　次　　　　项式.
解析:多项式的所有项中次数最高项的次数为多项式的次数,所以该多项式的次数是5,项数为4.
答案:五　四
3.32005是　　　　次单项式.
解析:单项式的次数为所有字母指数的和,而32005中没有字母,所以字母的指数为0.故填零.
4.下列整式中,是单项式且次数为3的是 (　　)
A.xy2 B.x3+y3 C.x3y D.3xy
解析:A中xy2的次数为3,符合题意,B中x3+y3不是单项式;C中x3y的次数为4;D中3xy的次数为2.故选A.
5.关于2×103a,下列说法中正确的是 (　　)
A.系数是2,次数是1
B.系数是2,次数是4
C.系数是2×103,次数是0
D.系数是2×103,次数是1
解析:单项式2×103a的系数为2×103,次数为1.故选D.
3　整　式
1.单项式、多项式、整式的概念.
数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项式统称为整式.单独一个数或字母也是单项式.分母中出现字母的式子一定不是整式.
2.单项式的系数、次数.
3.多项式的项数、次数.
一、教材作业
【必做题】
教材第89页习题3.4的1,2题.
【选做题】
教材第89页习题3.4的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.多项式 - 23m2 - n2是 (　　)
A.二次二项式 B.三次二项式
C.四次二项式 D.五次二项式
2.下列说法正确的是 (　　)
A.3x2 - 2x+5的项是3x2,2x,5
B.x3 ? y3与2x2 - 2xy - 5都是多项式
C.多项式 - 2x2+4xy的次数是3
D.一个多项式的次数是6,则这个多项式中只有一项的次数是6
3.下列说法正确的是 (　　)
A.整式abc没有系数
B.x2+y3+z4不是整式
C. - 2不是整式
D.整式2x+1是一次二项式
4.下列代数式中,不是整式的是 (　　)
A. - 3x2 B.5a - 4b7 C.3a+25x D. - 2005
5.下列多项式中,是二次多项式的是 (　　)
A.32x+1 　B.3x2 C.3xy - 1 D.3x - 52
【能力提升】
6.已知 - 2xmyn+1的次数是2,求4m+4n - 7的值.
7.当a=12,b= - 3时,求代数式|b - a|的值.
8.如果多项式x4 - (a - 1)x3+5x2 - (b+3)x - 1不含x3和x项,求a,b的值.
【拓展探究】
9.已知四边形ABCD是长方形,以DC为直径的半圆与AB只有一个交点,且AD=a.
(1)用含a的代数式表示阴影部分面积.
(2)当a=10 cm时,求阴影部分面积. (π取3.14,保留两位有效数字)
【答案与解析】
1.A(解析:由多项式的项数和次数的概念可知 - 23m2 - n2是二次二项式.故选A.)
2.B(解析:A中2x应为 - 2x;C中次数为2;D中一个多项式中可以有多个项的次数是6.故选B.)
3.D (解析:A中整式abc的系数应为1;B中x2+y3+z4是整式;C中 - 2是整式;D中整式2x+1是一次二项式.故选D.)
4.C(解析:3a+25x中,分母中含有字母,所以不是整式.故选C.)
5.C (解析:32x+1是一次多项式;3x2是二次单项式;3xy - 1是二次多项式;3x - 52是一次多项式.故选C.)
6.解:由 - 2xmyn+1的次数是2可知m+n+1=2,所以m+n=1,4m+4n=4,所以4m+4n - 7=4 - 7= - 3.
7.解:由a=12,b= - 3可知b - a= - 3 - 12= - 72,所以b - a= - 72=72.
8.解:由多项式x4 - (a - 1)x3+5x2 - (b+3)x - 1不含x3和x项,可得 - (a - 1)=0, - (b+3)=0,所以a - 1=0,b+3=0,所以a=1,b= - 3.
9.解:(1)因为 AD=a,所以DC=2a,左上角空白处的面积等于长方形面积的一半减去半圆面积的一半,即a2 - πa24,三角形ABD的面积等于12×2a·a=a2,所以阴影部分的面积等于a2 - a2 - πa24.　(2)把a=10 cm代入a2 - a2 - πa24得阴影部分的面积约为79 cm2.
本节课体现了以教师为主导,以学生为主体,以知识为载体,以培养学生的思维能力、动手能力、探究能力为重点的教学思想.
课堂上留给学生独立思考的时间不充分,为完成教学任务教师讲解得过多或是一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
一是要注重课堂引入,可以选择精彩一点的引入,使得整堂课能一开始就具有一定的吸引力,让学生有兴趣继续学下去;二要尽量抽出时间让学生来板书某些练习的具体过程.其实从学生的当堂练习中可以发现很多问题,而这些课堂上所反应的问题往往都是学生在做作业的过程中最容易出错的地方;三是在处理练习的时候,不要面面俱到,同类的问题讲解尽量不要过多,要有所选择,多尝试着让学生自己去思考为什么.
随堂练习(教材第88页)
单项式: - 15a2b,3x2π, - a;多项式:2x - 3y,4a2b2 - 4ab+b2,x3+2y - x;单项式的系数分别为: - 15,3π, - 1;多项式4a2b2 - 4ab+b2的次数最高,为4次.
习题3.4(教材第89页)
1.解:单项式有7h,次数是1.多项式有xy3+1,2ab+6,25x - by3.xy3+1的次数是4,2ab+6的次数是2,25x - by3的次数是4.
2.解:(1)有3项, - 13x的系数是 - 13,次数是1, - x2y的系数是 - 1,次数是3,2π是常数项,次数是0.　(2)有3项,x3的系数是1,次数是3, - 2x2y2的系数是 - 2,次数是4,3y2的系数是3,次数是2.
3.(1)x+62　(2)(3x - 6)
4.解:需铺五彩石的面积是a(a+b) - 14πa2 - 14πb2 m2.
5.解:图(3)所示的桌布下垂面积是a2 - 14πa2m2;图(4)所示的桌布下垂面积是(a2 - b2)m2.
以学生活动为主线,通过精心设计的问题导语启发、点拨学生,采用“启迪诱导 - 自主探究”的教学模式,引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究,促进学生知识、技能和数学素养的提高,指导学生在课堂实践活动中,自主探索,合作交流,获得知识, 提高技能,培养创造意识.
　观察下列单项式:a, - 2a2,3a3, - 4a4,5a5……
(1)观察规律,写出第2011个单项式和第2012个单项式.
(2)请你写出第m个单项式和第(m+1)个单项式.(m为正整数)
〔解析〕　解决本题的关键是确定单项式的符号,根据题中所给的信息,发现第奇数个单项式的符号是正,第偶数个单项式的符号是负.
解:(1)第2011个单项式是2011a2011,第2012个单项式是 - 2012a2012.
(2)第m个单项式是( - 1)m+1mam,第(m+1)个单项式是( - 1)m+2(m+1)am+1.
[解题策略]　当m为奇数时,( - 1)m+1=1,当m为偶数时,( - 1)m+1= - 1,这一规律可用来准确地反映本题的符号规律.
4　整式的加减
1.理解同类项的概念,会判断同类项并能熟练地合并同类项.
2.掌握去括号和添括号的法则,能准确地进行去括号和添括号运算,并能够将去括号和添括号及合并同类项的方法综合利用.
3.能熟练地进行整式的加减运算.
1.通过复习相关内容或对相关内容的分析引入新课.
2.通过相关内容的概括引出同类项(合并同类项、去(添)括号、整式加减)的概念.
3.通过适当的例题,加深学生对这些知识及其相关内容的掌握.
4.通过习题巩固加深学生对概念的理解.
1.通过指导学生分析和概括相关的内容以帮助其获得新知识,让学生经历从特殊到一般的过程,了解一般与特殊的辩证关系,培养辩证唯物主义思想.
2.通过对有关知识的概括和总结,培养学生的探索能力.
3.通过对实际问题的解决帮助学生提高综合运用知识的能力,并能在此过程中让学生体会解决问题后的成就感,提高他们对数学的学习兴趣.
【重点】
1.同类项的概念.
2.掌握合并同类项的方法,并会应用.
3.学会去括号和添括号.
4.会做整式的加减法运算.
【难点】
1.能熟练地判断同类项.
2.能综合运用去括号法则与合并同类项的方法进行计算.
第课时
1.领悟判断同类项的两条标准,会识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则,并能合并同类项.
经历合并同类项的过程,体验探究规律的思想.
培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力,初步使学生了解数学的分类思想,通过合并同类项,体验化繁为简的数学思想.
【重点】　理解同类项的概念,并能正确进行同类项的合并.
【难点】　找准同类项,能熟练地进行同类项的合并.
【教师准备】　预设问题,本节素材.
【学生准备】　预习教材P90~91.
导入一:
活动内容1:
动漫故事:早上小明妈妈要小明买早点,告诉他:爸爸要3个烧饼,3根油条;妈妈要2个烧饼,4根油条.而小明自己要2个烧饼,2根油条.小明来到街上,孝顺的他先想到爸爸,买了3个烧饼,3根油条,又去为妈妈买了2个烧饼,4根油条,最后又汗流满面地为自己买了2个烧饼,2根油条.
学生观赏动漫故事后笑了.
师:为什么笑了?你发现了什么?如果是你,你会如何做?
生1:我发现小明不会把东西分类,并且合在一起.
生2:如果是我,我会先分类,再把同类的合并在一起买.
师:日常生活中,我们经常会碰到需要整理分类的问题.比如我们每天进教室的第一件事就是整理课桌,把课本放在一起,练习本放在一起,文具放入文具盒里等.那么,我们这节课要解决的第一个问题就是会把代数式或代数式的项按照一定标准进行分类.
[设计意图]　用生活中的故事情境迅速吸引了学生的注意力,激发了学生的学习兴趣,主动积极地构建他们的数学认知结构.简单的问题有利于激起学生的兴趣,感受到分类的必要性.
活动内容2:
多媒体展示某学校校园的总体规划图.(单位:m)试计算这个学校的土地面积.
生1:(100a+200a+240b+60b)m2.
生2:[(100+200)a+(240+60)b]m2.
师:这两位同学给出了两个代数式,比较这两个代数式,你发现了什么?
学生思考讨论,自己发现:100a+200a=(100+200)a,即300a,240b+60b=(240+60)b,即300b.
生3:我发现100a+200a=(100+200)a,即300a,240b+60b=(240+60)b,即300b.
师:为什么第一个代数式中100a+200a可以等于(100+200)a,240b+60b可以等于(240+60)b?
生4:它们是同类的,可合并在一起.
[设计意图]　通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力.使学生亲身体会了数学与生活存在着密切的关系.
导入二:
　　[过渡语]　今天这节课我们从一则小游戏开始,同学们玩过这个游戏吗?你对这个游戏的规则了解吗?
[处理方式]　学生对这个游戏很熟悉,是把同样的图案连起来,也就是把图案归类.
师:在我们的日常生活中,经常会碰到需要我们整理分类的问题.比如我们每天进教室的第一件事就是整理课桌,把课本放在一起,练习本放在一起,文具放入文具盒里等等.那么,我们这节课要解决的第一个问题就是会把代数式或代数式的项按照一定标准进行分类.
[设计意图]　通过学生身边喜闻乐见的小游戏激发学生的兴趣,同时让学生知道分类的思想在生活中经常用到,进而引入本节知识,体会分类在数学中的应用.
　　[过渡语]　前面所学的多项式中的项我们能不能按照一定的标准分类呢?
探究活动1　识别同类项
思路一
比较下面(1)(2)(3)组中的单项式,有什么共同特点?第(4)(5)组中的单项式具备这个特点吗?
(1)240b和60b;(2) - 9x2y3和5x2y3;(3)5ab2和 - 13ab2;(4)2abc和3ab;(5)2ab2和3a2b.
[处理方式]　先由学生独立发现,若有困难,可分组讨论交流.
生:(1)(2)(3)组中单项式的共同特点是所含字母相同,并且相同字母的指数也相同.(师板书)(4)(5)两组不同时具备这些特点.
师:如果你是第一个发现类似(1)(2)(3)中的单项式的共同特点的数学家,你会给它们起什么名字?哪位同学能给出同类项的准确定义?
学生踊跃发言.(师板书)
师:同学们真棒.经过大家的讨论,已经归纳得很准确了.也就是说,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项可以结合在一起,我们就把这样的项叫做同类项.(教师电脑演示同类项的概念)请大家自由读两遍.
[设计意图]　有前面的过程,学生易想到“同类”,又由于它们是多项式中的“项”,所以叫“同类项”,揭示课题.学生感受数学概念名称的由来,更好地理解概念,享受成功带来的快乐.
思路二
1.看下面两组单项式:
(1)5a2与 - 4a2; (2)3xy2与 - xy2.
每组单项式的共同点是　　　　,不同点是　　　　.
像这样所含字母　　　　,并且　　　　也相同的项叫做同类项.
注意:判断同类项的两个相同是:　　　　相同,　　　　相同.一个无关是:　　　　　　　　无关.
2.请你来判断,下列各题中的两个单项式是同类项的打??,不是的打×.
(1)a2与3a2(　　); (2)a2b与a2c(　　);
(3)m2n与2mn2(　　); (4) - 125与12(　　).
[处理方式]　问题1由学生口答完成,由此引入课题. 解决了问题1,问题2可让学生抢答,激发学生的竞争意识.
[设计意图]　由旧知识引入新知识,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣.
探究活动2　合并同类项
现在我们知道了同类项的意义,当我们在一个式子中遇到了同类项怎么处理呢?仿照100a+200a=(100+200)a=300a,把下列各式中的同类项合并成一项,并说说你的理由.
(1)7a - 3a=　　　　;
(2)4x2+2x2=　　　　;
(3)5ab2+12ab2 - 13ab2=　　　　;
(4) - 9x2y3+5x2y3=　　　　.
从上面你能得到合并同类项的方法吗?
[处理方式]　学生独立思考,若有困难,可同学之间互相讨论补充.学生仿照100a+200a=(100+200)a=300a进行计算,注意(3)中系数不能写为带分数.(师板书合并同类项的法则)
[设计意图]　学生通过练习已经做到了合并同类项.但合并需要旧知识有理数的加法作为桥梁,体现了知识间的互相渗透与交融.这里又化解了本节的学习难点.
巩固练习
用乘法分配律合并同类项.
(1)3y+y2;　(2)7a+3a2+2a - a2+3.
[处理方式]　教师巡视并作指导,展示学生的解题过程,并请学生点评.
　根据乘法分配律合并同类项:
(1) - xy2+3xy2;(2)7a+3a2+2a - a2+3.
　合并同类项:
(1)3a+2b - 5a - b;(2) - 4ab+13b2 - 9ab - 12b2.
[处理方式]　找两名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.师生总结合并同类项的步骤:
(1)发现同类项.(找)找出同类项后,教师引导学生用不同的下划线标出不同类的同类项.
(2)确定各同类项系数.(移)把同类项移动到同一个括号内,注意括号前一定是“+”号,移动时一定要连同前面的符号一起移动.
(3)合并同类项.(并)严格按照法则合并同类项,一定要有系数相加的步骤,字母和字母的指数不变.系数相加即有理数的加减,要防止出错.系数相加后不要忘记带上“单位”(即字母和字母的指数).
[设计意图]　例题的目的是应用法则合并同类项,在掌握合并同类项方法的基础上,进一步将学生自主学习与创新意识的培养落到实处.通过完成合并同类项,让学生自己总结归纳合并同类项的步骤.教师要结合学情强调解题时的易错点.
探究活动3　化简求值
　求代数式 - 3x2y+5x - 0.5x2y+3.5x2y - 2的值,其中x=15,y=7.
[处理方式]　学生自己动手解决,并请至少两名学生板演,最好是一名学生先化简再代入求值,另外一名学生是直接代入求值,然后让学生来评价哪种解题过程简单.
如果没有学生直接代入求值,教师可以引导学生思考:可以把题中x和y的值直接代入多项式进行计算吗?与先合并同类项,再代入求值相比,哪种方法比较简便?
[设计意图]　学生通过自己实践,亲身体验,更能体会先合并同类项后代入求值往往比直接代入求值简便,比教师用语言强调先合并同类项后代入求值更有效果.这样设计更能突出课堂中学生的主体地位和教师的主导地位.
[知识拓展]　
(1)两项是同类项的条件有:①含有相同的字母;②相同字母的指数分别相等.两个条件缺一不可.
(2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,只与字母及字母的指数有关.
(3)合并同类项时,要注意:①系数相加时,要注意符号.②字母和字母的指数不能变动.③是同类项的能合并,不是同类项的不能合并.④移动项的位置时,要连同它前面的符号一起移动.
1.同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.
2.合并同类项:系数相加,字母与字母的指数不变.
3.巧记合并同类项的法则.
将合并同类项的法则编成歌诀:
同类项、同类项,两个条件不能忘;字母要相同,指数要一样;合并同类项,合并法则不能忘;只求系数和,字母、指数不变样.
1.下面各组中是同类项的是 (　　)
A.3a2b3和2b3a2 B.2x2y和2xy2
C.4与a D.2x和2ax
解析:根据同类项的定义,需要满足两个条件,所含字母相同及相同字母的指数也相同.故选A.
2.下列合并同类项正确的是 (　　)
A.2x2 - 3x= - x B.2x2 - 3x2= - 1
C.2x2+3x=5x3 D.2x2+5x2=7x2
解析:是同类项的才能合并,合并同类项时,只把系数相加,字母和字母的指数不变.故选D.
3.合并同类项.
(1)7a2 - 2ab+b2 - 5a2 - b2 - 2a2 - ab;
(2)6x+2x2 - 3x+x2+1;
(3) - 3ab+7 - 2a2 - 9ab - 3.
解:(1)7a2 - 2ab+b2 - 5a2 - b2 - 2a2 - ab
=7a2 - 5a2 - 2a2 - 2ab - ab+b2 - b2= - 3ab.
(2)6x+2x2 - 3x+x2+1
=6x - 3x+2x2+x2+1
=3x+3x2+1=3x2+3x+1.
(3) - 3ab+7 - 2a2 - 9ab - 3
= - 2a2 - 3ab - 9ab+7 - 3
= - 2a2 - 12ab+4.
4.填空: - a2b - (　　)=a2b.
解析:由减数=被减数 - 差可得 - a2b - a2b= - 2a2b.故填 - 2a2b.
5.若 - 3x2y3k+4x2y6的结果为单项式, 则k=　　　　.
解析: - 3x2y3k+4x2y6的结果为单项式说明两项是同类项,可以进行合并,根据同类项的定义可得3k=6,所以k=2.故填2.
[设计意图]　题目从易到难符合学生的认知规律,易于培养学生的思维能力.教师根据达标题完成情况,对于完成较好的学生及时给予激励性的表扬,对于完成不好的学生及时反馈、纠正,甚至作为课后辅导的对象.
第1课时
1.同类项的定义
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.
2.合并同类项
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
例1
例2
3.化简求值
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第91页习题3.5的1题.
【选做题】
教材第92页习题3.5的6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组中的两项,不是同类项的是 (　　)
A.a2b与 - 6ab2 B. - x3y与2yx3
C.2πR与π2R D.35与53
2.下列计算正确的是 (　　)
A.3a2 - 2a2=1 B.5 - 2x3=3x3
C.3x2+2x3=5x5 D.a3+a3=2a3
3.减去 - 4x等于3x2 - 2x - 1的多项式为 (　　)
A.3x2 - 6x - 1 B.5x2 - 1
C.3x2+2x - 1 D.3x2+6x - 1
4.多项式 - 3x2y - 10x3+3x3+6x3y+3x2y - 6x3y+7x3的值 (　　)
A.与x,y都无关 B.只与x有关
C.只与y有关 D.与x,y都有关
【能力提升】
5.若2x2ym与 - 3xny3是同类项,则m+n=　　　　.
6.合并同类项: - 12ab2+23ab2 - 14ab2=　　　　.
7.合并同类项: - 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b+5ab+a2b.
【拓展探究】
8.若单项式 - 12a2xbm与anby - 1可合并为12a2b4,则xy - mn=　　　　.
9.合并同类项:5(a - b)2 - 3(a - b)2 - 7(a - b) - (a - b)2+7(a - b).
10.先化简,再求值.
(1)5a2 - 4a2+a - 9a - 3a2 - 4+4a,其中a= - 12;
(2)5ab - 92a2b+12a2b - 114ab - a2b - 5,其中a=1,b= - 2;
(3)2a2 - 3ab+b2 - a2+ab - 2b2,其中a2 - b2=2,ab= - 3.
【答案与解析】
1.A(解析:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.故选A.)
2.D(解析:按照合并同类项法则“系数相加,字母和字母的指数不变”判断.故选D.)
3.A (解析:要求的多项式为 - 4x与3x2 - 2x - 1的和.故选A.)
4.A(解析:合并同类项后结果为0.故选A.)
5.5 (解析:由2x2ym与 - 3xny3是同类项可得m=3,n=2,所以m+n=5.)
6. - 112ab2(解析: - 12ab2+23ab2 - 14ab2= - 12+23 - 14ab2= - 112ab2.)
7.解: - 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b+5ab+a2b=( - 0.8 - 3.2+1)a2b+( - 6+5)ab= - 3a2b - ab.
8. - 3(解析:由单项式 - 12a2xbm与anby - 1可合并为12a2b4可得x=1,n=2,m=4,y=5.故填 - 3.)
9.解:把(a - b)与(a - b)2看作一个整体.5(a - b)2 - 3(a - b)2 - 7(a - b) - (a - b)2+7(a - b)=(5 - 3 - 1)(a - b)2+( - 7+7)(a - b)=(a - b)2.
10.解:(1)原式= - 2a2 - 4a - 4,将a= - 12代入得代数式的值为 - 52.
(2)原式=94ab - 5a2b - 5,将a=1,b= - 2代入得代数式的值为12.
(3)原式=a2 - b2 - 2ab,把a2 - b2,ab均看作一个整体,将a2 - b2=2,ab= - 3代入得代数式的值为8.
在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性,给学生提供充分参与数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,培养学生动手、动口、动脑和合作交流能力.
本节课容量较大,时间稍显不足.如达标检测的环节中,题目的处理上稍微显得有点仓促.
课堂设计进一步完善,把课堂中可能遇到的问题能够提前预设出来,使学生能够学好又不至于集中学生负担.
随堂练习(教材第91页)
1.提示:(1) - 2f.　(2)15pq.　(3)8y+2xy - 5.　(4) b - 2a3+1.
2.解:(1)不正确,3x与3y不是同类项,不能合并.
(2)不正确,合并同类项时,字母和字母的指数不变,7x - 5x=2x.　(3)不正确, - y2 - y2= - 2y2.
(4)不正确,19a2b与9ab2不是同类项,不能合并.
3.提示:(1) - 1.　(2) - 113.
习题3.5(教材第91页)
1.提示:(1)6x - 5f.　(2)24b.　(3)15a2b - 2b2c.　(4) - 8wx.
2.提示:(1)61.　(2) - 15.　(3) - 358.
3.(1)(6a+2)　(2)3n+3　(3)(60x+12y)
4.提示:(1)2.5x.　(2)5x+8y.　(3)4xy.
5.解:答案不唯一.如xyz3,5xyz3.
6.解:绿地面积为ab - mn - 18πn2=32bb - 12·32b12b ? 18π12b2=98b2 - π32b2>34b2=12ab,所以小华的设计符合要求.方案略.
合并同类项是这一章中的重要内容,熟练掌握合并同类项的法则是解决问题的关键,如果对合并同类项的法则理解不透彻就会出现计算错误.在学习合并同类项时要学生理解同类项的概念,弄清代数式中的系数、项等概念,会在较为复杂的代数式中找出同类项,理解合并同类项实质就是对乘法分配律的逆用,让学生在具体的计算过程中养成用不同的记号标识不同类别的同类项的习惯,防止漏项.
　已知 - 13xa - 3y3与3y5 - bx3是同类项,则ab的值为　　　　.
〔解析〕　根据同类项的定义可得a - 3=3,5 - b=3,所以a=6,b=2,所以ab=62=36.故填36.
[解题策略]　掌握两个单项式成为同类项必须具备的条件是解题的关键,即把握住同类项的两个相同:字母相同,相同字母的指数也分别相同.
　求代数式p2 - 7p+4q - 2p2 - 3的值,其中p=2,q=1.
解:p2 - 7p+4q - 2p2 - 3=(p2 - 2p2) - 7p+4q - 3= - p2 - 7p+4q - 3,
当p=2,q=1时,原式= - p2 - 7p+4q - 3= - 22 - 7×2+4×1 - 3= - 17.
[解题策略]　利用合并同类项的法则化简多项式可使计算简便,但需要注意的是不是同类项的一定不能合并.
第课时
1.在具体情境中体会去括号的必要性,能运用运算律去括号.
2.总结去括号法则,并能利用法则解决简单的问题.
经历类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时符号变化的规律的过程,归纳出去括号法则.
在现实情境中,培养学生的创新能力,培养学生的“类比”思想,增强学生学习数学的兴趣.
【重点】　利用去括号法则,准确对整式进行化简.
【难点】　括号前面是“ - ”号和括号前面有系数时的去括号.
【教师准备】　预设学生学习过程中可能遇到的问题.
【学生准备】　火柴一盒.
导入一:
活动内容:
回答下列问题.
问题1
请用字母表示乘法对加法的分配律.
问题2
计算( - 24)× - 23+34+112.
问题3
你会化简8a+2b+(5a - b)吗?
[处理方式]　问题1,2学生可以很轻松地得出结果,问题3可能有学生做出,这里仅仅是提出问题,激发学生兴趣,引出课题,并不要求学生现在解决,而希望在本节课后面再回解该问题.
[设计意图]　通过问题1,2复习已经学过的知识,让学生初步感知去括号;问题3是让学生发现在化简代数式的过程中,遇到括号先计算括号内的,并不一定能很好地解决问题,为了便于合并同类项,常常需要先将括号去掉.
导入二:
课件展示:
1.如果a2m - 1b与a5mbm+n是同类项,则(m+n)2013的值为　　　　.
2.多项式3a - 2b - 5(a - b)中有同类项吗?怎样才能合并同类项?
学生讨论,然后小组选代表回答.
师:同学们到底回答得对不对呢?答案待我们学完本节课再做揭晓.这节课,咱们就一起来探究一下如何去括号.(教师板书课题)
[设计意图]　学生合并时遇到了困难,要解决这个问题需先去括号,学生急于想知道如何去括号,这样可激发学生的求知欲望.
　　[过渡语]　请各小组同学拿出准备好的火柴,让我们先从游戏“智慧大拼图”开始吧!
探究活动1　需要多少根火柴棒
思路一
搭1个正方形需要4根火柴棒;搭2个正方形需要7根火柴棒;搭3个正方形需要10根火柴棒……
问题1
如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
问题2
你能用不同的搭建方法来解释吗?
[处理方式]　由于用火柴棒搭正方形在学习字母表示数中已经探究过,所以问题1学生比较容易给出答案,对于问题2,学生可以利用课前准备的火柴棒,以小组为单位,亲自动手操作,然后班内交流展示.
(投影出示)小明、小颖、小刚三位同学的做法:
第一个正方形用4根,每增加一个正方形增加3根,那么搭x个正方形就需要火柴棒[4+3(x - 1)]根.
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的,然后再减多算的根数,得到的代数式是4x - (x - 1).
第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的.此后每增加一个正方形就增加3根,搭x个正方形共需(3x+1)根.
思路二
搭1个正方形需要4根火柴棒;搭2个正方形需要7根火柴棒;搭3个正方形需要10根火柴棒……如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?你能用不同的搭建方法来解释吗?
[处理方式]　教师指导学生通过自学课本93页,动手操作,得出求搭x个正方形需要火柴棒的根数的方法与思路,不理解的问题可以小组内进行交流,仔细理解各种表示法,得到代数式之间的关系.
(1)
第一个正方形用4根火柴棒,每增加一个正方形火柴棒增加3根,那么搭x个正方形就需要火柴棒[4+3(x - 1)]根.
(2)
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的,然后再减去多算的根数,那么搭x个正方形就需要火柴棒[4x - (x - 1)]根.
(3)
第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的,此后每增加一个正方形就增加火柴棒3根,搭x个正方形共需火柴棒(3x+1)根.
探究活动2　去括号法则
　　[过渡语]　刚才通过摆火柴棒得到的4+3(x - 1),4x - (x - 1),3x+1这三个代数式相等吗?你能用我们学过的知识解释这种变形吗?
活动内容1:
利用乘法分配律去括号.
(1)4+3(x - 1);　(2)4x - (x - 1);　(3)4x+(x - 1).
[处理方式]　先让学生独立尝试利用乘法分配律进行去括号,教师适时点拨,第(2)题可把括号前系数看作 - 1,第(3)题可把括号前系数看作1,再利用乘法分配律进行去括号.等学生完成后,教师可以出示去括号过程做示范:
(1)4+3(x - 1)=4+3x+3×( - 1)=4+3x - 3=3x+1.
(2)4x - (x - 1)=4x+( - 1)·(x - 1)=4x+( - 1)·x+( - 1)×( - 1)=4x - x+1=3x+1.
(3)4x+(x - 1)=4x+1·(x - 1)=4x+1·x+1×( - 1)=4x+x - 1=5x - 1.
[设计意图]　在比较中学生会发现小刚的方法是最简便的.从而指出“去括号”的优越性,即它可以把一些式子化繁为简.这种变形可以利用“乘法分配律进行去括号”的方法得到,为下面探究括号前是“+”号和括号前是“ - ”号的情况做准备.
活动内容2:
观察下列等式,去括号前后,括号里各项的符号有什么变化?
(1)4x+(+x - 1)=4x+x - 1;
(2)4x - (+x - 1)=4x - x+1.
问题1
你能归纳出去括号的法则吗?
[处理方式]　学生观察、比较、思考、交流、总结,尝试用自己的语言来表述去括号法则,教师给予引导和点拨.学生初步得出“去括号法则”后,教师利用课件展示完整的去括号法则:
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变;
括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
问题2
下列各式一定成立吗?若不成立,请改正.
(1)3(x+8)=3x+8;
(2)6(x+5)=6x+5;
(3)a+(b - c+d)=a - b+c - d;
(4) - (x - 6)= - x - 6;
(5)a - (b - c)=a - b+c;
(6)a - (b - c+d)=a - b+c - d.
[处理方式]　学生先独立完成,然后找同学在黑板上写出答案,教师适时点拨.
[设计意图]　让学生通过观察、比较、归纳、总结出去括号的法则,教师及时补充,在屏幕上展示完整的法则帮助学生规范记忆,最后学以致用,判断上面六个去括号的式子是否成立,进一步加深对“去括号法则”的理解.
探究活动3　去括号法则的应用
(教材例3)化简下列各式.
(1)4a - (a - 3b);
(2)a+(5a - 3b) - (a - 2b);
(3)3(2xy - y) - 2xy;
(4)5x - y - 2(x - y).
[处理方式]　本例分两步处理:(1)(2)为一组,即直接去括号(括号前系数为±1);(3)(4)为一组,即间接去括号(括号前系数不为±1).先给学生20秒钟时间观察四道题目的特点,(1)(2)题找一名同学在黑板上写出答案.学生板演:
解:(1)4a - (a - 3b)=4a - a+3b=3a+3b.
(2)a+(5a - 3b) - (a - 2b)=a+5a - 3b - a+2b=5a - b.
师:通过这两题的化简,谁能总结直接去括号(括号前系数为±1)的步骤呢?
学生思考,小组讨论1分钟,教师点拨,师生共同总结出直接去括号(括号前系数为±1)的一般步骤有2步:(1)去括号;(2)合并同类项.(3)(4)题先让学生分析与前两题的区别,在学生口述过程中,教师可进行有针对性的提问并板书,让学生理解法则的意义,规范书写步骤.
解:(3)3(2xy - y) - 2xy
=(6xy - 3y) - 2xy　　　　 (乘法分配律)
=6xy - 3y - 2xy　　　　　(去括号)
=4xy - 3y.　　　　　　 (合并同类项)
(4)5x - y - 2(x - y)
=5x - y - (2x - 2y)　　　　 　(乘法分配律)
=5x - y - 2x+2y　　　　　 (去括号)
=(5x - 2x)+( - y+2y)　　　　(找同类项)
=3x+y.　　　　　　　　 (合并同类项)
师:通过这两题的化简,谁能总结间接去括号(括号前系数不为±1)的步骤呢?
学生思考讨论后,师生总结出:若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生符号错误.
间接去括号(括号前系数不为±1)的一般步骤有3步:(1)乘系数;(2)去括号;(3)合并同类项.
[设计意图]　对于直接去括号(括号前系数为±1),大部分学生能独立完成.通过学生板演、互评一方面训练学生的语言表达能力,提高自主学习的热情,另一方面能及时发现问题,规范书写步骤.对间接去括号(括号前系数不为±1)的化简是本节课的难点.先让学生观察分析特点,教师板书示范后,让学生再板演并组内互评,目的是让学生在思考、交流合作中成长、学习.
[知识拓展]　去括号时需要注意事项:
(1)去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
(2)要注意括号前的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
(3)要注意括号前面是“ - ”号时,去掉括号后,括号内的各项都要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
(4)当括号里的第一项是省略“+”号的正数时,去掉括号和它前面的“+”号后要补上原先省略的“+”号.
1.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.简称:“正不变,负变”.
2.去括号步骤:①直接去括号(二步法);②间接去括号(三步法).
3.以后对于有括号的多项式,在合并同类项之前先去括号再合并.
[设计意图]　在紧张而热烈的学习之余,学生需要静下心来,反思自己所学的内容,这是一个对知识沉淀、吸收的过程.在畅谈自己的收获中,不断强化对知识的识记、理解与领悟.
1.下列各式,去括号正确的为 (　　)
A.6a - 2(3a+b+c)=6a - 6a+b+c
B.(7x - 3y) - 3( - a2 - b)=7x - 3y+3a2+3b
C.a - ( - b+c+d)=a+b+c+d
D. - ( - a+1) - ( - b+c)= - a+1 - b - c
解析:根据去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.故选B.
2.化简4x - 4 - (4x - 5)=　　　　.
解析:4x - 4 - (4x - 5)=4x - 4 - 4x+5=1.故填1.
3.化简2(2x - 5) - 3(1 - 4x)=　　　　.
解析:2(2x - 5) - 3(1 - 4x)=4x - 10 - 3+12x=16x - 13.故填16x - 13.
4.把下列各式化简.
(1)3x2+5x - 2( - x2+x - 1);
(2)3(a2 - ab) - 5(ab+2a2 - 1).
解:(1)3x2+5x - 2( - x2+x - 1)=3x2+5x+2x2 - 2x+2=5x2+3x+2;
(2)3(a2 - ab) - 5(ab+2a2 - 1)=3a2 - 3ab - 5ab - 10a2+5= - 7a2 - 8ab+5.
第2课时
1.下列代数式相等吗?
(1)4+3(x - 1);
(2)4x - (x - 1);
(3)3x+1.
2.去括号法则:
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“ - ”号,把括号和它前面的“ - ”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.简称:“正不变,负变”.
3.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第94页习题3.6的1题.
【选做题】
教材第95页习题3.6的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简 - 2a+(2a - 1)的结果是 (　　)
A. - 4a - 1 B.4a - 1
C.1 D. - 1
2.下列变形中,不正确的是 (　　)
A.a+(b+c - d)=a+b+c - d
B.a - (b - c+d)=a - b+c - d
C.a - b - (c - d)=a - b - c - d
D.a+b - ( - c - d)=a+b+c+d
3.化简m - n - (m+n)的结果是 (　　)
A.0 B.2m
C. - 2n D.2m - 2n
4.下列式子正确的是 (　　)
A. - 2x2a+2a2x=0
B. - a2+3a2=2a4
C. - 5a2b+4a2b= - 1
D.12y2x - 13xy2=16xy2
【能力提升】
5.(a - b) - (a+b)=　　　　.
6.若m,n互为相反数,则5m+5n - 5=　　　　.
7.|a - 2|+(a+b - 3)2=0,则代数式3a(a+b)的值为　　　　.
【拓展探究】
8.先化简,再求值: x2+ ( - x2+3xy +2y2) - (x2 - xy +2y2),其中x=1,y=3.
【答案与解析】
1.D(解析:根据去括号法则,先去括号再合并同类项可得结果为 - 1.故选D.)
2.C(解析:C选项中,括号前是“ - ” 号,把括号和“ - ”号都去掉,括号内各项都改变符号. - d应改为+d.故选C.)
3.C (解析:化简m - n - (m+n)的结果应为 - 2n.故选C.)
4.D(解析:A.不是同类项,不能合并;B.合并后,字母的指数不能发生变化;C.漏掉了字母及指数.故选D.)
5. - 2b (解析:(a - b) - (a+b)=a - b - a - b= - 2b.)
6. - 5(解析:因为m,n互为相反数,所以m+n=0,5m+5n - 5=5(m+n) - 5= - 5.)
7.18(解析:由题意可知a=2,b=1,所以3a(a+b)=18.)
8.解:x2+ ( - x2+3xy +2y2) - (x2 - xy +2y2) =x2 - x2+3xy +2y2 - x2+xy - 2y2= 4xy - x2 .当x=1,y=3时,4xy - x2=4×1×3 - 1=11.
本节课是以复习的方式引入新课,在复习巩固合并同类项的同时,设计了学生还没学习的有关带括号的题目,引发学生探究新知的欲望,学生根据现有的知识和解决问题的经验会联想到去括号,从而很自然地引出了本节课的内容.接着学生利用火柴棒拼正方形所需根数的问题探究出去括号法则.为了巩固去括号法则,对学生进行了变式训练,通过练习,学生掌握了整式化简的规范过程,提高了学生解决