11.4 无理数与实数 教案

《无理数与实数》教案
第一课时
教学目标
一、教学知识点
1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
2、会判断一个数是有理数还是无理数.
3、让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神
二、能力训练要求
1、借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
2、探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.
三、情感与价值观要求
1、让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.
2、充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.．
教学重点
1、无理数概念的探索过程.
2、用计算器进行无理数的估算.
3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.
教学难点
1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程．
2、判断一个数是否为有理数．
3、无理数概念的建立及估算.
4、用所学定义正确判断所给数的属性.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？
在小学我们学过自然数、小数、分数，在初一我们还学过负数.
我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
二、讲授新课
1.问题的提出，大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.
经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请自己拼的图展示一下.
现在我们一齐把大家的做法总结一下：
下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
1、a是正方形的边长，所以a肯定是正数.
2、因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.
3、由a2=2可判断a应是1点几.
那么a是整数吗？a是分数吗？
结论是：因为12=1，22=4，32=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.
因为，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.
经过讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.
2.做一做：
(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.
在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.
没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.
因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.
像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.
三、课堂练习
如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.
我们了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？我们就来揭示它的真面目.
四、讲授新课
1、导入.
请看图
大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.
大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？
因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.
a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.
探索过程如下.
边长a
面积S
1＜a＜2
1＜S＜4
1.4＜a＜1.5
1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143
1.99996164＜S＜2.00024449
请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？
a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.
大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？
b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.
2、无理数的定义.
请大家把下列各数表示成小数.
3，，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.
3=3.0，=0.8，=，
，
答：3，是有限小数，是无限循环小数.
上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像上面研究过的a2=2，b2=5中的a，b是无限不循环小数.
无限不循环小数叫无理数(irrational number).
除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.
3.有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
4.例题讲解
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
课程小结
1、通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2、能判断一个数是否为有理数.
3、用计算器进行无理数的估算.
4、无理数的定义.
5、判断一个数是无理数或有理数.
《无理数与实数》教案
第二课时
教学目标
知识与技能目标
1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；
2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.
过程与方法目标
1．通过对实数分类的探究，增强学生的分类意识；
2．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结合的思想.
情感与态度目标
1．通过对实数进行分类的练习、进一步领会分类的思想方法；
2．在探究利用数轴上的点表示实数的过程中，训练学生多角度思维，培养和发展学生的合作意识.
教学重点
1．了解实数意义，能对实数进行分类；
2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值；
3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数.
教学难点
建立实数概念及分类
教学过程
一、复习导入
内容：问题：(1)什么是有理数？有理数怎样分类？
(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备.
效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏.通过举例明确了无理数的表现形式，也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备.
二、实数概念
内容：把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)
知识整理：有理数和无理数统称为实数.
意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念.
效果：学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
三、实数分类
内容：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？
2．0属于正数吗？0属于负数吗？
知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分.
1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：
2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：
意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类.提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏.
效果：让学生讨论回答，形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求.
四、实数的相关概念
内容1：1．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？
2．的相反数是什么？的倒数是什么？，0，—π的绝对值分别是什么？
意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的
效果：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
内容2：想一想：
1．3—π的绝对值是 .
2．想一想：a是一个实数，它的相反数是 ，它的绝对值是 ，当a≠0时，它的倒数是 .
例1 （1）求实数的的相反数和绝对值；
（2）求绝对值为的实数；
（3）比较无理数-和-π的大小.
例2
工人师傅用某种钢筋制作两直角边长分别为1m，2m的直角三角形工件，制作一个这样的工件需要钢筋多少米？制作100个这样的工件呢？
知识整理
(1)相反数：a与—a互为相反数；0的相反数仍是0；
(2)倒数：当a≠0时，a与互为倒数(0没有倒数)；
(3)绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
即：
意图：加深学生对相关概念的理解.
效果：学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识.
五、探究——实数与数轴上点之间的对应关.
内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：
议一议：
(1)如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
(2)如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
知识整理
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；
(2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
意图：探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小.
效果：经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是，它是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满.进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用.
例3 太阳的体积约是地球体积的130万倍.如果将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍（球体体积公式为）.
六、课堂练习
内容：1．判断下列说法是否正确：
(1)无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)带根号的数都是无理数.
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)； (2)； (3)．
3．在数轴上作出对应的点.
七、课程小结
知识整理：
1．实数的定义；
2．实数的两种分类方法；
3．实数的相关概念；
4．实数的大小比较；
5．实数与数轴上点之间的对应关系.