人教版九年级数学上册教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：36【提高】弧、弦、圆心角、圆周角含答案

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解圆心角、圆周角的概念；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
【巩固练习】
一、选择题
1.
如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于(
)．
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
2．已知，如图,
AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正确的有(
)个
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
第1题图
第2题图
第3题图
3．如图，设⊙O的半径为r，弦的长为a，弦与圆心的距离为d，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h，下面说法或等式：①
②
③已知r、a、d、h中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是(
)
A．仅①
B．②③
C．①②③
D．①③
4．（2019 威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（　　）
　
A．68°
B．
88°
C．
90°
D．112°
5．如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（
）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
第5题图
第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为(
)．
A．cm
B．3cm
C．cm
D．9cm
二、填空题
7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.
　　　　　　　
8．（2019 青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=　　．
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED=
°.
10．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．
11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．
（第10题图）
（第11题图）
12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是
.
13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，
则∠BAC的度数为_______．
三、解答题
14.如图，在⊙O中，，OB，OC分别交AC，BD于Ｅ、Ｆ，求证
15.（2019 宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，
求证：AF＝CF．
17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
求四边形ADBC的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C．
【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD；
则∠ADB=∠AOB=50°；
∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．
2．【答案】C．
【解析】①②④正确.
3．【答案】C．
【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的.
4．【答案】B．
【解析】如图，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故选B．
5．【答案】D．
【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，
同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.
6．【答案】B．
【解析】∵
∠CDB＝30°，
∴
∠COB＝2∠CDB＝60°，
又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∠OCD＝30°，，
在Rt△OEC中，∵
cm，∴
cm．
(cm)．
∴
cm，∴
CD＝3cm．
二、填空题
7．【答案】3；　
8．【答案】40°；
【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
9．【答案】30°；
10．【答案】40°；
【解析】∵
∠AOC＝130°，
∴
∠ADC＝∠ABC＝65°，
又AB⊥CD，
∴
∠PCD＝90°－65°＝25°，
∴
∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．
11．【答案】；
【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧的中点，所以
OB⊥AC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得
22-x2=32-（3-x）2,解得，.
或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，，，．
12．【答案】；
【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC=
．
13.【答案】15°或75°.
【解析】方程x2-（2+2）x+4=0的解为x1=2，x2=2，
不妨设：AB=2，AC=2．
（1）如图，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．
∵AB=2，AC=2，
∴AM=，
∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2，
∴AN=，
在Rt△NAO中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；
（2）如图，∠BAC=75°．
三、解答题
14.【答案与解析】
如图，∵，∴,
∴,∵B,C是的中点，
∴,
∴,
∴
15.【答案与解析】
证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE，
∴AE=AF+EF=BD+DE．
16.【答案与解析】
证法一：连接BC，如图所示．
∵
AB是直径，∴
∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°．
又∵
CD⊥AB，
∴
∠B+∠BCD＝90°，
∴
∠ACF＝∠B．
∵
点C是的中点，
∴
，
∴
∠B＝∠CAE，
∴
∠ACF＝∠CAE，∴
AF＝CF．
证法二：如图所示，连接BC，并延长CD交⊙O于点H．
∵
AB是直径，CD⊥AB，
∴
．
∴
点C是的中点，
∴
，
∴
．
∵
∠ACF＝∠CAF，
∴
AF＝CF．
17.【答案与解析】
∵
AB是直径，∴
∠ACB＝∠ADB＝∠90°．
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，
∴
．
∵
∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴
∠DCA＝∠BCD．
∴
，∴
AD＝BD．
∴
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴
AD＝BD＝．
∴
．
2