课件16张PPT。第二十六章 解直角三角形26.1 锐角三角函数（1） 九年级数学上 新课标 [冀教] 如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)学 习 新 知直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值1.如图，在Rt△中和Rt△中，==. 与 具有怎样的关系?=90°.当 = 时，
(三角形相似)引导思考:(1)如何证明线段成比例?(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')(3)由三角形相似的性质可以得到 与 之间的关系吗?（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴ 2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'. 与 具有怎样的关系?在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A= = .大家谈谈(tan A是一个比值,没有单位)(1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?(tan A表示的是一个整体)(2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化?(tan A随着∠A的大小变化而变化)(3)tan A有单位吗?(4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?(tanB= , tanA·tanB=1.)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)例1 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值.解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,∴∠B=60°,且 .∴ = = .∴tan A=tan 30°= ,tan B=tan 60°= . (2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.∴tan A=tan 45°= .这样,就得到tan 30°= ,
tan 45°=1,tan 60°= .5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2.[知识拓展] 1.正切是一个比值,没有单位.2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A.4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于 ( ) A. B. C. D. 解析:根据锐角正切的定义可得tan A== ,故选B.
B检测反馈2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 ( )
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切值也不变．故选A．A3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,
tan A= ,BC=12,则AC等于 .?解析:根据正切定义可得tan A=
= = ，所以AC=9.故填9.
94.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若tan A= ,BC=9,求AB的长;
(2)若tan B= ,AC=16,求AB的长.解：（1）∵tanA= = ，
又BC=9,∴AC=12,
由勾股定理可得AB=
=15. ∴AB的长为15.(2)∵tan B= = ,AC=16,∴BC=12. 由勾股定理可得
AB= =20.∴AB的长为20.课件20张PPT。第二十六章 解直角三角形26.1 锐角三角函数（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]观察两个不同大小的三角板，当角是30°、45°、60°时，它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律？谈谈你的看法.问题思考学 习 新 知大家谈谈如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠B的正弦与余弦分别是哪两边的比值?（∠B的正弦是 ,∠B的余弦是 .）(2)由aRt△AB2C2中,∠C1=∠C2=90°.【思考】
(1)Rt△AB1C1与Rt△AB2C2之间有什么关系?
(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)（2） 与 、 与 之间各有什么关系？
=== .(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则 与 、
与 之间有什么关系？
= ；（4）根据以上思考，你得到什么结论？
（直角三角形中，∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的）（5）如果改变∠A的大小，上边的比值是否变化？归纳你的结论.
2.在直角三角形中，当锐角确定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比也是确定的.1.在直角三角形中，当锐角确定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是确定的. 在Rt△ABC中,∠C=90°.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A.即sin A= . 正弦和余弦 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A= .(3)sin α,cos α和tan α是不是α的函数?【思考】(1)当锐角α的大小变化时,sin α,cos α,tan α是否变化?(2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cos α和tan α是否有唯一的值和它对应?归纳:
我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.
为方便起见,今后将(sin α)2,(cos α)2,(tan α)2分别记作sin2 α cos2 α,tan2 α.特殊角的三角函数值1【思考】 观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?(3)0(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°;
(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°.解:(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°
= .(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°
= .(教材107页例3)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.求sin A,cos A,
tan A的值.【思考】
(1)根据各三角函数的定义,要求sin A,cos A的值,必须求出哪个边的值?
(2)怎样求出AB的值?解：∵ .∴ ， ， .4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.[知识拓展] 1.正弦和余弦都是一个比值,没有单位.2.正弦值和余弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.sin A,cos A是一个整体符号,不能写成sin·A,cos·A. 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，由于sinA=
, cosA= , sinB= , cosB=
, tanA= , tanB= ,
因此，sinA=cosB，cosA=sinB，
=1. 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2,∵sinA= , cosA= , tanA= ，∴sin2A+cos2A=1,tanA= .1.三角形在正方形方格纸巾中的位置如图所示,则sin α的值是 ( )解析:观察网格图可得,在直角三角形中,α的对边为3,邻边为4,根据勾股定理可得斜边为5,所以根据正弦的定义可得sin α= .故选C.C检测反馈2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,
AC=12,则下列各式正确的是( )A.sinA=D.以上都不对B.cos A=C.tan A=解析:由勾股定理可得BC= = 5，
∴sinA= = ，cosA= = ，
tanA= = ， 故选B.B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= ,
AB=20,则BC= .?解析：∵AB=20，sinA= ，
∴sinA= ，∴BC= ×20=12.故填12.
124.在△ABC中，sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状为 三角形.解析:∵sin A= ,cos B= ,
∴∠A=30°,∠B=45°,又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=105°,∴△ABC为钝角三角形.故填钝角.钝角 5.在△ABC中,∠C=90°,cos A= ,AB=12,求△ABC的面积.解:∵cos A= = ,AB=12,∴AC=4 .
由勾股定理可得BC=
∴S△ABC= AC·BC= ×4 ×4=24 .6.计算:
(1) ;
(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°.解:(1)=2× - × =1-1=0.(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°
= - = - = .课件15张PPT。第二十六章 解直角三角形26.2 锐角三角函数的计算 九年级数学上 新课标 [冀教] 如图所示,某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成80°角,房屋朝南的窗子高AB=1.8 m.要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC,使午间光线不能直接射入室内,那么挡光板AC的宽度应为多少米?∵光线与地面成80°角,∴∠ACB=80°.又∵tan∠ACB= ，∴AC= .学 习 新 知(教材110页例1)求下列各三角函数值:
(结果保留两位小数)
(1)sin 36°;(2)tan 50°26'37″.解:(1)对于sin 36°,在计算器开机状态下,可按下列程序操作.按键顺序为sin36=显示结果为0.587785252.即sin 36°≈0.587785252≈0.59.(2)对于tan 50°26'37″,在计算器开机状态下,可按下列程序操作.按键顺序为tan502637DMSDMSDMS=显示结果为1.210667421.即tan 50°26'37″≈1.210667421≈1.21.做一做观察计算的结果,当α增大时,角α的正弦值、余弦值、正切值怎样变化?利用计算器计算，并填表(教材111页例2)用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″)
(1)已知cos α=0.5237,求锐角α;
(2)已知tan β=1.6480,求锐角β.解:(1)在计算器开机状态下,按键顺序为2ndFcos-1·50237=显示结果为58.41923095.即α≈58.41923095°.若将其化为度、分、秒表示,可继续按键:2ndF显示结果为58□25□9.23.即α≈58°25'9″.注:显示屏上显示结果58□25□9.23,实际上表示的就是58°25'9.23″.(2)在计算器开机状态下,按键顺序为2ndFtan-11.6480=显示结果为58.75078643.即β≈58.75078643°.再继续按键:2ndF显示结果为58□45□2.83.即β≈58°45'3″.(教材112页例3)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,
AB=5,BC=4.(1)求sin A的值;
(2)求∠B的度数.(结果精确到1″)解:(1)在Rt△ABC中, .(2)∵sin A=0.8,∴由计算器求得∠A≈53°7'48″.∴∠B=90°-∠A≈90°-53°7'48″=36°52'12″.3.由于不同计算器的操作步骤不同,计算锐角的度数时,若将单位表示为“度”“分”“秒”,需要按键°'″或组合键2ndF°'″.[知识拓展] 1.用计算器可以求出锐角的正弦值、余弦值、正切值,由于计算器的类型不同,因此使用方法也不同,所以要根据计算器的说明书来选择按键顺序.2.使用计算器求出的值多数是近似值,具体计算中必须按要求确定近似值.1.用计算器求sin 62°20'的值最接近的是( )
A.0.8857 B.0.8856
C.0.8852 D.0.8851解析:按计算器说明书依次按键得
sin 62°20'≈0.8857.故选A.A检测反馈2.已知tan A=0.3249,则∠A约( )
A.17° B.18°
C.19° D.20°解析:按计算器说明书依次按键得∠A≈18°.故选B.B3.用计算器求三角函数值(结果精
确到0.001).
(1)sin 23°≈ ;?
(2)tan 54°53'40″≈ .?解析:用计算器求得sin 23°≈0.391,
tan 54°53'40″≈1.423.0.3911.4234.已知sin α=0.2,cos β=0.8,则α+β≈ .
(结果精确到1')?解析:用计算器分别求出α和β的值,然后相加可得48°24'.故填48°24'.48°24'5.如图所示,在Rt△ABC中,
∠C=90°,∠B=55°,AC=4,求BC和AB的值.(结果保留小数点后一位)解:∵tan B= ，∴BC= ≈2.8.
∵sin B= ，∴AB= ≈4.8.课件18张PPT。第二十六章 解直角三角形26.3 解直角三角形 九年级数学上 新课标 [冀教] 如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,所以 ， 所以BC=AC·tan∠BAC=5×tan55°
≈5×1.4281≈7.14(km).所以,当轮船行驶到灯塔的正南方时,轮船距灯塔约7.14 km.学 习 新 知如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=30°,你能求△ABC的各边长吗?在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2,你能求△ABC的锐角和其他边长吗?(1)已知直角三角形中的一个元素(除直角外),能求其他元素吗?(有三种:一边和一锐角、两边、两锐角)(2)已知直角三角形中的两个元素(除直角外),有几种可能的情况?(3)已知直角三角形的两个元素(除直角外),能否求其他元素?在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=30°,
AC=2,求∠A的度数及BC,AB的长.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和BC的长.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,∠B=60°,你能求出AC,BC,AB的长吗?(有两种:一边和一锐角、两边)(4)直角三角形中已知两个元素(除直角外),可以求其他元素的情况有几种?哪几种?解直角三角形,只有两种:
一、已知两条边;二、已知一条边和一个锐角. 在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(教材115页例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001)【思考】(3)你能根据∠A的正切求出线段BC的长吗?(1)要解这个直角三角形,需要求出哪些元素?(需要求∠B的大小及BC,AB的长)(2)∠A与∠B的大小关系是什么?(∠A与∠B互余)（由tanA= 得BC=ACtanA.） (4)你能求出线段AB的长吗?你还有其他方法求AB的长吗?(勾股定理或∠A的正弦、余弦或∠B的正弦、余弦)解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,∵ ，∴BC=AC·tan A=AC·tan34°
≈6×0.6745=4.047.∴7.238.(教材115页例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8.解这个直角三角形.(角度精确到1″)(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?(1)已知线段AC,BC分别是∠A的邻
边和对边,用哪个三角函数可以表示
它们之间的等量关系?(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?解：∵ ,∴∠A≈28°4'20″.∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4'20″=61°55'40″.∵AB2=AC2+BC2=152+82=289,∴AB=17.1.直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素.知识拓展2.运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:(1)锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,
∠B=90°-∠A.（2）三边之间的常用变形：a= ， b= ， c= . (3)边角之间的常用变形:a=c·sin A,b=c·cos A,a=b·tan A,a=c·cos B,b=c·sin B,b=a·tan B.3.虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘勿除”的原则.4.选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.5.遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.检测反馈1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,欲求∠A的值,最适宜的做法是 ( )
A.计算tan A的值求出
B.计算sin A的值求出
C.计算cos A的值求出
D.先根据sin B求出∠B,再利用90°-∠B解析:因为AC,BC分别是∠A的邻边、对边,所以最适宜的方法是计算tan A的值求出∠A.故选A.A2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )
A.csin A=a B.bcos B=c
C.atan A=b D.ctan B=b解析：由a2＋b2＝c2，得∠C=90°，∴sinA= ,cosB= , tanA= , tanB= ，∴csinA＝a ，ccosB＝a, btanA＝a,atanB＝b，故选A.A3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，c=20 ，则∠A= ，∠B= ,b= .解析：∵sinA= ， ∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠B，∴b=a=20.故填45°、45°、20.45°45°204.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2 ,AC=6 ;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,c=8 .解：（1）∵tanA= ， ∴∠A＝30°，∴∠B＝90°-30°=60°,AB=2BC=4 . （2）∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°-60°=30°. ∵sinA= ， ∴a=c·sinA=8 ×sin60°=8 × =12.∵∠B=30°, ∴b= .课件18张PPT。第二十六章 解直角三角形26.4 解直角三角形的应用 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)【思考】
(1)要求旗杆的高,实际是要求图中哪条线段的长度?图中有哪些已知条件?(2)在Rt△AOC中,如何求线段AC的长度?(3)在Rt△BOC中,如何求线段BC的长度?例1 如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能?(Rt△BCD中,∠CBD=60°;
Rt△ACD中,∠CAD=30°)(1)如何判断有没有进入危险区的可能?(点C到直线AB的距离与10海里比较大小)(2)要求点C到直线AB的距离,需要作什么辅助线?(过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D)(3)要求CD的长,CD在哪个直角三角形中?(Rt△BCD和Rt△ACD中)(4)Rt△BCD和Rt△ACD中,有什么已知条件?(5)设CD=x,则直角三角形中的边长能否用x表示? ( ， ) (6)题目中的等量关系是什么？你能列方程求解吗？（AB=AD-BD， .解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,在Rt△BCD中,tan∠CBD=
tan 60°= .
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
所以 , 即 .∵ ， .∴ .解得 . 因为10＜所以这艘渔船继续向东航行，不会进入危险区.若设CD=x,则BD=认识有关概念如图所示,通常把坡面的垂直高度h和水平宽度 l的比 叫做坡面的坡度(或坡比),坡面与水平面的夹角α叫做坡角.坡度i与坡角α之间具有什么关系?（i＝ ＝tan ）例2 如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC∥AD，∠A=∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角（结果精确到 )(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长.(4)在Rt△ABE中,由坡角和坡度之间的关系可求出坡角.解:如图所示,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.在四边形BEFC中,∵BC∥AD,∠AEB=
∠DFC=90°,∴四边形BEFC为矩形.∴BC=EF,BE=CF.在Rt△ABE和Rt△DCF中,∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∴AE=DF.在Rt△ABE中,BE=4,∴α≈38°39',AE=5.∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39'.利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.做一做如图所示,某水库大坝的横断面是四边形ABCD,DC∥AB,坝顶宽CD=3 m,斜坡AD=16 m,坝高为8 m,斜坡BC的坡度为 .求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB(结果精确到0.01 m).[知识拓展] 1.解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.2.坡度也叫坡比,即i= ,一般写成1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).3.坡度i与坡角α之间的关系为i=tan α.4.坡角越大,坡度越大,坡面越陡.检测反馈1.如图所示,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基距地平面20米(即BC为20米),则塔身AB的高为 ( )A.60米 B.4 米
C.40米 D.20米解析:由题意知BC=20米,∠ADC=60°,
∠BDC=30°,∠ACD=90°,所以∠ADB=∠A=30°,所以AB=BD,在Rt△BCD中,BD= =40(米),所以AB=BD=40米,所以塔身AB的高为40米.故选C.C2.某人上坡沿直线走了50 m,他升高了25 m,则此坡的坡度为 ( )
A.30° B.45°
C.1∶1 D.1∶ 解析:由勾股定理求得另一直角边为
m，由坡度公式得i=h∶l=25 ∶25 =1∶1.故选C.C 3.如图所示,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°和35°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.求出热气球距离地面的高度.（结果保留整数,参考数据:sin 35°≈ ,
cos 35°≈ ,tan 35°≈ ）解:如图所示,作AD⊥CB延长线于点D.D∟由题知∠ACD=35°,
∠ABD=45°,在Rt△ACD中,∠ACD=35°,tan 35°= ,所以CD= ，在Rt△ABD中,∠ABD=45°,tan 45°= =1,所以BD=AD,
由题意可得BC=CD-DB=100 m,所以 - AD=100,解得AD≈233 m,答:热气球距离地面的高度约为233 m.
