课件19张PPT。第二十七章 反比例函数27.1 反比例函数 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.在速度v,时间t与路程s之间满足:(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?（ ，是函数关系）思考：这个函数是不是我们前边学过的函数？反比例函数的概念1.要制作容积为15700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则
Sh= ,用h表示S的函数表达式为 .?2.自行车运动员在长为10000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt= ,用t表示v的函数表达式为 .?3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式
为 .?1570010000(4)请再举出几个具有这种特征的例子.思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?观察前面的三个函数关系式,思考:(1)这三个函数是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般
形式吗? 一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成 （k为常数，且k ≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 k称为比例系数注意:变量x,y都不能等于0.反比例函数的定义(2)反比例函数 中,自变量x的指数是1吗?为什么?【思考】(1)在反比例函数 中,k,x,y可以取任意实数吗?(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?(1)反比例函数的一般式:(k为常数,k≠0).反比例函数的变形式:①y=kx-1(x的指数为-1,k为常数,k≠0);②xy=k(k为常数,k≠0).(2)取值范围:①比例系数k≠0;②自变量x是一切非0实数;③函数值y也是一切非0实数.反比例函数概念的有关特点:下列函数:① ;② ;③ ;④ ;⑤xy=2;⑥ .其中是反比例函数的是 (填序号),它们的比例系数k分别是 .?〔解析〕 按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4, ,2.
〔答案〕 ①②④⑤ 5,0.4, ,2①②④⑤5， ，0.4,2若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为 .?分析：根据反比例函数概念可得，反比例函数满足两个条件：（1）常数k≠0；（2）自变量x的指数为-1.由题意可得∣a∣-3=-1，且a-2≠0，
解得a=-2.-2(3）因为2xy=a，即 ,
所以y是x的反比例函数，比例系数 . (教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.
(1)y与x互为相反数.
(2)y与x互为负倒数.
(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).解:(1)因为y+ x =0,即y =- x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为x y =-1,即 ,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时, y =6.(1)写出这个反比例函数的表达式．
(2)当x=-2时，求y的值．所以这个反比例函数的表达式为 .解:(1)设 .把x=4, y =6代入 ,得k=24.(2)当x=-2时, =-12.1.反比例函数 (k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如 , 等都是反比例函数,但 中,y就不是x的反比例函数.知识拓展2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是
一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),
y=kx-1(k≠0)的形式.检测反馈1.下列函数中是反比例函数的是( )A. y=2x+1B.y=C. y=D.2y=x解析:A中函数是一次函数,不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.C2.反比例函数 中,k的值是 ( )
A.2 B.-2C. D. 解析:根据反比例函数定义可得,比例系数k为 .故选C.C3.若函数y=(m-1) 为反比例函数,则m的值是 ,此函数的表达式为 .?解析:根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-1≠0,解得m=-1,此时函数表达式为 .
答案:-1 ， -1 4.长方体的体积为103 m3,底面积为S m2,高度为d m,用d表示S的函数关系式为 ;当S=500 m2时,d= m.?解析:因为体积V=Sd,所以 ,把S=500代入函数解析式,得d=2.
答案: 225.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y= .
(1)写出y与x的函数表达式;
(2)当x= 时,求y的值;
(3)当y= 时,求x的值.解：（1）设y与x的函数表达式为 ，把x=1时，y= 代入，得 = ， 所以k=2，
所以y与x的函数表达式为 .(2)当x= 时, y=2.（3）当y= 时， ，解得x= .课件15张PPT。第二十七章 反比例函数27. 2反比例函数的图像和性质（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知思考并回答下列问题:
1.点(2,3)在正比例函数y=kx的图像上,你能求出这个正比例函数的表达式吗?（将点(2,3)代入y=kx,得k= ,所以函数表达式为y= x.）2.判断点(1,2)是否在正比例函数y=2x的图像上?点(-1,-2),(3,6)呢?你是如何判定的?（点(1,2)在函数y=2x的图像上;点(-1,-2),(3,6)也在函数y=2x的图像上;将点的坐标代入函数解析式,满足函数解析式,所以点在函数的图
像上）.描点法画反比例函数的图像画反比例函数 的图像.(4)从左到右连线时,图像与x轴、y轴有没有交点?为什么?(1)该函数中自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?思考:(2)画函数图像列表时,取哪些x的值使函数图像完整、准确?(3)如何用平滑的曲线连接各点?(1)列表:(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数的 图像.123456-4-1-2-3-5-6124563-6-5-1-3-4-2Oyx●●●●●●●●●●画出反比例函数 的图像.比较反比例函数 与 的图像，指出它们的共同特征．
(图像都是由两部分组成，分别位于两个不同的象限，且关于原点对称，两部分在单个象限内增减性一致等.)反比例函数 (k为常数,且k≠0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成,这样的曲线叫做双曲线.(教材132页例1)已知点P(-6,8)在反比例函数 的图像上.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函数的图像上.3.如何判断点是否在反比例函数图像上?【思考】
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?(函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上)2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入?(反比例函数表达式中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可)(将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上)解:(1)把点P(-6,8)的坐标代入 ,得 .
解得k=-48.
所以这个反比例函数的表达式为 .(2)当x=4时,
当x=2时, =-24≠24.所以,点M(4,-12)在这个反比例函数的图像上,点N(2,24)不在这个反比例函数的图像上.[知识拓展]
1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.
2.反比例函数 (k≠0)的图像的两个分支关于原点对称.
3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x ≠0,y≠0.检测反馈1.(2015·绥化中考)如图所示,反比例函数y= (x<0)的图像经过点P,则k的值为 ( )
A.-6 B.-5
C.6 D.5解析:∵函数图像经过点P(-3,2),∴k= x y=
-3×2=-6.故选A.A2.(2015·菏泽中考)已知A(-1,m)与B(2,m-3)是反比例函数y= 图像上的两个点,则m的值为 .?解析:把(-1,m),(2,m-3)代入函数表达式,得-m=k,2(m-3)=k,解得m=2.故填2.2 3.在平面直角坐标系下画出函数 和 的图像,并分别指出两个函数图像所在的象限.解:列表:123456-4-1-2-3-5-6124563-6-5-1-3-4-2Oyx●●●●●●描点、连线：123456-4-1-2-3-5-6124563-6-5-1-3-4-2Oyx●●●●●●函数y= 的图像在第一、三象限，
函数y= 的图像在第二、四象限。(2)当m=-3时,代入函数表达式,得 ;
∴它的图像位于第二、四象限.4.已知反比例函数 .
(1)求m的值;
(2)它的图像位于哪些象限?解:(1)依题意可得:m2-10=-1,且m-3≠0,
解得m=-3.课件20张PPT。第二十七章 反比例函数27.2 反比例函数的图像和性质（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知长方体的体积为50 cm3,它的底面积S(单位:cm2)与高h(单位:cm)之间满足的函数关系是什么?当它的高h增加时,它的底面积S将怎样变化?反比例函数的图像与性质观察上节课我们画出的反比例函数 与 的图像及表达式，探究下列问题：一三二四减小增大画出反比例函数 和 的图像.123456-4-1-2-3-5-6124563-6-5-1-3-4-2Oyx●●●●●●●●123456-4-1-2-3-5-6124563-6-5-1-3-4-2Ox●●●●●●●●y指出反比例函数 和 的图像所在象限,并说明y的值随x的值的变化而变化的情况.观察所画的函数图像,思考回答:(1)反比例函数图像的形状是什么?(双曲线)(2)反比例函数图像无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?反比例函数图像关于原点O对称吗?(函数图像与x轴、 y轴没有交点,关于原点O对称)(3)函数图像在哪个象限内?函数表达式中谁决定函数图像的位置?(当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限)(4)观察函数图像,在每个象限内随着x的增大, y如何变化?函数表达式中谁决定函数图像的增减性?(当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大)4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.一般地,反比例函数 (k≠0)的图像是双曲线,它具有以下性质:1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小;2.当k＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大；3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;解:(1)∵反比例函数 的图像在第一、三象限,∴k>0.(教材135页例2)反比例函数 的图像如图所示.(1)判断k为正数还是负数.(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函数图像上的两点,那么y1与y2的大小关系是怎样的?(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小. ∵-3<-1,∴y1>y2.如图所示,点A在反比例函数 (x >0)的图像上,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间是否有等量关系?(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?(1)若点A在反比例函数 (x <0)的图像上,矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系?解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.∴S矩形OBAC= x y=3.拓展思考:(2)如图所示,若点A是反比例函数 (k≠0)图像上任意一点呢?(3)若连接OA,则△AOB与△AOC的面积又有怎样的关系?S矩形OBAC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO= |k|. 结论： 反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：[知识拓展] 1.反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.2.当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限.3.反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”.当k>0时,在每一个象限内, y随着x的增大而减小,但不能笼统地说:当k>0时, y随着x的增大而减小.同样,当k<0时,在每一个象限内, y随着x的增大而增大,也不能笼统地说:当k<0时, y随着x的增大而增大.4.过双曲线 (k≠0)上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线,这一点与垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|,所构成的三角形的面积为S△= |k|.1.反比例函数 的图像大致是（ ）检测反馈解析：∵k2≥0,∴k2+1＞0，∴该函数图像在第一、三象限，故选D.D2.已知反比例函数 ,下列结论不正确的是( )
A.图像必经过点(1,2)
B. y随x的增大而减小
C.图像在第一、三象限
D.若x >1,则y <2解析:把(1,2)代入得:左边=右边,故A正确;k=2>0,图像在第一、三象限,在每个象限内, y随x的增大而减小,故B错误,C正确;k=2>0,当x >1时,0< y <2,故D正确.故选B.B解析:由反比例函数 中比例系数k的几何意义可得矩形OABC的面积为|k|=2.故选B.3.如图所示,点B在反比例函数 (x >0)的图像上,过点B分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4B4.(2015·益阳中考)已知y是x的反比例函数,当x >0时, y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 .?解析:只要使比例系数大于0即可.如 (x >0),答案不唯一.故填 (x >0).5.如图所示,函数y 1=-x+4的图像与函数
(x>0)的图像交于A(a,1),B(1,b)两点.
(1)求函数y 2的表达式;
(2)观察图像,比较当x>0时, y 1与y 2的大小.解:(1)把点A(a,1)代入y 1=-x+4,得a=3,即点A的坐标为(3,1),∴k2=3,∴ .(2)把点B(1,b)代入 ,得b=3,
∴点B的坐标为(1,3),
∴由图像可知,当03时, y 1< y 2;当x=1或x=3时, y 1= y 2;当1 y 2.课件19张PPT。第二十七章 反比例函数27.2 反比例函数的应用九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 在一段长为45 km的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为60 km/h，最高为110 km/h.1.在这段高速公路上,设汽车行驶的速度为v(km/h),时间为t(h),写出v与t之间的函数关系式.2.某司机开车用了25 min匀速通过了这段高速公路,请你判断这辆汽车是否超速,并说明理由.3.某天，由于天气原因，汽车通过这段高速公路时，要求行驶速度不得超过75 km/h.此时，汽车通过该路段最少要用多长时间？反比例函数在实际问题中的应用(1)在上述问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是自变量和因变量?(2)在行程问题中,路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么?(3)自变量和因变量的乘积是不是常数?两者之间是不是存在着反比例函数关系?(4)你能否写出v与t之间的函数关系式?(5)你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗?(6)已知自变量t的值,怎样求因变量v的值?(7)已知因变量v的值,如何求自变量t的值?(8)在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围?(2)当 时,v=108,∵v<110,∴没有超速.∴通过该路段最少要用36min. (3)当v=75时， ，解得t=0.6，∵45＞0，∴v随着t的增大而减小，
∴当t≥0.6时，v≤75，(教材138页例)气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg).现有某种气体
7 kg.(1)某储气罐的容积为V(m3),将这7 kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式.(2)当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时,它的密度为多大?(3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?(4)在下图所示的直角坐标系中,画出这个函数的图像,并根据图像回答:
①当这些气体的体积增大时,它的密度将怎样变化?
②把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内?解:(1)用V表示ρ的函数表达式为: .(2)当V=4 m3时, = = 1.75(kg/m3).(3)当ρ=2 kg/m3时, ,解得V=3.5(m3).(4)函数 的图像如图所示.●●●●●②把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ≥3.5 kg/m3.①由反比例函数的图像可以看出,当这些气体体积增大时,它的密度减小.做一做:厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时,面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数,其图像经过A(4,32),B(m,80)两点(如图所示).(1)写出y与S的函数关系式.(2)求出m的值,并解释m的实际意义.(3)如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到3.2 mm2,那么面条总长度不超过多少米?解:(1) ,S>0.∴当s最小为3.2 mm2时,面条的长度不超过40 m.(2)m=1.6,当面条的总长度是80 m时,面条的横截面面积是1.6 mm2.(3)当s=3.2时,y=40.
∵k=128>0,∴y随s的增大而减小,【知识拓展】1.在利用反比例函数解决实际问题时，要根据题目的实际意义或物理、化学等学科中的公式建立函数关系式，再根据需要进行变形或计算.2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.检测反馈1.某村的粮食总产量为a(a为常数)吨,设该村的人均粮食产量为y吨,人口数为x,则y与x之间的函数关系式的大致图像是图中的 ( )解析：题中等量关系为：人均粮食产量y×人口数x=粮食总产量a，所以y与x之间的函数关系式为y= （x＞0），所以该函数为第一象限内的双曲线，故选C.CA.不小于 m3
B.小于 m3
C.不小于 m3
D.小于 m32.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图像如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应 ( )解析:设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P= ，∵图像过点(1.6,60)，∴k=96,即P= .在第一象限内,P随V的增大而减小,∴当P≤120时,V= ≥ ．故选C．2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图像如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应 ( )CA.不小于 m3
B.小于 m3
C.不小于 m3
D.小于 m33.矩形的面积是2 cm2,设长为y cm,宽为x cm,则y与x之间的函数解析式为 .?解析：根据等量关系：长×宽=面积得，xy=2，所以y与x之间的函数解析式为y= ，根据x实际意义x应大于0，故填y= （x＞0）．y= 4.二氧化碳的密度ρ( kg/m3)关于其体积V(m3)的函数关系式如图所示,那么函数关系式是 .?解析:由题意得ρ与V成反比例函数的关系,设 ,根据图像信息可得:当ρ=0.5时,V=19.8,∴k=ρV=0.5×19.8=9.9,即可得 .ρ=ρ=5.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t= ,其图像为如图所示的一段曲线且端点为A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求k和m的值;
(2)若行驶速度不得超过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要多少时间?解:(1)将(40,1)代入t= ,得1= ,解得k=40,
∴函数解析式为t= ,当t=0.5时,0.5= ,解得m=80,
∴k=40,m=80.(2)令v=60,得t= ,
结合函数图像可知,汽车通过该路段最少需要 小时.
