课件16张PPT。第二十八章 圆28.1 圆的概念及性质 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?思考并回答:1.小学里学习过圆,你能举出哪些生活中圆的例子?2.为什么车轮都做成圆形?能不能做成正方形和长方形?圆的概念3.观察我们画圆的过程,圆上的点到圆心的距离有什么共同特征?1.我们怎样在本上画圆形?2.我们想在操场上画个圆形,你有什么办法吗?小惠与小亮合作,按下面的方法画圆.首先,小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是圆.平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.圆的对称性5.直径是圆的对称轴正确吗?1.什么是轴对称图形、中心对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?实际上,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心.认识圆的有关概念1.弦、直径:
圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径.ABCOD2.弧、半圆:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧,这样的一条弧叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. 如图，点A，B，C，D在⊙O上.线段AB为⊙O的一条弦，AC为⊙O的直径.直径AC所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC.以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用 来表示,读作“弧AB”,优弧用 来表示,读作“弧ADB”.半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等. 能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧.3.等圆、等弧:3.长度相等的两条弧是等弧吗?为什么?1.直径是弦,弦是直径正确吗?直径是最长的弦吗?2.半圆是弧,弧是半圆正确吗?半圆是最长的弧吗?思考下列问题:6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦.[知识拓展] 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径.2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上.3.圆可以看做到定点的距离等于定长的点的集合.4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小.5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上.检测反馈1.下列说法:①直径不是弦;②半圆是弧,但弧不一定是半圆;③在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长;④长度相等的弧是等弧.其中正确的( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个解析:①直径不是弦,错误;②半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确;③在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长,正确;④能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定能重合,错误.故选B.B2.如图所示,在☉O中,弦的条数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.以上均不正确解析:观察可得,AB,BC,BD,CD都是☉O的弦.故选C.C 3.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,
∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD= .?解析:
∵∠BOC=110°,∠BOC+∠AOC=180°,∴∠AOC=70°,∵AD∥OC,OD=OA,∴∠D=∠A=70°,∴∠AOD=180°-2∠A=40°.故填40°.40°4.如图所示,O为圆心.
(1)写出图中所有的直径;
(2)写出图中所有的弦;
(3)写出以A为一个端点的所有弧.(2)弦有AB,AC,BD,BC.解:(1)直径有AC,BD.课件15张PPT。第二十八章 圆28.2 过三点的圆 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗?不在同一条直线上的三点确定一个圆动手操作,并思考回答:
1.作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?A(圆心和半径的位置不定,可以作出无数个圆)2.平面上有两点A,B,过点A,B的圆有多少个?这些圆的圆心到点A,B的距离具有怎样的关系?圆心是否在线段AB的垂直平分线上?(过两点A,B的圆有无数个,这些圆的圆心到点A,B的距离相等,它们的圆心在线段AB的垂直平分线上)AB3.平面上三点A,B,C不在一条直线上.过点A,B,C的圆是否存在?如果存在,这样的圆有多少个?你能确定经过A,B,C三点的圆的圆心及半径吗?(存在,只有一个,分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,圆心到其中一点的距离就是半径)ABC4.如果平面上三点A,B,C在一条直线上,经过A,B,C的圆是否存在?为什么?(不存在,因为线段AB,BC的垂直平分线平行,没有交点)做一做如图所示,过不在同一条直线上的三点A,B,C画圆.1.分别连接AB,BC;2.分别作出线段AB,BC的垂直平分线l1和l2,设它们的交点为O,则OA=OB=OC;3.以点O为圆心,OA(或OB,OC)为半径作圆,
则☉O即为所作的圆.结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆.l1l2(教材151页例)用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知:如图所示,△ABC.
求作:☉O,使它过三点A,B,C. 作法:如图所示.(1)分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2.设l1与l2相交于点O.l1l2我们把经过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心.O【思考】
1.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离有什么关系?2.钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的外心在什么位置?锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.[知识拓展] 1.经过同一条直线上的三个点不能作圆,要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同一直线上,故“过三点有且只有一个圆”这种说法是错误的.2.“确定”一词是指不仅能作出一个圆,而且只能作出一个圆,即“有且只有”的意思.3.任意一个三角形都有且只有一个外接圆.4.三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心,它还是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形各个顶点的距离相等.5.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.检测反馈1.下列说法正确的是 ( )
A.三点确定一个圆
B.任意的一个三角形一定有一个外接圆
C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D.任意一个圆有且只有一个内接三角形解析:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,所以A错;任意三角形的三个顶点不在同一条直线上,所以一定有一个外接圆,所以B正确;三角形的外心是三边垂直平分线的交点,所以C错;任意一个圆有无数个内接三角形,所以D错.故选B.B2.如图所示,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这4个点中的任意3个点,能画圆的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4解析:根据题意得出:点D,A,B;点D,A,C;点D,B,C可以确定一个圆.故过这四点中的任意3个点,能画圆的个数是3.故选C.C3.已知△ABC的一边长为10,另两边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根,若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖,则该圆形纸片的最小半径是 .?解析:解方程x2-14x+48=0,得x1=8,x2=6,即△ABC的三条边长为10,8,6.∵102=82+62,∴△ABC是直角三角形,圆形纸片将此三角形完全覆盖的最小圆为三角形的外接圆,那么圆形纸片的最小直径为直角三角形的斜边,即为10,那么半径为5.故填5.54.已知Rt△ABC的两直角边为a和b,且a,b是方程x2-3x+1=0的两根,求Rt△ABC的外接圆面积.解:∵两直角边a,b分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两根,∴a+b=3,a·b=1,∴c2=a2+b2=(a+b)2-2a·b=7,∵圆的半径r= c= ,∴Rt△ABC的外接圆的面积为πr2=π×
= π.课件18张PPT。第二十八章 圆28.3 圆心角和圆周角（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知(把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形与原图形重合,即圆有旋转不变性)知识准备1.圆是不是中心对称图形?对称中心是什么?(圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心)2.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起,绕圆心转动其中一个圆,你发现什么现象?圆心角定义圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.【思考】
1.如图所示,哪些角是圆心角?哪些角不是圆心角?(1)和(4)所示的∠AOB为☉O的圆心角,(2)和(3)所示的∠APB不是☉O的圆心角.2.如图所示,图中有几个圆心角?分别是什么?(三个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC)圆心角、弦、弧之间的关系如图所示,在☉O中,
∠AOB=∠COD.(1)猜想弦AB,CD以及 , 之间各个有怎样的关系;(2)请用图形的旋转说明你的猜想.在课前准备的圆形纸片上画出∠AOB旋转到∠COD的图.1.将∠AOB旋转到∠COD的位置,它能否与∠AOB完全重合?2.如果能重合,你会发现哪些等量关系?3.你能证明这些结论吗?4.在两个等圆中,如果圆心角∠AOB=∠A'O'B',如图所示,你能否得到相同的结论?5.你能用语言叙述上面的命题吗?定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.设∠AOC= ，将△AOB顺时针旋转 ，则AO与CO重合，BO与DO重合.
∴AB与CD重合， 与 重合.
∴AB=CD， = .
4.在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,那么其他两组量是否相等?【思考】1.在圆心角性质定理中,为什么要说“在同圆或等圆中”?能不能去掉?2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,能得到什么结论?3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,能得到什么结论?在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.即:在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.填空:如图所示,AB,CD是☉O的两条弦.即时练习(1)如果AB=CD,那么 , .?(3)如果∠AOB=∠COD,
那么 , .?(2)如果 = ,那么 , .?AB=CDAB=CD(教材154页例1)如图所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且
.求证CM=DN.证明:如图所示,连接OC,OD.，即+ = + .∴ = . ∴∠AOC=∠BOD.在Rt△CMO和Rt△DNO中,∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.检测反馈[知识拓展]
1.圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立.
2.利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.
3.圆心角的度数与所对弧的度数相等.1.在同圆或等圆中,如果 ,那么AB与CD的关系是 ( ) A.AB>CD B.AB=CD
C.ABA.51° B.56°
C.68° D.78°解析:∵ ，∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,
∴∠AEO=∠OAE,
∴∠AEO= ×(180°-78°)=51°.故选A.A3.如图所示,在☉O中, ,∠A=40°,则∠B= .?解析:∵ ,∴AB=AC,
∵∠A=40°,
∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°.故填70°.70°4.如图所示,在☉O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么 与 的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?解:(1)OE=OF.理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,
∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB= ∠AOB,
∠FOD= ∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.(2) ,AB=CD,∠AOB=∠COD,理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵OB=OD,OE=OF,
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AB=2BE,同理CD=2DF,∴AB=CD,,∠AOB=∠COD.课件17张PPT。第二十八章 圆28.3 圆心角和圆周角（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 左下图所示的是一圆柱形海洋馆,在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗( )观看窗内的海洋动物.右下图为海洋馆的横截面示意图.2.如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角(∠ADB和∠AEB)的主要特征是什么?他们和同学甲的视角(∠AOB)有什么关系?1.如右图所示,同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,则他的视角(∠ACB)是圆心角吗?他与甲的视角(∠AOB)有什么关系? 我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角．圆周角的概念·ABCO观察下列图形中的角都是圆周角吗?【图(1)中∠APB是圆周角,图(2)和图(3)中∠AQB,∠ARB不是圆周角,图(4)中的∠ASB是圆周角,而∠ASC不是圆周角】请画一个圆，在这圆上截取一段 ，并画出 所对的任意的两个圆周角∠APB和∠AQB ，用量角器量出这两个角的大小.这两个角具有什么关系？同弧所对的圆周角都相等.·PABO再分别量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你什么发现？如图，在⊙O中，AP为直径， ∠AOB和∠APB分别是 所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠APB的大小具有什么关系？说出你的理由.·POAB即 ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP．又∠AOB=∠OPB+∠OBP，∴∠AOB=2∠OPB， 如图，在⊙O中，当 所对的圆心角∠AOB与圆周角∠APB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？·POABDD·POABD连接PO并延长交☉O于点D,∵PD过圆心O,∴∠APD= ∠AOD,∠BPD= ∠BOD.∴∠BPD-∠APD= ∠BOD- ∠AOD.∴∠APB= ∠AOB.连接PO并延长交☉O于点D,∵PD过圆心O,∴∠APD= ∠AOD,∠BPD= ∠BOD.∴∠APD+∠BPD= ∠AOD+ ∠BOD.∴∠APB= ∠AOB.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(教材157页例2)如图所示,点A,B,C均在☉O上,∠OAB=46°.求∠ACB的度数.解:如图所示,连接OB.∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.∵∠OAB=46°,
∴∠AOB=180°-2∠OAB
=180°-2×46°=88°.∴∠ACB= ∠AOB=44°.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有什么关系？2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角吗?90°的圆周角所对
弦是直径吗？3.根据直径所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形的性质解决有关问题.[知识拓展] 1.定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的,故不能把“同一条弧”这一前提条件省略.2.计算圆周角时,常转化为计算同弧所对的圆心角解决.检测反馈1.如图所示,点A,B,C都在☉O上,若∠C=35°,则∠AOB的度数为 ( )
A.35° B.56°
C.65° D.70°解析:∠C与∠AOB是 所对的圆周角和圆心角,由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=2×35°=70°.故选D.D2.如图所示,△ABC的顶点A,B,C都在☉O上,∠OBC=25°,则∠A的度数为 ( )
A.70° B.65°
C.60° D.50°解析:∵OB=OC,∠OBC=25°,
∴∠OCB=∠OBC=25°,∴∠COB=180°-25°-25°=130°,
∴∠A= ∠COB= ×130°=65°.故选B.B3.如图所示,点A,B,C都在☉O上,如果
∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB= .?解析:由圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB,即∠AOB=2∠ACB,又因为∠AOB+∠ACB=84°,
所以2∠ACB+∠ACB=84°,解得∠ACB=28°.
故填28°.28°4.如图所示,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?解:BD=CD.理由如下:连接AD,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC,解析:在圆中,常作直径所对的圆周角,构造直角后利用三角形的性质求解.又∵AC=AB,∴△ABC是等腰三角形,
∴BD=CD.课件13张PPT。第二十八章 圆28.3 圆心角和圆周角（3） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图所示,甲、乙两名运动员分别在C,D两处,他们争论不休,都说在自己所在的位置对球门AB的张角大,如果你是教练,请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大,为什么?问题思考 如图所示,∠ACB与∠ADB分别为☉O上同一条弧AB所对的两个圆周角.
(1)∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系?
(2)试证明你的猜想.解:(1)∠ACB=∠ADB.(2)证明如下:连接OA,OB,如图所示,∵∠ACB= ∠AOB,
∠ADB= ∠AOB,∴∠ACB=∠ADB.结论:同弧所对的圆周角相等. 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.四边形的外接圆圆内接四边形的性质如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形.求证∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.证明:连接OB,OD.∵ 和 所对的圆心角之和为360°,∠BCD和∠BAD分别为 和 所对的圆周角,∴∠BCD+∠BAD=180.同理,∠ABC+∠ADC=180°.结论:圆内接四边形的对角互补. (教材160页例3)如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠BAD.[知识拓展] 1.圆周角定理包含两个独立的条件,可以分开使用,即“同弧或等弧所对的圆周角相等”以及“在同圆或等圆中,同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.2.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.3.圆内接四边形的外角等于它的内对角.4.圆内接四边形性质是解决有关角的计算和证明常用的结论.检测反馈1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于 ( )
A.16° B.32°
C.58° D.64°解析:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.∵∠ABD=58°,∴∠A=90°-∠ABD=32°,由同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=32°.故选B.B2.若ABCD为圆内接四边形,则下列选项可能成立的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶3∶4
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶2∶1∶4
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶3∶2解析:根据圆内接四边形对角互补,四个角度所占的份数满足对角和相等,只有选项B符合2+3=1+4,符合性质.故选B.B3.如图所示,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,则∠D= .?解析:∵圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,
∴∠D=180°-30°=150°.故填150°.150°4.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,
∠BCD=120°,BC=CD.
(1)求证CD∥AB;
(2)求S△ACD∶S△ABC的值.证明:(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∵∠BCD=120°,∴∠ACD=30°,∵四边形ADCB是圆内接四边形,∴∠DAB=180°-∠BCD=60°,∵BC=CD,∴弧BC=弧CD,∴∠DAC=∠BAC= ×60°=30°,∴∠B=90°-∠BAC=60°,∴∠B+∠BCD=180°,∴CD∥AB;解:(2)连接OC,OD,如图所示,
由(1)知∠DAC=30°,∴∠DOC=2∠DAC=60°,
∴△ODC为等边三角形,又∵∠B=60°,∴△OBC为等边三角形,∵AB∥CD,∴S△ADC=S△ODC,又∵S△OBC=S△ODC,∴S△ABC=2S△OBC,∴S△ACD∶S△ABC=1∶2.课件23张PPT。第二十八章 圆28.4 垂径定理 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)在自己课前准备的纸片上作图:1.任意作一条弦AB.2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,
∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:在☉O中,CD为直径,
CD⊥AB,∴AE=BE,垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】
(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗? 与 (或 与 )相等吗?说明你的理由.(2)若 = (或 = ),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.解:(1)CD⊥AB, (或 ).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.由垂径定理可得(2)CD⊥AB,AE=BE.理由是：∵ ,∴∠AOD=∠BOD,又∵OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO,∴∠AEO=∠BEO,AE=BE,∴CD⊥AB.追加思考:
(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB, 中的一项作为条件,则可得到另外两项结论. (教材164页例)如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.思考:
1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形)2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长)3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解)解:如图所示,连接OA.设☉O的半径为r.∵CD为☉O的直径,
AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=8,∴AE=BE=4.在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)解:如图所示,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与 相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D为AB的中点,C为 的中点,CD就是拱高.由题设可知,AB=37.4 m,CD=7.2 m,所以AD= AB= ×37.4=18.7(m),OD=OC-CD=R-7.2(m).在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m).
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.【思考】
1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?
2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?[知识拓展] 1.由垂径定理可以得到以下结论:
(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.
(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.检测反馈1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,
CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是
( )
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE
C.OE=BE D. 解析:由垂径定理可知B,D均成立;由△OCE≌△ODE可得A也成立.不一定成立的是OE=BE.故选C.C2.如图所示,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3解析:过点O作OC⊥AB于C,∵OC过点O,∴AC=BC= AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC= =5.故选B.B3.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P是AB上一动点,则线段OP的长的取值范围是 .?解析:当弦与OP垂直时,OP的值最小,连接OA,由勾股定理可得OP= =4;当点P与点A或点B重合时,OP的值最大,此时OP为☉O的半径5.故填4≤OP≤5.4≤OP≤54.如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D.
(1)若AB=8 cm,OC=5 cm,求CD的长;
(2)若OC=5 cm,OD=3 cm,求AB的长;
(3)若AB=8 cm,CD=2 cm,求☉O的半径.解:连接OA,则AO=OC.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.(1)∵OC⊥AB,∴AD= AB=4 cm,
在Rt△OAD中,OA=5 cm,OD= = =3(cm),∴CD=OC-OD=2 cm.(2)在Rt△OAD中,OA=5 cm,OD=3 cm,
AD= = =4(cm),∵OC⊥AB,∴AB=2AD=8 cm.(3)设☉O的半径为r cm,则OD=(r-2)cm,∵OC⊥AB,∴AD= AB=4 cm,在Rt△OAD中,OA2=DO2+AD2,∴r2=(r-2)2+42,解得r=5,
∴☉O的半径为5 cm.课件23张PPT。第二十八章 圆28.5 弧长和扇形面积的计算九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 在田径四百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯道的展直长度相同吗？ 一条弧和经过这条弧端点的两条
半径所组成的图形叫做扇形. ABOC 在⊙O中，由半径OA,OB和 所
构成的图形是扇形. 在⊙O中，由半径OA,OB和 所
构成的图形是扇形. 在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，
所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.弧长和扇形面积公式思考并回答下列问题:1.圆的周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧?(360°)2.在圆中每一个1°的圆心角所对的弧长之间有什么关系?(相等)3.1°的圆心角所对的弧长是多少?(周长的 )4.2°的圆心角所对的弧长又是多少呢?(周长的 )5.你能算出n°的圆心角所对的弧长是多少吗?（周长的 ） 6.已知一段弧所在圆的半径为r,圆心角
度数为n°,如何计算这段弧的长度?结论:在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长为:探究扇形的面积在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积为: S=比较扇形面积公式S= 和弧长公式，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？扇形的面积公式：(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇形的弧长).(教材168页例)如图所示,☉O的半径为10 cm.(1)如果∠AOB=100°,求 的长及扇形AOB的面积.(结果保留一位小数)
(2)已知 =25 cm,求∠BOC的度数.(结果精确到1°)解:(1)r=10 cm,∠AOB=100°,由弧长和扇形面积公式,得:所以 的长约为17.4 cm,扇形AOB的面积约为87.2 cm2.(2)r=10 cm, =25 cm,由弧长公式,得:所以∠BOC约为143°.圆锥的概念及其侧面积的计算自主学习教材第168页圆锥的有关概念.
【思考】
1.什么是圆锥的母线、圆锥的高?
2.圆锥的母线有几条?圆锥的母线、高、半径围成什么图形?
3.将圆锥的侧面展开,得到的平面图形是什么?
4.圆锥的侧面展开图的弧长、半径与圆锥的底面、母线长有什么关系?
5.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,你能求出圆锥的侧面展开图的面积吗?我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．lABC圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．母 线 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______因此圆锥的侧面积为________扇形的弧长为________， 圆锥的全面积为______ ．lor 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形．l做一做 已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π cm.如果用这个扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的侧面积是多少?解:设圆锥的母线长为l cm,由弧长公式可得: ，解得l=30.∴圆锥的侧面积S= ×20π×30=300π(cm2).[知识拓展] 1.圆心角为1°的弧长等于圆周长的 ,所以圆心角是n°的弧长l= ,其中n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.2.在弧长公式 中有三个量l,n,r,已知其中任意两个量,可以求出第三个量.3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a,高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个量的情况下求出第三个量.检测反馈1.已知一条弧的半径为9,弧长为8π,那么这条弧所对的圆心角为 ( )
A.200° B.160°
C.120° D.80°解析:∵弧长的公式l= ,∴ ,
解得n=160.故选B.B2.用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径为( )
A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm解析:设此圆锥的底面半径为r cm,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长,得2πr= ,r=10.故选A.A3.已知扇形的半径为3 cm,扇形的弧长为π cm,则该扇形的面积是 cm2(结果保留π),扇形的圆心角为 °.?解析:S扇形= = =1.5π(cm2),由弧长公式可得扇形的圆心角为 = 60.601.5π4.已知圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么圆锥侧面展开图中,扇形的圆心角大小为 .?解析:根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长,得 ,解得n=216.故填216°.216°5.如图(1)所示,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点E,交☉O于点C,D,OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论;
(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.解:(1)答案不唯一.如:根据垂径定理可以证明△CBE≌△DBE,得出BC=BD, 和 相等,所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=∠A;由直径所对的圆周角等于90°,可以得出△ABC是直角三角形,即BC⊥AC,进而得出OF∥BC;根据CE⊥BE,由勾股定理可以得出BC2=CE2+BE2.(2)如图(2)所示,连接CO,∠D=30°,根据同弧所对圆周角相等,得∠A=∠D,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴AB=2BC=2,∴S扇形AOC= .在Rt△AFO中,OF= ,
根据勾股定理,得AF= ,AC=2AF= ,
根据垂径定理有AF=CF,∵CO=AO,OF=OF,∴△AOF≌△COF,∴∠COF=∠AOF=60°,∴∠AOC=120°,∵S△AOC= AC×OF= ,∴阴影部分面积=S扇形AOC-S△AOC= .
