课件18张PPT。第二十三章 数据分析23.1 平均数与加权平均数(1) 九年级数学上 新课标 [冀教]张老师乘公交车上班,从家到学校有A,B两条路线可选择.对每条路线,各记录了10次路上花费的时间,依据数据绘制的统计图如图所示.根据图形提供的信息,你能判断哪条路线平均用时较少,哪条路线用时的波动较大吗?如何定量地描述平均用时及数据的波动情况?问题思考实际问题中平均数的计算某农科院为了寻找适合本地的优质高产小麦品种,将一块长方形试验田分成面积相等的9块,每块100 m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A,B两个品种的小麦.小麦产量如下表: (1)观察下图,哪个品种小麦的产量更高些?(3)如果只考虑产量这个因素,哪个品种更适合本地种植?(2)以100 m2为单位,如何比较A,B两个小麦品种的单位面积产量?5.通过计算,你认为哪个品种更适合本地种植?引导分析1.通过直观观察,你能得到哪个品种小麦的产量更高些吗?2.要比较哪个品种的产量高,我们通常通过计算什么值定量比较?3.如何求一组数据的平均值?4.你能求出A,B两个小麦品种的单位面积产量吗?B品种小麦的平均产量: ×(94+100+105+85)=96(kg).解:A品种小麦的平均产量: ×(95+93+82+90+100)=92(kg),就试验结果来看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植.
1.如果有n个数x1,x2,…,xn,你如何求它们的平均数?引导思考:2.每个数与平均数的差的和是多少?(一组数据中,每个数据与平均数的偏差总和为0)一般地,我们把n个数x1,x2,…,xn的和与n的比,叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记作 ,读作“x拔”,即
算数平均数(x1+…+xn). 因为 所以取平均数可以抵消各数据之间的差异.因此,平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”.从一批鸭蛋中任意取出20个,分别称得质量如下:
80 85 70 75 85 85 80 80 75 85
85 80 75 85 80 75 85 70 80 75做一做(1)整理数据,填写统计表. (2)求这20个鸭蛋的平均质量.
解:(1) ×(70×2+75×5+80×6+85×7)
=79.5(g).即这20个鸭蛋的平均质量是79.5 g.追问:当一组数据中某个数重复出现多次时,我们常怎样计算这组数据的平均数?(先整理数据,列出频数分布表,用简单方法计算平均数)大家谈谈小明和小亮分别是这样计算平均数的.小明的计算结果:
×(70+75+80+85)=77.5(g).小亮的计算结果: ×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).你认为他们谁的计算方法正确?请和同学交流你的看法.(小亮的计算方法是正确的.由于70,75,80,85出现的频数不同,它们对平均数的影响也不同,所以,频数对平均数起着权衡轻重的作用)归纳:
一组数据中某个数重复出现多次时,先整理数据,列出频数分布表,再用简单方法计算平均数.用计算器求平均数求“做一做”中20个数据的平均数的步骤(用A型计算器): 80 85 70 75 85 85 80 80 75 85
85 80 75 85 80 75 85 70 80 75MODE 2选择统计模式,进入一元统计状态Stat x 0输入第1个数据70,频数27 0 , 2 DATAn=2输入第2个数据75,频数5 7 5 , 5 DATAn=7输入第3个数据80,频数68 0 , 6 DATA输入第4个数据85,频数7显示统计结果8 5 , 7 DATARcl n=13n=20=79.5若要了解一组数据的平均水平,可计算这组数据的算术平均数,算术平均数与一组数据的每一个数据都有关系,当一个数据发生变化时,会影响整组数据的平均数,所以算术平均数的缺点是容易受个别特殊值的影响,有时不能代表一组数据的集中趋势.[知识拓展] 1.2015年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示:这组数据的平均数是 ( )
A.24 ℃ B.25 ℃
C.26 ℃ D.27 ℃解析:(27+27+24+25+28+28+23+26)
÷8=208÷8=26(℃).故选C.C2.在一次青年歌手大奖赛上,七位评委为某位歌手打出的分数如下(单位:分):
9.5,9.4,9.6,9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数是( )
A.9.2分 B.9.3分
C.9.4分 D.9.5分解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据是9.5,9.4,9.6,9.3,9.7,这五个数的平均数是9.5(分).故选D.D3.若8个数的平均数是11,还有12个数的平均数是12,则这20个数的平均数是 .?解析:这些数之和为8×11+12×12=232,故这些数的平均数是 =11.6.故填11.6.11.64.某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间,在所任教班级随机调查了10名学生,其统计数据如表:求这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间.解:×(4×2+3×4+2×2+1×1+0×1)
=2.5(小时).即这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是2.5小时.课件19张PPT。第二十三章 数据分析23.1 平均数与加权平均数（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]在一次数学考试中,八年级(1)班和(2)班的考生人数和平均成绩如下表:【问题】
1.表格中“86分”所反映的实际意义是什么?
2.求这两个班的平均成绩.加权平均数的概念 假期里,小红和小惠结伴去买菜,三次购买的西红柿价格和数量如下表:从平均价格看,谁买的西红柿要便宜些?≈2.67(元/千克),=3(元/千克).从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些.追加提问:1.有的同学认为每次购买单价相同,购买总量也相同,平均价格应该也一样,都是(4+3+2)÷3=3
(元/千克).这样解答是否正确?为什么?2.有的学生是这样思考的:购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均价格不一样,小红买的西红柿要便宜些.这样的想法正确吗?为什么?3.如果小红三次购买的数量分别为2,1,3,小惠三次购买的数量分别为1,3,2,她们购买的西红柿的平均价格分别是多少?4.通过上面的计算,小红和小惠每次购买西红柿的数量不同,所求的平均数是否相同?已知n个数x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn为一组正数,则把 叫做 n个数x1,x2,…,xn的加权平均数,w1,w2,…,wn分别叫做这n个数的权重,简称为权.
在“共同探究”中,加权平均数是多少?哪些数是权?(小红购买的西红柿平均价格约为2.67元/千克,它是数4,3,2的加权平均数,三个数的权分别为1,2,3)例1 某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼,规定体育科目学期成绩满分100分,其中平时表现(早操、课外体育活动)、期中考试和期末考试成绩按比例3∶2∶5计入学期总成绩.甲、乙两名同学的各项成绩如下:分别计算甲、乙的学期总成绩.解:三项成绩按3∶2∶5的比例确定,就是分别用3,2,5作为三项成绩的权,用加权平均数作为学期总成绩.甲的学期总成绩为
=89(分),乙的学期总成绩为=87(分).
1.分配的“权”不同,甲、乙二人的总成绩是否发生变化?
2.算术平均数和加权平均数的区别和联系是什么?联系:算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况.算术平均数与加权平均数的区别和联系:区别:由于权的不同导致结果不同,所以权的差异对结果有影响.做一做(1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次,名次是怎样的?某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制，两名选手的各项测试成绩如下表所示： (2)如果规定按专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩各占60%,20%,10%,10%计算总成绩,名次有什么变化?解:(1)甲、乙各项成绩的算术平均数分别为:=8.45(分),=8.65(分).比较算术平均数,乙排名第一,甲排名第二.(2)甲、乙的加权平均成绩分别为:=9.0×60%+8.5×20%+7.5×10%+8.8×10%=8.73(分),=8.0×60%+9.2×20%+8.4×10%+9.0×10%=8.38(分).比较加权平均数,甲排名第一,乙排名第二.2.按算术平均数排名和加权平均数排名有什么区别?提问:1.按照算术平均数和加权平均数的计算方法分别求平均数,对排名有影响吗?归纳:
按测试成绩的算术平均数排名次,实际上是将四项测试成绩同等看待.而按加权平均数排名次,则是对每项成绩分配不同的权,体现每项成绩的重要程度不同.如专业素质成绩的权重为60%,说明专业素质对主持人最重要.当各数据的重要程度不同时,一般采用加权平均数作为一组数据的代表值.2.算术平均数是加权平均数的一种特例.加权平均数的实质是考虑不同权重的平均数,当加权平均数的各项权相同时,就变成了算术平均数.[知识拓展] 1.数据中的“权”反映数据的相对“重要程度”,其表现形式有:数据所占的百分比、各个数据所占的比值,数据出现的次数.权越大,该数据所占的比重越大,反之则越小.1.学校生物兴趣小组11人到校外采集标本,其中有2人每人采集6件,4人每人采集3件,5人每人采集4件,则这个兴趣小组平均每人采集标本 ( )
A.3件 B.4件 C.5件 D.6件解析: =4(件),即这个兴趣小组平均每人采集标本4件.故选B.B 2.某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%,20%,30%的比例计入学期总评成绩,90分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩如下表(单位:分),学期总评成绩为优秀的是 ( )A.甲 B.乙、丙
C.甲、乙 D.甲、丙解析:由题意知,甲的总评成绩=90×50%+83×20%+95×30%=90.1(分),
乙的总评成绩=88×50%+90×20%+95×30%=90.5(分),
丙的总评成绩=90×50%+88×20%+90×30%=89.6(分),
∴甲、乙的学期总评成绩是优秀.故选C.C 3.某中学随机调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 .?解析:根据题意得(5×10+6×15+7×20+8×5)÷50=(50+90+140+
40)÷50=320÷50=6.4(小时).故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时.故填6.4小时.6.4小时4.某广告公司欲招广告策划人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行三项素质测试,它们的各项测试成绩如下表所示:请你用所学的统计知识解决下列问题.
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用?
(2)根据实际需要,公司将创新能力、综合知识、计算机操作三项测试的得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩,那么谁将被录用?解:(1)甲的平均成绩是 ×(72+50+88)=70(分),乙的平均成绩是 ×(85+74+45)=68(分),丙的平均成绩是 ×(67+70+67)=68(分),因为70>68=68, 所以候选人甲将被录用.因为75.875>68.125>65.75,
所以候选人乙将被录用.(2)甲的测试成绩是 =65.75(分),乙的测试成绩是 =75.875(分),丙的测试成绩是 =68.125(分),课件9张PPT。第二十三章 数据分析23.1 平均数与加权平均数（3） 九年级数学上 新课标 [冀教]4.任取五个小组,计算五个小组的平均分,与全班平均分进行比较.数学活动:
1.统计本小组内成员上次数学测验的成绩,并 计算平均分.2.各小组汇报本小组人数和平均分,并计算全班数学成绩的平均分.3.任取两个小组,计算两个小组的平均分,与全班平均分进行比较.【思考】 样本容量不同,得到的平均分是否相同?它们之间有什么关系?请全班同学目测黑板的宽度(单位:cm).记录每人的估测结果.做一做（1）全班分成6个小组,每个小组人数可以不等,各组计算本组估测数据的平均数；(2)汇总各组的人数及估测数据的平均数,将结果填入下面的表中，并计算全班同学估测的平均数；（3）实际测量黑板的宽度.【思考】
1.各小组的平均数波动大吗?全班平均数与测量结果的误差有多大?2.用哪个数作为黑板实际宽度的估计值误差可能较小?例2 从某学校九年级男生中,任意选出100人,分别测量他们的体重.将数据进行分组整理,结果如下表:计算这100名男生的平均体重.解:五组数据的组中值分别为47,53,59,65,71. ×(47×9+53×21+59×34+65×23+71×13)
=59.6.加权平均数为所以,这100名男生的平均体重约为59.6 kg.2.统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看成相应组中值的权.[知识拓展] 1.当所要考查的对象较多,或者对所考查的对象带有破坏性时,常用样本估计总体的方法获得对总体的认识,样本容量越大,样本对总体的估计也越精确.1.对一组数据进行整理,结果如下表:这组数据的平均数是 ( )
A.8 B.10 C.11 D.12解析:每组的组中值分别为5,15,所以平均数为(5×8+15×12)÷(8+12)=11.故选C.C 2.为提高居民的节水意识,向阳小区开展了以“建设节水型社区,保障用水安全”为主题的节水宣传活动,小莹同学积极参与小区的宣传活动,并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查,他在300户家庭中,随机调查了50户家庭5月份的用水量情况,结果如图所示.
(1)试估计该小区5月份用水量不高于12 t的户数占小区总户数的百分比;
(2)把图中每组用水量的值用该组的中间值来替代,估计该小区5月份的用水量.解:(1)根据题意得 ×100%=52%.
故估计该小区5月份用水量不高于12 t的户数占小区总户数的百分比是52%.(2)300×(3×6+9×20+15×12+21×7+27×5)÷50=3960(t).
故估计该小区5月份的用水量是3960吨.课件13张PPT。第二十三章 数据分析23.2 中位数和众数（1） 九年级数学上 新课标 [冀教] 王小龙毕业后去一家肯德基应聘工作,经理和他说我们这里工作人员收入很高,平均工资有2500元,王小龙参加工作后,过了一个月他拿到了900元的工资,觉得十分不满,他的工资水平远远低于2500元,于是找到了经理,王小龙认为自己受了欺骗,经理拿出工作人员的工资表如下.你认为经理是否骗人了?中位数与众数的概念及意义问题1
小琴的英语听力成绩一直很好,在六次测试中,前五次的得分(满分30分)分别为:28分,25分,27分,28分,30分.第六次测试时,因耳机出现故障只得了6分.如何评价小琴英语听力的实际水平呢?(1)用6个分数的平均数评价小琴英语听力的实际水平合理吗?(2)如果不合理,那么应该用哪个数作为评价结果呢?问题2
某班用无记名投票的方式选班长,5名候选人分别编为1号,2号,3号,4号,5号.投票结果如下表:在这个问题中,我们最关注的是什么?(1) 一般地,将n个数据按大小顺序排列,如果n为奇数,那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数;如果n为偶数,那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.如图所示,图(1)中5个数据的中位数为x3,图(2)中6个数据的中位数为 (x3+x4).一般地,把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数. 【思考】
1.中位数和众数是不是都是唯一的?2.如何求一组数据的中位数和众数?(中位数是唯一的,众数不一定是唯一的)(当数据的个数为n,n为奇数时,中位数是从小到大(或从大到小)排列的第 个数;当n为偶数时,中位数是从小到大(或从大到小)排列的第 个数与第 +1个数的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数) 例1 统计全班45名学生每天上学路上所用的时间.如果时间取最接近5的倍数的整数,那么整理后的数据如下表:求所用时间的平均数、中位数和众数.将这45个数据由小到大排序,第23个数据是20 min,所以中位数是20 min.所用时间出现最多的是15 min,所以众数是15 min.解:45个数据的平均数为 ×(5×2+10×6+15×14+20×12+25×8+30×3)=18(min).1.实验中学九年级一班十名同学进行定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:5,4,3,5,5,2,5,3,4,1,则这组数据的中位数、众数分别为 ( )
A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5解析:将这组数据重新排序为1,2,3,3,4,4,5,5,5,5,中位数是按从小到大排列后第5,6个数的平均数,为4.众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,这组数据中,出现次数最多的是5,故这组数据的众数为5.故选A.A 2.对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①这组数据的众数是3;②这组数据的众数与中位数的数值不等;③这组数据的中位数与平均数的数值相等;④这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:将这组数据从小到大排列为2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,共11个数,所以第6个数据是中位数,即中位数为3.数据3出现的次数最多,所以众数为3.平均数为(2+2+3+3+3+3+3+3+6+6+10)÷11=4,由此可知①正确,②③④均错误.故选A.A3.一组数据1,3,2,5,2,a的众数是a,这组数据的中位数是 .?解析:∵1,3,2,5,2,a的众数是a,∴a=2,将这组数据从小到大排列为1,2,2,2,3,5,中位数为2.故填2.24.一组数据按照从小到大排列为2,4,8,x,10,14.若这组数据的中位数为9,则这组数据的众数为 .?解析:由题意得(8+x)÷2=9,解得x=10,则这组数据中出现次数最多的是10,故众数为10.故填10.105.某中学初三(1)班篮球队有10名队员,在一次投篮训练中,这10名队员各投篮50次的进球情况如下表:针对这次训练,请解答下列问题:
(1)求这10名队员进球数的平均数、中位数和众数;
(2)求这支球队整体投篮命中率;
(3)若队员小华的投篮命中率为40%,请你分析一下小华在这支球队中的投篮水平.(3)虽然小华的命中率为40%,低于整体投篮命中率44%,但小华投50个球进了20个,大于中位数19个,事实上全队有6人低于这个水平,所以小华在这支队伍中的投篮水平为中等偏上.解:(1)平均数= ×(42+32+26+20+19×2+18+15×2+14)=22(个).中位数为19个.众数为19个和15个.(2)投篮命中率 = ×100%=44%.课件14张PPT。第二十三章 数据分析23.2 中位数和众数（2） 九年级数学上 新课标 [冀教] 在一次数学考试中,小英得了78分,全班共32人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,2个62分,1个30分,1个25分.小英计算出全班的平均分为77.4分,所以小英告诉妈妈说,自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”.3.若不能,你认为用哪个数据表示此次考试的平均水平更合适?为什么?【思考】1.小英对妈妈说的情况属实吗?你对此有何看法?2.平均分77.4分能客观地反映平均水平吗?某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量,结果如下表:(2)根据计算的统计量,销售定额定为多少比较合适?说明理由.(1)分别求销量数据的平均数、中位数和众数；解:(1)=600(件),(2)销售定额定为480件比较合适.
理由:定为中位数480件,有半数员工能完成定额,能调动员工的积极性.中位数为 =480(件),众数为500件. 取平均数、中位数和众数都是刻画一组数据集中趋势的方法,因为方法不同,所以得到的结论也可能不同.不同的方法没有对错之分,只是能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些.强调例2 某企业50名职工的月工资分为5个档次,分布情况如下表:(1)求月工资的平均数和中位数；
(2)企业经理关心哪个数?普通职工关心哪个数?解:(1)月工资的平均数为×(2500×6+3000×12+3500×18+4000×10+4500×4)=3440(元).50个数由小到大排列,最中间的两个数均为3500,所以中位数为3500元.(2)企业经理关心平均工资,知道平均工资就知道了工资总额.
普通职工关心中位数,知道了中位数,就知道自己工资水平大概的位置.平均数反映数据的一般水平,多用于比较或消除误差,是最常用的一个代表值中位数是一个中间位置量,常用于确定定额、制定标准等众数是出现次数最多的数据,反映民意调查等有集中倾向的结果能利用所有数据的信息,意义明确,计算方便,应用广泛较少受异常值的影响较少受异常值的影响当数据中有异常值时,平均数的代表性较差没有利用所有数据的信息众数可能不唯一或不存在,有时没有意义2.实际问题中求得的平均数、中位数和众数的单位与原数据的单位一致.[知识拓展] 1.平均数、中位数和众数都是描述一组数据的特征量,但最终选用哪一个量来描述这组数据,应结合实际情况来确定.1.某校为了丰富校园文化,举行了初中生书法大赛,决赛设置了6个获奖名额,共有11名选手进入决赛,选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛得分,要判断她能否获奖,只需知道这11名选手得分的 ( )
A.中位数 B.平均数
C.众数 D.加权平均数解析:11个不同的分数从小到大排序后,中位数及中位数之后共有6个数,故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了.故选A.A解析:了解这家公司员工的工资时,要全面了解大多数员工的工资水平,故最应该关注的数据是中位数.故选C.2.为了解某公司员工的年工资情况,小王随机调查了10位员工,其年工资(单位:万元)如下:3,3,3,4,5,5,6,6,8,20.下列统计量中,能合理反映该公司员工年工资水平的是 ( )
A.加权平均数 B.众数
C.中位数 D.平均数C解析:由于众数是出现次数最多的数,故店主最关注的统计量是众数.故填众数.3.一段时间内,鞋店为了解某品牌女鞋的销售情况,对各种尺码鞋的销量进行了统计分析,在“平均数”“中位数”“众数”等统计量中,店主最关注的统计量是 .?众数4.某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下:(3)假设你是营销部负责人,你会把每位营销人员的月销售额定为多少件?并说明理由.(1)这15位营销人员该月销售件数的中位数、众数分别是多少?(2)计算这15位营销人员该月销售件数的平均数;解:(1)表中的数据是按从大到小的顺序排列的,处于中间位置的是210,因而中位数是210件;210出现的次数最多,所以众数是210件.(2)平均数是: =320(件).(3)销售额定为210件合适些,因为210件既是中位数,又是众数,是大部分人能达到的定额.课件18张PPT。第二十三章 数据分析23.3 方差（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]3.如何计算一组数据的平均数、中位数和众数?知识复习1.表示一组数据的“集中趋势”的统计量有哪些?2.什么是平均数、中位数和众数?观察与思考甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛,每人各射10发子弹,成绩如图所示.(1)观察上图,甲、乙射击成绩的平均数、中位数各是多少?(两人射击成绩的平均数和中位数都是7环)(甲射击成绩波动较大,波动的大小反映射击的稳定性有差异)(2)甲、乙射击成绩的平均数是否相同?若相同,他们的射击水平就一样吗?(两人射击成绩的平均数相同,但并不能说明射击水平一定相同)(3)哪一组数据相对于其平均数波动较大?波动大小反映了什么?1.如何描述每个数据与平均数的偏差?3.如何防止正负偏差相互抵消?2.把所有的偏差直接相加能表示所有数据的总偏差吗?(不能,因为正负偏差会相互抵消,偏差总和为0)(将各偏差平方后再求和)4.如何消除数据个数的影响?(将各偏差平方后再求平均数)设n个数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,各个数据与平均数偏差的平方分别是偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即 思考4.方差为0的一组数据有什么特点?1.方差的取值范围是什么?2.如何求一组数据的方差?3.如何用方差的大小衡量离散程度的大小?5.你能通过求方差的方法,说明上述问题中哪个射击选手的成绩比较稳定吗?[(4-7)2+(5-7)2+2(6-7)2+3(7-7)2+
(8-7)2+2(10-7)2]=3.4,[(5-7)2+2(6-7)2+4(7-7)2+2(8-7)2+
(9-7)2]=1.2.因为,所以乙的射击成绩比甲的波动小,乙的成绩更稳定些.方差的值为非负数;当方差为0时,这组数据为相同的一组数值;当数据分布比较分散时,方差较大;当数据分布比较集中时,方差较小.因此,方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小.结论例1 利用计算器计算下列数据的平均数和方差.
(结果精确到0.01)
66 78 81 75 86 82解:(1)进入统计状态,选择一元统计.(2)输入数据.(3)显示结果.5.一组数据的每一个数据都变为原来的k倍,则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍.[知识拓展] 1.方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量.2.方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况.3.对于同类问题的两组数据,方差较大的波动较大,方差较小的波动较小.4.一组数据的每一个数据加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变.1.(2015·上海中考)下列统计量中,能表示一组数据波动程度的是 ( )
A.平均数 B.众数
C.方差 D.频率解析:表示一组数据波动大小的统计量是方差.故选C.C 2.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表:某同学分析上表后得出如下结论:
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同;
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);
③甲班成绩的波动比乙班大.
上述结论正确的是 ( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③A解析:∵ ,∴①正确;∵乙的中位数为151,甲的中位数为149,∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数,②正确;∵ ,∴甲班成绩的波动比乙班大,③正确.故选A.3.一名学生军训时连续射靶10次,命中的环数分别为4,7,8,6,8,5,9,10,7,6.则这名学生射击环数的方差是 .?解析:数据4,7,8,6,8,5,9,10,7,6的平均数==7,方差=(9+0+1+1+1+4+4+9+0+1)=3.故填3.34.某次射击练习,甲、乙二人各射靶5次,命中的环数如下表:那么射击比较稳定的是 .?解析:根据题意得=(7+8+6+8+6)÷5=7,=(9+5+6+7+8)÷5=7,[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2]=0.8，[(9-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2]=2,∵∴射击成绩比较稳定的是甲.故填甲.甲 5.已知两组数据:
甲:9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙:10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差,并说明数据波动的大小. ×(9.9+10.3+9.8+10.1+10.4+10+9.8+9.7)=10.×(10.2+10+9.5+10.3+10.5+9.6+9.8+10.1)=10.×[(9.9-10)2+(10.3-10)2+…+(9.7-10)2]×(0.01+0.09+…+0.09)= = ×0.44=0.055,×[(10.2-10)2+(10-10)2+…+(10.1-10)2]=×(0.04+0+…+0.01)=×0.84=0.105.因为 ,所以乙组数据比甲组数据波动大.课件15张PPT。第二十三章 数据分析23.3 方差（2） 九年级数学上 新课标 [冀教] 某校在甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中学生运动会跳远比赛,该校预先对这两名选手测试了10次,测试成绩如下表:(5)历届比赛表明,成绩达到610 cm就能打破纪录,你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛?(1)他们的平均成绩分别是多少?(2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点?(4)历届比赛表明,成绩达到596 cm就很可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛? 张老师乘公交车上班,从家到学校有A,B两条路线可选择,他做了一番试验.第一周(5个工作日)选择A路线,第二周(5个工作日)选择B路线,每天两趟,记录所用时间如下表:根据上表数据绘制的折线统计图如图所示.(1)从图形看,哪条路线平均用时少,哪条路线用时的波动大?(2)用计算器分别计算选择A,B两条路线所用时间的平均数和 方差.(3)如果某天上班可用时间只有40 min,应选择走哪条路线?(4)如果某天上班可用时间为50 min,又应选择走哪条路线? (1)从直观上看,A路线平均用时少,但用时的波动较大,说明A路线通行不顺畅.B路线的平均用时较多,但用时比较稳定,可能B路线较长,但通行较顺畅.(2)经计算得:(3)当上班可用时间只有40 min时,应选择走A路线,因为在10次记录中,B路线所有用时都超过40 min,而A路线有6次用时不超过40 min.(4)当上班可用时间为50 min时,应选择走B路线.由于 ,所以A路线平均用时少,但用时波动较大. 例2 测试甲、乙两个品牌的手表各50只,根据日走时误差数据绘制的统计图如图所示.从日走时误差角度比较这两个品牌手表的优劣.5.从日走时误差的绝对值不超过1 s的手表所占的百分比看,如何比较这两个品牌手表的优劣?【思考】1.通过什么统计量可以比较这两个品牌手表的优劣?2.如果甲、乙两个品牌的手表的日走时误差的平均数均为0,通过什么统计量比较手表的优劣?3.如何计算两种品牌手表的方差?4.如何用方差的大小比较手表的优劣? 解:经计算知,甲、乙两个品牌手表日走时误差的平均数均为0.两组数据的方差分别为:×[(-2) 2×5+(-1) 2×11+02×17+12×13+22×4]=1.2,×[(-3) 2×2+(-2) 2×6+(-1) 2×11+02×14+12×8+
22×6+32×3]=2.24.因为 ,所以从日走时误差方差的角度看,甲品牌优于乙品牌.从日走时误差的绝对值不超过1 s的手表所占的百分比看,甲品牌为82%,乙品牌为66%,甲品牌优于乙品牌.1.小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分),数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定,在进行统计分析时,老师需比较这两人5次数学成绩的 ( )
A.平均数 B.方差
C.众数 D.中位数解析:由于方差能反映数据的波动大小,故判断两人的数学成绩谁更稳定,应比较方差.故选B.B2.一城市准备选购1000株高度大约为2 m的某种风景树来进行街道绿化,有四个苗圃生产基地投标(单株树的价格都一样).采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度,得到的数据如下:请你帮采购小组出谋划策,应选购 ( )
A.甲苗圃的树苗 B.乙苗圃的树苗
C.丙苗圃的树苗 D.丁苗圃的树苗D解析:由 ,知甲、丁的方差小,波动小,树苗较整齐;又丁苗圃树苗的平均高度为2 m,大于甲苗圃树苗的平均高度,故应选择丁苗圃的树苗.故选D. 3.甲、乙、丙三台机床生产直径为60 mm的螺丝,为了检验产品质量,从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径,进行数据处理后,发现这三组数据的平均数都是60 mm,它们的方差依次为根据以上提供的信息,你认为生产螺丝质量最好的是 机床.?解析:因为 ,所以乙机床生产的螺丝质量最好.故填乙.乙4.下面是两天的每隔两个小时的气温数据(单位:℃).
8月20日:25,26,27,27,28,29,30,31,29,28,27,26.
8月21日:23,24,24,26,27,28,29,30,29,28,27,26.
(1)这两天的平均气温,哪一天高些?
(2)哪一天的气温变化较大?课件14张PPT。第二十三章 数据分析23.4 用样本估计总本 九年级数学上 新课标 [冀教] 从甲、乙两种农作物里各抽取10株苗,分别测得它们的苗高如下:(单位cm)
甲:9,10,11,12,7,13,10,8,12,8;
乙:8,13,12,11,10,12,7,7,9,11.
(1)分别算出甲、乙两种农作物苗高的平均值、中位数、众数和方差;
(2)哪种农作物苗长得比较整齐? 为了估计全校初中女生的平均身高,九年级(一)班8个课外学习小组采用随机抽样的方法,分别抽取容量为25和100的样本,样本平均数用 和 表示,结果(单位:cm)如下表:把得到的样本平均数标在数轴上,如图所示.(1)对容量相同的不同样本,算得的样本平均数相同吗?样本平均数有不确定性:相同的样本容量,不同样本的平均数一般也不相同. (2)观察上图,在两组样本平均数中,哪一组样本平均数的波动较小?这样体现了什么样的统计规律?(3)如果总体身高的平均数为160.0 cm,哪一组样本平均数整体上更接近160.0 cm? 样本平均数有稳定性:当样本容量较小时,差异可能还较大.但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变小,逐渐趋于稳定,且与总体的平均数比较接近. 在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数,同样的道理我们也用样本的方差估计总体的方差.追问: 什么样的实际问题中我们可以采用样本平均数、方差估计总体平均数、方差?有破坏性或总体数量较多时(3)规定当方差不超过0.05 mm2时,车床生产情况为正常.判断这台车床的生产情况是否正常. 例1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴,从某天加工的轴中随机抽取了10件,测得其直径(单位:mm)如下:
20.1 19.9 20.3 20.2 19.8
19.7 19.9 20.3 20.0 19.8(1)计算样本平均数和样本方差.(2)求总体平均数和总体方差的估计值.解:(1)样本平均数为 = ×(20.1+19.9+…+19.8)=20(mm).样本方差为s2= ×[(20.1-20)2+…+(19.8-20)2]
=0.042(mm2).(2)总体平均数和总体方差的估计值分别为 20 mm和0.042 mm2.(3)由于方差不超过0.05 mm2,所以可以认为车床的生产情况正常. 例2 一个苹果园,共有2000棵树龄相同的苹果树.为了估计今年苹果的总产量,任意选择了6棵苹果树,数出它们挂果的数量(单位:个)分别为:
260 340 280 420 360 380 根据往年的经验,平均每个苹果的质量约为250 g.试估计今年苹果园苹果的总产量.解:6棵苹果树平均挂果的数量为 ×(260+340+280+420+360+380)= 340(个).0.25×340=85(kg),6棵苹果树平均每棵的产量约为85 kg.由样本平均数估计总体平均数,2000棵苹果树平均每棵产量约为85 kg,总产量的估计值为85×2000=170000(kg).3.样本平均数估计总体平均数结果有不确定性,随着样本容量的增加,由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数.对方差也有相同的结论.[知识拓展] 1.用样本估计总体是统计的基本思想,而总体的平均数和方差是最重要的两个数字特征.在统计中,我们常用样本平均数(或方差)估计总体平均数(或方差).2.当调查的对象有破坏性或数量较大时,常采用样本估计总体的方法解决实际问题.1.某“中学生暑假环保小组”的同学,随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量,数据如下(单位:只):
6,5,7,8,7,5,8,10,5,9,利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约( )
A.2000只 B.14000只
C.21000只 D.98000只解析:
×(6+5+7+8+7+5+8+10+5+9)×2000=14000
(只).故选B.B2.从总体中抽取一个样本,计算出样本方差为2,可以估计总体方差 ( )
A.一定大于2 B.约等于2
C.一定等于2 D.与样本方差无关解析:在总体数目较多的条件下,通常选取一个样本,样本的情况大体可以反映总体的趋势.故选B.B3.某校九年级420名学生参加植树活动,随机调查了50名学生植树的数量,并根据数据绘制了如下条形统计图,请估计该校九年级学生此次植树活动约植树 棵.?解析:先计算50名学生的平均植树量,然后用样本的平均数估计总体的平均数即可:九年级共植树420× =1680(棵).故填1680.16804.为了了解某小区居民的用水情况,随机抽查了该小区10户家庭的月用水量,结果如下:(1)计算这10户家庭的平均月用水量;
(2)如果该小区有500户家庭,根据上面的计算结果估计该小区居民每月共用水多少吨.解:(1) =14(吨).
(2)14×500=7000(吨),
所以估计该小区居民每月共用水7000吨.
