课件21张PPT。第二十五章 图形的相似25.1 比例线段 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知2.已知线段a=3 cm,b=2 cm,则线段a,b的比是 .?1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项?知识准备观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?思考下列问题:(1)两条线段的比与它们的长度有关吗?(2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关?(3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗?(4)什么是成比例线段?(5)如何判断四条线段是成比例线段?(6)成比例线段中的四条线段是否有顺序?1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或 .例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,a∶b=2∶3.注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.比例的基本性质【思考】
1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么?特别地,如果 ,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.比例的基本性质如果 ,那么ad=bc.如果ad=bc,那么 (b,d≠0).比例的等比性质(1)由 ,可以得 = ;?(2)由 ,可以得到 = ;?(3)猜想:由 =…= (b+d+…+n≠0),可以得到 = ;?(4)你能证明你的猜想吗?..若 =…= (b+d+…+n≠0),
则 = .证明：若设 =…= ，则有a=kb，c=kd，…，m=kn．所以a+c+…+m=kb+kd+…+kn=k(b+d+…+n).因为b+d+…+n≠0,所以 =k， 即 = . 芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的0.618,就会给人以更为优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧!如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上.试着做做当 时,线段AC的长是多少?解:设AC=x,则BC=a-x. ∵ ，∴ , ∴建立关于x的方程解得 ∵AC为正数，∴AC= 在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足 ，
那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点, 称为黄金比.
每条线段上的黄金分割点都有两个. 如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.大家谈谈1.式子 也可以写成a:b=c:d，通常这里的a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项.知识拓展2.有时在 中，b=c，例如 ，这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项，此时b2(或c2)=ad.3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系.4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.5.在连等形式的比例式中（如 =…= ），常用设k法解决有关计算问题.6.黄金分割点将线段分成两部分，较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项，较长线段约等于这条线段的0.618倍.检测反馈 1．线段a，b，c，d成比例的是( )
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
B．a＝3，b＝4，c＝9，d＝12
C．a＝2，b＝6，c＝8，d＝9
D．a＝6，b＝9，c＝10，d＝12解析：在B中 ， ，所以 ，所以a，b，c，d成比例，故选B.B2.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝( ) -1 B.3 C.
D. -1或 3- 解析：由于C为线段AB的黄金分割点，则AC=2× = -1或AC=2-（ -1） =3- ．故选D.D3.(1)若4a＝5b，则a∶b＝__________； (2)若 ，则 = ________. 解析：根据比例的基本性质，∵4a=5b，则a：b=5：4（b≠0）；由 可设a=3k，b=4k，则 .故填5:4， . 5:44.在比例尺1∶6 000 000的地图上，量得南京到北京的距离是15 cm，这两地的实际距离是 km.解析：设两地的实际距离为xcm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺，
得 ，
解得x=90000000cm=900km，故填900.9005.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm;
（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm.解：（1） =2， =2，则 ，所以a、b、d、c成比例.(2)由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc,所以a,b,c,d四条线段不成比例.课件16张PPT。第二十五章 图形的相似25.2 平行线分线段成比例（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 如图，在课前准备的语文横格本上任意画两条直线，分别交横格线于A、B、C与D、E、F，你能得到线段AB与BC、DE与EF之间的数量关系吗？如图所示,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1, l2, l3所截,截得的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线l1, l2之间的距离为d1,平行线l2, l3之间的距离为d2. 与 相等吗?平行线分线段成比例 （1）在课前准备的距离相等的横格纸中，l1∥l2∥l3，任意作直线分别交横格线与A、B、C与D、E、F(如图所示），
则 = ， = ，即 .（2）在课前准备的距离相等的横格纸中，横格线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，任意作直线AE和A1E1(如图所示），
则 = ， = ，即 ； = ， = ，即 ；（3）在上图中，你还能得到其他的比例式吗？（4）如图，对于任意一组平行线l1∥l2∥l3，直线AC，DF被三条平行线截得的对应线段成比例吗？几何语言：
如图，当直线l1∥l2∥l3时， 则 . 基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.大家谈谈 如图，当直线l1∥l2∥l3时，直线AC、DF被三条平行线所截，交点为A、B、C、D、E、F，说出三组成比例的线段． 如图所示，直线l1∥l2∥l3时，你能得到对应线段成比例吗？(教材64页练习1题)如图所示,在正方形网格图中,每个正方形的边长均为1,若AB=BC,则DE和EF之间有什么关系?为什么?解:DE=EF.
理由如下: ∵AD∥BE∥CF，∴∵AB=BC，∴ ， ∴DE=EF.(教材64页练习2题)如图所示, l1∥l2∥l3,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长.解:∵l1∥l2∥l3,∴ .∵AB=3，BC=6，DE=2，∴ ， ∴EF=4.2.在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线所截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明平行线间的距离相等.[知识拓展] 1.平行线分线段成比例这个基本事实应用于平行线的图形中,用来直接判断线段成比例,或将线段的比转化为其他的线段的比.检测反馈1.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中错误的是 ( )
A. B. C. D.解析:∵AB∥CD∥EF,
∴ ， ， ， 故选项A、B、D正确； ∵AB//CD∥EF，∴ ， 故选项C错误.故选C.C解析:由平行线分线段成比例可得 ,所以 ,解得CE=6,所以AE=AC+CE=4+6=10.故选D.2.如图所示,已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,DF=4.5,BD=3,则AE等于 ( )
A.7 B.7.5
C.8 D.10D3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则BC= .?解析:∵l1∥l2∥l3,∴∵AB=3,DE=4,EF=2,∴ ,解得BC= . 故填 .4.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与直线AD,BE,CF分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=4,BC=5,DE=5,求DF的长.解:∵AD∥BE∥CF,∴ ，∴EF= ,∴DF=DE+EF=5+ 课件23张PPT。第二十五章 图形的相似25.2 平行线分线段成比例（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知2.平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些问题?复习准备1.平行线分线段成比例的基本事实如何叙述?(两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例)(证明线段成比例、求线段的长度等)平行线分线段成比例转化到三角形中l1l2l3l5l4l1l2l3l4l5l1l2l3l4l5l1l2l3l4l5l4l5l1l2l3l4l5l1l2l3EABDC AD AEACAB数学符号语言
∵ DE∥BC
∵ DE∥BC
数学符号语言数学符号语言推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例。推论的数学符号语言：平行于三角形一边的直线的性质 如图所示,在△ABC中,EF∥BC,EF与两边AB,AC分别相交于点E,F.
求证：思考（1）如何证明 ?
（由平行线分线段成比例的基本事实易得）（2）EF不在BC边上，用什么方法将EF转化到BC边上呢？
（过E作EG∥AC，交BC于点G)(3）你能证明 吗?
（由平行线分线段成比例的基本事实易得）(4)EF与CG存在什么关系? （5）你能写出 的证明过程吗？（6）尝试用语言叙述上述结论，并用几何语言表示你的结论.证明：∵EF∥BC，∴如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,则 ，∵EF∥BC，EG∥AC，∴∴ 平行于三角形的一边、并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．几何语言：如图，∵在△ABC中，EF∥BC， ；
② ；③ ；④ ；
⑤ .练习1.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.下列各式中正确的是 (填写序号).?〔答案〕 ②④②④∵AB=7,BD=3, BE=2,∴ BC= .2.如图，在△ABC中，DE∥AC, AB=7，BD=3，BE=2.求BC的长．解：∵DE∥AC，∴ ，2.在应用平行于三角形一边的直线的性质时,找准成比例线段,利用成比例线段可以求线段长度.[知识拓展] 1.将平行线分线段成比例这个基本事实转化到三角形中,用来直接判断三角形中线段成比例.检测反馈1.在△ABC中,E是AB的中点,EF∥BC交AC于F点,则下列结论成立的是 ( )
A.AE=AF B.AF∶AC=1∶2
C.AF∶FC=1∶2 D.BE=FC解析:∵EF∥BC,∴ ，∵AE=EB,
∴ ,∴ .故选B.B2.如图所示,在?ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则DB∶DF等于 ( )
A.3∶2 B.3∶1
C.1∶1 D.1∶2解析:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴ ,∵点E是边AD的中点,∴AE=DE= AD,∴ ,∴DB∶DF=3∶1.故选B.B3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若 ,
DE=2,则BC的长为 .?解析:∵DE∥BC,∴ ,又DE=2,∴ ,∴BC=6.故填6.64.如图所示,若DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求 的值.解:∵DE∥BC,∴ ， ∵DE=3 cm,BC=5 cm,∴课件19张PPT。第二十五章 图形的相似25.3 相似三角形 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?图片欣赏自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?1.什么是相似三角形、相似比?2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?3.如果相似比是1∶1,那么这两个三角形是什么关系?4.△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.几何表示:如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C. = = =k,即△ABC与△A'B'C'相似.△ABC与△A'B'C'的相似比为k.2.表示：△ABC与△相似记作“△ABC∽△”，读作“△ABC相似于△”.
注意：对应顶点写在对应的位置上.
3.相似比为1∶1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.4.△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是 .5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.几何语言:如上图所示,△A'B'C'∽△ABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', = = .大家谈谈:(全等三角形都是相似比为1∶1的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)1.两个直角三角形相似吗?(不一定相似)2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系? 例 如图所示,△AEF∽△ABC.
(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.
(2)求证EF∥BC.解:(1)∵△AEF∽△ABC,∴ 又∵AE=3，AB=5，EF=2.4，∴ (2)∵△AEF∽△ABC,
∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B．由平行线证明三角形相似 如图所示,EF∥BC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证△AEF∽△ABC.回答问题:
(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB, .(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)(2)你能证明这些角对应相等吗?(3)如何证明 ?(由平行线分线段成比例的基本事实易得)(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.(4)你能写出△AEF∽△ABC的证明过程吗?(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗? 证明：如图(1)，在△AEF和△ABC中， ∵EF//BC,∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
且 又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC.
同理可证其他两种情况． 平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似．几何语言：
∵在△ABC中，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.[知识拓展] 2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若△ABC∽△DEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F. 3.相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A″B″C″,那么△ABC∽△A″B″C″.4.符合平行线证明三角形相似的图形有两个，我们成为“A”字型和“X”字型，如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.检测反馈1.如图所示,△ADE∽△ACB,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是 ( )解析：∵△ADE∽△ACB，∠AED=∠B，∴ ，故选A.A2.如图，DE∥BC, , 则△ADE和△ABC的相似比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．2∶1 D．2∶3解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴△ADE和△ABC的相似比为 ， ∵ ，∴ = ，故填B.B3.若△ABC与△DEF的相似比是5∶3,则△DEF与△ABC的相似比是 .?解析:根据相似比的概念,可得△ABC与△DEF的相似比与△DEF与△ABC的相似比互为倒数,所以△DEF与△ABC的相似比是3∶5.故填3∶5.3∶54.如图，△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有三对相似三角形，分别是△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.5.如图所示,AB=AD,AC=AE,FG∥DE.求证△ABC∽△AFG.证明:∵AB=AD,
AC=AE,
∠BAC=∠DAE,∴△ABC≌△ADE,∴∠B=∠ADE,∴DE∥BC,∵FG//DE，∴FG∥BC,∴△ABC∽△AFG.课件13张PPT。第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示) ),这展示了他非凡的数学及科学才能.观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺，其中同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）.1.如图，这两个等腰直角三角形的三角板相似吗？说说理由．2.如图，这两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗？说说理由．3.如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？做一做如图所示,已知∠α,∠β.(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.
求证△ABC∽△A'B'C'.(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(由平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE)(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?(3)根据平行线能否证明△ADE与△ABC相似?(能)(4)根据已知条件△A'B'C'与△ADE是否全等?(由SAS可证得全等)证明:如图所示,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.∵∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'.∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴△ADE∽△ABC.∴ ， .∴又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∴△ABC∽△A'B'C'.相似三角形的判定定理 用数学符号表示这个定理:
在△ABC和△A'B'C'中，∵∠A=∠A',∠B=∠B',
∴△ABC∽△A'B'C'. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等的两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.[知识拓展] 1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:寻找另一组对应角相等.检测反馈解析:等腰三角形中110°角只能是顶角,顶角相等的等腰三角形的底角也相等,根据两角对应相等的两个三角形相似,可得两个三角形相似.故选B.1.有一个角等于110°的两个等腰三角形 ( )
A.全等 B.相似
C.既不相似也不全等 D.无法确定BB2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对解析:∵∠ACB=90°,
CD⊥AB,∴△ABC∽△ACD,△ACD∽△CBD,△ABC∽△CBD,∴有三对相似三角形.故选C.C3.如图所示,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若∠APD=60°,求CD的长.又∵∠ABP=∠PCD=60°,∴△ABP∽△PCD.解:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠PCD=60°,∴∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP,又∠APC=∠APD+∠CPD=60°+∠CPD,∴∠BAP=∠CPD.∴ ，即 . ∴CD= .课件14张PPT。第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若 ，CD=b,那么我们就可以计算内径的长.你知道其中的道理吗?问题思考动手操作、测量、比较:(1)画出△ABC和△A'B'C'使∠A'=∠A， = =2. (2)画出△ABC和△A'B'C',使∠A'=∠A， = =3. (3)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(4)由比较的结果,能断定△ABC和△A'B'C'相似吗?(5)若在△ABC和△A'B'C'中,
∠A'=∠A, = =k，△ABC和△ A'B'C'相似吗？
(6)根据上面的操作,你能猜想正确的结论吗?猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知:如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,=∠A=∠A'.
求证:△ABC∽△A'B'C'.证明:如图所示,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E.DE∵△ABC∽△ADE,∴ . ∵ ，
AD=A'B'，∴ .∴AE=A'C'.又∵∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形的判定定理如图所示,若∠A=∠A'.则△ABC∽△A'B'C'.例题 已知:在△ABC与△A'B'C'中,
∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=8 cm,
A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.
求证:△ABC∽△A'B'C'.证明：∵ ， ， ∴
∴△ABC∽△A'B'C'.又∵∠A=∠A'=60°,[知识拓展] 1.对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.3.在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.检测反馈1.在△ABC与△A'B'C'中,
AB∶AC=A'B'∶A'C',∠B=∠B', 则这两个三角形 ( )
A.相似,但不全等
B.相似
C.不相似
D.无法判定是否相似解析:因为∠B与∠B'不是AB与AC,A'B'与A'C'的夹角,所以不能确定这两个三角形是否相似.故选D.D 2.如图所示,线段AC,BD交于点O,由下列条件,不能得出△AOB与△DOC相似的是 ( )
A.OB∶OC=OA∶OD
B.OA∶OB=OD∶OC
C.OA∶OD=AB∶CD
D.AB∥CD解析:图中两三角形有一对对顶角相等,根据三角形相似的条件:A,B符合两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;D中AB∥CD,则有∠A=∠C,两角对应相等的两个三角形相似;C中的边不是夹着相等对应角的边,不符合.故选C.C3.如图所示,若AB2=AD·AC,则△ABC∽ .?解析:∵AB2=AD·AC,∴ ,又∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB.故填△ADB.△ADB4.如图所示,在△ABC中,D,E分别在AB,AC边上,且 ， BC=5,则DE= .?解析：∵ ，∠A=∠A ，∴△ABC∽△ADE， ∴ ，
∵BC=5 ,∴DE = ，故填 .5.如图所示，BE，CD相交于点A，若AD·AC=AE·AB，那么△ADE与△ABC相似吗？试说明理由.解：△ADE∽△ABC理由:∵AD·AC=AE·AB,∴又∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ABC.课件11张PPT。第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定（3） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图1所示，完工后小明想要确定图2的草坪是否和图纸中的三角形相似，你能帮帮他吗？ (1)分别画一个△ABC和△A'B'C',使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm;A'B'=3 cm,A'C'=5 cm,B'C'=4 cm.(2)比较△ABC与△A'B'C'各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?已知:如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,求证:△ABC∽△A'B'C'.证明:如图所示,在△ABC的边AB上截取AE=A‘B',过点E作EF∥BC,交AC于点F,则△ABC∽△AEF,EF在△A'B'C'和△AEF中,∵ ，且AE=A'B',∴又∵ ，∴AF=A'C',EF=B'C'.∴△AEF≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 几何语言：
∵∴△ABC∽△DEF 简单叙述：三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形的判定定理例3 已知:如图所示,在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中,∠B=∠B'=90°, .
求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.证明:设 =k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.根据勾股定理,得 ∴ = . ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.(一个锐角相等或两边对应成比例)追加提问1.你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?(平行线法、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等,三边对应成比例)2.我们可以用几种方法证明三角形相似?[知识拓展] 1.当已知条件中有三边时,可考虑用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.2.在应用本课时所学的相似三角形的判定定理时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.检测反馈1.若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,得到△A1B1C1,下列结论正确的是 ( )
A.△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B.△ABC与△A1B1C1不一定相似
C.△ABC与△A1B1C1的相似比为
D.△ABC与△A1B1C1的相似比为2解析:△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,则两个三角形的对应边成比例,且比值为 ,由三边对应成比例,两个三角形相似可得△ABC∽△A1B1C1,且相似比为 .故选C.C2.如图所示,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 ( )课件14张PPT。第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像A'B'的一半长?相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比.如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高,那么AD与A'D'的比与相似比之间有怎样的关系?【思考】
(1)图中的△ABD和△A'B'D'相似吗?如何证明?
(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与A'D'的比与相似比之间的关系吗?相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,
△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',∴∠ADB=∠A'D'B'=90°,∴△ADB∽△A'D'B'. ∴追加提问(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.猜想:AE和A'E ' 的比、AF和A'F ' 的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.
求证: . 证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B', . 又∵AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,∴BE= BC,B'E'= B'C',∴∴△ABE∽△A'B'E'.∴ 2.已知:如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.
求证:证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线,∴∠BAF= ∠BAC,∠B'A'F'= ∠B'A'C',∴∠BAF=∠B'A'F',∴△ABF∽△A'B'F'.∴检测反馈例1 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G, ,AD=15.求AG的长.思考:
(1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段?(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴ .又∵ ，AD=15，∴ ∴AG=9.【知识拓展】
相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等.检测反馈1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶8 D.1∶16解析:根据相似三角形的对应中线之比等于相似比,而相似比为相似三角形对应边的比,得对应中线之比等于1∶4.故选B.B解析:由已知可得两个相似三角形的相似比为8∶5,根据相似三角形的对应高的比、对应中线的比等于相似比可得它们的对应高的比是8∶5,对应中线的比是8∶5.
答案:8∶5 8∶52.两个相似三角形的最长边分别为8 cm和5 cm,它们的对应高的比是 ,对应中线的比是 .?8∶58∶53.任意连接三角形三边中点,所构成的三角形与原三角形对应边上的高的比是 .?解析:由三角形的中位线定理可得所构成的三角形三边与原三角形三边的比为1∶2,根据三边对应成比例的两个三角形相似可得这两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形对应高的比等于相似比可得对应边上的高的比是1∶2.故填1∶2.1∶2课件12张PPT。第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?根据图上标出的数据，回答下列问题：(3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?(4)你能证明猜想2的结论吗?(1)猜想1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?(2)你能证明猜想1的结论吗?(3)猜想2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?相似三角形的性质定理:
相似三角形的周长比等于相似比.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知:如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证: , 证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k,∴ , . ∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.∴(教材86页例2)如图所示,在△ABC中,
D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求:
(1)△DEF的周长与△ABC的周长之比.
(2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.解析 由三角形的中位线定理可以得到△DEF三边与△ABC三边之间的数量关系,根据相似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,可得结论.解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,且DE= AB,EF= BC,DF= AC.∴ ，△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.∴△DEF∽△ABC.∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2,[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.检测反馈1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个三角形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么它的周长由原来的3 cm变成 ( )
A.6 cm B.12 cm
C.24 cm D.48 cm解析:由已知可知两个三角形是相似三角形,相似比为1∶4,根据相似三角形的周长比等于相似比可得周长变为原来的4倍,即周长变为12 cm.故选B.B2.如图所示,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,且DE∥BC,如果BC=6 cm, ,那么△ADE的周长等于 cm,△ADE与四边形BCED的面积比为 .?解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴两个三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,∵等边三角形ABC中,BC=6 cm,∴△ABC的周长为18 cm,∵ ,∴△ADE的周长等于6 cm,△ADE与△ABC面积比等于1∶9,∴△ADE与四边形BCED的面积比为1∶8.61∶8解:设较大三角形的周长是3x,较小三角形的周长是2x,则3x-2x=25,解得x=25,那么较大三角形的周长是3x=75,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,得这两个三角形的面积比为4∶9.3.若两个相似三角形对应高的比为2∶3,它们周长的差是25,求较大三角形的周长及两个三角形的面积比.课件22张PPT。第二十五章 图形的相似25.6 相似三角形的应用（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约为230多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低. 在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰特斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”.这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度吗？(教材88页例1)如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,它的外径为a,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若 ，CD=b,则这个零件的内径为多少,零件的壁厚x又是多少?(用含a,b,m的代数式表示)引导分析:
1.通过阅读题目,将实际问题可以转化为什么数学问题? （在△OAB和△OCD中， ，CD=b，求AB和x.)2.由已知 ，能得到两个三角形相似吗？（根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得.)3.根据三角形相似,能得到和内径AB有关的比例式吗?（ ）4.根据以上比例式，能否求出内径AB的长？根据图形能否求出壁厚x的值？解:∵ ，∠COD=∠AOB，
∴△CDO∽△ABO.∴又∵CD=b，∴AB=mb，如图所示,在学校操场上,高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度,那么怎样测量和计算旗杆的高呢?请你设计一个测量高度的方案,说明理由.测量旗杆的高度测量的方法1.升降旗上有绳子,测量升降旗上的绳子长度算出旗杆的高度.2.根据太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质求出旗杆的高度.3.在旗杆和人之间水平放一面平面镜,移动平面镜的位置,使人在平面镜中能看到旗杆顶端,根据入射角等于反射角,利用相似三角形求出旗杆的高度.4.将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用相似三角形求出旗杆的高.
……用相似三角形可以求旗杆的高度,常用的方法有:1.同一时刻物高、影长及太阳光构成直角三角形.2.利用平面镜构造直角三角形. 在人与旗杆之间竖一根标杆,通过移动人的位置,使人眼C,标杆顶端E,旗杆顶端A,在同一直线上,只要测出人与标杆的距离,标杆与旗杆间距离即可． 思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行,请说明其中的道理.若标杆CD=2 m,标杆影子BD=3 m,旗杆影子BO=12 m,求旗杆的高.大刚设计的方案 如图所示,在阳光下的某一时刻,将一根标杆CD竖立在旗杆影子上,使标杆的影子BD落在旗杆影子BO上,且它们影子的顶端重合.这时,量一量CD,BD,BO的长,可得旗杆AO的长为解:由题意可得∠BDC=∠O=90°,∴CD∥AO,∴△BCD∽△BAO,∴∴ ∴AO=8.
∴旗杆AO的高为8m. 如图所示,这是大家都做过的“小孔成像”实验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为l.具有“小孔”的纸板放在什么位置时,蜡烛火焰的高度AB是它的像B'A'的高度的一半?做一做 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为4 m，测得OA为274 m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF.∴∴ =137(m). (4)检验并得出答案.[知识拓展]利用相似三角形进行测量的一般步骤:(1)利用平行线、标杆等构成相似三角形;(2)测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;(3)画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;检测反馈1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,如图所示,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为 ( )
A.10米 B.12米
C.15米 D.22.5米解析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. ∵ ，即 ，∴楼高=10米.故选A.C2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,阳光通过窗口在地面上留下的亮区MN=2 米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高度AB为 ( )
A. 米 B.3米
C.2米 D.1.5米解析：∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°,又∵∠C=90°，BC=1米,∴BN=2米，CN= 米, ∴CN：CM=BC：AC,∴ ,解得AC=3米,∴AB=AC-BC=2米．故选C．2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,阳光通过窗口在地面上留下的亮区MN=2 米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高度AB为 ( )
A. 米 B.3米
C.2米 D.1.5米C3.如图所示,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米远的A处,则小明的影子AM的长为 米.?解析:根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知，即解得AM=5m．则小明的影长为5米．故填5.5C课件15张PPT。第二十五章 图形的相似25.6 相似三角形的应用（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]如图所示,观察者的视线与标杆的顶端及旗杆的顶端在同一条直线上时,通过测量哪些数据可以求出旗杆的高度?如何计算?学 习 新 知1.如图所示,在一条小河的北岸A处有一古塔,南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离,请你设计测量方案,并给出计算结果.(1)如图所示,在河南岸取点B,使AB⊥BC,再取点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.BED(2)在河的南岸取D,E,使DE⊥AD,作BC∥DE,使BC与AD相交于点B,A,C,E在一条直线上.DEBBD(3)在河南岸取点B,D,使AB∥CD,BD与AC相交于点E.EBDE2.如图所示,小明给出的测量方案是否可行?若可行,请按他的测量方案和所得数据求出结果.从点C(观景台)沿正西方向走到点B,使点B恰好位于点A(古塔)的正南方向上,然后向南走到点E,再从点E向东走到点D,使得D,C,A三点恰在一条直线上,量得BE=40 m,ED=100 m,DC=48 m,
由此可计算AC的长。(教材91页例2)如图所示,△ABC为一块铁板余料,已知BC=120 mm,高AD=80 mm,要用这块余料裁出一个正方形材料,且使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形的边长应为多少毫米? 引导思考:
(1)图中△AHG与△ABC是否相似?为什么?(5)你能通过设未知数,利用方程思想求解图中正方形的边长吗?(2)相似三角形的对应高之间有什么性质?(3)图中△AHG与△ABC的高之间与正方形的边长有什么关系?(4)在求解几何计算题时,我们常用什么数学思想方法? 解:设裁出的正方形为EFGH,△ABC的高AD与HG交于点K,则AK为△AHG的高.∵HG∥EF,∴∠AHG=∠B.又∵∠BAC为公共角,∴△AHG∽△ABC.∴∵四边形EFGH为正方形,∴AK=AD-HG.∴设HG=x mm,则解得x=48.答:裁出的正方形的边长为48 mm.做一做 如图所示,为测量被障碍物隔开的A,B两点间的距离,分别在点A,B处竖立标杆,并寻找点O,通过观测,确定点C,使点O,C,A在一条直线上.如果测得OA的长是OC长的100倍,那么,接下来该怎样做,才能算出A,B两点间的距离?参考方案:在OB上确定点D,使OB=100OD,连接CD,则有△OCD∽△OAB,再测量出CD的长,于是AB=100CD.这样就可以算出A,B两点间的距离.[知识拓展] 利用相似三角形解决实际问题的关键是根据题意画出图形,将实际问题转化为数学问题,建立数学模型求解.检测反馈在河对岸边选定一个目标点A,在1.如图所示,为估算某河的宽度,近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于 ( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m解析:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴AB∥DC,∴△EAB∽△EDC,∴又∵BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,∴解得AB＝40（m）.故选B.B 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是 ( )
A.AB=24 m B.MN∥AB
C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2解析:∵M,N分别是AC,BC的中点,
∴MN∥AB,MN= AB.故选项B正确.
∵MN=12 m,∴AB=2MN=2×12=24(m).故选项A正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB.故选项C正确.∵M是AC的中点,
∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1.故选项D错误.故选D. 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是 ( )
A.AB=24 m B.MN∥AB
C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2D课件18张PPT。第二十五章 图形的相似25.7 相似多边形和图形的位似（1） 九年级数学上 新课标 [冀教]学 习 新 知欣赏图片:（1）汽车和它的模型 （2）大小不同的两个足球（3）大小不同的照片（4)国旗上大五角星与小五角星认识相似图形【思考1】 以上展示的图片之间有什么特点?它们的形状和大小有怎样的关系?结论:形状相同的图形叫做相似图形.【思考2】 全等图形一定是相似图形吗?相似图形一定全等吗?它们之间有什么关系?结论:全等图形是相似图形的一种特殊情况.全等图形一定相似,相似图形不一定全等.如图所示,在上、下两行的图形中,把你认为是相似图形的用线连起来.(4)相似图形是否可以看成其中一个图形是由另一个图形放大或缩小得到的?【思考】(1)相似图形的主要特征是什么?(2)如何判定两个图形是相似图形?(3)相似图形的大小是不是一定相等?结论:
相似图形的特征是:形状相同.两个图形的形状相同,则两个图形就是相似图形.相似图形的大小不一定相等,其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.相似多边形 如图所示,将四边形ABCD用2倍放大镜观察得到四边形A1B1C1D1,这两个四边形相似吗?这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系?1.在四边形ABCD及用2倍放大镜观察得到的四边形A1B1C1D1中,对应角之间的数量关系为:∠A ∠A1,∠B ∠B1,
∠C ∠C1,∠D ∠D1;?对应边之间的数量关系为 = ,
= , = , = ,
即 = = = .? 2.放大镜下的图形与原图形是否相似？两个图形的对应角、对应边之间有什么关系？(相似,对应角相等、对应边成比例)3.你能尝试给出相似多边形的定义吗？并尝试用几何语言表示出来.4.相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗？5.相似多边形的对应角、对应边有什么特点？用几何语言怎样表示？1.一般地,如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做它们的相似比. 几何语言(以四边形为例):如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1, = = = ，因此四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.观察与思考:
分别观察(1)和(2)中的两个多边形,先直观判断它们是不是相似多边形,再经过测量与计算,验证你的结论.(教材94页例)如图所示,五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,求C1D1的长和∠A的度数.思考:
(1)相似多边形的性质是什么?(2)相似五边形中,对应边AB与A1B1,CD与C1D1之间有什么关系?(3)在比例式中,已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出C1D1的长.(6)由五边形内角和定理,能否求出∠A的值?(4)根据相似多边形的性质,你能求出∠E的大小吗?(5)五边形的内角和是多少度?解:∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,∴，∠E=∠E1=145°.∵AB=15,A1B1=10,CD=21,∴ .解得C1D1=14.又∵∠B=130°,∠C=∠D=90°,∴∠A=(5-2)×180°-130°-145°-2×90°=85°.∴C1D1=14,∠A=85°.检测反馈[知识拓展] 1.所谓“形状相同”,就是与图形的大小、位置无关,与摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异,但也不能认为是“形状相同”.2.在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.3.相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.5.相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.4.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.1.下列四个命题:①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的菱形都相似,其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个检测反馈解析:所有的正方形的形状相同,所以③正确;直角三角形、等腰三角形、菱形的形状和内角有关,角度不同,图形的形状不同,所以所有的直角三角形、所有的等腰三角形、所有的菱形不一定相似.故选D.D2.下列关于相似多边形的叙述正确的是( )
A.对应边相等的多边形叫做相似多边形
B.多边形的边数不同时也可以相似
C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形
D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形解析:两个边数相同的多边形,满足对应边成比例、对应角相等的叫做相似多边形,两个条件缺一不可,所以A,C错误,D正确;边数不相等的多边形一定不相似,所以B错误.故选D.D解析:根据相似多边形对应边成比例得相似比为 ,所以长为1,2,3,4的各边对应的边长分别为 ,则周长为 +7=21.故选C.3.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最大边的长为7,则后一个五边形的周长为 ( )
A.27 B.25 C.21 D.18C4.如图所示,六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5 cm,EF=6 cm,CD与C'D'的比为1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的长及∠E'的度数.解:∵六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,∴ ，∠E'=∠E=125°.∴A'B'=3AB=15 cm,E'F'=3EF=18 cm.课件20张PPT。第二十五章 图形的相似25.7 相似多边形和图形的位似（2） 九年级数学上 新课标 [冀教]欣赏图片学 习 新 知如图所示,已知△ABC及△ABC外的一点O.请按如下步骤画出△A'B'C'.
(1)画射线OA,OB,OC.(2)分别在OA,OB,OC上截取点A',B',C',使OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC.(3)连接A'B',A'C',B'C',得△A'B'C'.A'c'B'【思考】
1.请你判断AB与A'B',AC与A'C',BC与B'C'的位置关系,并说明理由.2.△ABC与△A'B'C'相似吗?为什么?1.解:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.理由:∵OA=AA',OB=BB',
∴AB∥A'B',同理可得AC∥A'C',BC∥B'C'.2.解:相似.∵AB∥A'B',∴ ，同理可得 ， ，∴ ，∴△ABC∽△A'B'C'.如图所示,点O在四边形ABCD的内部,请按“一起探究”中的步骤画一个四边形A'B'C'D',使得四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似, =2,对应边互相平行,且经过每对对应点的直线相交于点O.1.“一起探究”中， 的值是多少？它与点O到点A与点A′的距离的比有什么关系？
（1:2，相等.)2.“一起探究”中的画图步骤有哪些?（画射线；确定点的位置；画出图形.)
3.若使四边形的对应边 =2，那么四边形内部点O到各顶点的距离比是多少？ （2:1） 4.你能在四边形内部画出符合条件的四边形吗？作法:(1)连接OA,OB,OC,OD;(2)分别在OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D';使得(3)顺次连接A',B',C',D',得四边形A'B'C'D'.A'B'C'D' 两个相似多边形的每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为位似中心,这时的相似比又称位似比.【思考】
(1)位似图形一定是相似图形吗?反之成立吗?
（位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形,位似图形是特殊的相似图形)(首先判断两个图形是相似图形,其次判断对应点的连线交于一点,最后判断对应边平行或在同一直线上)(2)如何判断两个图形是位似图形?(3)判断下列各组图形是不是位似图形.请说明理由.位似图形的性质(1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?(2)在各图中,对应点到位似中心的距离与两个图形的位似比有什么关系?(3)在各图中,两个图形中的对应线段有什么位置关系?3.位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.1.位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于位似比.如图所示,画出五边形ABCDE的位似五边形A'B'C'D'E',且使 =2.（1）位似图形在位似中心的同侧A'B'C'D'E'A'B'C'D'E'（2）位似图形在位似中心的异侧画位似图形的一般步骤:(1)确定位似中心;(2)过位似中心和已知图形的关键点作直线;(3)在直线上取图形关键点的对应点,使对应点与位似中心的距离比相等,且等于位似比.(4)顺次连接各对应点,得到所求图形.1.位似是一种具有特殊位置关系的相似.两个图形是位似图形,必定是相似图形,而两个图形是相似图形,不一定是位似图形.[知识拓展] 2.位似中心可以在两个图形内部,两个图形之间,两个图形的同一侧,也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.3.利用位似,可以将一个图形放大或缩小.4.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形位似.5.作位似图形时,要弄清位似比,即分清是已知图形与新图形的比,还是新图形与已知图形的比.6.一般情况下,作已知图形的位似图形的结果不唯一.检测反馈1.△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为 ( )
A.3∶1 B.1:3
C.1 :9 D.1 : 27解析:根据相似三角形的性质可得△ABC和△A'B'C'的相似比为1∶3,所以两三角形的对应边的比为1∶3.故选B.B2.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的位似比是1∶2,已知△ABC的周长是3,则△A'B'C'的周长是 .?解析:∵△ABC与△A'B'C'的位似比是1∶2,∴△ABC与△A'B'C'的周长比是1∶2,∴△A'B'C'的周长是6.故填6.63.如图(1)所示,在8×8的网格中建立直角坐标系,每个小方格的顶点叫做格点.△ABC的顶点都在格点上,坐标分别为A(1,1),B(4,1),C(3,2),以原点O为位似中心,在网格中作出△ABC的位似图形△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC的位似比是2∶1.解:所画图形如图(2)所示,其中△A'B'C'即为所求.A'B'C'
