冀教版九年级上册第25章 图形的相似 全章教案（习题含答案）
文档属性
| 名称 | 冀教版九年级上册第25章 图形的相似 全章教案（习题含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-25 14:27:44 | ||
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文档简介
第二十五章 图形的相似
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1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段,通过具体实例了解黄金分割.
2.掌握“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例”这个基本事实.
3.了解相似三角形的概念,探索相似三角形的性质.
4.理解并掌握相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的证明,并能应用判定定理解决问题.
5.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.
6.认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.
7.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.
8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
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1.通过观察、测量、验证平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力、合情推理及演绎推理能力.
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究知识的兴趣.
3.通过丰富的实例,经历探索相似三角形的判定、性质及应用的过程,进一步发展学生的空间观念,提高学生的数学思考能力和应用意识.
4.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的教学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
5.结合相似图形的性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证的能力.
6.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.
7.学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
8.通过对位似图形的概念及位似图形、位似变换的性质的探索,体验学习数学的快乐.
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1.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.
2.经历类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
3.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
4.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.
5.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
6.通过积极参加数学探究活动,在活动中使学生积累经验与成功体验,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活的密切联系.
7.使学生亲身经历和相似图形有关的概念、性质、判定及应用的探索,感受数学学习的应用性和挑战性.
/
前面学习了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几何图形的全等变换,“全等”和“相似”都是图形之间的一种变换,全等形是相似比为1的相似图形,所以本章相似形的学习,以全等形为基础,是全等形在边上的推广,比全等形更具有一般性,是前边学习图形的全等的拓展和发展.
本章内容主要是对三角形知识的进一步认识,是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形的.在全等三角形的基础上,总结出相似三角形的判定方法和性质,使学过的知识得到巩固和提高.在学习过程中,按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究.首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系,接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质,对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他性质和应用,最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形.本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.
在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设置了相似三角形应用举例,从不同角度为解决实际问题做出示范.
/
【重点】
1.相似三角形的判定与性质及应用判定和性质解决问题.
2.位似图形的性质及画法.
【难点】
1.相似三角形的判定定理的证明.
2.建立数学模型,应用相似三角形的性质解决实际问题.
/
1.初中数学从《全等三角形》开始,已经进入了推理证明阶段,本章的学习在已有的基础上继续进行必要的推理证明,本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是和三角形全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,因此推理论证的难度提高了,教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合,注意以具体问题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明.
2.让学生充分经历知识的形成过程,学生获得知识,必须建立在自己充分思考的基础上,因此,对于概念的教学,要创设好情境,为学生提供充足的素材,充分经历观察、比较、表达与交流等活动过程,使概念的建立过程成为学生头脑中自然的形成过程.对于定理和性质的教学,要充分利用教科书中的活动,让学生在操作、思考交流的过程中获得.现阶段的学生,积累了一定的数学活动经验,能够自主完成一些数学活动,教师要充分相信学生,支持和鼓励学生,并给予适当的指导和帮助.
3.学生通过前面对三角形、四边形等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题的思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,将研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比全等三角形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法,构建本章内容的基本线索,使他们对将要学习的内容做到心中有数.因此本章在教授相似三角形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明.
4.在教学中要重视相似三角形的应用,学习相似三角形的判定和性质,落脚点是利用图形的相似解决简单的实际问题,所以让学生充分经历“把实际问题抽象成数学问题——解决数学问题——对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程,使学生感悟数学建模思想,感受数学的价值,形成应用意识.
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25.1比例线段
1课时
25.2平行线分线段成比例
2课时
25.3相似三角形
1课时
25.4相似三角形的判定
3课时
25.5相似三角形的性质
2课时
25.6相似三角形的应用
2课时
25.7相似多边形和图形的位似
2课时
回顾与反思
1课时
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25.1 比例线段
/
/
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1.了解线段的比和成比例线段的概念,会求两线段的比.
2.理解并掌握比例的基本性质,结合实例了解黄金分割.
3.能利用比例的基本性质解决一些简单的问题.
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1.通过现实情境,进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和理解问题的能力.
2.通过观察、讨论、探究、归纳等数学活动,经历有关概念及性质的形成过程,获得成功感,培养学生学习数学的自信心.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.
4.通过师生共同探究,体会由特殊到一般、方程思想在数学中的应用.
/
1.培养学生的数学应用意识,体会数学与实际生活的联系.
2.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,激发学生的学习兴趣.
3.通过学习黄金分割,体会数学在实际生活中的应用,培养学生的美感.
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【重点】 比例线段及有关计算、黄金分割.
【难点】 应用比例的基本性质进行有关计算.
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【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P58~60.
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/
导入一:
【课件展示】 欣赏图片:
(1)汽车和它的模型:
/
(2)两张尺寸不同的花的照片:
/
[导入语] 生活中及几何图形中有许多这样形状相同、大小不同的图形,也就是相似形,它们有哪些判定方法、性质及应用就是我们这章要学习的内容,为了研究相似形,我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.
导入二:
【课件展示】 观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?
/
【师生活动】 教师引导学生直观观察得到结论,再观察思考形状相同的两个长方形的长和宽之间的关系怎样?
[导入语] 两个长方形的形状是否相同,与它们的长、宽比是否相等有关.为此,需要研究线段的比和成比例线段.
导入三:
复习提问:
1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项?
2.已知线段a=3 cm,b=2 cm,则线段a,b的比是 .?
【师生活动】 学生回忆小学内容作出回答,教师点评.
[设计意图] 通过形状相同的生活图片引出本章要探究的主要内容,激发学生学习本章内容的热情;以直观观察和计算长方形的长、宽的比判断两个长方形形状是否相同,引出本节课的课题,激发学生的求知欲;通过复习小学学过的有关比的概念,为本节课的学习做好铺垫.
/
[过渡语] 让我们一起探究线段的比和成比例线段的有关概念及性质吧!
共同探究一 线段的比、比例线段的概念
思路一
自主学习教材58页,思考下列问题:
(1)两条线段的比与它们的长度有关吗?
(2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关?
(3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗?
(4)什么是成比例线段?
(5)如何判断四条线段是成比例线段?
(6)成比例线段中的四条线段是否有顺序?
【师生活动】 学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,课件展示有关概念及注意事项.
【课件展示】
1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或
??
??
=
??
??
.
例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,a∶b=2∶3.
注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.
2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
??
??
=
??
??
,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.
注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.
思路二
教师引导分析:
(1)如果线段a=3 cm,b=20 mm,则线段a和b的比是 ,记作 .?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,教师对学生的展示作出回答,并强调易错点,不要忽略换算单位.
(2)线段a和b的长度分别为m和n,则线段a和b的比是 ,记作 或 .?
【师生活动】 学生回答,教师加以引导归纳.
(3)如果线段a=3 cm,b=6 cm,c=2 cm,b=4 cm,则线段a和b的比与线段c和d的比 ,即 .?
【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.
(4)如果线段a=3 cm,c=6 cm,b=2 cm,b=4 cm,则线段a和c的比与线段b和d的比 ,即 .?
【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,c,b,d叫做成比例线段.
(5)(3)和(4)中的成比例线段有什么区别?
【师生活动】 学生观察回答,教师点评,学生如有困难,教师要及时引导,归纳成比例线段概念中的四条线段是有顺序的.
(6)如何判断四条线段是否成比例?
(方法一:把四条线段按长短排列好,判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等;方法二:查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积)
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,对学生展示点评,鼓励学生用多种方法进行判断.
【课件展示】
1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或
??
??
=
??
??
.
例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,a∶b=2∶3.
注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.
2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
??
??
=
??
??
,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.
注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.
[设计意图] 学生在自主学习的基础上,教师提出的问题的引导下,层层深入地形成线段的比和成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为本章的后继学习做好铺垫.
共同探究二 比例的基本性质
[过渡语] 在数学中我们经常知道了它的概念后再研究它的性质,那么比例有什么基本性质呢?我们一起去探究.
【思考】
1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?
2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?
3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师给学生足够的时间讨论,在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师作出点评,并归纳比例的基本性质.
【课件展示】
比例的基本性质:
如果
??
??
=
??
??
,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么
??
??
=
??
??
(b,d≠0).
特别地,如果
??
??
=
??
??
,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.
[设计意图] 通过独立思考、合作交流、共同归纳等数学活动,探究比例的基本性质,实质是利用等式的基本性质将比例式变形,培养学生的合作意识,提高学生综合运用知识解决问题的能力.
共同探究三 比例的等比性质
教师引导分析:
(1)由
1
2
=
2
4
=
3
6
,可以得到
1+2+3
2+4+6
= ;?
(2)由
2
3
=
4
6
=
6
9
,可以得到
2+4+6
3+6+9
= ;?
(3)猜想:由
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),可以得到
??+??+…+??
??+??+…+??
= ;?
(4)你能证明你的猜想吗?
【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,如果学生对(4)的证明有困难,教师引导学生思考,根据结果肯定有约分的过程,变形实现约分的目的,引导发现a,c…,m与b,d…,n之间的关系,采用设k法证明.学生展示后教师点评,展示证明过程及结论.
【课件展示】
若
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),则
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
证明:若设
??
??
=
??
??
=…=
??
??
=k,则有a=kb,c=kd,…,m=kn.
所以a+c+…+m=kb+kd+…+kn=k(b+d+…+n).
因为b+d+…+n≠0,
所以
??+??+…+??
??+??+…+??
=k.
即
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
[设计意图] 通过计算、观察、猜想、验证等数学活动,探究比例的等比性质,让学生经历由特殊到一般的数学思想方法,在数学活动中,教师引导学生通过设k法完成性质的证明,提高学生分析问题、解决问题的能力及勇于挑战困难的精神.
共同探究四 黄金分割
[过渡语] 芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的0.618,就会给人以更为优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧!
欣赏图片:
/
【课件展示】
试着做做:
如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上.
/
当
????
????
=
????
????
时,线段AC的长是多少?
【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,对解决有困难的学生,教师引导利用方程思想求线段的长,小组代表板书解答过程,教师点评,规范解答格式.
(板书)
解:设AC=x,则BC=a-x.
∵
????
????
=
????
????
,∴
??
??
=
??-??
??
,
∴建立关于x的方程x2+ax-a2=0,
解得x=
-1±
5
2
a,
∵AC为正数,∴AC=
-1+
5
2
a≈0.618a.
归纳概念:
【课件展示】
在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足
????
????
=
????
????
.
那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,
????
????
称为黄金比.
每条线段上的黄金分割点都有两个.
[过渡语] 黄金分割具有艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.
/
/ 如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.
【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评.
[设计意图] 学生通过图片,感受生活中的美,激发学生学习黄金分割的兴趣,引导学生用一元二次方程求线段的黄金比,体会方程思想在解决几何问题时的应用,通过计算黄金分割点在上海东方明珠的哪个球体内,感受黄金分割在实际生活中的应用,体会数学来源于生活,又应用于生活.
[知识拓展]
1.式子
??
??
=
??
??
也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.
2.有时在
??
??
=
??
??
中,b=c,例如
4
6
=
6
9
,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad.
3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系.
4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.
5.在连等形式的比例式中/如
??
??
=
??
??
=…=
??
??
/,常用设k法解决有关计算问题.
6.黄金分割点将线段分成两部分,较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项,较长线段约等于这条线段的0.618.
/
1.线段的比:
成比例线段:
2.比例的基本性质:
如果
??
??
=
??
??
,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么
??
??
=
??
??
(b,d≠0).
3.比例的等比性质:
若
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),则
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
4.黄金分割:
/
1.线段a,b,c,d成比例的是 ( )
A.a=2,b=4,c=6,d=8
B.a=3,b=4,c=9,d=12
C.a=2,b=6,c=8,d=9
D.a=6,b=9,c=10,d=12
解析:在B中
??
??
=
3
4
,
??
??
=
9
12
=
3
4
,所以
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d成比例.故选B.
2.若点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于 ( )
A.
5
-1 B.3
5
C.
5
-1
2
D.
5
-1或3-
5
解析:由于C为线段AB的黄金分割点,所以AC=2×
5
-1
2
=
5
-1,或AC=2-(
5
-1)=3-
5
.故选D.
3.(1)若4a=5b(b≠0),则a∶b= ;?
(2)若
??
??
=
3
4
,则
??
??+2??
= .?
解析:根据比例的基本性质,∵4a=5b,∴a∶b=5∶4(b≠0);由
??
??
=
3
4
,可设a=3k,b=4k,则
??
??+2??
=
3??
3??+8??
=
3
11
.
答案:(1)5∶4 (2)
3
11
4.在比例尺为1∶6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15 cm,这两地的实际距离是 km.?
解析:设两地的实际距离为x cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得
1
6000000
=
15
??
,解得x=90000000,90000000 cm=900 km.故填900.
5.已知四条线段a,b,c,d的长度,判断它们是否成比例.
(1)a=16 cm,b=8 cm,c=10 cm,d=5 cm;
(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.
解:(1)
??
??
=2,
??
??
=2,则
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d成比例.
(2)由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc,所以a,b,c,d四条线段不成比例.
/
25.1 比例线段
共同探究一 线段的比、比例线段的概念
共同探究二 比例的基本性质
共同探究三 比例的等比性质
共同探究四 黄金分割
/
一、教材作业
【必做题】
教材第60页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第61页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.a=
2
,b=3,c=2,d=
3
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=
5
,c=2
3
,d=
15
D.a=2,b=3,c=4,d=1
2.若P是线段AB上一点,且
????
????
=
2
5
,则
????
????
等于 ( )
A.
7
5
B.
5
2
C.
2
7
D.
5
7
3.若ac=bd(a,b,c,d≠0),则下列各式一定成立的是 ( )
A.
??
??
=
??
??
B.
??+??
??
=
??+??
??
C.
??
2
??
2
=
??
??
D.
????
????
=
??
??
4.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是 ( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=
5
-1
2
AB
C.BM=
5
-1
2
AB D.AM≈0.618AB
5.若2x-5y=0,则y∶x= ,
??+??
??
= .?
6.已知
??
??
=
5
2
,则
??-??
??
= .?
7.现有三个数1,
2
,2,请你再添上一个数写出一个比例式: .?
8.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b-3c=14.
(1)求a,b,c;
(2)求4a-3b+c的值.
【能力提升】
9.如果x∶y∶z=1∶3∶5,那么
??+3??-??
??-3??+??
= .?
/
10.如图所示,已知线段AB.
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=
1
2
AB.
(2)连接AD,在DA上截取DE=DB.
(3)在AB上截取AC=AE.
请你根据以上作法,证明点C是线段AB的黄金分割点.
【拓展探究】
11.已知a,b,c为ΔABC的三边,且a+b+c=60 cm,a∶b∶c=3∶4∶5,求ΔABC的面积.
【答案与解析】
1.C(解析:C中
??
??
=
2
5
=
2
5
5
,
??
??
=
2
3
15
=
2
5
5
,所以
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d是成比例线段.故选C.)
2.A(解析:由
????
????
=
2
5
,可设AP=2k,PB=5k,则AB=AP+PB=7k,所以
????
????
=
7??
5??
=
7
5
.故选A.)
3.B(解析:由比例的基本性质可得
??
??
=
??
??
,故A错误;由比例的基本性质可得
??
??
=
??
??
,两边同时加1可得
??+??
??
=
??+??
??
,所以B正确;根据比例的基本性
质不能得到
??
2
??
2
=
??
??
,
????
????
=
??
??
,所以C,D错误.故选B.)
4.C(解析:∵AM>BM,∴AM是较长的线段,根据黄金分割的定义可知AB∶AM=AM∶BM,AM=
5
-1
2
AB,AM≈0.618AB.故选C.)
5.2∶5
7
5
(解析:由2x-5y=0,得2x=5y,由比例的基本性质可得y∶x=2∶5;等式两边都加1可得
??+??
??
=
7
5
.)
6.
3
2
(解析:由
??
??
=
5
2
,可设a=5k,b=2k,所以
??-??
??
=
5??-2??
2??
=
3
2
.故填
3
2
.)
7.
1
2
=
2
2
(解析:如
2
2
,1,
2
,2成比例;1
2
,
2
,2也成比例.答案不唯一.)
8.解:(1)设a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b-3c=14,∴4k+9k-6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4. (2)4a-3b+c=32-18+4=18.
9.-
5
3
(解析:设x=k,y=3k,z=5k,所以
??+3??-??
??-3??+??
=
??+3×3??-5??
??-3×3??+5??
=
5??
-3??
=-
5
3
.故填-
5
3
.)
10.证明:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在RtΔABD中,AD=
??
??
2
+??
??
2
=
5
a,所以AE=AD-DE=
5
a-a=(
5
-1)a,所以AC=AE=(
5
-1)a,即AC=
5
-1
2
AB,所以点C就是线段AB的黄金分割点.
11.解:∵a+b+c=60 cm,a∶b∶c=3∶4∶5,∴a=15 cm,b=20 cm,c=25 cm.∵152+202=252,∴ΔABC是直角三角形.∴ΔABC的面积为
1
2
×15×20=150(cm2).
/
/
在教学设计中,通过欣赏形状相同、大小不同的生活图片,激发学生对本章学习的兴趣,体会数学与生活息息相关,再以直观观察长方形的大小和形状是否相同,引出边之间的比,即线段的比和成比例线段的概念,学生很自然地走进本章、本节的学习,在本节课中,主要内容是有关概念和比例的基本性质,结合教学内容和各种活动,引导学生通过观察、思考、交流、展示、归纳等活动获得结论,让学生经历知识的形成过程,加深对概念和性质的理解和掌握,在教学中注意到了数学思想和方法的渗透,让学生体会到方程思想、由特殊到一般的数学思想方法在解决问题时的应用,教学各环节之间衔接紧凑,课堂上学生思维活跃,尤其学习黄金分割时,教学达到高潮.
/
本节课的内容是线段的比、成比例线段、比例的基本性质及黄金分割,内容看似简单,但在概念的形成过程中易错点较多,在探究等比性质时,学生不易想到用设k法解决,计算黄金比时又忽略方程思想的应用,所以在实际教学中学生探究并不容易,在学生遇到困难时,教师应及时引导,降低学生思考难度,侧重于探究活动后的归纳总结,另外学生在课堂前半部分,展示自己的热情不够,表现拘谨,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己的看法,作为教师在数学课上要尽量给他们表现的机会.
/
成比例线段及比例的基本性质是研究本章相似三角形的基础,以生活实例导入本章内容,以利用黄金分割解决实际问题结束本节课的学习,让学生感受数学在生活中的应用,激发学生的学习积极性,在教学设计中,对于简单的概念教学,通过自主学习,合作交流等数学活动完成,给学生充分展示自己的机会,既培养学生的自学能力,又能让各层次学生有成功的体验.在探究比例的基本性质及计算黄金比时,教师针对学生可能遇到的困难加以引导,降低学生探究的难度,在教学中渗透数学思想和方法,提高学生分析问题及解决问题的能力,培养勇于挑战困难的精神.
/
练习(教材第60页)
1.
??
??
??
??
2.解:设a,b的比例中项为x cm,则x2=a·b=4×9,解得x1=6,x2=-6(舍去).所以a,b的比例中项是6 cm.
3.提示:
??+??+??
??+??+??
=
2
3
.
习题(教材第60页)
A组
1.解:60 km=6000000 cm,设线段的长度是x cm,则
??
6000000
=
1
1000000
,解得x=6.答:线段的长度是6 cm.
2.提示:
????
????
=
1
2
,
????
????
=1,
????
????
=2.
3.提示:演员在表演时踮起脚尖,下半身与身高的比接近于黄金比,因此看起来更为优美.
B组
1.证明:(1)∵
??
??
=
??
??
,∴
??
??
+1=
??
??
+1,∴
??+??
??
=
??+??
??
. (2)∵
??
??
=
??
??
,∴
??
??
-1=
??
??
-1,∴
??-??
??
=
??-??
??
.
2.提示:比值相等;比值大约为
5
-1
2
(或0.618).
/
/
注重联系实际,激发学习兴趣
本节课的成比例线段、比例的基本性质是本章学习的基础,所以本节课的成比例线段起着承上启下的作用,我们的教学应该以人为本,关注学生、关注过程、关注发展,要体现这个理念,就要激发学生的学习兴趣,提高教学的有效性.在教学导入环节,让学生欣赏形状相同、大小不同的图片,感受数学与生活密切相关,在探究黄金分割时,展示众所周知的美的图片,激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,最后又以应用黄金分割知识解决上海东方明珠的问题,让学生更加感受数学来源于生活,又应用到生活中去,在整个教学设计中,学生带着兴趣学习,会收获更多的知识,享受更多的学习带来的快乐.
/
/
/ 如图所示,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长.
(2)求证AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?
解:(1)在RtΔAPD中,AP=1,AD=2,
由勾股定理知PD=
??
??
2
+??
??
2
=
4+1
=
5
,
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=
5
-1,
∴DM=AD-AM=3-
5
.
故AM的长为
5
-1,DM的长为3-
5
.
证明:(2)由(1)得AM2=(
5
-1)2=6-2
5
,
AD·DM=2×(3-
5
)=6-2
5
,
∴AM2=AD·DM.
解:(3)能.点M是AD的黄金分割点.
∵
????
????
=
5
-1
2
,
∴点M是AD的黄金分割点.
25.2 平行线分线段成比例
第/课时
/
/
/
1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实进行有关计算和证明.
/
通过应用平行线分线段成比例这一基本事实解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
/
1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力及直觉思维.
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究知识的兴趣.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】
1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实解决有关问题.
【难点】 探索平行线分线段成比例的过程.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).
/
/
导入一:
【课件展示】
如图所示,在课前准备的语文横格本上任意画两条直线,分别交横格线于A,B,C与D,E,F,你能得到线段AB与BC,DE与EF之间的数量关系吗?
/
【师生活动】 学生动手操作,作出猜想,独立思考如何证明两条线段相等,小组合作交流答案,教师对学生的展示点评.
[导入语] 两条直线被图中距离相等的三条平行线所截,截得的线段是相等的,如果三条平行线间的距离不相等,那么截得的线段之间有什么关系呢?这就是我们这节课要探究的内容.
导入二:
复习提问:
1.什么是成比例线段?
2.比例的基本性质是什么?
3.你能通过测量快速将一根绳子分成两部分,使得这两部分的比是2∶3吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的回答点评.
[设计意图] 通过在学生熟悉的横格纸上探究线段之间的数量关系导入新课,激发学生的学习兴趣,培养学生的动手操作及积极思考解决问题的能力,复习成比例线段的内容,为本节课的学习做好铺垫,同时通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望.
/
[过渡语] 两条直线被三条平行线所截,所得的线段之间有怎样的关系?这就是我们这节课要探究的内容.
一起探究 平行线分线段成比例
/
【课件展示】 如图所示,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,截得的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线l1,l2之间的距离为d1,平行线l2,l3之间的距离为d2.
????
????
与
????
????
相等吗?
思路一
/
(1)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1∥l2∥l3,任意作直线分别交横格线于A,B,C与D,E,F(如图所示),则
????
????
= ,
????
????
= ,即
????
????
?
????
????
.?
(2)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1∥l2∥l3∥l4∥l5,任意作直线AE和A1E1(如左下图所示),则
????
????
= ,
??
1
??
1
??
1
??
1
= ,即
????
????
?
??
1
??
1
??
1
??
1
;?
????
????
= ,
??
1
??
1
??
1
??
1
= ,即
????
????
?
??
1
??
1
??
1
??
1
.?
/
(3)在左上图中,你还能得到其他的比例式吗?
(4)如右上图所示,对于任意一组平行线l1∥l2∥l3,直线AC,DF被三条平行线截得的对应线段成比例吗?
(5)尝试用语言概括你得出的结论.
(一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比)
【师生活动】 学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
(6)你能证明你得到的结论吗?
师生互动:教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正确性,对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维.
【课件展示】
基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例.
几何语言:
/
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,
则
????
????
=
????
????
.
追加提问:
1.如何理解对应线段?
2.上图中,你还可以得到哪些对应线段?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段”成比例.
思路二
【课件展示】 如图所示,所有已知条件如前所述,结合下列条件回答:线段AB,BC之间具有什么关系?
????
????
等于多少?
????
????
与
????
????
相等吗?请说明理由.
(1)在图(1)中,d1∶d2=1∶2.
(2)在图(2)中,d1∶d2=2∶3.
/
【师生活动】
学生动手操作:分别度量图(1)和图(2)中的线段AB,BC,DE,EF的长度.
学生独立思考、小组合作交流下列问题.
(1)根据度量的长度,你得到哪些线段成比例关系?尝试写出来.
(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?
/
(3)猜想:如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线AC,DF被平行线所截,
????
????
与
????
????
相等吗?
(4)你能用语言概括你得到的结论吗?
(一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比,即两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例)
教师活动:学生活动中,教师帮助有困难的学生,学生展示后教师点评,师生共同归纳基本事实.
(5)你能证明你得到的结论吗?
【师生互动】 教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正确性,对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维.
【课件展示】
基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例.
几何语言:
/
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,
则
????
????
=
????
????
.
追加提问:
1.如何理解对应线段?
2.上图中,你还可以得到哪些对应线段?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段”成比例.
[设计意图] 通过动手操作,测量或计算得出对应线段的比的关系,然后做出猜想,证明其结论的正确性,让学生体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力及归纳总结能力,同时通过对基本事实的证明,培养学生逻辑思维能力.
大家谈谈
/
【课件展示】 如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,直线AC,DF被三条平行线所截,交点为A,B,C,D,E,F,说出三组成比例的线段.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助有困难的学生,对学生的回答点评、归纳,强调基本事实中线段之间的对应关系.
如
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
等.
拓展提问:
如图所示,直线l1∥l2∥l3时,你能得到对应线段成比例吗?
/
【师生活动】 学生独立完成回答,写出每个图中的其中一组比例式即可,教师根据学生的回答进行归纳总结.
[设计意图] 通过学生之间的小组合作交流,对基本事实进行认定和拓展,提高学生的发散性思维,培养学生之间的合作精神和合作意识.通过几种最具典型性和代表性的变式图形,深化了学生对基本事实的认识.
练一练
/
1.(教材64页练习1题)如图所示,在正方形网格图中,每个正方形的边长均为1,若AB=BC,则DE和EF之间有什么关系?为什么?
【师生活动】 学生独立思考,完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评并规范解答过程.
(板书)
解:DE=EF.
理由如下:
∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
.
/
∵AB=BC,∴
????
????
=1,
∴DE=EF.
2.(教材64页练习2题)如图所示,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长.
【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评、归纳并规范解答过程.
(板书)
解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,
∵AB=3,BC=6,DE=2,
∴
3
6
=
2
????
,
∴EF=4.
[设计意图] 通过练习,进一步掌握平行线分线段成比例这一基本事实,并归纳应用这一基本事实可以证明线段相等和计算线段的长度,规范学生的解题格式,培养严谨的学习态度.
[知识拓展]
1.平行线分线段成比例这个基本事实应用于平行线的图形中,用来直接判断线段成比例,或将线段的比转化为其他的线段的比.
2.在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线所截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明平行线间的距离相等.
/
1.平行线分线段成比例的基本事实.
语言叙述:
几何语言:
2.应用平行线分线段成比例的基本事实计算或证明.
/
1.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中错误的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
解析:∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,故选项A,B,D正确;∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,故选项C错误.故选C.
/
2.如图所示,已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,DF=4.5,BD=3,则AE等于 ( )
A.7 B.7.5 C.8 D.10
解析:由平行线分线段成比例可得
????
????
=
????
????
,所以
4
????
=
3
4.5
,解得CE=6,所以AE=AC+CE=4+6=10.故选D.
3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则BC= .?
解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=3,DE=4,EF=2,∴
3
????
=
4
2
,解得BC=
3
2
.故填
3
2
.
/
4.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与直线AD,BE,CF分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=4,BC=5,DE=5,求DF的长.
解:∵AD∥BE∥CF,
∴
????
????
=
????
????
,即
4
5
=
5
????
,
∴EF=
25
4
,
∴DF=DE+EF=5+
25
4
=
45
4
.
/
第1课时
一起探究 平行线分线段成比例
大家谈谈
练一练
/
一、教材作业
【必做题】
教材第64页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第65页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,直线l1∥l2∥l3,两直线AC和DF与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.下列各式中,不一定成立的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
/
2.如图所示,直线AB∥CD∥EF,若AC=3,CE=4,则
????
????
的值是 ( )
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
7
D.
4
7
3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及点D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则 ( )
A.BC∶DE=1∶2 B.BC∶DE=2∶3
C.BC·DE=8 D.BC·DE=6
/
4.如图所示,直线OM∥CD∥EF,若OE=7,CE=4,则
????
????
= .?
5.如图所示,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和点D,E,F,如果DE∶EF=3∶5,AC=24,则BC= .?
/
6.如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=4,BC=3,DF=6,则DE= .?
7.如图所示,梯形ABCD中,点E,F分别在AB,DC边上,AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,若FC=2.5,则CD= .?
/
8.如图所示,l1∥l2∥l3,且AB=2BC,DF=5,AG=4,求GF,AF,EF的长.
【能力提升】
9.如图所示,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.
/
【拓展探究】
10.如图所示,在ΔABC中,AF∶FC=1∶2,D是BF的中点,AD的延长线与BC交于点E,求BE∶EC的值.
【答案与解析】
1.C(解析:∵直线l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,∴A,B,D选项中的等式成立,C选项中的等式不一定成立.故选C.)
2.C(解析:∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,∵AC=3,
CE=4,∴
????
????
=
3
7
.故选C.)
3.D(解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=3,DE=4,EF=2,∴BC·DE=AB·EF=6.故选D.)
4.
3
7
(解析:∵OE=7,CE=4,∴OC=OE-CE=3,∵OM∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
=
3
7
.故填
3
7
.)
5.15(解析:∵AD∥BE∥CF,∴AB∶BC=DE∶EF=3∶5,∵AC=24,∴BC=24×
5
8
=15.故填15.)
6.
24
7
(解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=4,BC=3,DF=6,∴
4
7
=
????
6
,解得DE=
24
7
.故填
24
7
.)
7.7.5(解析:AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,∴
????
????
=
????
????
=
1
2
,∵FC=2.5,∴FD=5,∴CD=FC+FD=7.5.)
8.解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
????
????
,∵AB=2BC,∴AG=2GF,DE=2EF,∴AF=3GF,DF=3EF,∴GF=2,∴AF=4+2=6,EF=
5
3
.
9.解:∵l1∥l2∥l3,∴AB∶BC=DE∶EF,∵AB=3,BC=5,DF=12,∴3∶5=DE∶(12-DE),∴DE=4.5,∴EF=12-4.5=7.5.
/
10.解:如图所示,过点C作CM∥AE,过点F作AE的平行线交BC于点G.由平行线分线段成比例,可得
????
????
=
????
????
=
1
2
,又∵D是BF的中点,∴BD=DF,同理易得
????
????
=
????
????
=1,∴
????
????
=
????
????
=
????
????+????
=
1
3
.
/
/
本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并且能根据这一基本事实解决有关问题,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人.在教学设计中,通过学生动手操作,在横格纸上画直线,共同归纳平行线等分线段,导入新课,为本节课的学习做好铺垫,以导入为特例,让学生经历由特殊到一般的探究过程,做出猜想,给出证明,师生共同归纳平行线分线段成比例这一基本事实,学生经历知识的形成过程,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.
/
本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并能根据这一事实进行有关计算,内容较少,教学设计时想让学生经历由特殊到一般的探究过程,突出体现学生的主体意识,但老师引导不到位,学生在实践活动中不是很积极主动,教师对出现的问题处理得不是很清楚,学生对本节课的重点掌握不是很好,尤其是由平行线得到的几个比例式,学生模糊不清,在以后的教学中拓展部分应给学生足够的时间讨论、交流.
/
本节课的重点是让学生经历探究平行线分线段成比例这一基本事实的过程,在教学设计中,通过学生动手操作、测量、比较,在特殊情况下得到线段成比例这一结论,然后做出猜想,学生通过互相交流给出证明过程,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,通过证明猜想,提高学生逻辑思维能力,最后师生共同归纳这一基本事实,在教学设计中注重学生课堂学习的参与度,给学生更大的活动空间,达到提高学生学习能力的目的.
/
练习(教材第64页)
1.解:DE=EF.理由如下:由题可知
????
????
=
????
????
.∵AB=BC,∴
????
????
=
????
????
=1,∴DE=EF.
2.解:因为l1∥l2∥l3,所以
????
????
=
????
????
,因为AB=3,BC=6,DE=2,所以EF=4.
习题(教材第64页)
A组
1.③⑤
2.证明:∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
=k,∴DE=kEF.
B组
1.证明:(1)∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
.∴
????+????
????
=
????+????
????
,即
????
????
=
????
????
,∴
????
????
=
????
????
.
(2)由(1)知
????
????
=
????
????
,即
????-????
????
=
????-????
????
,即1-
????
????
=1-
????
????
,∴
????
????
=
????
????
.
2.解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,则DF=
????
????
·DE=
????
????-????
·DE=
??
??-??
·c=
????
??-??
.
/
/
重视知识形成过程 培养学生学习能力
本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实,难点是这一基本事实的探究过程,在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华.
/
/
/ (2015·眉山中考)如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
〔解析〕 ∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴
1
3
=
2
????
,解得EF=6.故选C.
第/课时
/
/
/
1.掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”.
2.掌握“平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例”.
3.能应用平行于三角形一边的直线的性质进行有关计算和证明.
/
1.通过平行线分线段成比例这一基本事实到三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.
2.通过应用平行于三角形一边的直线的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
/
1.通过探究平行于三角形一边的直线的性质,体会事物之间的普遍联系,感受探索知识的乐趣.
2.培养学生积极思考、动手、观察的能力,感悟几何知识在生活中的应用价值.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】 平行于三角形一边的直线的性质.
【难点】 探索平行于三角形一边的直线的性质的过程.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P65~67.
/
/
导入一:
复习提问:
1.平行线分线段成比例的基本事实如何叙述?
(两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例)
2.平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些问题?
(证明线段成比例、求线段的长度等)
导入二:
动手操作:
1.在平面上任意画三条平行线,再画两条与平行线相交的直线,根据这两条直线与平行线的交点位置,你能画出几种不同的情况?
2.标出交点,写出对应的比例式.
【师生活动】 学生动手画图,写出相应的比例式,小组内交流答案,小组代表把不同的情况画在黑板上,教师在巡视中及时提醒和帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
3.教师引导学生观察学生展示中的图形(如图所示),直线l1∥l2∥l3时,你能得到对应线段成比例吗?
/
【师生活动】 学生独立回答问题,教师对学生的回答进行点评,并以此导入新课.
[导入语] 在平行线分线段成比例的基本事实中,当两条直线相交于一点时,基本事实仍然成立.由此,我们可以将这个基本事实运用于三角形中.这就是我们这节课要学习的内容.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师提示学生应用导入一的结论解决问题2,教师对学生的回答进行点评.
[设计意图] 通过复习上节课的平行线分线段成比例,为本节课探究平行于三角形一边的直线的性质做好铺垫;通过动手操作,培养学生动手操作能力和数学发散性思维,激发学生的学习兴趣,观察学生画出的图形中的两个特殊图形,很自然地将学生带入本节课的探究活动中.
/
[过渡语] 让我们一起探究平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的应用吧!
一起探究一 平行线分线段成比例转化到三角形中
思路一
活动一:
【课件展示】
如图所示,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,动画演示图(2)(3),能根据平行线分线段成比例这一基本事实写出相对应的比例式.
/
教师活动:教师动画演示,将上图(1)中的直线移动到图(2)和(3)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例这一基本事实仍然成立.
活动二:
动手操作:
将刚才得到的图(2)和图(3)中多余的线擦掉,观察图形(如下图所示)及得到的成比例线段,结合图形,写出得到的结论.
/
(如图所示,ΔABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,则
????
????
=
????
????
)
【思考】
1.你能用语言叙述这一结论吗?
2.怎样用几何语言描述这一结论?
【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
几何语言:
如上图所示,DE∥BC,则
????
????
=
????
????
.
思路二
活动一:
【课件展示】 如图所示,直线EF平行于ΔABC的边BC,与BA,CA(或它们的延长线)分别相交于点E,F.求证
????
????
=
????
????
.
/
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师引导学生应用上节课的平行线分线段成比例这一基本事实证明,小组代表板书过程,教师点评,规范解答格式.
【课件展示】
证明:过点A作PQ∥EF,那么PQ∥EF∥BC.
依据平行线分线段成比例的基本事实,
即得
????
????
=
????
????
.
所以
????
????
=
????
????
,
????
????
+1=
????
????
+1,
????+????
????
=
????+????
????
,
????
????
=
????
????
,
即
????
????
=
????
????
.
对于图(2)的情形,同理可得.
/
活动二:
【思考】
1.你能用语言叙述这一结论吗?
2.用几何语言如何描述这一结论?
【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
几何语言:
如上图所示,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 通过动画演示或动手操作,将平行线分线段成比例的基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,体会数学中的转化思想和数形结合思想在几何中的应用,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力,严格的证明提高了学生的逻辑思维能力及严谨的学习态度.
一起探究二 平行于三角形一边的直线的性质
/
【课件展示】 如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,EF与两边AB,AC分别相交于点E,F.
求证
????
????
=
????
????
=
????
????
.
思路一
教师引导回答问题:
(1)如何证明
????
????
=
????
????
?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(2)EF不在BC边上,用什么方法将EF转化到BC边上呢?
(过E作EG∥AC,交BC于点G)
(3)你能证明
????
????
=
????
????
吗?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(4)EF与CG存在什么关系?
(5)你能写出
????
????
=
????
????
=
????
????
的证明过程吗?
(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.
【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书进行点评,规范书写过程.
/
证明:∵EF∥BC,
∴
????
????
=
????
????
.
如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,
则
????
????
=
????
????
.
∵EF∥BC,EG∥AC,
∴四边形EGCF为平行四边形,从而GC=EF.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
【课件展示】
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
/
几何语言:
如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,加深对平行于三角形一边的直线的性质的理解和掌握.
思路二
【师生活动】 教师引导学生如何将EF转化到BC边上,师生共同分析作出辅助线:过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,然后学生独立思考,小组合作交流,分析证明思路,独立完成证明过程,小组代表板书,教师点评并规范书写格式.
(板书)
/
证明:∵EF∥BC,
∴
????
????
=
????
????
.
如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,
则
????
????
=
????
????
.
∵EF∥BC,EG∥AC,
∴四边形EGCF为平行四边形,从而GC=EF.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
追问:
(1)你能用语言叙述上述这个结论吗?
(2)用几何语言表示这个结论.
【师生活动】 学生尝试回答,其他学生补充,教师点评,师生共同归纳结论,教师规范几何语言.
【课件展示】
/
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
几何语言:
如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 在教师的引导下,学生通过小组合作交流,共同探究证明思路,培养学生的合作意识及归纳总结能力,提高学生分析问题的能力,加深对平行于三角形一边的直线的性质的理解和掌握.通过追加提问,让学生体会数学符号语言与语言叙述之间的转化,培养学生的符号感.
练习:
【课件展示】
/
1.如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,EF∥AB.下列各式中正确的是 (填写序号).?
①
????
????
=
????
????
;②
????
????
=
????
????
;③
????
????
=
????
????
;④
????
????
=
????
????
;⑤
????
????
=
????
????
.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评,强调易错点.
〔答案〕 ②④
/
2.如图所示,在ΔABC中,DE∥AC,AB=7,BD=3,BE=2.求BC的长.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书,教师对学生的展示进行点评,规范书写格式.
(板书)
解:∵DE∥AC,∴
????
????
=
????
????
,
∵AB=7,BD=3,BE=2,
∴BC=
14
3
.
[设计意图] 通过练习,进一步理解和掌握平行于三角形一边的直线的性质,提高学生应用性质解决有关问题的能力,培养学生的合作意识及严谨的学习态度.
[知识拓展]
1.将平行线分线段成比例这个基本事实转化到三角形中,用来直接判断三角形中线段成比例.
2.在应用平行于三角形一边的直线的性质时,找准成比例线段,利用成比例线段可以求线段长度.
/
1.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
3.平行于三角形一边的直线的性质的有关应用.
/
1.在ΔABC中,E是AB的中点,EF∥BC交AC于F点,则下列结论成立的是 ( )
A.AE=AF B.AF∶AC=1∶2
C.AF∶FC=1∶2 D.BE=FC
解析:∵EF∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∵AE=EB,∴
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
2
.故选B.
/
2.如图所示,在?ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则DB∶DF等于 ( )
A.3∶2 B.3∶1
C.1∶1 D.1∶2
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴
????
????
=
????
????
,∵点E是边AD的中点,∴AE=DE=
1
2
AD,∴
????
????
=
1
2
,∴DB∶DF=3∶1.故选B.
3.如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,若
????
????
=
1
3
,DE=2,则BC的长为 .?
解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
=
1
3
,又DE=2,∴
2
????
=
1
3
,∴BC=6.故填6.
/
4.如图所示,若DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求
????
????
的值.
解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,
∵DE=3 cm,BC=5 cm,
∴
????
????
=
3
5
,∴
????
????
=
3
8
.
/
第2课时
一起探究一 平行线分线段成比例转化到三角形中
一起探究二 平行于三角形一边的直线的性质
/
一、教材作业
【必做题】
教材第67页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第68页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·成都中考)如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
/
2.如图所示,在ΔABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若
????
????
=
1
2
,BC=9,则DE等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且
????
????
=
3
5
,那么
????
????
的值为 ( )
A.
5
8
B.
3
8
C.
3
5
D.
2
5
/
4.(2015·天津中考)如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为 .?
5.如图所示,?ABCD中,点E是AD边的中点,BE交对角线AC于点F,若AF=2,则对角线AC长为 .?
/
6.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.
7.如图所示,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO的长.
/
【能力提升】
8.A,B,C,D四点在坐标平面上的位置如图所示,其中O为原点,AB∥CD.根据图中各点坐标,则D点坐标为 ( )
A.
0,
20
9
B.
0,
10
3
C.(0,5) D.(0,6)
9.如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,以BC为边向外作正方形BEDC,连接AE交BC于F,作FG∥BE交AB于G,求证FG=FC.
/
【拓展探究】
10.如图所示,直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.
(1)求AB的长;
(2)当AD=4,BE=1时,求CF的长.
【答案与解析】
1.B(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∴
6
3
=
4
????
,解得EC=2.故选B.)
2.B(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∵
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
3
,∴
????
????
=
1
3
,又∵BC=9,∴
????
9
=
1
3
,∴DE=3.故选B.)
3.A(解析:∵
????
????
=
3
5
,∴
????
????
=
5
8
,∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
,∵EF∥AB,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
.故选A.)
4.
18
5
(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,即
????
6
=
3
3+2
,∴DE=
18
5
.故填
18
5
.)
5.6(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴
????
????
=
????
????
.∵点E是AD边的中点,∴
????
????
=
1
2
.∵AF=2,∴CF=4.∴AC=6.故填6.)
6.解:作DE⊥AC于E,由题意知BC⊥AC,∴DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∴
????-55
????
=
70
80
.∴AB=440 cm.∴梯子长为440 cm.
7.解:设DO=x cm,则CO=(159-x) cm,∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∴AC∥BD.∴
????
????
=
????
????
.即
78
42
=
159-??
??
.∴x=55.65.∴CO=103.35 cm,DO=55.65 cm.
8.C(解析:∵AB∥CD,∴
????
????
=
????
????
,即
12
7
∶
10
3
=
18
7
∶DO,∴DO=5,∴D点坐标为(0,5).故选C.)
9.证明:∵FG∥BE,∴
????
????
=
????
????
.∵FC∥ED,∴
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.又∵EB=ED,∴FG=FC.
10.解:(1)∵l1∥l2∥l3,EF∶DF=5∶8,AC=24,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
,∴
????
24
=
5
8
,∴BC=15,∴AB=AC-BC=24-15=9. (2)设l4与l5相交于点O,∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
1
4
,∴
????
????+9
=
1
4
,∴OB=3,∴OC=BC-OB=15-3=12,∵l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
3
12
,∴
1
????
=
1
4
,∴CF=4.
/
/
本节课是把平行线分线段成比例应用在三角形中,教学设计中,在平行线分线段成比例的基本事实的基础上,学生动手画图,直观地观察到这一基本事实应用在三角形中.在观察、思考、交流、归纳等数学活动中,探索出平行线分线段成比例在三角形中的应用,体会转化思想,为后边的学习做好铺垫.学生在教师的引导下,通过小组合作交流,共同探究证明的思路,培养学生的合作意识及严谨的学习精神,提高学生的数学思维能力.
/
本节课在将平行线分线段成比例的基本事实转化到三角形中时,采用动手操作画图,观察思考得到结论的方式,这一环节用时过多,造成后边的证明处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重知识的形成过程,不是单纯地记住结论.
/
本节课重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三角形中,在教学设计中要突出重点,通过动手操作,共同探究等数学活动,共同归纳得出结论,通过直观形象的动画演示,自然地转化到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力的目的.
/
练习(教材第67页)
1.②④
2.解:因为DE∥AC,所以
????
????
=
????
????
,因为AB=7,BD=3,BE=2,所以BC=
14
3
.
习题(教材第67页)
A组
1.解:∵AC∥BD,∴
????
????
=
????
????
,则DO=
????
????
·CO=
15
10
×12=18.
2.解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,则BC=
????
????
·DE=
????+????
????
·DE=
12+2
12
×10=
35
3
.
B组
1.解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
.∵EF∥AB,∴
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.∵AB=9,AD=3,BF=4,∴
3
9
=
4
????
,∴BC=12.
2.证明:∵EF∥BC,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.∵AD为BC边上的中线,∴BD=DC.∴EG=GF.
/
/
在探究活动中获得知识
本节课在上节课探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,让学生动手操作、观察、归纳,将这一基本事实转化到三角形中,得到平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,然后根据这一结论证明截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例.在教学设计中,学生经历动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结等教学活动,经历知识的形成过程,探索出本节课的结论.动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,学生在实践中会真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法,提高综合运用所学知识解决实际问题的能力.所以在教学设计中合理科学地创设数学问题情境,让学生在自身体验和思考过程中,主动地发现和构建新知识,在体验中学会用数学的眼光观察世界,用数学的头脑来分析周围的世界,数学思维会不断提升.
/
/
/ (2015·金华中考)如图所示,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是 .?
〔解析〕 ∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,∴
????
????
=
2
3
,∴
????
????
=
2
5
,又∵l3∥l6,∴
????
????
=
????
????
=
2
5
,∵BC=2,∴
2
????
=
2
5
,∴EF=5.故填5.
25.3 相似三角形
/
/
/
1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系.
2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似.
3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.
/
1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识.
/
1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力.
2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】
1.相似三角形的有关概念.
2.由平行判断三角形相似.
【难点】 探索由平行线判定三角形相似的方法.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P69~71.
/
/
导入一:
【课件展示】 欣赏图片:
/
[导入语] 图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知识.
导入二:
复习提问
1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系?
(能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等)
2.全等三角形有什么性质?
(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
【师生活动】 学生独立回答,教师点评,导出新课的学习.
[设计意图] 通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫.
/
[过渡语] 全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧.
探究一 认识相似三角形
思路一
【学生活动】 自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.
【问题】
1.什么是相似三角形、相似比?
2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?
3.如果相似比是1∶1,那么这两个三角形是什么关系?
4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是多少?
5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?
【师生活动】 学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概念及性质.
【课件展示】
1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
几何表示:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
/
2.表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.
注意:对应顶点写在对应的位置上.
3.相似比为1∶1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.
4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是
1
??
.
5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,
则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
.
思路二
教师引导学生思考并回答:
1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为:
如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
/
3.相似三角形的表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.
注意:对应顶点写在对应的位置上.
4.思考:
(1)如果两个三角形的相似比是1∶1,那么这两个三角形的关系是 .?
(2)ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是 .?
5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是 .?
6.相似三角形的性质用几何语言表示为 .?
【课件展示】
性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
.
【师生活动】 教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示,师生共同归纳.
[设计意图] 通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系.
大家谈谈:
[过渡语] 我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下下面的问题.
【课件展示】
1.两个直角三角形相似吗?
(不一定相似)
2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?
(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)
3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系?
(全等三角形都是相似比为1∶1的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系.
例题讲解
【课件展示】
/
/ (教材69页例)如图所示,ΔAEF∽ΔABC.
(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.
(2)求证EF∥BC.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过程.
(板书)
解:(1)∵ΔAEF∽ΔABC,
∴
????
????
=
????
????
.
又∵AE=3,AB=5,EF=2.4,
∴BC=
????·????
????
=
5×2.4
3
=4.
(2)∵ΔAEF∽ΔABC,
∴∠AEF=∠B.
∴EF∥BC.
[设计意图] 通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度.
探究二 由平行线证明三角形相似
[过渡语] 我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢?
【课件展示】 如图所示,EF∥BC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证ΔAEF∽ΔABC.
/
教师引导回答问题:
(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?
/∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
????
????
=
????
????
=
????
????
/
(2)你能证明这些角对应相等吗?
(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)
(3)如何证明
????
????
=
????
????
=
????
????
?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(4)你能写出ΔAEF∽ΔABC的证明过程吗?
(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗?
(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.
【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论.
(板书)
证明:如图(1)所示,在ΔAEF和ΔABC中,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,且
????
????
=
????
????
=
????
????
.
又∵∠A=∠A,
∴ΔAEF∽ΔABC.
同理可证其他两种情况.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.
【教师活动】 教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形.
[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方法.
做一做
/
【课件展示】 如图所示,在ΔABC中,E,F分别为AB,AC的中点.求证ΔABC∽ΔAEF.
【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似.
[设计意图] 通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力.
[知识拓展]
1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.
2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.
3.相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽ΔA″B″C″.
4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则ΔADE∽ΔABC.
/
/
1.相似三角形的概念、表示.
2.相似三角形与全等三角形的区别和联系.
3.相似三角形定义的应用.
4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.
/
1.如图所示,ΔADE∽ΔACB,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
=
????
????
解析:∵ΔADE∽ΔACB,∠AED=∠B,∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.故选A.
/
2.如图所示,DE∥BC,
????
????
=
1
2
,则ΔADE和ΔABC的相似比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.2∶3
解析:∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴ΔADE和ΔABC的相似比为
????
????
,∵
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
3
.故选B.
3.若ΔABC与ΔDEF的相似比是5∶3,则ΔDEF与ΔABC的相似比是 .?
解析:根据相似比的概念,可得ΔABC与ΔDEF的相似比与ΔDEF与ΔABC的相似比互为倒数,所以ΔDEF与ΔABC的相似比是3∶5.故填3∶5.
4.如图所示,ΔABC中,点D在BC上,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?
解:共有三对相似三角形,分别是ΔAEG∽ΔABD,ΔAGF∽ΔADC,ΔAEF∽ΔABC.
/
5.如图所示,AB=AD,AC=AE,FG∥DE.求证ΔABC∽ΔAFG.
证明:∵AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,
∴ΔABC≌ΔADE,
∴∠B=∠ADE,
∴DE∥BC,
∵FG∥DE,∴FG∥BC,
∴ΔABC∽ΔAFG.
/
25.3 相似三角形
探究一 认识相似三角形
例题讲解
探究二 由平行线证明三角形相似
做一做
/
一、教材作业
【必做题】
教材第71页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第72页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若ΔABC∽ΔA'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于 ( )
A.30° B.50°
C.40° D.70°
2.若ΔABC∽ΔA'B'C',且相似比为k,则k的值等于 ( )
A.∠A∶∠A' B.AB∶A'C'
C.AB∶A'B' D.BC∶A'B'
3.若ΔABC∽ΔA'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=5,AC=3,A'B'=10,则B'C'的值为 ( )
A.8 B.10
C.6 D.无法确定
4.如图所示,在?ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: .?
/
5.如图所示,ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,线段BE,CD相交于点O,若OD=2,则OC= .?
6.如图所示,在ΔABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
(1)求
????
????
的值;
(2)求BC的长.
/
【能力提升】
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC等于 ( )
A.1∶4 B.1∶3
C.2∶3 D.1∶2
8.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,BE∥CD交CA的延长线于点E.求证OC2=OA·OE.
/
9.如图所示,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,FG的长.
【拓展探究】
10.如图所示,在?ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交AB(或其延长线)于点E,得到ΔDOC∽ΔEOA.
(1)当点O运动到何处时,ΔDOC与ΔEOA的相似比为2?
(2)当点O运动到何处时,ΔDOC≌ΔEOA?
(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时ΔDOC与ΔEOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,如图(2)所示,DO的延长线与BC交于F,且有ΔDFC∽ΔEFB,当F是BC中点时,求ΔDOC与ΔEOA的相似比.
/
【答案与解析】
1.A(解析:在ΔABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠C=110°,∴∠B=30°,又ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B'=∠B=30°.故选A.)
2.C(解析:相似比为相似三角形对应边的比,即AB∶A'B'或AC∶A'C'或BC∶B'C'.故选C.)
3.A(解析:∵∠C=90°,∴由勾股定理可得BC=
??
??
2
-??
??
2
=4,∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴
????
??'??'
=
????
??'??'
,∴
5
10
=
4
??'??'
,∴B'C'=8.故选A.)
4.ΔABP∽ΔAED(解析:∵BP∥DF,∴ΔABP∽ΔAED.答案不唯一.)
5.4(解析:∵点D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为ΔABC的中位线,∴DE∥BC,DE=
1
2
BC,∴ΔODE∽ΔOCB,∴
????
????
=
????
????
=
1
2
,∴OC=2OD=4.故填4.)
6.解:(1)∵AD=4,DB=8,∴AB=AD+DB=4+8=12,∴
????
????
=
4
12
=
1
3
. (2)∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,∵DE=3,∴
3
????
=
1
3
,∴BC=9.
7.D(解析:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,则ΔDFE∽ΔBAE,∴
????
????
=
????
????
,∵O为对角线的交点,∴DO=BO,又∵E为OD的中点,∴DE=
1
4
DB,则
????
????
=
1
3
,∴
????
????
=
1
3
,∵DC=AB,∴
????
????
=
1
3
,∴DF∶FC=1∶2.故选D.)
8.证明:∵AD∥BC,∴ΔAOD∽ΔCOB,∴
????
????
=
????
????
,又∵BE∥CD,∴ΔBOE∽ΔDOC,∴
????
????
=
????
????
,∴
????
????
=
????
????
,∴OC2=OA·OE.
9.解:∵ΔABC中,EG∥BC,∴ΔAEG∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,∵BC=10,AE=3,AB=5,∴
????
10
=
3
5
,∴EG=6,∵ΔBAD中,EF∥AD,∴ΔBEF∽ΔBAD,∴
????
????
=
????
????
,∵AD=6,AE=3,AB=5,∴
????
6
=
5-3
5
,∴EF=
12
5
.∴FG=EG-EF=
18
5
.
10.解:(1)∵ΔDOC与ΔEOA的相似比为2,∴
????
????
=2,∴当点O运动到
????
????
=2处时,ΔDOC与ΔEOA的相似比为2. (2)若ΔDOC与ΔEOA全等,则AO=CO,∵AB∥CD,∴∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO,∴ΔDOC≌ΔEOA,∴当O点运动到AC的中点处时,ΔDOC与ΔEOA全等. (3)∵当E与B重合时,ΔDOC与ΔEOA全等,∴AO=CO,∴当点O运动到AC的中点时,E与B重合,此时ΔDOC与ΔEOA的相似比是1.当点F是BC的中点时,则BF=CF,∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF,∴ΔDFC≌ΔEFB,∴DC=BE,∴AB=DC=BE,∴
????
????
=
1
2
,∴ΔDOC与ΔEOA的相似比为
????
????
=
1
2
.
/
/
本节课是三角形的有关概念和由平行线证明三角形相似,通过复习全等三角形的概念,学生通过自主学习,用类比法得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.在教学设计中,通过学生自主学习、合作交流,共同归纳等数学活动,让学生经历概念的形成过程,突出学生在课堂上的主体作用.在探究由平行线证明三角形相似时,学生在教师的引导下,通过思考、交流得到由平行线证明三角形相似的结论,让学生在积极思考中探索出结论,并能应用这一结论解决有关问题,通过数学活动,培养学生分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力和严谨的学习精神.
/
本节课的主要内容是相似三角形的有关概念和探究由平行线证明三角形相似,教学设计时通过学生的自主学习、小组合作交流,归纳出相似三角形的有关概念,通过教师引导,探究由平行线判定三角形相似这一结论,本课时内容简单,应该多给学生思考、交流、归纳的时间和空间,让学生经历知识的形成过程,并能应用结论进行计算和证明,在教学过程中,教师讲得太多,应放手让学生在课堂上活跃思维,真正成为课堂的主人.
/
本节课重点学习相似三角形的有关概念,探索由平行线证明三角形相似,在教学设计中多给学生创造自主学习、合作交流的时间和空间,首先通过复习全等三角形的有关概念,学生用类比思想自主学习三角形相似的概念,并通过例题让学生掌握应用三角形相似的概念进行线段的计算,然后自主探究由平行线判定三角形相似这一结论.在课堂上突出学生的主体地位,教师只是引导学生思考、探究,在课堂上达到学生思维活跃,不仅学习知识,而且让学生的学习能力得到提高.
/
练习(教材第71页)
1.提示:A,B两个村庄之间的实际距离为3千米;B,C两个村庄之间的实际距离为3.5千米;A,C两个村庄之间的实际距离为2.5千米.
2.解:∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B'=∠B=60°,∠C'=∠C=45°,∴∠A'=180°-60°-45°=75°.
习题(教材第71页)
A组
1.解:
????
????
=
????
????
=
????
????
.
2.解:∵ΔADE∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,即
????-????
????
=
????
????
,
????-2
????
=
12
15
,解得AB=10.
3.证明:∵∠ADE=∠B,∴DE∥BC.∴ΔADE∽ΔABC.
B组
1.证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD.∴ΔABO∽ΔCDO.
2.解:根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可知三角尺的最短边长为6 cm,所以内、外两个三角形的相似比为
3
6
=
1
2
.
/
/
通过数学活动,突出学生主体地位
本节课是相似三角形的有关概念及由平行线判定三角形相似,它是其他判定方法的基础,本课时内容知识结构看似分散,但又环环相扣,具有承上启下的作用.在学习相似三角形的概念时,教学设计中,欣赏生活中形状相同、大小不同的三角形图片,学生直观上感受相似三角形的概念,激发学生学习本节课的学习兴趣,通过复习三角形全等的概念,学生自主学习,类比三角形全等的概念,形成三角形相似的概念,学生经历概念的形成过程,提高归纳总结能力.由上节课探究的平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例,学生独立思考完成由平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中教师只是引导者,学生是课堂的主人,学生在课堂上小组合作交流、归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,学生在数学活动中提高合作意识,突出学生的主体地位,体会成功的快乐,人人学有价值.
/
/ (2015·海南中考)如图所示,点P是?ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有 ( ) /
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
〔解析〕 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴ΔEAP∽ΔEDC,ΔEAP∽ΔCBP,∴ΔEDC∽ΔCBP.故选D.
/ (2015·株洲中考)如图所示,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是 ( ) /
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
〔解析〕 ∵AB∥CD,∴
????
????
=
????
????
=3,∵EF∥CD,∴
????
????
=
????
????
=
????
????+????
=
1
4
,∴EF=
3
4
.故选C.
25.4 相似三角形的判定
/
/
1.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.
2.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.
/
1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学问题的能力.
/
1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
2.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
3.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
4.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.
/
【重点】 能灵活运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
【难点】
1.探索三角形相似的判定定理的证明.
2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.
3.在实际问题中建立数学模型解决问题.
第/课时
/
/
/
1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.
2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
/
1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.
/
1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理
能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.
2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
/
【重点】 能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.
【难点】 三角形相似的判定定理的证明过程.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P73~75.
/
/
导入一:
/
【课件展示】 你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示)),这展示了他非凡的数学及科学才能.
[过渡语] 泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.
导入二:
(1)证明三角形相似的方法是什么?
(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)
(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?
(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)
(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?
[过渡语] 我们能不能用类似探究三角形全等的方法,探究三角形相似的判定定理呢?
导入三:
(观察实物并课件展示)
观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30°与60°或45°与45°).
【思考】
(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.
(2)如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.
(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?
/
[导入语] 有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.
[设计意图] 以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.
/
[过渡语] 我们知道,有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹边不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢?
观察思考:
完成导入三中提出的问题.
【师生活动】 教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”
[设计意图] 完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.
做一做:
【课件展示】 如图所示,已知∠α,∠β.
/
(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.
(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?
【师生活动】
(1)同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.
(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.
(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.
(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.
[设计意图] 教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学
/
/
/
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段,通过具体实例了解黄金分割.
2.掌握“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例”这个基本事实.
3.了解相似三角形的概念,探索相似三角形的性质.
4.理解并掌握相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的证明,并能应用判定定理解决问题.
5.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.
6.认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.
7.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.
8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
/
1.通过观察、测量、验证平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力、合情推理及演绎推理能力.
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究知识的兴趣.
3.通过丰富的实例,经历探索相似三角形的判定、性质及应用的过程,进一步发展学生的空间观念,提高学生的数学思考能力和应用意识.
4.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的教学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
5.结合相似图形的性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证的能力.
6.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.
7.学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
8.通过对位似图形的概念及位似图形、位似变换的性质的探索,体验学习数学的快乐.
/
1.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.
2.经历类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
3.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
4.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.
5.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
6.通过积极参加数学探究活动,在活动中使学生积累经验与成功体验,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活的密切联系.
7.使学生亲身经历和相似图形有关的概念、性质、判定及应用的探索,感受数学学习的应用性和挑战性.
/
前面学习了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几何图形的全等变换,“全等”和“相似”都是图形之间的一种变换,全等形是相似比为1的相似图形,所以本章相似形的学习,以全等形为基础,是全等形在边上的推广,比全等形更具有一般性,是前边学习图形的全等的拓展和发展.
本章内容主要是对三角形知识的进一步认识,是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形的.在全等三角形的基础上,总结出相似三角形的判定方法和性质,使学过的知识得到巩固和提高.在学习过程中,按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究.首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系,接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质,对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他性质和应用,最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形.本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.
在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设置了相似三角形应用举例,从不同角度为解决实际问题做出示范.
/
【重点】
1.相似三角形的判定与性质及应用判定和性质解决问题.
2.位似图形的性质及画法.
【难点】
1.相似三角形的判定定理的证明.
2.建立数学模型,应用相似三角形的性质解决实际问题.
/
1.初中数学从《全等三角形》开始,已经进入了推理证明阶段,本章的学习在已有的基础上继续进行必要的推理证明,本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是和三角形全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,因此推理论证的难度提高了,教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合,注意以具体问题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明.
2.让学生充分经历知识的形成过程,学生获得知识,必须建立在自己充分思考的基础上,因此,对于概念的教学,要创设好情境,为学生提供充足的素材,充分经历观察、比较、表达与交流等活动过程,使概念的建立过程成为学生头脑中自然的形成过程.对于定理和性质的教学,要充分利用教科书中的活动,让学生在操作、思考交流的过程中获得.现阶段的学生,积累了一定的数学活动经验,能够自主完成一些数学活动,教师要充分相信学生,支持和鼓励学生,并给予适当的指导和帮助.
3.学生通过前面对三角形、四边形等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题的思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,将研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比全等三角形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法,构建本章内容的基本线索,使他们对将要学习的内容做到心中有数.因此本章在教授相似三角形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明.
4.在教学中要重视相似三角形的应用,学习相似三角形的判定和性质,落脚点是利用图形的相似解决简单的实际问题,所以让学生充分经历“把实际问题抽象成数学问题——解决数学问题——对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程,使学生感悟数学建模思想,感受数学的价值,形成应用意识.
/
25.1比例线段
1课时
25.2平行线分线段成比例
2课时
25.3相似三角形
1课时
25.4相似三角形的判定
3课时
25.5相似三角形的性质
2课时
25.6相似三角形的应用
2课时
25.7相似多边形和图形的位似
2课时
回顾与反思
1课时
/
25.1 比例线段
/
/
/
1.了解线段的比和成比例线段的概念,会求两线段的比.
2.理解并掌握比例的基本性质,结合实例了解黄金分割.
3.能利用比例的基本性质解决一些简单的问题.
/
1.通过现实情境,进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和理解问题的能力.
2.通过观察、讨论、探究、归纳等数学活动,经历有关概念及性质的形成过程,获得成功感,培养学生学习数学的自信心.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.
4.通过师生共同探究,体会由特殊到一般、方程思想在数学中的应用.
/
1.培养学生的数学应用意识,体会数学与实际生活的联系.
2.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,激发学生的学习兴趣.
3.通过学习黄金分割,体会数学在实际生活中的应用,培养学生的美感.
/
【重点】 比例线段及有关计算、黄金分割.
【难点】 应用比例的基本性质进行有关计算.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P58~60.
/
/
导入一:
【课件展示】 欣赏图片:
(1)汽车和它的模型:
/
(2)两张尺寸不同的花的照片:
/
[导入语] 生活中及几何图形中有许多这样形状相同、大小不同的图形,也就是相似形,它们有哪些判定方法、性质及应用就是我们这章要学习的内容,为了研究相似形,我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.
导入二:
【课件展示】 观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?
/
【师生活动】 教师引导学生直观观察得到结论,再观察思考形状相同的两个长方形的长和宽之间的关系怎样?
[导入语] 两个长方形的形状是否相同,与它们的长、宽比是否相等有关.为此,需要研究线段的比和成比例线段.
导入三:
复习提问:
1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项?
2.已知线段a=3 cm,b=2 cm,则线段a,b的比是 .?
【师生活动】 学生回忆小学内容作出回答,教师点评.
[设计意图] 通过形状相同的生活图片引出本章要探究的主要内容,激发学生学习本章内容的热情;以直观观察和计算长方形的长、宽的比判断两个长方形形状是否相同,引出本节课的课题,激发学生的求知欲;通过复习小学学过的有关比的概念,为本节课的学习做好铺垫.
/
[过渡语] 让我们一起探究线段的比和成比例线段的有关概念及性质吧!
共同探究一 线段的比、比例线段的概念
思路一
自主学习教材58页,思考下列问题:
(1)两条线段的比与它们的长度有关吗?
(2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关?
(3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗?
(4)什么是成比例线段?
(5)如何判断四条线段是成比例线段?
(6)成比例线段中的四条线段是否有顺序?
【师生活动】 学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,课件展示有关概念及注意事项.
【课件展示】
1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或
??
??
=
??
??
.
例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,a∶b=2∶3.
注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.
2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
??
??
=
??
??
,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.
注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.
思路二
教师引导分析:
(1)如果线段a=3 cm,b=20 mm,则线段a和b的比是 ,记作 .?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,教师对学生的展示作出回答,并强调易错点,不要忽略换算单位.
(2)线段a和b的长度分别为m和n,则线段a和b的比是 ,记作 或 .?
【师生活动】 学生回答,教师加以引导归纳.
(3)如果线段a=3 cm,b=6 cm,c=2 cm,b=4 cm,则线段a和b的比与线段c和d的比 ,即 .?
【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.
(4)如果线段a=3 cm,c=6 cm,b=2 cm,b=4 cm,则线段a和c的比与线段b和d的比 ,即 .?
【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,c,b,d叫做成比例线段.
(5)(3)和(4)中的成比例线段有什么区别?
【师生活动】 学生观察回答,教师点评,学生如有困难,教师要及时引导,归纳成比例线段概念中的四条线段是有顺序的.
(6)如何判断四条线段是否成比例?
(方法一:把四条线段按长短排列好,判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等;方法二:查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积)
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,对学生展示点评,鼓励学生用多种方法进行判断.
【课件展示】
1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或
??
??
=
??
??
.
例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,a∶b=2∶3.
注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.
2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
??
??
=
??
??
,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.
注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.
[设计意图] 学生在自主学习的基础上,教师提出的问题的引导下,层层深入地形成线段的比和成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为本章的后继学习做好铺垫.
共同探究二 比例的基本性质
[过渡语] 在数学中我们经常知道了它的概念后再研究它的性质,那么比例有什么基本性质呢?我们一起去探究.
【思考】
1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?
2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?
3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师给学生足够的时间讨论,在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师作出点评,并归纳比例的基本性质.
【课件展示】
比例的基本性质:
如果
??
??
=
??
??
,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么
??
??
=
??
??
(b,d≠0).
特别地,如果
??
??
=
??
??
,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.
[设计意图] 通过独立思考、合作交流、共同归纳等数学活动,探究比例的基本性质,实质是利用等式的基本性质将比例式变形,培养学生的合作意识,提高学生综合运用知识解决问题的能力.
共同探究三 比例的等比性质
教师引导分析:
(1)由
1
2
=
2
4
=
3
6
,可以得到
1+2+3
2+4+6
= ;?
(2)由
2
3
=
4
6
=
6
9
,可以得到
2+4+6
3+6+9
= ;?
(3)猜想:由
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),可以得到
??+??+…+??
??+??+…+??
= ;?
(4)你能证明你的猜想吗?
【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,如果学生对(4)的证明有困难,教师引导学生思考,根据结果肯定有约分的过程,变形实现约分的目的,引导发现a,c…,m与b,d…,n之间的关系,采用设k法证明.学生展示后教师点评,展示证明过程及结论.
【课件展示】
若
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),则
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
证明:若设
??
??
=
??
??
=…=
??
??
=k,则有a=kb,c=kd,…,m=kn.
所以a+c+…+m=kb+kd+…+kn=k(b+d+…+n).
因为b+d+…+n≠0,
所以
??+??+…+??
??+??+…+??
=k.
即
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
[设计意图] 通过计算、观察、猜想、验证等数学活动,探究比例的等比性质,让学生经历由特殊到一般的数学思想方法,在数学活动中,教师引导学生通过设k法完成性质的证明,提高学生分析问题、解决问题的能力及勇于挑战困难的精神.
共同探究四 黄金分割
[过渡语] 芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的0.618,就会给人以更为优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧!
欣赏图片:
/
【课件展示】
试着做做:
如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上.
/
当
????
????
=
????
????
时,线段AC的长是多少?
【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,对解决有困难的学生,教师引导利用方程思想求线段的长,小组代表板书解答过程,教师点评,规范解答格式.
(板书)
解:设AC=x,则BC=a-x.
∵
????
????
=
????
????
,∴
??
??
=
??-??
??
,
∴建立关于x的方程x2+ax-a2=0,
解得x=
-1±
5
2
a,
∵AC为正数,∴AC=
-1+
5
2
a≈0.618a.
归纳概念:
【课件展示】
在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足
????
????
=
????
????
.
那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,
????
????
称为黄金比.
每条线段上的黄金分割点都有两个.
[过渡语] 黄金分割具有艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.
/
/ 如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.
【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评.
[设计意图] 学生通过图片,感受生活中的美,激发学生学习黄金分割的兴趣,引导学生用一元二次方程求线段的黄金比,体会方程思想在解决几何问题时的应用,通过计算黄金分割点在上海东方明珠的哪个球体内,感受黄金分割在实际生活中的应用,体会数学来源于生活,又应用于生活.
[知识拓展]
1.式子
??
??
=
??
??
也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.
2.有时在
??
??
=
??
??
中,b=c,例如
4
6
=
6
9
,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad.
3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系.
4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.
5.在连等形式的比例式中/如
??
??
=
??
??
=…=
??
??
/,常用设k法解决有关计算问题.
6.黄金分割点将线段分成两部分,较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项,较长线段约等于这条线段的0.618.
/
1.线段的比:
成比例线段:
2.比例的基本性质:
如果
??
??
=
??
??
,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么
??
??
=
??
??
(b,d≠0).
3.比例的等比性质:
若
??
??
=
??
??
=…=
??
??
(b+d+…+n≠0),则
??+??+…+??
??+??+…+??
=
??
??
.
4.黄金分割:
/
1.线段a,b,c,d成比例的是 ( )
A.a=2,b=4,c=6,d=8
B.a=3,b=4,c=9,d=12
C.a=2,b=6,c=8,d=9
D.a=6,b=9,c=10,d=12
解析:在B中
??
??
=
3
4
,
??
??
=
9
12
=
3
4
,所以
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d成比例.故选B.
2.若点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于 ( )
A.
5
-1 B.3
5
C.
5
-1
2
D.
5
-1或3-
5
解析:由于C为线段AB的黄金分割点,所以AC=2×
5
-1
2
=
5
-1,或AC=2-(
5
-1)=3-
5
.故选D.
3.(1)若4a=5b(b≠0),则a∶b= ;?
(2)若
??
??
=
3
4
,则
??
??+2??
= .?
解析:根据比例的基本性质,∵4a=5b,∴a∶b=5∶4(b≠0);由
??
??
=
3
4
,可设a=3k,b=4k,则
??
??+2??
=
3??
3??+8??
=
3
11
.
答案:(1)5∶4 (2)
3
11
4.在比例尺为1∶6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15 cm,这两地的实际距离是 km.?
解析:设两地的实际距离为x cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得
1
6000000
=
15
??
,解得x=90000000,90000000 cm=900 km.故填900.
5.已知四条线段a,b,c,d的长度,判断它们是否成比例.
(1)a=16 cm,b=8 cm,c=10 cm,d=5 cm;
(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.
解:(1)
??
??
=2,
??
??
=2,则
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d成比例.
(2)由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc,所以a,b,c,d四条线段不成比例.
/
25.1 比例线段
共同探究一 线段的比、比例线段的概念
共同探究二 比例的基本性质
共同探究三 比例的等比性质
共同探究四 黄金分割
/
一、教材作业
【必做题】
教材第60页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第61页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.a=
2
,b=3,c=2,d=
3
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=
5
,c=2
3
,d=
15
D.a=2,b=3,c=4,d=1
2.若P是线段AB上一点,且
????
????
=
2
5
,则
????
????
等于 ( )
A.
7
5
B.
5
2
C.
2
7
D.
5
7
3.若ac=bd(a,b,c,d≠0),则下列各式一定成立的是 ( )
A.
??
??
=
??
??
B.
??+??
??
=
??+??
??
C.
??
2
??
2
=
??
??
D.
????
????
=
??
??
4.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是 ( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=
5
-1
2
AB
C.BM=
5
-1
2
AB D.AM≈0.618AB
5.若2x-5y=0,则y∶x= ,
??+??
??
= .?
6.已知
??
??
=
5
2
,则
??-??
??
= .?
7.现有三个数1,
2
,2,请你再添上一个数写出一个比例式: .?
8.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b-3c=14.
(1)求a,b,c;
(2)求4a-3b+c的值.
【能力提升】
9.如果x∶y∶z=1∶3∶5,那么
??+3??-??
??-3??+??
= .?
/
10.如图所示,已知线段AB.
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=
1
2
AB.
(2)连接AD,在DA上截取DE=DB.
(3)在AB上截取AC=AE.
请你根据以上作法,证明点C是线段AB的黄金分割点.
【拓展探究】
11.已知a,b,c为ΔABC的三边,且a+b+c=60 cm,a∶b∶c=3∶4∶5,求ΔABC的面积.
【答案与解析】
1.C(解析:C中
??
??
=
2
5
=
2
5
5
,
??
??
=
2
3
15
=
2
5
5
,所以
??
??
=
??
??
,所以a,b,c,d是成比例线段.故选C.)
2.A(解析:由
????
????
=
2
5
,可设AP=2k,PB=5k,则AB=AP+PB=7k,所以
????
????
=
7??
5??
=
7
5
.故选A.)
3.B(解析:由比例的基本性质可得
??
??
=
??
??
,故A错误;由比例的基本性质可得
??
??
=
??
??
,两边同时加1可得
??+??
??
=
??+??
??
,所以B正确;根据比例的基本性
质不能得到
??
2
??
2
=
??
??
,
????
????
=
??
??
,所以C,D错误.故选B.)
4.C(解析:∵AM>BM,∴AM是较长的线段,根据黄金分割的定义可知AB∶AM=AM∶BM,AM=
5
-1
2
AB,AM≈0.618AB.故选C.)
5.2∶5
7
5
(解析:由2x-5y=0,得2x=5y,由比例的基本性质可得y∶x=2∶5;等式两边都加1可得
??+??
??
=
7
5
.)
6.
3
2
(解析:由
??
??
=
5
2
,可设a=5k,b=2k,所以
??-??
??
=
5??-2??
2??
=
3
2
.故填
3
2
.)
7.
1
2
=
2
2
(解析:如
2
2
,1,
2
,2成比例;1
2
,
2
,2也成比例.答案不唯一.)
8.解:(1)设a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b-3c=14,∴4k+9k-6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4. (2)4a-3b+c=32-18+4=18.
9.-
5
3
(解析:设x=k,y=3k,z=5k,所以
??+3??-??
??-3??+??
=
??+3×3??-5??
??-3×3??+5??
=
5??
-3??
=-
5
3
.故填-
5
3
.)
10.证明:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在RtΔABD中,AD=
??
??
2
+??
??
2
=
5
a,所以AE=AD-DE=
5
a-a=(
5
-1)a,所以AC=AE=(
5
-1)a,即AC=
5
-1
2
AB,所以点C就是线段AB的黄金分割点.
11.解:∵a+b+c=60 cm,a∶b∶c=3∶4∶5,∴a=15 cm,b=20 cm,c=25 cm.∵152+202=252,∴ΔABC是直角三角形.∴ΔABC的面积为
1
2
×15×20=150(cm2).
/
/
在教学设计中,通过欣赏形状相同、大小不同的生活图片,激发学生对本章学习的兴趣,体会数学与生活息息相关,再以直观观察长方形的大小和形状是否相同,引出边之间的比,即线段的比和成比例线段的概念,学生很自然地走进本章、本节的学习,在本节课中,主要内容是有关概念和比例的基本性质,结合教学内容和各种活动,引导学生通过观察、思考、交流、展示、归纳等活动获得结论,让学生经历知识的形成过程,加深对概念和性质的理解和掌握,在教学中注意到了数学思想和方法的渗透,让学生体会到方程思想、由特殊到一般的数学思想方法在解决问题时的应用,教学各环节之间衔接紧凑,课堂上学生思维活跃,尤其学习黄金分割时,教学达到高潮.
/
本节课的内容是线段的比、成比例线段、比例的基本性质及黄金分割,内容看似简单,但在概念的形成过程中易错点较多,在探究等比性质时,学生不易想到用设k法解决,计算黄金比时又忽略方程思想的应用,所以在实际教学中学生探究并不容易,在学生遇到困难时,教师应及时引导,降低学生思考难度,侧重于探究活动后的归纳总结,另外学生在课堂前半部分,展示自己的热情不够,表现拘谨,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己的看法,作为教师在数学课上要尽量给他们表现的机会.
/
成比例线段及比例的基本性质是研究本章相似三角形的基础,以生活实例导入本章内容,以利用黄金分割解决实际问题结束本节课的学习,让学生感受数学在生活中的应用,激发学生的学习积极性,在教学设计中,对于简单的概念教学,通过自主学习,合作交流等数学活动完成,给学生充分展示自己的机会,既培养学生的自学能力,又能让各层次学生有成功的体验.在探究比例的基本性质及计算黄金比时,教师针对学生可能遇到的困难加以引导,降低学生探究的难度,在教学中渗透数学思想和方法,提高学生分析问题及解决问题的能力,培养勇于挑战困难的精神.
/
练习(教材第60页)
1.
??
??
??
??
2.解:设a,b的比例中项为x cm,则x2=a·b=4×9,解得x1=6,x2=-6(舍去).所以a,b的比例中项是6 cm.
3.提示:
??+??+??
??+??+??
=
2
3
.
习题(教材第60页)
A组
1.解:60 km=6000000 cm,设线段的长度是x cm,则
??
6000000
=
1
1000000
,解得x=6.答:线段的长度是6 cm.
2.提示:
????
????
=
1
2
,
????
????
=1,
????
????
=2.
3.提示:演员在表演时踮起脚尖,下半身与身高的比接近于黄金比,因此看起来更为优美.
B组
1.证明:(1)∵
??
??
=
??
??
,∴
??
??
+1=
??
??
+1,∴
??+??
??
=
??+??
??
. (2)∵
??
??
=
??
??
,∴
??
??
-1=
??
??
-1,∴
??-??
??
=
??-??
??
.
2.提示:比值相等;比值大约为
5
-1
2
(或0.618).
/
/
注重联系实际,激发学习兴趣
本节课的成比例线段、比例的基本性质是本章学习的基础,所以本节课的成比例线段起着承上启下的作用,我们的教学应该以人为本,关注学生、关注过程、关注发展,要体现这个理念,就要激发学生的学习兴趣,提高教学的有效性.在教学导入环节,让学生欣赏形状相同、大小不同的图片,感受数学与生活密切相关,在探究黄金分割时,展示众所周知的美的图片,激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,最后又以应用黄金分割知识解决上海东方明珠的问题,让学生更加感受数学来源于生活,又应用到生活中去,在整个教学设计中,学生带着兴趣学习,会收获更多的知识,享受更多的学习带来的快乐.
/
/
/ 如图所示,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长.
(2)求证AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?
解:(1)在RtΔAPD中,AP=1,AD=2,
由勾股定理知PD=
??
??
2
+??
??
2
=
4+1
=
5
,
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=
5
-1,
∴DM=AD-AM=3-
5
.
故AM的长为
5
-1,DM的长为3-
5
.
证明:(2)由(1)得AM2=(
5
-1)2=6-2
5
,
AD·DM=2×(3-
5
)=6-2
5
,
∴AM2=AD·DM.
解:(3)能.点M是AD的黄金分割点.
∵
????
????
=
5
-1
2
,
∴点M是AD的黄金分割点.
25.2 平行线分线段成比例
第/课时
/
/
/
1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实进行有关计算和证明.
/
通过应用平行线分线段成比例这一基本事实解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
/
1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力及直觉思维.
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究知识的兴趣.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】
1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实解决有关问题.
【难点】 探索平行线分线段成比例的过程.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).
/
/
导入一:
【课件展示】
如图所示,在课前准备的语文横格本上任意画两条直线,分别交横格线于A,B,C与D,E,F,你能得到线段AB与BC,DE与EF之间的数量关系吗?
/
【师生活动】 学生动手操作,作出猜想,独立思考如何证明两条线段相等,小组合作交流答案,教师对学生的展示点评.
[导入语] 两条直线被图中距离相等的三条平行线所截,截得的线段是相等的,如果三条平行线间的距离不相等,那么截得的线段之间有什么关系呢?这就是我们这节课要探究的内容.
导入二:
复习提问:
1.什么是成比例线段?
2.比例的基本性质是什么?
3.你能通过测量快速将一根绳子分成两部分,使得这两部分的比是2∶3吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的回答点评.
[设计意图] 通过在学生熟悉的横格纸上探究线段之间的数量关系导入新课,激发学生的学习兴趣,培养学生的动手操作及积极思考解决问题的能力,复习成比例线段的内容,为本节课的学习做好铺垫,同时通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望.
/
[过渡语] 两条直线被三条平行线所截,所得的线段之间有怎样的关系?这就是我们这节课要探究的内容.
一起探究 平行线分线段成比例
/
【课件展示】 如图所示,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,截得的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线l1,l2之间的距离为d1,平行线l2,l3之间的距离为d2.
????
????
与
????
????
相等吗?
思路一
/
(1)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1∥l2∥l3,任意作直线分别交横格线于A,B,C与D,E,F(如图所示),则
????
????
= ,
????
????
= ,即
????
????
?
????
????
.?
(2)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1∥l2∥l3∥l4∥l5,任意作直线AE和A1E1(如左下图所示),则
????
????
= ,
??
1
??
1
??
1
??
1
= ,即
????
????
?
??
1
??
1
??
1
??
1
;?
????
????
= ,
??
1
??
1
??
1
??
1
= ,即
????
????
?
??
1
??
1
??
1
??
1
.?
/
(3)在左上图中,你还能得到其他的比例式吗?
(4)如右上图所示,对于任意一组平行线l1∥l2∥l3,直线AC,DF被三条平行线截得的对应线段成比例吗?
(5)尝试用语言概括你得出的结论.
(一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比)
【师生活动】 学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
(6)你能证明你得到的结论吗?
师生互动:教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正确性,对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维.
【课件展示】
基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例.
几何语言:
/
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,
则
????
????
=
????
????
.
追加提问:
1.如何理解对应线段?
2.上图中,你还可以得到哪些对应线段?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段”成比例.
思路二
【课件展示】 如图所示,所有已知条件如前所述,结合下列条件回答:线段AB,BC之间具有什么关系?
????
????
等于多少?
????
????
与
????
????
相等吗?请说明理由.
(1)在图(1)中,d1∶d2=1∶2.
(2)在图(2)中,d1∶d2=2∶3.
/
【师生活动】
学生动手操作:分别度量图(1)和图(2)中的线段AB,BC,DE,EF的长度.
学生独立思考、小组合作交流下列问题.
(1)根据度量的长度,你得到哪些线段成比例关系?尝试写出来.
(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?
/
(3)猜想:如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线AC,DF被平行线所截,
????
????
与
????
????
相等吗?
(4)你能用语言概括你得到的结论吗?
(一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比,即两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例)
教师活动:学生活动中,教师帮助有困难的学生,学生展示后教师点评,师生共同归纳基本事实.
(5)你能证明你得到的结论吗?
【师生互动】 教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正确性,对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维.
【课件展示】
基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例.
几何语言:
/
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,
则
????
????
=
????
????
.
追加提问:
1.如何理解对应线段?
2.上图中,你还可以得到哪些对应线段?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段”成比例.
[设计意图] 通过动手操作,测量或计算得出对应线段的比的关系,然后做出猜想,证明其结论的正确性,让学生体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力及归纳总结能力,同时通过对基本事实的证明,培养学生逻辑思维能力.
大家谈谈
/
【课件展示】 如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,直线AC,DF被三条平行线所截,交点为A,B,C,D,E,F,说出三组成比例的线段.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助有困难的学生,对学生的回答点评、归纳,强调基本事实中线段之间的对应关系.
如
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
等.
拓展提问:
如图所示,直线l1∥l2∥l3时,你能得到对应线段成比例吗?
/
【师生活动】 学生独立完成回答,写出每个图中的其中一组比例式即可,教师根据学生的回答进行归纳总结.
[设计意图] 通过学生之间的小组合作交流,对基本事实进行认定和拓展,提高学生的发散性思维,培养学生之间的合作精神和合作意识.通过几种最具典型性和代表性的变式图形,深化了学生对基本事实的认识.
练一练
/
1.(教材64页练习1题)如图所示,在正方形网格图中,每个正方形的边长均为1,若AB=BC,则DE和EF之间有什么关系?为什么?
【师生活动】 学生独立思考,完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评并规范解答过程.
(板书)
解:DE=EF.
理由如下:
∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
.
/
∵AB=BC,∴
????
????
=1,
∴DE=EF.
2.(教材64页练习2题)如图所示,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长.
【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评、归纳并规范解答过程.
(板书)
解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,
∵AB=3,BC=6,DE=2,
∴
3
6
=
2
????
,
∴EF=4.
[设计意图] 通过练习,进一步掌握平行线分线段成比例这一基本事实,并归纳应用这一基本事实可以证明线段相等和计算线段的长度,规范学生的解题格式,培养严谨的学习态度.
[知识拓展]
1.平行线分线段成比例这个基本事实应用于平行线的图形中,用来直接判断线段成比例,或将线段的比转化为其他的线段的比.
2.在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线所截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明平行线间的距离相等.
/
1.平行线分线段成比例的基本事实.
语言叙述:
几何语言:
2.应用平行线分线段成比例的基本事实计算或证明.
/
1.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中错误的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
解析:∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,故选项A,B,D正确;∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,故选项C错误.故选C.
/
2.如图所示,已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,DF=4.5,BD=3,则AE等于 ( )
A.7 B.7.5 C.8 D.10
解析:由平行线分线段成比例可得
????
????
=
????
????
,所以
4
????
=
3
4.5
,解得CE=6,所以AE=AC+CE=4+6=10.故选D.
3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则BC= .?
解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=3,DE=4,EF=2,∴
3
????
=
4
2
,解得BC=
3
2
.故填
3
2
.
/
4.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与直线AD,BE,CF分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=4,BC=5,DE=5,求DF的长.
解:∵AD∥BE∥CF,
∴
????
????
=
????
????
,即
4
5
=
5
????
,
∴EF=
25
4
,
∴DF=DE+EF=5+
25
4
=
45
4
.
/
第1课时
一起探究 平行线分线段成比例
大家谈谈
练一练
/
一、教材作业
【必做题】
教材第64页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第65页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,直线l1∥l2∥l3,两直线AC和DF与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.下列各式中,不一定成立的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
/
2.如图所示,直线AB∥CD∥EF,若AC=3,CE=4,则
????
????
的值是 ( )
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
7
D.
4
7
3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及点D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则 ( )
A.BC∶DE=1∶2 B.BC∶DE=2∶3
C.BC·DE=8 D.BC·DE=6
/
4.如图所示,直线OM∥CD∥EF,若OE=7,CE=4,则
????
????
= .?
5.如图所示,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和点D,E,F,如果DE∶EF=3∶5,AC=24,则BC= .?
/
6.如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=4,BC=3,DF=6,则DE= .?
7.如图所示,梯形ABCD中,点E,F分别在AB,DC边上,AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,若FC=2.5,则CD= .?
/
8.如图所示,l1∥l2∥l3,且AB=2BC,DF=5,AG=4,求GF,AF,EF的长.
【能力提升】
9.如图所示,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.
/
【拓展探究】
10.如图所示,在ΔABC中,AF∶FC=1∶2,D是BF的中点,AD的延长线与BC交于点E,求BE∶EC的值.
【答案与解析】
1.C(解析:∵直线l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
,∴A,B,D选项中的等式成立,C选项中的等式不一定成立.故选C.)
2.C(解析:∵AB∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
,∵AC=3,
CE=4,∴
????
????
=
3
7
.故选C.)
3.D(解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=3,DE=4,EF=2,∴BC·DE=AB·EF=6.故选D.)
4.
3
7
(解析:∵OE=7,CE=4,∴OC=OE-CE=3,∵OM∥CD∥EF,∴
????
????
=
????
????
=
3
7
.故填
3
7
.)
5.15(解析:∵AD∥BE∥CF,∴AB∶BC=DE∶EF=3∶5,∵AC=24,∴BC=24×
5
8
=15.故填15.)
6.
24
7
(解析:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=4,BC=3,DF=6,∴
4
7
=
????
6
,解得DE=
24
7
.故填
24
7
.)
7.7.5(解析:AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,∴
????
????
=
????
????
=
1
2
,∵FC=2.5,∴FD=5,∴CD=FC+FD=7.5.)
8.解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
????
????
,∵AB=2BC,∴AG=2GF,DE=2EF,∴AF=3GF,DF=3EF,∴GF=2,∴AF=4+2=6,EF=
5
3
.
9.解:∵l1∥l2∥l3,∴AB∶BC=DE∶EF,∵AB=3,BC=5,DF=12,∴3∶5=DE∶(12-DE),∴DE=4.5,∴EF=12-4.5=7.5.
/
10.解:如图所示,过点C作CM∥AE,过点F作AE的平行线交BC于点G.由平行线分线段成比例,可得
????
????
=
????
????
=
1
2
,又∵D是BF的中点,∴BD=DF,同理易得
????
????
=
????
????
=1,∴
????
????
=
????
????
=
????
????+????
=
1
3
.
/
/
本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并且能根据这一基本事实解决有关问题,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人.在教学设计中,通过学生动手操作,在横格纸上画直线,共同归纳平行线等分线段,导入新课,为本节课的学习做好铺垫,以导入为特例,让学生经历由特殊到一般的探究过程,做出猜想,给出证明,师生共同归纳平行线分线段成比例这一基本事实,学生经历知识的形成过程,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.
/
本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并能根据这一事实进行有关计算,内容较少,教学设计时想让学生经历由特殊到一般的探究过程,突出体现学生的主体意识,但老师引导不到位,学生在实践活动中不是很积极主动,教师对出现的问题处理得不是很清楚,学生对本节课的重点掌握不是很好,尤其是由平行线得到的几个比例式,学生模糊不清,在以后的教学中拓展部分应给学生足够的时间讨论、交流.
/
本节课的重点是让学生经历探究平行线分线段成比例这一基本事实的过程,在教学设计中,通过学生动手操作、测量、比较,在特殊情况下得到线段成比例这一结论,然后做出猜想,学生通过互相交流给出证明过程,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,通过证明猜想,提高学生逻辑思维能力,最后师生共同归纳这一基本事实,在教学设计中注重学生课堂学习的参与度,给学生更大的活动空间,达到提高学生学习能力的目的.
/
练习(教材第64页)
1.解:DE=EF.理由如下:由题可知
????
????
=
????
????
.∵AB=BC,∴
????
????
=
????
????
=1,∴DE=EF.
2.解:因为l1∥l2∥l3,所以
????
????
=
????
????
,因为AB=3,BC=6,DE=2,所以EF=4.
习题(教材第64页)
A组
1.③⑤
2.证明:∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
=k,∴DE=kEF.
B组
1.证明:(1)∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
.∴
????+????
????
=
????+????
????
,即
????
????
=
????
????
,∴
????
????
=
????
????
.
(2)由(1)知
????
????
=
????
????
,即
????-????
????
=
????-????
????
,即1-
????
????
=1-
????
????
,∴
????
????
=
????
????
.
2.解:∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
,则DF=
????
????
·DE=
????
????-????
·DE=
??
??-??
·c=
????
??-??
.
/
/
重视知识形成过程 培养学生学习能力
本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实,难点是这一基本事实的探究过程,在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华.
/
/
/ (2015·眉山中考)如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
〔解析〕 ∵AD∥BE∥CF,∴
????
????
=
????
????
,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴
1
3
=
2
????
,解得EF=6.故选C.
第/课时
/
/
/
1.掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”.
2.掌握“平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例”.
3.能应用平行于三角形一边的直线的性质进行有关计算和证明.
/
1.通过平行线分线段成比例这一基本事实到三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.
2.通过应用平行于三角形一边的直线的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
/
1.通过探究平行于三角形一边的直线的性质,体会事物之间的普遍联系,感受探索知识的乐趣.
2.培养学生积极思考、动手、观察的能力,感悟几何知识在生活中的应用价值.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】 平行于三角形一边的直线的性质.
【难点】 探索平行于三角形一边的直线的性质的过程.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P65~67.
/
/
导入一:
复习提问:
1.平行线分线段成比例的基本事实如何叙述?
(两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例)
2.平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些问题?
(证明线段成比例、求线段的长度等)
导入二:
动手操作:
1.在平面上任意画三条平行线,再画两条与平行线相交的直线,根据这两条直线与平行线的交点位置,你能画出几种不同的情况?
2.标出交点,写出对应的比例式.
【师生活动】 学生动手画图,写出相应的比例式,小组内交流答案,小组代表把不同的情况画在黑板上,教师在巡视中及时提醒和帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
3.教师引导学生观察学生展示中的图形(如图所示),直线l1∥l2∥l3时,你能得到对应线段成比例吗?
/
【师生活动】 学生独立回答问题,教师对学生的回答进行点评,并以此导入新课.
[导入语] 在平行线分线段成比例的基本事实中,当两条直线相交于一点时,基本事实仍然成立.由此,我们可以将这个基本事实运用于三角形中.这就是我们这节课要学习的内容.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师提示学生应用导入一的结论解决问题2,教师对学生的回答进行点评.
[设计意图] 通过复习上节课的平行线分线段成比例,为本节课探究平行于三角形一边的直线的性质做好铺垫;通过动手操作,培养学生动手操作能力和数学发散性思维,激发学生的学习兴趣,观察学生画出的图形中的两个特殊图形,很自然地将学生带入本节课的探究活动中.
/
[过渡语] 让我们一起探究平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的应用吧!
一起探究一 平行线分线段成比例转化到三角形中
思路一
活动一:
【课件展示】
如图所示,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,动画演示图(2)(3),能根据平行线分线段成比例这一基本事实写出相对应的比例式.
/
教师活动:教师动画演示,将上图(1)中的直线移动到图(2)和(3)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例这一基本事实仍然成立.
活动二:
动手操作:
将刚才得到的图(2)和图(3)中多余的线擦掉,观察图形(如下图所示)及得到的成比例线段,结合图形,写出得到的结论.
/
(如图所示,ΔABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,则
????
????
=
????
????
)
【思考】
1.你能用语言叙述这一结论吗?
2.怎样用几何语言描述这一结论?
【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
几何语言:
如上图所示,DE∥BC,则
????
????
=
????
????
.
思路二
活动一:
【课件展示】 如图所示,直线EF平行于ΔABC的边BC,与BA,CA(或它们的延长线)分别相交于点E,F.求证
????
????
=
????
????
.
/
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师引导学生应用上节课的平行线分线段成比例这一基本事实证明,小组代表板书过程,教师点评,规范解答格式.
【课件展示】
证明:过点A作PQ∥EF,那么PQ∥EF∥BC.
依据平行线分线段成比例的基本事实,
即得
????
????
=
????
????
.
所以
????
????
=
????
????
,
????
????
+1=
????
????
+1,
????+????
????
=
????+????
????
,
????
????
=
????
????
,
即
????
????
=
????
????
.
对于图(2)的情形,同理可得.
/
活动二:
【思考】
1.你能用语言叙述这一结论吗?
2.用几何语言如何描述这一结论?
【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
几何语言:
如上图所示,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 通过动画演示或动手操作,将平行线分线段成比例的基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,体会数学中的转化思想和数形结合思想在几何中的应用,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力,严格的证明提高了学生的逻辑思维能力及严谨的学习态度.
一起探究二 平行于三角形一边的直线的性质
/
【课件展示】 如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,EF与两边AB,AC分别相交于点E,F.
求证
????
????
=
????
????
=
????
????
.
思路一
教师引导回答问题:
(1)如何证明
????
????
=
????
????
?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(2)EF不在BC边上,用什么方法将EF转化到BC边上呢?
(过E作EG∥AC,交BC于点G)
(3)你能证明
????
????
=
????
????
吗?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(4)EF与CG存在什么关系?
(5)你能写出
????
????
=
????
????
=
????
????
的证明过程吗?
(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.
【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书进行点评,规范书写过程.
/
证明:∵EF∥BC,
∴
????
????
=
????
????
.
如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,
则
????
????
=
????
????
.
∵EF∥BC,EG∥AC,
∴四边形EGCF为平行四边形,从而GC=EF.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
【课件展示】
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
/
几何语言:
如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,加深对平行于三角形一边的直线的性质的理解和掌握.
思路二
【师生活动】 教师引导学生如何将EF转化到BC边上,师生共同分析作出辅助线:过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,然后学生独立思考,小组合作交流,分析证明思路,独立完成证明过程,小组代表板书,教师点评并规范书写格式.
(板书)
/
证明:∵EF∥BC,
∴
????
????
=
????
????
.
如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,
则
????
????
=
????
????
.
∵EF∥BC,EG∥AC,
∴四边形EGCF为平行四边形,从而GC=EF.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.
追问:
(1)你能用语言叙述上述这个结论吗?
(2)用几何语言表示这个结论.
【师生活动】 学生尝试回答,其他学生补充,教师点评,师生共同归纳结论,教师规范几何语言.
【课件展示】
/
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
几何语言:
如图所示,在ΔABC中,EF∥BC,则
????
????
=
????
????
=
????
????
.
[设计意图] 在教师的引导下,学生通过小组合作交流,共同探究证明思路,培养学生的合作意识及归纳总结能力,提高学生分析问题的能力,加深对平行于三角形一边的直线的性质的理解和掌握.通过追加提问,让学生体会数学符号语言与语言叙述之间的转化,培养学生的符号感.
练习:
【课件展示】
/
1.如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,EF∥AB.下列各式中正确的是 (填写序号).?
①
????
????
=
????
????
;②
????
????
=
????
????
;③
????
????
=
????
????
;④
????
????
=
????
????
;⑤
????
????
=
????
????
.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评,强调易错点.
〔答案〕 ②④
/
2.如图所示,在ΔABC中,DE∥AC,AB=7,BD=3,BE=2.求BC的长.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书,教师对学生的展示进行点评,规范书写格式.
(板书)
解:∵DE∥AC,∴
????
????
=
????
????
,
∵AB=7,BD=3,BE=2,
∴BC=
14
3
.
[设计意图] 通过练习,进一步理解和掌握平行于三角形一边的直线的性质,提高学生应用性质解决有关问题的能力,培养学生的合作意识及严谨的学习态度.
[知识拓展]
1.将平行线分线段成比例这个基本事实转化到三角形中,用来直接判断三角形中线段成比例.
2.在应用平行于三角形一边的直线的性质时,找准成比例线段,利用成比例线段可以求线段长度.
/
1.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
3.平行于三角形一边的直线的性质的有关应用.
/
1.在ΔABC中,E是AB的中点,EF∥BC交AC于F点,则下列结论成立的是 ( )
A.AE=AF B.AF∶AC=1∶2
C.AF∶FC=1∶2 D.BE=FC
解析:∵EF∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∵AE=EB,∴
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
2
.故选B.
/
2.如图所示,在?ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则DB∶DF等于 ( )
A.3∶2 B.3∶1
C.1∶1 D.1∶2
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴
????
????
=
????
????
,∵点E是边AD的中点,∴AE=DE=
1
2
AD,∴
????
????
=
1
2
,∴DB∶DF=3∶1.故选B.
3.如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,若
????
????
=
1
3
,DE=2,则BC的长为 .?
解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
=
1
3
,又DE=2,∴
2
????
=
1
3
,∴BC=6.故填6.
/
4.如图所示,若DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求
????
????
的值.
解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,
∵DE=3 cm,BC=5 cm,
∴
????
????
=
3
5
,∴
????
????
=
3
8
.
/
第2课时
一起探究一 平行线分线段成比例转化到三角形中
一起探究二 平行于三角形一边的直线的性质
/
一、教材作业
【必做题】
教材第67页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第68页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·成都中考)如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
/
2.如图所示,在ΔABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若
????
????
=
1
2
,BC=9,则DE等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且
????
????
=
3
5
,那么
????
????
的值为 ( )
A.
5
8
B.
3
8
C.
3
5
D.
2
5
/
4.(2015·天津中考)如图所示,在ΔABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为 .?
5.如图所示,?ABCD中,点E是AD边的中点,BE交对角线AC于点F,若AF=2,则对角线AC长为 .?
/
6.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.
7.如图所示,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO的长.
/
【能力提升】
8.A,B,C,D四点在坐标平面上的位置如图所示,其中O为原点,AB∥CD.根据图中各点坐标,则D点坐标为 ( )
A.
0,
20
9
B.
0,
10
3
C.(0,5) D.(0,6)
9.如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,以BC为边向外作正方形BEDC,连接AE交BC于F,作FG∥BE交AB于G,求证FG=FC.
/
【拓展探究】
10.如图所示,直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.
(1)求AB的长;
(2)当AD=4,BE=1时,求CF的长.
【答案与解析】
1.B(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∴
6
3
=
4
????
,解得EC=2.故选B.)
2.B(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∵
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
3
,∴
????
????
=
1
3
,又∵BC=9,∴
????
9
=
1
3
,∴DE=3.故选B.)
3.A(解析:∵
????
????
=
3
5
,∴
????
????
=
5
8
,∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
,∵EF∥AB,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
.故选A.)
4.
18
5
(解析:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,即
????
6
=
3
3+2
,∴DE=
18
5
.故填
18
5
.)
5.6(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴
????
????
=
????
????
.∵点E是AD边的中点,∴
????
????
=
1
2
.∵AF=2,∴CF=4.∴AC=6.故填6.)
6.解:作DE⊥AC于E,由题意知BC⊥AC,∴DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,∴
????-55
????
=
70
80
.∴AB=440 cm.∴梯子长为440 cm.
7.解:设DO=x cm,则CO=(159-x) cm,∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∴AC∥BD.∴
????
????
=
????
????
.即
78
42
=
159-??
??
.∴x=55.65.∴CO=103.35 cm,DO=55.65 cm.
8.C(解析:∵AB∥CD,∴
????
????
=
????
????
,即
12
7
∶
10
3
=
18
7
∶DO,∴DO=5,∴D点坐标为(0,5).故选C.)
9.证明:∵FG∥BE,∴
????
????
=
????
????
.∵FC∥ED,∴
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.又∵EB=ED,∴FG=FC.
10.解:(1)∵l1∥l2∥l3,EF∶DF=5∶8,AC=24,∴
????
????
=
????
????
=
5
8
,∴
????
24
=
5
8
,∴BC=15,∴AB=AC-BC=24-15=9. (2)设l4与l5相交于点O,∵l1∥l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
1
4
,∴
????
????+9
=
1
4
,∴OB=3,∴OC=BC-OB=15-3=12,∵l2∥l3,∴
????
????
=
????
????
=
3
12
,∴
1
????
=
1
4
,∴CF=4.
/
/
本节课是把平行线分线段成比例应用在三角形中,教学设计中,在平行线分线段成比例的基本事实的基础上,学生动手画图,直观地观察到这一基本事实应用在三角形中.在观察、思考、交流、归纳等数学活动中,探索出平行线分线段成比例在三角形中的应用,体会转化思想,为后边的学习做好铺垫.学生在教师的引导下,通过小组合作交流,共同探究证明的思路,培养学生的合作意识及严谨的学习精神,提高学生的数学思维能力.
/
本节课在将平行线分线段成比例的基本事实转化到三角形中时,采用动手操作画图,观察思考得到结论的方式,这一环节用时过多,造成后边的证明处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重知识的形成过程,不是单纯地记住结论.
/
本节课重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三角形中,在教学设计中要突出重点,通过动手操作,共同探究等数学活动,共同归纳得出结论,通过直观形象的动画演示,自然地转化到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力的目的.
/
练习(教材第67页)
1.②④
2.解:因为DE∥AC,所以
????
????
=
????
????
,因为AB=7,BD=3,BE=2,所以BC=
14
3
.
习题(教材第67页)
A组
1.解:∵AC∥BD,∴
????
????
=
????
????
,则DO=
????
????
·CO=
15
10
×12=18.
2.解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
,则BC=
????
????
·DE=
????+????
????
·DE=
12+2
12
×10=
35
3
.
B组
1.解:∵DE∥BC,∴
????
????
=
????
????
.∵EF∥AB,∴
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.∵AB=9,AD=3,BF=4,∴
3
9
=
4
????
,∴BC=12.
2.证明:∵EF∥BC,∴
????
????
=
????
????
,
????
????
=
????
????
.∴
????
????
=
????
????
.∵AD为BC边上的中线,∴BD=DC.∴EG=GF.
/
/
在探究活动中获得知识
本节课在上节课探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,让学生动手操作、观察、归纳,将这一基本事实转化到三角形中,得到平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,然后根据这一结论证明截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例.在教学设计中,学生经历动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结等教学活动,经历知识的形成过程,探索出本节课的结论.动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,学生在实践中会真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法,提高综合运用所学知识解决实际问题的能力.所以在教学设计中合理科学地创设数学问题情境,让学生在自身体验和思考过程中,主动地发现和构建新知识,在体验中学会用数学的眼光观察世界,用数学的头脑来分析周围的世界,数学思维会不断提升.
/
/
/ (2015·金华中考)如图所示,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是 .?
〔解析〕 ∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,∴
????
????
=
2
3
,∴
????
????
=
2
5
,又∵l3∥l6,∴
????
????
=
????
????
=
2
5
,∵BC=2,∴
2
????
=
2
5
,∴EF=5.故填5.
25.3 相似三角形
/
/
/
1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系.
2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似.
3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.
/
1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识.
/
1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力.
2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
/
【重点】
1.相似三角形的有关概念.
2.由平行判断三角形相似.
【难点】 探索由平行线判定三角形相似的方法.
/
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P69~71.
/
/
导入一:
【课件展示】 欣赏图片:
/
[导入语] 图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知识.
导入二:
复习提问
1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系?
(能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等)
2.全等三角形有什么性质?
(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
【师生活动】 学生独立回答,教师点评,导出新课的学习.
[设计意图] 通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫.
/
[过渡语] 全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧.
探究一 认识相似三角形
思路一
【学生活动】 自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.
【问题】
1.什么是相似三角形、相似比?
2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?
3.如果相似比是1∶1,那么这两个三角形是什么关系?
4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是多少?
5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?
【师生活动】 学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概念及性质.
【课件展示】
1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
几何表示:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
/
2.表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.
注意:对应顶点写在对应的位置上.
3.相似比为1∶1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.
4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是
1
??
.
5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,
则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
.
思路二
教师引导学生思考并回答:
1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为:
如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
/
3.相似三角形的表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.
注意:对应顶点写在对应的位置上.
4.思考:
(1)如果两个三角形的相似比是1∶1,那么这两个三角形的关系是 .?
(2)ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是 .?
5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是 .?
6.相似三角形的性质用几何语言表示为 .?
【课件展示】
性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
????
??'??'
=
????
??'??'
=
????
??'??'
.
【师生活动】 教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示,师生共同归纳.
[设计意图] 通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系.
大家谈谈:
[过渡语] 我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下下面的问题.
【课件展示】
1.两个直角三角形相似吗?
(不一定相似)
2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?
(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)
3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系?
(全等三角形都是相似比为1∶1的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系.
例题讲解
【课件展示】
/
/ (教材69页例)如图所示,ΔAEF∽ΔABC.
(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.
(2)求证EF∥BC.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过程.
(板书)
解:(1)∵ΔAEF∽ΔABC,
∴
????
????
=
????
????
.
又∵AE=3,AB=5,EF=2.4,
∴BC=
????·????
????
=
5×2.4
3
=4.
(2)∵ΔAEF∽ΔABC,
∴∠AEF=∠B.
∴EF∥BC.
[设计意图] 通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度.
探究二 由平行线证明三角形相似
[过渡语] 我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢?
【课件展示】 如图所示,EF∥BC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证ΔAEF∽ΔABC.
/
教师引导回答问题:
(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?
/∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
????
????
=
????
????
=
????
????
/
(2)你能证明这些角对应相等吗?
(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)
(3)如何证明
????
????
=
????
????
=
????
????
?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(4)你能写出ΔAEF∽ΔABC的证明过程吗?
(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗?
(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.
【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论.
(板书)
证明:如图(1)所示,在ΔAEF和ΔABC中,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,且
????
????
=
????
????
=
????
????
.
又∵∠A=∠A,
∴ΔAEF∽ΔABC.
同理可证其他两种情况.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.
【教师活动】 教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形.
[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方法.
做一做
/
【课件展示】 如图所示,在ΔABC中,E,F分别为AB,AC的中点.求证ΔABC∽ΔAEF.
【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似.
[设计意图] 通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力.
[知识拓展]
1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.
2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.
3.相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽ΔA″B″C″.
4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则ΔADE∽ΔABC.
/
/
1.相似三角形的概念、表示.
2.相似三角形与全等三角形的区别和联系.
3.相似三角形定义的应用.
4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.
/
1.如图所示,ΔADE∽ΔACB,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是 ( )
A.
????
????
=
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????
=
????
????
解析:∵ΔADE∽ΔACB,∠AED=∠B,∴
????
????
=
????
????
=
????
????
.故选A.
/
2.如图所示,DE∥BC,
????
????
=
1
2
,则ΔADE和ΔABC的相似比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.2∶3
解析:∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴ΔADE和ΔABC的相似比为
????
????
,∵
????
????
=
1
2
,∴
????
????
=
1
3
.故选B.
3.若ΔABC与ΔDEF的相似比是5∶3,则ΔDEF与ΔABC的相似比是 .?
解析:根据相似比的概念,可得ΔABC与ΔDEF的相似比与ΔDEF与ΔABC的相似比互为倒数,所以ΔDEF与ΔABC的相似比是3∶5.故填3∶5.
4.如图所示,ΔABC中,点D在BC上,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?
解:共有三对相似三角形,分别是ΔAEG∽ΔABD,ΔAGF∽ΔADC,ΔAEF∽ΔABC.
/
5.如图所示,AB=AD,AC=AE,FG∥DE.求证ΔABC∽ΔAFG.
证明:∵AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,
∴ΔABC≌ΔADE,
∴∠B=∠ADE,
∴DE∥BC,
∵FG∥DE,∴FG∥BC,
∴ΔABC∽ΔAFG.
/
25.3 相似三角形
探究一 认识相似三角形
例题讲解
探究二 由平行线证明三角形相似
做一做
/
一、教材作业
【必做题】
教材第71页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第72页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若ΔABC∽ΔA'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于 ( )
A.30° B.50°
C.40° D.70°
2.若ΔABC∽ΔA'B'C',且相似比为k,则k的值等于 ( )
A.∠A∶∠A' B.AB∶A'C'
C.AB∶A'B' D.BC∶A'B'
3.若ΔABC∽ΔA'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=5,AC=3,A'B'=10,则B'C'的值为 ( )
A.8 B.10
C.6 D.无法确定
4.如图所示,在?ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: .?
/
5.如图所示,ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,线段BE,CD相交于点O,若OD=2,则OC= .?
6.如图所示,在ΔABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
(1)求
????
????
的值;
(2)求BC的长.
/
【能力提升】
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC等于 ( )
A.1∶4 B.1∶3
C.2∶3 D.1∶2
8.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,BE∥CD交CA的延长线于点E.求证OC2=OA·OE.
/
9.如图所示,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,FG的长.
【拓展探究】
10.如图所示,在?ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交AB(或其延长线)于点E,得到ΔDOC∽ΔEOA.
(1)当点O运动到何处时,ΔDOC与ΔEOA的相似比为2?
(2)当点O运动到何处时,ΔDOC≌ΔEOA?
(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时ΔDOC与ΔEOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,如图(2)所示,DO的延长线与BC交于F,且有ΔDFC∽ΔEFB,当F是BC中点时,求ΔDOC与ΔEOA的相似比.
/
【答案与解析】
1.A(解析:在ΔABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠C=110°,∴∠B=30°,又ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B'=∠B=30°.故选A.)
2.C(解析:相似比为相似三角形对应边的比,即AB∶A'B'或AC∶A'C'或BC∶B'C'.故选C.)
3.A(解析:∵∠C=90°,∴由勾股定理可得BC=
??
??
2
-??
??
2
=4,∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴
????
??'??'
=
????
??'??'
,∴
5
10
=
4
??'??'
,∴B'C'=8.故选A.)
4.ΔABP∽ΔAED(解析:∵BP∥DF,∴ΔABP∽ΔAED.答案不唯一.)
5.4(解析:∵点D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为ΔABC的中位线,∴DE∥BC,DE=
1
2
BC,∴ΔODE∽ΔOCB,∴
????
????
=
????
????
=
1
2
,∴OC=2OD=4.故填4.)
6.解:(1)∵AD=4,DB=8,∴AB=AD+DB=4+8=12,∴
????
????
=
4
12
=
1
3
. (2)∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,∵DE=3,∴
3
????
=
1
3
,∴BC=9.
7.D(解析:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,则ΔDFE∽ΔBAE,∴
????
????
=
????
????
,∵O为对角线的交点,∴DO=BO,又∵E为OD的中点,∴DE=
1
4
DB,则
????
????
=
1
3
,∴
????
????
=
1
3
,∵DC=AB,∴
????
????
=
1
3
,∴DF∶FC=1∶2.故选D.)
8.证明:∵AD∥BC,∴ΔAOD∽ΔCOB,∴
????
????
=
????
????
,又∵BE∥CD,∴ΔBOE∽ΔDOC,∴
????
????
=
????
????
,∴
????
????
=
????
????
,∴OC2=OA·OE.
9.解:∵ΔABC中,EG∥BC,∴ΔAEG∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,∵BC=10,AE=3,AB=5,∴
????
10
=
3
5
,∴EG=6,∵ΔBAD中,EF∥AD,∴ΔBEF∽ΔBAD,∴
????
????
=
????
????
,∵AD=6,AE=3,AB=5,∴
????
6
=
5-3
5
,∴EF=
12
5
.∴FG=EG-EF=
18
5
.
10.解:(1)∵ΔDOC与ΔEOA的相似比为2,∴
????
????
=2,∴当点O运动到
????
????
=2处时,ΔDOC与ΔEOA的相似比为2. (2)若ΔDOC与ΔEOA全等,则AO=CO,∵AB∥CD,∴∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO,∴ΔDOC≌ΔEOA,∴当O点运动到AC的中点处时,ΔDOC与ΔEOA全等. (3)∵当E与B重合时,ΔDOC与ΔEOA全等,∴AO=CO,∴当点O运动到AC的中点时,E与B重合,此时ΔDOC与ΔEOA的相似比是1.当点F是BC的中点时,则BF=CF,∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF,∴ΔDFC≌ΔEFB,∴DC=BE,∴AB=DC=BE,∴
????
????
=
1
2
,∴ΔDOC与ΔEOA的相似比为
????
????
=
1
2
.
/
/
本节课是三角形的有关概念和由平行线证明三角形相似,通过复习全等三角形的概念,学生通过自主学习,用类比法得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.在教学设计中,通过学生自主学习、合作交流,共同归纳等数学活动,让学生经历概念的形成过程,突出学生在课堂上的主体作用.在探究由平行线证明三角形相似时,学生在教师的引导下,通过思考、交流得到由平行线证明三角形相似的结论,让学生在积极思考中探索出结论,并能应用这一结论解决有关问题,通过数学活动,培养学生分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力和严谨的学习精神.
/
本节课的主要内容是相似三角形的有关概念和探究由平行线证明三角形相似,教学设计时通过学生的自主学习、小组合作交流,归纳出相似三角形的有关概念,通过教师引导,探究由平行线判定三角形相似这一结论,本课时内容简单,应该多给学生思考、交流、归纳的时间和空间,让学生经历知识的形成过程,并能应用结论进行计算和证明,在教学过程中,教师讲得太多,应放手让学生在课堂上活跃思维,真正成为课堂的主人.
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本节课重点学习相似三角形的有关概念,探索由平行线证明三角形相似,在教学设计中多给学生创造自主学习、合作交流的时间和空间,首先通过复习全等三角形的有关概念,学生用类比思想自主学习三角形相似的概念,并通过例题让学生掌握应用三角形相似的概念进行线段的计算,然后自主探究由平行线判定三角形相似这一结论.在课堂上突出学生的主体地位,教师只是引导学生思考、探究,在课堂上达到学生思维活跃,不仅学习知识,而且让学生的学习能力得到提高.
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练习(教材第71页)
1.提示:A,B两个村庄之间的实际距离为3千米;B,C两个村庄之间的实际距离为3.5千米;A,C两个村庄之间的实际距离为2.5千米.
2.解:∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B'=∠B=60°,∠C'=∠C=45°,∴∠A'=180°-60°-45°=75°.
习题(教材第71页)
A组
1.解:
????
????
=
????
????
=
????
????
.
2.解:∵ΔADE∽ΔABC,∴
????
????
=
????
????
,即
????-????
????
=
????
????
,
????-2
????
=
12
15
,解得AB=10.
3.证明:∵∠ADE=∠B,∴DE∥BC.∴ΔADE∽ΔABC.
B组
1.证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD.∴ΔABO∽ΔCDO.
2.解:根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可知三角尺的最短边长为6 cm,所以内、外两个三角形的相似比为
3
6
=
1
2
.
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通过数学活动,突出学生主体地位
本节课是相似三角形的有关概念及由平行线判定三角形相似,它是其他判定方法的基础,本课时内容知识结构看似分散,但又环环相扣,具有承上启下的作用.在学习相似三角形的概念时,教学设计中,欣赏生活中形状相同、大小不同的三角形图片,学生直观上感受相似三角形的概念,激发学生学习本节课的学习兴趣,通过复习三角形全等的概念,学生自主学习,类比三角形全等的概念,形成三角形相似的概念,学生经历概念的形成过程,提高归纳总结能力.由上节课探究的平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例,学生独立思考完成由平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中教师只是引导者,学生是课堂的主人,学生在课堂上小组合作交流、归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,学生在数学活动中提高合作意识,突出学生的主体地位,体会成功的快乐,人人学有价值.
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/ (2015·海南中考)如图所示,点P是?ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有 ( ) /
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
〔解析〕 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴ΔEAP∽ΔEDC,ΔEAP∽ΔCBP,∴ΔEDC∽ΔCBP.故选D.
/ (2015·株洲中考)如图所示,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是 ( ) /
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
〔解析〕 ∵AB∥CD,∴
????
????
=
????
????
=3,∵EF∥CD,∴
????
????
=
????
????
=
????
????+????
=
1
4
,∴EF=
3
4
.故选C.
25.4 相似三角形的判定
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1.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.
2.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.
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1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学问题的能力.
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1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
2.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
3.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
4.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.
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【重点】 能灵活运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
【难点】
1.探索三角形相似的判定定理的证明.
2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.
3.在实际问题中建立数学模型解决问题.
第/课时
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1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.
2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
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1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.
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1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理
能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.
2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
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【重点】 能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.
【难点】 三角形相似的判定定理的证明过程.
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【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P73~75.
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导入一:
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【课件展示】 你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示)),这展示了他非凡的数学及科学才能.
[过渡语] 泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.
导入二:
(1)证明三角形相似的方法是什么?
(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)
(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?
(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)
(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?
[过渡语] 我们能不能用类似探究三角形全等的方法,探究三角形相似的判定定理呢?
导入三:
(观察实物并课件展示)
观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30°与60°或45°与45°).
【思考】
(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.
(2)如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.
(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?
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[导入语] 有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.
[设计意图] 以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.
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[过渡语] 我们知道,有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹边不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢?
观察思考:
完成导入三中提出的问题.
【师生活动】 教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”
[设计意图] 完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.
做一做:
【课件展示】 如图所示,已知∠α,∠β.
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(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.
(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?
【师生活动】
(1)同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.
(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.
(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.
(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.
[设计意图] 教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学
同课章节目录
- 第23章 数据分析
- 23.1 平均数与加权平均数
- 23.2 中位数与众数
- 23.3 方差
- 23.4 用样本估计总体
- 第24章 一元二次方程
- 24.1 一元二次方程
- 24.2 解一元二次方程
- 24.3 一元二次方程根与系数的关系
- 24.4 一元二次方程的应用
- 第25章 图形的相似
- 25.1 比例线段
- 25.2 平行线分线段成比例
- 25.3 相似三角形
- 25.4 相似三角形的判定
- 25.5 相似三角形的性质
- 25.6 相似三角形的应用
- 25.7 相似多边形和图形的位似
- 第26章 解直角三角形
- 26.1 锐角三角函数
- 26.2 锐角三角函数的计算
- 26.3 解直角三角形
- 26.4 解直角三角形的应用
- 第27章 反比例函数
- 27.1 反比例函数
- 27.2 反比例函数的图像和性质
- 27.3 反比例函数的应用
- 第28章 圆
- 28.1 圆的概念和性质
- 28.2 过三点的圆
- 28.3 圆心角和圆周角
- 28.4 垂径定理
- 28.5 弧长和扇形面积