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2020届高三二轮复习专题复习
专题五
圆周运动(2课时）
考点
要求
考点解读及预测
圆周运动的描述
Ⅰ
本专题知识考查主要有描述圆周运动的物理量及其关系；向心力的来源分析；水平面内和竖直面内的临界和极值问题。常结合牛顿第二定律分析、计算和应用考查。本专题内容单独考查主要是以选择题的形式出现，还常常与牛顿运动定律、带电粒子的运动等知识结合起来进行考查，多以生活中的问题为背景，突出综合应用知识解决实际问题能力的考查。创新区域：①注重思想方法的考查
②圆周运动与实际问题相联系。
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
1．物理量间的关系
2．基本思路
(1)做好受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径(如上T1，T2)。
(2)列出动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr。
3．抓住圆周运动“两类典型问题”
(1)问题1：水平面内的圆周运动——做好“临界”分析。
①绳的临界：张力FT＝0。
②接触面滑动临界：F＝f。
③接触面分离临界：FN＝0。
(2)问题2：竖直面内的圆周运动(轻绳模型和轻杆模型)。
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
[来源:中。教。网z。z。s。tep]均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球能运动即可得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线
取竖直向下为正方向
[来源:中,国教,育出,版网]取竖直向下为正方向
1、水平面内的圆周运动临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
二、竖直平面内圆周运动中的临界问题
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
三、平抛运动与圆周运动的组合问题
1．抛体运动与圆周运动的综合应用问题要注意以下几点：
(1)运动阶段的划分(如上题分上升阶段和平抛阶段)。
(2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向(如上题中的最高点)。
(3)两个运动阶段在时间和空间上的联系。
2．对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键。
题型一
描述匀速圆周运动的基本物理量及其关系
熟练掌握相关物理量的关系：①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
【典例1】某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是( )
A．分针的角速度与时针的角速度相等
B．分针的角速度是时针的角速度的60倍
C．分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍
D．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
【答案】 C
【解析】 分针的角速度ω1＝＝
rad/min，时针的角速度ω2＝＝
rad/min.
ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，
a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确．
题型二
水平面内圆周运动的动力学问题
1、受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2、动力学方程：根据牛顿第二定律得
其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3、分析结论：解上述方程可知
可见，最佳情况是由、、共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能，
当时，内外轨均不受侧向挤压的力；
当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；
当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等
【典例2】(2019·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】 ABD
【解析】 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
题型三
水平面内的圆周运动临界问题
【典例3】(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】 AC
【解析】 两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝
，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．
题型四
竖直面内的圆周运动临界问题
【典例4】如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
甲 乙
A．图象的函数表达式为F＝m＋mg
B．重力加速度g＝
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
【答案】BD
【解析】小球在最高点时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，得F＝m－mg，故A错误；当F＝0时，根据表达式有mg＝m，得g＝＝，故B正确；根据F＝m－mg知，图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；当F＝0时，g＝，可知b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D正确。
题型五
平抛运动与圆周运动的组合问题
【典例5】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；
(2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
【答案】 (1) (2)mg (3) d
【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得
竖直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t
解得v1＝
在竖直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，则
v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R＝d
对小球在最低点由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1，则
竖直方向d－l＝gt12
水平方向x＝v3t1
解得x＝4
当l＝时，x有最大值，xmax＝d.
1.(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径
为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是
( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【答案】：A
【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v＞，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误．
2.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
【答案】D
【解析】：.设A、B质量分别为m、M，A做匀速圆周运动的向心加速度为a，细线与竖直方向的夹角为θ，对B研究，B受到的静摩擦力f＝Tsin
θ，对A，有：Tsin
θ＝ma，Tcos
θ＝mg，解得a＝gtan
θ，θ变小，a减小，则静摩擦力大小变小，故A错误；以整体为研究对象知，B受到桌面的支持力大小不变，应等于(M＋m)g，故B错误；细线的拉力T＝，θ变小，T变小，故C错误；设细线长为l，则a＝gtan
θ＝ω2lsin
θ，ω＝，θ变小，ω变小，故D正确．
3.(2019·辽宁大连模拟)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
A．受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
【答案】B
【解析】对女运动员受力分析如图所示，F1＝Fcos
30°，F2＝Fsin
30°，F2＝G，由牛顿第二定律得F1＝ma，所以a＝g，F＝2G，B正确．
4.(2019·湖南衡阳模拟)轻杆一端固定有质量为m＝1
kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50
cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示．若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2
N，重力加速度g取10
m/s2，则( )
A．小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12
N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1
m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8
N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
【答案】C
【解析】小球运动到最高点时，杆受到小球的压力为2
N，由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN＝2
N，在最高点，小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供，为
F＝mg－FN＝8
N，故A错误；在最高点，由F＝m得，v＝＝
m/s＝2
m/s，故B错误；小球运动到图示水平位置时，设杆对小球的拉力为FT，则有FT＝m＝F＝8
N，则小球对杆的拉力FT′＝FT＝8
N，据题意知支架处于静止状态，由平衡条件可知地面对支架的摩擦力Ff＝FT′＝8
N，故C正确；把杆换成轻绳，设小球通过最高点的最小速度为v0，由mg＝m得，v0＝＝
m/s＝
m/s>v，所以在同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误．
5．(多选)(2019·江苏南京市、盐城市一模)乘坐列车时，在车厢内研究列车的运动情况，小明在车厢顶部用细线悬挂一个小球．当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，小明发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，则下列判断正确的是( )
A．细线对小球的拉力等于小球的重力
B．外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用
C．小球不在悬点的正下方，偏向弯道的内侧
D．放在桌面上的茶杯所受支持力垂直于桌面，但并非竖直向上
【答案】 BD
【解析】 当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，小球也做匀速圆周运动，细线的拉力与重力的合力提供向心力，设此时细线与竖直方向的夹角为θ，则细线的拉力：F＝＞mg，故A错误；设列车与小球做匀速圆周运动的半径为R，车速为v，则对小球：mgtan
θ＝m，解得：v＝，由于悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，可知车受到的支持力的方向与小球受到的细线的拉力方向相同，由受力分析可知，车的向心力恰好由车受到的重力与支持力的合力提供，所以两侧的轨道与轮缘间都没有侧向挤压作用，故B正确；由于悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，绳子的拉力与重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则小球一定不在悬点的正下方，故C错误；在弯道处火车内轨与外轨之间存在高度差，所以火车的桌面不是水平的，根据弹力方向的特点可知，放在桌面上的茶杯所受支持力垂直于桌面，但并非竖直向上，故D正确．
6.(2019·四川乐山市第一次调查研究)如图所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球在距碗顶高度为h的水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则小球做匀速圆周运动的角速度为( )
A.
B.
C．g
D.
【答案】 D
【解析】 根据受力分析和向心力公式可得：mgtan
θ＝mrω2，
小球做匀速圆周运动的轨道半径为：r＝Rsin
θ；解得：ω＝＝，故选D.
7.(2019·云南昆明1月诊断测试)如图所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离为l(0A．l越大，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B．l越小，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C．当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
D．当l＝H时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
【答案】C
【解析】小孩向下摆动的过程中，机械能守恒，由mgl＝mv2，解得小孩在O点正下方的速度v＝。运动到O点正下方时，设绳子对小孩的拉力为F，由牛顿第二定律得，F－mg＝m，解得F＝3mg，由牛顿第三定律知，小孩对绳子的拉力恒为3mg，选项A、B错误。小孩运动到绳子竖直时松手，此后做平抛运动，由平抛运动规律有x＝vt，H－l＝gt2，联立解得x＝2，由数学知识可知，当l＝，时，小孩在安全网上的落点距离O点的水平距离x最大，选项C正确，D错误。
8.(多选)(2019·哈尔滨六校联考)如图所示，半径为R的光滑半圆槽竖直固定在水平地面上，可视为质点的小球以4
m/s的初速度向左进入半圆轨道，小球通过最高点后做平抛运动。若小球做平抛运动有最大水平位移，重力加速度为g＝10
m/s2，则下列说法正确的是( )
A．最大水平位移为1.6
m
B．R＝0.2
m时，球的水平位移最大
C．小球落地时，速度方向与水平地面成45°角
D．小球落地时，速度方向与水平地面成60°角
【答案】BC
【解析】设小球在最高点的速度大小为v，由机械能守恒定律得mv＝mv2＋mg·2R，小球做平抛运动时，在空中运动的时间为t＝，则小球做平抛运动的水平位移为x＝vt，整理得x＝
m，当R＝0.2
m时水平位移最大，最大的水平位移为xmax＝0.8
m，A错误，B正确；将R＝0.2
m代入解得v＝2
m/s、t＝
s，由平抛运动的规律可知，小球落地瞬间的竖直分速度大小为vy＝gt＝2
m/s，由于落地瞬间的水平速度与竖直速度大小相等，因此小球落地瞬间速度方向与水平地面的夹角为45°，C正确，D错误。
9.(2019·辽宁五校高三联考)如图所示，AB是长为L＝1.2
m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点．C是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上．物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上．已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28
N，物体可看成质点且m＝1
kg.重力加速度g取10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小；(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离．
【答案】见解析
【解析】
(1)根据题图，由几何知识得，OA的高度H＝＝1.5
m
圆轨道半径R＝＝0.9
m
物体从A到C的过程，由动能定理得
(F－μmgcos
53°)L－mg(H＋R)＝mv2
解得v＝2
m/s
物体在C点，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
由牛顿第三定律得物体通过C点时对轨道的压力大小FN′＝FN＝3.3
N
(2)物体离开C点后做平抛运动
在竖直方向：H＋R＝gt2
在水平方向：x＝vt
解得x＝2.4
m.
10.(2019·山东省实验中学高三期末)如图所示，半径R＝0.5
m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙直轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。将一个质量为m＝0.5
kg的物体(视为质点)从A点左侧高为h＝0.8
m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8。求：
(1)物体水平抛出时的初速度大小v0；
(2)物体经过B点时，对圆弧轨道的压力大小FN；
(3)物体在轨道CD上运动的距离x。(结果保留三位有效数字)
【答案】(1)3
m/s (2)34
N (3)1.09
m
【解析】(1)由平抛运动规律知v＝2gh
竖直分速度vy＝＝4
m/s
初速度v0＝vytan
37°＝3
m/s。
(2)从P点至B点的过程，由动能定理有
mg(h＋R－Rcos
53°)＝mv－mv
经过B点时，由向心力公式有
F′N－mg＝m
代入数据解得F′N＝34
N
由牛顿第三定律知，物体对轨道的压力大小为FN＝34
N。
(3)因μmgcos
37°>mgsin
37°，物体沿轨道CD向上做匀减速运动，速度减为零后不再下滑。
从B点到上滑至最高点的过程，由动能定理有
－mgR(1－cos
37°)－(mgsin
37°＋μmgcos
37°)x＝0－mv
代入数据可解得x＝
m≈1.09
m。
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精品试卷·第
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专题五
圆周运动(2课时）
考点
要求
考点解读及预测
圆周运动的描述
Ⅰ
本专题知识考查主要有描述圆周运动的物理量及其关系；向心力的来源分析；水平面内和竖直面内的临界和极值问题。常结合牛顿第二定律分析、计算和应用考查。
本专题内容单独考查主要是以选择题的形式出现，还常常与牛顿运动定律、带电粒子的运动等知识结合起来进行考查，多以生活中的问题为背景，突出综合应用知识解决实际问题能力的考查。
创新区域：①注重思想方法的考查
②圆周运动与实际问题相联系。
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
1．物理量间的关系
2．基本思路
(1)做好受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径(如上T1，T2)。
(2)列出动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr。
3．抓住圆周运动“两类典型问题”
(1)问题1：水平面内的圆周运动——做好“临界”分析。
①绳的临界：张力FT＝0。
②接触面滑动临界：F＝f。
③接触面分离临界：FN＝0。
(2)问题2：竖直面内的圆周运动(轻绳模型和轻杆模型)。
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
[来源:中。教。网z。z。s。tep]
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球能运动即可得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线
取竖直向下为正方向
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取竖直向下为正方向
水平面内的圆周运动临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
二、竖直平面内圆周运动中的临界问题
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
三、平抛运动与圆周运动的组合问题
1．抛体运动与圆周运动的综合应用问题要注意以下几点：
(1)运动阶段的划分(如上题分上升阶段和平抛阶段)。
(2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向(如上题中的最高点)。
(3)两个运动阶段在时间和空间上的联系。
2．对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键。
题型一
描述匀速圆周运动的基本物理量及其关系
熟练掌握相关物理量的关系：①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
【典例1】某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是( )
A．分针的角速度与时针的角速度相等
B．分针的角速度是时针的角速度的60倍
C．分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍
D．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
【答案】 C
【解析】 分针的角速度ω1＝＝
rad/min，时针的角速度ω2＝＝
rad/min.
ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，
a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确．
题型二
水平面内圆周运动的动力学问题
受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2、动力学方程：根据牛顿第二定律得
其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3、分析结论：解上述方程可知
可见，最佳情况是由、、共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能，
当时，内外轨均不受侧向挤压的力；
当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；
当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等
【典例2】(2019·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】 ABD
【解析】 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
题型三
水平面内的圆周运动临界问题
【典例3】(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】 AC
【解析】 两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝
，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．
题型四
竖直面内的圆周运动临界问题
【典例4】如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
甲 乙
图象的函数表达式为F＝m＋mg
B．重力加速度g＝
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
【答案】BD
【解析】小球在最高点时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，得F＝m－mg，故A错误；当F＝0时，根据表达式有mg＝m，得g＝＝，故B正确；根据F＝m－mg知，图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；当F＝0时，g＝，可知b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D正确。
题型五
平抛运动与圆周运动的组合问题
【典例5】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；
(2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
【答案】 (1) (2)mg (3) d
【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得
竖直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t
解得v1＝
在竖直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，则
v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R＝d
对小球在最低点由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1，则
竖直方向d－l＝gt12
水平方向x＝v3t1
解得x＝4
当l＝时，x有最大值，xmax＝d.
1.(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径
为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是
( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
2.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
3.(2019·辽宁大连模拟)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
A．受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
4.(2019·湖南衡阳模拟)轻杆一端固定有质量为m＝1
kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50
cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示．若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2
N，重力加速度g取10
m/s2，则( )
小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12
N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1
m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8
N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
5．(多选)(2019·江苏南京市、盐城市一模)乘坐列车时，在车厢内研究列车的运动情况，小明在车厢顶部用细线悬挂一个小球．当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，小明发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，则下列判断正确的是( )
A．细线对小球的拉力等于小球的重力
B．外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用
C．小球不在悬点的正下方，偏向弯道的内侧
D．放在桌面上的茶杯所受支持力垂直于桌面，但并非竖直向上
6.(2019·四川乐山市第一次调查研究)如图所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球在距碗顶高度为h的水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则小球做匀速圆周运动的角速度为( )
A.
B.
C．g
D.
7.(2019·云南昆明1月诊断测试)如图所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离为l(0A．l越大，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B．l越小，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C．当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
D．当l＝H时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
8.(多选)(2019·哈尔滨六校联考)如图所示，半径为R的光滑半圆槽竖直固定在水平地面上，可视为质点的小球以4
m/s的初速度向左进入半圆轨道，小球通过最高点后做平抛运动。若小球做平抛运动有最大水平位移，重力加速度为g＝10
m/s2，则下列说法正确的是( )
A．最大水平位移为1.6
m
B．R＝0.2
m时，球的水平位移最大
C．小球落地时，速度方向与水平地面成45°角
D．小球落地时，速度方向与水平地面成60°角
9.(2019·辽宁五校高三联考)如图所示，AB是长为L＝1.2
m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点．C是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上．物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上．已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28
N，物体可看成质点且m＝1
kg.重力加速度g取10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小；(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离．
10.(2019·山东省实验中学高三期末)如图所示，半径R＝0.5
m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙直轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。将一个质量为m＝0.5
kg的物体(视为质点)从A点左侧高为h＝0.8
m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8。求：
(1)物体水平抛出时的初速度大小v0；
(2)物体经过B点时，对圆弧轨道的压力大小FN；
(3)物体在轨道CD上运动的距离x。(结果保留三位有效数字)
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精品试卷·第
2
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