2019年华师大上册数学八年级《第13章 全等三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年华师大上册数学八年级《第13章 全等三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 356.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-25 14:48:32 | ||
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文档简介
2019年华师大上册数学八年级《第13章 全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．如图，∠AOB的角平分线是（ ）
A．射线OB B．射线OE C．射线OD D．射线OC
2．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
3．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若∠AOB＝2∠AOC，则OC平分∠AOB
B．延长∠AOB的平分线OC
C．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC＝∠DOC
D．若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC
5．如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC＝CD，②AC⊥CD，③BE＝AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④
6．如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（ ）
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
7．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
8．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
9．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（ ）度．
A．65 B．75 C．80 D．85
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
13．下列四个命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②0.1的算术平方根是0.01；
③计算（+）＝5；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1．
其中是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
15．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
二．填空题（共8小题）
16．如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝ 度．
17．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 度．
18．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ ．
19．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
20．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ ．
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 ．
22．将命题“内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
23．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．
三．解答题（共3小题）
24．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE＝27°，求∠ABC的度数．
25．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
2019年华师大上册数学八年级《第13章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，∠AOB的角平分线是（ ）
A．射线OB B．射线OE C．射线OD D．射线OC
【分析】由∠AOB＝70°、∠AOE＝35°，利用角平分线的定义即可找出∠AOB的角平分线是射线OE，此题得解．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，∠AOE＝35°，
∴∠AOB＝2∠AOE，
∴∠AOB的角平分线是射线OE．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，牢记角平分线的定义是解题的关键．
2．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
【分析】分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AOD度数，即可求出答案．
【解答】
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．
3．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．
【解答】解：A、正确；
B、不一定正确；
C、正确；
D、正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若∠AOB＝2∠AOC，则OC平分∠AOB
B．延长∠AOB的平分线OC
C．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC＝∠DOC
D．若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC
【分析】画出反例图形，即可判断A、C；根据延长线的意义和射线的意义即可判断B；根据角平分线定义即可判断D．
【解答】解：A、如图，
符合条件，但是OC不是∠AOB平分线，故本选项错误；
B、反向延长∠AOB的角平分线OC，故本选项错误；
C、如图，
∠AOC＝2∠DOC，故本选项 错误；
D、∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，射线的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
5．如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC＝CD，②AC⊥CD，③BE＝AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AC＝CD，①成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠1＝∠D，
又∠2+∠D＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
即∠ACD＝90°，
∴AC⊥DC，②成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AB＝CE，BC＝ED，
又BE＝BC+EC，
∴BE＝ED+AB，③成立；
∵∠B+∠E＝180°，
∴AB∥DE，④成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
6．如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（ ）
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
【分析】本题重点考查三角形全等判定定理SAS，强调的对应角是已知两条对应边的夹角．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
又AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC （SAS），
∴D是可以使△ABC≌△ADC成立的，
SSA不能判断全等．所以A、B、C都不能选．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD．
【解答】解：
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD＝（∠BCD﹣∠ACE）＝×（155°﹣55°）＝50°，
∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，
∴∠ABP＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
9．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∵AF＝4，
∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，
∵DE∥AC，
∴＝，
∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，
∴＝，
∴BE＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（ ）度．
A．65 B．75 C．80 D．85
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C，根据角平分线的定义求出∠CBD，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
13．下列四个命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②0.1的算术平方根是0.01；
③计算（+）＝5；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1．
其中是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；
②0.1的算术平方根是0.01，错误；
③计算（+）＝5，错误；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1或n＝2，故错误，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．
14．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜负场次是解题关键．
15．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
二．填空题（共8小题）
16．如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝ 25 度．
【分析】直接利用平角的定义得出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，
∴∠COB＝180°﹣130°＝50°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
17．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 80 度．
【分析】首先根据邻补角的定义得到∠BOC＝160°；然后由角平分线的定义求得∠2＝∠BOC．
【解答】解：如图，∵∠1＝20°，∠1+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝160°．
又∵OD平分∠BOC，
∴∠2＝∠BOC＝80°；
故填：80．
【点评】本题考查了角平分线的定义．注意，此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC＝180°．
18．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ 6或12 ．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP＝6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
19．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ∠B＝∠C ．
【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：∠B＝∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
20．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ 3 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD＝BD，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 105° ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC＝25°，
则∠CDA＝25°+25°＝50°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．
22．将命题“内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ．
【分析】根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等写出即可．
【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键．
23．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ 三角形的三个内角都小于60° ”，则与“ 三角形的内角和是180° ”矛盾，所以原命题正确．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“三角形的三个内角都小于60°”，则与“三角形的内角和是180°”矛盾，所以原命题正确．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共3小题）
24．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE＝27°，求∠ABC的度数．
【分析】此题的关键是要先设∠ABC的度数．然后再利用题中的关系求出，∠DBE的值，让它与27°列成等式．从而求出∠ABC的度数．
【解答】解：设∠ABC＝α，则∠ABD＝，∠ABE＝α
∵∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE
∴﹣α＝27°
得α＝126°
答：∠ABC＝126°．
【点评】此题的关键是设未知数，然后找出题中的等量关系解未知数．
25．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案；
（2）根据全等三角形的对应边相等求出AD，根据图形计算即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝28°，
∴∠E＝∠F＝28°，
∴∠1＝∠B+∠E＝32°+28°＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，又CD＝1cm，
∴AC＝AD+CD＝6cm．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质可知：AD＝CD，求出AB、BC即可解决问题；
【解答】解：（1）点D如图所示；
（2）∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD＝DC，
∴△CDB的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB，
∵AB+AC+BC＝21，BC＝5，
∴AB＝AC＝8，
∴△CDB的周长为13．
【点评】本题考查基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
一．选择题（共15小题）
1．如图，∠AOB的角平分线是（ ）
A．射线OB B．射线OE C．射线OD D．射线OC
2．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
3．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若∠AOB＝2∠AOC，则OC平分∠AOB
B．延长∠AOB的平分线OC
C．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC＝∠DOC
D．若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC
5．如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC＝CD，②AC⊥CD，③BE＝AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④
6．如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（ ）
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
7．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
8．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
9．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（ ）度．
A．65 B．75 C．80 D．85
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
13．下列四个命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②0.1的算术平方根是0.01；
③计算（+）＝5；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1．
其中是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
15．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
二．填空题（共8小题）
16．如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝ 度．
17．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 度．
18．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ ．
19．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
20．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ ．
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 ．
22．将命题“内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
23．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．
三．解答题（共3小题）
24．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE＝27°，求∠ABC的度数．
25．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
2019年华师大上册数学八年级《第13章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，∠AOB的角平分线是（ ）
A．射线OB B．射线OE C．射线OD D．射线OC
【分析】由∠AOB＝70°、∠AOE＝35°，利用角平分线的定义即可找出∠AOB的角平分线是射线OE，此题得解．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，∠AOE＝35°，
∴∠AOB＝2∠AOE，
∴∠AOB的角平分线是射线OE．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，牢记角平分线的定义是解题的关键．
2．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
【分析】分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AOD度数，即可求出答案．
【解答】
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．
3．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．
【解答】解：A、正确；
B、不一定正确；
C、正确；
D、正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若∠AOB＝2∠AOC，则OC平分∠AOB
B．延长∠AOB的平分线OC
C．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC＝∠DOC
D．若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC
【分析】画出反例图形，即可判断A、C；根据延长线的意义和射线的意义即可判断B；根据角平分线定义即可判断D．
【解答】解：A、如图，
符合条件，但是OC不是∠AOB平分线，故本选项错误；
B、反向延长∠AOB的角平分线OC，故本选项错误；
C、如图，
∠AOC＝2∠DOC，故本选项 错误；
D、∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，射线的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
5．如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC＝CD，②AC⊥CD，③BE＝AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AC＝CD，①成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠1＝∠D，
又∠2+∠D＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
即∠ACD＝90°，
∴AC⊥DC，②成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AB＝CE，BC＝ED，
又BE＝BC+EC，
∴BE＝ED+AB，③成立；
∵∠B+∠E＝180°，
∴AB∥DE，④成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
6．如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（ ）
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
【分析】本题重点考查三角形全等判定定理SAS，强调的对应角是已知两条对应边的夹角．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
又AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC （SAS），
∴D是可以使△ABC≌△ADC成立的，
SSA不能判断全等．所以A、B、C都不能选．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD．
【解答】解：
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD＝（∠BCD﹣∠ACE）＝×（155°﹣55°）＝50°，
∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，
∴∠ABP＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
9．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∵AF＝4，
∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，
∵DE∥AC，
∴＝，
∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，
∴＝，
∴BE＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（ ）度．
A．65 B．75 C．80 D．85
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C，根据角平分线的定义求出∠CBD，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
13．下列四个命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②0.1的算术平方根是0.01；
③计算（+）＝5；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1．
其中是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；
②0.1的算术平方根是0.01，错误；
③计算（+）＝5，错误；
④如果点P（3﹣2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n＝1或n＝2，故错误，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．
14．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜负场次是解题关键．
15．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
二．填空题（共8小题）
16．如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝ 25 度．
【分析】直接利用平角的定义得出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，
∴∠COB＝180°﹣130°＝50°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
17．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 80 度．
【分析】首先根据邻补角的定义得到∠BOC＝160°；然后由角平分线的定义求得∠2＝∠BOC．
【解答】解：如图，∵∠1＝20°，∠1+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝160°．
又∵OD平分∠BOC，
∴∠2＝∠BOC＝80°；
故填：80．
【点评】本题考查了角平分线的定义．注意，此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC＝180°．
18．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ 6或12 ．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP＝6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
19．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ∠B＝∠C ．
【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：∠B＝∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
20．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ 3 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD＝BD，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 105° ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC＝25°，
则∠CDA＝25°+25°＝50°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．
22．将命题“内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ．
【分析】根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等写出即可．
【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键．
23．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ 三角形的三个内角都小于60° ”，则与“ 三角形的内角和是180° ”矛盾，所以原命题正确．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“三角形的三个内角都小于60°”，则与“三角形的内角和是180°”矛盾，所以原命题正确．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共3小题）
24．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE＝27°，求∠ABC的度数．
【分析】此题的关键是要先设∠ABC的度数．然后再利用题中的关系求出，∠DBE的值，让它与27°列成等式．从而求出∠ABC的度数．
【解答】解：设∠ABC＝α，则∠ABD＝，∠ABE＝α
∵∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE
∴﹣α＝27°
得α＝126°
答：∠ABC＝126°．
【点评】此题的关键是设未知数，然后找出题中的等量关系解未知数．
25．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm
求：（1）∠1的度数
（2）AC的长
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案；
（2）根据全等三角形的对应边相等求出AD，根据图形计算即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝28°，
∴∠E＝∠F＝28°，
∴∠1＝∠B+∠E＝32°+28°＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，又CD＝1cm，
∴AC＝AD+CD＝6cm．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质可知：AD＝CD，求出AB、BC即可解决问题；
【解答】解：（1）点D如图所示；
（2）∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD＝DC，
∴△CDB的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB，
∵AB+AC+BC＝21，BC＝5，
∴AB＝AC＝8，
∴△CDB的周长为13．
【点评】本题考查基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．