2019年华师大上册数学八年级《第14章 勾股定理》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年华师大上册数学八年级《第14章 勾股定理》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 219.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-25 14:49:18 | ||
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文档简介
2019年华师大上册数学八年级《第14章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cm B． cm C． cm D．9cm
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．13
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝9
5．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
6．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3
B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5
D．三边长的平方之比为1：2：3
7．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
8．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
9．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
10．用反证法证明“a＞b”时应先假设（ ）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
11．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
12．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
13．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5 B．2 C．4 D．8
14．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
15．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
二．填空题（共8小题）
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
17．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．
18．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是 三角形．
19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
20．用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设： ．
21．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设 ．
22．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
23．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 ．
三．解答题（共3小题）
24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
2019年华师大上册数学八年级《第14章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cm B． cm C． cm D．9cm
【分析】首先根据勾股定理，得直角三角形的斜边是13，再根据直角三角形的面积公式，得其斜边上的高是．
【解答】解：如图：
设AC＝5cm，BC＝12cm，根据勾股定理，AB＝＝13cm，
根据三角形面积公式：×5×12＝×13×CD，CD＝cm．
故选：C．
【点评】熟练运用勾股定理，能够根据直角三角形的两种不同的面积表示方法来计算直角三角形斜边上的高．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．13
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝9
【分析】由题意，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②可得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴x+y＝，
∴①②③正确，④错误．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
5．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．
6．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3
B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5
D．三边长的平方之比为1：2：3
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2＝3，所以是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形．
7．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
9．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．
【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；
因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．
10．用反证法证明“a＞b”时应先假设（ ）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
【分析】熟记反证法的步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．
【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
11．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故选：B．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【解答】解：用反证法证明CD∥EF时，应先设CD与EF不平行．故选C．
【点评】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5 B．2 C．4 D．8
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【解答】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.2，
∵2不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，
故答案B正确；
C.4，
∵4是偶数，且是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案C错误；
D.8，
∵8是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案D错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．
【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，
故选：B．
【点评】本题主要考查了用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题．
15．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．
【解答】解：∵用反证法证明：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，
∴假设a、b、c都不是偶数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
二．填空题（共8小题）
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 32或42 ．
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC＝BD+CD或BC＝BD﹣CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；
在Rt△ACD中，CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．
故答案为：32或42．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的周长，利用勾股定理结合图形求出BC边的长度是解题的关键．
17．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 79 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
18．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是 直角 三角形．
【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得△ABC是直角三角形．
【解答】解：设△ABC三边之比为5x，12x，13x，
∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ 15 ．
【分析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
20．用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设： 四边形中四个角都小于90度 ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：四边形中四个角都小于90度．
故答案为：四边形中四个角都小于90度．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
21．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设 三角形的三个内角都小于60° ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设三角形的三个内角都小于60°．
【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
22．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 a＝b ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：a，b的等价关系有a＝b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a＝b．
因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a＝b．
故答案为a＝b．
【点评】本题结合绝对值的计算考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
23．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 三角形三个内角中最多有一个锐角 ．
【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出逆命题即可．
【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．
【点评】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系．
三．解答题（共3小题）
24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED＝EA，
所以DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
因为BM＝t，BF＝7，
所以FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．
【点评】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：A+B+C＝90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【解答】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
【点评】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．
一．选择题（共15小题）
1．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cm B． cm C． cm D．9cm
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．13
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝9
5．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
6．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3
B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5
D．三边长的平方之比为1：2：3
7．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
8．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
9．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
10．用反证法证明“a＞b”时应先假设（ ）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
11．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
12．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
13．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5 B．2 C．4 D．8
14．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
15．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
二．填空题（共8小题）
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
17．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．
18．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是 三角形．
19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
20．用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设： ．
21．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设 ．
22．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
23．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 ．
三．解答题（共3小题）
24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
2019年华师大上册数学八年级《第14章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cm B． cm C． cm D．9cm
【分析】首先根据勾股定理，得直角三角形的斜边是13，再根据直角三角形的面积公式，得其斜边上的高是．
【解答】解：如图：
设AC＝5cm，BC＝12cm，根据勾股定理，AB＝＝13cm，
根据三角形面积公式：×5×12＝×13×CD，CD＝cm．
故选：C．
【点评】熟练运用勾股定理，能够根据直角三角形的两种不同的面积表示方法来计算直角三角形斜边上的高．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．13
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝9
【分析】由题意，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②可得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴x+y＝，
∴①②③正确，④错误．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
5．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．
6．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3
B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5
D．三边长的平方之比为1：2：3
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2＝3，所以是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形．
7．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
9．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．
【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；
因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．
10．用反证法证明“a＞b”时应先假设（ ）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
【分析】熟记反证法的步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．
【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
11．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故选：B．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【解答】解：用反证法证明CD∥EF时，应先设CD与EF不平行．故选C．
【点评】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5 B．2 C．4 D．8
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【解答】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.2，
∵2不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，
故答案B正确；
C.4，
∵4是偶数，且是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案C错误；
D.8，
∵8是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案D错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．
【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，
故选：B．
【点评】本题主要考查了用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题．
15．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．
【解答】解：∵用反证法证明：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，
∴假设a、b、c都不是偶数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
二．填空题（共8小题）
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 32或42 ．
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC＝BD+CD或BC＝BD﹣CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；
在Rt△ACD中，CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．
故答案为：32或42．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的周长，利用勾股定理结合图形求出BC边的长度是解题的关键．
17．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 79 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
18．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是 直角 三角形．
【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得△ABC是直角三角形．
【解答】解：设△ABC三边之比为5x，12x，13x，
∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ 15 ．
【分析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
20．用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设： 四边形中四个角都小于90度 ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：四边形中四个角都小于90度．
故答案为：四边形中四个角都小于90度．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
21．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设 三角形的三个内角都小于60° ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设三角形的三个内角都小于60°．
【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
22．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 a＝b ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：a，b的等价关系有a＝b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a＝b．
因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a＝b．
故答案为a＝b．
【点评】本题结合绝对值的计算考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
23．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 三角形三个内角中最多有一个锐角 ．
【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出逆命题即可．
【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．
【点评】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系．
三．解答题（共3小题）
24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED＝EA，
所以DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
因为BM＝t，BF＝7，
所以FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．
【点评】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：A+B+C＝90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【解答】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
【点评】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．