2019年华师大版数学上册九年级《第24章 解直角三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年华师大版数学上册九年级《第24章 解直角三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 278.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-25 14:53:22 | ||
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文档简介
2019年华师大版数学上册九年级《第24章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠1、∠2和∠B
4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9° B．18° C．27° D．36°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二．填空题（共8小题）
16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝ ．
17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．
19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为 ．
21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝ ．
22．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 ．
23．比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或＝）．
三．解答题（共3小题）
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
26．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
2019年华师大版数学上册九年级《第24章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A中∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠1、∠2和∠B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，以及同角的余角相等即可判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，
又∵直角△ACD中，∠A+∠1＝90°，
∴∠A＝∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，以及余角的性质：同角的余角相等．
4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，余角的定义等来一一验证，从而求解．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故错误；
②两直线同位角相等，故错误；
③直角三角形两锐角互余，故正确；
④在同一平面内，若两条直线不相交，则两直线平行，故错误．
综上可得只有③正确．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9° B．18° C．27° D．36°
【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解．
【解答】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x＝90，
解得：x＝18°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD?AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．
【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
10．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC＝BD：AB，然后根据比例性质得到AB2＝BC?BD．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，
而∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC＝BD：AB，
∴AB2＝BC?BD．
故选：C．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据角的正弦，等于角的对边比斜边，可得答案．
【解答】解：由勾股定理得AB＝＝5，
sinA＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值．
12．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．
【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，，
∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键．
15．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【解答】解：∵sinA＝，
∴A＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．
二．填空题（共8小题）
16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝ 20° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．
【分析】由条件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分别是它们斜边上的中线，证明∠EMD＝2∠DAC＝60°，从而可得三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DM＝AB，
∵ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好．
19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ 50或90 °．
【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，
当PA⊥OA时，∠A＝90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
故答案为：50或90．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为 4 ．
【分析】根据射影定理得到：CD2＝AD?BD，把相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，
∴CD2＝AD?BD＝8×2，
则CD＝4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．
21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝ ．
【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2＝AD×BD，可将BD的长求出，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理可将BC的边求出．
【解答】解：∵若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4
∴CD2＝AD×BD，即42＝3×BD解得：BD＝
在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用．
22．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 10 ．
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA＝，即＝，即可得出AB的值．
【解答】解：∵sinA＝，即＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
23．比较大小：sin44° ＜ cos44°（填＞、＜或＝）．
【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．
三．解答题（共3小题）
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【分析】在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC＝40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
26．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．
【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．
一．选择题（共15小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠1、∠2和∠B
4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9° B．18° C．27° D．36°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二．填空题（共8小题）
16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝ ．
17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．
19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为 ．
21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝ ．
22．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 ．
23．比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或＝）．
三．解答题（共3小题）
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
26．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
2019年华师大版数学上册九年级《第24章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A中∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠1、∠2和∠B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，以及同角的余角相等即可判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，
又∵直角△ACD中，∠A+∠1＝90°，
∴∠A＝∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，以及余角的性质：同角的余角相等．
4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，余角的定义等来一一验证，从而求解．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故错误；
②两直线同位角相等，故错误；
③直角三角形两锐角互余，故正确；
④在同一平面内，若两条直线不相交，则两直线平行，故错误．
综上可得只有③正确．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9° B．18° C．27° D．36°
【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解．
【解答】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x＝90，
解得：x＝18°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD?AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．
【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
10．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC＝BD：AB，然后根据比例性质得到AB2＝BC?BD．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，
而∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC＝BD：AB，
∴AB2＝BC?BD．
故选：C．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据角的正弦，等于角的对边比斜边，可得答案．
【解答】解：由勾股定理得AB＝＝5，
sinA＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值．
12．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．
【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，，
∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键．
15．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【解答】解：∵sinA＝，
∴A＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．
二．填空题（共8小题）
16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝ 20° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．
【分析】由条件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分别是它们斜边上的中线，证明∠EMD＝2∠DAC＝60°，从而可得三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DM＝AB，
∵ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好．
19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ 50或90 °．
【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，
当PA⊥OA时，∠A＝90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
故答案为：50或90．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为 4 ．
【分析】根据射影定理得到：CD2＝AD?BD，把相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，
∴CD2＝AD?BD＝8×2，
则CD＝4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．
21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝ ．
【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2＝AD×BD，可将BD的长求出，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理可将BC的边求出．
【解答】解：∵若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4
∴CD2＝AD×BD，即42＝3×BD解得：BD＝
在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用．
22．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 10 ．
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA＝，即＝，即可得出AB的值．
【解答】解：∵sinA＝，即＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
23．比较大小：sin44° ＜ cos44°（填＞、＜或＝）．
【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．
三．解答题（共3小题）
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【分析】在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC＝40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
26．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．
【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．