辽宁省普通高中2020届高三上学期学业水平测试数学试卷

数
学
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)
注意事项：
1.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.
答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3.
回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
参考公式：球的表面积公式（其中R为球的半径）。
一、
选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则(
)
A. B.
C.
D.

2.已知命题，那么是(
)
A.


B.
C.

D.

3.
是的(
)
A.
充分而不必要条件

B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件

D.
既不充分也不必要条件
4.函数的定义域为(
)
A.

B.
C.


D.
5.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在中间的概率为(
)
A.

B.

C.

D.

6.如果,那么下列不等式一定成立的是　　(
)
A.
B. C.
D.
7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三人中,抽取35人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为13人,则等于(
)
A.
660
B.
720

C.780

D.
800
8.已知,是第三象限的角,则的值为(
)
A.

B.

C.
D.

9.函数的零点个数为(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
10.设是边的中点，若,则的值为(
)
A.

B.

C.
1
D.
2
11.如果棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是(
)
A.

B.
C.
D.

12.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好(
)

A.
指数函数: B.
对数函数:
C.
幂函数:

D.
二次函数:
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算: =
.
14.已知向量，则=
.
15.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,
则=
.
16.设为正数，则的最小值为
.
三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
(本小题满分10分)
已知向量
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
18.
(本小题满分10分)
在中,角的对边分别为，且，.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）若,求.
19.
(本小题满分10分)
如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点，为的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面;
（Ⅱ）求证：.
20.
(本小题满分10分)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)
.已知上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60), [60,80), [80,100]
.

（Ⅰ）求直方图中的值;
（Ⅱ）如果上学所需时间在 [60
,100]的学生可申请在学校住宿,请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.
21.
(本小题满分12分)
如图,某市拟在长为8 的道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数,的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.
（Ⅰ）求点的坐标;
（Ⅱ）应如何设计,才能使折线段赛道最长
数
学（三）答案
一、选择题
BCACBDBABCDA
二、填空题
13.1
14.2
15.
16.9
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为，
所以，
所以.…………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，
所以，
所以，
解得.………………………………………………10分
18.解：（Ⅰ）
因为c-2bsin C=0,
所以sin C-2sin Bsin C=0.
因为0 所以sin B=.
因为0b>c,
所以B=.…………………………5分
（Ⅱ）因为b=,a=2,
所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得()2=
c
2+4-2
c×2×,即c
2-2
c
+1=0.
所以
c=1.…………………………10分
19.（Ⅰ）证明：∵，点分别是，中点，
∴，
∵平面，平面，
∴EO∥平面.…………………………5分
（Ⅱ）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵底面，底面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.…………………………10分
20.解：（Ⅰ）由直方图可得到20+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1.
所以=0.012 5.…………………………5分
（Ⅱ）由直方图可知,新生上学所需时间在 [60
,100]的频率为0.003×2×20=0.12.　　
所以估计全校新生上学所需时间在 [60
,100]的概率为0.12.　
因为800×0.12=96.
所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿.　
…………………………　10分
21.解：（Ⅰ）由题意知A=2,=3,
∵T=,∴ω=,
∴y=2sinx.
当x=4时,y=2sin=3,
∴M(4,3).
…………………………6分
（Ⅱ）连接MP,如图所示.
又∵P(8,0),∴MP==5.
解法一:在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.
设∠PMN=θ,则0°<θ<60°,
∵.
∴NP=sinθ,MN=sin(60°-θ).
∴NP+MN=sinθ+sin(60°-θ)
=sin(θ+60°).
∵0°<θ<60°,
∴60°<θ+60°<120°,
∴5.
∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.
所以将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.
…………………………12分
解法二:.
在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理知cos∠MNP= ,
即MN2+NP2+MN·NP=25.
所以(MN+NP)2-25=MN·NP≤,
所以(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤,当且仅当MN=NP时取等号.
所以将赛道设计为MN=NP时,折线段赛道MNP最长.
…………………………12分