沪教版2019-2020学年八年级数学上册期末复习第十八章 正比例函数反比例函数（解析版）

沪教版2019-2020学年八年级数学上册期末复习
正比例函数反比例函数
一、选择题
学年上海市闵行区期末反比例函数的图象经过点，、是图象上另两点，其中，那么、的大小关系是
A. B. C. D. 都有可能
学年上海市闵行区期末下列命题中是真命题的是
A. 反比例函数，y随x的增大而减小
B. 一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则三边长度之比是1：2：3
C. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形
D. 如果，那么一定有
学年上海市闵行区期末如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为
A. 4
B.
C.
D.


学年上海市浦东新区期末已知点，，都在反比例函数的图象上，则
A. B. C. D.
学年上海市浦东新区第三教育署期末已知矩形的面积为10，则它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为
A. B.
C. D.
学年上海市浦东新区第三教育署期末在函数的图象上有三点、、，若，则下列各式中，正确的是
A. B. C. D.
学年上海市长宁区八年级期末已知函数中y随x的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标系内的大致图象可能是
A. B.
C. D.
学年上海市浦东新区期末如果反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的图象一定经过点
A. B. C. D.
二、填空题
学年上海市闵行区期末已知函数，其定义域为______．
学年上海市闵行区期末已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是______．
学年上海市闵行区期末如果点A的坐标为，点B的坐标为，那么线段AB的长等于______ ．
学年上海市浦东新区期末函数的定义域是______．
学年上海市浦东新区期末如图，已知两个反比例函数：和：在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为______．




学年上海市松江区期末已知函数，则______．
学年上海市松江区期末为了探索代数式的最小值，小明运用了“数形结合”的思想：如图所示，在平面直角坐标系中，取点，点，设点那么借助上述信息，可求出最小值为______．
学年上海市浦东新区期末函数的定义域为______．
三、计算题
学年上海市嘉定区八年级期末小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程米与时间分钟之间的函数关系．
爸爸行走的总路程是______米，他途中休息了______分钟；
当时，y与x之间的函数关系式是______；
爸爸休息之后行走的速度是每分钟______米；
当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是______米．








四、解答题
学年上海市闵行区期末甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离千米与其相关的时间小时变化的图象如图所示，读图后填空：
地与B地之间的距离是______千米；
甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域是______；
乙车的速度比甲车的速度每小时快______千米．








学年上海市闵行区期末已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，，求y关于x的函数解析式．







学年上海市闵行区期末如图，已知正比例函数图象经过点，
求正比例函数的解析式及m的值；
分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、点C、D均在点A、B下方，若，求反比例函数的解析式；
在第小题的前提下，联结AD，试判断的形状，并说明理由．







学年上海市闵行区期末如图，已知在中，，，，，将一个直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，直角的两边分别交AB的延长线于点E，交射线AD于点F，联结EF交BC于点G，设．

旋转过程中，当点F与点A重合时，求BE的长；
若，求y关于x的函数关系式及定义域；
旋转过程中，若，求此时BE的长．







学年上海市浦东新区期末已知y与成正比例，且当时，，求y与x的函数解析式．







学年上海市浦东新区期末为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米分钟的速度骑行，两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
图书馆到小燕家的距离是______米；
______，______，______；
妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是______；定义域是______．








学年上海市浦东新区期末如图，在平面直角坐标系中，，轴于点C，点在反比例函数的图象上．
求反比例函数的表达式；
求的面积；
在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，简述你的理由．












学年上海市松江区期末为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量毫克与时间时成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：
写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；
据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？








学年上海市松江区期末已知：如图，点是正比例函数与反比例函数的图象在第一象限的交点，轴，垂足为点B，的面积是2．
求m的值以及这两个函数的解析式；
若点P在x轴上，且是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．












学年上海市松江区期末如图，在中，，，点D是边A上的动点点D与点A、B不重合，过点D作交射线BC于点E，联结AE，点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G，联结CF、CD．
当点E在边BC上，设，，．
写出y关于x的函数关系式及定义域；
判断的形状，并给出证明；
如果，求DG的长．









学年上海市浦东新区第三教育署期末如图，点A的坐标为，点C的坐标为，OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，，．
求反比例函数和直线OE的函数解析式；
求四边形OAFC的面积？








学年上海市浦东新区第三教育署期末如图，在中，，，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，，垂足为点E，M是BD的中点．
求证：；
如果，设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
当点D在线段AC上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．







学年上海市嘉定区八年级期末已知反比例函数的图象与正比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，点在正比例函数的图象上．
求此正比例函数的解析式；
求线段AB的长；
求的面积．








学年上海市嘉定区八年级期末如图，在中，，，，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作，PE交BC边与点E．
当点D为AC边的中点时，求BE的长；
当时，求AP的长；
设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，请直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．









学年上海市长宁区八年级期末已知，如图，在中，AE平分交BC于点E，，，，，点F是边AB上的动点点F与点A，B不重合，连接EF，设，．
求AB的长；
求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
当为等腰三角形时，直接写出BF的长．













学年上海市浦东新区期末已知：如图，反比例函数的图象上的一点在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且，过点B作轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D．
用含m的代数式表示点D的坐标；
求证：；
联结AD、OD，试求的面积与的面积的比值．








答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
，
、两点均位于第二象限，
．
故选：B．
先代入点求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
2.【答案】C

【解析】解：A、反比例函数，在第一、三象限，y随x的增大而减小，本说法是假命题；
B、一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，
这三个角的度数分别为、、，
则三边长度之比是1：：2，本说法是假命题；
C、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形是真命题；
D、如果，那么一定有，本说法是假命题；
故选：C．
根据反比例函数的性质判断A；根据三角形内角和定理、直角三角形的性质求出三边长度之比，判断B；根据等腰直角三角形的性质判断C；根据二次根式的性质判断D．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】D

【解析】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，
将沿直线AB翻折，
，，，
，
，
，
，
，
点C在第二象限，
，
点C恰好落在双曲线上，
，
故选：D．
设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．
本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．
4.【答案】A

【解析】解：函数图象如图所示：

，
故选：A．
画出函数图象，利用图象法即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的指标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】B

【解析】解：由矩形的面积，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为，是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：B．
首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6.【答案】D

【解析】解：、、在函数的图象上，
，，，
，
．
故选：D．
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，然后根据反比例函数的性质得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
7.【答案】D

【解析】解：函数中y随x的增大而减小，
，
函数的图象经过二、四象限，故可排除A、B；
，
函数的图象在二、四象限，故C错误，D正确．
故选：D．
先根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可．
本题考查的是正比例函数及反比例函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】B

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
中；B中；C中；D中，
反比例函数的图象一定经过点．
故选：B．
由反比例函数的图象经过点结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．
9.【答案】

【解析】解：依题意有
，
解得．
故答案为：．
当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
考查了函数自变量的取值范围，关键是熟悉当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零的知识点．
10.【答案】

【解析】解：由题意可得，
则．
故答案为：．
根据时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．
11.【答案】5

【解析】解：．
故答案为：5．
利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解．
12.【答案】

【解析】解：函数的定义域是，
解得：，
故答案为：
根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可．
此题考查函数自变量的取值范围，关键是根据二次根式的性质和分母不能等于0解答．
13.【答案】

【解析】解：轴，轴，
，，
四边形PAOB的面积，
故答案为．
根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
14.【答案】

【解析】解：因为函数，
所以．
故答案为：．
把代入函数关系式求值即可．
本题考查了求函数的值，解题的关键能够正确分母有理化．
15.【答案】5

【解析】解：连接AB，如图：

由题意可知：要求出最小值，即求长度的最小值，
据两点之间线段最短可知求的最小值就是线段AB的长度．
，点，
，
故答案为：5．
要求出最小值，即求长度的最小值；根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段AB的长度，求出线段AB长即可．
本题主要考查了最短路线问题、两点间的距离公式以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，利用两点间的距离公式求解是解题关键．
16.【答案】

【解析】解：函数中，，
解得，
函数的定义域为，
故答案为：．
当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
本题主要考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
17.【答案】，? ?
?
? ?
? 1100? ．

【解析】解：根据图象知：小华行走的总路程是3600米，他途中休息了20分钟．
故答案为3600，20；
设函数关系式为，
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故答案为：；
爸爸休息之后行走的速度是米分钟，
故答案为：50．
妈妈到达缆车终点的时间为：分，
爸爸迟到分，
妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，
故答案为：1100．
根据图象获取信息：
小明到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；
利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
休息前30分钟行走2100米，休息后30分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可．
求妈妈到达缆车终点的时间，计算爸爸行走路程，求离缆车终点的路程．
此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．
18.【答案】60 ? ? 40

【解析】解：从图象可以看出AB之间的距离为60千米，
故答案为60；
甲的速度为：，故，
故答案为：；
乙的速度为：，
故答案为40．
从图象可以看出AB之间的距离为60千米，即可求解；
甲的速度为：，即可求解；
乙的速度为：，即可求解．
此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙的速度．
19.【答案】解：设，，
．
把时，；当时，代入可得：，
解得，，
关于x的函数解析式为．

【解析】可设，，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式；
本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．
20.【答案】解：设正比例函数的解析式为，
正比例函数图象经过点，
，
，
比例函数的解析式为；
把代入解析式得，；
轴，
点的横坐标为2，D点的横坐标为3，
设反比例函数的解析式为，分别代入得，，
，，
，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
是等腰直角三角形；
理由是：由得：，，，
，，，
，且，
是等腰直角三角形．

【解析】设正比例函数的解析式为，代入A的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把B代入即可求得m的值；
根据题意得出C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为，分别代入得，，进而求得，，根据列方程，解方程求得m的值，即可求得解析式；
根据两点的距离公式可得AB和AD，BD的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据题意求得C、D的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：如图1，，，，
，
，
，
，
，
；
过F作于H，
，
，
，
四边形ABHF是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，；
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
．

【解析】如图1，根据勾股定理得到，根据射影定理即可得到结论；
过F作于H，根据平行线的性质得到，根据矩形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：与成正比例，
设，
将，代入得：，解得，
所以，，
所以y与x的函数表达式为：．

【解析】根据正比例函数的定义设，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．
23.【答案】3000 ? 10 ? 15 ? 200 ? ?

【解析】解：由图象可得，
图书馆到小燕家的距离是3000米，
故答案为：3000；
，
，
，
故答案为：10，15，200；
妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，
当时，，
则，得，
即妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，定义域是，
故答案为：，．
根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离；
根据题意和函数图象中的数据可以得到a、b、m的值；
根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式以及定义域．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】解：将代入，得：，
解得：，
反比例函数的表达式为．
点A的坐标为，轴于点C，
，，
，
．
，
，
，
，
．
在中，，，，
．
分三种情况考虑：
当时，如图2所示，
，
，
点P的坐标为，，，；
当时，如图3，过点B做轴于点D，则，
，
或，
点P的坐标为，；
当时，如图4所示．
若点P在x轴上，，，
为等边三角形，
，
点P的坐标为；
若点P在y轴上，设，则，
，
，即，
解得：，
点P的坐标为．
综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为，，，，，．

【解析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；
由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出，进而可得出，结合三角形内角和定理可得出，利用角所对的直角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；
通过解直角三角形可求出OB的长，分，及三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、解直角三角形、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关系式；通过解直角三角形，求出AB的长；分，及三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．
25.【答案】解：药物释放过程中，y与x成正比，设，
函数图象经过点，
，即，
；
当药物释放结束后，y与x成反比例，设，
函数图象经过点，
，
；
当时，代入反比例函数，可得
，
从药物释放开始，至少需要经过8小时，学生才能进入教室．

【解析】药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，含药量毫克与时间小时成反比，用待定系数法可得函数关系式；
根据函数值为，利用反比例函数即可得到自变量x的值．
本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26.【答案】解：的面积是2，
，
反比例函数的解析式为．
当时，，
点A的坐标为．
又点在正比例函数的图象上，
，
正比例函数的解析式为．
是以OA为腰的等腰三角形，
或．
当时，点A的坐标为，
，
，
点P的坐标为或；
当时，，
点P的坐标为．
综上所述：点P的坐标为，，．

【解析】由的面积，利用反比例函数系数k的几何意义可求出的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出正比例函数的解析式；
分或两种情况考虑：当时，由点A的坐标可求出OA的长，结合及点P在x轴上可得出点P的坐标；当时，利用等于三角形的三线合一可得出，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，解题的关键是：利用正反比例函数系数k的几何意义及正比例函数图象上点的坐标特征，求出两函数的解析式；分或两种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．
27.【答案】解：，，
，，
又，
为等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
；
，，
，
点F是AE的中点，
，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形；

如图1，当点E在BC上时，，，

在中，，
则，
，
又，
在中，，
；
如图2，当点E在BC延长线上时，，

同理可得，
在中，，
．

【解析】先证为等腰直角三角形，设，知，由知，从而得出答案；
由，点F是AE的中点知，，据此得出，再由，知，结合知，据此可得答案；
分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案．
本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．
28.【答案】解：依题意，得点B的坐标为，点D的坐标为，
将代入，得．
反比例函数的解析式为；
设点E的坐标为，将其代入，得，
点E的坐标为，
设直线OE的解析式为，
将代入得，
直线OE的解析式为；

连接AC，如图，
在中，，，
，
而，．
，
，

．

【解析】易得点B的坐标为，点D的坐标为，把代入，得，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为，将其代入，得，确定点E的坐标为，然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
连接AC，在中，，，利用勾股数易得，则有，根据勾股定理的逆定理得到，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．
29.【答案】证明：在中，，M是BD的中点，
．
同理，
．
解：在中，，，，
．
由勾股定理得，
，，
在中，，
，
，
，，
，
不变．
是斜边BD的中点，，．
，
是斜边BD的中点，
同理可得：，
，
即，
，
．

【解析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
根据，可得，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式；
根据可知，，，易得出，，即是定值，又知，即可证明是定值，即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．
30.【答案】解：点在反比例函数图象上，
．
点在反比例函数图象上，
，
，
点A的坐标为；
正比例函数的图象都经过点，
，解得，，
正比例函数为；
点在正比例函数的图象上，
，
点B的坐标为，
．
点B的坐标为，，
，
又，
的面积．

【解析】把点的坐标代入反比例函数的解析式可得，然后把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可得到点A的坐标，把点A的坐标代入正比例函数的解析式可得；
把点B的坐标代入正比例函数的解析式，就可得到点B的坐标，然后运用两点间距离公式就可求出线段AB的长；
依据，，，即可得到的面积．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、直线上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，掌握两点间距离公式是解决问题的关键．
31.【答案】解：在中，，，，
，
，
是AC的中点，
，，，
，
，
，
；

设，则，
在两个有的，中，，，
由勾股定理解得，，
因为，
所以，
解得，即；

由知：，，，，

．

【解析】由，求得，，结合D是AC中点知，，，从而得出，再根据可得答案；
设，知，由勾股定理解得，，根据得出关于x的方程，解之可得；
由知：，，，，依据可得答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识点．
32.【答案】解：，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：；
如图1，过E作于G，
平分，，
，
，
≌，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
分两种情况讨论：
当时，如图2，
，
，
当时，如图3，过F作于P，
，
，，
∽，
，即，
，
，
综上，当为等腰三角形时，BF的长为或．

【解析】先根据勾股定理的逆定理可得，再由勾股定理计算AB的长；
作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：，表示FG的长，因为F可能在G的左边或右边，所以，最后根据勾股定理可得y关于x的函数解析式；
当为等腰三角形时，存在两种情况：当时，如图2，当时，如图3，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
33.【答案】解：如图，

点在反比例函数的图象上，
，
，
过点A作轴于H，
，
，
，
，
轴于D，
点D的横坐标为2m，
点D在反比例函数的图象上，
；

设直线AO的解析式为，
点，
，
，
直线AO的解析式为，
点C在直线AO上，且横坐标为2m，
，
，
，
；

由知，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．

【解析】先用m表示点A的坐标，进而利用等腰三角形的性质得出点B的坐标，即可得出结论；
先确定出直线OA的解析式，即可得出点C的坐标，求出CD，BD即可得出结论；
先判断出，再判断出，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系中几何图形的面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出．




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