第二章 基本初等函数 章末检测卷（含解析）

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基本初等函数 章末检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.等于(　　)
A.lg 9－1 B.1－lg 9
C.8 D.2
2.下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是(　　)
A.y＝2x2－x＋3 B.y＝x
C.y＝ D.y＝
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝ B.y＝e－x
C.y＝－x2＋1 D.y＝lg|x|
4.函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A. B. C. D.
5.已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0
6.下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝x2＋x＋1 D.y＝
7.设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a8.已知函数f(x)＝ax，g(x)＝xa，h(x)＝logax，其中a>0且a≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，则正确的是(　　)
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9.若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.(0,1)
C.(1，＋∞) D.
10.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是(　　)
A.(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
11.已知函数f(x)＝lg(1－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A.[－9，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－9,1) D.[－9,1)
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f?，c＝f?，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜b＜a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数f(x)＝ax－1＋3的图象过定点P，则P点的坐标是________.
14.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________.
15.给出下列结论：
①＝±2；②y＝x2＋1，x∈[－1,2]，y的值域是[2,5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f(x)＝ax＋1－2(a>0，a≠1)的图象过定点(－1，－1)；⑤若ln a<1成立，则a的取值范围是(－∞，e).
其中正确的序号是________.
16.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f?的值为________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)计算下列各式的值.
(1)(ln 5)0＋0.5＋－ ；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.





18.(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求满足f(x)＝7时x的值.




19.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象写出该函数的单调区间.











20.(12分)已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图象经过点M(2,1)，讨论f(x)的单调性并证明.





















21.(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1).
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.












22.(12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
























答案解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.等于(　　)
A.lg 9－1 B.1－lg 9
C.8 D.2
答案　B
解析　因为lg 9<1，
所以＝|lg 9－1|＝1－lg 9.
2.下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是(　　)
A.y＝2x2－x＋3 B.y＝x
C.y＝ D.y＝
答案　C
解析　对y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数.
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝ B.y＝e－x
C.y＝－x2＋1 D.y＝lg|x|
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　C
解析　A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
4.函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得即
∴1≤x<.
5.已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0
考点　幂函数的图象
题点　幂指数大小关系问题
答案　B
解析　∵x>1时，xα∴α－1<0，得α<1.
6.下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝x2＋x＋1 D.y＝
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
答案　A
解析　A中，y＝＝x的值域为(0，＋∞).
B中，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0,1).
C中，y＝x2＋x＋1＝2＋的值域是.
D中，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝的值域是(0,1)∪(1，＋∞).
7.设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　B
解析　方法一　c＝log20.3<0，a＝20.3>0.30.3，b＝0.32<0.30.3，
所以c方法二　c＝log20.3<0，
b＝0.32＝0.09<1，
a＝20.3>20＝1，
所以c8.已知函数f(x)＝ax，g(x)＝xa，h(x)＝logax，其中a>0且a≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，则正确的是(　　)
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答案　B
解析　分a>1和09.若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.(0,1)
C.(1，＋∞) D.
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　D
解析　方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.
①当0∴0<2a<1，即0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求.
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综上，a的取值范围为010.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是(　　)
A.(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，解得x＞10或0＜x＜.
11.已知函数f(x)＝lg(1－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A.[－9，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－9,1) D.[－9,1)
答案　D
解析　要使f(x)＝lg(1－x)有意义，则x∈(－∞，1)，且f(x)在(－∞，1)上是减函数，当f(x)＝lg(1－x)＝1时，x＝－9，
∴定义域为[－9,1).
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f?，c＝f?，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜b＜a
答案　C
解析　a＝f(－)＝f()，
b＝f?＝f(log32)，c＝f?.
∵0＜log32＜1,1＜＜，
∴＞＞log32.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴a＞c＞b.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数f(x)＝ax－1＋3的图象过定点P，则P点的坐标是________.
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象过定点问题
答案　(1,4)
解析　由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作是由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4).
14.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________.
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　
解析　函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0).
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，
所以函数y＝log5(2x＋1)的单调递增区间为.
15.给出下列结论：
①＝±2；②y＝x2＋1，x∈[－1,2]，y的值域是[2,5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f(x)＝ax＋1－2(a>0，a≠1)的图象过定点(－1，－1)；⑤若ln a<1成立，则a的取值范围是(－∞，e).
其中正确的序号是________.
答案　 ③④
16.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f?的值为________.
答案　5
解析　f(1)＝0，f(f(1))＝f(0)＝2，
F?＝3－＋1＝2＋1＝3，
∴f(f(1))＋f?＝5.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)计算下列各式的值.
(1)(ln 5)0＋0.5＋－ ；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　(1)∵(ln 5)0＝1，0.5＝＝.
＝|1－|＝－1.

∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18.(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求满足f(x)＝7时x的值.
解　(1)令t＝ax>0，∵x∈[－1,1]，a>1，∴ax∈，
f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，
∴f(x)＝32x＋2×3x－1.
(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，
即(3x＋4)(3x－2)＝0，
求得3x＝2，∴x＝log32.
19.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象写出该函数的单调区间.
解　(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，
所以f(x)＝
(3)函数图象如图所示，
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通过函数的图象可以知道，f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞).
20.(12分)已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图象经过点M(2,1)，讨论f(x)的单调性并证明.
解　(1)要使函数式有意义，需ax－1>0，即ax>1.
当a>1时，可得x>0，所以a>1时，x∈(0，＋∞)；
当0所以0(2)因为函数的图象经过点M(2,1)，
所以1＝log3(a2－1)，
所以a2－1＝3，即a2＝4，
又a>0，所以a＝2，所以f(x)＝log3(2x－1).
显然x>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数.证明如下：
任取x2>x1>0，则，所以，又y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
21.(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1).
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
解　(1)由解得1故函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，
即为loga(x－1)≤loga(6－2x).(*)
①当a>1时，不等式(*)等价于
解得1②当0解得≤x<3.
综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；
当022.(12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
考点　指数函数性质的综合应用
题点　与指数函数有关的恒成立问题
解　(1)当x<0时，f(x)＝0，不合题意；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴2x＝1＋，
∴x＝log2(1＋).
(2)当t∈[1,2]时，
2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1).
∵22t－1>0，
∴m≥－(22t＋1).
∵t∈[1,2]，
∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞).




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