2019年苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）

2019年苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0
2．将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　）
A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10
3．已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（　　）
①x2＝1；②（x﹣2）2＝5；③（x+3）2＝3；④x2＝x+3；⑤3x2﹣3＝x2+1；⑥y2﹣2y﹣3＝0
A．1 B．2 C．3 D．4
5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
7．方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0
8．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
9．一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤1 B．≤m C．≤m≤1 D．＜m≤1
11．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1+x）2＝500
12．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
13．已知x+，那么的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．4
14．下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）
A．﹣x＝9 B．x3﹣x2+40＝0
C．＝3 D．3x3﹣2xy+y2＝0
15．已知，则x等于（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
二．填空题（共6小题）
16．当m＝　 　时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程．
17．一元二次方程5x2﹣8x+3＝0的一次项系数是　 　，常数项是　 　．
18．若﹣2是关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2kx+4＝0的一个根，则k＝　 　．
19．方程x2＝9的根是　 　．
20．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝　 　．
21．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是　 　，条件是　 　．
三．解答题（共3小题）
22．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
23．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
24．已知方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0的根都是整数．求整数n的值．



2019年苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0
【分析】找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可．
【解答】解：A、是分式方程，不合题意；
B、含有2个未知数，不合题意；
C、没有说明a的取值，不合题意；
D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，
故选：D．
【点评】考查一元二次方程的定义的运用；掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意a2+1一定是一个正数．
2．将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　）
A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x2﹣8x＝10，
x2﹣8x﹣10＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣8、﹣10，
故选：A．
【点评】本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
3．已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把x＝2代入方程x2﹣2ax+4＝0，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣2ax+4＝0的一个根，
∴4﹣4a+4＝0，
解得a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
4．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（　　）
①x2＝1；②（x﹣2）2＝5；③（x+3）2＝3；④x2＝x+3；⑤3x2﹣3＝x2+1；⑥y2﹣2y﹣3＝0
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接开平方法必须具备两个条件：
①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．
【解答】解：①②③⑤都是或可变形为x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c，而这四种形式都可用直接开平方法，
故选：D．
【点评】需要同学们注意，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．
5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x
∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0
∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．
7．方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0
【分析】先移项，再提公因式，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：移项得，x2﹣2x＝0，
提公因式得x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，
x2﹣x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，
x2﹣x+1＝7
故选：B．
【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．
9．一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：在方程2x2+x﹣3＝0中，△＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，找出根的判别式△＝b2﹣4ac＝25＞0是解题的关键．
10．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤1 B．≤m C．≤m≤1 D．＜m≤1
【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m＝0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m＝0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，
∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的△＝4﹣4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；
当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．
即：4﹣4m＜1．解得m＞．
∴＜m≤1．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
11．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1+x）2＝500
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2＝720；
故选：B．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
12．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2＝三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故选：C．
【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键．
13．已知x+，那么的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．4
【分析】由于（x﹣）2＝x2﹣2+＝（x+）2﹣2﹣2＝1，再开方即可求x﹣的值．
【解答】解：∵（x﹣）2＝x2﹣2+＝（x+）2﹣2﹣2＝1，
∴x﹣＝±1，
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
14．下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）
A．﹣x＝9 B．x3﹣x2+40＝0
C．＝3 D．3x3﹣2xy+y2＝0
【分析】根据高次方程的定义，逐一找出四个选项为几元几次方程，由此即可得出结论．
【解答】解：A、﹣x＝9为一元二次方程；
B、x3﹣x2+40＝0为一元三次方程；
C、＝3为分式方程；
D、3x3﹣2xy+y2＝0为二元二次方程．
故选：A．
【点评】本题考查了高次方程，根据高次方程的定义找出四个方程分别为几元几次方程是解题的关键．
15．已知，则x等于（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【分析】已知，先化简再求值即可得出答案．
【解答】解：已知，∴x＞0，
∴原式可化简为： ++3＝10，
∴＝2，
两边平方得：2x＝4，
∴x＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了解无理方程，属于基础题，关键是先化简后再根据平方法求无理方程．
二．填空题（共6小题）
16．当m＝　4　时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义求得m的值，再进一步代入解方程即可．
【解答】解：依题意得：m﹣2＝2，
解得m＝4．
故答案是：4．
【点评】此题主要是注意一元二次方程的条件：未知数的最高次数是二次，且系数不得为0．
17．一元二次方程5x2﹣8x+3＝0的一次项系数是　﹣8　，常数项是　3　．
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
【解答】解：一元二次方程5x2﹣8x+3＝0的一次项系数是﹣8，常数项是3．
故答案为：﹣8；3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
18．若﹣2是关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2kx+4＝0的一个根，则k＝　0　．
【分析】把﹣2代入方程（k2﹣1）x2+2kx+4＝0，解得k的值．
【解答】解：∵﹣2是关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2kx+4＝0的一个根，
∴4k2﹣4k＝0，
解得k＝0或1，
当k＝1时，方程不是一元二次方程，
故k＝0．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，容易出现的错误是忽视k2﹣1≠0这一条件．
19．方程x2＝9的根是　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】两边开方即可求出答案．
【解答】解：x2＝9，
开方得：x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
20．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝　12　．
【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
所以a＝3，b＝4，
ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
21．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是　　，条件是　b2﹣4ac≥0　．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c＝0．
【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c＝0，
移项，得ax2+bx＝﹣c
化系数为1，得x2+x＝﹣
配方，得x2+x+＝﹣+
即：（x+）2＝
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+＝
解得：x＝．
故答案为：，b2﹣4ac≥0．
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
三．解答题（共3小题）
22．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
【分析】利用配方法求出m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
【解答】答：乙正确，
证明：m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3≠0，
故可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，利用配方法得出二次项系数不为0是解题关键．
23．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；

（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
24．已知方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0的根都是整数．求整数n的值．
【分析】利用求根公式求得x的值，让根的判别式为一个完全平方数，进而整理为两个因式的积为一个常数的形式，判断整数解即可．
【解答】解：原方程解得：
因为方程的根是整数，所以4n2+32n+9是完全平方数．
设4n2+32n+9＝m2（m≠0且为整数）
（2n+8）2﹣55＝m2
（2n+8+m）（2n+8﹣m）＝55，
因55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝（﹣5）×（﹣11）＝5×11，
∴，
解得：n＝10、0、﹣8、﹣18．
【点评】考查二次方程中系数的求法；一元二次方程的根均为整数，那么根的判别式为完全平方数；注意两数的积为一个正数，那么这两个数同为正数或同为负数．