第三章 函数的应用 章末检测卷（含答案解析）

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第三章 函数的应用 章末检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下列函数中，没有零点的是(　　)
A.f(x)＝log2x－7 B.f(x)＝－1
C.f(x)＝ D.f(x)＝x2＋x
2.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是(　　)
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3.函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)
A.1,2,3 B.1，－1,3
C.1，－1，－3 D.无零点
4.设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
6.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系近似是(　　)
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
8.已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A.恒为正 B.等于0
C.恒为负 D.不大于0
9.有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)
A.19 B.20 C.21 D.22
10.函数f(x)＝3x－log2(－x)的零点所在区间是(　　)
A. B.(－2，－1)
C.(1,2) D.
11.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A.c12.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元.据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)
A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.
14.已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________.
15.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为__________________，其定义域为__________________.
16.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.








18.(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是
p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40,0(1)求这种商品的日销售金额的解析式；
(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天.






19.(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(x)≥0的x的取值集合.










20.(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？



















21.(12分)某专营店经销某种商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当售价高于10元时，每提高1元，销量减少3件.若该专营店每日费用支出500元，用x(单位：元，x∈N*)表示该商品售价，y(单位：元)表示该专营店一天的净收入(除去每日的费用支出后的收入).
(1)把y表示成x的函数；
(2)试确定该商品售价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值.
22.(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式f(x)－t>0在区间[－1,2]上有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求实数m的取值范围.













22.(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式f(x)－t>0在区间[－1,2]上有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求实数m的取值范围.
















答案解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下列函数中，没有零点的是(　　)
A.f(x)＝log2x－7 B.f(x)＝－1
C.f(x)＝ D.f(x)＝x2＋x
答案　C
2.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是(　　)
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答案　D
3.函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)
A.1,2,3 B.1，－1,3
C.1，－1，－3 D.无零点
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　B
解析　令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.
4.设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　A
解析　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示.
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解.
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5.已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　f(0)＝20－5＜0，f(1)＝21＋－5＜0，f(2)＝22＋－5＜0，f(3)＝23＋－5＞0，f(4)＝24＋1－5＞0，则有f(2)·f(3)＜0.故选C.
6.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系近似是(　　)
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
答案　C
7.函数f(x)＝－x的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　令f(x)＝0，可得＝x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝和指数函数y＝x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个.
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8.已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A.恒为正 B.等于0
C.恒为负 D.不大于0
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　A
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴当0f(x0)＝0.
9.有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)
A.19 B.20 C.21 D.22
考点　函数模型的应用
题点　指数、对数函数模型的应用
答案　C
解析　操作次数为n时的浓度为n＋1，n∈N，
由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21，n∈N.
10.函数f(x)＝3x－log2(－x)的零点所在区间是(　　)
A. B.(－2，－1)
C.(1,2) D.
答案　B
解析　f(x)＝3x－log2(－x)的定义域为(－∞，0)，所以排除C，D；又f(－2)·f(－1)<0，且f(x)在定义域内是单调递增函数，故零点在(－2，－1)内.
11.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A.c答案　B
解析　由f(x)＝0得ex＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x，由h(x)＝0得x＝1，即c＝1.
在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝－x，y＝ln x的图象(如图)，由图象可知a<0,0 INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\+5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\+5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\+5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\+5.TIF" \* MERGEFORMATINET
又c＝1，所以a12.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元.据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)
A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型中最值问题
答案　D
解析　设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝－10(x－15)2＋6 250.∴当x＝15时，ymax＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.
答案　(0,1)
解析　在同一直角坐标系中，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0 INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\-267.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\-267.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\-267.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\-267.TIF" \* MERGEFORMATINET
14.已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________.
答案　[1，＋∞)
解析　因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0，
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
15.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为__________________，其定义域为__________________.
答案　y＝a(1＋p%)x　{x|0≤x≤m，x∈N}
16.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　(－2,2)
解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则使得f(x)<0的x的取值范围是(－2,2).
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在给定区间上是否有零点
证明　令g(x)＝f(x)－x＝x3－x2－x＋.
∵g(0)＝，g＝－，∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
18.(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是
p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40,0(1)求这种商品的日销售金额的解析式；
(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天.
解　(1)设这种商品的日销售金额为y元，
则由题意可知y＝
即y＝
(2)当0＝－(t－10)2＋900，
当t＝10时，ymax＝900；
当25≤t≤30，t∈N时，y＝t2－140t＋4 000＝(t－70)2－900，
故当t＝25时，ymax＝1 125.
故所求日销售金额的最大值为1 125元，且是30天中的第25天.
19.(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(x)≥0的x的取值集合.
解　∵－是函数的一个零点，∴f?＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当x≤0，即x≥1时，由x≥－，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当x>0时，≤x<1.综上所述，x的取值集合是.
20.(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型的应用
解　(1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答　老张的销售利润是39万元.
21.(12分)某专营店经销某种商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当售价高于10元时，每提高1元，销量减少3件.若该专营店每日费用支出500元，用x(单位：元，x∈N*)表示该商品售价，y(单位：元)表示该专营店一天的净收入(除去每日的费用支出后的收入).
(1)把y表示成x的函数；
(2)试确定该商品售价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值.
解　(1)由题意可得，
y＝
∴y＝
(2)当0∴当x＝10时，ymax＝500；
当x>10时，y＝－3x2＋130x－500＝－32＋，
∵x∈N*，∴当x＝22时，y取得最大值，ymax＝908.
又908>500，
∴当该商品售价为22元时，净收入最大，最大为908元.
22.(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式f(x)－t>0在区间[－1,2]上有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求实数m的取值范围.
解　(1)由f(0)＝2，得c＝2.
由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，
故解得
所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，f(x)的图象的对称轴方程为x＝1.
又f(－1)＝5，f(2)＝2，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为5.
又f(x)－t>0在区间[－1,2]上有解，所以t<5，
所以实数t的取值范围为(－∞，5).
(3)由题可知g(x)＝x2－(2＋m)x＋2.
若g(x)的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，
则即
解得1



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