第一章 《集合与函数》期末复习 学案

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第一章 《集合与函数》期末复习教案 INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\ppt\\！！！！！！！用\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\word\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张潇\\e\\张潇\\2019\\同步\\数学\\人A 必修1 （老课标）\\全书完整的Word版文档\\知识网络.TIF" \* MERGEFORMATINET

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考点一　集合知识的综合应用
例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}.
∵(?RA)∪B＝R，(如图)
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∴∴－1≤a≤0.即a的取值范围是[－1,0].
(2)由(1)知当(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
则A?B，这与A∩B＝?矛盾.
即这样的a不存在.
反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反.
跟踪训练1　已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，集合B＝{x|－3＜x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　由题意知U＝{x|－5≤x≤5}，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来.如图，
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所以?UA＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
A∩B＝{x|－2＜x＜1}，
?U(A∩B)＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或1≤x≤3}.


考点二　抽象函数的单调性与奇偶性问题

命题角度1　抽象函数的奇偶性的判断
例2　若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，
求证：f(x)＋1为奇函数.
证明　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)＋1，
所以f(0)＝－1，
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，
即－1＝f(x)＋f(－x)＋1，
所以f(x)＋1＝－f(－x)－1
＝－[f(－x)＋1]，所以f(x)＋1为奇函数.
反思感悟　抽象函数奇偶性的判断，关键是通过赋值探究f(x)与f(－x)的关系.
跟踪训练2　已知函数f(x)不为0，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y).
求证：f(x)是偶函数.
证明　令x＝y＝0，
则f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，
又f(0)≠0，
∴f(0)＝1.
令x＝0，y∈R，
则f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)，
∴f(y)＝f(－y)，
∴f(x)是偶函数.
命题角度2　抽象函数的单调性的判断
例3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?＝f(x)－f(y)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性.
解　(1)令y＝x，
则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)且x1则>1，
∴f?<0，
∴f?＝f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数.
反思感悟　抽象函数单调性的判断，是根据条件合理赋值，转化成函数单调性定义的形式.其关键是合理赋值.
跟踪训练3　设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值.
(1)证明　令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)是奇函数.
(2)解　设x1，x2∈R且x1则x2－x1>0，
∴f(x2－x1)<0.
令x＝x2，y＝－x1，
则f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是R上的单调减函数，
∴f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－6.
考点三　函数性质的综合应用
例4　已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0.
(1)判断函数的单调性(不要求证明)；
(2)解不等式f?(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值的综合问题
解　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
由f?得
解得0≤x<.
所以不等式f?(3)因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，
要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立.
令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立.
因此只需
解得－≤t≤，
所以实数t的取值范围为.
反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，
∴＝，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x1∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数.
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.


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1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A.P＝Q B.P?Q
C.P?Q D.P∩Q＝?
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，
Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，
所以Q?P.
2.下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的单调递增函数是(　　)
A.f(x)＝x2(x≥0) B.f(x)＝－2x
C.f(x)＝3x D.f(x)＝x3
答案　C
3.设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案　C
解析　f(－x)|g(－x)|＝[－f(x)]|g(x)|
＝－f(x)|g(x)|.
4.若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，设f?＝m，f?＝n，则m，n的大小关系是________.
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　m≥n
解析　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f?≤f?＝f?.
5.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.
考点　函数图象
题点　函数图象的应用
答案　(0,1)∪(1,4)
解析　根据绝对值的意义，得
y＝＝
＝
在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图所示.
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根据图象可知，当0



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