第三章 《函数的应用》期末复习 学案

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《函数的应用》期末复习教案
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考点一　函数的零点与方程的根的综合
例1　(1)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝3x＋x3－5，则函数y＝f(x)的零点的个数为________.
答案　3
解析　∵y＝f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，即x＝0是f(x)的一个零点.
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝3x＋x3－5单调递增.
又f(1)＝－1<0，f(2)＝12>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∴由零点存在性定理知f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.
故由奇函数的性质知f(x)在(－∞，0)上也只有一个零点.
综上，f(x)共有3个零点.
(2)函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点的个数是________.
答案　1
解析　由f(x)＝ln x＋3x－2＝0，得ln x＝2－3x，设g(x)＝ln x，h(x)＝2－3x，其图象如图所示，由图可知两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋3x－2有一个零点.
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反思感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
跟踪训练1　若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　C
解析　显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
考点二　函数零点的应用
例2　已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实数根，则m的取值范围是________.
答案　(3，＋∞)
解析　画出函数f(x)的图象如图所示，
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由图可知，当方程f(x)＝b有三个不同的根时，有4m－m23或m<0(舍)，故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟　解决此类题目通常用数形结合的方法.有的也可以通过解方程讨论来解决.
跟踪训练2　若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1是一次函数，有一个零点；当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
综上知，a＝0或a＝－.
考点三　函数模型及应用
例3　某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天，t∈N*)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天 4 10 16 22
Q/万股 36 30 24 18

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(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少.
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型中的最值问题
解　(1)P＝(t∈N*).
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，把(4,36)，(10,30)代入得
所以经检验，符合题意.
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得y＝
即y＝(t∈N*).
当0当20y<(20－60)2－40＝120(万元).
所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元.
反思感悟　由于实际问题信息量大，有时还会出现一些陌生词，所以审题时要抓住主被动变量，围绕寻找主被动变量的关系去检索题目信息，搭建模型框架再逐步细化框架.
跟踪训练3　如图所示，A，B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A，B两城供气.已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得小于10 km.已知建设费用y(万元)与A，B两地的供气距离的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1 300万元.(供气距离指天然气站距某城市的距离)
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(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求其定义域；
(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最少？最少费用是多少？
解　(1)由题意知，D地距B地(100－x)km，
则所以10≤x≤90，即定义域为[10,90].
设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)，
又当x＝40时，y＝1 300，所以1 300＝k(402＋602)，
即k＝，
所以y＝[x2＋(100－x)2]＝(x2－100x＋5 000)x∈[10,90].
(2)由于y＝(x2－100x＋5 000)＝(x－50)2＋1 250，
所以当x＝50时，y有最小值1 250，
所以当供气站建在距A城50 km处时，才能使建设费用最少，最少费用是1 250万元.
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1.下列函数不存在零点的是(　　)
A.y＝x－ B.y＝
C.y＝ D.y＝
考点　函数零点的概念
题点　判断函数有无零点
答案　D
解析　分别令y＝0，A，B，C均有解；
对于D，或无解.
2.已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4，＋∞)
答案　C
解析　f(x)在(0，＋∞)上连续，且f(2)＝2>0，
f(4)＝－2＝－<0.
3.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　A
解析　由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
4.设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________.
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　(log32,1)
5.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日 12 35 000
2018年5月15日 48 35 600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升.
考点　建立函数模型解决实际问题
题点　建立函数模型解决实际问题
答案　8
解析　由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600(千米)，耗油量为48升，∴每100千米耗油量为8升.




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