第3节 力的平衡
第4节 平衡条件的应用
1．知道平衡状态和力的平衡的概念。
2．了解共点力作用下物体平衡的条件。
3．了解平衡的种类及影响稳度的因素。
4．知道静态平衡、物体在某一方向的平衡及动态平衡。
5．会用共点力的平衡条件解决实际问题。
1.共点力作用下物体的平衡条件
(1)平衡状态
如果一个物体保持静止或做匀速直线运动，我们就说这个物体是处于平衡状态。
(2)共点力的平衡条件
合力为零，即F合＝0。
(3)力的平衡
作用在物体上的几个力的合力为零，这种情况叫做力的平衡。
2．平衡的种类和稳度
(1)平衡的种类
①不稳定平衡。②稳定平衡。③随遇平衡。
(2)稳度及影响稳度的因素
①稳度：物体的稳定程度。
②影响因素
a．重心的高低。重心越低，稳度越大。
b．支持面的大小。支持面越大，稳度越大。
3．平衡条件的应用
(1)物体的静态平衡
物体所受力的合力为零，处于静止的平衡状态。
(2)物体在某方向的平衡
运动的物体在某一方向上合力为零时，在该方向上处于平衡状态。
想一想
1.当物体的速度为零时，是否一定处于平衡状态？
提示：不一定，如物体做自由落体运动的初始时刻速度为零，但合外力不为零，物体没有处于平衡状态。
2.
我们都玩过垒积木，且积木垒得越高时，难度越大，积木倾倒的可能性越大，你能用力学原理解释吗？
提示：积木垒得越高时，重心越高，稳度越低，积木倾倒的可能性越大。
判一判
(1)平直道路上高速匀速行驶的赛车处于平衡状态。( )
(2)百米竞赛中，运动员在起跑时速度为零的瞬间处于平衡状态。( )
(3)合力保持恒定的物体处于平衡状态。( )
提示：(1)√ 赛车沿平直道路高速匀速行驶，合力为零，故赛车处于平衡状态。
(2)× 运动员起跑瞬间虽然速度为零，但具有加速度，不处于平衡状态。
(3)× 当合力恒定且不为零时，物体的速度会发生变化，物体不处于平衡状态。
课堂任务 共点力作用下物体的平衡条件
1．平衡状态
平衡状态指物体保持静止状态或匀速直线运动状态。
对静止状态的理解：静止与速度v＝0不是一回事。物体保持静止状态，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。若仅是
v＝0，a≠0，如自由下落开始时刻的物体，并非处于静止状态。
2．共点力平衡的条件：合力为0。
数学表达式有两种：①F合＝0；②
Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力。
3．共点力平衡的几种常见类型
(1)物体受两个力平衡时，这两个力等大反向共线，是一对平衡力。
(2)物体受三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大反向共线。
(3)物体受三个以上的力平衡时，其中任意一个力与另外几个力的合力等大反向共线。
4．物体在某方向上的平衡
做变速直线运动的物体，物体所受的一切外力在垂直运动方向上分力的矢量和为零，则物体在垂直运动方向上处于平衡状态。
5．共点力平衡问题的常见处理方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，作用线在同一直线上
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
例1 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。那么，风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
(1)有风时金属球受哪几个力的作用？
提示：有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT。
(2)小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？
提示：是平衡力，满足大小相等，方向相反且共线。
(3)重力产生的作用效果是什么？
提示：一是沿着金属丝向左下方拉金属丝，二是沿着水平方向向右拉小球。
[规范解答] 取金属球为研究对象，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT，如图所示。这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零。可以根据合成法、分解法、正交分解法求解。
解法一：(合成法)
根据任意两力的合力与第三个力等大反向，如图甲所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ。
解法二：(分解法)
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图乙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtanθ。
解法三：(正交分解法)
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丙所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合均等于零，即Fx合＝FTsinθ－F＝0，Fy合＝FTcosθ－mg＝0，解得F＝mgtanθ。
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关。因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
[完美答案] F＝mgtanθ
1．处理平衡问题的“四步骤”
2．正交分解法坐标轴方向的选取技巧
(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；
(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴；
(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时，通常沿杆或绳方向和垂直杆或绳的方向建立坐标轴。
如图所示，一条轻质细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比mA∶mB等于( )
A．cosθ∶1
B．1∶cosθ
C．tanθ∶1
D．1∶sinθ
答案 B
解析 物体A受力平衡，则细绳的拉力F＝mAg；物体B受力平衡，则细绳的拉力F在竖直方向的分力与物体B的重力大小相等，即Fcosθ＝mBg，故mA∶mB＝1∶cosθ，故选B。
课堂任务 动态平衡问题
缓慢变化中的每一个瞬间物体常常可视为处于平衡状态，但物体的受力情况可能发生变化，这时物体的受力分析就是动态平衡受力分析。常用的方法有如下几种：
1．解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力的变化情况，一般用于较简单的动态平衡受力分析问题。
2．图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度、方向的变化判断各个力的变化情况。
(1)平行四边形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
②原理：根据平行四边形定则，将大小、方向不变的力沿另两个力的反方向分解，根据物体处于平衡状态时合力为零，以及两个分力的大小、方向变化情况判断另两个力的大小、方向变化情况。
(2)矢量三角形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变，或另两个力始终相互垂直。
②原理：根据物体处于平衡状态时合力为零，将物体所受的三个力首尾相接，作在一个力的矢量三角形中，根据动态变化过程中，三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
(3)相似三角形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。
②原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将表示三个力的有向线段首尾相连构成三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
例2 用绳OD悬挂一个重力为G的物体，O位于半圆形支架的圆心，绳OA、OB的悬点A、B在支架上。悬点A固定不动，结点O保持不动，开始时，OB水平，将悬点B从图中所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，分析绳OA和绳OB上拉力的大小变化情况。
(1)结点O受哪几个力作用？
提示：受绳子OD的拉力、绳子OA的拉力、绳子OB的拉力三个力作用。
(2)结点O受到的力，各自有什么特点？
提示：绳子OD对O点的拉力与物体的重力的大小相等，方向相同，即恒定不变，绳子OA的拉力方向不变，绳子OB的拉力方向变化。
(3)我们可以用什么方法进行分析？
提示：可以用平行四边形法或矢量三角形法进行分析。
[规范解答] 解法一：(平行四边形法)在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB上的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，由于绳子OD对O点的拉力TD＝G，结点O始终处于平衡状态，则将TD沿AO、BO方向分解，如图所示，分力的大小分别等于绳子OA、OB对O点的拉力大小，分力的方向分别与绳子OA、OB对O点的拉力方向相反，从图中可以直观地看出，TA＝TA′逐渐减小，且方向不变；而TB＝TB′先减小，后增大，且方向不断改变，当TB与TA垂直时，TB最小。
解法二：(矢量三角形法)将表示O点所受三个力的有向线段首尾相接，构成的矢量三角形如图所示：
将悬点B从图中所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OB上的拉力TB与水平方向的夹角α从0°逐渐增大到90°，根据矢量三角形图可知绳OA的拉力TA逐渐减小到0，绳OB上的拉力TB先减小后增大到TB＝TD＝G。
[完美答案] 绳OA的拉力逐渐减小 绳OB的拉力先减小后增大
求解动态平衡问题的思路
如图所示，小球A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小球A上，另一端跨过固定在大圆环最高点处的小滑轮B后吊着一个质量为m1的物块。如果小球、滑轮、细线的大小和质量以及所有摩擦都可以忽略不计，细线不可伸长，静止时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块质量的比值应为( )
A．cos
B．sin
C．2sin
D．2cos
答案 C
解析 对小球A受力分析，如图所示，FT2与N的合力与FT1平衡，若将FT1、FT2、N首尾相接组成矢量三角形，则它与两半径OA、OB和弦AB形成的几何三角形相似，设圆环半径为R，则＝，FT2＝N，则有2FT2sin＝FT1，又FT2＝m2g，FT1＝m1g，解得＝2sin，C正确。
A组：合格性水平训练
1．(平衡状态)若一个物体处于平衡状态，则此物体一定是( )
A．静止
B．匀速直线运动
C．速度为零
D．各共点力的合力为零
答案 D
解析 一个物体处于平衡状态，可能处于静止状态或匀速直线运动状态，A、B错误；一个物体处于平衡状态，速度不一定为零，共点力的合力一定为零，C错误，D正确。
2．(静态平衡)如图所示，一件重量为G的衣服悬挂在等腰衣架上。已知衣架顶角θ＝120°，底边水平，不计摩擦，则衣架一侧对衣服的作用力大小为( )
A.G
B.G
C.
D．G
答案 A
解析 选取衣服作为研究对象，受到重力G和衣架两侧对衣服的弹力，弹力方向与衣架侧边垂直，根据几何关系可知两个弹力与竖直方向的夹角均为30°，衣服处于静止状态，所受的合力为零，则2Fcos30°＝G，解得F＝G，A正确。
3．(静态平衡)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案 A
解析 设ac绳中的拉力为F1，bc绳中的拉力为F2，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，并将F1和F2进行正交分解，则对三根绳的结点有水平方向：F1sin30°＝F2sin60°；竖直方向：F1cos30°＋F2cos60°＝F，又竖直绳上的拉力F＝mg，由以上三式可得F1＝mg，F2＝mg，故A正确。
4．(静态平衡)如图所示，用三根轻绳将A、B两小球以及水平天花板上的固定点O两两连接。然后用一水平方向的力F作用于A球上，此时三根轻绳均处于伸直状态，且点O和B球间的轻绳恰好处于竖直方向，两球均处于静止状态。已知三根轻绳的长度之比l1∶l2∶l3＝3∶4∶5，两球质量关系为mA＝2mB＝2m，则下列说法正确的是( )
A．点O和B球间轻绳的拉力大小为2mg
B．点O和A球间轻绳的拉力大小为
C．F的大小为
D．A、B两球间轻绳的拉力大小为mg
答案 B
解析 首先由平衡条件判定B球不受A、B两球间轻绳的作用力，即A、B两球间轻绳无拉力，否则B球无法平衡，TOB＝mBg＝mg，TAB＝0，A、D错误。隔离A球分析，A球受三个力作用而处于平衡状态，这三个力能组成一个矢量三角形，如图所示，F＝mAgtanθ＝，TOAcosθ＝mAg，得TOA＝，B正确，C错误。
5．(某方向的平衡)如图所示，放在水平地面上的物块，受到一个与水平方向成α角斜向下方的力F的作用，该物块恰好在水平地面上做匀速直线运动。如果保持该推力F的大小不变，而使力F与水平方向的夹角α变小，那么，地面受到的压力N和物块受到的摩擦力f的变化情况是( )
A．N变小，f变大
B．N变大，f变小
C．N变大，f变大
D．N变小，f变小
答案 D
解析 对物块受力分析，如图所示，物块受推力、重力、支持力和滑动摩擦力。根据竖直方向受力平衡及作用力和反作用力的关系，有N＝N′＝G＋Fsinα，f＝μN，当α变小，支持力变小，故地面受到的压力N变小，物块受到的滑动摩擦力变小，D正确。
6．(动态平衡)如图，小英同学用两根一样长的绳子拴住一只钩码，拉住绳子两头使钩码悬停在空中，保持两手处于同一高度，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，则( )
A．两绳拉力逐渐减小
B．两绳拉力逐渐增大
C．两绳拉力先减小后增大
D．两绳拉力的合力逐渐增大
答案 A
解析 以钩码为研究对象，进行分析受力，即受到两侧绳子的拉力F1、F2和重力G。根据平衡条件得知，F1、F2的合力与G大小相等、方向相反，则F1、F2的合力大小等于钩码的重力，保持不变。根据对称性可知，F1＝F2，设两绳之间的夹角为2α，则由平衡条件得，2F1cosα＝G，得到F1＝，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，即α由75°慢慢减小到15°，则F1减小，F2也减小，A正确，B、C、D错误。
7．(动态平衡)如图所示，一根轻绳跨过固定斜面顶端的定滑轮后系在一质量较大的球上，球的大小不可忽略。在轻绳的另一端施加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢上升至斜面顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F( )
A．逐渐增大
B．保持不变
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案 A
解析 对球受力分析，根据共点力平衡条件及平行四边形定则可知使球沿固定的光滑斜面由题图位置缓慢上升到斜面顶端的过程中，顺时针转动过程绳子拉力T方向如答图所示，与竖直方向的夹角越来越大，由题图知开始时绳子拉力与支持力的夹角就大于90°，由答图可知绳子拉力一直增大，即F一直增大，A正确。
8．(静态平衡)在动画片《熊出没》中，熊二用一根轻绳绕过树枝将光头强悬挂起来，如图所示，此时轻绳与水平地面的夹角θ＝37°。已知光头强的质量为m＝60
kg，熊二的质量为M＝300
kg，不计轻绳与树枝间的摩擦。(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10
m/s2)求：
(1)轻绳对熊二的拉力的大小；
(2)地面对熊二的支持力的大小；
(3)熊二对地面的摩擦力的大小和方向。
答案 (1)600
N (2)2640
N (3)480
N 方向水平向左
解析 (1)以光头强为研究对象进行受力分析，得拉力T＝mg＝600
N。
(2)以熊二为研究对象受力分析：
根据竖直方向受力平衡可知
N＋Tsinθ＝Mg，
代入数据得支持力N＝2640
N。
(3)根据水平方向受力平衡可知f＝Tcosθ，
代入数据得f＝480
N。
由牛顿第三定律可知，熊二对地面的摩擦力的大小f′＝f＝480
N，方向水平向左。
B组：等级性水平训练
9．(平衡条件)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上。物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
A．cosθ＋μsinθ
B．cosθ－μsinθ
C．1＋μtanθ
D．1－μtanθ
答案 B
解析 两种情况下分别对物体进行受力分析，如图所示，对甲图，沿斜面方向：F1－mgsinθ－f1＝0，垂直于斜面方向：N－mgcosθ＝0，f1＝μN，联立可解得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ。
对乙图，沿斜面方向：F2cosθ－mgsinθ－f2＝0，垂直于斜面方向：N′－F2sinθ－mgcosθ＝0，f2＝μN′，联立可解得F2＝，所以＝cosθ－μsinθ，故B正确。
10．(动态平衡)
有一个直角支架AOB，AO杆水平放置，表面粗糙，OB杆竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是( )
A．FN不变，f变大
B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大
D．FN变大，f变小
答案 B
解析 以两环和细绳整体为研究对象，由题意可知，竖直方向上二力平衡，即FN＝2mg不变；水平方向上只受OB对Q环的弹力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f＝N。以Q环为研究对象，它在重力、细绳的拉力F和OB的弹力N作用下平衡，如图所示，设细绳和竖直方向的夹角为α，则N＝mgtanα。P环向左移动一小段距离，再次平衡时，α减小，N也减小，所以f减小。故B正确。
11．(动态平衡)如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙的连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
答案 B
解析 如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2′而处于平衡状态，此三力构成一矢量三角形，如图乙所示。木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，α逐渐减小，根据图乙可知，FN1始终减小，FN2′始终减小。由于FN2与FN2′是一对作用力与反作用力，大小相等，所以FN2始终减小，B正确。
12.
(力的平衡与相似三角形)(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部中心O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球静止于P点，OP与水平方向间的夹角为θ＝30°。若换为与质量为2m的小球B相连，小球B将静止于M点(图中未画出)，下列说法正确的是( )
A．容器对小球B的作用力大小为2mg
B．弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力
C．弹簧的原长为R＋
D．O′M的长度为
答案 ACD
解析 小球受三个共点力而平衡，这三个力构成一个矢量三角形，如图所示，矢量三角形刚好和几何三角形相似，则当弹簧另一端与质量为m的小球A相连时，＝＝；当弹簧另一端与质量为2m的小球B相连时，＝＝(L2为O′M的长度)，设弹簧的原长为L0，则T1＝k(L0－R)，T2＝k(L0－L2)，联立可得T1＝mg，L0＝R＋，N2＝2mg，L2＝，T2＞T1，综上所述，A、C、D正确，B错误。
13．(动态平衡和静态平衡)如图a所示，OA、OB、OC三段轻绳结于O点，轻绳OA与竖直方向的夹角为37°，下方轻绳OC悬挂质量为m1＝0.4
kg的沙桶。轻绳OB水平，B端与放置在水平面上的质量为m2＝1.8
kg的滑块相连，滑块处于静止状态，已知滑块与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10
m/s2，最大静摩擦力按滑动摩擦力计算。
(1)求滑块受到的摩擦力大小；
(2)若缓慢往沙桶中添加细沙，要使滑块静止不动，沙桶和沙的总质量不能超过多少？
(3)若移去滑块，保持O点位置不变，用手牵引OB由水平位置绕O点向上顺时针缓慢转动90°，如图b所示，求此过程中绳OB上拉力的最大值Tmax和最小值Tmin。
答案 (1)3
N (2)0.72
kg (3)4
N 2.4
N
解析 (1)以结点O为研究对象，受力分析如图甲所示，由平衡条件可知OB绳的拉力
TOB＝m1gtan37°＝4×0.75
N＝3
N。
对滑块，根据共点力的平衡条件可得
f＝TOB＝3
N，
所以滑块受到的摩擦力大小为3
N。
(2)滑块受到的最大静摩擦力
fm＝μm2g＝0.3×18
N＝5.4
N，
由fm＝TOB′＝m1′gtan37°，
得m1′＝0.72
kg。
(3)若保持O点位置不变，以O点为研究对象，将OB由水平位置绕O点顺时针缓慢转动90°的过程中，BO和AO的拉力的合力始终与TOC等大、反向、共线，如图乙所示，由平行四边形定则可知：
当BO竖直时，OB上拉力最大，最大值Tmax＝m1g＝4
N。
当BO⊥AO时，OB上拉力最小，最小值
Tmin＝m1gsin37°＝2.4
N。(共46张PPT)
第五章 水平测试卷
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第3节 力的平衡
第4节 平衡条件的应用
01课前自主学习
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02课堂探究评价
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03课后课时作业
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第2节 力的分解
01课前自主学习
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02课堂探究评价
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03课后课时作业
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答案第2节 力的分解
1．知道什么是分力及力的分解，知道力的分解是力的合成的逆运算。
2．了解力的分解的一般方法，掌握力的正交分解法和效果分解法。
3．会用力的分解分析生产和生活中的实际问题。
1.分力 力的分解
(1)分力
假设力F1、F2共同作用的效果，与某个已知力F的作用效果完全相同，则力F1、F2即为力F的分力。
(2)力的分解
①定义：求一个已知力的分力的过程。
②与力的合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。
③分解法则：力的分解同样遵守平行四边形定则。把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共起点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力。
④分解依据：力的分解方式是不唯一的。在实际问题中，一般依据力的实际作用效果来分解。
2．力的正交分解
(1)定义
把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图所示。
(2)公式
Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ。
(3)适用
正交分解适用于各种矢量。
3．力的分解的应用
(1)山区要修建很长的盘山公路，城市的高架桥则要建造很长的引桥，目的是为了减小坡度，使行车更加方便和安全。
(2)斧子独特的形状能够将一个较小的力分解成两个较大的分力。
(3)拱桥将垂直向下的压力转化为两个斜向下的分力，大大提高了桥梁的承载能力。
想一想
1.
如图是吊挂在光滑墙壁上的足球，足球所受重力会产生什么作用效果？
提示：可以在墙壁与足球之间垫上海绵，可以用轻弹簧替代细绳，可由海绵与弹簧的形变情况判断出重力的两个分力的作用效果是拉伸细绳和垂直挤压墙壁。
2．为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥，在引桥上，汽车重力有什么作用效果？从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？
提示：汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压桥面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。高大的桥建造很长的引桥可以减小桥面的坡度，即减小汽车重力沿桥面向下的分力，使行车更安全。
课堂任务 分力与合力的关系及力的分解
1．合力与分力的关系
(1)对合力与分力的理解
①真实性：在力的合成中，原来两个力是实际存在的，合力是“虚拟”的，没有与之对应的施力物体；在力的分解中，原来已知的一个力是实际存在的，两个分力是“虚拟”的，没有与之对应的施力物体。
②逻辑关系：合力和分力是等效替代的关系，一个力的作用效果与两个或更多力的作用效果相同。如图所示，FC是FA和FB的合力，可以用FC这个力来代替FA和FB，这就是力的等效代替，而不是物体又多受了一个合力。
(2)合力与分力的三性
①等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同，它们在效果上可以相互替代。
②同体性：各个分力是作用在同一物体上的，分力与合力为同一物体所受的力，作用在不同物体上的力不能求合力。
③瞬时性：各个分力与合力具有瞬时对应关系，某个分力变化了，合力也同时发生变化。
2．力的分解原则
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。分力并不存在，它只是在效果上替代原来已知的力，不可将已知的力和分力同时作为物体受的力。
3．力的分解依据
(1)一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。
(2)在实际问题中，我们常常以两种方式进行分解。一是依据力的作用效果分解，另一种是正交分解。
4．常见的按力的实际效果分解的实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2。F1＝Fcosα，F2＝Fsinα
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势(分力F1)；二是使物体压紧斜面(分力F2)。F1＝mgsinα，F2＝mgcosα
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重力产生两个效果：一是使球压紧板(分力F1)；二是使球压紧斜面(分力F2)。F1＝mgtanα，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁(分力F1)；二是使球拉紧悬线(分力F2)。F1＝mgtanα，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，竖直绳的拉力F产生两个效果：一是拉紧绳OA(分力F1)；二是拉紧绳OB(分力F2)。F1＝Ftanα，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，竖直绳的拉力F产生两个效果：一是拉伸AB(分力F1)；二是压紧BC(分力F2)。F1＝mgtanα，F2＝
5.正交分解
(1)定义：把一个已知力沿着两个互相垂直的方向进行分解。如图所示。
(2)目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好的“合”。
(3)适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成。
(4)分解原则：以少分解力和容易分解力为原则。
(5)方法：物体受到多个力F1、F2、F3……作用，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。如图所示。
x轴上的合力Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
y轴上的合力Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，tanθ＝。
例1 如图所示，一个重为100
N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
(1)没有A点小球会怎样？没有竖直的墙壁呢？
提示：无论是A点还是竖直的墙壁，不管撤掉哪一个，小球都会落下去，所以这两处对小球都有力的作用。
(2)是什么力会让小球有下落的可能？效果怎样？
提示：是重力的作用使得撤掉A点或竖直的墙壁，小球都会下落。所以重力产生了两个效果：压紧墙壁和A点。
[规范解答] 小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力
F1＝F1′＝mgtan60°＝100
N，方向垂直墙壁向右；
小球对A点的压力
F2＝F2′＝＝200
N，方向沿OA指向A点。
[完美答案] 100
N，方向垂直墙壁向右 200
N，方向沿OA指向A点
1 对力进行分解时，按力的作用效果准确确定出两分力的方向是关键。作重力的分力F2′时要注意A点与球之间弹力的方向。弹力是法向力，直接连接OA并延长即可。
2 作出平行四边形后分力大小的计算常用到直角三角形、相似三角形等有关的几何知识。
如图所示，用拇指、食指捏住圆规的一个针脚，另一个有铅笔芯的脚支撑在手掌心位置，使OA水平，然后在外端挂上一些不太重的物品，这时针脚A、B对手指和手掌均有作用力，对这两个作用力方向的判断，下列各图中大致正确的是( )
答案 C
解析 物品的重力对圆规的作用效果有两个：一是沿AO对手指有拉力，二是沿OB对手掌有压力，故C正确。
例2 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19
N、40
N、30
N和15
N，方向如图所示，求它们的合力。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(1)哪些力是相互垂直的？有什么用？
提示：F1、F4相互垂直，如果以这两个力为坐标轴可以只分解两个力。
(2)正交分解后怎么求合力？
提示：分别求出沿两个坐标轴的合力Fx、Fy再合成。
[规范解答] 如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27
N
Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27
N
因此，如图乙所示，合力F＝≈38.2
N，tanφ＝＝1，即合力的大小约为38.2
N，方向与F1夹角为45°斜向右上方。
[完美答案] 38.2
N，方向与F1夹角为45°斜向右上方
正交分解求合力一般按以下思路进行：
如图所示，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩擦因数为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 重力按实际作用效果可分解为两个力：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2，分解得F1＝mgsinα，F2＝mgcosα。(这个分解方式是按效果分解的，但同时也是正交分解，因为两个方向是垂直的。)由题意可以判断出，当倾角α＝30°时，物块受到的摩擦力是静摩擦力，大小为Ff1＝mgsin30°，当α＝45°时，物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为Ff2＝μN＝μmgcos45°，由Ff1＝Ff2得μ＝。C正确，A、B、D错误。
课堂任务 力的分解的讨论
将某个力进行分解，如果没有条件的约束，从理论上讲有无数组解。
一个已知力分解为两个分力的可能情况
(1)已知两个分力的方向时，有唯一解(如图)。
(2)已知一个分力的大小和方向时，有唯一解(如图)。
(3)已知一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时，有下面几种可能：
①当Fsinθ②当F2＝Fsinθ时，F1有唯一解[如图(6)]；
③当F2④当F2>F时，F1有唯一解[如图(8)]。
例3 已知两个共点力的合力为50
N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30
N。则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
(1)已知合力和一个分力的方向有唯一解的情况是什么？
提示：当F2＝Fsinθ时，θ为合力与另一个分力的夹角，有唯一解。
(2)怎么画几个力关系的示意图？
提示：先作好合力和一个分力的方向(该分力起点和合力起点相同)，第二个分力的末端必然在合力的末端，起点必然在第一个分力所在的那条直线上(也就是第一个分力的末端)。
[规范解答] 由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：当F2＝F20＝Fsin30°＝25
N时，F1的大小才是唯一的，F2的方向才是唯一的。因F2＝30
N＞F20＝25
N，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故A、B、D错误，C正确。
[完美答案] C
将一个力分解，讨论解的个数时，借助三角形定则比借助平行四边形定则更方便。看代表合力及分力的有向线段能否按要求构成三角形，以及能构成三角形的个数，从而说明解的情况。
(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，另一个分力F2＝F，则F1的大小可能是( )
A.F
B.F
C.F
D.F
答案 AD
解析 因Fsin30°＜F2＜F，所以F1的大小有两种情况，如图所示。
FOA＝Fcos30°＝F，FAB＝FAC＝＝F，所以F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，故A、D正确。
A组：合格性水平训练
1．(合力与分力的关系)(多选)关于合力与分力，下列说法正确的是( )
A．合力与分力是等效的
B．合力与分力的性质相同
C．合力与分力同时作用在物体上
D．合力与分力的性质不影响作用效果
答案 AD
解析 合力与分力是等效替代关系，合力产生的效果与分力共同作用时的效果是相同的，因而合力与分力不是同时作用在物体上的，也不涉及力的性质的问题，故A、D正确，B、C错误。
2．(力的分解实例)我国自行设计建造的世界第二斜拉索桥——上海南浦大桥，桥面高46
m，主桥全长845
m，引桥全长7500
m，引桥建得这样长的目的是( )
A．增大汽车上桥时的牵引力
B．减小汽车上桥时的牵引力
C．增大汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力
D．减小汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力
答案 D
解析 引桥越长，斜面倾角θ越小，重力沿斜面方向的分力F＝mgsinθ越小，故D正确。
3.
(效果分解法)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C．物体只受重力mg和弹力FN的作用
D．FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果不相同
答案 C
解析 F1、F2是物体的重力mg的分力，A错误；斜面光滑，所以物体只受重力mg和弹力FN的作用，故C正确；F1、F2是重力的两个分力，它们是等效替代的关系，效果相同，不能说物体受4个力的作用，故B、D错误。
4.
(求分力)如图所示，把竖直向下的90
N的力分解为两个力，一个力在水平方向上且大小为120
N，另一个分力的大小为( )
A．30
N
B．90
N
C．120
N
D．150
N
答案 D
解析 由题意，根据平行四边形定则作出力的分解示意图如图所示，根据勾股定理：F2＝＝
N＝150
N，故A、B、C错误，D正确。
5．(力的分解)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中不正确的是( )
A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的
B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的
C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的
D．此合力有可能分解成两个与合力等大的分力
答案 C
解析 根据选项A、B只能画出一个三角形，分解时有唯一解，选项C能画出多个三角形，分解时不只有唯一解，A、B正确，C错误。由合力与分力的大小关系知D正确。
6.
(力的分解)物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为( )
A．Fcosθ
B．Fsinθ
C．Ftanθ
D．Fcotθ
答案 B
解析 根据力的三角形定则，分力首尾相连，再连首尾为合力。合力沿OO′方向，F′的一端在OO′上，另一端在力F的末端，所以力F′与OO′垂直时最小，如图所示，为Fsinθ，B正确。
7.
(效果分解法)(多选)如图所示，重量为G的小球静止在斜面上，下列关于重力的两个分力说法正确的是( )
A．F1的大小等于小球对挡板的压力大小
B．F2是小球对斜面的正压力，大小为
C．F1是小球所受重力的一个分力，大小为Gtanθ
D．由于重力的存在，小球同时受G、F1、F2的作用
答案 AC
解析 F1的大小等于小球对挡板压力的大小，故A正确；F2是小球重力的一个分力，不是小球对斜面的正压力，只是大小上相等，故B错误；F1是小球所受重力的一个分力，由几何关系可知，其大小为Gtanθ，故C正确；F1、F2均是重力的分力，是重力产生的两个效果，不是小球受到的力，故D错误。
8.
(正交分解法)如图所示，荡秋千的小学生所受的重力为400
N，秋千最大摆角为60°，当他处于最高位置时，把他所受的重力在垂直绳方向和沿绳方向进行分解，求这两个分力的大小。
答案 200
N 200
N
解析 将重力分解如图所示，
由几何知识可知：
G1＝G·sin60°＝200
N
G2＝G·cos60°＝200
N。
9.
(效果分解法)如图所示的装置处于静止状态。已知A、C两点在同一水平面上，轻绳AB、CD与水平方向的夹角分别为β＝60°、α＝30°，物体所受重力为G，求：物体的重力沿AB、CD方向的分力大小。
答案 G G
解析 把重力沿AB、CD方向分解，如图所示，
沿AB方向的分力为：F1＝Gcosα＝G；
沿CD方向的分力为：F2＝Gsinα＝G。
10．(力的分解)按下列两种情况把一个竖直向下的180
N的力分解为两个分力。
(1)一个分力水平向右，并等于240
N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，求两个分力的大小。
答案 (1)300
N 与竖直方向夹角为53°斜向左下方
(2)水平方向分力的大小为60
N，斜向下的分力的大小为120
N
解析 (1)力的分解如图甲所示。
F2＝＝300
N
设F2与F的夹角为θ，则：tanθ＝＝，解得θ＝53°。
(2)力的分解如图乙所示。
F1＝Ftan30°＝180×
N＝60
N
F2＝＝
N＝120
N。
B组：等级性水平训练
11．(力的分解)将一个有确定方向的力F＝10
N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6
N，则在分解时( )
A．有无数组解
B．有两组解
C．有唯一解
D．无解
答案 B
解析 设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝Fsin30°＝5
N。而5
NN<10
N，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，此时有两组解，B正确。
12．(效果分解法)
如图所示，用两根承受的最大拉力相等，长度不等的细线AO、BO悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则( )
A．AO先被拉断
B．BO先被拉断
C．AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：FB>FA。又因为两绳承受能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，B正确。
13.
(力的分解实例)小明想推动家里的衣橱，但使了很大的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法中正确的是( )
A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
答案 C
解析 由小明所受重力产生的效果，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则，可知分力可远大于小明的重力，C正确。
14．(力的分解实例)如图所示是汽车内常备的两种类型的“千斤顶”，是用于汽车换轮胎的顶升机。甲是“y形”的，乙是“菱形”的，顺时针摇动手柄，使螺旋杆转动，A、B间距离变小，重物G就被顶升起来，反之则可使G下落，若顶升的是汽车本身，便能进行换轮胎的操作了，若物重为G，AB与AC间的夹角为θ，此时螺旋杆AB的拉力为多大？
答案 大小均为Gcotθ
解析 对“y形”千斤顶，可建立一个简单的模型。如图1所示，将重物对A处的压力G分解为拉螺旋杆的力F1和压斜杆的力F，作平行四边形。由图可知：
F1＝Gcotθ。
对“菱形”千斤顶，根据力的实际作用效果，确定分力的方向，对力G进行二次分解，如图2所示，G作用在C点，可分解为两个分别为F的分力，F作用在A点，又可分解为F1和F2两个分力，其中F1是对螺旋杆的拉力，由于四边形ACBD是一个菱形，有F2＝F，于是也能求出F1。在C处可得：F＝，在A处可得：F1＝2Fcosθ，所以F1＝·2cosθ＝Gcotθ。(共71张PPT)
第1节 力的合成
01课前自主学习
提示
提示
提示
02课堂探究评价
提示
提示
答案
答案
提示
提示
答案
答案
答案
提示
提示
答案
答案
03课后课时作业
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案第5章 水平测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，第1～8小题，只有一个选项符合题意；第9～12小题，有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对而不全的得2分，错选或不选的得0分)
1．如图所示，AB是半圆的直径，O为圆心，P点是圆上的一点，P点受三个共点力F1、F2、F3的作用，若F2的大小已知，则这三个力的合力为( )
A．F2
B．2F2
C．3F2
D．4F2
答案 C
解析 由几何知识知，力F1与F3垂直，以F1、F3为邻边作平行四边形，如图所示，则F1、F3的合力为PC代表的有向线段，由于＝2，即PC代表的力等于2F2，故三个力的合力为3F2，C正确。
2．如图所示，作用于O点的三个力平衡，设其中一个力大小为F1，沿－y方向，大小未知的力F2，与＋x方向夹角为θ，下列说法正确的是( )
A．力F3只能在第二象限
B．力F3只能在第三象限
C．力F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小值为F1cosθ
答案 D
解析 三个力平衡时，合力为零，任意两个力的合力与第三个力必大小相等、方向相反，所以力F3可能在第二象限或第三象限，故A、B错误；根据平衡条件可知F3与F2的合力与F1大小相等、方向相反，F1大小不变，所以力F3与F2夹角越小时，F3与F2的合力不变，故C错误；由几何知识知，当F2⊥F3时，F3有最小值，且最小值为F1sin(90°－θ)＝F1cosθ，故D正确。
3.如图所示，物体A、B和C叠放在水平桌面上，水平力FB＝5
N、FC＝10
N，分别作用于物体B、C上，A、B和C仍保持静止。以Ff1、Ff2、Ff3分别表示A与B、B与C、C与桌面间的静摩擦力的大小，则( )
A．Ff1＝5
N，Ff2＝0，Ff3＝5
N
B．Ff1＝5
N，Ff2＝5
N，Ff3＝0
C．Ff1＝0，Ff2＝5
N，Ff3＝5
N
D．Ff1＝0，Ff2＝10
N，Ff3＝5
N
答案 C
解析 A与B之间无相对运动趋势，故Ff1＝0。把物体A、B物体看成一个整体，物体A、B在水平方向上，由平衡条件可知Ff2＝FB＝5
N。再把物体A、B、C看成一个整体，由平衡条件，可得Ff3＝FC－FB＝5
N。故C正确。
4．物块M位于斜面上，受到平行于斜面的水平力F的作用处于静止状态，如图所示，若将外力F撤去，则物块( )
A．会沿斜面下滑
B．摩擦力方向一定变化
C．摩擦力的大小变大
D．摩擦力的大小不变
答案 B
解析 未撤去F前，将物块的重力分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向两个分力，沿斜面方向的分力大小为mgsinα，方向沿斜面向下，作出物块在斜面平面内的受力情况如图所示，由平衡条件得摩擦力应与F和重力分力的合力平衡，故摩擦力f＝，f的方向与F和mgsinα的合力方向相反。所以物块受到的最大静摩擦力fm≥
。
撤去F后，物块对斜面的压力不变，所以最大静摩擦力也不变，此时mgsinα5．如图所示，OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在水平地面上的滑块A相连，滑块A与地面的动摩擦因数恒定。当弹性轻绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，则在运动过程中( )
A．地面对A的支持力保持不变
B．地面对A的摩擦力保持不变
C．地面对A的摩擦力变小
D．地面对A的摩擦力增大
答案 C
解析 弹性轻绳处于竖直方向时，设其伸长量为x1，劲度系数为k，则受力分析如图甲所示。根据平衡条件得：T1＋N1＝G，T1＝kx1。向右拉至某一位置时，受力如图乙所示，其中θ为此时弹性轻绳与水平面的夹角，根据正交分解和力的平衡条件可得：T2sinθ＋N2＝G，T2cosθ＋f＝F，T2＝kx2。设弹性轻绳自然长度为l，则l＋x1＝(l＋x2)sinθ，所以有N2＝G－kx2sinθ＝N1－kl(1－sinθ)，运动过程中θ变小，故地面对A的支持力N2减小，A与地面间的摩擦力f＝μN2变小。故C正确。
6．如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为轻杆。光滑转轴C在AB中点D的正下方，A、O、B在同一水平面内。∠AOB＝120°，∠COD＝60°。若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后轻绳AO所受的拉力和轻杆CO所受的压力分别为( )
A.mg，mg
B．mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案 A
解析 由题图可知轻杆CO的弹力沿杆斜向上，竖直绳中拉力mg的两个分力分别与轻杆CO的弹力和AO、BO两轻绳的合力FDO平衡，将竖直绳中的拉力分解为对杆CO的压力及对AO、BO两绳沿DO方向的拉力，如图甲所示，则FCOsin60°＝mg，FDO＝FCOcos60°，解得FCO＝mg，FDO＝mg。又由于OA、OB夹角为120°，且两轻绳上拉力相等，所以两轻绳拉力应与合力FDO相等，如图乙所示，所以FAO＝mg。故A正确。
7．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，物体B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态，则( )
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平面的摩擦力一定为零
C．不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左
D．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
答案 C
解析 B受到重力、C的支持力和绳的拉力，所以B相对C可能有向上或向下的运动趋势，或者是没有相对运动趋势，因此，B受到C的摩擦力可能为零，A错误。以B、C组成的整体为研究对象受力分析，如图所示，根据平衡条件可知地面对C的摩擦力向左，C正确，B错误。水平面对C的支持力小于B、C的总重力，D错误。
8．如图所示，穿在一根光滑的固定杆上的两个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面的夹角θ＝37°，不计所有摩擦。当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向，则球A、B的质量之比为( )
A．4∶3
B．3∶4
C．3∶5
D．5∶8
答案 A
解析 分别对A、B两小球受力分析，运用合成法，如图所示。根据共点力平衡条件得T＝mBg，＝(正弦定理)，
故mA∶mB＝1∶tanθ＝1∶＝4∶3，故选A。
9.一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点。若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示，则下列说法中正确的应是( )
A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移比往右移时绳子容易断
D．将A端往右移时绳子容易断
答案 AC
解析 研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即FT＝G。将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的分解平行四边形如图所示。因AC>CB，故FBC>FAC。当增加重物的重力G时，按比例FBC增大较多，所以BC段绳先断，因此A正确，B错误；将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，FT一定，则两分力FBC与FAC都增大，将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知C正确，D错误，故选A、C。
10．如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
A．B对墙的压力增大
B．A与B之间的作用力减小
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力减小
答案 BC
解析 对圆球B受力分析，作出受力的平行四边形如图所示。A移动前，圆球B受墙及A的弹力的合力G′与重力大小相等，方向相反，如图中实线所示；而将A向右平移少许后，B受A的弹力FAB的方向将上移，如图中虚线所示，但B仍受力平衡，由图可知A对圆球B的弹力及墙对圆球B的弹力均减小，故A错误，B正确；以A、B为整体分析，水平方向上受墙的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，弹力减小，故摩擦力减小，故C正确；竖直方向上受重力及地面的支持力，A和B的重力均不变，故A对地面的压力不变，D错误。
11．如图所示，质量为m、顶角为α的直角劈和质量为M的正方体放在两竖直墙和一水平面间，处于静止状态。若不计一切摩擦，则( )
A．水平面对正方体的弹力大小为(M＋m)g
B．墙面对正方体的弹力大小为
C．正方体对直角劈的弹力大小为mgcosα
D．直角劈对墙面的弹力大小为mgsinα
答案 AB
解析 把两个物体看做一个整体，分析受力，水平方向受两个弹力，竖直方向受重力和支持力，在竖直方向上由二力平衡可得，水平面对正方体的弹力大小为(M＋m)g，A正确；以直角劈为研究对象，其受竖直向下的重力mg，右面墙的弹力F2，方向水平向左，正方体对直角劈的支持力F，方向过两物体的接触点垂直于直角劈的斜面，即与水平方向的夹角为α，由力的合成和二力平衡可知，F2与F的合力与重力等大反向，故F＝，F2＝Fcosα＝，所以C错误；直角劈对墙面的弹力大小为，所以D错误；再以整体为研究对象得墙面对正方体的弹力大小与F2相等，即为，所以B正确。
12．如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变
B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大
D．AB杆受力大小不变
答案 BD
解析 以B点为研究对象，分析受力情况：受到连接重物的绳子的拉力T(等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，如图所示。由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又T＝G，解得N＝·G，F＝·G。使∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则N大小保持不变，F变小。故B、D正确，A、C错误。
第Ⅱ卷(非选择题，共52分)
二、实验题(本题共2小题，共14分)
13．(6分)在做“验证力的平行四边形定则”的实验时：
(1)下列叙述正确的是( )
A．同一次实验过程，结点O必须拉到同一位置，不能随意变动
B．用两只弹簧测力计拉橡皮筋时，应使两细线之间的夹角总为90°，以便于算出合力的大小
C．力的夹角越大越好
D．必须使分力与合力在同一平面内
(2)如果实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细线的结点，OB和OC为细线。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
答案 (1)AD (2)F′
解析 (1)同一次实验中，为保证作用效果相同，必须将结点O拉至同一位置，故A正确；验证力的平行四边形定则选用特殊角没有普遍性，故B错误；夹角非常大时，合力很小，实验误差增大，故C错误；做实验时，必须使分力与合力在同一平面内，故D正确。
(2)用一只弹簧测力计直接拉橡皮筋的拉力F′方向一定沿AO方向，而用平行四边形定则求出的合力F与AO的方向可能有偏差。
14．(8分)“探究力的平行四边形定则”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细线的结点，OB和OC为细线，图乙所示是在白纸上根据实验结果画出的图。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(2)图乙中的________(填“F”或“F′”)是力F1和F2合力的实际测量值。
(3)同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是________。
A．两根细线必须等长
B．橡皮筋应与两线夹角的角平分线在同一直线上
C．为了读数方便，可以使弹簧测力计与木板平面成一定倾角
D．拉橡皮筋的细线要长些，标记同一细线方向的两点要远些
(4)实验中用一个弹簧测力计拉时如图丙所示，则弹簧测力计的读数为________N。
(5)在实验中，如果将细线也换成橡皮筋，那么实验结果是否会发生变化？答：________。(填“会”或“不会”)
(6)由于没有弹簧测力计，宏春同学改用图丁的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的质量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数记下三根绳子的拉力TOA、TOB和TOC及结点O的位置，再改变钩码个数重新实验，下列实验不能完成的是________。
A．钩码的个数N1＝N2＝3，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
答案 (1)B (2)F′ (3)D (4)4.00 (5)不会 (6)B
解析 (1)本实验中两个拉力的作用效果和一个拉力的作用效果相同，采用的科学方法是等效替代法，故B正确。
(2)实验中F是由平行四边形定则得出的，而F′是通过实验方法得出的，是力F1和F2合力的实际测量值。
(3)通过两细线用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮筋时，不要求两细线等长，故A错误；拉橡皮筋时只要确保拉到同一点即可，橡皮筋不一定要在两细线夹角的角平分线上，故B错误；测量力的实验要求尽量准确，为了减小实验的误差，操作中要求弹簧测力计、细线、橡皮筋都应与木板平行，故C错误；为了更加准确地记录力的方向，拉橡皮筋的细线要长些，标记同一细线方向的两点要远些，故D正确。
(4)弹簧测力计读数为4.00
N。
(5)如果将细线也换成橡皮筋，只要将结点拉到相同的位置，实验结果不会发生变化。
(6)TOA、TOB、TOC分别表示三个力的大小，由于结点在三个共点力作用下处于平衡状态，因此三个力的大小能构成一个三角形。以钩码的个数表示力的大小，3、3、4能构成三角形，故A可能完成；2、2、4不能构成三角形，故B不能完成；4、4、4可以构成三角形，故C可能完成；3、4、5可以构成三角形，故D可能完成。本题选不能完成实验的，故选B。
三、计算题(本题共4小题，共38分。要有必要的文字说明和演算步骤。有数值计算的要注明单位)
15．(8分)举重运动中保持杠铃的平衡十分重要。如图所示，若运动员举起重1800
N的杠铃后双臂保持106°角，处于平衡状态，此时运动员两手臂受力各是多大？(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)
答案 1500
N 1500
N
解析 人受到杠铃的作用力的合力等于杠铃的重力，即杠铃的重力可分解为杠铃对人两个手臂的作用力，大小相等，如图所示。F1、F2夹角为106°。
由平行四边形可知F2·cos53°＝
F2＝F1＝＝1500
N。
16.(10分)如图所示，弹簧AB原长为35
cm，A端挂一个重50
N的物体，手执B端，将物体置于倾角为30°的斜面上。当物体沿斜面匀速下滑时，弹簧长度为40
cm；当物体匀速上滑时，弹簧长度为50
cm，试求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)物体与斜面间的动摩擦因数。
答案 (1)250
N/m (2)0.289
解析 (1)匀速下滑时，kx1＋f＝Gsin30°
匀速上滑kx2＝Gsin30°＋f
解得k＝＝250
N/m。
(2)又f＝μN＝μGcos30°＝Gsin30°－kx1
解得μ＝＝
≈0.289。
17.(10分)如图所示，质量M＝2
kg的木块套在水平固定杆上，并通过轻绳与质量m＝1
kg的小球相连。现用与水平方向成60°角、大小为10
N的力F拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动过程中M、m的相对位置保持不变，g取10
m/s2。求：
(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块M与水平杆间的动摩擦因数μ。
答案 (1)30° (2)
解析 (1)小球处于平衡状态，其所受合力为零，以小球为研究对象，由平衡条件得，
水平方向有Fcos60°－Tcosθ＝0，
坚直方向有Fsin60°－Tsinθ－mg＝0，
联立解得θ＝30°。
(2)以木块和小球的整体为研究对象，木块和小球的整体所受合力为零。由平衡条件得，
水平方向有Fcos60°－μN＝0，
坚直方向有N＋Fsin60°－Mg－mg＝0，
联立解得μ＝。
18.(10分)如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ答案 ≤F≤
解析 由于μ如图甲所示，当摩擦力沿斜面向下且达到最大值时，F有最大值F1，有
F1cosθ＝f＋mgsinθ
N＝F1sinθ＋mgcosθ
f＝μN
联立解得：F1＝
如图乙所示，当摩擦力沿斜面向上且达到最大值时，F有最小值F2，有
F2cosθ＋f′＝mgsinθ
N′＝F2sinθ＋mgcosθ
f′＝μN′
联立解得：F2＝
故推力F的取值范围为
≤F≤。第1节 力的合成
1．理解共点力、合力、力的合成等概念。
2．理解力的合成本质上是从作用效果相等的角度进行力的相互替代。
3．掌握共点力合成的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍法则。
4．会做“验证平行四边形定则”的实验。
5．会用作图法和直角三角形的知识求合力，会求多个力的合力。
1.共点力的合成
(1)共点力：如果几个力同时作用在物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，我们就把这几个力叫做共点力。
(2)合力：如果几个共点力共同作用所产生的效果可以用一个力来代替，物理学中就把这个力叫做那几个力的合力。
(3)力的合成：求几个力的合力叫做力的合成。
2．共点力合成的平行四边形定则
(1)平行四边形定则：如果以表示原来两个共点力F1、F2的线段为邻边作平行四边形，那么，其合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线来表示。所有矢量的合成都遵守平行四边形定则。
(2)多力合成的方法：先求出其中两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有外力都合成为止，最后得到这些力的总合力。
想一想
1.如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起相同质量的一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替换？
提示：二者的作用效果相同，都是把一桶水提起。能够等效替换。
2．两个小孩的力是不是就是这个大人的力，为什么？
提示：两个小孩的力产生的效果和一个大人的力产生的效果相同，但是两个小孩的力和这个大人的力施力物体不同，它们不是同一个力。
判一判
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。( )
(2)共点力一定作用于同一物体上。( )
(3)作用于同一物体上的所有的力都是共点力。( )
提示：(1)× 共点力不一定作用于物体上的同一点，也可能是共点力的作用线交于一点。
(2)√ 共点力一定作用于同一物体上。
(3)× 作用于同一物体上的力不一定是共点力，也可能是平行力。
课堂任务 平行四边形定则的验证及理解
1．平行四边形定则的验证
(1)结论：求两个共点力的合力时，可分别用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线(两个分力所夹的对角线)就代表合力的大小和方向，这叫做共点力合成的平行四边形定则。如图所示，F就是F1和F2的合力。
(2)误差分析：本实验的误差除弹簧测力计本身的误差外，还主要来源于以下两个方面：
①读数误差。减小读数误差的方法：弹簧测力计数据在允许的情况下，尽量大一些。读数时眼睛一定要正视，要按有效数字正确读数和记录。
②作图误差。减小作图误差的方法：a.细线应适当长一些，便于确定力的方向；b.在合力不超出量程及在橡皮筋弹性限度内形变应尽量大一些；c.作图时两力的对边一定要平行，两个分力F1、F2间的夹角越大，用平行四边形作出的合力F的误差ΔF就越大，所以实验中不要把F1、F2间的夹角取得太大。
(3)注意事项
①位置不变：在同一次实验中，使橡皮筋拉长时结点的位置一定要相同。
②角度合适：用两个弹簧测力计钩住细线互成角度地拉橡皮筋时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°之间为宜。
③统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些。
2．平行四边形定则的理解——矢量相加的法则
(1)矢量相加的法则：矢量相加时和力的合成一样遵循平行四边形定则。
(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接，那么从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向。三角形定则与平行四边形定则本质上是一样的(如图所示)。
(3)矢量和标量的区别：矢量既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。标量只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加。
多力合成时，除用平行四边形定则将力依次合成外，也可以用作图法，把表示所有力的矢量依次首尾相接，这样，从第一个力的始端向最后一个力的末端画出的矢量就是所有这些力的总合力，如图所示。
例1 在“探究求合力的方法”的实验中，用两个弹簧测力计把橡皮筋拉到一定长度并记下结点的位置O后，再改用一个弹簧测力计拉时，也要把结点拉到同一位置O的原因是：______________________。在坐标图中已画出两弹簧测力计拉力的图示，已知方格每边长度表示1.0
N，试用作图法画出合力F的图示，并由此得出合力F的大小为________
N。
(1)用一个弹簧测力计拉时，只要把橡皮筋拉伸的长度和两个弹簧测力计拉时保持伸长量一样就可以了吗？
提示：只保持伸长量一样意味着力的大小一样，方向可能不一样。要保证效果完全一样那就是要求两次把橡皮筋与细线的结点拉到同一位置(两次结点的起点终点都相同)。
(2)合力F的大小怎么得到？
提示：用平行四边形定则作出合力，再用表示合力大小的线段的长度与标准线段的长度的倍数关系得出结论。
[规范解答] 该实验用一个弹簧测力计的作用代替两个弹簧测力计的作用，即采用了等效替代法。两次拉橡皮筋时要使橡皮筋形变相同，要求两次把橡皮筋拉到同一位置。根据平行四边形定则，以现有的两个力为邻边作出平行四边形，并画出其所夹的对角线表示合力F如图所示。从图中可以看出合力的方向恰好在水平方向上，占7格，由于方格每边长度表示1.0
N，所以合力大小为F＝7.0
N。
[完美答案] 使两次拉橡皮筋时产生的效果相同 7.0
本实验应用的是等效法，因此两次须将结点拉至同一位置。应用作图法作合力的图示时注意，以表示两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边所夹的对角线表示合力。已知方格的边长表示1牛，则表示合力的线段的长度是方格边长的几倍，合力的大小就是几牛。
一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
答案 C
解析 根据平行四边形定则可先作出F1、F2的合力，不难发现F1、F2的合力大小方向与F3相同，F1F2的合力再与F3合成求出三力合力大小等于2F3，方向与F3同向，C正确。
课堂任务 共点力及合力规律
1．共点力的理解
(1)概念：如果几个力同时作用在物体上的同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。如图所示均是共点力。
(2)力的合成的平行四边形定则，只适用于共点力。
(3)如果物体可被当成质点，所受到的力都是共点力。
2．求合力的两种方法
(1)作图法
①用作图法求两个共点力的合力的步骤
a．选取同一标度，分别作出两个力F1、F2的图示；
b．以表示F1、F2的线段为邻边作出平行四边形，这两个邻边之间的对角线即表示合力F；
c．用刻度尺量出该对角线的长度，根据选取的标度计算合力的大小；再量出对角线与原来一个力的夹角，可得合力的方向；
②作图法求两个共点力的合力的注意事项
a．原来两个力、合力的作用点相同，切忌弄错表示合力的对角线；
b．表示原来两个力、合力的线段选取的标度要一致，并且标度要适当；
c．虚线、实线要分清，表示原来两个力和合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，平行四边形的另两条边画虚线；
d．求合力时既要求出合力的大小，还要求出合力的方向，不要忘了用量角器量出合力与原来一个力间的夹角。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出物体受力示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
常见的几种特殊情况如下表：
特别记住：
①根据F＝2F1cos得出：当θ＝60°时，F＝F1＝F2；当θ＝120°时，F＝F1＝F2。
②两个力大小相等，夹角小于120°时，合力比原来两个力大；夹角大于120°时，合力比原来两个力小。
利用作图法求合力时，也可利用三角形定则，将表示力的矢量首尾相接，求出合力的大小和方向。同样利用计算法求合力时，也可作出矢量三角形，再利用几何知识求解。
3．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。即：两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的大小范围，如果第三个力的大小在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力的大小不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对值；即Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1为三个力中最大的力)。
例2 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图所示。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104
N，那么它们对塔柱形成的合力为________，方向________。
(1)求合力的方法有哪些？
提示：作图法；计算法。
(2)题中的力有什么特点？
提示：两个力大小相等，且与竖直方向夹角是30°。
[规范解答] 两根钢索的拉力沿钢索方向，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示它们的合力的大小和方向。
(1)解法一：(作图法)如图甲所示，自O点作两条有向线段代表两拉力的方向，夹角为60°。用0.3
cm长线段表示1×104
N，则代表两拉力的线段长都是0.9
cm，作出平行四边形OACB，其对角线OC表示F1、F2两拉力的合力F，量得OC的长度约为1.56
cm，所以合力大小F＝×1.56
N＝5.2×104
N。用量角器量得∠AOC＝∠BOC＝30°，所以合力方向竖直向下。
(2)解法二：(计算法)如图乙所示，先画两根钢索拉力的示意图，并以表示这两个拉力的线段为邻边作平行四边形，如图乙所示，由于OA＝OB，∠AOB＝60°，故OACB为菱形，两对角线互相垂直且平分，∠AOC＝∠BOC＝30°，则F＝2F1cos30°＝2×3×104×
N≈5.2×104
N，合力方向竖直向下。
[完美答案] 5.2×104
N 竖直向下
1 作图法和计算法均为矢量运算的通用方法。
2 作图时，合力、原来的力要共点，实线、虚线要分清，标度要唯一且适当。
如图甲所示，运动员在射箭比赛中，若射箭时刚释放的瞬间弓弦的拉力为100
N，对箭产生的作用力为120
N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为(cos53°＝0.6)( )
A．53°
B．127°
C．143°
D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力合成如图所示，其中F合＝F，由几何知识得cos＝＝＝＝0.6，所以＝53°，可得α＝106°，故D正确。
例3 试求以下两组共点力的合力范围：
(1)5
N、7
N、8
N；(2)1
N、5
N、10
N。
(1)两个共点力合力的范围是什么？
提示：两个共点力的合力的范围：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。
(2)力越多合力越大吗？三个力怎么合成？
提示：力的合成遵守平行四边形定则，并不是力越多合力就越大。三个力合成时，可以先将两个力合成为一个力，再与第三个力合成。
[规范解答] (1)前两个力5
N、7
N的合力范围为2
N≤F≤12
N，第三个力8
N在其范围内，所以这三个力的合力的最小值为零；当三个力同方向时，合力最大，最大值为Fmax＝5
N＋7
N＋8
N＝20
N，所以这三个力的合力范围为0～20
N。
(2)前两个力1
N、5
N的合力范围为4
N≤F≤6
N，第三个力10
N不在其范围内，所以只有当1
N、5
N的力方向相同且与10
N的力反向时，合力才最小，最小值为10
N－(1＋5)
N＝4
N；三力同向时合力最大，最大值为1
N＋5
N＋10
N＝16
N，所以这三个力的合力范围为4～16
N。
[完美答案] (1)0～20
N (2)4～16
N
1 三个力同方向时，合力最大，直接求代数和即可。, 2 任意两个共点力F1、F2的合力的取值范围是|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，若第三个共点力的大小在这一范围内，那么这三个力的合力可以为零，若第三个共点力不在这一范围内，合力不能为零。
三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 这三个力合力的最小值不一定为零，合力不一定大于分力，A、B错误；若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，设三个力大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力的范围之内，故合力为零，C正确；同理D错误。
A组：合格性水平训练
1．(求合力)有两个共点力F1＝2
N，F2＝4
N，它们合力F的大小可能是( )
A．1
N
B．5
N
C．7
N
D．9
N
答案 B
解析 由|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|知，它们合力范围为2≤F≤6，B正确。
2．(力与合力的大小关系)下列关于两个力及其合力之间的关系的说法中正确的是( )
A．合力就是各力的代数和
B．合力总比某一力大
C．合力与原来两个力的方向总是不一致的
D．合力的大小可能等于某一力的大小
答案 D
解析 合力是各力的矢量和，而不是代数和，A错误；合力的大小在两个力的代数和与两个力代数差的绝对值之间，B错误，D正确；当原来两个力方向相同时，合力与两个力方向相同，C错误。
3．(合力的范围)两个大小分别为F1和F2(F2A．F2≤F≤F1
B.≤F≤
C．F1－F2≤F≤F1＋F2
D．F－F≤F2≤F＋F
答案 C
解析 当两个力的夹角为零时，合力最大，最大值为F1＋F2；当两个力的夹角为180°时，合力最小，最小值为F1－F2，所以F1－F2≤F≤F1＋F2，C正确。
4．(合力的范围)两个共点力F1与F2的合力大小为6
N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2
N，F2＝9
N
B．F1＝4
N，F2＝8
N
C．F1＝1
N，F2＝8
N
D．F1＝2
N，F2＝1
N
答案 B
解析 由于合力大小范围为：|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，可以对每组数据进行简单加减确定其合力范围，只要其区间有6
N的就可以是解，所以B正确。
5.
(力的合成)如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住。在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，轴心对定滑轮的支持力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则( )
A．FT1＝FT2＝FT3，FN1>FN2>FN3
B．FT1>FT2>FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1答案 A
解析 由于定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以FT1＝FT2＝FT3。又轴心对定滑轮的支持力等于绳对其的合作用力，而已知绳两端力的大小，两个力的夹角θ(0<θ<120°)越大，合力F越小，故FN1>FN2>FN3，A正确。
6．(合力的范围)光滑水平面上的一个物体，同时受到两个力的作用，其中F1＝8
N，方向水平向左；F2＝16
N，方向水平向右。当F2从16
N逐渐减小至0时，二力的合力大小变化是( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
答案 C
解析 F2减至8
N的过程中合力减小至0，当F2继续减小时，合力开始增大，但方向与合力原来的方向相反。故C正确。
7.
(多力合成)如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10
N，求这5个力的合力大小( )
A．50
N
B．30
N
C．20
N
D．10
N
答案 B
解析 由力的平行四边形定则可知，图中F2与F4的合力等于F1，F3与F5的合力也等于F1，故这5个力的合力为3F1＝30
N。B正确。
8．(由力的合成求原来的两个力)如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左右两绳的拉力大小分别为( )
A．G和G
B.G和G
C.G和G
D.G和G
答案 B
解析 根据对称性知两绳拉力大小相等，设为F，其夹角为90°，根据两力相等时合力的公式F合＝2Fcos，得F合＝2Fcos。日光灯处于平衡状态，合力与重力平衡，于是有2Fcos45°＝G，解得F＝G，B正确。
9．(实验综合)某学习小组在“探究求合力的方法”的实验中：
(1)其中的两个实验步骤分别是：
A．在水平放置的方木板上固定一张白纸，用图钉把橡皮筋的一端固定在方木板上，另一端拴上两根细线，通过细线同时用两个弹簧测力计(弹簧测力计与方木板平面平行)互成角度地拉橡皮筋，使它与细线的结点到达某一位置O点，在白纸上用铅笔记下O点的位置和读出两个弹簧测力计的示数F1和F2；
B．只用一只弹簧测力计，通过细线拉橡皮筋，使它的伸长量与两个弹簧测力计拉时相同，读出此时弹簧测力计的示数F′和记下细线的方向。
请指出以上步骤中的错误或疏漏：
A中是________________________，B中是________________________。
(2)该学习小组纠正了(1)中的问题后，某次实验中两个弹簧测力计的拉力F1、F2已在甲图中画出，图中的方格每边长度表示2
N，O点是橡皮筋的结点位置，请用直角三角板严格作出合力F的图示，并求出合力的大小为________
N。
(3)图乙是某同学在白纸上根据实验结果作出的力的示意图，F和F′中________是F1和F2合力的实际测量值。
答案 (1)没有记录两拉力的方向 没有说明要把结点拉至O点
(2)图见解析 14.1(或10) (3)F′
解析 (1)步骤A中需记录O点位置，两拉力的大小和方向，题目漏掉了记录两拉力方向；用一个弹簧测力计拉橡皮筋时，需保证力的作用效果相同，即要把结点拉至O点，而不只是使它的伸长量与两弹簧测力计拉时相同。
(2)利用尺规作图作出以两个拉力长度为边长的平行四边形如图所示，根据标度测算出合力的大小为10
N。
(3)图中F是根据平行四边形定则作出的合力，实际测量值应该是F′。
B组：等级性水平训练
10．(实验综合)某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________
N。
(2)下列不必要的实验要求是________。(请填写选项前对应的字母)
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法。
答案 (1)3.6 (2)D
(3)①减小弹簧测力计B的拉力；②减小重物M的质量(或将A更换成较大量程的弹簧测力计，改变弹簧测力计B拉力的方向等)。
解析 (1)由题图知，弹簧测力计A的分度值为0.2
N，读数为3.6
N。
(2)验证力的平行四边形定则，一定要记好合力与两分力的大小与方向，与结点位置无关，D错误；M的重力与合力等大反向，测出M的重力则可知合力，A正确；测量前弹簧测力计调零才能测量准确，B正确；拉线与木板平行才能保证力在木板平面内，C正确。
(3)对O点受力分析如图所示，可见若减小FOA可调节FOB的大小或方向，调节OA方向或减小物重G等。还可以将A换成量程更大的弹簧测力计。
11.
(由力的合成求原来两个力)甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000
N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力至少应多大？方向如何？
答案 500
N 方向垂直于OO′指向另一侧
解析 要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向。在图中，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin30°＝1000×
N＝500
N。
12.
(由力的合成求原来两个力)如图所示，长为l＝5
m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为d＝4
m的两杆的顶端A、B处。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，下端悬挂一个重为G＝12
N的物体，稳定后静止在图中位置。求细绳的拉力大小。
答案 10
N
解析 物体受到挂钩两侧细绳的拉力和重力作用，则细绳的两个拉力的合力与物体的重力平衡。根据平行四边形定则，作出两个拉力的合力如图所示。因为整体是一根细绳，所以挂钩两侧的细绳拉力大小相等，设拉力大小为T，则作出的平行四边形是菱形，所以图中α＝β。利用菱形的对角线互相垂直平分，可得F＝G＝2Tsinα。如图中的虚线延长线所示，cosα＝＝，所以α＝37°，T＝＝10
N。
