2019年湘教新版八年级数学上册《第1章 分式》单元测试卷（解析版）

2019年湘教新版八年级数学上册《第1章 分式》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．在、、、、中分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1
3．若分式的值为0，则（　　）
A．x＝±1 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝0
4．下列分式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（　　）
A．是原来的3倍 B．是原来的5倍
C．是原来的 D．不变
6．下列运算正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
7．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
8．把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（　　）
A．x﹣y B．x+y
C．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
9．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．关于x的方程的解为x＝1，则a＝（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
11．对于非零实数a、b，规定a?b＝．若x?（2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
12．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
13．解关于x的方程+1＝（其中m为常数）产生增根，则常数m的值等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
14．某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做x件，依题意列方程正确的是（　　）
A．﹣＝3 B． +3＝
C．﹣＝3 D．﹣＝3
15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
16．一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），其中第7个式子是　 　，第n个式子是　 　（n为正整数）．
17．要使分式有意义，则x的取值范围是　 　．
18．当x＝　 　时，分式的值为零．
19．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是　 　．
20．方程﹣＝3的解是　 　．
21．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．
三．解答题（共3小题）
22．已知，求的值．
23．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
24．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．




2019年湘教新版八年级数学上册《第1章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．在、、、、中分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：分式有在、a+共2个．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
3．若分式的值为0，则（　　）
A．x＝±1 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝0
【分析】分式值为零的条件是分式的分子等于0，分母不等于0．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0．
∴x＝±1，且x≠﹣1．
∴x＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，明确分式值为零时，分式的分子等于0，分母不等于0是解题的关键．
4．下列分式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的分子分母不含公因式的分式是最简分式，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母不含公因式，故A是最简分式；
B、分式的分子分母不含公因式，故B是最简分式；
C、分式的分子分母不含公因式，故C是最简分式；
D、分式的分子分母含公因式2，故D不是最简分式；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式，利用了分式的分子分母不含公因式的分式是最简分式．
5．如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（　　）
A．是原来的3倍 B．是原来的5倍
C．是原来的 D．不变
【分析】先把原分式中的a、b用3a、3b替换，然后提取公因式，可知把分式中的a、b都扩大3倍，相当于把分式中的分子分母同时乘以3，故分式的值不变．
【解答】解：根据题意得
＝＝，
∴分式的值不变．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质．分式的分子分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
6．下列运算正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【分析】根据分式的约分，先把分子与分母因式分解，再约分，进行选择即可．
【解答】解：A、＝，故A选项错误；
B、＝＝，故B选项错误；
C、＝＝﹣，故C选项错误；
D、＝＝，个D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的约分，是中考常见题型，因式分解是解题的关键．
7．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
【解答】解：A、＝﹣1；
B、＝；
C、分子、分母中不含公因式，不能化简，故为最简分式；
D、＝．
故选：C．
【点评】本题考查最简分式，是简单的基础题．
8．把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（　　）
A．x﹣y B．x+y
C．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式，，的分母分别是（x﹣y）、（x+y）、（x+y）（x﹣y）．
则最简公分母是（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2．
故选：C．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
9．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
10．关于x的方程的解为x＝1，则a＝（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【解答】解：把x＝1代入原方程得，
去分母得，8a+12＝3a﹣3．
解得a＝﹣3．
故选：D．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
11．对于非零实数a、b，规定a?b＝．若x?（2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：﹣＝1，
去分母得：2x2﹣2x+1＝2x2﹣x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
13．解关于x的方程+1＝（其中m为常数）产生增根，则常数m的值等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣5＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x﹣6+x﹣5＝m，
由分式方程有增根，得到x﹣5＝0，即x＝5，
把x＝5代入整式方程得：m＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做x件，依题意列方程正确的是（　　）
A．﹣＝3 B． +3＝
C．﹣＝3 D．﹣＝3
【分析】根据关键描述语“提前3天交货”得到等量关系为：原来所用的时间﹣实际所用的时间＝3．
【解答】解：设工人每天应多做x件，则原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
所列方程为：﹣＝3．
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
【点评】考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：包装箱的个数＝课外书的总本数÷每个包装箱装的课外书本数．
二．填空题（共6小题）
16．一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），其中第7个式子是　﹣　，第n个式子是　（﹣1）n　（n为正整数）．
【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．
【解答】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1，
分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n，
分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n，
于是，第7个式子为﹣，第n个式子是（﹣1）n．
故答案是：﹣，（﹣1）n．
【点评】此题考查了分式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．
17．要使分式有意义，则x的取值范围是　x≠﹣1　．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
18．当x＝　2　时，分式的值为零．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x2﹣4＝0?x＝±2；
而x＝2时，分母x+2＝2+2＝4≠0，
x＝﹣2时分母x+2＝0，分式没有意义．
所以x＝2．
故答案为：2．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
19．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是　m≥﹣1且m≠1　．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：去分母得，m﹣1＝2（x﹣1），
∴x＝，
∵方程的解是非负数，
∴m+1≥0即m≥﹣1
又因为x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠1，
则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．
故选：m≥﹣1且m≠1．
【点评】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得m﹣1＝2（x﹣1）即可列出关于m的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉m≠1，这是因为忽略了x﹣1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
20．方程﹣＝3的解是　x＝　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣2x＝6x﹣6，
移项合并得：8x＝9，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2+4y+3＝0　．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力．关键是通过移项、整理，明确方程各部分与y的关系，用y代替，去分母，转化为整式方程．
【解答】解：根据等式的性质原方程可整理为x2﹣3x++4＝0．
把y＝x2﹣3x代入可得y++4＝0，
去分母得y2+4y+3＝0．
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形．
三．解答题（共3小题）
22．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
23．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣＝，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣＝，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．

（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．

（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
【点评】本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．
24．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．

【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，点A，B到原点的距离相等，根据这个等量关系，可列出方程，再求解．
【解答】解：依题意可得：＝3
去分母得：1﹣x＝3（2﹣x），
去括号得：1﹣x＝6﹣3x，
移项得：﹣x+3x＝6﹣1，
解得：x＝
经检验，x＝是原方程的解．
答：x的值是．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．