中学 九 年级 下 册 数学 学科教学案
课题 第三章3.3垂径定理 课型 新授 主备人
授课时间 年 月 日 总第 3课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感与态度价值观：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学过程：知识回顾如图在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 合作学习 AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. (1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 结论： 使用格式：?已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。求证：AM=BM, =, =
? 随记
AB是⊙O的一条弦,且CD是直径,AM=BM. (1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 结论： 使用格式：三、巩固练习例1 :如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 判断： （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。 （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分 （6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （7）平分弦的直线，必定过圆心 （8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦 （9）弦的垂直平分线一定是圆的直径四、课堂小结：本节课你学会了什么知识? 五、达标检测：六、布置作业：
教学 反思
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(共20张PPT)
3.3 垂径定理
九年级数学(下)第三章 圆
例1 如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
知识回顾
③AM=BM,
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
小明发现图中有:
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠AOD=∠BOD
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
③ AM=BM
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
∵CD是直径， CD⊥AB ,AB是弦
∴AM=BM，AD＝BD，AC＝BC
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②CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且CD是直径,AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说
你的想法和理由.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
由 ① CD是直径
③ AM=BM
┗
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
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垂径定理的应用
例1 :如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
讨论
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
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命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
∴ CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）
∴ CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理
记忆
弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高，如图线段CM是弓高
圆心到弦的距离,叫弦心距。如图线段OM是O到弦AB的弦心距。
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
挑战自我
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 ( ）
（7）平分弦的直线，必定过圆心 （ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦 （ ）
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?
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（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
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这节课有何收获？！
赵州石拱桥
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为48m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为18m,求桥拱的半径.
赵州石拱桥
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R=25（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径为25m.
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
理由：过O作OE⊥AB于E，
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
则 AE=BE,CE=DE
∴AE－CE=BE－DE
即AC=BD
解：AC=BD
O
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
A
B
中学九年级 班 姓名： 等级：
数学科课堂检测纸
第 三 章 3.3垂径定理 总第 3课时
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为48m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为18m,求桥拱的半径.
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