2019年湘教新版九年级数学上册第2章一元二次方程单元测试卷（解析版）

2019年湘教新版九年级数学上册《第2章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝5 B．3x2+4xy﹣y2＝0
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+x+1＝0
3．将一元二次方程x2+1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．1，﹣3 B．1，3 C．1，0 D．x2，﹣3x
4．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣3，﹣4 B．2，3，4 C．2，﹣3，4 D．2，3，﹣4
5．若a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
6．若m是关于x的一元二次方程x2+nx+m＝0的根，且m≠0，则m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
8．方程3x2+9＝0的根为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无实数根
9．用配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝3
10．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（　　）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝﹣4 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝﹣4
11．方程x2﹣x﹣6＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝3，x2＝﹣2 C．无解 D．x1＝﹣6，x2＝1
12．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3＝0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
13．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
14．方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
15．已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣2且3
二．填空题（共6小题）
16．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝　 　．
17．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，则m的值为　 　．
18．已知方程x2+kx﹣3＝0一个根是1，则k＝　 　．
19．方程（x﹣2）2＝9的解是　 　．
20．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的解是　 　．
21．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝　 　．
三．解答题（共3小题）
22．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
23．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
24．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　 　；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．



2019年湘教新版九年级数学上册《第2章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
【分析】根据一元二次方程的定义得到a﹣1≠0，由此可以求得a的值．
【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝5 B．3x2+4xy﹣y2＝0
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+x+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项错误；
B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程中当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．将一元二次方程x2+1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．1，﹣3 B．1，3 C．1，0 D．x2，﹣3x
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【解答】解：∵x2+1＝3x，
∴x2﹣3x+1＝0，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的概念，本题属于基础题型．
4．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣3，﹣4 B．2，3，4 C．2，﹣3，4 D．2，3，﹣4
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
5．若a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】由a﹣b+c＝0求得b＝a+c，将其代入方程ax2+bx+c＝0中，可得方程的一个根是﹣1．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，①
把①代入方程ax2+bx+c＝0中，
ax2+（a+c）x+c＝0，
ax2+ax+cx+c＝0，
ax（x+1）+c（x+1）＝0，
（x+1）（ax+c）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣（非零实数a、b、c）．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根x＝﹣1．
6．若m是关于x的一元二次方程x2+nx+m＝0的根，且m≠0，则m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入关于x的一元二次方程x2+nx+m＝0，通过解该方程即可求得m+n的值．
【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+nx+m＝0的根，
∴m2+nm+m＝0，
∴m（m+n+1）＝0；
又∵m≠0，
∴m+n+1＝0，
解得，m+n＝﹣1；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解一定满足该一元二次方程的关系式．
7．方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
则x1＝2，x2＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
8．方程3x2+9＝0的根为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无实数根
【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用直接开平方法最简单．
【解答】解：∵3x2+9＝0
∴x2+3＝0
∴x2＝﹣3
∵x2≥0
∴原方程无实数根．故选D．
【点评】解题的关键是先观察再确定方法解方程．配方法和公式法适用于任何一元二次方程，不过比较麻烦，所以选择适宜的解题方法是关键．
9．用配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝3
【分析】将原方程的常数项﹣3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1，方程左边利用完全平方公式变形后，即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
移项得：x2﹣2x＝3，
两边加上1得：x2﹣2x+1＝4，
变形得：（x﹣1）2＝4，
则原方程利用配方法变形为（x﹣1）2＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了利用配方法解一元二次方程，利用此方法的步骤为：1、将二次项系数化为“1”；2、将常数项移项到方程右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边利用完全平方公式变形，方程右边为非负常数；4、开方转化为两个一元一次方程来求解．
10．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（　　）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝﹣4 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝﹣4
【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝4，
配方得（x﹣1）2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11．方程x2﹣x﹣6＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝3，x2＝﹣2 C．无解 D．x1＝﹣6，x2＝1
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6
△＝1+24＝25＞0
∴x＝
解得x1＝3，x2＝﹣2；故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，对于公式正确记忆是解题关键．
12．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3＝0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
【分析】首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：3x2﹣2x+3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．
13．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【分析】方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝0．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
14．方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
15．已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣2且3
【分析】先将此题变形整理得：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，然后采用换元法，设x2+y2＝a，则可得a2﹣a﹣6＝0，解此新一元二次方程，注意x2+y2≥0，即可求得．
【解答】解：变形整理得：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0；
设x2+y2＝a，
则可得a2﹣a﹣6＝0；
∴（a﹣3）（a+2）＝0；
∴a＝3或a＝﹣2；
∵x2+y2≥0；
∴x2+y2＝3；
故选：B．
【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题时注意换元法的应用，还要注意隐含的限制条件．
二．填空题（共6小题）
16．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝　﹣3　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．
【解答】解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，
∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
17．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，则m的值为　4　．
【分析】根据方程常数项为0，求出m的值即可．
【解答】解：方程整理得：（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0，
由常数项为0，得到m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，方程为5x＝0，不合题意，舍去，
则m的值为4．
故答案为：4
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，将方程化为一般形式是解本题的关键．
18．已知方程x2+kx﹣3＝0一个根是1，则k＝　2　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x＝1代入方程：x2+kx﹣3＝0可得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故本题答案为k＝2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
19．方程（x﹣2）2＝9的解是　5或﹣1　．
【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x﹣2＝±3，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：开方得x﹣2＝±3即：
当x﹣2＝3时，x1＝5；
当x﹣2＝﹣3时，x2＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
20．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的解是　x1＝x2＝2　．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案．
【解答】解：x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
x﹣2＝0，
x＝2，
即x1＝x2＝2，
故答案为：x1＝x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
21．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝　　．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9＝0，
整理得：7x2+44x+1＝0，
这里a＝7，b＝44，c＝1，
∵△＝442﹣28＝1908，
∴x＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
三．解答题（共3小题）
22．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．
【解答】证明：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c＝0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
23．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
24．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　y2﹣2y﹣1＝0　；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0），代入方程ax2+bx+c＝0整理即可得．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，
故答案为：y2﹣2y﹣1＝0；

（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0），
把x＝代入方程ax2+bx+c＝0，得a （）2+b（）+c＝0，
去分母，得 a+by+cy2＝0，
若c＝0，有ax2+bx＝0，
于是，方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2＝0 （ c≠0）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．