2019年湘教新版九年级数学上册第3章图形的相似单元测试卷（解析版）

2019年湘教新版九年级数学上册《第3章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．4x＝3y
2．若a：b＝3：2，且b2＝ac，则b：c＝（　　）
A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4
3．线段a、b、c、d是成比例线段，a＝4、b＝2、c＝2，则d的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（　　）
A．5 B．±5 C．4 D．±4
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
6．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，则线段AC的长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
8．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）

A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．任意两个等腰三角形都相似
B．任意两个菱形都相似
C．任意两个正五边形都相似
D．对应角相等的两个多边形相似
10．下列说法正确的是（　　）
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
11．△ABC的三边之比为3：4：5，若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边长为6，则△A′B′C′的周长为（　　）
A．36 B．24 C．18 D．12
12．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°
13．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝③＝，使△ADE与△ACB一定相似（　　）

A．①② B．② C．①③ D．①②③
14．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，有下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC∽△AED的条件有 （　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
二．填空题（共6小题）
16．已知，则的值是　 　．
17．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2 cm，b＝4 cm，那么c＝　 　cm．
18．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝　 　．
19．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 　．

20．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍．
21．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于　 　．
三．解答题（共3小题）
22．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值．
23．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
24．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．




2019年湘教新版九年级数学上册《第3章 图形的相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．4x＝3y
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
2．若a：b＝3：2，且b2＝ac，则b：c＝（　　）
A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4
【分析】根据比例的基本性质，a：b＝3：2，b2＝ac，则b：c可求．
【解答】解：∵b2＝ac，
∴b：a＝c：b，
∵a：b＝3：2，
∴b：c＝a：b＝3：2．
故选：B．
【点评】利用比例的基本性质，对比例式和等积式进行互相转换即可得出结果．
3．线段a、b、c、d是成比例线段，a＝4、b＝2、c＝2，则d的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据成比例线段的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，可求得d的值．
【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即4：2＝2：d，
∴d＝1；
故选：A．
【点评】此题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的概念，在写的时候，注意按照字母的顺序．
4．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（　　）
A．5 B．±5 C．4 D．±4
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项．
【解答】解：∵数b是数a和数c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得：b＝±4，
故选：D．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】首先证明DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，由△DAE∽△CAD，可得AD2＝AE?AC，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，
∴∠AED＝72°，
∴CA＝CD，∠ACD＝36°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴∠ADE＝∠ACD＝36°，
∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，
∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，
∴△DAE∽△CAD，
∴AD2＝AE?AC，
∴x2＝（2﹣x）?2，
∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴AB＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，则线段AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB，然后把AB＝4代入计算即可．
【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
7．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∵CE≠AC，
∴．故本答案错误；
B、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
C、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴．
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
D、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，故本答案正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关健．
8．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
9．下列说法正确的是（　　）
A．任意两个等腰三角形都相似
B．任意两个菱形都相似
C．任意两个正五边形都相似
D．对应角相等的两个多边形相似
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形”逐一进行判断即可．
【解答】解：A、任意两个等腰三角形都相似，错误；
B、任意两个菱形都相似，错误；
C、任意两个正五边形都相似，正确；
D、对应角相等的两个多边形相似，错误，
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形的定义，牢记其定义是解答本题的关键．
10．下列说法正确的是（　　）
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是120°，相等，所以都相似，故本选项正确；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D、一个内角为80°的等腰三角形可能是顶角80°也可能是底角是80°，无法判断，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
11．△ABC的三边之比为3：4：5，若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边长为6，则△A′B′C′的周长为（　　）
A．36 B．24 C．18 D．12
【分析】根据相似三角对应边成比例，求出△A′B′C′的另两条边，即可得到周长．
【解答】解：根据相似三角对应边成比例，得
△A′B′C′的三边之比为3：4：5，
因为最短边长为6，
所以另两边为8，10，
所以周长为：6+8+10＝24．
故选：B．
【点评】本题利用相似三角对应边成比例求解．
12．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°
【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．
【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，
∴∠B＝42°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E．
∴∠E＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．
13．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝③＝，使△ADE与△ACB一定相似（　　）

A．①② B．② C．①③ D．①②③
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A＝∠A，＝，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，有下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC∽△AED的条件有 （　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE；
又AC＝AD；
所以要判定△ABC∽△AED，需添加的条件为：
①AB＝AE，根据全等三角形的判定定理SAS可以判定△ABC≌△AED，是一种特殊的相似三角形，故正确；
③∠C＝∠D（两角法），故正确；
④∠B＝∠E（两角法），故正确；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
16．已知，则的值是　　．
【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．
17．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2 cm，b＝4 cm，那么c＝　8　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以b2＝ac，即42＝2c，c＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
18．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝　（5﹣5）cm　．
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，
∴AP＝×10＝（5﹣5）cm．
故答案为：（5﹣5）cm．
【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
19．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　　．

【分析】由三角形的重心定理得出＝，＝，由平行线分线段成比例定理得出＝，即可得出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴＝，＝，
∵EF∥BC，＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG＝1：2是解决问题的关键
20．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　5　倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
21．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于　1：16　．
【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴它们的面积的比等于1：16．
故答案为：1：16．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．
三．解答题（共3小题）
22．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值．
【分析】运用设k法，再进一步得到关于k的方程，解得k的值后，即可求得a、b、c的值．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
又∵2a+3b﹣2c＝10，
∴4k+9k﹣8k＝10，
5k＝10，
解得k＝2．
∴a＝4，b＝6，c＝8．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来．
23．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）

注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
24．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．

【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，
由题意可得，x2＝100（100﹣x）
解得，，（舍去）
则x≈﹣50+50×2.2＝60，
答：太和门到太和殿的距离为60丈．
【点评】本题开车的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．