2019年湘教新版九年级数学上册第4章 锐角三角函数单元测试卷（解析版）

2019年湘教新版九年级数学上册《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于（　　）

A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（　　）
A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35°
3．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
4．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．tanA＝ B．sin2A+sin2B＝1
C．sin2A+cos2A＝1 D．sinA＝sinB
6．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．3
9．已知锐角α满足sin（α+20°）＝1，则锐角α的度数为（　　）
A．10° B．25° C．40° D．45°
10．cos30°的值是（　　）
A．1 B． C． D．
11．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．
15．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　）

A． m B．10m C． m D． m
二．填空题（共6小题）
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　 　．

17．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　 sin50°．
18．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　 　．
19．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　 　．
20．计算：2cos60°+tan45°＝　 　．
21．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　 　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　 　0．（可用计算器计算）
三．解答题（共3小题）
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

23．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
24．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．



2019年湘教新版九年级数学上册《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝5．
sinB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（　　）
A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35°
【分析】根据余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：由cosB＝＝，得
BC＝7cosB＝7cos35°，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
4．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】首先明确cos60°＝，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜60°．
故选：C．
【点评】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．tanA＝ B．sin2A+sin2B＝1
C．sin2A+cos2A＝1 D．sinA＝sinB
【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可．
【解答】解：根据同角的三角函数的关系：tanA＝，sin2A+cos2A＝1，sinB＝sin（90°﹣∠A）＝cosB，可知只有D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系．
6．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA＝，
∴sinA＝＝，
故选：B．
【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
由于sinA＝＝，
∴cosB＝＝
故选：B．
【点评】本题考查互余的三角函数关系，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴cosA＝＝＝，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故选：A．
【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
9．已知锐角α满足sin（α+20°）＝1，则锐角α的度数为（　　）
A．10° B．25° C．40° D．45°
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：∵ sin（α+20°）＝1，
∴sin（α+20°）＝．
∴α+20°＝45°，
∴α＝45°﹣20°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
10．cos30°的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据我们熟练记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】解：cos30°＝．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
11．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【解答】解：sinA＝＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B＝，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26．
故选：D．
【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
在Rt△ABC中，AB＝4，sinA＝，
∴BC＝ABsinA＝2.4，
根据勾股定理得：AC＝＝3.2，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝．
故选：C．

【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵BC＝2，
∴S△ABC＝BC×4＝4，
∵AB＝＝4，
∴CD＝＝，
∵AC＝＝2，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．
15．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　）

A． m B．10m C． m D． m
【分析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．
【解答】解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，
设BC＝4x，AC＝5x，
则AB＝3x，
则sin∠ACB＝＝；
又∵AB＝6m，
∴AC＝10m；
故选：B．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．
二．填空题（共6小题）
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　　．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
17．比较下列三角函数值的大小：sin40°　＜　 sin50°．
【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．
【解答】解：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．
18．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　a2+b2＝c2+d2　．
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到这四个数的关系．
【解答】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
【点评】本题考查了sin2θ+cos2θ＝1的应用．
19．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　　．
【分析】设BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理求出AC＝3x，代入tanB＝求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．
20．计算：2cos60°+tan45°＝　2　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：2cos60°+tan45°＝2×+1＝2．
故选：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
21．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　＞　0．（可用计算器计算）
【分析】（Ⅰ）sin60°＝cos30°＝；
（Ⅱ）直接利用计算器计算即可比较．
【解答】解：（Ⅰ）sin60°?cos30°﹣＝?﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
【点评】主要考查了特殊角的三角函数值和计算器的使用．
三．解答题（共3小题）
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）

（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．



【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
23．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
24．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．