2019北京高二（上）期末数学（10份打包，无答案）

2019北京东城高二（上）期末
数 学
本试卷共4页，共100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.老试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知复数z=(l+x)十i (i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是
A. x<一1 B. 一12.已知aO，那么下列不等式中一定成立的是
A. b-a<0 B.
a
>
b
C. a21
a
<
1
b
3. 已知等差数列{an}的前15项和S15=45,那么a4+a12等于
A. 6 B. 10 C. 12 D. 15
4. 已知i为虚数单位，那么复数
2i
1?i
=1
A. -1-I B. -1+I C. 1-I D. 1+i
5. 已知椭圆
x
2
k
+y2=1的一个焦点是（2，0），那么实数k=
A.
3
B.
5
C. 3 D. 5
6. 已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=-2,an+1=Sn,那么a5=
A. -4 B. -8 C. -16 D. -32
7. “直线l∥平面a”是直线l在平面a外的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知v为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列说法中：
① n1∥n2/α∥β ② n1⊥n2/α⊥β
③v∥n1/l∥α ④ v⊥n1/l⊥α
正确的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
A
1
P
= λ
A
1
B
1
,当直线PN与平面ABC所成的角θ取最大值时，λ的值为
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.
2
5
5
10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，···其中第一项是20，接下来的两项是20，21，，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，那么该数列的前50项和为
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 命题“?x ∈ R,x2-x+3>0”的否定是 。
12. 当且仅当x= 时，函数y=4x+
1
x
（x>0）取得最小值。
13. 已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y=-2，则抛物线C的标准方程为 。
14. 不等式
x?1
x?3
≤0的解集为 。
15. 已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是 。
16. 如图所示，四棱锥P-ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD=2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是
/
三、解答题：本大题共4小题，每小题9分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 等差数列{an}中，a3=6,a5=10.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若a4,a8分别是等比数列{bn}的第4项和第5项，试求数列{bn}的通项公式。
18. 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点P（3，6）.
（I）求抛物线C的标准方程；
（II）经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于点A,B两点，求线段AB的长。
19. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°。点D,E分别为棱PA,PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4,AB=2.
（I）求证：MN∥平面BDE
（II）求直线MN到平面BDE的距离
（III）求二面角B-DE-P的大小
20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2
2
，离心率为
3
3
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若过点P(一1,1)的直线与椭圆C交于A,B两点，且P点平分线段AB，求直线AB
的方程;
(1)一条动直线l‘与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为
6
2
，
求证:
OM
2+
ON
2为定值.
2019北京市丰台区高二（上）期末
数 学
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知向量
??
=(??,2，?1)，
??
=(2,4，?2)，如果
??
//
??
，那么x等于(　　)
A. ?1 B. 1 C. ?5 D. 5
2.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为(　　)
A. 20，8 B. 18，10 C. 16，12 D. 12，16
3.已知命题p：???∈??，
??
2
?1>0，那么￢??是(　　)
A. ???∈??，
??
2
?1<0 B. ???∈??，
??
2
?1≤0C. ???∈??，
??
2
?1<0 D. ???∈??，
??
2
?1≤0
4.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是(　　)
A.
1
6
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
5.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　)
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为(　　)
A.
3
4
B.
2
3
C.
1
2
D.
1
3
7.双曲线
??
2
4
?
??
2
9
=?1的渐近线方程是(　　)
A. ??=±
3
2
?? B. ??=±
2
3
?? C. ??=±
9
4
?? D. ??=±
4
9
??
8.在100件产品中，有3件是次品.现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为(　　)
A.
??
3
2
??
97
3
B.
??
3
2
??
97
3
+
??
3
3
??
97
2
C.
??
100
5
?
??
3
1
??
97
4
D.
??
100
5
?
??
97
5
9.若直线的回归方程为
??
∧
=?2??+1，当变量x增加一个单位时，则下列说法中正确的是(　　)
A. 变量y平均增加2个单位 B. 变量y平均增加1个单位C. 变量y平均减少2个单位 D. 变量y平均减少1个单位
10.在长方体?????????
??
1
??
1
??
1
??
1
中，????=????=1，??
??
1
=2，分别在对角线
??
1
??，??
??
1
上取点M，N，使得直线????//平面
??
1
????
??
1
，则线段MN长的最小值为(　　)
A.
1
2
B.
2
3
C.
2
2
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.在(2+??
)
5
的展开式中，
??
2
的系数为______.(用数字作答)
12.某篮球运动员在赛场上罚球命中率为
2
3
，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．
13.某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查.根据学生的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中??=______，若这次满意度评分的中位数为b，根据频率分布直方图，估计b______65(填“>”，“<”或“=”)
14.设
??
1
，
??
2
分别是椭圆
??
2
9
+
??
2
5
=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则△
??
1
??
??
2
的周长为______．
15.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)
16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
??
2
=4??的焦点为F．①??的坐标为______；②若M是抛物线上的动点，则
|????|
|????|
的最大值为______．
三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
17.已知离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.4
0.3
m
(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求??(1≤??≤3)；(Ⅲ)求??(??)．
18.如图，在四棱锥???????????中，底面ABCD为正方形，侧棱????⊥底面ABCD，且????=????=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．(Ⅰ)求证：????//平面EFH；(Ⅱ)求证：????⊥平面AHF；(Ⅲ)求二面角??????????的大小．
/
19.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0,60)之间为“体质不合格”.现从两个年级中各随机抽取8名学生，测试成绩如下：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
高一年级
60
85
55
80
65
90
90
75
高二年级
75
85
65
90
75
60
a
b
其中a，b是正整数．(Ⅰ)若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；(Ⅱ)从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；(Ⅲ)设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a，b的值.(结论不要求证明)
20.已知椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)过点??(2,0)，离心率??=
1
2
，右焦点为F．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若
????
=??
????
，
????
=??
????
，求证：??+??为定值．

数学试题答案
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.
【答案】B
【解析】解：∵向量
??
=(??,2，?1)，
??
=(2,4，?2)，
??
//
??
，∴
??
2
=
2
4
=
?1
?2
，解得??=1．故选：B．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.
【答案】C
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于
28
56+42
=
2
7
，则样本中女运动员的人数为42×
2
7
=12，样本中男运动员的人数为56×
2
7
=16，故选：C．先求出每个个体被抽到的概率，再用男女运动员的人数乘以此概率，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
3.
【答案】D
【解析】解：∵命题“???∈??，
??
2
?1>0”为特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：???∈??，
??
2
?1≤0．故选：D．根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
4.
【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数??=
??
4
2
=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是??=
2
6
=
1
3
．故选：C．基本事件总数??=
??
4
2
=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.
【答案】B
【解析】解：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立．∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选：B．由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.
【答案】D
【解析】解：如图所示，/线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为??=
2
6
=
1
3
．故选：D．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
7.
【答案】A
【解析】解：化已知双曲线的方程为标准方程
??
2
9
?
??
2
4
=1，可知焦点在y轴，且??=3，??=2，故渐近线方程为??=±
??
??
??=±
3
2
??故选：A．化方程为标准方程，可得a，b，代入??=±
??
??
??可得渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题．
8.
【答案】B
【解析】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有
??
3
2
??
97
3
种，“有3件次品”的抽取方法有
??
3
3
??
97
2
种，则共有
??
3
2
??
97
3
+
??
3
3
??
97
2
种不同的抽取方法，故选：B．根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．
9.
【答案】C
【解析】解：根据题意，直线的回归方程为
??
∧
=?2??+1，其中斜率估计值为?2，当变量x增加一个单位时，变量y平均减少2个单位；故选：C．根据题意，由线性回归方程的意义，分析可得答案．本题考查线性回归方程的应用，关键是掌握线性回归方程的意义．
10.
【答案】B
【解析】解：作??
??
1
⊥????于点
??
1
，作??
??
1
⊥????于点
??
1
，∵线段MN平行于对角面????
??
1
??
1
，∴
??
1
??
1
//????．设??
??
1
=??
??
1
=??，则??
??
1
=2??，??
??
1
=2?2??，在直角梯形????
??
1
??
1
中，??
??
2
=(
2
??
)
2
+(2?4??
)
2
=18(???
4
9
)
2
+
4
9
，∴当??=
4
9
时，MN的最小值为
2
3
．故选：B．作??
??
1
⊥????于点
??
1
，作??
??
1
⊥????于点
??
1
，则
??
1
??
1
//????.设??
??
1
=??
??
1
=??，则??
??
1
=??，??
??
1
=1???，由此能求出MN的最小值．本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.
【答案】80
【解析】解：二项展开式的通项为
??
??+1
=
2
5???
??
5
??
??
??
令??=2得
??
2
的系数为
2
3
??
5
2
=80 故答案为：80．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令??=2，求出展开式中
??
2
的系数．利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12.
【答案】/
【解析】解：某篮球运动员在赛场上罚球命中率为
2
3
，∴这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为??=1?
??
2
0
(
1
3
)
2
=
8
9
．故答案为：
8
9
．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.
【答案】0.005 ? >
【解析】解：由频率分布直方图得：(??+0.04+0.03+0.02+??)×10=1，解得??=0.005．评分在[50,70)的频率为：(0.005+0.04)×10=0.45，评分为[70,80)的频率为：0.03×10=0.3，∴中位数??=70+
0.5?0.45
0.3
×10=
215
3
>65．故答案为：0.005，>．由频率分布直方图列方程能求出a；评分在[50,70)的频率为0.45，评分为[70,80)的频率为0.3，由此能求出中位数．本题考查频率的求法、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
14.
【答案】10
【解析】解：由题意椭圆
??
2
9
+
??
2
5
=1知：??=3，??=
5
，??=2，△??
??
1
??
2
周长=2??+2??=6+4=10．故答案为：10．由题意可知△??
??
1
??
2
周长=|??
??
1
|+|??
??
2
|+|
??
1
??
2
|=2??+2??，进而计算可得答案．本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．
15.
【答案】72
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有
??
4
4
=24种情况，则有3×24=72种不同的站法；故答案为：72．根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16.
【答案】(1,0) ?
2
3
3
【解析】解：①抛物线
??
2
=4??的焦点F的坐标为(1,0)，②若M是抛物线上的动点，设??(??,??)，即有
??
2
=4??，抛物线的准线方程为??=?1，可得|????|=??+1，即有
|????|
|????|
=
??
2
+
??
2
??+1
=
??
2
+4??
??+1
，可令??+1=??(??>0)，可得??=???1，
??
2
+4??
??+1
=
(???1
)
2
+4(???1)
??
=
1+
2
??
?
3
??
2
=
?3(
1
??
?
1
3
)
2
+
2
3
，当??=3即??=2时，上式取得最大值
2
3
3
．故答案为：(1,0)，
2
3
3
．①由抛物线的焦点坐标公式可得所求；②求得抛物线的准线方程，设??(??,??)，即有
??
2
=4??，可得|????|=??+1，再令??=??+1，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
17.
【答案】解：(Ⅰ)根据题意，由随机变量X的分布列可得：0.1+0.4+0.3+??=1，解可得??=0.2；(Ⅱ)根据题意，??(1≤??≤3)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)=0.4+0.3+0.2=0.9；(Ⅲ)根据题意，??(??)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+3×0.2=1.6．
【解析】(Ⅰ)根据题意，由分布列的性质可得0.1+0.4+0.3+??=1，解可得m的值；(Ⅱ)根据题意，分析可得??(1≤??≤3)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)，结合分布列计算可得答案；(Ⅲ)根据题意，由期望的计算公式计算可得答案．本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望、方差的计算．
18.
【答案】解法一：(Ⅰ)证明：∵??，H分别是线段PA，AB的中点，∴????//????．又∵?????平面EFH，?????平面EFH，∴????//平面EFH． (Ⅱ)解：∵??为PD的中点，且????=????，∴????⊥????，又∵????⊥底面ABCD，?????底面ABCD，∴????⊥????．又∵四边形ABCD为正方形，∴????⊥????．又∵????∩????=??，∴????⊥平面PAD．又∵?????平面PAD，∴????⊥????．又∵????∩????=??，∴????⊥平面AHF． (Ⅲ)∵????⊥平面ABCD，?????平面PAB，∴平面??????⊥平面ABCD，∵?????平面ABCD，平面??????∩平面????????=????，????⊥????，∴????⊥平面PAB，∵??，F分别是线段PA，PD的中点，∴????//????，∴????⊥平面PAB．∵?????平面PAB，?????平面PAB，∴????⊥????，∴????⊥????，∴∠??????就是二面角??????????的平面角．在????△??????中，????=
1
2
????=1,????=
1
2
????=1，∴∠??????=
45
°
，所以二面角??????????的大小为
45
°
． 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系?????????，∴??(0,0，0)，??(2,0，0)，??(2,2，0)，??(0,2，0)，??(0,0，2)，??(0,0，1)，??(0,1，1)，??(1,0，0)．(Ⅰ)证明：∵
????
=(2,0,?2)，
????
=(1,0,?1)，∴
????
=2
????
，∵?????平面EFH，且?????平面EFH，∴????//平面EFH． (Ⅱ)解：
????
=(0,2,?2)，
????
=(1,0,0)，
????
=(0,1,1)，
????
?
????
=0×0+2×1+(?2)×1=0，
????
?
????
=0×1+2×0+(?2)×0=0．∴????⊥????，????⊥????，又∵????∩????=??，∴????⊥平面AHF． (Ⅲ)设平面HEF的法向量为
??
=(??,??,??)，因为
????
=(0,1,0)，
????
=(1,0,?1)，则
??
?
????
=??=0
??
?
????
=?????=0
取
??
=(1,0,1)．又因为平面AEF的法向量为
??
=(1,0,0)，所以cos<
??,
?
??
?>=
??
?
??
|
??
||
??
|
=
1+0+0
2
×1
=
1
2
=
2
2
，∴<
??,
?
??
?>=
45
°
，所以二面角??????????的大小为
45
°
．
【解析】(Ⅰ)要证????//平面EFH，须证PB平行平面EFH内的一条直线即可．(Ⅱ)要证????⊥平面AHF，须证PD垂直面内两条相交直线即可．(Ⅲ)求二面角??????????的大小.必须找出二面角的平面角，求解即可．本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题．
19.
【答案】解：(Ⅰ)该校高一年级有200名学生，则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：200×
3
8
=75．(Ⅱ)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，这3人中，恰有1人“体质良好”的概率??=
??
2
1
??
6
2
??
8
3
=
15
28
．(Ⅲ)??=75，??=75．
【解析】(Ⅰ)由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数．(Ⅱ)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．(Ⅲ)??=75，??=75．本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.
【答案】(Ⅰ)解：∵椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)过点??(2,0)，∴??=2，又∵??=
1
2
，∴??=1，则??=
??
2
?
??
2
=
3
．∴椭圆的方程为
??
2
4
+
??
2
3
=1；(Ⅱ)证明：方法1、由题意知，??(1,0)，可知直线AB的斜率存在，设其方程为??=??(???1)，则??(0,???)，设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)，则
??
1
≠1，
??
2
≠1．由
????
=??
????
，得(
??
1
,
??
1
+??)=??(1?
??
1
,?
??
1
)，∴??=
??
1
1?
??
1
，由
????
=??
????
，得(
??
2
,
??
2
+??)=??(1?
??
2
,?
??
2
)，∴??=
??
2
1?
??
2
，联立
??=??(???1)
??
2
4
+
??
2
3
=1
，得(4
??
2
+3)
??
2
?8
??
2
??+4
??
2
?12=0．∴
??
1
+
??
2
=
8
??
2
4
??
2
+3
，
??
1
??
2
=
4
??
2
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4
??
2
+3
．故??+??=
??
1
1?
??
1
+
??
2
1?
??
2
=
??
1
+
??
2
?2
??
1
??
2
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??
1
+
??
2
)+
??
1
??
??
2
=
8
??
2
4
??
2
+3
?2?
4
??
2
?12
4
??
2
+3
1?
8
??
2
4
??
2
+3
+
4
??
2
?12
4
??
2
+3
=
24
?9
=?
8
3
；方法2、由题意知，??(1,0)，??≠1，??≠1，设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)，??(0,
??
0
)，由
????
=??
????
，得(
??
1
,
??
1
?
??
0
)=??(1?
??
1
,?
??
1
)，∴
??
1
=
??
??+1
，
??
1
=
??
0
??+1
，故A(
??
??+1
,
??
0
??+1
)，∵??点在椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)上，∴
1
4
(
??
??+1
)
2
+
1
3
(
??
0
??+1
)
2
=1．整理得：9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0．同理，由
????
=??
????
，得9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0．由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0的两个实数根．∴??+??=?
24
9
=?
8
3
．
【解析】(Ⅰ)由已知得??=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；(Ⅱ)方法1、由题意知，??(1,0)，可知直线AB的斜率存在，设其方程为??=??(???1)，则??(0,???)，设出A，B的坐标，由已知向量等式可得m，n，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明??+??为定值；方法2、由题意知，??(1,0)，??≠1，??≠1，设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)，??(0,
??
0
)，由向量等式可得9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0，9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0．由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9
??
2
+24??+12?4
??
0
2
=0的两个实数根，再由根与系数的关系得??+??=?
24
9
=?
8
3
为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．
2019北京市房山区高二（上）期末
数 学
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（4，0） D．（﹣4，0）
2．复数/的共轭复数是（　　）
A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i
3．已知双曲线//＝1的离心率为/，则m＝（　　）
A．4 B．2 C．/ D．1
4．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则/+/（/﹣/）等于（　　）/
A．/ B．/ C．/ D．/
5．若/＝（4，2，3）是直线l的方向向量，/＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直
6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）/
A．平面D1A1P⊥平面A1AP
B．∠APD1的取值范围是（0，/）
C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值
D．DC1⊥D1P
8．设F是椭圆//＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝　 　，b＝　 　．
10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为　 　．
11．若双曲线的渐近线方程为y＝±/x，则满足条件的一个双曲线的方程为　 　．
12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则//等于　 　．
/
13．已知椭圆//＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为　 　．
14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．
①请写出曲线W的一条对称轴方程　 　；
②曲线W上的点的横坐标的取值范围是　 　．
三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（15分）已知复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i为虚数单位）．
（Ⅰ）若z1?z2是纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若复数/在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB＝AC＝2，CC1＝4，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：A1C∥平面ADB1；
（Ⅲ）求平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
/
17．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣/，F为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（/，2），求|PA|+|PF|的最小值；
（Ⅲ）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DE与平面PC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求/的值；若不存在，说明理由．
/
19．（13分）已知椭圆M：/ /＝1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2/．若直线y＝x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣/，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣/，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．

数学试题答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．
【分析】通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线x2＝8y，P＝4，/，所以抛物线x2＝8y的焦点坐标是（0，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出抛物线的焦点坐标所在坐标轴以及方向．
2．
【分析】首先利用复数的除法运算化简，然后取徐不得相反数的其共轭复数．
【解答】解：由/＝/．
所以/的共轭复数为1﹣i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．
【分析】先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c，则双曲线离心率的表达式可得，最后根据离心率为2求得m的值．
【解答】解：根据双曲线//＝1可知a＝/，b＝/，
∴c＝/，
∴e＝/＝/，
求得m＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．应熟练掌握双曲线标准方程中，a，b和c，及离心率e的关系．
4．
【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
【解答】解：连接AF，E，F分别是BC，CD的中点，
则/+/（/﹣/）＝/+/＝/+/＝/．
故选：C．
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．
【分析】/＝（4，2，3）是直线l的方向向量，/＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，由/≠0，得到直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
【解答】解：∵/＝（4，2，3）是直线l的方向向量，
/＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，
/＝﹣4+6+0＝2≠0，
∴直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．
【分析】由双曲线的定义可知：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0，得解．
【解答】解：由双曲线的定义有：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0，
故“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义及充分必要条件，属简单题．
7．
【分析】在A中，由A1D1⊥平面A1AP，得平面D1A1P⊥平面A1AP；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝/；在C中，△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值，从而三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，由DC1⊥D1C，DC1⊥BC，得DC1⊥平面BCD1A1，从而DC1⊥D1P．
【解答】解：在A中，∵A1D1⊥平面A1AP，A1D1?平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；
在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝/，∴∠APD1的取值范围不是（0，/），故B错误；
在C中，∵△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值，
∴三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确；
在D中，∵DC1⊥D1C，DC1⊥BC，
D1C∩BC＝C，∴DC1⊥平面BCD1A1，∴DC1⊥D1P，故D正确．
故选：B．
/
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
8．
【分析】由已知知这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，又a21＝a1+20d，可得0＜a21﹣a1＝20d≤6，解得d的范围，则答案可求．
【解答】解：由椭圆//＝1，得a＝5，b＝4，则c＝/．
由已知可得等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，
∴a21＝a1+20d，∴0＜a21﹣a1＝20d≤6，
解得0＜d≤/．
∴d的最大值为/．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解．
【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝2+3i，
得﹣b＝2，a＝3，即a＝3，b＝﹣2．
故答案为：3，﹣2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
10．
【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．
【解答】解：空间直角坐标系中，点M（1，0，1），N（﹣1，1，2），
所以线段AB的长度为|MN|＝/＝/．
故答案为：/．
【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．
11．
【分析】已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，可设双曲线方程为：/＝λ（λ≠0），即/＝λ（λ≠0）．
【解答】解：由双曲线系方程可得：双曲线的渐近线方程为y＝±/x，
则双曲线方程为/＝λ（λ≠0），即/＝λ（λ≠0），
故答案为：/＝1．
【点评】本题考查了已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，属简单题．
12．
【分析】由/＝/+/+/，得/?/＝（/+/+/）?/＝/＝1
【解答】解：∵/＝/+/+/，
∴/?/＝（/+/+/）?/＝/＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
13．
【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．
【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，
当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．
∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，
∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，
∴P0O＜OF2，即b＜c，
∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，
∴e＞/，
∵0＜e＜1，
∴/＜e＜1，
∴满足条件的一个e的值为/（可取大于/小于1的任意一个实数值）．
故答案为：/（可取大于/小于1的任意一个实数值）．
/
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
14．
【分析】①利用曲线方程，通过（x，﹣y）代入方程，推出过程中即可．
②利用绝对值的范围，求解横坐标的范围．
【解答】解：①曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．（x，﹣y）代入方程，可得|﹣y|+x2﹣5x＝0，即|y|+x2﹣5x＝0，对称轴为：y＝0．
②|y|+x2﹣5x＝0，可得|y|＝﹣x2+5x≥0，可得：x∈[0，5]．
故答案为：①：y＝0；②[0，5]．
【点评】本题考查函数与方程的应用，对称轴以及转化思想的应用，考查计算能力．
三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．
【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解；
（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于0且虚部等于0联立不等式组求解．
【解答】解：（Ⅰ）由复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，
得z1?z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝3a+8+（6﹣4a）i，
由题意，3a+8＝0，6﹣4a≠0，即a＝﹣/；
（Ⅱ）/＝/，
若复数/在复平面上对应的点在第二象限，则/，
解得﹣/＜a＜/．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16．
【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥平面ABC，从而AA1⊥AC，再由AC⊥AB，能证明AC⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO，由DO∥A1C，能证明A1C∥平面ADB1．
（Ⅲ）由AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，
∴AC⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO，
∵D是BC中点，O是A1B中点，
则DO∥A1C，A1C?平面ADB1，DO?平面ADB1，
∴A1C∥平面ADB1．
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，
如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，4，0），D（1，0，1），
/＝（1，0，1），/＝（2，4，0），
设平面ADB1的法向量/＝（x，y，z），
则/，取y＝1，得/＝（﹣2，1，2），
平面ACC1A1的法向量/＝（2，0，0），
cos＜/＞＝/＝﹣/，
∴平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值为/．
/
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
17．
【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；
（Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣/，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到所求中点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣/，
F为抛物线的焦点，可得F（/，0），
即/＝/，p＝1，
抛物线的方程为y2＝2x；
（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（/，2），
如图，过A作AB⊥准线l，垂足为B，
由抛物线的定义可得|PB|＝|PF|，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PB|≥|AB|＝/+/＝4，
当且仅当A，P，B三点共线，取得最小值4；
（Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣/，
代入抛物线方程y2＝2x，可得x2﹣3x+/﹣＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3，
即有MN的中点的横坐标为/，纵坐标为/﹣/＝1，
即有MN的中点坐标为（/，1）．
/
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
18．
【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥BC，由底面ABCD为正方形，得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的正弦值．
（Ⅲ）向量/＝（﹣2，﹣2，2），/＝（2，2，0），/＝（1，2，0），由点M在棱PB上，设/＝/，（0≤λ≤1），从而/＝/＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），由FM⊥DB，能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，
∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵底面ABCD为正方形，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PD⊥底面ABCD，AD⊥CD，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
设PD＝AD＝2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），
/＝（0，1，1），/＝（﹣2，2，0），/＝（2，0，﹣2），
设/＝（x，y，z）为平面PAC的一个法向量，
设DE与平面PAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜/，/＞|＝/＝/，
∴直线DE与平面PAC所成角的正弦值为/．
（Ⅲ）向量/＝（﹣2，﹣2，2），/＝（2，2，0），/＝（1，2，0），
由点M在棱PB上，设/＝/，（0≤λ≤1），
∴/＝/＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），
由FM⊥DB，得/＝0，
∴（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2＝0，
解得/，∴/＝/．
/
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．
【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出b、c的值，再根据a、b、c的关系求出a的值，即可得出椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式并结合韦达定理求出|AB|，并计算出原点O到直线AB的距离作为△OAB的高，然后利用三角形的面积公式得出△OAB面积的表达式，利用函数思想求出△OAB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，/，b＝1，由a2＝b2+c2，得/，
因此，椭圆的标准方程为/；
（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程/，消去y得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
由直线与椭圆相交得△＝36m2﹣16（3m2﹣3）＞0，即m2＜4，解得﹣2＜m＜2，
由韦达定理可得/，/，
∴/＝/＝/，
点O到直线l的距离为/，
所以，/＝/，
当m2＝2时，即当/时，△OAB的面积取到最大值/．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计算能力与推理能力，属于难题．
20．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由题意可得kPA?kPB＝﹣/，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P的轨迹为曲线C；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x＝my﹣/，代入椭圆方程整理得（m2+2）y2﹣2/my﹣2＝0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为/，则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），∵kPA?kPB＝﹣/，则，/
整理得/
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：x＝my﹣/，代入椭圆方程整理得：
（m2+2）y2﹣2/my﹣2＝0，△＞0，
∴/，
/＝﹣/．
假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，
其充要条件为/．
则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．
?E（/）．
把E的坐标代入得/ 可得：m4﹣4＝0．
解得m2＝2．
∴直线l的方程为：x＝/y﹣/
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．
2019北京市石景山高二（上）期末
数 学
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
1.设a，b，??∈??，且??>??，则(　　)
A. ????>???? B.
1
??
>
1
??
C.
??
2
>
??
2
D.
??
3
>
??
3
2.命题“存在
??
0
∈??，
2
??
0
≤0”的否定是(　　)
A. 不存在
??
0
∈??，
2
??
0
>0 B. 存在
??
0
∈??，
2
??
0
≥0C. 对任意的??∈??，
2
??
≤0 D. 对任意的??∈??，
2
??
>0
3.设a，b是两条直线，??，??是两个平面，则由下列条件可以得到??⊥??的是(　　)
A. ?????，??⊥??，??//?? B. ??⊥??，??⊥??，??//??C. ??⊥??，??//??，??⊥?? D. ?????，??//??，??⊥??
4.“??<1”是“ln(??+1)<0”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
5.等差数列{
??
??
}的公差??≠0，且
??
3
=0，若
??
??
是
??
6
与
??
??+6
的等比中项，则??=(　　)
A. 5 B. 6 C. 9 D. 11
6.设??>0，??>0，则以下不等式中不恒成立的是(　　)
A. (??+??)(
1
??
+
1
??
)≥4 B.
??
3
+
??
3
≥2??
??
2
C.
??
2
+
??
2
+2≥2??+2?? D.
|?????|
≥
??
?
??
7.直三棱柱???????
??
1
??
1
??
1
中，∠??????=
90
°
，M，N分别是
??
1
??
1
，
??
1
??
1
的中点，????=????=??
??
1
，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.
1
10
B.
2
5
C.
30
10
D.
2
2

8.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为
??
8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
9.设??(1,3，2)、??(3,1，4)、??(0,1，1)，则AB的中点M到点C的距离为______．
10.若数列{
??
??
}的前n项和
??
??
=
??
2
?10??(??=1,2，3，…)，则此数列的通项公式______．
11.已知
??
=(1,1，0)，
??
=(?1,0，2)，若??
??
+
??
和
??
?3
??
相互垂直，则??=______．
12.能够说明“存在不相等的正数a，b，使得??+??=????”是真命题的一组a，b的值为______．
13.已知关于x的不等式
??
2
?4?????≥0对任意??∈(0,1]恒成立，则m的取值范围是______．
14.下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出??⊥面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．
三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）
15.记关于x的不等式
?????
??+1
<0的解集为P，不等式|???1|≤1的解集为Q．(Ⅰ)若??=3，求P；(Ⅱ)若?????，求正数a的取值范围．
16.如图，正三棱柱???????
??
1
??
1
??
1
的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：????⊥平面
??
1
????
??
1
；(Ⅱ)求证：
??
1
??//平面????
??
1
；(Ⅲ)求三棱锥
??
1
?????
??
1
的体积．
17.已知数列{
??
??
}为递增的等比数列，
??
1
?
??
4
=8，
??
2
+
??
3
=6．(Ⅰ)求数列{
??
??
}的通项公式；(Ⅱ)记
??
??
=
??
??
+
log
2
??
??+1
，求数列{
??
??
}的前n项和
??
??
．
18.如图，四边形ABCD是正方形，????⊥平面ABCD，????//????，????=????=4，????=2，F为PD的中点．(Ⅰ)求证：????⊥????；(Ⅱ)求证：????//平面PEC；(Ⅲ)求二面角??????????的大小．
19.设数列{
??
??
}的通项公式为
??
??
=????+??(??∈???,??>0).数列{
??
??
}定义如下：对于正整数m，
??
??
是使得不等式
??
??
≥??成立的所有n中的最小值．(Ⅰ)若??=
1
2
，??=?
1
3
，求
??
3
；(Ⅱ)若??=2，??=?1，求数{
??
??
}的前2m项和公式．

数学试题答案
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
1.
【答案】D
【解析】解：A、当??=0时，该不等式不成立，故本选项错误；B、由??>??得到0>??>??，
1
??
>
1
??
不成立.故本选项错误；C、当??=1.??=?2时，
??
2
>
??
2
，即不等式1>4不成立，故本选项错误；D、当a，b，??∈??，且??>??，
??
3
>
??
3
成立，故本选项正确；故选：D．利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出．熟练掌握不等式的性质及通过取特殊值否定一个命题等是解题的关键．2.
【答案】D
【解析】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在
??
0
∈??，
2
??
0
≤0”的否定是：“对任意的??∈??，
2
??
>0”．故选：D．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．3.
【答案】A
【解析】解：由设a，b是两条直线，??，??是两个平面，得：在A中，由?????，??⊥??，??//??，得??⊥??，∴??⊥??，故A正确；在B中，由??⊥??，??⊥??，??//??，利用线面垂直的性质定理得??//??，故B错误；在C中，由??⊥??，??//??，??⊥??，得a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，由?????，??//??，??⊥??，得a，b相交、平行或异面，故D错误．故选：A．在A中，推导出??⊥??，从而??⊥??；在B中，利用线面垂直的性质定理得??//??；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，a，b相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.
【答案】B
【解析】解：由ln(??+1)<0得0【答案】C
【解析】解：∵
??
3
=0=
??
1
+2??，∴
??
1
=?2??．∵
??
??
是
??
6
与
??
??+6
的等比中项，∴
??
??
2
=
??
6
?
??
??+6
，∴[(???3)??
]
2
=3???(??+3)??≠0，化为：???9=0，解得??=9．故选：C．
??
3
=0=
??
1
+2??，可得
??
1
=?2??.根据
??
??
是
??
6
与
??
??+6
的等比中项，可得
??
??
2
=
??
6
?
??
??+6
，代入化简整理即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.
【答案】B
【解析】解：∵??>0，??>0，∴??．(??+??)(
1
??
+
1
??
)≥2
????
?2
1
????
≥4故A恒成立，B.
??
3
+
??
3
≥2??
??
2
，取??=
1
2
,??=
2
3
，则B不成立C.
??
2
+
??
2
+2?(2??+2??)=(???1
)
2
+(???1
)
2
≥0故C恒成立D.若??|?????|
≥
??
?
??
恒成立若??≥??，则(
|?????|
)
2
?(
??
?
??
)
2
=2
????
?2??=2
??
(
??
?
??
)≥0，∴
|?????|
≥
??
?
??
故选：B．根据基本不等式的性质可知．(??+??)(
1
??
+
1
??
)≥2
????
?2
1
????
排除A，取??=
1
2
,??=
2
3
，判断出B不成立.
??
2
+
??
2
+2?(2??+2??)=(???1
)
2
+(???1
)
2
≥排除C；看??【答案】C
【解析】解：直三棱柱???????
??
1
??
1
??
1
中，∠??????=
90
°
，M，N分别是
??
1
??
1
，
??
1
??
1
的中点，如图：BC? 的中点为O，连结ON，????
?
//
1
2
??
1
??
1
=????，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠??????，∵????=????=??
??
1
，设????=????=??
??
1
=2，∴????=1，????=
5
，????=
5
，????=
??
1
??
2
+??
??
1
2
=
(
2
)
2
+
2
2
=
6
，在△??????中，由余弦定理可得：cos∠??????=
??
??
2
+??
??
2
???
??
2
2?????????
=
6
2×
5
×
6
=
30
10
．故选：C．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．8.
【答案】B
【解析】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+???
??
8
=800+
1
8
??
2
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为??(??)=
800+
1
8
??
2
??
=
800
??
+
1
8
??(??为正整数)由基本不等式，得??(??)≥2?
800
??
?
1
8
???
=20当且仅当
800
??
=
1
8
??=10时，??(??)取得最小值、可得??=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．若每批生产x件，则平均仓储时间为
??
8
天，可得仓储总费用为
1
8
??
2
元，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+???
??
8
=800+
1
8
??
2
元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
9.
【答案】3
【解析】解：∵??(1,3，2)、??(3,1，4)、??(0,1，1)，∴????的中点??(2,2，3)，∴????的中点M到点C的距离：|????|=
(0?2
)
2
+(1?2
)
2
+(1?3
)
2
=3．故答案为：3．先利用中点坐标公式求出AB的中点M，再利用两点间距离公式能求出AB的中点M到点C的距离．本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.
【答案】2???11
【解析】解：由题意可得：当??≥2时，
??
???1
=(???1
)
2
?10(???1)=
??
2
?12??+11，所以
??
??
=
??
??
?
??
???1
=2???11．当??=1时，
??
1
=
??
1
=?9，也符合
??
??
=2???11，所以数列的通项公式为：
??
??
=2???11．故答案为：
??
??
=2???11．由题意可得：当??≥2时，
??
??
=
??
??
?
??
???1
=2???11.当??=1时，
??
1
=
??
1
=?9，也符合
??
??
=2???11，进而求出数列的通项公式．解决此类问题的关键是熟练掌握数列通项公式的方法，以及结合正确的运算．11.
【答案】
16
5
【解析】解：??
??
+
??
=(???1,??,2),
??
?3
??
=(4,1,?6)；∵??
??
+
??
与
??
?3
??
互相垂直；∴(??
??
+
??
)?(
??
?3
??
)=4(???1)+???12=0；解得??=
16
5
．故答案为：
16
5
．可求出??
??
+
??
=(???1,??,2),
??
?3
??
=(4,1,?6)，根据??
??
+
??
与
??
?3
??
垂直，即可得出(??
??
+
??
)?(
??
?3
??
)=0，进行数量积的坐标运算即可求出k．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算．12.
【答案】
3
2
，3
【解析】解：取??=
3
2
，??=3，得到??+??=????，∴能够说明“存在不相等的正数a，b，使得??+??=????”是真命题的一组a，b的值为
3
2
，3．故答案为：
3
2
?,?3(答案不唯一)取??=
3
2
，??=3，得到??+??=????，由此能求出结果．本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.
【答案】(?∞,?3]
【解析】解：∵
??
2
?4??≥??对任意??∈(0,1]恒成立令??(??)=
??
2
?4??，??∈(0,1] ∵??(??)的对称轴为??=2 ∴??(??)在(0,1]上单调递减∴当??=1时取到最小值为?3 ∴实数m的取值范围是(?∞,?3] 故答案为：(?∞,?3]．构造函数??(??)，将不等式恒成立问题转化为求函数??(??)的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出??(??)的最小值，令最小值大于等于m即得到m的取值范围．本题考查了解决不等式恒成立问题，分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值．14.
【答案】①④⑤
【解析】解：如图，设正方体为?????????
??
1
??
1
??
1
??
1
．/在题图①中，连结??
??
1
，则??
??
1
⊥????，又??
??
1
是l在面????
??
1
??
1
内的射影，∴??⊥????.同理，??⊥????．∴??⊥平面??????.故①符合．???在题图②中，延长MP交
??
1
??
1
的延长线于E，连结NE，若??⊥面MNP，则??⊥????．???又
??
1
??是l在平面????
??
1
??内的射影，??
??
1
⊥
??
1
??，∴??⊥??
??
1
.∴??⊥平面????
??
1
??
1
，矛盾.∴②不符合．??? 在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．??? 在题图④中，??⊥????，??⊥????，∴??⊥平面??????.延长PM交AB于F，取CD的中点G，则????//????，∴??∈平面??????.连结FG交BC于H，则??∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤能得出??⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）
15.
【答案】解：(??)由
???3
??+1
<0，得??={??|?10，得??={??|?12，即a的取值范围是(2,+∞)．
【解析】(??)分式不等式
?????
??+1
<0的解法，可转化为整式不等式(?????)(??+1)<0来解；对于(????)中条件?????，应结合数轴来解决．对于条件?????的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．16.
【答案】(Ⅰ)证明：因为???????
??
1
??
1
??
1
是正三棱柱，所以??
??
1
⊥平面ABC因为?????平面ABC，所以??
??
1
⊥????因为△??????是正三角形，D为BC中点，所以????⊥????，…(4分)因为??
??
1
∩????=??，所以????⊥平面
??
1
????
??
1
.…(5分)(Ⅱ)证明：连接
??
1
??，交??
??
1
于点O，连接OD．/由????????
??
1
??
1
??
1
是正三棱柱，得四边形????
??
1
??
1
为矩形，O为
??
1
??的中点．又D为BC中点，所以OD为△
??
1
????中位线，所以
??
1
??//????，…(8分)因为
??
1
???平面????
??
1
，?????平面????
??
1
，所以
??
1
??//平面????
??
1
；(10分)(Ⅲ)解：
??
??1???????1
=
??
?????1????1
=
1
3
??
△??1????1
×????=
1
3
×
1
2
×2×2×
3
=
2
3
3
.…(14分)
【解析】(Ⅰ)证明????⊥平面
??
1
????
??
1
，利用线面垂直的判定，证明??
??
1
⊥????，????⊥????，即可‘ (Ⅱ)连接
??
1
??，交??
??
1
于点O，连接OD，利用OD为△
??
1
????中位线，可得
??
1
??//????，利用线面平行的判定，可证
??
1
??//平面????
??
1
；(Ⅲ)利用等体积
??
??1???????1
=
??
?????1????1
，可得结论．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定是关键．17.
【答案】解：(Ⅰ)由
??
1
?
??
4
=
??
2
?
??
3
=8及
??
2
+
??
3
=6…(2分)得
??
3
=4
??
2
=2
或
??
2
=4
??
3
=2
(舍)???????????????????????????????????…(4分)所以
??
3
??
2
=??=2，
??
1
=1所以
??
??
=
??
1
??
???1
=
2
???1
…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得
??
??
=
??
??
+
log
2
??
??+1
=
2
???1
+??…(7分)所以
??
??
=
??
1
+
??
2
+…+
??
??
=(
2
0
+
2
1
+…+
2
???1
)+(1+2+…+??)=
1?
2
??
1?2
+
(1+??)??
2
=
2
??
?1+
??
2
+??
2
…(13分)
【解析】(Ⅰ)由
??
1
?
??
4
=
??
2
?
??
3
=8及
??
2
+
??
3
=6，
??
2
<
??
3
，解出，再利用通项公式即可得出．(Ⅱ)由(Ⅰ)得
??
??
=
??
??
+
log
2
??
??+1
=
2
???1
+??，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.
【答案】(本小题共14分)证明：(Ⅰ)依题意，????⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以
????
、
????
、
????
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.??????????????????????????????????????????……(2分)依题意，可得??(0,0，0)，??(0,4，0)，??(4,4，0)，??(4,0，0)，??(0,0，4)，??(0,4，2)，??(2,0，2)．因为
????
=(2,0,2)，
????
=(4,4,?4)，所以
????
?
????
=8+0+(?8)=0.?????????????????????????????????　……(5分)所以????⊥????.……(6分)(Ⅱ)取PC的中点M，连接EM．因为??(2,2，2)，
????
=(2,?2,0)，
????
=(4,?4,0)，所以
????
=2
????
，所以????//????.????????????????????????????????????????????????……(8分)又因为?????平面PEC，?????平面PEC，所以????//平面??????.???????????????????????????????????????????……(9分)解：(Ⅲ)因为????⊥????，????⊥????，????∩????=??，所以????⊥平面PCD，故
????
=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量.……(10分)设平面PCE的法向量为
??
=(??,??,??)，因为
????
=(4,4,?4)，
????
=(0,4,?2)，所以
??
?
????
=0
??
?
????
=0
即
4???2??=0
4??+4???4??=0
令??=?1，得??=?1，??=?2，故
??
=(?1,?1,?2).???????????????……(12分)所以cos<
????
,
??
>=
?2?0?4
2
2
?
6
=?
3
2
，……(13分)所以二面角??????????的大小为
5??
6
.???????????????????????????……(14分)
【解析】(Ⅰ)依题意，????⊥平面????????.以A为原点，分别以
????
、
????
、
????
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明????⊥????．(Ⅱ)取PC的中点M，连接????.推导出????//????，由此能证明????//平面PEC．(Ⅲ)由????⊥????，????⊥????，得????⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角??????????的大小．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.
【答案】解：(Ⅰ)∵??=
1
2
，??=?
1
3
，∴
??
??
=
1
2
???
1
3
，当??=3时，由
??
??
=
1
2
???
1
3
≥3，得??≥
20
3
，则
1
2
???
1
3
≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即
??
3
=7．(Ⅱ)由题意，得
??
??
=2???1，对于正整数m，由
??
??
≥??，得??≥
??+1
2
．根据
??
??
的定义可知当??=2???1时，
??
??
=??(??∈
??
?
)；当??=2??时，
??
??
=??+1(??∈
??
?
).∴
??
1
+
??
2
+…+
??
2??
=(
??
1
+
??
3
+…+
??
2???1
)+(
??
2
+
??
4
+…+
??
2??
)=(1+2+3+…+??)+[2+3+4+…+(??+1)]=
??(??+1)
2
+
??(??+3)
2
=
??
2
+2??．
【解析】(Ⅰ)先得出
??
??
，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；(Ⅱ)先得出
??
??
，再解关于n的不等式，根据{
??
??
}的定义求得
??
??
再求得
??
2??
；本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．
2019北京延庆区高二（上）期末
数 学 2019.1
本试卷共5页，满分150分.考试时间120分钟
一.选择题：（共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.抛物线
??
2
=?4??的准线方程是（ ）
A ??=1 B ??=?1 C ??=2 D ??=?2
2.从5个景点中选出3个景点并安排旅游路线，共有多少种安排方法？（ ）
A
5
3
B
3
5
C
??
5
3
D
??
5
3
3.双曲线??:
??
2
4
?
??
2
9
=1的渐近线方程是（ ）
A ??=±
3
2
?? B ??=±
2
3
?? C ??=±
4
9
?? D ??=±
9
4
??
4.已知点??为???????所在 平面外一点，设
????
=
??
，
????
=
??
，
????
=
??
，若??为????的中点，则
????
= （ ）
A
1
2
??
+
1
2
??
+
??
B
1
2
??
+
1
2
??
?
??
C
1
2
(
??
+
??
+
??
) D
??
?
1
2
(
??
+
??
)
5.集合??=
??∕
??
2
≤2
，??=
??∕??(???1)≥0
，则??∩??=（ ）
A
0，1
B
0，
2
C
?∞，
0
∪
1，
2
)
D
?
2
，0
∪
1，
2
6.双曲线
??
2
?4
??
2
+2=0的实轴长等于（ ）
A
2
2
B
2
C 2 D 2
2
7.
2??+
1
??
2
5
的展开式中，
??
?1
项的系数是（ ）
A 20 B 40 C 80 D -120
8.在平面内，定点??在定圆??外，动圆??过点??且与圆??相切，则圆心??的轨迹是（ ）
A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线
/
9.安排4人做三种工作，每人做一种，每种都有人做，那么共有多少种不同的安排方法？（ ）
A 12 B 24 C 36 D 48
10.等比数列
??
??
中，“
??
1
?
??
4
>0且
??
4
>
??
1
”是“
??
??
为单调递增数列”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
11.如图，棱长为2的正四面体????????中，??是????的中点.设
??
1
表示直线????与直线????所成的角，
??
2
表示直线????与平面??????所成角，
??
3
表示二面角??????????的平面角，则
??
1
，
??
2
，
??
3
之间的大小关系是（ ）
A
??
1
>
??
2
>
??
3
B
??
3
>
??
2
>
??
1
C
??
2
>
??
1
>
??
3
D
??
1
>
??
3
>
??
2
/
12.有相同焦点??的抛物线
??
2
=2????(??>0)和双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0，??>0)的两个交点的连线经过??，则双曲线
的离心率??= （ ）
A
2
?1 B
2
+1 C 2 D
3
+1
二.填空题：（共8小题，每小题4分，共32分.）
13.2和8的等差中项是 .
14.从3名女生和6名男生中选5人组成科技竞赛小组，恰有2名女生入选，则不同的选法有 种.
15.设??
??
=1+
??
4
1
??+
??
4
2
??
2
+
??
4
3
??
3
+
??
4
4
??
4
，则??(2)= .
16.已知向量
??
=
2??，0，??+1
，
??
=
4，0，3
，如果
??
//
??
，那么??= .
17.已知
??
，
??
，
??
是三个两两垂直的单位向量，
??
=
??
?2
??
+2
??
，
??
=?
7
3
??
，则
??
= .
18.设等差数列
??
??
的前??项和为
??
??
，若
??
1
=2，
??
4
=20，则
??
3
= ，
??
??
= .
19.方程
??
2
?
??
??+1=0的曲线关于 对称，??的取值范围是 .
20.正方体?????????
??
1
??
1
??
1
??
1
中，??是
??
1
??
1
的中点，??是线段
??
1
??上的一点，给出下列命题：
①平面????????中一定存在直线与平面??????垂直.
②平面????
??
1
??
1
中一定存在直线与平面??????平行.
③平面????
??
1
??
1
与平面??????所成的锐二面角不小于45°.
④当点??从点
??
1
移动到点??时，点??到平面??????的距离逐渐增大.
其中真命题的序号是 .
/
三.解答题：（共5个小题，每题14分，共74分.解答应写出文字说明、演算步骤.）
21.（本小题满分14分）
为便于记忆，某人用偶数数学0，2，4，6，8排成一个含4个数字密码.
（Ⅰ）共可排成多少个密码？
（Ⅱ）如果要求数字不重复，其可排成多少个密码？
（III）如果要求数字不重复，且0不排在首位，共可排成多少个密码？
22.（本小题满分14分）
棱长为2的正方体正方体?????????
??
1
??
1
??
1
??
1
中，??是????的中点.
（Ⅰ）求直线
??
1
??和??
??
1
所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面
??
1
????和平面??
??
1
??
1
??所成锐二面角的余弦值.
/
23.（本小题满分14分）
如图所示，某铁路桥梁的支撑结构为抛物线拱型，已知抛物线的的跨度为
????
=200??，拱高
????
=50??.铁路
桥桥面距拱顶
????
=18??，桥面与拱柱的交叉点??，??之间有11根间距相等的垂直拉索，求拉索????的长度.
/
24.（本小题满分14分）
如图1，已知梯形????????中，????//????，????=????=2，????=8，??为????的中点，????⊥????，将???????沿????
折起到???????的位置，使平面???????⊥平面????????，如图2，??是棱????上的一点（??不与??，??重合），平面??????
交????于??.
（Ⅰ）求证：????⊥平面????????；
（Ⅱ）当??为????的中点时，求直线????与平面??????所成角的正弦值；
（III）是否存在点??，使得平面????????⊥平面??????？若存在，求出
????
????
的值；若不存在，请说明理由.
/ /
25.（本小题满分14分）
已知椭圆Ω：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)经过点
0，?1
，且离心率为??=
3
2
.
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）直线
??
1
，
??
2
都过点??
0，??
(??≠0),分别与??轴相交于??，??，其中??为????的中点（??为坐标原点）.直线

??
1
与圆
??
2
+
??
2
=
1
2
相切，直线
??
2
与椭圆Ω相交于??，??.求证：???????的面积为定值；
（Ш）在（Ⅱ）的条件下，设??为??，??中点，??是Ω上的点，
????
=??
????
(??>0)，求??的值.
2019北京昌平高二（上）期末
数 学
本试卷共4页. 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后.将答题卡收回。
第一部分(选择题共50分)
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中·选出符合题目要求的一项.
1. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1）,B（3，2，1），则线段AB的中点坐标是
A. （1，1，0） B. （2，1，1） C. （2，2，0） D. （4，2，2）
2. 若aA.
1
a
>
1
b
B.
a
>
b
C.
1
a?b
>
1
a
D. a2>b2
3. 在等差数列{an}中，a1=5,aA+ a7=0,则数列{an}中为正数的项的个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知函数f（x）=x+
1
x?1
-1（x>1）,则f（x）有
A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值0 D. 最大值0
5. 已知椭圆kx2+5y2=5的一个焦点坐标是F（2，0），则实数k的值为
A.
5
B.
5
3
3
C.
5
3
D. 1
6. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，若
AB
=a,
AD
=b,
AP
=c,M为PC中点，则
MB
+
MD
=
A. c B. -
1
2
a+b-
1
2
c
C. –c D. –a+
1
2
b+c
7. “m>0,n>0”是“方程
x
2
m
+
y
2
m
=1表示椭圆”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=2
3
,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A.
5
5
B.
5
6
C.
1
5
D.
2
2
9. 已知点A在直线y=4上，动点P满足
AP
平行于y轴，且
OA
⊥
OP
,则点P的轨迹是
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 已知直线y=2与双曲线/:
x
2
9
-
y
2
4
=1的渐近线交于M，N两点，任取双曲线/上的一点P，若
OP
=λ
OM
+μ
ON
（λ，μ∈R）,则
A. λ+μ=-
1
4
B. λ?μ=-
1
4
C. λμ=-
1
4
D.
λ
μ
=-
1
4
第二部分(非选择题共100分).
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题P:?x≥0,sinx≤1,则/P： 。
12. 已知向量a=（1，-2.5），b（-1，x,3）.若a⊥b,则实数x= .
13. 已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a>0,b>0）的离心率为
2
，则该双曲线的渐近线方程为 若（2，0）是它的一个焦点，则a= .
14. 设a=（x1,y1,z1）, b=（x2,y2,z2）,能说明“a∥b /
x
1
x
2
=
y
1
y
2
=
z
1
z
2
”是假命题的一组向量为a= ,b=
15. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,下表给出了Sn的部分数据：
n
1
2
3
4
···
Sn
-1
7
2
?
13
4
···
则数列{an}的公比q= ,首项a1= 。
16. 已知数列{an}的通项公式为an=5n-8,则a1+ a3+ a5+···+ a2n+3= 若
a
m
a
n
mn
>9（m,n∈N*）,则m+n的最小值为 。
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. （本小题满分14分）
已知f（x）=（x-a）（x-2）
（I）当a=1时，求不等式f（x）>0的解集；
（II）解关于x的不等式f（x）<0
18. （本小题满分14分）
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=2,a2=b2,a4=b3
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
(19)(本小题满分14分)
已知抛物线C的顶点为坐标原点，过焦点F(2,0)的直线l与抛物线C交于不同 的两点A ,B.
(I)求抛物线C的方程及准线方程;
(II)求线段AB长的最小值.
20. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD,PA=2AD,AD∥BC,DB=DC,AD=2,BC=6,∠ABC=60°
（I）求证：PD⊥BC;
（II）求二面角D-PA-B的余弦值；
（III）求证：：AB⊥平面PCD
/
21. （本小题满分14分）
已知椭圆M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a>b>0）的一个焦点为（
2
，0），离心率为
6
3
.设椭圆M的长轴和短轴的一个端点分别为A,B，以原点O为圆心，线段AB的长为半径作圆O。
（I）求椭圆M和圆的方程；
（II）设点P为圆O上任意一点，过点P分别作两条直线L1,L2与椭圆M相切，
求证：L1⊥L2。
2019北京朝阳高二（上）期末
数 学
（考试时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是
A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D.
a
c
>
b
d
2. 抛物线y2=4x的准线方程为
A. x=1 B. x=-1 C. y=1 D. y=-1
3. 在等比数列{an}中，a1=1,a4=8,则{an}的前5项和是
A. 2 B. 8 C. 15 D. 31
4.在正方形ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB1与BC1所成的角的大小是
A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°
5. “m>0,n>0,且m≠n”是“方程
x
2
m
+
y
2
n
=1表示的曲线为椭圆”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，在四棱锥A-BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC,∠CDE=90°，BC=3,CD=DE=2,AD=4. 则点E到平面ABC的距离为
A.
3
5
B.
4
5
C.
4
5
5
D. 2
7. 已知数列{an}满足an=
3?a
n?3,n≤7
a
n?6
,n>7
(n∈
N
?
)
.若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是
A. (1,2] B. （2，3） C. [2,3) D. （1，3）
8. 已知F1,F2是双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a>0,b>0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
A.
2
B.
3
C. 2 D.
3
+1
9.我国古代数学名著《九章算术》中，有一个问题的算法的前两步为：
第一步：构造数列1，
1
2
，
1
3
，
1
4
，···，
1
n
，n∈N*;①
第二部：将数列①的各项乘以n，得到的数列记为a1, a2, a3, a4,···，an,
则a1a2+a2a3+a3a4+···+an-1an=
A. n2 B. （n-1）2 C. n（n-1） D. n（n+1）
10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是
A. [
3
4
,
3
3
] B. [
2
3
,
3
3
] C. [
1
4
,
1
3
] D. [
1
3
,
1
2
]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上。
11. 设命题P:?x>0,??>??????.则/P为
12. 双曲线
x
2
9
-y2=1的渐近线的方程为
13. 设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,那么S1, S2, S3, S4,中最小的为
14. 若x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为
15. 已知数列{an}中，a1=1,前n项和Sn=
n+2
3
an（n∈N*）,那么a2的值为 ，数列{an}的通项公式为

16. 已知O是坐标原点，M,N是抛物线y=x2上不同于O的两点，OM⊥ON,有下列四个结论：
①
OM
·
ON
≥2;
②
OM
+
ON
≥2
2
;
③ 直线MN过抛物线y=x2的焦点
④ O到直线MN的距离小于等于1.
其中，所有正确结论的序号是
三、解答题：本大题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分18分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB, PA⊥AD
（I）求证：PA⊥平面ABCD;
（II）已知PA=AD,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（i）若点F在棱PA上，且PF:FA=2:1,求证：EF∥平面ABCD;
（ii）求二面角D-AC-E的余弦值
/
18. （本小题满分16分）
已知函数f(x)=ax2+ax-1（a∈R）
（I）当a=1时，求f（x）>0的解集；
（II）对于任意x∈R,不等式f（x）<0恒成立，求a的取值范围；
（III）求关于x的不等式f（x）<0的解集。
19. （本小题满分18分）
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a>b>0）,其右焦点为F（1，0），离心率为
1
2
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点F作倾斜角为α的直线L，与椭圆C交于P,Q两点。
（i）当α=
π
3
时，求三角形OPQ（O为坐标原点）的面积；
（ii）随着α的变化，是猜想
PQ
的取值范围，并证明你的猜想.
20. （本小题满分18分）
已知数列{an}的首项为1，若对任意的n∈N*,数列{an}满足an+1-3an<2,则称数列{an}具有性质L.
（I）判断下面两个数列是否具有性质L；
①1，3，5，7，9，···；
②1，4，16，64，256，···；
（II）若{an}是等差数列且具有性质L，其前n项和Sn满足Sn<2n2+2n(n∈N*)，求数列{an}的公差d的取值范围；
（III）若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设bn=
a
n
3
2
（n∈N*），且数列{bn}不具有性质L，求数列{an}的通项公式.
2019北京海淀试验中学高二（上）期末
数 学 （2019.1）
一.选择题（共8小题，共32分）
1.已知
??
??
是等比数列，
??
2
=2，
??
5
=
1
4
，则公比??等于（ ）
A ?
1
2
B ?2 C 2 D
1
2
2.已知椭圆的两个焦点为
?1，0
，
1，0
，椭圆经过点
2，0
，则椭圆的方程为（ ）
A
??
2
4
+
??
2
=1 B
??
2
4
+
??
2
=1 C
??
2
3
+
??
2
4
=1 D
??
2
4
+
??
2
3
=1
3.设??∈??,“1，??，16为等比数列”是“??=4”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4.曲线??=
??
2
+1在点
?1，0
处的切线方程为（ ）
A 3??+??+3=0 B 3?????+3=0 C 3?????=0 D 3??????3=0
5.正方体?????????
??
1
??
1
??
1
??
1
中，??是??
??
1
的中点，则直线????与直线??
??
1
所成角的余弦值为（ ）
A ?
10
15
B
10
15
C ?
15
15
D
15
15
6.双曲线??:
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0，??>0)的离心率??=
13
2
，则它的渐近线方程为（ ）
A ??=±
3
2
?? B ??=±
2
3
?? C ??=±
9
4
?? D ??=±
4
9
??
7.如图，????????为正方形，??是????的中点，将???????和???????折起，使得????与????重合，记??，??重合后的点为??，则二 面角??????????的大小为（ ）
A
??
6
B
??
4
C
??
3
D
??
2
/ /
8.设直线??=??与函数??
??
=
??
2
，??
??
=??????的图象分别交于点??，??，则当
????
达到最小时??的值为（ ）
A 1 B
1
2
C
5
2
D
2
2
二.填空题（共6小题，共24分）
9.已知
??
??
是等差数列，
??
??
为其前??项和，若
??
1
=?1，
??
10
=35，则
??
20
=
10.函数??=8
??
2
???????的单调减区间是 ，最小值是 .
11.已知点
2，0
是双曲线??:
??
2
??
2
?
??
2
=1的一个顶点，则??的离心率为 .
12.平面内动点??到点??
0，2
的距离和到直线??:??=?2的距离相等，则动点??的轨迹方程为是
13.设
??
3
+????+??=0，其中??，??均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
① ??=?3，??=?3 ； ② ??=?3，??=2； ③ ??=?3，??>2 ；④ ??=0，??=2 ；
⑤ ??=1，??=2.
14.如图，定点??，??∈??，定点?????，????⊥??，??是??内异于??，??的一个动点，且????⊥????，动点??在??内的轨迹是
.（用语言描述即可）
/
三.解答题（共4小题：共44分）
15.设数列
??
??
的前??项和
??
??
=2
??
??
?
??
1
，且
??
1
，
??
2
+1，
??
3
成等差数列.
（1）求数列
??
??
的通项公式；
（2）求数列
1
??
??
???
的前??项和
??
??
.
16.如图，在几何体????????????中，平面??????⊥平面????????，四边形????????为菱形，且∠??????=60°, ????=????=????= 2????,????// ????,??为????中点.
（1）求证：????//平面??????；
（2）求直线????与平面??????所成角的正弦值；
（3）在棱????上是否存在点??，使????⊥????？若存在，求
????
????
的值；若不存在，说明理由.
/
17.已知函数??
??
=
??
??
???(??????+1)(??∈??)
（1）求函数??=??(??)在点
1，??(1)
处的切线方程；
（2）若函数??=??(??)在
1
2
，1
上有极值，求??的取值范围.
18.已知椭圆的焦点在??轴上，一个顶点为
0，1
，离心率为??=
2
5
.过椭圆的右焦点??的直线??与坐标轴不垂直，且交
椭圆于??，??两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点??是点??关于??轴的对称点，在??轴上是否存在一个定点??，使得??，??，??三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
/
2019北京通州高二（上）期末
数 学 2019.1
考生须知
本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟。
本试卷分为第一部分和第二部分两部分
考生务必将答案在答题卡上，在试卷上作答无效
考试结束后，请将答题卡交回
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{
??
??
}中，
??
2
=2，
??
3
=4，则
??
10
等于
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
2. 题目P：?x∈R,sinx+1≥0的否定是
A. ?x∈R,sinx+1<0 B. ?
??
0
∈??,??????
??
0
+1<0
C. ?x∈R,sinx+1≥0 D. ?
??
0
∈??,??????
??
0
+1≥0
3. 设f(x)=cosx的导函数为f’(x),则f’(
π
3
)的值为
A. -
3
2
B.
3
2
C. -
1
2
D.
1
2
4. 已知函数f(x)=xlnx，则f’(x)等于
A. lnx-1 B. lnx+1
C. 1-lnx D.
1
??
5. 已知数列{
??
??
}是等差数列，则“
??
3
>
??
1
”是“数列{
??
??
}为单调递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若等差数列{
??
??
}满足
??
7
+
??
8
+
??
9
>0，
??
7
+
??
10
<0，使得数列{
??
??
}的前n项和最大的n的值为
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
7. 设a=
??
4
16
, b=
??
5
25
, c=
??
6
36
,（其中e为自然常数）,则a,b,c,的大小关系是
A. aC. b8. 定义在R上的函数f(x)和g(x),其各自导函数f’(x)和g’(x)的图象如图所示，则函数F（x）=f(x)-g(x)极值点的情况是
A. 无极大值点，有三个小值点
B. 有三个极大值点，无极小值点
C. 有一个极大值点，两个极小值点
D. 有两个极大值点，有个极小值点
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分
9. 已知数列{
??
??
}是等比数列，且
??
1
+
??
3
=4，
??
2
+
??
4
=8，则数列{
??
??
}的公比q等于 。
10. 已知函数f(x)=x
??
??
,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为
11. 已知数列{
??
??
}是等差数列，
??
3
=2，则
??
1
+
??
2
+
??
3
+
??
4
+
??
5
等于
12. 已知条件p:
??+1
>2，条件q:x>a，能够满足p是q的必要不充分条件的一个a的值是 。
13. 设点P在曲线y=
??
??
上，点Q在曲线y=lnx上，则
????
的最小值为
14. 已知函数y=f(x)(x>0),定义数列{
??
??
}：
??
??
=f(n),n=1,2,3···
对于下面的判断：
若函数f(x)是减函数，则数列{
??
??
}一定是递减数列
若数列{
??
??
}是递减函数，则函数f(x)一定是减函数
若数列{
??
??
}有最大值，则函数f(x)一定有最大值
若函数f(x)没有最大值，则数列{
??
??
}可能存在最大值
其中正确判断的序号是
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题满分13分）
已知等差数列{
??
??
}满足
??
1
+
??
2
=3，
??
2
+
??
3
=5
（I）求数列{
??
??
}的通项公式；
（II）设
??
??
=
??
2???1
，求{
??
??
}的前n项和。
16.（本小题满分13分）
已知数列{
??
??
}的前n项和为2
??
2
+n,数列{
??
??
}满足{
??
??
?
??
??
}成等比数列，且
??
1
=
??
2
，
??
2
=
??
4
（I）求数列{
??
??
}的通项公式；
（II）求数列{
??
??
}的前n项和。
17.缺题
18.（本小题满分14分）
已知函数f(x)=2
??
??
+
??
??
??
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）求函数f(x)在区间[
1
3
,3]的最值；
（III）若方程f(x)=a有两个解，写出实数a的取值范围。（不写过程）
19. （本小题满分13分）
已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R)
（I）当a=1时，?x>1，求证：f(x)<
??
2
+x；
（II）若函数y=xf(x)有两个极值点，求实数a的取值范围。
2019北京首师大附中高二（上）期末
数 学
第一卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明想要增加中奖机会，应选择的游戏盘是
/
2某人投篮一次投中的概率为，此人投篮6次，设投中的次数为随机变量x，则期望E（X）和方差D（X）的值分别为
A.3， B.3， C. 2， D.3，
3.一位母亲记录了自己儿子3~9岁的身高数据（略）由此建立的身高（单位：cm）与年龄（单位：岁）的回归模型为y=7.19x+73.93，用此模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是
A.身高一定是145.38cm B.身高一定在145.83cn以上
C.身高一定在145.83cm左右 D.身高一定在145.83cm以下
4.某校随机抽查了本校20名同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位:分钟）。根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5)，[5，10)，…,[35，40]，绘制出频率分布直方图如下，则原始的茎叶图可能是
5.某公司生产一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(3，2)，且P(X≤6)=0.9，现从该产品的生产线上随机抽取100件产品，其中质量在（0，3]内的产品估计有
A.40件 B.30件 C.20件 D.10件
6.在（
3
x
-
2
x
）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
A.-112 B.112 C.-1120 D.1120
7.已知F1，F2是椭圆E：(a>b>0)的左右焦点，点M在椭圆E上，MF1与x轴垂直，cos∠MF1F2=，则椭圆E的离心率为
A. B. C. D
8.已知一个口袋装有m个白球，n个黑球(m,n∈N*，n≥2)。这些球除颜色外全部相同，现将袋中的球随机逐个取出，并依次放入如图所示的编号1，2，3，…，m+n的抽屉内，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，则
1
2
3
…
m+n
E(X)< B.E(X)=
E(X)> D.E(X)与的大小关系不确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
9.某单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，则应抽取业务人员? 人，管理人员? 人，服务人员? 人，且每个服务人员被抽到的概率都为 ? 。
10.设15000件产品中有1000件废品，从中随机抽取150件进行检查，则废品个数的均值为 。
11.从1，2，3，4，5中不重复地依次取两个数，事件A为“第一次取得的是奇数”，事件B为“第二次取得的是奇数”，则P(B|A)= 。
12.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a5= ;a0+a2+a4= （用数字作答）
13.从含有语文和数学的6科文化课中任选4科排在上午四节课，则数学不能排第一节，语文不能排第四节的排法总数是 。（用数字作答）
14.如图，一张A4纸的长宽之比为，EF分别为AD,BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A,C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是 （写出正所有正确命题的序号）
①A,G,H,C四点共面；
②而当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；
③当A,C重合于点p时，设平面PBE∩平面PDF=l，则l∥平面BFDE。
/
三、解答题（本大题共5小题，共64分）
15.张老师家在H小区，他从家开车到学校S上班有两条路线，L1,L2（如图所示）。路线L1上有A1,A2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，路线L2上有B1，B，B3三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为。
/
（I）若张老师走路线L1，求他遇到红灯次数X的分布列，并求其数学期望E（X）
（Ⅱ）若按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助张老师分析上述两条路线中，哪条路线上班更好些，并说明理由。
16.如图，多面体SABCD中，面ABCD为矩形,SD⊥AD，且SD⊥AB , AD=a (a>0) ,AB=2AD，SD=AD .
(I)、求多面体SABCD的体积;
(II)、求直线DA与平面DSB所成角的正弦值；
(III)、求二面角A-SB-D的余弦值。
17.
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目。若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定，否则，称该学生选考方案待确定。例如，学生甲选择物理、化学和生物三个选考科目，则学生的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案。
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有8人
8
8
4
2
2
1
选考方案待确定的有6人
4
3
0
1
0
0
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
1
0
0
1
（I）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（II）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的，从选考方案确定的8位男生中随即选出1人，从选考方案确定的10位女生中随即选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率
（III）从选考方案确定的8名男生中随机抽出2名，
设随机变量=，求的分布列及数学期望E。
18.已知椭圆（a>b>0）的左、右焦点坐标分别F1(),F2()，且椭圆经过点P()
（I）求椭圆的标准方程
（II）设点M（x0,y0）是椭圆上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积。
19.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责。已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k为学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X。
（I）求该系学生假收到李老师和张老师所发活动通知信息的概率;
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m。