专题二 利用万有引力定律解决综合问题
课堂任务 公式的选择
本章内容在学习的过程中很多同学感觉到公式太多、繁杂无序、无从下手。其实那只是表面现象，本章的解题思路清晰，不管行星绕着恒星转还是卫星绕着行星转，可以统称为环绕天体绕着中心天体转，都遵循同样的规律，解题的思路都是：中心天体对环绕天体的万有引力提供环绕天体做圆周运动所需的向心力。
我们把本章解题常用的四个表达式G，mg，m，mω2r按照如图所示进行组合，可以看出有6种方式(虚线的部分是圆周运动常用的，本章基本不直接用，所以没有给它排序)，再由ω＝，v＝ωr还可派生出其他结论，所以给人的感觉公式太多、结论太多！但无论怎么变也脱离不了这四个表达式，而且使用的频率按图中1、2、3、4、5的顺序出现。下面的讨论都是在四个表达式内选择两个做等式，就涵盖了本章的大部分知识，这样就很容易解决本章的大部分问题！
1．解决各物理量与轨道半径r之间关系的问题
(1)环绕速度：由G＝m得到v＝ 。(利用了图中1的等式)
(2)角速度：由G＝mω2r得到ω＝。(利用了图中2的等式)
(3)公转周期：由G＝mr得到T＝ 。
(4)加速度：G＝ma＝mg′得到a＝g′＝。(利用了图中3的等式，也利用了万有引力提供物体的向心力)
由上面的几个推导可以一眼看出各物理量与r之间的关系，推导也仅仅只用一步，所以用不着费心去记忆。
2．解决天体的质量问题
(1)由G＝mg解得天体的质量为M＝。(此处利用了图中3的等式)
(2)由G＝mr解得天体的质量为M＝。
3．解决宇宙速度问题
(1)由G＝m得到v＝ ，代入数据即可求出第一宇宙速度。(此处利用了图中1的等式)
(2)由mg＝m可得v＝，代入数据也可求出第一宇宙速度。(此处利用了图中4的等式)
例1 如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、A、B在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
[规范解答] (1)卫星B受到地球的万有引力提供其需要的向心力：G＝m(R＋h)①
忽略地球自转，对地面的物体有：G＝m′g②
联立①②解得TB＝2π③
(2)同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，且都小于卫星B的角速度，由题意得(ωB－ω0)t＝2π④
由③得ωB＝＝ ⑤
联立④⑤解得t＝。
[完美答案] (1)2π (2)
本例中第?1?问的解答就是用了前面图中的2、3等式组合而成，在万有引力的解题过程中，首先考虑的就是图中几个表达式之间的关系。?2?问是第五、六节导学案里的“相遇问题”。
太阳系八大行星绕太阳运动的轨道可粗略地认为是圆，各行星的星球半径、日星距离和质量如下表所示：
则根据所学的知识可以判断下列说法中正确的是( )
A．太阳系的八大行星中，海王星的圆周运动速率最大
B．太阳系的八大行星中，水星的圆周运动周期最大
C．若已知地球的公转周期为1年，万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，再利用地球和太阳间的距离，则可以求出太阳的质量
D．若已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，并忽略地球的自转，利用地球的半径以及地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，则可以求出太阳的质量
答案 C
解析 设太阳的质量为M，行星的质量为m，轨道半径为r，运动周期为T，线速度为v。由牛顿第二定律得G＝m＝m2r，知v＝ ，T＝2π ，则行星的轨道半径越大，周期越大，线速度越小。所以海王星周期最大，水星线速度最大，A、B错误；由地球绕太阳公转的周期T，轨道半径r，可知G＝mr，解得太阳质量M＝，C正确；由上式可以看出地球的重力加速度及地球半径与太阳质量无关，D错误。
课堂任务 万有引力与“抛体”相结合的问题
万有引力与“抛体”类知识的结合问题，涉及的“抛体”往往是平抛、竖直上抛，也可以是自由落体运动。解决这类问题很简单，就是要以重力加速度为中间桥梁。
例2 某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平射程为bR，a、b均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为( )
A.v0 B.v0 C.v0 D.v0
[规范解答] 设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aR＝gt2，bR＝v0t，联立以上两式解得g＝，第一宇宙速度即为该星球表面附近圆轨道上的卫星的线速度，根据卫星重力充当向心力得mg＝m，所以第一宇宙速度v＝＝＝v0，故A正确。
[完美答案] A
我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
答案 (1) (2)
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，
有L＝vt，h＝gt2，解得g＝。
(2)在星球表面满足G＝mg，
又V＝πR3，解得ρ＝＝。
课堂任务 多星模型
宇宙中相距较近的天体，它们离其他星球很远而组成双星、三星、四星……。双星模型前面已经讲过，下面重点讨论一些简单的三星模型、四星模型。
1．三星模型的组合形式
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕质量为M的中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示。
(2)三颗质量均为m的星体位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，绕三角形的中心O做匀速圆周运动，如图乙所示。
2．四星模型的组合形式
(1)四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示。
(2)三颗质量均为m的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗质量为M的星体位于正三角形的中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动，如图丁所示。
3．多星模型共同的特点
不管是哪种“多星”问题都可能会涉及力的合成与分解、万有引力定律、牛顿运动定律和圆周运动等方面的知识，综合性较强。如果能掌握多星系统运动的两个特点和分析此类问题的四个步骤，就可以很轻松地解决多星问题。
(1)运动的两个特点
①星体共同绕空间某点做匀速圆周运动；
②做匀速圆周运动的星体周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。
(2)解题的四个步骤
①要明确各星体的几何位置，画出示意图；
②明确各星体的转动方式，找出各星体共同做圆周运动的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径；
③受力分析，确定每颗星体向心力的来源；
④抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点，列式解题。
例3 宇宙间存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到的四星系统存在着一种基本的构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星位于圆形轨道的圆心处，已知引力常量为G，圆形轨道的半径为R，每颗星体的质量均为m。求：
(1)中心星体受到其余三颗星体的引力的合力大小；
(2)三颗星体沿圆形轨道运动的线速度大小和周期。
[规范解答] 四星系统的圆周运动示意图如图所示。
(1)中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120°。
根据力的合成法则，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零。
(2)对圆形轨道上任意一颗星体，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G＋2Gcos30°＝m
r＝2Rcos30°
由以上两式可得三颗星体运动的线速度为
v＝
三颗星体运动的周期为
T＝＝2πR。
[完美答案] (1)0 (2)
2πR
不管是什么复杂的题，本章的解题离不开万有引力?或者万有引力的合力?提供向心力这条主线，再结合多星模型的特点，就会化难为易。
(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的四星系统，其中有一种四星系统如图所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的四个顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，四颗星都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度大小为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关
答案 AD
解析 由星体均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝a，每颗星体受其他三个星体万有引力的合力提供向心力：G＋2Gcos45°＝m，解得v＝，所以角速度ω＝＝ ，周期为T＝＝2π，加速度a＝＝。A、D正确，B、C错误。
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
答案 B
解析 由天体运动规律知G＝mR，可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故B正确。
2．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
答案 A
解析 取飞船为研究对象，由G＝mr及M＝ρV＝ρ·πr3，知ρ＝，故选A。
3．(多选)一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比(假设此时的引力仍适用万有引力定律)( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍
D．星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍
答案 BD
解析 在星球表面由重力近似等于万有引力mg＝G可知，当星球半径减小为原来的时，同一物体在星球表面受到的重力增大为原来的16倍，A错误，B正确。由第一宇宙速度计算式v＝ 可知，星球的第一宇宙速度增大为原来的两倍，C错误，D正确。
4．因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的倍，半径为地球半径的倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 根据黄金代换式g＝，并利用题设条件，可求出＝＝，C项正确。
5．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
答案 C
解析 根据万有引力定律F＝G可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A项错误；由G＝mr，得T＝2π ，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的运动周期均大于地球的公转周期，B项错误；向心加速度an＝＝，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G＝m得线速度v＝ ，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，D项错误。
6．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动所需的向心力。由牛顿第二定律G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝ 。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，A正确，B、C、D错误。
7．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 设卫星的质量为m′，由万有引力提供向心力，得G＝m′，m′＝m′g。由质量为m的物体重力为N得g＝，联立以上三式得M＝，故B项正确。
8．地球的半径为R，地面上的重力加速度为g，在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其最小周期是( )
A．π B．
C．π D．2π
答案 D
解析 由G＝mr可得T＝2π ，卫星的轨道半径越小，周期越小，当轨道半径等于地球半径时，周期最小，即Tmin＝2π ，又GM＝gR2，所以Tmin＝2π ，故D正确。
9．(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
答案 AB
解析 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，A正确；由mg月＝G，解得m月＝＝，B正确；v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；月球的平均密度ρ＝＝，D错误。
10.如图所示，有甲、乙两颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为R、表面重力加速度为g的行星运动。卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直，卫星甲的轨道为圆，距离行星表面的高度为R，卫星乙的轨道为椭圆，M、N两点的连线为其椭圆轨道的长轴，且M、N两点间的距离为4R。则以下说法错误的是( )
A．卫星甲的线速度大小为
B．卫星乙运行的周期为4π
C．卫星乙沿椭圆轨道运行经过M点时的速度大于卫星甲沿圆轨道运行的速度
D．卫星乙沿椭圆轨道运行经过N点时的加速度小于卫星甲沿圆轨道运行的加速度
答案 A
解析 卫星甲绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得：G＝m，其中r＝2R，由行星表面万有引力等于重力得：G＝mg，综上可计算出卫星甲环绕中心天体运动的线速度大小v＝ ，A项错误；同理可计算出卫星甲运行的周期T甲＝4π ，由卫星乙椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相等，即T乙＝T甲＝4π，B项正确；卫星乙沿椭圆轨道经过M点时的速度大于在过M点的圆轨道上运行的卫星的线速度，而在过M点的圆轨道上运行的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度，故卫星乙沿椭圆轨道运行经过M点的速度大于卫星甲的速度，C项正确；卫星运行时只受万有引力，向心加速度a＝，与行星的距离r越大，a越小，D项正确。
11．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。
答案 (1) (2)v0
解析 (1)设该星球表面的重力加速度为g，物体做竖直上抛运动，
由题意知v＝2gh，得g＝。
(2)卫星贴近星球表面运行，
则有mg＝m，得v＝＝v0。
12．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道。已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为。求：
(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小；
(2)卫星在工作轨道上运行的周期。
答案 (1)r (2)
解析 (1)设卫星在停泊轨道上运行的线速度为v，卫星质量为m，卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，有G＝m，且对在地球表面的质量为m′的物体有G＝m′g，
由此得v＝r。
(2)设卫星在工作轨道上运行的周期为T，
则有G＝m2R1，
又对在月球表面的质量为m′的物体有
G＝m′，
解得T＝。
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