专题一 化曲为直法、类平抛运动及临界问题
课堂任务 曲线运动的分析方法——化曲为直法
物体实际的运动是合运动，所参与的运动是分运动，有时合运动不好解决就把运动进行分解，先求出分运动再找合运动，比如平抛运动的位移和速度。合运动既可以是直线，也可以是曲线，如果是曲线，解决办法就是“化曲为直”。
例1 (多选)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球，由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴。则( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为
[规范解答] 球在竖直方向只受重力，做自由落体运动，由h＝gt2，得球从被击出到落入A穴所用的时间为t＝ ，B正确；球受到恒定的水平风力的作用，且竖直地落入A穴，可知球在水平方向做匀减速直线运动，水平末速度为零，由L＝得球被击出时的初速度大小为v0＝L，A错误，C正确；由v0＝at得球水平方向加速度大小a＝，球被击出后受到的水平风力的大小为F＝ma＝，D错误。
[完美答案] BC
把复杂的曲线运动化为简单的直线运动，这是解决曲线运动的办法。两个分运动彼此独立、时间相同，只要解决了分运动的问题，物体的运动?合运动?也就迎刃而解。
一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象如图甲、乙所示。求：
(1)物体的初速度大小；
(2)物体在前3 s内的位移大小。
答案 (1)50 m/s (2)30 m
解析 (1)由图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动。
x方向的初速度vx0＝30 m/s，
y方向的初速度vy0＝－40 m/s；
则物体的初速度大小为v0＝＝50 m/s。
(2)在前3 s内，x方向的分位移大小
x3＝vx·t＝30×3 m＝90 m
y方向的分位移大小y3＝·t＝×3 m＝60 m
故物体在前3 s内的位移大小为
s＝＝ m＝30 m。
课堂任务 类平抛运动
1．类平抛运动与平抛运动的联系与区别：物体的受力情况与平抛运动类似，只是所受合力并非重力，方向也不一定是竖直方向。
2．类平抛运动的受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
3．类平抛运动的运动特点：在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
4．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx0、vy0，然后分别在x、y方向列方程求解。
例2 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)在斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
[规范解答] (1)物块沿斜面做类平抛运动，由mgsinθ＝ma可知，物块加速度a＝gsinθ，由l＝at2可得，物块由P运动到Q所用的时间t＝。
(2)物块沿v0方向的位移为b，由b＝v0t可得
物块水平射入时的初速度v0＝b。
(3)由vy＝at，v＝可得v＝。
[完美答案] (1) (2) b
(3)
类平抛运动的特点及处理方法
(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力是恒力，且与初速度方向垂直。初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度g。
(2)类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合运动。处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它上升的高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
答案 (1)mg (2)v0
解析 (1)飞机在水平方向做匀速直线运动，l＝v0t，竖直方向加速度恒定h＝at2，联立得a＝，
由牛顿第二定律：F－mg＝ma，
得F＝mg＋ma＝mg。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小：v＝＝v0。
课堂任务 临界问题
当物体运动从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态。出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。临界问题是一个从量变到质变飞跃的节点，它可能导致某些物理量发生变化，甚至物理规律发生变化。它往往会有一个标志性的东西，或物理量或情景，具体问题要进行具体分析。下面详细讨论平抛运动的临界问题和水平面内匀速圆周运动的临界问题，而竖直面内圆周运动的临界情况已在第七节课堂任务4中学习，这里就不列出了。
1．平抛运动的临界问题
例3 排球场总长18 m，网高2 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，可以认为排球被击回时做平抛运动，g取10 m/s2。若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不能出底线或压线，则球被击回的水平速度应在什么范围内？
[规范解答] 如图所示，设球刚好触网，此过程球水平射程x1＝3 m，
球下落高度Δh＝h－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，
竖直方向：Δh＝gt，
所以球飞行时间t1＝＝ s，
水平方向：x1＝v1t1，得v1＝＝3 m/s；
设球恰好落在底线上，此过程水平射程x2＝12 m，
竖直方向：h＝gt，
球飞行时间t2＝＝ s＝ s，
水平方向：x2＝v2t，得v2＝＝12 m/s，
欲使球既不触网也不出底线或压线，则球被击回时的水平速度应满足：3 m/s[完美答案] 3 m/s解决平抛运动的临界问题，关键有三点：
(1)确定运动性质——平抛运动；
(2)确定临界位置；
(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图。
(多选)某次网球比赛中，某选手将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在场中(不计空气阻力)，已知网球比赛场地相关数据如图所示，下列说法中正确的是( )
A．击球高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1.8h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内
C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
答案 AD
解析 根据平抛运动的规律有＝，解得h1＝1.8h2，A正确；若保持击球高度不变，当球的初速度v0足够小时，球会落在自己界内，B错误；设击球高度为h(仍大于h2)时球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有＝，解得h＝h2，即击球高度低于此值时，球不能落在对方界内，C错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内，D正确。
2．水平面内匀速圆周运动的临界问题
例4 如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足：ω≤
D．转台的角速度一定满足：ω≤
[规范解答] 对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误。A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有FfA＝3mω2r，对C有FfC＝mω2·1.5r，由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误。当C刚要滑动时：μmg＝mω·1.5r，解得ωC＝；对A、B整体刚要滑动时：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ωr，解得ωAB＝；当A刚要相对于B滑动时：3μmg＝3mωr，解得：ωA＝；由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足：ω≤ ，故C正确，D错误。
[完美答案] C
水平面内匀速圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。通常有下面三种情况：,?1?与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度?或线速度?。,?2?与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度?或线速度?。,?3?因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度?或线速度?。
如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1＝时，求绳对物体的拉力大小；
(2)当v2＝时，求绳对物体的拉力大小。
答案 (1)mg (2)2mg
解析 当物体在圆锥体表面运动时，分析物体受力情况：物体受重力mg、绳的拉力T、支持力N，进行正交分解。
水平方向：Tsinθ－Ncosθ＝m①
竖直方向：Tcosθ＋Nsinθ＝mg②
联立①②解得N＝mgsinθ－m。
由上式可看出当θ、L、m一定时，线速度v越大，支持力N越小，设v＝v0时，N＝0，此时锥面与物体间恰好无相互作用力，
即mgsinθ－m＝0，解得v0＝。
将θ＝30°代入上式得v0＝。
(1)当v1＝联立①②解得：
T1＝mgcosθ＋＝mg＋mg＝mg。
(2)当v2＝>v0时，物体已离开锥面，仍绕轴线做水平匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α(α>θ)，物体仅受重力和拉力作用，这时
T2sinα＝m③
T2cosα＝mg④
联立③④解得cosα＝⑤
由④⑤式得T2＝＝2mg。
1．(多选)一质量为2 kg的质点在如图甲所示的xOy平面内运动，在x方向的v-t图象和y方向的位移—时间(y-t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知( )
A．t＝0时，质点的速度大小为12 m/s
B．质点做加速度恒定的曲线运动
C．前2 s，质点所受的合力大小为10 N
D．t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s
答案 BC
解析 由v-t图象可知，质点在x方向上做匀减速直线运动，初速度为12 m/s，而在y方向上，质点做速度为－5 m/s 的匀速直线运动，故在前2 s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，其大小：v0＝ m/s＝13 m/s，故A错误，B正确；由v-t图象可知，前2 s，质点的加速度为：a＝＝ m/s2＝－5 m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合外力为F＝ma＝2×(－5) N＝－10 N，其大小为10 N，故C正确；t＝1 s时，x方向的速度为7 m/s，而y方向的速度为－5 m/s，因此质点的速度大小为 m/s＝ m/s，故D错误。
2. 如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
答案 D
解析 设O点与水平面的高度差为h，已知斜面的倾角为θ，由h＝gt，＝gsinθ·t可得：t1＝，t2＝，故t1＜t2，A错误；由x1＝v0t1，x2＝v0t2可知，x1＜x2，B错误；由a1＝g，a2＝gsinθ可知，a1>a2，C错误；A落地时的速度大小vA＝＝，B落地时的速度大小vB＝＝，所以vA＝vB，故D正确。
3. (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，a、b两绳都张紧的状态下，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向上且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
D．当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力
答案 AD
解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；当b绳张紧时，根据竖直方向上平衡得，Fasinθ＝mg，解得Fa＝，可知角速度增大，a绳的拉力不变，故B错误；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故C错误；当b绳拉力恰为零时，有＝mω2l，解得ω＝ ，可知当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力，故D正确。
4. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是( )
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
答案 C
解析 当物体运动到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，则ω＝＝ rad/s＝1.0 rad/s，故C正确。
5. 如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(且v0∥CD)，小球运动到B点，已知A点距B点的高度为h，求：
(1)小球到达B点时的速度大小；
(2)小球到达B点的时间。
答案 (1) (2)
解析 (1)设小球沿斜面方向的分速度为vy，
则：2a＝v①
又由牛顿第二定律得：mgsinθ＝ma②
则B点速度vB＝③
联立①②③式得：vB＝④
(2)设小球到达B点的时间为t，
则：＝at2⑤
联立②⑤式得：t＝。
6. 在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的水平恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°角，如图所示曲线为质点的轨迹图，已知P点为质点运动轨迹与直线OA的交点(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：
(1)质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小。
答案 (1)1 s (10 m,7.5 m) (2)5 m/s
解析 (1)质点在x轴方向上无外力作用做匀速直线运动，在y轴方向受恒力F作用做匀加速直线运动。
由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝15 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2，
又tanα＝
联立解得t＝1 s，xP＝10 m，yP＝7.5 m，
即P点坐标为(10 m,7.5 m)。
(2)质点经过P点时沿y方向的速度vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝＝5 m/s。
7．光滑水平面上，一个质量为2 kg的物体从静止开始运动，在前5 s受到一个沿正东方向、大小为4 N的水平恒力作用；从第5 s末开始改为受到正北方向、大小为2 N的水平恒力作用了10 s，求：
(1)物体在15 s内的位移；
(2)物体在15 s末的速度。
答案 (1)135 m，方向为东偏北θ角，满足tanθ＝
(2)10 m/s，方向为东偏北45°角
解析 (1)如图所示，物体在前5 s内由坐标原点起沿x轴正方向(正东方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为
ax＝＝ m/s2＝2 m/s2。
5 s末物体沿x轴方向的位移
x1＝axt＝×2×52 m＝25 m，
设5 s末物体到达P点，5 s末速度vx＝axt1＝2×5 m/s＝10 m/s。
从第5 s末开始，物体参与两个分运动：一是沿x轴正方向做速度为10 m/s的匀速直线运动，经10 s其位移x2＝vxt2＝10×10 m＝100 m；二是沿y轴正方向(正北方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为ay＝＝ m/s2＝1 m/s2。
经10 s沿y轴正方向的位移
y＝ayt＝×1×102 m＝50 m
设15 s末物体到达Q点，
则OQ＝＝ m≈135 m，
方向为东偏北θ角，满足tanθ＝＝。
(2)15 s末沿y轴正方向的速度
vy＝ayt2＝1×10 m/s＝10 m/s
15 s末的速度为
v1＝＝ m/s＝10 m/s，
设v1与x轴正方向夹角为α，tanα＝＝1，所以α＝45°，即方向为东偏北45°角。
8. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度ω0；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。
答案 (1) (2)μmg
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，
则μmg＝mωr，得ω0＝。
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力T和最大静摩擦力共同提供向心力，此时T＋μmg＝mω2r，
即T＋μmg＝m··r，解得T＝μmg。
9. 如图所示，细绳的一端系着质量为M＝2 kg的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.5 kg的物体，M的中点与圆孔的距离为0.5 m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度ω在什么范围内可使m处于静止状态。(g取10 m/s2)
答案 1 rad/s≤ω≤3 rad/s
解析 设当ω取ω1时，M恰不向O点滑动，此时M所受最大静摩擦力背离圆心O，
对M有：mg－fmax＝Mωr
代入数据得：ω1＝1 rad/s。
设当ω取ω2时，M恰不背离O点滑动，此时M所受最大静摩擦力指向圆心O，
对M有：mg＋fmax＝Mωr，
代入数据得：ω2＝3 rad/s。
所以角速度的取值范围是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s。
10. 如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，与A相连的绳长L＝2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°和45°。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
答案 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
解析 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝T1sin30°＝mωLsin30°
Fy＝T1cos30°－mg＝0
联立解得ω1≈2.40 rad/s。
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin45°＝mωLsin30°
Fy＝T2cos45°－mg＝0
联立解得ω2≈3.16 rad/s
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
课件65张PPT。专题一 化曲为直法、
类平抛运动及临界问题01课堂探究评价 03课后课时作业
