第六章 万有引力与航天
第一节 行星的运动
1．了解地心说和日心说的主要内容和代表人物。
2．知道人类对行星运动的认识过程。
3．理解并应用开普勒行星运动定律分析一些简单问题。
1.两种对立的学说
(1)地心说
①地球是宇宙的中心，是静止不动的。
②太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。
③地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密。
(2)日心说
①太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动。
②地球是绕太阳旋转的行星；月球是绕地球旋转的卫星。
③太阳静止不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成太阳每天东升西落的现象。
④日心说的代表人物是哥白尼。
(3)局限性
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，但计算所得的数据和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
2．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量。
判一判
(1)太阳是整个宇宙的中心，其他天体都绕太阳运动。( )
(2)太阳每天东升西落，这一现象说明太阳绕着地球运动。( )
提示：(1)× 这是日心说的观点，具有历史局限性。
(2)× 太阳每天东升西落，是由于地球每天自西向东自转一周。
想一想
地心说和日心说是两种截然不同的观点，现在看来这两种观点哪一种是正确的？
提示：两种观点受人们意识的限制，是人类发展到不同历史时期的产物。两种观点都具有历史局限性，现在看来都是不正确的。
课堂任务 开普勒行星运动定律
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲中行星绕太阳运动的轨迹是圆吗？
提示：近似圆，但实际轨迹是椭圆。
活动2：图乙表述的是什么，能看出些什么结论？
提示：图乙是行星绕着太阳运动的示意图。从图可以看出：(1)行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上；(2)两扇形的面积相等，即行星与太阳的连线在相等时间扫过相等的面积。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)开普勒行星运动三定律的描述及意义
续表
(2)补充说明
①行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道半长轴不同，即各行星的椭圆轨道不同，但太阳是所有椭圆轨道的共同焦点。
②近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，同一行星在轨道上离太阳越近时，速度越大，在近日点速度最大，在远日点速度最小，且离太阳越近，行星的速率越大。
③公式＝k不只适用于太阳，还适合所有的行星绕着恒星运动，也适合卫星绕着行星运动，其中的k是只与中心天体有关，与环绕天体没有关系。比如：月球和其他人造卫星都绕地球的运动，其中常数k只与地球有关。
④公式＝k，对于同一中心天体来说，k的数值相同；对于不同的中心天体，k的数值不同。
例1 某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
(1)太阳与行星的位置关系怎样？
提示：行星绕太阳转的轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
(2)行星绕太阳转动时的速度大小各处一样吗？
提示：不一样，近日点速度最大，远日点速度最小。
[规范解答] 根据开普勒第二定律：行星和太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，得到行星在近日点速度最大，远日点速度最小。因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳位于离A点近的焦点F2上，A正确。
[完美答案] A
各行星绕太阳运动的轨迹不相同，但都是椭圆，且所有轨道都有一个共同的焦点——太阳，同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
(多选)关于行星绕太阳运动的说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆
C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
答案 AC
解析 太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，A正确，B错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，C正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，D错误。
例2 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其公转周期为T。如图所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需的最短时间。
(1)飞船在做圆周运动时半长轴怎么算？
提示：飞船做圆周运动时，半长轴和半短轴长度相同，长度都等于半径。
(2)飞船在椭圆轨道运动时半长轴是什么？
提示：飞船在椭圆轨道运动时，半长轴应是AB间距离的一半，而AB间距离为R＋R0，故半长轴为。
[规范解答] 飞船绕地球做圆周运动(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)时，半长轴为R，飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，由开普勒第三定律知：＝，因此飞船从A点运动到B点所需的最短时间为t＝＝ 。
[完美答案]
开普勒第三定律揭示的是不同行星运动快慢的规律，应用时要注意以下两个问题：
?1?首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
?2?明确题中给出的周期关系或半长轴关系之后，再根据开普勒第三定律列式求解。
如图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年？
答案 2062年
解析 由开普勒第三定律＝k得：3＝2，解得：T哈＝T地≈76年。即下次飞近地球大约是(1986＋76) 年＝2062年。
课堂任务 行星运动的近似处理
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
表一 行星轨道的半长轴和半短轴对比
行星
半长轴(106 km)
半短轴(106 km)
水星
57.9
56.7
金星
108.2
108.1
地球
149.6
149.5
火星
227.9
226.9
木星
778.3
777.4
土星
1427.0
1424.8
天王星
2882.3
2879.1
海王星
4523.9
4523.8
表二 行星的平均轨道半径、公转周期和太阳系的k值
活动1：从表一中能得出什么结论？
提示：行星轨道的半长轴和半短轴的相对差别小，基本可以认为相等。
活动2：表二平均轨道半径究竟代表什么意义？
提示：行星轨道的半长轴和半短轴的相对差别小，行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，所以这个平均轨道半径就是指开普勒第三定律里的半长轴a。把行星的轨道当做圆处理，半长轴和半短轴就相等，都是半径。＝k就变成＝k。
活动3：表格中几个行星的k值揭示的是什么规律？
提示：在误差范围内，这些数据是相等的，也就是对于同一个中心天体，k值是相同的。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。这样就可以说：
(1)半长轴就是半径
椭圆近似为圆，就不存在半长轴半短轴，轨道上各处到中心天体的距离都相等，半长轴就是圆轨道的半径。
(2)开普勒三定律就可以这样表述
①行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(焦点变为圆心)
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
(3)行星的运动遵循匀速圆周运动规律
既然行星的运动当做了圆周运动处理，则其就是匀速圆周运动，所以行星的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动规律，与一般物体的运动在应用这两个规律上没有区别。比如向心力向心加速度的公式在行星运动中照样适用。
例3 长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600 km，公转周期T1＝6.39天。2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
(1)卡戎星和冥王星的小卫星的中心天体是一个吗？
提示：卡戎星和冥王星的小卫星都围绕着冥王星转，它们的中心天体都是冥王星。
(2)用什么规律解决轨道半径与公转周期问题？
提示：用开普勒第三定律＝k解决。
[规范解答] 根据开普勒第三定律得：＝，解得T2＝ ＝ 天≈25天。
[完美答案] B
木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的多少倍？(可用根式表示)
答案 2
解析 设木星和地球绕太阳运动的周期分别为T1和T2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R1和R2，根据开普勒第三定律得：＝，则＝＝＝2。所以木星绕太阳运动轨道的半径是地球绕太阳运动轨道的半径的2倍。
A组：合格性水平训练
1．(地心说和日心说)(多选)下列说法中正确的是( )
A．地球是宇宙的中心，太阳、月球及其他行星都绕地球运动
B．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地球是绕太阳运动的一颗行星
D．日心说和地心说都不完善
答案 CD
解析 地心说和日心说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，不可能静止，故B错误，D正确。地球是绕太阳运动的普通行星，并非宇宙的中心天体，故A错误，C正确。
2．(开普勒第三定律的理解)关于开普勒第三定律＝k，下列说法正确的是( )
A．公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B．a代表行星的球体半径
C．T代表行星运动的自转周期
D．围绕不同星球运行的行星(或卫星)，其k值不同
答案 D
解析 开普勒第三定律＝k，适用于所有天体，即适用于行星围绕恒星和卫星围绕行星的运转，A错误；a代表行星椭圆运动轨道的半长轴，B错误；T代表行星或卫星绕中心天体运动的公转周期，C错误；k是一个与行星无关的常量，只与中心天体有关，同一中心天体k值相同，不同的中心天体，k值不同，D正确。
3．(开普勒运动定律的理解)下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星运动周期越长
D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
答案 D
解析 由开普勒行星运动定律可知所有行星轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，由于不同行星轨道半长轴不同，故各行星的椭圆轨道不同，A、B错误；行星在椭圆轨道上运动的周期T和半长轴a满足＝k(常量)，轨道半长轴越长，运动周期越长，并且对于同一中心天体，k不变，故C错误，D正确。
4. (开普勒第二定律的应用)如图是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是( )
A．速率最大点是B点
B．速率最小点是C点
C．m从A点运动到B点做减速运动
D．m从A点运动到B点做加速运动
答案 C
解析 由开普勒第二定律知，行星与恒星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，A点为近地点，速率最大，B点为远地点，速率最小，A、B错误；m由A点运动到B点的过程中，离恒星M的距离越来越远，所以m的速率越来越小，做减速运动，C正确，D错误。
5．(开普勒第三定律的理解)太阳系有八大行星，八大行星离地球的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映公转周期与行星轨道半长轴的关系图象中正确的是( )
答案 D
解析 由开普勒第三定律＝k知a3＝kT2，D项正确。
6. (开普勒运动定律的应用)如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知( )
A．火星绕太阳运行过程中，速率不变
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星远离太阳过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
答案 D
解析 根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳、行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，地球靠近太阳过程中运行速率将增大，A、B、C错误；根据开普勒第三定律，可知所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星的半长轴比较大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，D正确。
7．(开普勒第三定律的应用)开普勒的行星运动规律也适用于其他天体或人造卫星的运动规律。某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的，则此卫星运行的周期大约是( )
A．1～4天 B．4～8天
C．8～16天 D．16～20天
答案 B
解析 由开普勒第三定律＝k，得＝，所以T星＝ T月＝×27天≈5.2天，B正确。
8．(开普勒第三定律的应用)月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取R地＝6400 km)
答案 3.63×104 km
解析 月球和人造地球卫星都环绕地球运动，故可用开普勒第三定律求解。当人造地球卫星相对地球不动时，人造地球卫星的公转周期与地球自转周期相同。设人造地球卫星轨道半径为R。根据题意知月球轨道半径为60R地，公转周期为T0＝27天，人造地球卫星的公转周期为T＝1天，
则有：＝
整理得R＝×60R地＝×60R地≈6.67R地，
卫星离地高度H＝R－R地＝5.67R地＝5.67×6400 km≈3.63×104 km。
B组：等级性水平训练
9. (开普勒运动定律的应用)如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式中正确的是( )
A．地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B．卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C.＝，该比值的大小与地球有关
D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
答案 A
解析 由开普勒第一定律可知，A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，C卫星绕地球做匀速圆周运动，B错误；由开普勒第三定律可知，＝＝k，比值的大小仅与地球有关，C、D错误。
10. (开普勒第三定律的应用)1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
A.R B.R C.R D.R
答案 C
解析 根据开普勒第三定律，有＝，解得：R钱＝R＝R，故C正确。
11. (开普勒第三定律的应用)如图所示，2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量由九颗减为八颗。若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各行星星球半径和轨道半径如表所示。
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )
A．80年 B．120年 C．165年 D．200年
答案 C
解析 设海王星绕太阳运行的轨道半径为r1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为r2，周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝·T2≈164年，故C正确。
12. (开普勒第二定律的应用)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝ va
答案 C
解析 若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看做扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va，故C正确。
13．(开普勒第三定律的应用)天文学家观察哈雷彗星的周期为75年，离太阳最近的距离为8.9×1010 m，试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常量k可取3.354×1018 m3/s2。
答案 5.231×1012 m
解析 彗星离太阳的最近距离和最远距离之和等于轨道半长轴的2倍，因此，只要求出轨道半长轴即可。
由开普勒第三定律知＝k，则：
a＝＝ m≈2.66×1012 m。
彗星离太阳最远的距离为：dmax＝2a－dmin＝(2×2.66×1012－8.9×1010) m＝5.231×1012 m。
课件77张PPT。第一节 行星的运动 01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第二节 太阳与行星间的引力
第三节 万有引力定律
1．能利用开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式。
2．了解万有引力定律得出的过程和思路。
3．理解万有引力定律内容、含义及适用条件。
4．认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题。
1.太阳与行星间的引力
(1)模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳与行星间的引力规律
2．万有引力定律
(1)月—地检验
①猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。
②推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的。
③结论：地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(填“相同”或“不同”)的规律。
(2)万有引力定律
①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
②公式：F＝G。
③引力常量：上式中G叫引力常量，大小为6.67×10－11 N·m2/kg2，它是由英国物理学家卡文迪许在实验室里首先测出的。
判一判
(1)行星绕太阳的运动不需要力的作用。( )
(2)匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。( )
(3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。( )
提示：(1)× 行星绕太阳的运动可看做匀速圆周运动，和其他做匀速圆周运动的物体一样需要向心力。
(2)√ 匀速圆周运动的规律同样适用行星所做的匀速圆周运动。
(3)√ 卫星绕行星的运动同样满足Fn＝m和开普勒第三定律，所以公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。
课堂任务 太阳与行星间的引力
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图的意思是什么？
提示：由于行星轨道的半长轴和半短轴大小差不多，中学里就把行星的椭圆运动简化为圆周运动处理。进行处理后，半长轴就变成了半径。
活动2：图乙表明了什么？
提示：行星做圆周运动需要向心力，行星与太阳间有相互作用力，太阳对行星的引力提供行星运动的向心力。
活动3：向心力与哪些因素有关？行星需要的向心力与它的质量有关吗？也与太阳的质量有关吗？
提示：由F＝m或F＝mω2r可知，向心力与做圆周运动物体的质量、线速度、角速度、周期、轨道半径等有关系。行星既然做圆周运动，它的向心力也应该与这些因素有关系，自然跟它的质量有关。行星的向心力是太阳对行星的引力，它与行星对太阳的引力是一对相互作用力，这个引力既然与行星的质量有关，也应该与太阳的质量有关。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)两个理想化模型
①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。
②由于天体间的距离很远，将天体看成质点，即质量集中在球心上。
(2)推导过程
①太阳对行星的引力
②太阳与行星间的引力
(3)太阳与行星间的引力的特点
太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(4)公式F＝G的适用范围
我们在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论只适用于行星与太阳之间的力。
例1 两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，如果它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．m1r1∶m2r2
C．m1r2∶m2r1 D．r∶r
(1)太阳与行星间引力的公式是什么？
提示：F＝G。
(2)行星的向心加速度怎么求？
提示：行星只受到太阳对它的引力而做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可知，其向心加速度为a＝。
[规范解答] 由太阳与行星之间引力的关系可知，两个行星受到的引力都可以表示为F＝G。由于只受引力，即引力提供向心力，由牛顿第二定律可得a＝＝，所以向心加速度之比为轨道半径平方的反比，D正确。
[完美答案] D
(多选)根据开普勒关于行星运动的规律、圆周运动的知识和牛顿第三定律可知，太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案 BD
解析 F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，A、C错误，B正确；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故D正确。
课堂任务 万有引力定律
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：忽略空气阻力，下落的苹果受什么力？绕地球转的月球受什么力？施力物体是什么？
提示：都只受到地球的引力，施力物体都是地球。
活动2：由此可以提出什么猜想？
提示：将苹果受到的重力向月球轨道延伸，我们可以猜想到苹果和月球受到地球的力是同一种力。
活动3：如何验证上述猜想是否正确？
提示：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)也就应该大约是它在地面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的。根据图中数据，由向心加速度公式有：a月＝ω2r＝r，即a月＝×3.84×108 m/s2≈2.72×10－3 m/s2。地球表面重力加速度g一般取9.8 m/s2，＝≈＝，即月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的，这说明猜想是正确的。
活动4：由上述结论可以进行什么样的合理推广？
提示：地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，并且都与太阳对行星的力和加速度遵循同样的规律F∝，a∝，可以联想任意两个物体间都有引力，且都遵循这个规律，只是身边物体的质量比天体质量小得多，不易察觉。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)万有引力定律
F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出。
测定G值的意义：①证明了万有引力定律的存在；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
(2)万有引力的特点
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
(3)应用万有引力定律的注意事项
①在以下三种情况下可以直接使用公式F＝G计算：
a．求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离。
b．求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离。
c．一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到球心的距离。
②对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。
例2 关于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力
D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
(1)F＝G中各字母的含义：
G：________，由实验测得r：________，
m1、m2：________
提示：引力常量 两质点间距离 两质点的质量
(2)作用力与反作用力和平衡力的区别？
提示：作用力和反作用力是同一性质的力，作用于不同物体；平衡力性质可不同，但必须作用于同一物体。
[规范解答] 万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，则r为两质点间的距离，当r趋于零时，两物体不能看成质点，不能直接用万有引力的公式来计算，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不是平衡力，所以选项C正确，D错误。
[完美答案] C
应用万有引力注意事项
(1)理解万有引力定律的内容和适用范围。
(2)知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律。
(3)明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法。
(多选)下列说法正确的是( )
A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算
B．据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
答案 AD
解析 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D两项正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B项错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C项错误。
例3 如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
(1)两球能被看成质点吗？
提示：从题图看球的半径和两球间的距离可知不能把两球看成质点。
(2)对于两个不能看成质点的物体，怎么计算它们间的万有引力？
提示：对于两个质量分布均匀的球体，它们之间的万有引力可以用F＝求解，其中R为两球心间的距离；对于两个不能看成质点的一般物体，不能直接用万有引力公式求解。
[规范解答] 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D。
[完美答案] D
任何两个物体间都存在着万有引力，在计算两个不能看成质点的物体间的万有引力时，若两个物体是质量分布均匀的球体，在应用万有引力公式计算时，r为两球心间的距离。
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R、球心为O′的球体，且O、O′与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故A正确。(注意这种解题方式：填补法。只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体。)
课堂任务 万有引力与重力的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：F、F向、mg各表示什么意思？
提示：F表示物体受到的地球的吸引力，F向是物体随地球一起自转所需要的向心力，mg是物体受到的重力。
活动2：F、F向、mg的关系是怎样的？
提示：由图能看出F向、mg是F的两个分力，也就是说物体受到的重力并不等于物体受到地球的吸引力。
活动3：有重力和万有引力相等的位置吗？
提示：有。在南北两极，F向＝0，引力和重力就相等。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)万有引力和重力的关系
如图，地球对物体的万有引力F＝G可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤G，重力的方向可能偏离地心。
(2)重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。
①赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mω2r＋mg，所以mg＝G－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。
②两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝G，故物体在两极处的重力是最大的。
(3)重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
例4 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的高度为地球半径的(地球表面重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半
(1)何为“视重”？
提示：视重即为物体受到竖直向上的支持力或拉力。
(2)物体重力与物体离地面高度的关系？
提示：mg′＝G。
[规范解答] 设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的竖直向上的支持力或拉力F，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得F－mg′＝ma①
其中m＝，代入①式得
mg′＝F－a＝ N＝1 N
在距离地面h处，物体的重力为1 N，物体的重力等于万有引力。
在地球表面：mg＝G②
在距地面h高处：mg′＝G③
②与③相除可得＝，
所以R地＋h＝·R地＝·R地＝4R地
所以h＝3R地，故选B。
[完美答案] B
某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1220 N。已知地球半径R＝6400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2
。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
答案 (1) (2)128 km
解析 (1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G＝mg，
在h高度处对宇航员受力分析，应用牛顿第二定律有
F－mg′＝ma，
则mg′＝F－ma＝800 N，得＝＝。
(2)根据万有引力公式，在地面处有G＝mg，
在h高度处有G＝mg′
解以上两式得h＝R≈0.02R＝128 km。
A组：合格性水平训练
1．(行星运动向心力来源)如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，那么下列说法中正确的是( )
A．行星受到太阳的引力，引力提供行星做圆周运动的向心力
B．行星受到太阳的引力，行星运动不需要向心力
C．行星同时受到太阳的万有引力和向心力
D．行星受到太阳的引力与它运动的向心力不相等
答案 A
解析 行星受到太阳的引力，引力提供行星做圆周运动的向心力，A正确，B错误；向心力是效果力，实际受力分析时不分析向心力，行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力来源于太阳的引力，所以行星受到太阳的引力与它运行的向心力相等，C、D错误。
2．(太阳与行星间的引力)(多选)对于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
B．M、m彼此受到的引力总是大小相等
C．M、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，M和m都处于平衡状态
D．M、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
答案 ABD
解析 太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，大小相等，不能进行合成，故B、D正确，C错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确。
3．(万有引力定律的理解)(多选)下列关于万有引力的说法，正确的有( )
A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
B．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力
D．F＝G中，G是一个比例常数，没有单位
答案 BC
解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，A错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，B正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，C正确；国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律F＝G，得到G的单位是N·m2/kg2，D错误。
4．(万有引力定律的理解)关于万有引力公式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大
B．只要两个物体是球体，就可用此式求解万有引力
C．两只相距0.5 m的小狗之间的万有引力可用此式计算
D．任何两个物体间都存在万有引力
答案 D
解析 当两个物体之间的距离趋近于零时，物体不能看成质点，就不能直接用F＝G来计算万有引力，所以距离很近时，不能用此公式推出F趋于无穷大，A错误；球体间只有质量分布均匀时，才能用公式F＝G求解万有引力，B错误；两只小狗相距0.5 m时，它们之间的距离与它们的尺寸相差不多，故不能看成质点，不可以用F＝G求它们之间的万有引力，C错误；由万有引力定律知D正确。
5．(万有引力定律的理解)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．两物体的质量和距离都减小到原来的
答案 D
解析 万有引力定律的表达式为F＝G，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；两物体的质量和距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误。
6．(重力加速度的理解)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
答案 B
解析 在星球表面近似有mg＝G，设火星表面的重力加速度为g火，则＝·2＝0.4，故B正确。
7．(重力加速度与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
答案 A
解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，该处距地面的高度为h，分别列式G＝mg，G＝m·，联立得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，A正确。
8．(万有引力定律的应用)设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
答案 A
解析 设想把物体放到地球的中心，此时F＝G已不适用，但地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力的合力是零，故应选A。
9．(万有引力定律的应用)地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1
答案 C
解析 设月球质量为m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，则地球质量为81m，当飞行器距月球的距离为r′时，月球对它的引力等于地球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故C正确。
B组：等级性水平训练
10．(万有引力定律的应用)两个完全相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
答案 D
解析 两个小铁球之间的万有引力为F＝G。实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径r′是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝。故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，故选D。
11. (万有引力定律的应用)如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 利用填补法来分析此题。原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体的质量的，其他条件不变，所以挖去的球体对质点P的万有引力为，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝，C正确。
12．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点，假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中的四个F随x的变化关系图正确的是( )
答案 A
解析 由题意可知，物体在地球内部距离球心x(x
13. (重力与高度的关系)如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近的重力加速度)
答案
解析 火箭上升过程中，测试仪器受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′，
根据牛顿第三定律及平衡条件可知，高h处测试仪器受到的支持力为FN＝mg，
由牛顿第二定律得FN－mg′＝m·，
解得g′＝g，
由万有引力定律知：G＝mg′，G＝mg，
联立解得h＝。
课件95张PPT。第二节 太阳与行星间的引力
第三节 万有引力定律01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第五节 宇宙航行
第六节 经典力学的局限性
1．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
2．认识同步卫星的特点。
3．了解人造卫星的相关知识和我国卫星发射的情况以及人类对太空的探索历程。
4．了解经典力学的发展历程和伟大成就，认识经典力学的局限性和适用范围。
5．初步了解微观和高速世界中的奇妙现象。
6．了解科学理论的相对性，体会科学理论是不断发展和完善的。
1.宇宙速度
(1)牛顿设想：如图所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
(2)人造地球卫星运动规律
一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它的万有引力提供。
(3)近地卫星速度
设地球质量为M，飞行器质量为m，绕地球做匀速圆周运动的线速度为v，轨道半径可以近似为地球半径R，飞行器运动所需的向心力由万有引力提供，即G＝m，解得v＝ ，代入数值后v＝7.9 km/s。
(4)三个宇宙速度
2．梦想成真
(1)1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星在苏联发射成功。
(2)1961年4月12日，苏联空军少校加加林进入了东方一号载人飞船，铸就了人类进入太空的丰碑。
(3)1969年7月，美国阿波罗11号飞船登上月球。
(4)2003年10月15日，我国神舟五号宇宙飞船发射成功，把中国第一位航天员杨利伟送入太空。
3．经典力学的局限性
(1)经典力学的成就
牛顿运动定律和万有引力定律在宏观、低速、弱引力的广阔领域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就。
(2)经典力学的局限性
①牛顿力学即经典力学，它只适用于宏观、低速运动的物体，不适用于微观和高速运动的物体。
②狭义相对论阐述了物体以接近光速运动时遵从的规律，得出了一些不同于经典力学的结论，如质量要随物体运动速度的增大而增大。
③20世纪20年代，建立了量子力学，它很好地描述了微观粒子的运动规律，并在现代科学技术中发挥了重要作用。
④爱因斯坦的广义相对论说明在强引力的作用下，牛顿的引力理论将不再适用。
判一判
(1)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。 ( )
(2)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。( )
(3)要发射一颗月球人造卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。( )
提示：(1)× 卫星绕地球做圆周运动飞行时的轨道半径越小，其线速度就越大，最大速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。
(2)√ 人造卫星的最小地面发射速度为7.9 km/s，即第一宇宙速度。
(3)× 若将某卫星在地面上以大于16.7 km/s的速度发射，该卫星会脱离太阳的束缚，而跑到太阳系以外的空间。
想一想
1.通常情况下，人造卫星总是向东发射的，为什么？
提示：由于地球的自转由西向东，如果我们顺着地球自转的方向，即向东发射卫星，就可以充分利用地球自转的惯性，节省发射所需要的能量。
2．洲际导弹的飞行速度可达6000 m/s、地球绕太阳公转的速度是3×104 m/s，这两个速度在狭义相对论中属于高速还是低速？
提示：狭义相对论中的高速是可以与光速相比拟的速度，6000 m/s、3×104 m/s的速度都远远小于光速，都属于狭义相对论中的低速。
课堂任务 宇宙速度
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
提示：越大。向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。
活动2：不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？
提示：不同天体的第一宇宙速度可能不同。由G＝m得第一宇宙速度v＝ 。可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R，中心天体不同，M和R就可能不一样，第一宇宙速度自然不一样。
活动3：要发射一颗火星人造卫星，在地面的发射速度应有什么要求？
提示：要达到第二宇宙速度才能脱离地球的束缚，而达到第三宇宙速度就跑出太阳系了。故发射火星人造卫星，发射速度v发理论上应满足：11.2 km/s≤v发<16.7 km/s。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)对三个宇宙速度的理解
①第一宇宙速度(环绕速度)：是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是物体的最小发射速度，其大小为7.9 km/s。
②第二宇宙速度(脱离速度)：在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕太阳系内其他星体运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s。
③第三宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力作用，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为16.7 km/s。
(2)第一宇宙速度的推导
已知地球的质量为M＝5.98×1024 kg，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。
方法一：万有引力提供向心力。由G＝m得v＝ ＝7.9 km/s。
方法二：重力提供向心力。由mg＝m得v＝＝7.9 km/s。
由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，可以说任何一颗星体都有自己的第一宇宙速度，都可以用v＝ 或v＝表示，式中G为引力常量，M为中心天体的质量，g为中心天体表面的重力加速度，R为中心天体的半径。
(3)发射速度与环绕速度
①“最小发射速度”与“最大环绕速度”
a．“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力，所以近地轨道卫星的发射速度(第一宇宙速度)是人造地球卫星的最小发射速度。
b．“最大绕行速度”：由G＝m可得v＝ ，轨道半径越小，线速度越大，所以近地卫星的线速度(第一宇宙速度)是地球卫星最大环绕速度。
c．7.9 km/s是人造卫星的最小发射速度也是地球卫星的最大环绕速度。
②发射速度与运行轨道
a．当v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。
b．当7.9 km/sc．当11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系一颗“小行星”，或绕太阳系内其他星体运动。
d．当v发≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去。
例1 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
(1)该探月卫星绕月运行的速率是什么？
提示：是月球的第一宇宙速度。
(2)怎么求月球的第一宇宙速度？
提示：与地球第一宇宙速度解法完全一样，只是中心天体的质量和卫星的轨道半径不一样。
[规范解答] 星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。由G＝m，得v＝ ，又由＝，＝得出：月球和地球第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，因此B项正确。
[完美答案] B
?1?不同天体的第一宇宙速度一般不同，第一宇宙速度是最小的发射速度，也是最大的环绕速度。
?2?第一宇宙速度有两种求法：用 求解，具体用哪种方法要看实际情况。
某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中。已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度。
答案
解析 根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g＝，该星球的第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg＝m，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝ 。
例2 (多选)中俄曾联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星，由于火箭故障未能成功。若发射成功，且已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的
(1)要发射火星探测器发射速度应有什么要求？
提示：要达到第二宇宙速度才能脱离地球的束缚，而达到第三宇宙速度就跑出太阳系了，故发射速度应满足：11.2 km/s≤v发<16.7 km/s。
(2)火星的第一宇宙速度怎么算？
提示：利用v＝ 。
[规范解答] 火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于等于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；绕火星运行的最大速度即为火星的第一宇宙速度，由G＝m得，v＝ ，已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝＝，D正确。
[完美答案] CD
(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案 CD
解析 根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于等于第一宇宙速度，A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚的地面最小发射速度，C正确；7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确。
课堂任务 人造地球卫星
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：人造地球卫星受什么力，它们的运行轨道有什么特点？
提示：人造地球卫星受地球的引力，围绕地球做圆周运动(有时也会做椭圆运动)。人造地球卫星运行圆轨道的圆心一定是地球的球心(椭圆轨道也必须以地球球心为焦点)。
活动2：地球同步卫星轨道和周期有什么特点？
提示：地球同步卫星要与地球同步，第一它必须是自西向东的运行方向，轨道平面一定和赤道平面重合(保证转动方向一致得与赤道平行，而圆心必须在地心就只能与赤道平面重合)。第二它的公转周期一定和地球自转的周期一样。
活动3：赤道上的物体和同步卫星做圆周运动的周期有什么特点，哪个线速度大？
提示：赤道上的物体和同步卫星转一圈都是一天也就是24小时。由于始终保持相对“静止”，所以它们周期相同，角速度也相同。由于v＝ωr，而同步卫星的轨道半径大，所以线速度也大。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)人造地球卫星的轨道
①轨道形状
a．椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上。
b．圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道上绕地球做匀速圆周运动。
②轨道位置：地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直，即通过极点时，称为极地轨道。
(2)地球同步卫星
①定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星。
②同步卫星特点：7个“一定”
a．绕行方向一定：同步卫星的运行方向与地球自转方向一致，即自西向东。
b．周期一定：同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。
c．角速度一定：同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度。
d．轨道平面一定：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面与赤道平面重合。
e．高度一定：同步卫星的高度h＝3.6×104 km。
由G＝m2r知r＝ 。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R为地球半径，h＝－R。又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝86400 s，g取9.8 m/s2，R＝6.38×106 m，得h＝3.6×104 km。
f．线速度大小一定：同步卫星的环绕速度大小为3.1×103 m/s。
设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝ ＝ ＝3.1×103 m/s。
g．向心加速度大小一定：同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度(0.23 m/s2)。
由G＝ma得a＝G＝gh＝0.23 m/s2。
注意：有些数据不必记忆，只需记住特点即可。
(3)人造地球卫星的运行规律类似行星运行规律
人造地球卫星绕地球做圆周运动，地球对卫星的引力提供向心力，由G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，可得v＝ 、ω＝ 、T＝2π、a＝，所以卫星的v、ω、a随r的增大而减小，周期T随r的增大而增大。
(4)同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
①同步卫星和近地卫星
相同点：都是万有引力提供向心力，即都满足G＝m＝mω2r＝mr＝man。
不同点：因同步卫星r较大，由上式比较各运动量的大小关系知道，同步卫星v、ω、an较小，T较大。
②同步卫星和赤道上物体
相同点：周期和角速度相同
不同点：向心力来源不同
对于同步卫星，有G＝m同an＝m同ω2r
对于赤道上物体，有G＝m赤g＋m赤ω2R，m赤·ω2R比m赤g要小很多。
由于做圆周运动的物体都有v＝ωr，an＝ω2r的规律，而r较大，所以同步卫星v、an较大。
赤道上物体不是卫星更不是近地卫星，不能用分析卫星的思路去分析求解问题。
例3 如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则( )
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCC．vA＝vCaB
(1)A、B、C相互有什么异同？
提示：A、C的周期相同，与B不同，B、C都是卫星而A不是。
(2)A、B怎么比较周期及其他物理量？
提示：需要借助C。
[规范解答] 同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA。同步卫星和近地卫星，根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA[完美答案] A
同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度和周期。当比较近地卫星和赤道上物体的运动规律时，往往借助同步卫星这一纽带，这样会使问题迎刃而解。
(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R则外层的环是土星的一部分
C．若v∝则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝则外层的环是土星的卫星群
答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确。
例4 如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T1、T2(T1(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？
(2)两卫星相距最远的时间是多少？
(1)当两卫星再次相距最近时有什么特点？
提示：快的比慢的恰好多转一圈。
(2)两卫星相距最远的位置情况怎样？
提示：两卫星相距最远时两星转过的角度差一定是π的奇数倍。
[规范解答] (1)依题意，T1设经过时间t两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差Δθ＝2π，即t－t＝2π，解得t＝。
(2)设经过时间t′两卫星相距最远，则它们运行的角度之差Δθ′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)
即t′－t′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)，解得t′＝(k＝0,1,2，…)。
[完美答案] (1) (2)(k＝0,1,2，…)
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。则：两卫星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)；同理，两卫星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2,3…)。
如图所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同。已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲同居地球一侧且两者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )
A.T B.T C.T D.T
答案 A
解析 由t＝2π且t＝9T，解得T乙＝T，A正确。
课堂任务 卫星变轨问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：卫星正常运行时在Ⅰ轨道上经过P点和在Ⅱ轨道上经过P速度、加速度一样大吗？
提示：速度大小不一样，在轨道Ⅱ上经过P点时的速度大些，因为经过Ⅰ轨道上的P点时必须要加速才能做离心运动到Ⅱ轨道上。根据牛顿第二定律和万有引力定律知，加速度一样大。
活动2：Ⅰ、Ⅱ轨道和Ⅱ、Ⅲ轨道交点处卫星的加速度和速度规律是什么？
提示：加速度相同，内轨速度小于外轨速度。
活动3：图中几个线速度的大小关系怎样？
提示：v3活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件
当卫星与火箭分离时，设卫星的速度为v，卫星距离地心为r，并设此时速度与万有引力垂直(通过地面控制可以实现)，如图所示，若卫星以速度v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为F向＝m，卫星受到的万有引力F＝G。
①当F＝F向时，卫星将做圆周运动。若轨道刚好是离地面最近的轨道，则可求出此卫星的发射速度或环绕速度v＝7.9 km/s。
②当F③当F>F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动。
因此，星、箭分离时的速度以及与地心的距离是决定卫星运行轨道的主要因素。
(2)人造卫星的轨道调整
如图所示，以卫星从近地圆轨道Ⅰ变轨到圆轨道Ⅲ为例加以分析。
卫星在圆轨道Ⅰ上稳定运行时满足G＝m(rA为A点到地心的距离)。若在
A点提高速度(卫星自带推进器可完成这个任务)至vA′，则有G(3)飞船对接问题
①低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道追上高轨道空间站与其完成对接。
②同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
例5 如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
(1)卫星在轨道1、轨道3上分别做什么运动？
提示：均做匀速圆周运动。
(2)卫星在轨道2上是做什么运动，从轨道1变轨到轨道2需要什么条件？
提示：卫星在轨道2上做椭圆运动，从轨道1变轨到轨道2需要做离心运动，所以要在轨道1上运动到Q点时加速。
[规范解答] 由G＝m＝mω2r得，v＝ ，ω＝ ，由于r1v3，ω1>ω3，A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，C错误，D正确。
[完美答案] D
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道上运行速度大小时，可根据v＝ (“越远越慢”)判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝判断。
“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是( )
A．T1>T2>T3 B．T1C．a1>a2>a3 D．a1答案 A
解析 卫星绕同一中心天体沿椭圆轨道(或圆轨道)运动时，周期的平方与半长轴(或圆轨道的半径)的立方成正比，故T1>T2>T3，A项正确，B项错误；不管沿哪一轨道运动到P点，卫星所受月球的引力都相等，由牛顿第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D两项均错误。
(多选)如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a加速可能会追上b
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大
答案 BD
解析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又由b、c轨道半径大于a轨道半径，v＝ ，可知vb＝vc＜va，故A错误；当a加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切(或相交)，且a、b同时来到切(或交)点时，a就追上了b，故B正确；当c加速时，c受到的万有引力F＜m，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b减速时，b受到的万有引力F＞m，它将偏离原轨道，做近心运动，所以c追不上b，b也等不到c，故C错误；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝可知，v逐渐增大，故D正确。
课堂任务 经典力学的局限性
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：飞机速度为0.6c时，在狭义相对论中属于低速还是高速？
提示：0.6c跟光速可以相比了，属于高速运动。
活动2：飞机以0.6c的速度飞行时，质量还是100 kg吗？
提示：在经典力学中，物体的质量是不随运动状态改变的，而狭义相对论指出，质量随着物体运动速度的增大而增大，当飞机以0.6c的速度飞行时质量会大于100 kg。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)低速与高速的概念
①低速：远小于光速的速度为低速，通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体的运动皆为低速运动。
②高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速。
(2)速度对质量的影响
①在经典力学中，物体的质量不随速度而变。根据牛顿第二定律F＝ma知，物体在恒力F作用下做匀变速运动，只要时间足够长，物体的运动速度就可以增加到甚至超过光速c。
②爱因斯坦的狭义相对论指出，物体的质量随速度的增大而增大，即m＝，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，c是真空中的光速。在高速运动时，质量的测量是与运动状态密切相关的。
(3)速度对物理规律的影响
对于低速运动问题，一般用经典力学规律来处理。对于高速运动问题，经典力学已不再适用，需要用相对论知识来处理。
①狭义相对论中，物体在静止时质量最小，随着运动速度的增加，它的质量也在不断变大，对于高速运动物体，牛顿运动定律已不再适用。
②根据相对论的质速关系，若某物体的运动速度达到光速c，它的质量应是无穷大，这显然不符合事实，光速c是所有物体的最大速度。
(4)经典力学与相对论、量子力学的比较
比较项
经典力学
相对论、量子力学
形成时期
物理学形成的初期阶段，受历史发展限制，理论较局限
形成于物理学充分发展的现代，理论较完善、科学
适用范围
低速运动、宏观世界，弱引力作用
任何情况都适用
速度对质
量的影响
物体的质量不随其速度的变化而变化
物体的质量随其速度的增大而增大
速度的
合成
时间与空间互不相干，关系式v船岸＝v船水＋v水岸成立
速度与位移、时间的测量有关，v船岸＝v船水＋v水岸不成立
引力规律
牛顿的万有引力定律认为物体间的引力符合“平方反比”规律
爱因斯坦引力理论认为物体间的引力不完全符合“平方反比”规律
例6 (多选)以下说法正确的是( )
A．经典力学理论普遍适用，大到天体，小到微观粒子均适用
B．经典力学理论的成立具有一定的局限性
C．在经典力学中，物体的质量不随运动状态的改变而改变
D．相对论与量子力学否定了经典力学理论
(1)经典力学的适用范围：适用于________物体的
________运动。
提示：宏观 低速
(2)量子力学和相对论的适用范围：适用于________。
提示：任何情况
(3)经典力学与相对论、量子力学的关系：经典力学是相对论和量子力学的特殊情况，即________物体的________运动情况。
提示：宏观 低速
[规范解答] 经典力学理论只适用于宏观、低速运动的物体，具有一定的局限性，A错误，B正确。经典力学研究的是低速运动的物体，物体的质量变化很小，可以认为不变，C正确。相对论和量子力学并不否定经典力学，而是认为经典力学是相对论，量子力学在一定条件下的特殊情形，D错误。
[完美答案] BC
如何解决经典力学局限性问题
解答此类问题时，应在理解的基础上记忆经典力学的成就和适用范围，以及经典力学与相对论和量子力学的关系。
(多选)20世纪以来，人们发现了一些新的事实，而经典力学却无法解释。经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题，只适用于宏观物体，一般不适用于微观粒子。这说明( )
A．随着认识的发展，经典力学已成了过时的理论
B．人们对客观事物的具体认识在广度上是有局限性的
C．不同领域的事物各有其本质与规律
D．人们应当不断扩展认识，在更广阔的领域内掌握不同事物的本质与规律
答案 BCD
解析 人们对客观世界的认识要受到所处的时代的客观条件和科学水平的制约，所以形成的看法也都具有一定的局限性，人们只有不断扩展自己的认识，才能掌握更广阔领域内的不同事物的本质与规律。新的科学的诞生并不意味着对原来科学的全盘否定，只能认为过去的科学是新的科学在一定条件下的特殊情形。A错误，B、C、D正确。
A组：合格性水平训练
1．(经典力学、量子力学和狭义相对论)下列说法中正确的是( )
A．经典力学适用于任何情况下的任何物体
B．狭义相对论否定了经典力学
C．量子力学能够描述微观粒子运动的规律性
D．万有引力定律也适用于强引力作用
答案 C
解析 经典力学只适用于宏观、低速、弱引力的情况，故A项错误；狭义相对论没有否定经典力学，在宏观低速、弱引力情况下，相对论的结论与经典力学没有区别，故B项错误；量子力学正确描述了微观粒子运动的规律性，故C项正确；万有引力定律只适用于弱引力作用，而对于强引力作用是不适用的，故D项错误。
2．(宇宙速度的理解)(多选)一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球运动，若使发射速度增大为2v，则该卫星可能( )
A．绕地球做匀速圆周运动
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙
答案 CD
解析 卫星以初速度v发射后能绕地球运动，可知发射速度v一定大于等于第一宇宙速度7.9 km/s而小于第二宇宙速度11.2 km/s；当以2v速度发射时，发射速度一定大于等于15.8 km/s且小于22.4 km/s，已超过了第二宇宙速度11.2 km/s，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳或太阳系其他星体运行，也可能飞到太阳系以外的宇宙，故A、B错误，C、D正确。
3．(宇宙速度的计算)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
答案 A
解析 根据题设条件可知：M地＝10M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力G＝m，可得v＝ ，即＝ ＝ ，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，A正确。
4．(卫星变轨问题)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
答案 A
解析 由G＝mr知T＝2π，变轨后T减小，则r减小，故A正确；由G＝ma知a＝，r减小，a变大，故B错误；由G＝m知v＝ ，r减小，v变大，故C错误；由ω＝知T减小，ω变大，故D错误。
5．(宇宙速度的计算)星球上的物体脱离星球引力所需的最小发射速度称为该星球的第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B. C. D.gr
答案 C
解析 物体在星球表面所受的重力近似等于物体在星球表面附近圆轨道上运动时所受的向心力，mg＝m得v1＝ 。再根据v2＝ v1得v2＝，故C项正确。
6．(卫星物理量的比较)四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较( )
A．a的向心加速度最大
B．相同时间内b转过的弧长最长
C．c相对于b静止
D．d的运动周期可能是23 h
答案 B
解析 赤道上面未发射的卫星a和同步卫星c相对静止，角速度相同，因为向心加速度a＝ω2r，rc>ra，所以ac>aa，A错误；根据线速度v＝rω可得vc>va，卫星b、c、d都是万有引力提供向心力，圆周运动线速度v＝，rd>rc>rb，所以vb>vc>vd，即b的线速度最大，相同时间内b通过的弧长最长，B正确；根据万有引力提供向心力可得ω＝ ，进而判断b、c角速度不等，所以c不可能相对于b静止，C错误；根据万有引力提供向心力可得T＝ ，同步卫星周期为24 h，因为d卫星的轨道半径比同步卫星大，所以运动周期比同步卫星长，大于24 h，D错误。
7. (综合)(多选)我国在轨运行的气象卫星有两类，如图所示，一类是极地轨道卫星——“风云1号”，绕地球做匀速圆周运动的周期为12 h，另一类是地球同步轨道卫星——“风云2号”，运行周期为24 h。下列说法正确的是( )
A．“风云1号”的线速度大于“风云2号”的线速度
B．“风云1号”的向心加速度大于“风云2号”的向心加速度
C．“风云1号”的发射速度大于“风云2号”的发射速度
D．“风云1号”“风云2号”相对地面均静止
答案 AB
解析 由＝k知，风云2号的轨道半径大于风云1号的轨道半径。由G＝m＝man得v＝ ，an＝，r越大，v越小，an越小，所以A、B正确。把卫星发射的越远，所需发射速度越大，C错误。只有同步卫星相对地面静止，所以D错误。
8. (卫星变轨问题)(多选)“神舟十一号”飞船与“天宫二号”实施自动交会对接。交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。则( )
A．“神舟十一号”须在Q点加速，才能在P点与“天宫二号”相遇
B．“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十一号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十一号”变轨后运行周期总大于变轨前的运行周期
答案 BD
解析 卫星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr，解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，可知轨道半径越大，v、ω越小，周期越大，所以“神舟十一号”在变轨后速度变小，周期变大，故C错误，D正确。“神舟十一号”在低轨道，适度加速可实现与“天宫二号”对接，但在Q点加速后速度仍沿轨道切线方向，故不会在P点与“天宫二号”相遇，在M点经一次加速，即可变轨到轨道2，故A错误，B正确。
9．(卫星各物理量的计算)一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知地球的第一宇宙速度为v1＝7.9 km/s，g＝9.8 m/s2。
(1)这颗卫星运行的线速度为多大？
(2)它绕地球运动的向心加速度为多大？
(3)质量为1 kg的仪器放在卫星内的平台上，仪器的重力为多大？它对平台的压力有多大？
答案 (1)5.6 km/s (2)2.45 m/s2 (3)2.45 N 0
解析 (1)卫星在近地圆轨道上运行时，
有G＝m
卫星在离地面的高度为R处的圆形轨道上运行时，
有G＝m
由以上两式得v2＝＝ km/s≈5.6 km/s。
(2)卫星离地面的高度为R时，有G＝ma
靠近地面时，有G＝mg，解得a＝g＝2.45 m/s2。
(3)在卫星内，仪器的重力等于地球对它的吸引力，则
G′＝m仪g′＝m仪a＝1×2.45 N＝2.45 N
由于卫星内仪器的重力完全用于提供做圆周运动所需的向心力，仪器处于完全失重状态，所以仪器对平台的压力为零。
B组：等级性水平训练
10．(卫星物理量的比较)设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r。下列说法中正确的是( )
A．a与c的线速度大小之比为
B．a与c的线速度大小之比为
C．b与c的周期之比为
D．b与c的周期之比为
答案 D
解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度大小之比为，A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π 可得，二者周期之比为 ，C错误，D正确。
11. (卫星变轨问题)(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步卫星圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步卫星轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步卫星轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
答案 CD
解析 设三个轨道的半径(或半长轴)分别为r1、r2、r3，卫星在椭圆形转移轨道的近地点P点时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1，在P点变轨需要加速；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3＜v4，在Q点变轨也要加速，故A、B错误；又由人造卫星做圆周运动的线速度v＝ 可知v1＞v4，由以上所述可知D正确；由于轨道半径(或半长轴)r1＜r2＜r3，由开普勒第三定律＝k(k为常量)得T1＜T2＜T3，故C正确。
12．(卫星相遇问题)一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r＝3R(R为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为ω0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？
答案 6π
解析 由万有引力定律和牛顿定律可得
G＝m·3R①
又G＝mg②
联立①②两式，可得T＝6π 。
以地面为参考系，卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为2π，卫星相对地面的角速度为ω1－ω0，其中ω1＝，设经过时间t，该卫星再次出现该建筑物上方，则(ω1－ω0)t＝2π，得t＝。
13．(综合)我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星构成的卫星通信系统。
(1)若已知地球的平均半径为R0，自转周期为T0，地表的重力加速度为g，试求同步卫星的轨道半径R；
(2)有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步卫星轨道半径R的四分之一，试求该卫星至少每隔多长时间才在同一地点的正上方出现一次。(计算结果只能用题中已知物理量的字母表示)
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故G＝m2R①
同步卫星的周期为T＝T0②
而在地球表面，质量为m′的物体的重力近似等于万有引力，有
m′g＝G③
由①②③式解得R＝。
(2)由①式可知T2∝R3，设低轨道卫星运行的周期为
T′，则＝，因而T′＝，设该卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt，得t－t＝2π，解得t＝，即该卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次。
课件134张PPT。第3节 楞次定律01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第四节 万有引力理论的成就
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．掌握计算天体质量和密度的基本思路。
3．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路。
4．掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系。
5．掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法。
1.计算天体的质量
(1)地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，则M＝，由于g、R、G已经测出，因此可计算出地球的质量。
(2)太阳质量的计算
利用某一行星：测出该行星的轨道半径和公转周期，由于行星的运动可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝mr由此可得太阳质量M＝。
(3)其他行星质量的计算
利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的距离和卫星绕行星运动的周期，同样可得出行星的质量。
2．发现未知天体
(1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
(2)其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
判一判
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。( )
(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。( )
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。( )
提示：(1)× 人们依据万有引力定律计算轨道发现的是海王星等，不是天王星。
(2)√ 海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。
(3)× 计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。
想一想
1969年7月20日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图)，迈出了人类征服宇宙的一大步。
(1)宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球的质量？
(2)宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球质量？
提示：(1)设月球质量为M，则F＝G，故M＝。
(2)设月球质量为M，宇航员与指令舱总质量为m′，由万有引力提供向心力，得G＝m′R，则得M＝。
课堂任务 天体质量和密度的计算
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图中卡文迪许“能称出地球质量”是怎么一回事？
提示：卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值。若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。由mg＝G得：M＝，知道了引力常量G、代入数据(地球表面g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6400 km)，就可以算出地球的质量M＝6.0×1024 kg。
活动2：乙图中太阳的质量可以用活动1的方式来计算吗？
提示：如果知道相应的数据也可以，但直接数据不好获得，可以有更好的方法来计算。如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，可以利用太阳对地球的万有引力提供地球需要的向心力来求太阳质量。由G＝m地r得M太＝。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)天体质量的计算
①重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
②环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
(2)天体密度的计算
方法1：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝，那么由ρ＝及V＝πR3求得天体的密度ρ＝。
方法2：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝及V＝πR3求得中心天体的密度ρ＝。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。ρ＝给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是千万要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期。
注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指行星(或卫星)距离中心天体表面的高度，r＝R＋h。
例1 土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
(1)土星“光环”的外缘颗粒为什么能绕土星做圆周运动？
提示：这些颗粒受到土星的万有引力，万有引力提供了颗粒绕土星做圆周运动的向心力。
(2)用什么方式来计算土星的质量？
提示：可以把土星周围的这些颗粒当做土星的卫星，找到其轨道半径和绕土星运动的周期，利用“环绕法”来求出土星的质量。
[规范解答] 土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r为轨道半径，大小为1.4×105 km，T为绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。
[完美答案] D
若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由G＝mr得M∝，则＝·＝，A正确。
例2 (多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子，正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
(1)由图片中火星的质量和直径能求火星密度吗？由重力加速度呢？
提示：知道直径就可以计算体积，又知道质量，由ρ＝可以直接求火星密度。知道重力加速度和直径也可以通过“重力加速度法”求火星密度。
(2)火星近地卫星的周期与火星密度有什么关系？
提示：ρ＝。
[规范解答] 由ρ＝，V＝π3，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π3，联立解得ρ＝，A正确；根据近地卫星的周期与中心天体密度的关系ρ＝可知，C正确。
[完美答案] ACD
天体密度的计算可以说是天体质量计算的延伸，它可以借助于天体质量的计算，也可以用自己特有的规律进行运算。
近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
答案 D
解析 根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，D正确。
课堂任务 天体运动各物理量与轨道半径的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：地球绕太阳转一周的时间和金星、火星相比是长还是短呢？
提示：无论地球、金星还是火星，它们绕太阳的运动都是万有引力提供向心力：G＝m2r。由此可得出T＝2π ，即r越大，T越大。故地球绕太阳一周的时间比金星长，比火星短。
活动2：如果知道地球绕太阳公转的半径和太阳的质量，我能知道地球公转的线速度吗？
提示：可以。仍然利用万有引力提供向心力，即G＝m，由此可得出v＝。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)天体运动的分析与计算
①基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。
②常用关系：a.G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
b．忽略自转时，G＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。
(2)天体运动的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
①由G＝m得v＝，r越大，v越小。
②由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
③由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大。
④由G＝ma得a＝，r越大，a越小。
以上结论可总结为：“一定则四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远则越慢”。
例3 俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )
A．甲的运行周期一定比乙的长
B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小
D．甲的向心加速度一定比乙的大
(1)中心天体相同的两个环绕天体，速率大的半径如何？
提示：速率大的半径小。
(2)由环绕天体轨道半径的情况可以判断哪些物理量？
提示：由轨道半径可以知道v、ω、T、a的情况。
[规范解答] 甲的速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的轨道半径小，距地面的高度小，故B错误；由G＝mr，得T＝ ，可知甲的运行周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；由＝ma，得a＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D正确。
[完美答案] D
同一中心天体的环绕天体的v、ω、T、a的情况由轨道半径r确定。以r为分析的核心，由于是唯一确定，随便知道哪个已知量，剩下的四个物理量也都确定了。
有的天文学家倾向于把太阳系外围较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
答案 (1) (2)
解析 (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有：G＝m2r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π ，
则两天体绕太阳的公转周期之比＝ 。
课堂任务 双星问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：什么是双星系统？
提示：两个离得比较近的天体，在彼此间的万有引力作用下绕两者连线上的某一点为圆心做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星系统。如图甲所示。
活动2：双星系统的向心力由什么力来提供？
提示：两颗星的万有引力提供彼此的向心力，所以两颗星的向心力大小是相等的。
活动3：双星的角速度、周期一样吗？
提示：双星总是在它们连线的两个端点，相同时间一定转同样圈数，其角速度、周期是一样的。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)双星系统：两个离得比较近的天体，在彼此间的万有引力作用下绕着两者连线上某一点做匀速圆周运动，两者的距离不变，这样的两颗星组成的系统称为双星系统。
(2)双星系统的特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
②两颗星的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
(3)双星的两个结论
①运动半径与质量成反比，即＝；②质量之和：m1＋m2＝。
例4 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
(1)双星靠什么提供它们运转的向心力？
提示：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供。
(2)双星角速度有什么特点？
提示：相等。
[规范解答] 由双星系统的特点可知r1＋r2＝L，
对m1：G＝m1ω2r1；对m2：G＝m2ω2r2。
联立解得r1＝，r2＝
再由G＝m1r1及r1＝，
解得周期T＝ 。
[完美答案] r1＝ r2＝
T＝
两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
答案
解析 设两星球质量分别为m1和m2，做圆周运动的半径分别为r1和r2，
则由万有引力提供向心力得G＝m1r1①
G＝m2r2②
且r1＋r2＝R③
由①②③式联立可得m1＋m2＝。
A组：合格性水平训练
1．(发现未知天体)(多选)下面说法中正确的是( )
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
答案 ACD
解析 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星。故A、C、D正确，B错误。
2．(天体运动各参量的比较)科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
答案 A
解析 由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面。故A正确。行星的自转周期、质量和密度都只与行星本身有关，而与绕中心天体如何运行无关，B、C、D错误。
3．(天体运动各参量的比较)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案 D
解析 根据G＝m2r＝m＝ma＝mω2r得：公转周期T＝2π ，公转线速度v＝ ，公转加速度a＝，公转角速度ω＝ ，分析可得A、B、C错误，D正确。
4．(天体密度的计算)地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 地球表面有G＝mg，得M＝ ①，又由ρ＝＝ ②，由①②得出ρ＝。故选A。
5．(天体质量的计算)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
答案 AD
解析 根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有G＝m，整理可得M＝，故A正确；由于卫星的质量m对圆周运动无影响，故B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则G＝m2r，整理得M＝，故D正确。
6．(天体运动各参量的比较)两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为( )
A. B．q C．p D．q
答案 D
解析 卫星在行星表面做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：G＝m2R，得T＝，解得：＝q ，故D正确。
7. (双星问题)(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝1∶2
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
答案 AC
解析 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω，设A、B之间的距离为L。根据牛顿第二定律，对A星：G＝mAω2rA ①；对B星：G＝mBω2rB ②，联立①②得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1，A正确；根据双星系统的特点有：角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，B错误；由v＝ωr得线速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，C正确；向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，D错误。
8．(综合)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动
h＝g月t2，可得g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝。
(3)月球的密度ρ＝＝＝。
9. (双星问题)太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星(M＞m)在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。
(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。
答案 (1)见解析 (2)a
解析 (1)恒星运动的轨道和位置大致如图。
(2)设恒星与点C间的距离为RM，
对行星m：F＝mω2a①
对恒星M：F′＝Mω2RM②
根据牛顿第三定律，F与F ′大小相等。
又由①②得：RM＝a③
对恒星M：G＝M
代入③式得：v＝ 。
B组：等级性水平训练
10．(天体运动各参量的关系)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列关系式错误的是( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
答案 B
解析 因v＝，所以r＝，C正确；结合万有引力定律公式G＝m，可解得恒星的质量M＝，A正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，B错误；行星的加速度a＝＝v2·＝，D正确。
11．(天体质量的计算)“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝，故选A。
12．(综合)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M。现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G。
(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，若忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？
(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？
答案 (1) (2)－M
解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1，
有G＝m1，解得v1＝ 。
(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m2，
则有G＝m2R2，
解得m卫＝－M。
13．(综合)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星。设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内绕地球运转多少圈？
答案
解析 设地球质量为M，“高分一号”质量为m。
在地球表面未发射时：G＝mg①
在轨道上：G＝m(R＋h)②
由①②解得T＝2π
故n＝＝ 。
课件88张PPT。第四节 万有引力理论的成就01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第六章 章末检测卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，第1～8小题，只有一个选项符合题意；第9～12小题，有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对而不全的得2分，错选或不选的得0分)
1．物理学发展历史中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是( )
A．哥白尼 B．第谷
C．伽利略 D．开普勒
答案 D
解析 哥白尼提出了日心说，伽利略发明了望远镜，发现了围绕木星转动的卫星，进一步表明地球不是所有天体运动的中心，第谷对行星运动进行了大量的观察和记录，开普勒在第谷的观察记录的基础上提出了行星运动的三个定律，D正确，A、B、C错误。
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，A错误；根据开普勒第二定律可知，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，可推知行星的运行速度大小是变化的，B、D错误；根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，C正确。
3.澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约14光年的红矮星wolf 1061周围发现了三颗行星b、c、d，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视为圆，如图所示。已知万有引力常量为G。下列说法不正确的是( )
A．可求出b、c的公转半径之比
B．可求出c、d的向心加速度之比
C．若已知c的公转半径，可求出红矮星的质量
D．若已知c的公转半径，可求出红矮星的密度
答案 D
解析 行星b、c的公转周期分别为5天、18天，根据开普勒第三定律公式＝k，可以求解出轨道半径之比，A正确；由上述同理可求出c、d的公转半径之比，根据万有引力等于向心力列式，对行星c、d，有G＝man，故可以求解出c、d的向心加速度之比，B正确；已知c的公转半径和周期，根据牛顿第二定律，有G＝mr，可以求解出红矮星的质量，但不知道红矮星的体积，无法求解红矮星的密度，C正确，D错误。
4．2015年12月29日，“高分四号”对地观测卫星升空。这是中国“高分”专项首颗高轨道高分辨率、设计使用寿命最长的光学遥感卫星，也是当时世界上空间分辨率最高、幅宽最大的地球同步轨道遥感卫星。下列关于“高分四号”地球同步卫星的说法中正确的是( )
A．该卫星定点在北京上空
B．该卫星定点在赤道上空
C．它的高度和速度是一定的，但周期可以是地球自转周期的整数倍
D．它的周期和地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小
答案 B
解析 地球同步卫星若在除赤道所在平面外的任意点实现了“同步”，那它的运动轨道与受到的地球的引力就不在一个平面上，不可能做圆周运动，因此地球同步卫星在赤道的正上方，A错误，B正确；因为同步卫星要和地球自转同步，即它们的T和ω都相同，根据G＝m＝mω2r，因为ω一定，所以r必须固定，且v也固定，C、D错误。
5.如图所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km。进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2。当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，比较飞船在M、N、P(P在圆轨道上)三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )
A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力，即G＝ma得：a＝，由图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，根据G＝m得：v＝，又因为r1＜r3，所以v1＞v3，故v1＞v3＞v2。故选D。
6.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造地球卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2380 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
答案 D
解析 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，D正确。
7.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在地球同一侧并在过地心的直线上，如图所示，当卫星B经过一个周期时( )
A．各卫星角速度相等，因而三星仍在一直线上
B．A超前于B，C落后于B
C．A超前于B，C超前于B
D．A、C都落后于B
答案 B
解析 由G＝mω2r，可知ω＝ ，可见A错误；由T＝，可知T∝，所以TA8．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的小
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
答案 D
解析 探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G＝m，得v＝ ，则摆脱星球引力束缚时的发射速度v＝ ，与探测器的质量无关，A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G＝，比火星对探测器的引力F2＝G大，B错误；探测器脱离地球时的发射速度v1＝＝，脱离火星时的发射速度v2＝ ，v2＜v1，C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，D正确。
9.如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．速度大 B．向心加速度大
C．运行周期长 D．角速度小
答案 CD
解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝man＝m＝mr＝mω2r，所以an＝，v＝ ，T＝ ，ω＝ 。因为r1v2，an1>an2，T1ω2，A、B错误，C、D正确。
10．科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最大)( )
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运行的周期将变大
D．月球绕地球运行的周期将变小
答案 BD
解析 万有引力公式F＝G中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，开采前地球质量大于月球质量，所以当M增大而m减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故A错误，B正确；又G＝mr，T＝，M增大，则T减小，故C错误，D正确。
11.图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船(周期约90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝
答案 AD
解析 乙和丙都是人造卫星，由G＝mr得T＝ ，由题目知T丙>T乙，所以r丙>r乙，由G＝ma＝m可得a＝，v＝ ，所以a乙>a丙，v乙>v丙，B错误；又因为甲和丙的角速度相同，由a＝ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A正确；甲是赤道上的一个物体，不是近地卫星，故不能由ρ＝计算地球的密度，C错误；由G＝mr乙可得，地球质量M＝，D正确。
12.如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为G
B．一颗卫星对地球的引力大小为G
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
答案 BC
解析 地球对一颗卫星的引力等于一颗卫星对地球的引力，由万有引力定律得其大小为G，故A错误，B正确；任意两颗卫星之间的距离L＝r，则两颗卫星之间的引力大小为，C正确；三颗卫星对地球的引力大小相等且三个力互成120°，合力为0，故D错误。
第Ⅱ卷(非选择题，共52分)
二、填空题(本题共2小题，共12分)
13．(6分)两行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA∶MB＝2∶1，两行星半径之比RA∶RB＝1∶2，则两个卫星的线速度之比va∶vb＝________，周期之比Ta∶Tb＝________，向心加速度之比aa∶ab＝________。
答案 2∶1 1∶4 8∶1
解析 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，有：G＝m＝mR＝ma，得v＝ ，T＝2π ，a＝，故＝ ·＝，＝·＝，＝·＝。
14．(6分)有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则星球半径与地球半径之比为________，星球质量与地球质量之比为________。
答案 4∶1 64∶1
解析 由G＝mg，得M＝，所以ρ＝＝＝，可得R＝，所以＝＝。根据M＝，得＝·＝。
三、计算题(本题共4小题，共40分。要有必要的文字说明和演算步骤。有数值计算的题注明单位)
15. (9分)如图所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
(1)A的线速度大小v1；
(2)A、B的角速度之比。
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球质量为M，卫星A质量为m，由万有引力提供向心力，对A有：
G＝m①
在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G②
由①②得v1＝
(2)由G＝m卫ω2(R＋h)，得ω＝
所以A、B的角速度之比＝ 。
16．(10分)在某个半径为R＝1.0×105 m的行星表面，对于一个质量m＝1 kg的砝码，用弹簧测力计称量，其重力的大小G＝1.6 N。则：
(1)请您计算该星球的第一宇宙速度v1；
(2)请计算该星球的平均密度。
答案 (1)400 m/s (2)5.7×104 kg/m3
解析 (1)设该行星表面的重力加速度为g，g＝＝1.6 m/s2，
对在行星表面附近圆轨道上运动的质量为m′的卫星，其重力提供向心力，有：m′g＝m′，解得：v1＝，
代入数值得第一宇宙速度：v1＝400 m/s。
(2)由m′g＝G得M＝，
又V＝πR3，所以平均密度ρ＝＝，
代入数据解得ρ＝5.7×104 kg/m3。
17．(10分)某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，问：(g地取10 m/s2)
(1)该星球表面的重力加速度g星是多少？
(2)射程应为多少？
答案 (1)360 m/s2 (2)10 m
解析 (1)根据G＝mg得g＝。
因为星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，
则＝·2＝36。
则星球表面的重力加速度g星＝36g地＝360 m/s2。
(2)根据h＝gt2得，t＝ ，
知平抛运动的时间之比＝。
根据x＝v0t知，水平射程之比＝。
所以x星＝x地＝10 m。
18．(11分)由于银河系外某双黑洞系统的合并，北京时间2016年2月11日，美国国家科学基金会(NSF)宣布人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦的预言。其实中国重大引力波探测工程“天琴计划”也已经于2015年7月份正式启动，“天琴计划”的其中一个阶段就是需要发射三颗地球高轨卫星进行引力波探测，假设我国发射的其中一颗高轨卫星以速度v沿圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，地球半径为R，引力常量为G，根据以上所给条件，试求：
(1)地球的质量M；
(2)地球的平均密度。
答案 (1) (2)
解析 (1)设卫星的轨道半径为r，地球卫星做匀速圆周运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝mr，
又v＝
联立解得M＝
(2)地球的平均密度ρ＝，其中地球体积V＝πR3，
又地球质量M＝，联立解得ρ＝。
课件41张PPT。第六章 章末检测卷第六章 高考真题集训
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
2．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
3．(2019·天津高考) 2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
答案 A
解析 探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A正确；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
4．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
5．(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，因为与“高分四号”相比，“高分五号”的轨道半径较小，所以“高分五号”的T较小，a、ω、v较大，A正确，B、C、D错误。
6．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
7．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，半径为R，体积为V，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：G≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
8．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，地球半径为r，苹果质量为m，则月球受到地球的万有引力为F月＝G，苹果受到地球的万有引力为F＝G，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故两力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律G＝M月a月，G＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径和质量未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，也无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故C、D错误。
9．(2018·天津高考)(多选) 2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、 B错误；由G＝mr，解得r＝ ，而r＝R＋h，GM＝gR2，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
10．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
11．(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有G＝mg，可得M＝，A项能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向心力，由G＝，vT＝2πR，解得M＝，B项能求出地球质量；由G＝m月2r，解得M＝，C项能求出地球质量；由G＝M2r地，会消去两边的M，故D项不能求出地球质量。故选D。
12．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 根据万有引力提供向心力有＝m2r＝m＝ma，可得周期T＝，速率v＝，向心加速度a＝，对接前后，轨道半径不变，则周期、速率、向心加速度均不变，质量变大，则动能变大，C正确，A、B、D错误。
13．(2017·江苏高考)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A．角速度小于地球自转角速度
B．线速度小于第一宇宙速度
C．周期小于地球自转周期
D．向心加速度小于地面的重力加速度
答案 BCD
解析 根据G＝mω2r知，“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，而同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，所以“天舟一号”的角速度大于地球自转的角速度，周期小于地球自转的周期，A错误，C正确；第一宇宙速度为最大环绕速度，所以“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，B正确；地面重力加速度为g＝，而“天舟一号”的向心加速度a＝，小于地面的重力加速度g，D正确。
14．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒行星运动定律是开普勒在天文观测数据的基础上总结的，选项A错误，B正确；牛顿找到了行星运动规律的原因，发现了万有引力定律，选项C、D错误。
15．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
答案 B
解析 根据题意，地球自转周期变小时，同步卫星周期变小，轨道半径变小，卫星之间连线对地球的张角为60°且在如图所示的位置时，能实现题目中目的的同时保证地球自转周期最小。根据sin30°＝，可得r＝2R，根据开普勒第三定律＝k，地球自转周期变化前同步卫星的周期T1＝24 h，半径r1＝6.6R，故＝，解得周期约为4 h，选项B正确。
16．(2015·四川高考)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比( )
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A．火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
答案 B
解析 火星和地球都是绕太阳做匀速圆周运动，由太阳对它们的万有引力提供其做圆周运动的向心力，可知G＝M2r，得公转周期公式T＝ ，对同一中心天体，环绕天体的轨道半径越大，公转周期越大，A项错误；根据公转向心加速度公式a＝，环绕天体的轨道半径越大，公转向心加速度越小，B项正确；对于天体表面的重力加速度，由g＝，代入数据得g地>g火，C项错误；由第一宇宙速度公式v1＝，代入数据得v1地>v1火，D项错误。
二、填空题
17. (2017·天津高考)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g，且不考虑地球自转的影响。则组合体运动的线速度大小为________，向心加速度大小为________。
答案 R
解析 在地球表面附近，物体所受重力和万有引力近似相等，有G＝m0g，组合体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝m＝ma，联立解得：线速度v＝R ，向心加速度a＝。
课件36张PPT。第六章 高考真题集训
