第七章 章末检测卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，第1～8小题，只有一个选项符合题意；第9～12小题，有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对而不全的得2分，错选或不选的得0分)
1．如图所示的四幅图是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的是( )
答案 B
解析 只有同时满足有力及在力的方向上有位移两个条件时，力对物体才做功，A、C、D做功，B没有做功，选B。
2．下列说法中正确的是( )
A．能就是功，功就是能
B．做功越多，物体的能量就越大
C．外力对物体不做功，这个物体就没有能量
D．能量转化的多少可以用做功来量度
答案 D
解析 功和能是两个不同的概念，做功的多少只是说明了能量转化的多少而不能说明能量的多少，外力做功与否不能说明物体能量的有无，功是能量转化的量度，故只有D正确。
3．运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )
A．阻力对系统始终做负功
B．系统受到的合外力始终向下
C．重力做功使系统的重力势能增加
D．任意相等的时间内重力做的功相等
答案 A
解析 阻力始终与运动方向相反，做负功，所以A正确。加速下降时合外力向下，而减速下降时合外力向上，所以B错误。重力做功，重力势能减小，则C错误。时间相等，但物体下落距离不同，重力做功不等，所以D错误。
4．质量为m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v-t图象如图所示，g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
答案 B
解析 由图象可得：0～2 s内物体做匀减速直线运动，加速度大小为a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速过程有F＋f＝ma1；2～4 s内物体做匀加速直线运动，加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，有F－f＝ma2，解得f＝40 N，F＝60 N，故A错误。物体在4 s时拉力的瞬时功率为P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正确。4 s内物体通过的位移为x＝ m＝8 m，拉力做功为W＝－Fx＝－480 J，故C错误。4 s内物体通过的路程为s＝ m＝12 m，克服摩擦力做功为Wf＝fs＝40×12 J＝480 J，故D错误。
5．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力，不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化的关系是( )
答案 C
解析 物体机械能的增量等于恒力做的功，恒力做功WF＝Fh，h＝at2，则有外力作用时，物体机械能随时间变化的关系为E＝Fat2。撤去恒力后，物体机械能不变，故C正确。
6．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－mv2 B.mv2－mgh
C．－mgh D．－
答案 A
解析 由A到C的过程运用动能定理可得：－mgh＋W＝0－mv2，所以W＝mgh－mv2，故A正确。
7．如图所示，小球以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，小球经过轨道连接处无机械能损失，则小球经过A点时的速度大小为( )
A. B.
C．v－2gh D.
答案 B
解析 小球从A到B，由动能定理得－Wf－mgh＝0－mv，从A经B返回A，由动能定理得－2Wf＝mv2－mv，联立解得v＝，B正确。
8．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B. C. D.
答案 C
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，C正确。
9．如图，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h。下列说法中正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0)( )
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
C．若把斜面弯成圆弧形AD，物体仍沿圆弧升高h
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
答案 BD
解析 在光滑斜面运动到B点的过程中，系统机械能守恒，若把斜面CB部分截去，物体从A点运动到C点后做斜上抛运动，到达最高点时有水平方向的分速度，则物体上升不到h高度，故A错误；而把斜面AB变成曲面AEB，物体到达最高点速度仍为零，物体可达最大高度h，即到达B点，故B正确；而沿圆弧形AD，物体做圆周运动，到达最高点需要有个最小速度，所以物体不能沿圆弧升高h，故C错误；若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升到最高点时速度有可能为0，即上升的最大高度有可能仍为h，故D正确。
10．物体沿直线运动的v-t关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则( )
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
答案 CD
解析 由题图知第1秒末、第3秒末、第7秒末速度大小关系：v1＝v3＝v7，由题知W＝mv－0，则由动能定理得从第1秒末到第3秒末合外力做功W2＝mv－mv＝0，故A错误；从第3秒末到第5秒末合外力做功W3＝mv－mv＝0－mv＝－W，故B错误；从第5秒末到第7秒末合外力做功W4＝mv－0＝mv＝W，故C正确；从第3秒末到第4秒末合外力做功W5＝mv－mv＝m2－mv＝－0.75W，故D正确。
11．一个质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同。则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为( )
A．Δv＝0 B．Δv＝12 m/s
C．W＝0 D．W＝10.8 J
答案 BC
解析 速度是矢量，速度的变化量也是矢量，反弹后小球的速度与碰前速度等值反向，则速度变化量为－v－v＝－2v(设碰撞前速度方向为正)，其大小为Δv＝2v＝12 m/s，故B正确。反弹前、后小球的动能没有变化，即ΔEk＝0，根据动能定理：物体受合外力做功等于物体动能的变化，而碰撞过程中小球只受重力和墙的作用力，重力做功为0，则墙对小球做功，W＝ΔEk＝0，故C正确。
12．图甲所示为索契冬奥会上为我国夺得首枚速滑金牌的张虹在1000 m决赛中的精彩瞬间。现假设某速滑运动员某段时间内在直道上做直线运动的速度—时间图象可简化为图乙，已知运动员(包括装备)总质量为60 kg，在该段时间内受到的阻力恒为总重力的0.1倍，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．在1～3 s内，运动员的加速度为0.5 m/s2
B．在1～3 s内，运动员获得的动力是30 N
C．在0～5 s内，运动员的平均速度是12.5 m/s
D．在0～5 s内，运动员克服阻力做的功是3780 J
答案 AD
解析 1～3 s内加速度的大小为a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，A正确；根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得动力的大小F＝0.1mg＋ma＝60 N＋30 N＝90 N，故B错误；0～5 s内的位移x＝12×1 m＋×(12＋13)×2 m＋13×2 m＝63 m，则＝＝ m/s＝12.6 m/s，C错误；Wf＝f·x＝0.1×60×10×63 J＝3780 J，D正确。
第Ⅱ卷(非选择题，共52分)
二、实验题(本题共2小题，共12分)
13．(4分)某同学做“探究合力做的功和物体速度变化的关系”的实验装置如图甲所示，小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行。用1条橡皮筋对小车做的功记为W，当用2条、3条……完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次……实验时，每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致。实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出。
如图乙所示是某次操作正确的情况下，在频率为50 Hz的电源下打点计时器记录的一条纸带，为了测量小车获得的速度，应选用纸带的________(填“A～F”或“F～I”)部分进行测量，速度大小为________ m/s。
答案 F～I 0.76
解析 小车获得的速度应为橡皮筋对小车作用完毕时小车的速度，此时小车做匀速直线运动，故应选F～I段进行测量。速度大小v＝ m/s＝0.76 m/s。
14．(8分)“验证机械能守恒定律”的实验采用重物自由下落的方法。(g取10 m/s2)
(1)用公式mv2＝mgh时，对纸带上起点的要求是初速度为________，为达到此目的，所选择的纸带第1、2两点间距应接近________(打点计时器打点的时间间隔为0.02 s)。
(2)若实验中所用重物质量m＝1 kg，打点纸带如图甲所示，打点时间间隔为0.02 s，则记录B点时，重物速度vB＝________，重物的动能EkB＝________，从开始下落至B点，重物的重力势能减少量是________，因此可得出的结论是__________________________。
(3)根据纸带算出相关各点的速度值，量出下落的距离，则以为纵轴，以h为横轴画出的图线应是图乙中的________。
答案 (1)0 2 mm (2)0.59 m/s 0.174 J 0.176 J 在实验误差允许的范围内，重物动能的增加量等于重力势能的减少量 (3)C
解析 (1)用mv2＝mgh验证机械能守恒定律，应使初速度为0，所选纸带的第1、2两点间距应接近2 mm。
(2)vB＝＝ m/s＝0.59 m/s，
EkB＝mv＝×1×0.592 J≈0.174 J，
重力势能减少量ΔEp＝mgh＝1×10×17.6×10－3 J＝0.176 J，这说明在实验误差允许的范围内，重物动能的增加量等于重力势能的减少量。
(3)由mv2＝mgh可得＝gh∝h，故C正确。
三、计算题(本题共4小题，共40分。要有必要的文字说明和演算步骤。有数值计算的题注明单位)
15．(9分)如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m的O点。现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)细绳能承受的最大拉力；
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；
(3)小球落地瞬间速度的大小。
答案 (1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
解析 (1)根据机械能守恒定律得mgL＝mv
由牛顿第二定律得F－mg＝m
解得最大拉力F＝3mg＝60 N，
根据牛顿第三定律可知，细绳能承受的最大拉力为60 N。
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且H－L＝gt2
故t＝＝ s＝1 s。
(3)整个过程，小球的机械能不变，故mgH＝mv
所以vC＝＝ m/s＝11 m/s。
16．(9分)如图所示，半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A点，质量为m＝1 kg的小物体(可视为质点)在水平拉力F的作用下，从静止开始由C点运动到A点，物体从A点进入半圆轨道的同时撤去外力F，物体沿半圆轨道通过最高点B后做平抛运动，正好落在C点，已知xAC＝2 m，F＝15 N，g取10 m/s2，试求：
(1)物体在B点时的速度大小以及此时半圆轨道对物体的弹力大小；
(2)物体从C到A的过程中，摩擦力做的功。
答案 (1)5 m/s 52.5 N (2)－9.5 J
解析 (1)设物体在B点的速度为v，由B到C做平抛运动
2R＝gt2，xAC＝vt，
解得v＝5 m/s
由牛顿第二定律有FN＋mg＝m，解得FN＝52.5 N
(2)从A到B，由机械能守恒得mv＝mv2＋mg·2R
由C到A应用动能定理可得FxAC＋Wf＝mv－0，
联立解得Wf＝－9.5 J。
17．(10分)如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图象如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW 不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。
(1)求汽车在AB路段上运动时所受的阻力Ff1；
(2)求汽车刚好到达B点时的加速度a；
(3)求BC路段的长度。
答案 (1)2000 N (2)－1 m/s2 (3)68.75 m
解析 (1)汽车在AB路段时，有F1＝Ff1，P＝F1v1，
联立解得：Ff1＝＝ N＝2000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡态，有F2＝Ff2，P＝F2v2，
联立解得：Ff2＝＝ N＝4000 N
t＝5 s时汽车开始减速运动，有F1－Ff2＝ma，解得
a＝－1 m/s2。
(3)从B到C由动能定理可得
Pt－Ff2x＝mv－mv
解得x＝68.75 m。
18．(12分)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m。某运动员从轨道上的A点以3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点到水平轨道CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2。求：
(1)运动员从A点运动到达B点时的速度大小vB；
(2)轨道CD段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
答案 (1)6 m/s (2)0.125
(3)不能回到B处，最后停在D点左侧6.4 m处(或C点右侧1.6 m处)
解析 (1)由题意可知：vB＝，解得vB＝6 m/s。
(2)从B点到E点，由动能定理可得：
mgh－μmgsCD－mgH＝0－mv
代入数据可得：μ＝0.125。
(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h′，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得：
mgh－mgh′－μmg·2sCD＝0－mv
解得h′＝1.8 m
设运动员从B点运动到停止，在CD段的总路程为s，由动能定理可得：mgh－μmgs＝0－mv
解得s＝30.4 m。
因为s＝3sCD＋6.4 m，所以运动员最后停在D点左侧6.4 m处(或C点右侧1.6 m处)。
课件47张PPT。第七章 章末检测卷第七章 机械能守恒定律
第一节 追寻守恒量——能量
第二节 功
1．了解能量、势能、动能的概念及意义。
2．知道能量守恒是自然界的重要规律，初步理解能量的转化。
3．知道W＝Flcosα的使用条件，会用它进行有关计算。
4．知道功是标量，理解正功、负功、不做功的含义。
5．知道总功的概念，会求多个力的总功。
1．追寻守恒量
(1)伽利略的斜面实验探究如图所示。
①过程：不计一切摩擦，将小球由斜面A上某位置滚落，它就要继续滚上另一个斜面B。
②现象：无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为0，这一点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同。
③结论：这一事实说明某个量是守恒的。在物理学中我们把这个量叫做能量或能。
(2)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。
(3)动能：物体由于运动而具有的能量。
(4)能量转化：小球从斜面A上下落的过程中，势能转化为动能；沿斜面B升高时，动能转化为势能。
2．功
(1)概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
(2)做功的两个不可缺少的因素：①力；②物体在力的方向上发生的位移。
(3)做功的公式：W＝Flcosα，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小和力与位移方向的夹角。当力F与位移l同向时，W＝Fl。
(4)单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
3．正功和负功
功是标量，由W＝Flcosα可知：
(1)当α＝时，W＝0，力对物体不做功，力既不是阻力也不是动力。
(2)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功，做功的力是动力。
(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或说成物体克服这个力做功，做功的力是阻力。
4．总功的两种计算方法
(1)先计算每个力对物体所做的功，然后求所有力做功的代数和。
(2)先求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向的夹角。
判一判
(1)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。( )
(2)力F1、F2做的功分别为W1＝10 J，W2＝－15 J，则W1、W2的方向相反。( )
(3)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1和F2做的总功为－5 J。( )
提示：(1)× 功的正负不表示做功的多少，只表示做功的力是阻力还是动力，10 J小于－15 J。
(2)× 功是标量，没有方向。
(3)√ 物体所受各力对它做的总功，等于各力做功的代数和，即W＝10 J＋(－15) J＝－5 J。
课堂任务 功
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如甲图所示，当F与l的夹角为α时，还能用公式W＝Fl来计算功吗？
提示：不能。只有当力的方向与物体运动的方向一致时，才可以用公式W＝Fl来计算功。
活动2：乙图中F的两个分力做功的情况怎么样？说明什么问题？
提示：物体在分力Fsinα的方向上没有位移，故这个分力不做功。而另一分力Fcosα与物体的运动方向一致，故其可以用公式W＝Fl进行计算，其值为Fcosα·l。由于F与两个分力为等效替代关系，说明F做的功等效为分力Fcosα做的功，即F做的功为W＝Fcosα·l＝Flcosα。
活动3：丙图的物理意义是什么？
提示：力是矢量，位移也是矢量，我们既然可以分解力，也可以分解位移。把位移沿垂直于力和平行于力的方向分解，其中只有与力F方向一致的分位移lcosα才是有效位移，再用公式可得W＝F·lcosα，即W＝Flcosα。这个结论与活动2的结论是一样的。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)做功的两个必要因素
①力；②物体在力的方向上的位移。与其他因素，诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等都无关系。
(2)对公式W＝Flcosα的两种理解
①功等于力F在位移方向上的分力Fcosα与位移l的乘积，即W＝Fcosα·l；
②功等于力F与在力F方向上的位移lcosα的乘积，即W＝F·lcosα。
(3)使用公式W＝Flcosα的注意事项
①W＝Flcosα仅适用于恒力做功的计算；
②式中的l是力的作用点的位移，也是物体对地的位移。
(4)功是一个过程量
功描述了力的作用效果在空间上的积累，它总与一个具体运动过程相对应。
例1 用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，F做功为W1；再用该恒力作用于质量为m(m＜M)的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，F做功为W2。则这两种情况下水平恒力F做功的关系是( )
A．W1＞W2 B．W1＜W2
C．W1＝W2 D．无法判断
(1)两种情况下，有哪些物理量是相同的？
提示：水平恒力F相同、移动的距离l相同、力和位移方向的夹角也相同。
(2)影响做功的因素有哪些？
提示：有三个因素：力F、位移l以及F与l的夹角。
[规范解答] 由于两种情况下水平恒力F相同，沿力的方向移动的距离l也相同，故可根据功的计算公式W＝Fl得W1＝W2。
[完美答案] C
?1?功只与三个因素F、l、α有关，与其他任何因素都没关系。
?2?当力F与位移l同向时，W＝Fl；当力F与位移l反向时，W＝－Fl。
?3?计算功时，一定要明确是哪个力在哪段过程对哪个物体做的功，三个物理量F、l、α不能张冠李戴。
如图所示，用同样大小的力F拉同一物体，在四种接触面甲(光滑水平面)、乙(粗糙水平面)、丙(光滑斜面)、丁(粗糙斜面)上通过同样的距离，则拉力F的做功情况是( )
A．甲中做功最少 B．丁中做功最多
C．做功一样多 D．无法比较
答案 C
解析 在四种接触面上，拉力相同，位移相同，拉力与位移同向，根据W＝Fl可得做功一样多。故C正确，A、B、D错误。
例2 如图所示，质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平地面夹角为θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物体移动的距离l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2。求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力Ff所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力FN所做的功W4。
(1)拉力与位移方向相同吗？能直接用W＝Fl计算它所做的功吗？
提示：不相同。拉力与位移夹角为37°，不能直接用W＝Fl计算，要用W＝Flcosα计算它所做的功。
(2)重力和支持力方向有何特点？做功情况怎样？
提示：重力和支持力方向不同，但都与位移垂直，都不做功。
(3)摩擦力做功有何特点？
提示：摩擦力与位移方向相反，这种情况用W＝－Ffl比较方便。
[规范解答] (1)对物体进行受力分析，如图所示。
W1＝Flcosθ＝10×2×0.8 J＝16 J。
(2)G＝mg＝2×10 N＝20 N
FN＝G－Fsinθ＝20 N－10×0.6 N＝14 N
Ff＝μFN＝0.3×14 N＝4.2 N
W2＝Fflcos180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J。
(3)W3＝Glcos90°＝0。
(4)W4＝FNlcos90°＝0。
[完美答案] (1)16 J (2)－8.4 J (3)0 (4)0
计算恒力做功的基本步骤
如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s 的速度匀速上升4 s过程中(g取10 m/s2)，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功。
答案 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J
解析 受力分析如图所示。
由平衡条件得
Ffcosθ－FNsinθ＝0
Ffsinθ＋FNcosθ－G＝0
又G＝mg
联立并代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N，G＝20 N。
物体向上运动了x＝vt＝5×4 m＝20 m。
(1)斜面对物体支持力所做的功
WN＝FNxcosθ＝10×20× J＝300 J。
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsinθ＝10×20× J＝100 J。
(3)物体重力做的功
WG＝Gxcos180°＝－20×20 J＝－400 J。
课堂任务 正功和负功
仔细观察下列两幅图片，认真参与“师生互动”。
活动1：利用公式W＝Flcosα计算时F、l需要带表示方向的正负号吗？
提示：功是标量，没有方向，计算时力F和位移l都只要代入数值就行。
活动2：正功一定比负功大吗？
提示：功是标量，功的正负既不表示方向也不表示大小，比较功的大小，只需比较数值的大小，与正负号无关，所以正功不一定比负功大。
活动3：功的正负的意义是什么？
提示：当0°≤α＜90°时，cosα为正，力F做正功，此时力为动力。同理，当90°＜α≤180°时，力F做负功，此时力为阻力。故功的正负表示的是动力做功还是阻力做功。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)功是标量，没有方向，但有正、负之分。
(2)功的“正负”既不表示方向也不表示大小，表示的是动力做功还是阻力做功。
(3)负功的理解：一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了－5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。
(4)对正负功意义的再认识
意义
动力学角度
能量角度
正功
力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用
力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功
力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用
力对物体做负功，物体对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
例3 (多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。物体相对斜面静止，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做正功
B．重力对物体做功为零
C．摩擦力对物体做负功
D．支持力对物体做正功
(1)物体相对斜面静止，对地的位移是多少？
提示：物体和斜面的位移一样，对地位移是L。
(2)怎样判断物体所受各力做功的正负？
提示：用公式W＝Flcosα来判断。
[规范解答] 物体的受力和位移方向如图所示。支持力FN与位移L的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力与位移垂直，故重力不做功，A错误，B正确；摩擦力Ff与位移L的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C正确。
[完美答案] BCD
判断力是否做功及做功正负的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α—常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角α—常用于曲线运动的情形。
若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功。
如图所示，物体在力的作用下在水平面上发生一段位移L，试分别计算这四种情况下力F对物体所做的功。设在这四种情况下力F和位移L的大小都相同：F＝10 N，L＝1 m，θ的大小如图所示，分别说明每种情况下力F做功的正负，并求出功。
答案 见解析
解析 甲图中力F做正功，W1＝FLcos(180°－150°)＝FLcos30°＝5 J。
乙图中力F做负功，W2＝FLcos(180°－30°)＝FLcos150°＝－5 J。
丙图中力F做正功，W3＝FLcos30°＝5 J。
丁图中力F做正功，W4＝FLcos0°＝10 J。
课堂任务 总功的计算
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
提示：其合力在水平方向上，可以找到每个力与位移的夹角(如图)，可求出θ1＝53°，θ2＝37°。
力F1做的功：W1＝F1lcosθ1＝3×10×0.6 J＝18 J
力F2做的功：W2＝F2lcosθ2＝4×10×0.8 J＝32 J
W1与W2的代数和：W＝W1＋W2＝(18＋32) J＝50 J。
活动2：F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
提示：两力互相垂直，F1与F2的合力：F＝＝ N＝5 N
合力F做的功：W′＝Fl＝5×10 J＝50 J。
活动3：由运算结果可得出什么结论？
提示：求合力做的功可以先算出每个力的功再求代数和，也可以先求出合力再计算功。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
计算总功的两种方法
(1)先由W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋……。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
例4 以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功和物体所有外力的总功分别是( )
A．0 0 B．－Fh mgh
C．Fh mgh D．－2Fh －2Fh
(1)在上升阶段和下降阶段，阻力与位移的方向一致吗？做正功还是负功？
提示：在上升阶段和下降阶段，空气阻力与位移的方向都相反，故阻力一直做负功。
(2)在上升阶段和下降阶段，重力做功情况是怎样的？
提示：在上升阶段重力与位移的方向相反，在下降阶段方向相同。重力先做负功再做正功。
[规范解答] (1)在上升阶段，小球竖直向上运动，空气阻力方向竖直向下，空气阻力对小球做功为－Fh；下降阶段，小球竖直向下运动，空气阻力方向竖直向上，空气阻
力对小球做功为－Fh。整个过程中，空气阻力对小球做的功为－2Fh。
(2)在上升阶段，重力做负功－mgh，在下降阶段，重力做正功mgh，整个过程重力的总功为零。
(3)所有外力的总功就是重力和阻力的总功，为：－2Fh＋0＝－2Fh，D正确。
[完美答案] D
?1?计算总功，先把每一个过程中各力的功算出来，再求总功。
?2?如果运动过程中力一直没有发生变化，上面方法仍适用，但更适合先求合力再求总功。
如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功。(取g＝10 m/s2)
答案 重力做功60 J 支持力做功0 摩擦力做功－16 J 合力做功44 J
解析 斜面上的货物受到重力G，斜面支持力FN和摩擦力Ff共三个力的作用。货物位移的方向沿斜面向下，可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向。可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。
故重力G对货物做的功W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J
支持力FN对货物没有做功W2＝0
摩擦力Ff对货物做负功W3＝－Ffl＝－μmgcos37°·l＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J
所以，合外力做的总功为W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16) J＝44 J。
(若先计算合外力再求功，则合外力做的功W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J)
课堂任务 相互作用力和摩擦力做功问题
一、一对相互作用力的做功情况
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图中情景，如果用手控制让两小车在比较近的距离松手，靠近的两磁极做功情况怎样？
提示：N、S为异名磁极，相互作用力为引力，如果支持面阻力不是太大，两小车都会往中间靠拢。力与位移方向相同，这一对相互作用力都做正功。
活动2：如果用手按住其中一个小车呢？
提示：被按住的小车无法移动，虽然受到一个引力，但引力不会做功。另一个小车向被按住的小车靠拢，其引力做正功。
活动3：这一对相互作用的引力做功可以一正一负吗？可以两个都是负功吗？
提示：都可以。(1)比如在左边的小车向右靠近的同时(其引力做正功)，可以用手把右边的小车向右拉动，右边小车所受引力向左，位移向右，引力做负功。(2)可以把图中靠得很近的两小车用手向两边拉，结果这一对引力都做负功。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
作用力和反作用力作用在不同的物体上，它们大小相等，方向相反。
(1)一对相互作用力做功的正负：一对相互作用力的方向相反并不代表这一对相互作用力做的功一定是一正一负，还可以都做正功、都做负功、都不做功、一个做功一个不做功等等。
(2)一对相互作用力做功的大小：一对相互作用力做功的大小不一定相等，因为它们分别作用于两个物体上，每个物体都可能还受其他力，其位移情况可能千差万别。
二、滑动摩擦力与静摩擦力的做功情况
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：A物体受到一个拉力F，A、B之间的摩擦力方向怎样？
提示：A对B的摩擦力向右、B对A的摩擦力向左。
活动2：A、B之间的摩擦力做功的情况怎样？
提示：A、B之间的摩擦力属于一对作用力和反作用力，前面讨论的情况这里照样适用。具体的情况如下：
(1)若A和B一起向右运动，且A、B保持相对静止，则A对B的摩擦力做正功，B对A的摩擦力做负功，两个力做的功大小相等。
(2)若A和B一起向右运动，但A、B之间相对滑动，A对B的摩擦力仍然做正功，B对A的摩擦力仍然做负功，但两个力做的功大小不相等，B对A的摩擦力做的负功大。
(3)若只有A向右运动，B仍然静止(支持面对B有向左的摩擦力且等于A对B的摩擦力)，A对B的摩擦力不做功。但B对A的摩擦力仍然做负功。
(4)若A、B都保持静止，则A、B之间的摩擦力都不做功。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)摩擦力做功正负情况
运动的物体受到滑动摩擦力或静摩擦力时，若摩擦力的方向与运动方向相反，则摩擦力做负功，该摩擦力就是阻力；若摩擦力的方向与运动方向相同，则摩擦力做正功，该摩擦力就是动力。总之，摩擦力既可能做负功，也可能做正功，还可能不做功。举例如下：
(2)一对相互作用的静摩擦力做功的代数和为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和不为零。
(3)摩擦力做功计算要注意过程中位移的方向是否改变。
①物体在粗糙水平面上做单方向的直线运动时，路程与位移大小相等，此时摩擦力做功W＝－Fl(l指位移，F指摩擦力)。
②物体在粗糙水平面上做往复运动或曲线运动时，路程与位移大小不同，此时摩擦力做功W＝－Fs(s指路程，F指摩擦力)。
例5 质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？
(1)滑块的位移多大？受摩擦力的方向如何？
提示：滑块的位移是木板前进的距离l再加上它相对木板前进的距离L，表达式为(l＋L)。滑块受到的摩擦力与运动方向相反。
(2)木板所受摩擦力的方向如何？
提示：木板是被滑块带着向前的，其摩擦力与运动方向相同。
[规范解答] 滑块所受摩擦力Ff＝μmg，位移为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为：W1＝－μmg(l＋L)
木板所受的摩擦力Ff′＝μmg，方向与其位移l方向相同，故摩擦力对木板做的功W2＝μmgl
这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL
[完美答案] －μmg(l＋L) μmgl －μmgL
?1?物体的位移是指对地的位移。
?2?一对静摩擦力的总功为零是因为物体间的静摩擦力总是大小相等、方向相反，而它们运动时相对地面的位移是相同的，所以物体之间的静摩擦力若做功，则必定对一个物体做正功，对另一个物体做等量负功。但是滑动摩擦存在相对运动，对地面的位移不同，其正负功不相等。
?3?摩擦力做功问题，常涉及两个物体的相对运动，要注意两物体的位移关系。
如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，关于A与地面间的滑动摩擦力和A、B间的静摩擦力做功的说法，正确的是( )
A．静摩擦力都做正功，滑动摩擦力都做负功
B．静摩擦力都不做功，滑动摩擦力都做负功
C．有静摩擦力做正功，有滑动摩擦力不做功
D．有静摩擦力做负功，有滑动摩擦力做正功
答案 C
解析 物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动，根据平衡条件得知，A对B的静摩擦力与拉力F平衡，地面对A的滑动摩擦力与B对A的静摩擦力平衡，则地面对A的滑动摩擦力方向向左，对A做负功，物块A对地面的滑动摩擦力不做功，A对B的静摩擦力做负功，B对A的静摩擦力做正功，因此，选项C正确，A、B、D错误。
A组：合格性水平训练
1．(负功的理解)(多选)一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
答案 AC
解析 由功的表达式W＝Flcosα知，只有当α>90°时，cosα<0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。
2．(功的正负、总功)(多选)一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是( )
A．这两个力一定大小相等、方向相反
B．F1是动力，F2是阻力
C．这两个力做的总功为0
D．F1比F2做的功多
答案 BC
解析 由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别为小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总功为0，B、C正确，D错误。
3．(功的正负)一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯支持力对人的做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
答案 D
解析 人在乘电梯上楼时，无论是加速、匀速还是减速，支持力的方向总是向上的，与运动方向相同，所以支持力的方向与位移的方向总是相同的，始终做正功，故A、B、C三项错误，D项正确。
4．(功的计算)有下列几种运动情况，其中力F做功与其他选项不相同的是( )
A．用水平推力F推一质量为m的物体在光滑水平面上前进位移l
B．用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙水平面上前进位移l
C．用与水平方向成60°角斜向上的拉力F拉一质量为m的物体在光滑水平地面上前进位移l
D．用水平拉力F拉一质量为3m的物体在倾角为60°的光滑斜面上前进位移2l
答案 C
解析 功的大小等于力与在力的方向上通过的位移的乘积，即W＝Flcosα。A项中拉力F做功W＝Fl，B项中拉力F做功W＝Fl，C项中拉力F做功W＝Flcos60°＝Fl，D项中拉力F做功W＝F·2lcos60°＝Fl，只有C项拉力做功不相同，故选C项。
5．(功的计算)如图所示，一个物体静止放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿水平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为fs B．力F做的功为Fscosθ
C．力F做的功为Fssinθ D．重力做的功为mgs
答案 C
解析 物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，由功的公式可得摩擦力做的功为－fs，所以A错误。力F与竖直方向成θ角，在水平方向的分力为Fsinθ，F做的功为Fssinθ，所以B错误，C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力做的功为零，D错误。
6．(综合)根据力对物体做功的条件，下列说法中正确的是( )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
答案 B
解析 工人对行李的作用力竖直向上，水平前进时与行李的运动方向始终垂直，故对行李不做功，A错误；上楼时工人对行李的作用力与行李的运动方向的夹角为锐角，故对行李做正功，B正确；根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等、方向相反，但二者是对不同的物体做功，两个受力物体的位移大小不一定相等，故其做功大小不一定相等，做功代数和也不一定为0，C错误；摩擦力是变力，且总与物体相对地面运动的方向相反，因此当物体回到出发点后，虽然物体位移为0，但摩擦力仍对物体做负功，故D错误。
7．(功的计算)一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化关系如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示。求：
(1)0～6 s时间内物体的位移大小；
(2)0～10 s时间内物体克服摩擦力所做的功。
答案 (1)6 m (2)30 J
解析 (1)由题图丙可知0～6 s时间内物体的位移为：
s＝×3 m＝6 m。
(2)由题图丙可知，在6～8 s时间内，物体做匀速运动，受力平衡，于是有摩擦力f＝F3＝2 N，
其中F3为6～8 s时的拉力，
0～10 s时间内物体的总位移为：
s′＝×3 m＝15 m
物体克服摩擦力所做的功：W＝fs′＝2×15 J＝30 J。
8．(功与总功的计算)如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25，g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求这一过程中：
(1)物体的重力所做的功；
(2)摩擦力所做的功；
(3)物体所受各力的合力所做的功。
答案 (1)－3000 J (2)－1000 J (3)0
解析 物体受力情况如图所示
(1)物体重力所做的功
WG＝－mgLsinθ＝－100×10×5×0.6 J＝－3000 J。
(2)物体所受摩擦力
f＝μN＝μmgcosθ＝200 N(或f＝F－mgsinθ＝200 N)
摩擦力所做的功Wf＝－fL＝－200×5 J＝－1000 J。
(3)解法一：物体所受拉力做的功
WF＝FL＝800×5 J＝4000 J
W＝WF＋WG＋Wf＝0。
解法二：物体做匀速运动，F合＝0，故W＝0。
9．(功与总功的计算)如图所示，水平地面上的物体质量为2 kg，在方向与水平面成37°角、大小为10 N的拉力F作用下移动2 m，已知物体与水平地面间的动摩擦因数为0.2，在这一过程中，物体受到的各力所做的功分别为多少？合力所做的功为多少？(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案 重力做功WG＝0 支持力做功WFN＝0 拉力做功WF＝16 J 摩擦力做功WFf＝－5.6 J 合力做功W合＝10.4 J
解析 物体受重力、支持力、拉力、摩擦力四个力的作用，受力分析如图所示，其中，重力和支持力与运动方向垂直，不做功，拉力做正功，摩擦力做负功。
拉力F对物体做的功为
WF＝Flcos37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力对物体做的功为
WFf＝－Fflcos180°＝－μ(mg－Fsin37°)l
＝－0.2×(2×10－10×0.6)×2 J＝－5.6 J
重力和支持力做的功分别为WG＝0，WFN＝0
合力做的功为W合＝WG＋WFN＋WF＋WFf＝0＋0＋16 J－5.6 J＝10.4 J。
B组：等级性水平训练
10．(功的计算)如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则( )
A．WA>WB B．WA＝WB
C．WA答案 B
解析 设斜面AD、斜面BD与水平面CD所成夹角分别为α、θ，根据功的公式，得WA＝μmgcosα·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcosθ·lBD＝μmglCD，所以WA＝WB，B正确。
11．(功的正负)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面体上，物体与斜面体间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面体对m的支持力和摩擦力的做功情况，下列说法中错误的是( )
A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功
答案 B
解析 支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功，而摩擦力是否存在需要讨论。若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtanθ，摩擦力不做功，当a＞gtanθ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a＜gtanθ时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功。综上所述，B错误，A、C、D正确。
12．(功的计算)如图所示，水平的传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L1＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上(取g＝10 m/s2)。
(1)已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？
(2)问题(1)的条件不变，若将传送带速度调至v′＝9 m/s，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？
(3)若物体与传送带间的动摩擦因数μ′＝0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？
答案 (1)54 J (2)90 J (3)30 J
解析 (1)刚放上时，物体与传送带之间有相对滑动，物体运动的加速度为a＝＝＝μg＝3 m/s2，当物体的速度增大到与传送带的速度相同时，摩擦力消失，滑动摩擦力的作用时间为t＝＝ s＝2 s，在此时间内物体运动的位移L＝at2＝6 m<10 m，所以摩擦力对物体做的功W＝FL＝μmgL＝54 J。
(2)传送带速度调至v′＝9 m/s，加速度不会变，还是3 m/s2，物体的速度增大到与传送带的速度相同的作用时间变为：t′＝＝ s＝3 s，
在此时间内物体运动的位移：L′＝at′2＝ m>10 m，由实际情况知道，真实作用距离为10 m。
所以滑动摩擦力对物体做的功
W′＝FL1＝μmgL1＝90 J。
(3)若μ′＝0.1，则物体在传送带上的加速度
a′＝＝＝μ′g＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2，
假如物体速度能增大到v＝6 m/s，
则位移L″＝＝ m＝18 m>L1，
故物体从M到N一直加速，滑动摩擦力对物体做的功
W″＝F′L1＝μ′mgL1＝0.1×3×10×10 J＝30 J。
课件109张PPT。第一节 追寻守恒量—能量
第二节 功01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第七节 动能和动能定理
1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。
2．能用牛顿第二定律、运动学公式结合做功公式导出动能定理，理解动能定理的含义。
3．能应用动能定理解决相关问题。
1.动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能量。
(2)表达式：Ek＝mv2。
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，1 J＝1_kg·m2·s－2。
(4)物理特点
①具有瞬时性，是状态量。
②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。
③是标量，没有方向，Ek≥0。
2．动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)表达式：W＝Ek2－Ek1。
(3)适用范围：既适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动。
判一判
(1)合力为零，物体的动能一定不会变化。( )
(2)合力不为零，物体的动能一定会变化。( )
(3)物体动能增加，则它的合外力一定做正功。( )
提示：(1)√ 合力为零，则合力的功为零，根据动能定理，物体的动能一定不会变化。
(2)× 合力不为零，合力做功可能为零，此时物体的动能不会变化。例如做匀速圆周运动的物体。
(3)√ 根据动能定理可知，物体动能增加，它的合力一定做正功。
想一想
1.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？
提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
2．在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？
提示：重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同。
3．骑自行车下坡时，没有蹬车，车速却越来越快，动能越来越大，这与动能定理相矛盾吗？
提示：不矛盾。人没蹬车，但合力却对人和车做正功，动能越来越大。
课堂任务 对动能、动能定理的理解
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：物体在恒力F作用下移动了一段位移l，速度由v1变到v2，在这个过程中力F做的功是多少？
提示：由W＝Flcosα可知，W＝Fl。
活动2：这个运动过程中物体的加速度与速度和位移的关系怎样？
提示：由运动学公式可知v－v＝2al。
活动3：可否把功这个物理量与运动联系起来(水平面光滑)?
提示：由牛顿第二定律得F＝ma，W＝Fl可以写为W＝mal，再把活动2中的表达式代入得到W＝m，即W＝mv－mv。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)动能
①动能是状态量：与物体某一时刻的运动状态相对应。
②动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值；速度方向改变不影响动能大小，例如匀速圆周运动过程中，动能始终不变。
③动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度大小可能不同，动能也可能不同。在通常的计算中，没有特别说明，都是以地面为参考系。
(2)动能定理
①内容：公式为W＝mv－mv或W＝Ek2－Ek1或W＝ΔEk。外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
②意义：揭示了力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量。
(3)对动能定理的进一步理解
①由公式看：a.当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加。
b．当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少。
②由正负功的意义看：力对物体做正功，表示其是动力，促使物体运动，物体动能会增加；力对物体做负功，表示其是阻力，物体动能会减少；一个物体的动能究竟增加还是减少不是看某个力做功，而是看所有外力的总功；合力做了多少正功，物体的动能就增加多少，合力做了多少负功，物体的动能就减少多少。
③对状态与过程关系的理解：功是伴随一个物理过程而产生的，是过程量；而动能是状态量，动能定理把过程量和状态量联系在了一起。
④对适用条件的理解：动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以采用微元法，把运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理。对于变力做功和曲线运动的情况，动能定理同样适用。
例1 (多选)关于动能，下列说法中正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能
B．公式Ek＝mv2中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
(1)动能具有相对性的根本原因是什么？
提示：是因为速度具有相对性。
(2)速度变化动能一定变化吗？
提示：不一定。动能是标量，如果只有速度的方向变化，动能不会变；只有速度的大小发生变化动能才会变。
[规范解答] 动能是物体由于运动而具有的能量，是机械能的一种，所有运动的物体都有动能，A正确；Ek＝mv2 中的速度v与参考系的选取有关，虽然一般选地面为参考系，但也有特殊情况，B错误；速度是矢量，当其只有方向发生变化时，动能不变化，此时物体并不处于平衡状态，而一定质量的物体，动能变化时，速度大小一定改变，故速度一定变化，C正确，D错误。
[完美答案] AC
一个物体的动能与速度的关系
(1)数值关系：Ek＝mv2，速度v越大，动能Ek越大。
(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是速度的方向变化，物体的动能可能不变。
(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
答案 AD
解析 小球速度变化Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，小球动能的变化量ΔEk＝mv－mv＝0。故A、D正确。
例2 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
(1)曲线运动中有平衡状态吗？
提示：曲线运动中没有平衡状态，因为木块做曲线运动时至少速度方向在变，其合外力一定不会为零。
(2)题中有哪些力做功？
提示：支持力时刻与速度垂直，不会做功；重力做正功，摩擦力做负功。
[规范解答] 木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，摩擦力做负功，重力与摩擦力的合力所做的功为零，但摩擦力方向不断改变，重力和摩擦力的合力不可能为零，故C正确，B、D错误。
[完美答案] C
做功与动能变化的关系
我们既可以通过做功去推知动能的变化情况，也可以通过动能的变化去推知做功的情况。由动能定理知，动能不变，总功必然为零，这种情况下有力做功必然就有正有负，正功的大小必然和负功的大小相等。另外，合外力不为零，总功未必就不为零，比如做匀速圆周运动的物体，所受合外力不为零，但动能不变，总功为零。
下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是( )
A．如果物体所受的合力为零，物体的动能一定不变
B．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零
D．物体的动能不发生变化，物体所受合力一定是零
答案 A
解析 物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零，动能不变，或者合力为零，物体速度不变，由动能定义知动能不变，A正确；如果合力对物体做的功为零，合力可能不为零，而是在力的方向上的位移为零，B错误；竖直上抛运动是一种匀变速直线运动，其在上升和下降阶段经过同一位置时动能相等，故动能在一段过程中变化量可以为零，C错误；动能不变化，只能说明速度大小不变，但速度方向有可能变化，因此合力不一定为零，D错误。
课堂任务 动能定理的应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：用牛顿运动定律结合运动学公式能求出物体达到斜面底端的速度吗？
提示：物体在斜面方向所受的合外力为F合＝mgsinθ，其加速度为a＝gsinθ，高为h，由三角函数知识知道，斜面长为x＝，由运动学公式v2－v＝2ax得，v2＝2gsinθ·，解得物体达到斜面底端的速度v＝。由解题过程知道，物体到达斜面底端的速度与斜面长短或者斜面的倾角无关，只与斜面的高度有关。
活动2：用动能定理能求出物体达到斜面底端的速度吗？
提示：斜面上的物体受重力和支持力，在下滑的过程中只有重力做功，而重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。而无论从哪个斜面滑到底端高度差都是一样的，重力做的功WG＝mgh大小都一样；再根据动能定理可得mgh＝mv2，解得物体达到斜面底端的速度v＝。
活动3：讨论过程中有什么感受？任何时候都可以应用两种方法解题吗？
提示：(1)同样一个问题，既可以用牛顿运动定律结合运动学公式解决，也可以用动能定理解决。应用动能定理解要简单些。另外，只要下降的高度是h，且只有重力做功，它们的末速度都是。
(2)物体受力是恒力时两种方法都可以解；如果是变力，牛顿运动定律结合运动学公式就变得无能为力，反之动能定理是个好选择。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)应用动能定理解题的基本思路
(2)动力学问题两种解法的比较
例3 质量M＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
(1)不计滑行阻力，客机受到的合外力是什么？总功是多少？
提示：重力和支持力平衡，合外力等于飞机受到的牵引力。设牵引力为F，已知飞机滑行距离为l，由功的公式可以知道总功就是W＝Fl。
(2)使用动能定理除了分析力求总功，还要分析什么？
提示：还要分析初、末两个状态的动能变化ΔEk。
(3)受阻力时客机受到的合外力是什么？总功是多少？
提示：受阻力时分析思路是一样的。设阻力为f，此时飞机受到的合力为F－f。设滑行距离为l′，总功W＝(F－f)l′。
[规范解答] (1)飞机起飞时的动能Ek＝Mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
(2)设牵引力为F，由受力分析知合外力为F，总功W＝Fl
Ek1＝0，Ek2＝Ek，则ΔEk＝Ek2－Ek1＝Ek
由动能定理得Fl＝Ek，代入数值解得F＝1.5×104 N。
(3)设滑行距离为l′，阻力为f，飞机受到的合力为F－f。
其总功W＝(F－f)l′
由动能定理得(F－f)l′＝Ek－0
整理得l′＝，代入数值，得l′＝9.0×102 m。
[完美答案] (1)1.08×107 J (2)1.5×104 N
(3)9.0×102 m
动能定理与牛顿运动定律结合运动
学公式在解题时的选择方法
(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。因为本题中是恒力，本题也可以用牛顿定律解，但用牛顿定律解要麻烦很多。
(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。即使是恒力，当不涉及加速度和时间，并且是两个状态点的速度比较明确的情况，也应优先考虑动能定理。
为了安全，在公路上行驶的汽车间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速vm＝120 km/h，假设前方车辆突然停止，后车以vm匀速行驶，司机发现这一情况后，从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移为17 m，制动时汽车受到的阻力为其车重的0.5倍，该高速公路上汽车间的距离至少应为多大？(g取10 m/s2 )
答案 128 m
解析 知道初速度vm＝120 km/h，知道末速度为零，还知道阻力为其车重的0.5倍。初、末两个状态清楚，物体受力也清楚，不涉及加速度和时间，首选动能定理解题(此题的加速度很好求，用运动学公式也容易求出需要的距离)。
制动时，路面阻力对汽车做负功W＝－0.5mgx
根据动能定理得－0.5mgx＝0－mv
可得汽车制动后滑行的距离为x＝≈111 m
该高速公路上汽车间的距离至少是x总＝x＋x′＝128 m。
例4 如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
(1)在转动过程中，重力做功吗？支持力和摩擦力呢？
提示：从题目知道重力做负功。支持物体的斜面在运动，支持力做正功，摩擦力时刻与速度垂直，不做功。
(2)支持力做的功怎么计算？能用W＝Flcosα计算吗？
提示：在运动过程中，支持力的方向一直都在变，是变力，不能用W＝Flcosa计算，应用动能定理计算。
[规范解答] 由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。受力分析知，支持力FN做正功，但摩擦力Ff方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功，A、C、D错误。物体的重力势能增加了2 J，即重力做功为－2 J，缓慢转动的过程中物体动能不变，由动能定理知，WFN－WG＝0，则FN对物块做功为2 J，B正确。
[完美答案] B
很明显地此题中FN是变力，不太适合用牛顿运动定律结合运动学公式解。利用动能定理求变力做的功是最常用的方法，这种题目中，一个变力和若干个恒力对物体做功，这时可以先求出恒力做的功，然后用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W恒＝ΔEk。
如图所示，物体(可看成质点)沿一曲面从A点无初速度下滑，当滑至曲面的最低点B点时，下滑的竖直高度h＝5 m，此时物体的速度v＝6 m/s。若物体的质量m＝1 kg，g＝10 m/s2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功。
答案 32 J
解析 物体在曲面上的受力情况为：受重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功。设摩擦力做功为Wf，由A→B用动能定理知mgh＋Wf＝mv2－0，解得Wf＝－32 J。故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J。
课堂任务 应用动能定理求解多过程问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：在l1段和l2段各有哪些力做功？
提示：在l1段有拉力和阻力两个力做功，在l2段只有阻力做功。
活动2：可以在两段利用动能定理得出拉力做的功吗？
提示：可以。在l1段：WF－fl1＝mv2－0①，
在l2段：－fl2＝0－mv2②
用①＋②得到，WF－f(l1＋l2)＝0，WF＝f(l1＋l2)。
活动3：有简单点的办法快速算出拉力做的功吗？
提示：有！不分段，全过程分析。整个过程只有拉力和阻力做功。初、末状态的动能都是零，动能的改变量为零，外力的总功也就为零，这意味着拉力和阻力的总功为零。而阻力整个过程的功可以很快算出Wf＝－f(l1＋l2)。故拉力做正功，WF＝f(l1＋l2)。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)应用动能定理求解多过程问题的两种方法
物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(如加速、减速的阶段)时，可以分段分析应用动能定理，也可以对全过程整体分析应用动能定理，但当题目不涉及中间量时，选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。
(2)全过程应用动能定理时的注意事项
①当物体的运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
②研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心运动过程的细节。
例5 如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑到由小圆弧连接的水平面上，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行多远。
(1)应用动能定理解题的一般步骤是什么？
提示：①确定研究对象和过程；②分析受力；③求合力的功；④求初、末状态的动能；⑤列式求解。
(2)多过程问题用全程法求解应注意什么？
提示：合力的功等于每个阶段各个力所做功的代数和。
[规范解答] 解法一：(分段法)
对物体在斜面上和水平面上时受力分析，如图甲、乙所示。
物体下滑阶段FN1＝mgcos37°，
故Ff1＝μFN1＝μmgcos37°。
由动能定理得
mgsin37°·x1－μmgcos37°·x1＝mv－0①
在水平面上运动过程中，Ff2＝μFN2＝μmg
由动能定理，得－μmgx2＝0－mv ②
由①②两式可得
x2＝x1＝×5 m＝3.5 m。
解法二：(全程法)
物体受力分析同解法一。
物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程应用动能定理有
mgsin37°·x1－μmgcos37°·x1－μmgx2＝0－0
得x2＝x1＝×5 m＝3.5 m。
[完美答案] 3.5 m
应用动能定理解多过程问题的一般思路
(1)应用动能定理解题时必须明确所研究的运动过程。
(2)当既可用分段法也可用全程法时，一般说来全程法较为简捷。
(3)当物体做往复运动时，一般选用全程法。
物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h深度停止(如图所示)。求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？
答案
解析 解法一：(分段法)
选物体为研究对象，先研究自由落体运动过程，只有重力做功，设物体质量为m，落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理，有mgH＝mv2－0①
再研究物体在沙坑中的运动过程，此过程重力做正功，阻力F做负功，根据动能定理有
mgh－Fh＝0－mv2②
由①②两式解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
解法二：(全程法)
研究物体运动的全过程，重力所做的功为mg(H＋h)，阻力做的功为－Fh，初末状态物体的动能都是零，根据动能定理，有mg(H＋h)－Fh＝0－0
解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
A组：合格性水平训练
1．(动能定理的理解)一物体做变速运动时，下列说法中正确的是( )
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体的加速度可能为零
答案 B
解析 物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周运动，此时物体的动能不变，并且合外力对物体不做功，故A、C均错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合外力一定不为零，故B正确、D错误。
2．(动能定理的应用)一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( )
A.mv2 B．－mv2 C.mv2 D．－mv2
答案 A
解析 由动能定理得：WF＝m(－2v)2－mv2＝mv2，A正确。
3．(动能定理的应用)(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s，如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
答案 BC
解析 由功的公式W＝Flcosα＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误、B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确、D错误。
4．(动能定理的应用)(多选)一物体在运动过程中，重力做了－2 J的功，合力做了4 J的功，则( )
A．该物体动能减少，减少量等于4 J
B．该物体动能增加，增加量等于4 J
C．该物体重力势能减少，减少量等于2 J
D．该物体重力势能增加，增加量等于2 J
答案 BD
解析 重力做负功，重力势能增大，增加量等于克服重力做的功，C错误、D正确；根据动能定理得该物体动能增大，增加量为4 J，A错误、B正确。
5.(动能定理的应用)物体在合外力作用下做直线运动的v-t图象如图所示。下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
答案 A
解析 由v-t图象知，0～1 s内，v增大，动能增大，由动能定理可知合外力做正功，A正确。1～2 s内v减小，动能减小，合外力做负功，可见B、C、D错误。
6．(综合提升)(多选)如图甲所示，质量m＝2 kg的物体以100 J的初动能在粗糙的水平地面上滑行，其动能Ek随位移x变化的关系图象如图乙所示，则下列判断中正确的是( )
A．物体运动的总位移大小为10 m
B．物体运动的加速度大小为10 m/s2
C．物体运动的初速度大小为10 m/s
D．物体所受的摩擦力大小为10 N
答案 ACD
解析 由图乙可知物体运动的总位移大小为10 m，A正确；物体的初动能Ek0＝mv＝100 J，则v0＝＝10 m/s，C正确；由动能定理得－fx＝ΔEk＝－100 J，则f＝10 N，D正确；由牛顿第二定律得f＝ma，a＝＝5 m/s2，B错误。
7.(综合提升)如图所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则( )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W＞mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W＜mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
答案 C
解析 根据质点滑到轨道最低点N时，对轨道压力为4mg，利用牛顿第三定律可知，轨道对质点的支持力为4mg，在最低点，由牛顿第二定律得，4mg－mg＝m，解得质点滑到最低点的速度v＝。对质点从开始下落到滑到最低点的过程，由动能定理得，2mgR－W＝mv2，解得W＝mgR。对质点由最低点继续上滑的过程，到达Q点时克服摩擦力做功W′要小于W＝mgR，由此可知，质点到达Q点后，可继续上升一段距离，C正确，A、B、D错误。
8．(综合提升)我国海军歼-15舰载机已经在“辽宁”号航母上成功着舰和起飞。现将飞机起飞模型简化为飞机先在水平甲板上做匀加速直线运动，再在倾角为θ＝15°的斜面甲板上以最大功率做加速运动，最后从甲板飞出的速度为360 km/h，如图所示。若飞机的质量为18吨，甲板AB长180 m，BC长50 m。(忽略飞机长度，不计一切摩擦和空气阻力，取sin15°＝0.3，g＝10 m/s2)如果要求到达甲板B点的速度至少为离开斜面甲板速度的60%，则：
(1)飞机在水平甲板上运动时的牵引力至少为多少才能使飞机起飞？
(2)如果到达B点时飞机刚好达到最大功率，则从飞机开始运动到飞离甲板共需多少时间？
答案 (1)1.8×105 N (2)11.58 s
解析 (1)由题意知m＝18 t＝1.8×104 kg，vC＝360 km/h＝100 m/s，
则B点的速度至少为v＝0.6vC＝60 m/s，
由动能定理得，FxAB＝mv2，解得F＝1.8×105 N。
(2)飞机到达B点时的功率P＝Fv＝1.08×107 W，飞机从A运动到B的时间t1＝，
飞机从B到C的运动过程由动能定理，得
Pt2－mgsinθ·xBC＝mv－mv2，t＝t1＋t2，
联立解得t＝11.58 s。
B组：等级性水平训练
9．(多过程问题中动能定理的应用)(多选)一物体从斜面底端以初动能E滑向斜面，返回到斜面底端的速度大小为v，克服摩擦力做的功为，若物块以初动能2E滑向斜面(斜面足够长)，则( )
A．返回斜面底端时的动能为E
B．返回斜面底端时的动能为
C．返回斜面底端时的速度大小为2v
D．返回斜面底端时的速度大小为 v
答案 AD
解析 设斜面倾角为θ，斜面对物体的摩擦力为f，物体以初动能E滑向斜面时，在斜面上上升的最远距离为x1，则根据动能定理，在物体沿斜面上升的过程中有－Gx1sinθ－fx1＝0－E，在物体沿斜面下降的过程中有Gx1sinθ－fx1＝，联立解得Gsinθ＝3f，同理，当物体以初动能2E滑向斜面时，在物体沿斜面上升的过程中有－Gx2sinθ－fx2＝0－2E，在物体沿斜面下降的过程中有Gx2sinθ－fx2＝E′，联立解得E′＝E，故A正确、B错误；由＝mv2，E′＝mv′2，得v′＝v，故C错误、D正确。
10．(综合提升)(多选)小滑块以初动能Ek0从A点出发，沿斜面向上运动，AB、BC、CD长度相等，若整个斜面AD光滑，则滑块到达D位置速度恰好为零，而后下滑。现斜面AB部分处处与滑块间有相同的动摩擦因数，其余部分BD仍光滑，则滑块恰好滑到C位置速度为零，然后下滑，那么滑块下滑到( )
A．位置B时的动能为
B．位置B时的动能为
C．位置A时的动能为
D．位置A时的动能为
答案 AD
解析 设斜面长3x、高为3h，若斜面光滑，滑块由底端到顶端过程中，－mg·3h＝0－Ek0 ①；若AB部分粗糙、其他部分光滑，滑块由底端A到C过程中，－fx－mg·2h＝0－Ek0 ②；滑块由C滑到B过程中，mgh＝EkB ③，联立①③可解得EkB＝，A正确，B错误；滑块由C滑到A过程中，mg·2h－fx＝EkA ④，联立①②④三式可解得EkA＝，C错误，D正确。
11．(多过程问题中动能定理的应用)如图所示，光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的圆弧，半径R＝0.6 m。一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点光滑连接。当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10 m/s2。求：
(1)物体运动到C点时的速度大小vC；
(2)A点距离水平面的高度H；
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s。
答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m
解析 (1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得：
－mg(h＋R)＝0－mv，代入数据解得：vC＝4 m/s。
(2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得：
mgH－μmglBC＝mv－0，
代入数据解得：H＝1.02 m。
(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：
mgH－μmgs1＝0－0，代入数据，解得s1＝5.1 m
由于s1＝4lBC＋0.7 m，所以物体最终停止的位置到C点的距离为：s＝0.4 m。
课件99张PPT。第七节 动能和动能定理 01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第三节 功率
1．理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关计算。
2．理解额定功率和实际功率的概念，了解平均功率和瞬时功率的含义。
3．会根据P＝推导出P＝Fvcosα，并进行相关运算。
4．掌握机车的两种启动方式的分析方法。
1.功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
(2)定义式：P＝。
(3)单位：国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1 W＝1 J/s,1 kW＝103 W。
(4)物理意义：功率是表示做功快慢的物理量。
(5)额定功率与实际功率
①额定功率：电动机、内燃机等动力机械可以长时间工作的最大输出功率。发动机铭牌上的功率指的就是额定功率。
②实际功率：动力机械实际工作时消耗的功率。
③关系：实际功率往往小于额定功率，在特殊情况下，可以短时间内大于额定功率，否则会减少发动机的使用寿命。
2．功率与速度
(1)功率与速度的关系式：P＝Fv(F与v方向相同)。
(2)推导
(3)应用
由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度，要增大速度，就要减小牵引力。然而，在发动机功率一定时，以上操作效果有限，要使效果更好，就要提高发动机的额定功率，这就是高速火车、汽车和大型舰船需要大功率发电机的原因。
3．平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：时间t内功率的平均值，粗略地描述做功的快慢。计算公式：＝，或＝Fcosα，其中前者任何情况下都适用，后者只适用于恒力做功。
(2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢。计算公式：P＝Fvcosα。
判一判
(1)各种机械铭牌上所标功率一般是指额定功率。( )
(2)某机械工作时的实际功率一定比额定功率小。( )
(3)机械可以在实际功率等于额定功率的情况下长时间工作。( )
提示：(1)√ 额定功率是指机械在长时间正常工作时的最大输出功率，也是机械发动机铭牌上的标称值。
(2)× (3)√ 机械可以在实际功率小于或等于额定功率的情况下长时间工作，但为避免机械受到损害，应避免机械在实际功率大于额定功率状态下长时间工作。
课堂任务 功率
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：F1赛车和铰接客车下面标注的功率是什么功率，意味着什么？
提示：标注的是额定功率，就是一般来说F1赛车比铰接客车做功快。正因为F1赛车功率大，所以它的特点是速度快、启动快。
活动2：铰接客车任何时候的功率都是150 kW吗？
提示：不是，这只是它的额定功率。车子运行时的功率一般不会超过额定功率，由于车子在一个同样的路面是有快有慢的，开得快时功率大，开得慢时功率小。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)额定功率与实际功率的比较
(2)功率的两个公式
例1 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
(1)木块沿斜面下滑过程中受到几个力的作用？下滑的加速度是多少？
提示：木块沿斜面下滑过程中受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用；下滑的加速度a＝＝gsinθ－μgcosθ，代入数据得a＝2 m/s2，方向沿斜面向下。
(2)木块2 s内下滑的位移大小是多少？方向如何？2 s末木块的瞬时速度是多少？方向如何？
提示：木块2 s内下滑的位移大小l＝at2，代入数据得l＝4 m，方向沿斜面向下；2 s末木块的瞬时速度v＝at，代入数据得v＝4 m/s，方向沿斜面向下。
[规范解答] (1)木块所受的合力
F合＝mgsinθ－μmgcosθ＝mg(sinθ－μcosθ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N，
物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，
前2 s内木块的位移l＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为W＝mglsinθ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率为P＝＝ W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsinθ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[完美答案] (1)48 J (2)24 W (3)48 W
功率的求解步骤
(1)首先明确要求哪个力的功率，是某个力的功率，还是物体所受合力的功率。
(2)求平均功率时需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝或P＝Fcosθ求解。
(3)求瞬时功率则需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定受力F、速度v及F与v的夹角关系，然后再代入P＝Fvcosα进行求解。
质量为m的木块静止在光滑的水平面上，某一水平恒力F作用在木块上，求：
(1)t＝t1时刻的瞬时功率；
(2)从t＝0开始，到t1时间内，F的平均功率。
答案 (1) (2)
解析 (1)计算t＝t1时刻的瞬时功率，需求出该时刻的瞬时速度v1，v1＝at1＝t1，故P1＝Fv1＝。
(2)要求0～t1时间内的平均功率，有两种计算方法：
方法一：利用＝，W＝Fl＝F·at＝F···t，所以＝＝。
方法二：利用＝F＝F·＝。
如图甲所示，质量为1 kg的物体置于固定斜面上，现对物体施以平行于斜面向上的拉力F，1 s 末将拉力撤去，物体运动的v-t图象如图乙所示，g取 10 m/s2。试求：
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率。
答案 (1)18 N (2)108 W
解析 (1)由v-t图象知，当撤去拉力F后，物体做匀减速直线运动，
加速度大小a＝6 m/s2，
由牛顿第二定律得：阻力f＝ma＝6 N，
当物体受拉力F的作用时，由牛顿第二定律得：
F－f＝ma′，
由题图乙知加速度a′＝12 m/s2，所以F＝18 N。
(2)物体在拉力F作用下的位移x＝a′t2＝6 m，
所以拉力F在第1 s内的平均功率：
＝＝ W＝108 W。
课堂任务 机车的两种启动方式
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲、乙所示的是机车的哪两种启动方式？
提示：甲图表示机车以恒定功率启动，乙图表示机车以恒定加速度启动。
活动2：两种启动方式最后达到的速度是一样的吗？
提示：如果是同一辆车在同一路面，而且甲图是以额定功率启动的，最后达到的速度是一样的。
活动3：功率恒定时，机车做的是什么运动？
提示：不管哪种启动方式，功率恒定时，机车做的都是加速度逐渐减小的加速直线运动。机车加速时牵引力减小，直到牵引力减小到和阻力相等后做匀速直线运动。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)机车的两种启动方式对比
续表
说明：(1)从运动性质来看，以恒定加速度启动只是多了一个匀加速直线运动过程，其他运动过程完全相同。
(2)无论哪种启动方式，同一路面，同一辆车最后能达到的最大速度是一样的，都为vm＝。
(2)机车功率的求解方法
机车的牵引力为F，在某个时刻的瞬时速度为v
①P＝Fv：不需要任何条件，在任何情况下都成立。
②P＝fv：适用于机车做匀速直线运动的情况。因匀速直线运动时，牵引力和阻力相等。注意：f是阻力，不一定是摩擦力。比如汽车爬坡时阻力为摩擦力与重力沿坡面方向的分力之和。
③P额＝Fvm＝fvm：机车要达到最大速度必须满足两个条件，即达到额定功率和匀速直线运动。
(3)P＝Fv中三个量的制约关系
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定
P与F成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
P与v成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
例2 一辆重5 t的汽车，发动机的额定功率为80 kW。汽车从静止开始以加速度a＝1 m/s2做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0.06倍。(g取10 m/s2)求：
(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间；
(2)汽车开始运动后，5 s末和15 s末的瞬时功率。
(1)机车以恒定加速度启动时的运动可以分为哪几个阶段？
提示：机车以恒定加速度启动时的运动可以分为三个阶段：
①匀加速直线运动阶段；②加速度减小的变加速直线运动阶段；③匀速直线运动阶段。
(2)各个阶段的各自特点有哪些？
提示：①匀加速阶段：加速度恒定，牵引力恒定，功率越来越大，直到额定功率。
②变加速阶段：功率恒定，牵引力减小，加速度减小，速度增大的越来越慢。
③匀速阶段：功率恒定，牵引力等于阻力，速度达到最大。
[规范解答] (1)设汽车匀加速运动所能达到的最大速度为v0，此时汽车输出功率达到额定功率P额＝Fv0，
对汽车由牛顿第二定律得F－Ff＝ma
又Ff＝0.06mg
联立并代入数据得v0＝10 m/s，
所以汽车做匀加速直线运动的时间
t0＝＝ s＝10 s。
(2)由于10 s末汽车达到了额定功率，5 s末汽车还处于匀加速运动阶段，
P＝Fv＝(Ff＋ma)at＝(0.06×5×103×10＋5×103×1)×1×5 W＝40 kW
15 s末汽车已经达到了额定功率P额＝80 kW。
[完美答案] (1)10 s (2)40 kW 80 kW
机车启动问题的解题方法
(1)比较额定功率与实际功率的关系：该类问题多以机车做匀速直线运动为题设条件，解决这类问题的主要依据是匀速直线运动时牵引力F与阻力f相等。
(2)对于机车匀加速启动问题：主要综合应用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律解题，解题过程注意分析各物理量如a、F、f、P、v之间的关系及它们的变化规律，关键是要抓住不变的物理量。
(3)求瞬时加速度：求瞬时加速度时，可由F＝求出此时的牵引力，再根据牛顿第二定律a＝求出瞬时加速度。
(1)例题中的汽车以额定功率做匀速运动的最终速度多大？
(2)例题中的汽车在额定功率作用下速度为20 m/s时，加速度多大？
答案 (1)26.7 m/s (2)0.2 m/s2
解析 (1)汽车以额定功率做匀速运动时，牵引力F1＝Ff，
故运动速度
vm＝＝＝ m/s≈26.7 m/s。
(2)汽车的速度为20 m/s时的牵引力
F2＝＝ N＝4×103 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a′＝＝ m/s2
＝0.2 m/s2。
例3 汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sinα＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(1)汽车上坡受到的阻力是摩擦力吗？
提示：摩擦力只是阻力的一部分，这里还有重力的沿坡面方向的分力也是阻力。
(2)汽车匀加速启动，匀加速直线运动什么时候结束？
提示：汽车匀加速启动时功率一直在增大，当增大到额定功率时匀加速直线运动就结束。
[规范解答] (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝0.1mg＋mgsinα＝4000 N＋800 N＝4800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm，
所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f＝ma。
所以F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度设为vm′，有
vm′＝＝ m/s＝ m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间
t＝≈13.9 s。
[完美答案] (1)12.5 m/s (2)13.9 s
不管什么情况，机车匀速运动时都有P＝fv。其中的f指阻力，阻力不一定是摩擦力，各种性质的力都可以作为阻力，它的作用是阻碍物体的运动。比如上升的物体，重力和空气阻力都是其阻力。
如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。取g＝10 m/s2，不计额外功。求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间；
(3)起重机在第2秒末的输出功率。
答案 (1)5.1×104 W (2)5 s (3)2.04×104 W
解析 (1)物体上升，重力是其阻力，由P额＝fvm，可得起重机允许的最大输出功率为Pm＝mgvm＝5.1×104 W。
(2)由F1－mg＝ma，Pm＝F1·v匀m，v匀m＝at1
可解得：t1＝5 s。
(3)由(2)问可知，第2 s末重物仍在做匀加速直线运动，
由v2＝at2，P＝F1v2，F1－mg＝ma
可解得：P＝2.04×104 W。
A组：合格性水平训练
1．(功与功率)关于功率，下列说法中正确的是( )
A．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
B．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
C．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
D．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
答案 B
解析 功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，表示做功越快。功率的国际单位是瓦特。故B正确。
2．(功率公式)关于功率，下列说法中正确的是 ( )
A．根据P＝可知，机械做功越多，其功率就越大
B．根据P＝Fv可知，汽车的牵引力一定与其速度成反比
C．根据P＝可知，只要知道时间t内所做的功，就可知任意时刻的功率
D．根据P＝Fv可知，发动机的功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案 D
解析 由P＝可知，在时间t一定的情况下，机械做功越多，其功率就越大，A错误；根据P＝Fv可知，在发动机的输出功率P一定的情况下，汽车的牵引力与其速度成反比，B错误，D正确；功W与一段运动过程相对应，故利用P＝计算出的是时间t内力对物体做功的平均功率，C错误。
3．(P＝Fv)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率，如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )
A．4倍 B．2倍
C．倍 D．倍
答案 D
解析 由P＝Fv＝fv＝kv·v＝kv2知，P变为原来的2倍时，v变为原来的倍，D正确。
4．(瞬时功率)宇航员在地面进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直状态的过程中，宇航员所受重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 C
解析 开始运动时，宇航员的速度为零，重力的瞬时功率为零。运动到最低点，宇航员的速度沿水平方向，与重力垂直，重力的瞬时功率也为零，摆动过程中重力的瞬时功率不为零，即重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。
5．(机车启动)质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 当汽车以最大速度匀速行驶时，有f＝F＝，根据P＝F′·，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故B正确。
6．(机车启动图象问题)(多选)在检测某款电动汽车性能的某次试验中，电动汽车由静止开始沿平直公路匀加速启动，当功率达到额定功率时保持功率不变，最终做匀速运动。设整个运动过程受到的阻力f不变，图中v、a、F、f和P分别表示电动汽车的速度大小、加速度大小、牵引力大小、阻力大小和功率大小，其中正确的是( )
答案 ABC
解析 开始时电动汽车功率逐渐增加，P＝Fv＝mav，故P-v图线为过原点的直线，后来功率恒定，A正确；电动汽车牵引力开始大小不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，B正确；在v-t图象中斜率表示加速度，电动汽车开始时加速度不变，后来逐渐减小至零，C正确、D错误。
7．(平均功率、瞬时功率)如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m＝10 kg的物体。在水平推力F1＝20 N的作用下，从静止开始做匀加速直线运动。运动3 s后推力F的大小变为F2＝10 N，方向不变。求：
(1)推力F在3 s内对物体所做的功；
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率；
(3)推力F在4 s时做功的瞬时功率。
答案 (1)180 J (2)60 W (3)70 W
解析 (1)设运动物体在前3 s内的加速度为a1，运动位移为x1，第3 s末的速度大小为vt，则有
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
x1＝a1t2＝×2×32 m＝9 m，
vt＝a1t＝2×3 m/s＝6 m/s
所以推力F在3 s内对物体做的功
W1＝F1x1＝20×9 J＝180 J。
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率
＝＝ W＝60 W。
(3)3 s后物体的加速度a2＝＝1 m/s2
4 s时物体的运动速度为
vt′＝vt＋a2t2＝6 m/s＋1×1 m/s＝7 m/s
所以推力F在4 s时做功的瞬时功率
P＝F2vt′＝10×7 W＝70 W。
8．(机车启动)汽车发动机的额定功率为30 kW，质量为2000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车重的0.1倍。求：
(1)汽车在路面上能达到的最大速度？
(2)若汽车以额定功率启动，则速度为10 m/s时的加速度？
(3)若汽车从静止开始保持1 m/s2的加速度作匀加速直线运动，则这一过程能持续多长时间？
答案 (1)15 m/s (2)0.5 m/s2 (3)7.5 s
解析 (1)汽车达到最大速度时，牵引力与阻力平衡，由此可得：
P额＝F·vm＝f·vm
所以vm＝＝ m/s＝15 m/s。
(2)当速度v＝10 m/s时，则
F1＝＝ N＝3×103 N
所以a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2。
(3)若汽车从静止作匀加速直线运动，则当P＝P额时，匀加速运动结束
所以P额＝F2·vt
又因为F2－f＝ma2
所以vt＝＝
所以t＝＝＝ s＝7.5 s。
9．(机车启动)动车组是城际间实现小编组、大密度的高效运输工具，以其编组灵活、方便、快捷、安全、可靠、舒适等特点而备受世界各国铁路运输和城市轨道交通运输的青睐。几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢编成一组，就是动车组。假设有一动车组由六节车厢连接而成，每节车厢的总质量均为m＝8×104 kg。其中第一节、第二节带动力，他们的额定功率分别是P1＝2×107 W和P2＝1×107 W(第一节车厢达到额定功率后，如功率不够用启动第二节车厢)，车在行驶过程中阻力恒为重力的0.1倍。(g＝10 m/s2)
(1)求该动车组的最大行驶速度；
(2)若列车以1 m/s2的加速度匀加速启动，求t＝10 s时，第一节和第二节车厢之间拉力的值。
答案 (1)62.5 m/s (2)8×105 N
解析 (1)当前两节车厢都输出额定功率且总牵引力等于总阻力时，动车组速度最大，P1＋P2＝fvm
f＝0.1×6mg
联立解得vm＝62.5 m/s。
(2)当t＝10 s时，v1＝at＝10 m/s。
假设只有第一节车厢提供动力，输出功率P：
－f＝6ma，
得P＝9.6×106 WF－f2＝5ma
f2＝0.1×5mg
解得：F＝8×105 N。
B组：等级性水平训练
10．(综合)如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
答案 C
解析 由速度—时间图象可得加速度a＝0.5 m/s2，A错误；由牛顿第二定律得：2F－mg＝ma，所以F＝＝10.5 N，B错误；4 s末，P＝F(2v物)＝10.5×2×2 W＝42 W，C正确；4 s内，＝＝＝ W＝21 W，D错误。
11．(机车启动图象问题)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数图象如图所示。若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
答案 D
解析 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应图线可知，＝k＝40，可求出汽车的功率P，由a＝0时，＝0.05可得：vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间，故选D。
12. (机车启动图象问题)一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。试求：
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动；
(2)v2的大小；
(3)整个运动过程中的最大加速度；
(4)匀加速运动过程的最大速度是多大？匀加速运动过程用时多长？当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率是多大？
答案 (1)汽车先做匀加速直线运动，后做功率不变的加速直线运动
(2)20 m/s (3)2 m/s2
(4)6.67 m/s 3.33 s 2×104 W
解析 (1)由图可知，在AB段汽车的牵引力不变，而水平方向的阻力恒定，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度不变的加速运动；在BC段汽车的牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度减小的加速运动，此过程中BC的斜率不变，所以＝Fv＝P保持不变，以恒定的功率加速，直到速度达到最大。
(2)当汽车的速度为v2时，牵引力为：F1＝1×103 N
v2＝＝ m/s＝20 m/s。
(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，阻力为：
Ff＝F1＝1000 N
加速度为：a＝＝ m/s2＝2 m/s2。
(4)与B点对应的速度即匀加速运动过程的最大速度：v1＝＝ m/s≈6.67 m/s
故匀加速运动过程所用时间t＝≈3.33 s
当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段，故此时的功率为最大功率：Pm＝2×104 W。
课件80张PPT。第三节 功率01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第九节 实验：验证机械能守恒定律
1．掌握用落体法验证机械能守恒定律的实验原理。
2．理解实验设计思路，明确实验中需要直接测量的物理量。
3．熟悉实验操作，能正确测量数据，会求瞬时速度。
4．掌握实验数据的处理方法，能定性分析误差产生的原因。
1.实验原理
做自由落体运动的物体，如果忽略微小阻力作用，机械能是守恒的，即重力势能的减少量等于动能的增加量。
2．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、交流电源、重物(带纸带夹)、纸带、复写纸片、导线、毫米刻度尺。
3．实验步骤
(1)安装置：按如图实验装置图把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。
(2)打纸带：在纸带的一端用夹子把重物固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近。先接通电源后放手，让重物拉着纸带自由下落。重复几次，得到3～5条打好点的纸带。
(3)选纸带：从打好点的纸带中挑选点迹清晰且开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，在起始点标上O，以后任取间隔相同时间的点依次标上1、2、3……。
(4)测距离：用刻度尺测出O到1、2、3……的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3……。
课堂任务 探究过程·获取数据
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲所示，本实验的研究对象是谁？研究它的什么规律？
提示：本实验的研究对象是重物，研究它在下落的过程中机械能是否守恒。
活动2：怎样测出重物下落的高度？
提示：从纸带上测出。纸带随重物一起下落，纸带上任何两个点之间的距离就代表这两个时刻间重物下落的高度。比如图乙中的h1、h2、h3。
活动3：怎样求出重物在某个时刻的速度？
提示：纸带随重物一起匀加速下落，任意时刻重物与纸带的速度相等。纸带做匀加速运动，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。例如：如图所示，记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1、2、3、……n，使相邻两计数点间的点数相同，并用刻度尺测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3、……hn，打第n个计数点时的瞬时速度等于这点前后相邻两计数点间的平均速度，即根据公式vn＝或vn＝(T为相邻计数点间的时间间隔)，计算出1、2、3、4、……n点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、……vn。
活动4：本实验对重物有什么要求？
提示：本实验要求重物下落过程中空气阻力的影响尽可能小，所以重物选质量和密度比较大的，这样误差会小一些。
课堂任务 分析数据·得出结论
活动1：本实验有哪几种处理数据的方法来验证机械能守恒定律？
提示：方法一：利用起始点和第n点
从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mv，如果在实验误差允许的范围内mv＝mghn，即v＝ghn成立，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点A、B
测出物体下落高度hAB过程的初、末时刻的速度vA、vB，重力势能减少量为mghAB，动能增加量为mv－mv，如果在实验误差允许的范围内mv－mv＝mghAB，即v－v＝ghAB成立，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图象法
计算各计数点的v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线。若在实验误差允许的范围内，图象是一条过原点且斜率为g的直线，如图所示，则验证了机械能守恒定律。
特别提醒：(1)本实验不管是用mv2＝mgh，还是mv－mv＝mghAB验证机械能守恒定律，等式两边的m都约掉了，所以本实验中的验证方法均不需要测重物的质量m。
(2)根据mv－mv＝mghAB验证时，由于重力势能的变化是绝对的，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm就无关紧要，只要后面的点迹清晰就可选用。
活动2：本实验有哪些注意事项？
提示：(1)应尽可能控制实验条件，即应满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
①安装打点计时器要稳固，并使两个限位孔的中线在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。
②应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小。
(2)实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。先接通电源，等打点计时器工作稳定后再松开纸带。
(3)测量下落高度时，为了减小测量值h的相对误差，选取的各个计数点要离起始点远一些，纸带也不宜过长，有效长度可在60～80 cm之间。
(4)实验中的验证方法均不需要测量重物的质量m。
(5)速度不能用vn＝gtn或vn＝计算，因为只要认为加速度为g，机械能当然守恒，即相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律。
活动3：本实验有哪些实验误差？怎么减小这些实验误差？
提示：(1)本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服空气阻力及打点计时器的摩擦阻力做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk＜ΔEp，这属于系统误差。改进的办法是调整器材的安装和选用质量和密度较大的重物，尽可能地减小阻力的影响。
(2)本实验的偶然误差主要来源于长度的测量。减小误差的办法是测下落距离时都从O点量起，一次将各计数点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。
课堂任务 典例探究·提升能力
例1 在“验证机械能守恒定律”的实验中，有下列A至F六个步骤：
A．将打点计时器竖直固定在铁架台上
B．接通电源，再松开纸带，让重锤自由下落
C．取下纸带，更换纸带(或将纸带翻个面)，重新做实验
D．让重锤固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带的另一端，使重锤停靠在打点计时器附近
E．选择一条合适的纸带，用刻度尺测出重锤下落的高度h1、h2、h3、……hn，算出对应的瞬时速度v1、v2、v3、……vn
F．分别算出v和ghn，比较在实验误差范围内是否相等
(1)以上实验步骤按合理顺序排列应该是________。
(2)某同学在进行实验时，获得了数条纸带，下列做法正确的是________。
A．必须挑选第一、二两点间的距离接近2 cm的纸带进行测量
B．在纸带上可以选取点迹清晰的、方便测量的某点作计数点的起始点
C．用刻度尺量出各计数点到第一点之间的距离，得到重锤下落的相应高度h1、h2、h3、……hn
D．用公式vn＝计算出各计数点对应的重锤的瞬时速度
(1)如何求解打点计时器打纸带上某一点时的瞬时速度？
提示：利用＝v ，即某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度。
(2)用v2＝gh验证机械能守恒时如何挑选纸带？为什么？
提示：要挑点迹清晰，第1、2两点间距接近2 mm的纸带。
因为打点计时器打点间隔为0.02 s，让物体从静止开始下落，第1、2点间距应满足s＝gT2＝×9.8×0.022 m＝1.96 mm≈2 mm。
[规范解答] (1)实验步骤的合理顺序为ADBCEF。
(2)若从打第一个点开始测量，则必须选第1、2两点间距接近2 mm的纸带；若从某个清晰的点开始测量，也可以验证机械能守恒，但应该用mv－mv＝mgΔh的形式，故A错误，B正确；由实验数据处理方法可知，C、D均正确。
[完美答案] (1)ADBCEF' (2)BCD
在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为50 Hz，依次打出的点为0,1,2,3,4，……n。则：
(1)如用第2点到第6点之间的纸带对应重物的运动过程来验证，必须直接测量的物理量为________、________、________，必须计算出的物理量为________、________，验证的表达式为________________________。
(2)关于本实验的叙述中，正确的有( )
A．打点计时器安装时要使两限位孔位于同一竖直线上并安装稳定，以减小纸带下落过程中的阻力
B．需用天平测出重物的质量
C．打点计时器用四节干电池串联而成的电池组作为电源
D．用手托着重物，先闭合打点计时器的电源开关，然后释放重物
E．打出的纸带中，只要点迹清晰，就可以运用公式mgΔh＝mv2来验证机械能是否守恒
F．验证机械能是否守恒必须先确定重力势能的参考平面
答案 (1)第2点到第6点之间的距离h26 第1点到第3点之间的距离h13 第5点到第7点之间的距离h57 第2点的瞬时速度v2 第6点的瞬时速度v6 gh26＝v－v (2)AD
解析 (1)要验证从第2点到第6点之间的纸带对应重物的运动过程中机械能守恒，应测出第2点到第6点的距离h26，要计算第2点和第6点的速度v2和v6，必须测出第1点到第3点之间的距离h13和第5点到第7点之间的距离h57，机械能守恒的表达式为mgh26＝mv－mv，即gh26＝v－v。
(2)本实验要验证“mgh＝mv2”，其中重物的质量可以消去，即不需用天平测出重物的质量，只要验证“gh＝v2”即可，B错误。打点计时器的打点周期取决于交流电源的频率，或者说必须使用交流电，不可用干电池代替，所以C错误。对于打出的纸带有两种处理方法：第一，选取第1、2两点间的距离接近2 mm且点迹清晰的纸带进行测量，利用“gh＝v2”来验证机械能是否守恒；第二，可以选择纸带点迹清晰的部分，测量任意两个计数点之间的距离Δh，求出这两点间的动能之差ΔEk，运用公式mgΔh＝ΔEk而不是mgΔh＝mv2来验证机械能是否守恒，所以E错误。因为本实验要验证的是重物重力势能的减少量等于其动能的增加量，而重力势能的减少量与重力势能的参考平面的位置无关，所以本实验不需要先确定重力势能的参考平面，F错误。本题答案为A、D。
例2 (2016·北京高考)利用图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。(填选项字母，下同)
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量与势能变化量
C．速度变化量与高度变化量
(2)除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是________。
A．交流电源 B．刻度尺
C．天平(含砝码)
(3)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图乙所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp＝________，动能变化量ΔEk＝________。
(4)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是________。
A．利用公式v＝gt计算重物速度
B．利用公式v＝计算重物速度
C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D．没有采用多次实验取平均值的方法
(5)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2-h图象，并做如下判断：若图象是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确。__________________________________。
(1)利用自由落体运动验证机械能守恒定律时，重力势能减少量总大于动能增加量的原因是什么？
提示：空气阻力和摩擦阻力做功对实验造成影响。
(2)试分析v2-h图象的斜率的物理意义？
提示：如果机械能守恒，则mgh＝mv2，则v2＝2gh，故v2-h图象的斜率表示重力加速度的2倍。
[规范解答] (1)只需要比较重物下落过程中，任意两点间的动能变化量与势能变化量是否相等，即可验证机械能是否守恒，故选A项。
(2)打点计时器需要接交流电源，故选A项；还需要用刻度尺测量重物下落的高度，故还要选B项；验证机械能守恒时，m会约去，故不需要用天平测质量，C项不选。
(3)从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少mghB，变化量为－mghB；打B点的速度vB＝，动能Ek＝mv，联立解得Ek＝m2，故动能变化量ΔEk＝Ek－0＝m2。
(4)由于存在空气阻力和摩擦阻力的影响，导致重力势能的减少量大于动能的增加量，产生系统误差，多次实验取平均值无法消除系统误差，故C正确。
(5)在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，由动能定理得，mgh－fh＝，解得v2＝2h，故v2-h图象是一条过原点的直线，但还要看图线的斜率是否在误差允许的范围内接近2g，才能用该法验证机械能守恒定律。
[完美答案] (1)A (2)AB
(3)－mghB m2 (4)C
(5)该同学的判断依据不正确。在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，根据动能定理得，mgh－fh＝mv2－0，解得v2＝2h，可知v2-h图象就是一条过原点的直线。但要想通过描绘v2-h图象的方法验证机械能是否守恒，还必须看图象的斜率是否接近2g
某实验小组利用图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验，图乙是他们选择的一条较理想的纸带，O点是打点计时器打出的第一个点，计数点A、B、C、D、E、F是纸带上相邻的点。他们测出了各点与O点的距离h后做出了必要的计算，测量和计算的记录见下表(计数点的速度用v表示)：
计数点
A
B
C
D
E
F
h(cm)
6.93
9.47
12.4
15.71
19.41
23.49
v(m/s)
1.16
1.37
1.56
1.75
1.95
2.14
v2(m2/s2)
1.35
1.88
2.43
3.06
4.05
4.58
(1)测量某点与O点距离h的记录中不合理的一组是________(填写计数点名称)。
(2)计数点D、E、F与O点之间的距离分别用hD、hE、hF表示，打点计时器的打点周期用T表示，则打下计数点E时纸带的速度vE＝________(用符号表示)，重物运动的加速度a＝________(用符号表示)。
(3)该小组的同学在坐标纸上建立如图所示坐标系，标出了各组测量数据的坐标点，并在坐标系中画出v2-h图线。由图线可以判断计数点________的测量误差较大(填写计数点名称)，据图线得到重力加速度g测＝________ m/s2(保留三位有效数字)。
(4)下列判断中正确的是( )
A．在误差允许的范围内，该实验小组达到了实验目的
B．该地的重力加速度比g测偏大
C．他们实验操作过程中是先释放纸带然后再闭合打点计时器开关
D．实验过程中阻力引起的误差属于系统误差
答案 (1)C (2)
(3)E 9.79(9.75～9.83) (4)ABD
解析 (1)测量某点到O点距离h的记录中不合理的一组是C：12.4，因为该数据没有估读。
(2)根据某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，vE＝DF＝，根据Δx＝aT2得：a＝＝＝＝
(3)由题图可以看出第5组数据(计数点E)偏离直线较远，误差较大。
若该过程机械能守恒，则有mgh＝mv2，所以v2＝2gh。v2-h图象中，图线的斜率为2g，即g为斜率的一半，由图线可知g＝＝9.79 m/s2。
(4)由于实验测得的g值近似等于当地重力加速度，所以公式mgh＝mv2成立，即验证了机械能守恒定律，A正确。由于空气阻力和摩擦阻力的存在，有一部分机械能转化为内能，测得的g值应偏小，该误差不是操作不当引起的，属系统误差，B、D正确。实验操作中应先闭合开关后释放纸带，C错误。
1．(注意事项)在“验证机械能守恒定律”实验中，纸带将被释放瞬间的四种情况如照片所示，其中最合适的是( )
答案 D
解析 A、B纸带弯折会产生很大的摩擦阻力，B、C重锤起始位置离打点计时器太远，D中操作最合适，选D。
2．(误差分析)用图所示装置验证机械能守恒定律，由于电火花计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到较大的阻力，这样实验造成的结果是( )
A．重力势能的减少量明显大于动能的增加量
B．重力势能的减少量明显小于动能的增加量
C．重力势能的减少量等于动能的增加量
D．以上几种情况都有可能
答案 A
解析 由于重物下落时要克服阻力做功，重物减少的重力势能转化为重物的动能和系统的内能，故重力势能的减少量大于动能的增加量，A正确。
3．(实验原理)在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中需要直接测量的是( )
A．重物的质量
B．重力加速度
C．重物下落的高度
D．重物下落某一高度所对应的瞬时速度
答案 C
解析 重物的质量不需要测量；重力加速度是已知的；重物下落的高度需要测量；瞬时速度是根据纸带上的数据计算得出的。故应选C。
4．(数据处理)(多选)如图所示是用自由落体法验证机械能守恒定律时得到的一条纸带，有关尺寸在图中已注明。我们选中n点来验证机械能守恒定律，下面举出一些计算n点速度的方法，其中正确的是( )
A．vn＝gnT
B．vn＝g(n－1)T
C．vn＝
D．vn＝
答案 CD
解析 直接利用重力加速度g来计算n点速度，相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律，A、B均错误；n点的速度等于n－1到n＋1两点间的平均速度，故C、D正确。
5．(实验原理)在研究重物自由下落过程中机械能守恒的实验中，得到如图所示的一条纸带，该纸带上最初打出的几个点不清楚，纸带上留下的是最后面的一些点。算出打下B、C两点时重物的速度分别是vB、vC，测得B、C两点间的距离为h，那么验证机械能守恒的表达式可写为( )
A．gh＝v－v B．gh＝v－v
C．vC＝vB＋gT D．v＋v＝2gh
答案 B
解析 从B运动到C的过程中，重力势能的减少量为ΔEp＝mgh，动能的增加量为ΔEk＝mv－mv，所以验证机械能守恒的表达式为mgh＝mv－mv，即gh＝v－v，B正确。
6．(实验原理和注意事项)(多选)在“验证机械能守恒定律”的实验中，有关重物的质量，下列说法正确的是( )
A．应选用质量较大的重物，使重物和纸带所受的重力远大于它们所受的阻力
B．应选用质量较小的重物，使重物的惯性小一些，下落时更接近于自由落体运动
C．不需要称量重物的质量
D．必须称量重物的质量，而且要估读到0.01 g
答案 AC
解析 本实验依据的原理是用重物自由下落验证机械能守恒定律，因此重物的质量应取得大一些，以便系统所受的阻力和重物的重力相比可以忽略不计，保证重物做自由落体运动。对做自由落体运动的物体来说，物体的机械能守恒，即重力势能的减小量等于其动能的增加量，设重物质量为m，下落高度为h时的速度为v，则有mv2＝mgh，约去m后，有v2＝2gh。分别计算对应的v2和2gh，看它们在误差允许范围内是否相等，即可验证机械能守恒定律是否成立。故选A、C。
7．(数据处理)用落体法验证机械能守恒定律的实验中得到如图所示纸带。根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图象应是( )
答案 C
解析 由机械能守恒定律得mgh＝mv2，得＝gh，可以看出与h成正比例关系，图线是过原点的直线，故C正确。
8．(数据处理)在“用自由落体法验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所接交流电频率为50 Hz，当地重力加速度g＝9.80 m/s2。实验选用重锤质量为m(kg)，从所打纸带中选择一条合适的纸带，如图所示。O是打下的第1点，纸带上连续的点A、B、C、D至第1点O的距离如图所示，则重锤从O运动到C，重力势能减少________。打下C点时重锤的速度为________m/s。其动能增加________。
答案 5.50m J 3.3 5.45m J
解析 重锤从O运动到C，重力做功
WG＝mg·hOC＝9.80m×56.1×10－2 J≈5.50m J。
故重力势能减少5.50m J，重锤过C点时速度：
vC＝＝ m/s＝3.3 m/s，
增加的动能ΔEk＝mv＝m×3.32 J≈5.45m J。
9．(综合)某同学做“验证机械能守恒定律”实验时，不慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏，损坏的是前端部分。剩下的一段纸带上各相邻点间的距离已测出并标在图中，单位是cm。打点计时器工作频率为50 Hz，重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)设重物质量为m(kg)，重物在2点的速度v2＝________，在5点的速度v5＝________，此过程中动能增加量ΔEk＝________，重力势能减少量ΔEp＝________。由以上可得出实验结论：________________________________。
(2)重物获得的动能往往________(A.大于 B．小于 C．等于)减少的重力势能，实验中产生系统误差的原因是________________。
(3)根据实验判断下列图象正确的是(其中ΔEk表示重物动能的变化量，Δh表示物体下落的高度)( )
答案 (1)1.50 m/s 2.075 m/s 1.03m J 1.06m J 在误差允许的范围内，机械能守恒
(2)B 重物下落时要克服阻力做功 (3)C
解析 (1)根据匀变速直线运动的规律，可以求出重物在2点的速度v2＝ m/s＝1.50 m/s，重物在5点的速度v5＝ m/s＝2.075 m/s，所以动能增加量为ΔEk＝mv－mv≈1.03m J，重物从2点到5点，重力势能减少量为ΔEp＝mgh25＝m×9.8×(3.2＋3.6＋4.0)×10－2 J＝1.06m J，由以上可得出实验结论为在误差允许的范围内，机械能守恒。
(2)由于重物下落时要克服阻力做功，所以获得的动能小于减少的重力势能。
(3)重物机械能守恒，重物减少的重力势能转化为增加的动能，即ΔEk＝mgΔh，可见重物增加的动能与下落的高度成正比，C正确。
10．(实验创新)用如图甲所示的实验装置验证质量分别为m1、m2的物体组成的系统机械能守恒。物体m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量来验证机械能是否守恒。如图乙所示是实验中获取的一条纸带，0点是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点未画出，计数点间的距离如图所示。已知m1＝50 g，m2＝150 g，打点计时器的工作频率为50 Hz。(g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件
B．将打点计时器接到直流电源上
C．先释放m2，再接通电源打出一条纸带
D．测量纸带上某些点间的距离
E．根据测量的结果，分别计算系统减少的重力势能和增加的动能
其中操作不当的步骤是________(填选项对应的字母)；
(2)在纸带上打下计数点5时的速度v＝________ m/s；
(3)在打点0～5过程中系统动能的增加量ΔEk＝________ J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________ J，由此得出的结论是____________________；
(4)若某同学作出-h图象如图所示，写出计算当地重力加速度g的表达式________，并计算出当地的实际重力加速度g＝________ m/s2。
答案 (1)BC (2)2.4 (3)0.58 0.60 在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒
(4)g＝ 9.7
解析 (1)在实验过程中，应将打点计时器接到交流电源上，B错误；应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放m2，C错误。
(2)在纸带上打下计数点5时的速度v＝×10－2 m/s＝2.4 m/s。
(3)ΔEk＝(m1＋m2)v2＝0.58 J，系统重力势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh＝0.60 J，因此可得出：在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒。
(4)因为(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，整理得g＝，整理也可得到＝h，所以v2-h图象的斜率为＝，即＝ m/s2，解得g＝9.7 m/s2。
11．(实验创新)某探究小组想利用验证机械能守恒定律的装置测量当地的重力加速度，如图甲所示。框架上装有可上下移动位置的光电门1和固定不动的光电门2；框架竖直部分紧贴一刻度尺，零刻度线在上端，可以测量出两个光电门到零刻度线的距离x1和x2；框架水平部分用电磁铁吸住一个质量为m的小铁块，小铁块的重心所在高度恰好与刻度尺零刻度线对齐。切断电磁铁线圈中的电流时，小铁块由静止释放，当小铁块先后经过两个光电门时，与光电门连接的传感器即可测算出其速度大小v1和v2。小组成员多次改变光电门1的位置，得到多组x1和v1的数据，建立如图乙所示的坐标系并描点连线，得出图线的斜率为k。
(1)当地的重力加速度为________ (用k表示)。
(2)若选择光电门2所在高度为零势能面，则小铁块经过光电门1时的机械能表达式为________(用题中物理量的字母表示)。
(3)关于光电门1的位置，下面哪个做法可以减小重力加速度的测量误差( )
A．尽量靠近刻度尺零刻度线
B．尽量靠近光电门2
C．既不能太靠近刻度尺零刻度线，也不能太靠近光电门2
答案 (1)k (2)mv＋mk(x2－x1) (3)C
解析 (1)以零刻度线所在平面为零势能面，小铁块从光电门1运动到光电门2的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律得mv－mgx1＝mv－mgx2
整理得v－v＝2g(x2－x1)
所以图线的斜率k＝2g
解得g＝k。
(2)小铁块经过光电门1时的机械能等于小铁块经过光电门1时的动能加上重力势能，即E＝mv＋mg·(x2－x1)＝mv＋mk(x2－x1)。
(3)使光电门1与刻度尺零刻度线远一些并适当增大两光电门1、2间的距离，可以使位移测量的相对误差减小，从而减小重力加速度的测量误差，所以C正确。
课件78张PPT。第九节 实验：验证机械能守恒定律01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第五节 探究弹性势能的表达式
1．理解弹性势能的概念。
2．进一步了解功和能的关系，掌握弹力做功与弹性势能变化的关系。
3．知道弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关。
4．领悟通过细分过程化变力为恒力计算变力做功的思想方法。
1.弹性势能的认识
(1)弹性势能的概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
(2)弹簧的弹性势能
当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能。
2．探究弹性势能的表达式
(1)决定弹性势能大小相关因素的猜想
①猜想依据：弹性势能和重力势能同属势能，重力势能大小与物体的质量和高度有关，弹簧弹力与其形变量和劲度系数有关。
②猜想结论：弹性势能与弹簧的形变量l和劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大；在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量l越大，弹簧弹性势能越大。
(2)探究思想
①弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能变化的关系相似。
②用拉力缓慢拉动弹簧，拉力做的功等于克服弹力做的功。
(3)数据处理
拉力随形变量的增大而增大，故拉力为变力。计算拉力做功可以用以下两种方法：
①微元法(“化变为恒”法)：把整个过程划分为很多小段，各个小段上的拉力可以近似认为不变，整个过程拉力做的总功等于各段拉力做功的代数和：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…。
②图象法：作出F -l图象，则弹力做功等于图象与l轴围成的面积。
(4)结论
F -l图象如图所示，拉力F等于弹力kl，故当弹簧形变量为l0时，F0＝kl0(k为弹簧的劲度系数)，图中图线与l轴围成的面积表示拉力做功，W0＝kl。
由此可得出，弹性势能的表达式为Ep＝kl2。
判一判
(1)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。( )
(2)同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同。( )
(3)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。( )
提示：(1)× (2)√ 弹力做功多少除与它的形变量有关外，还与它的劲度系数有关。
(3)× 弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加。
想一想
1.压缩的弹簧可以把小球弹出很远、拉开的弓可以把箭射出、撑杆跳高运动员可以借助手中的弯曲的杆跳得很高……，这些现象说明什么？
提示：说明发生弹性形变的物体具有能量，这种形式的能量是由物体的形变而引起的。
2．如图所示，用一弹簧制作一弹射装置。要想把小球弹的越远，弹簧的形变量必须怎样？由此设想，对同一条弹簧而言，弹性势能与什么因素有关，弹簧把小球弹出过程能量是如何转化的？
提示：弹簧形变量越大，小球弹的越远，弹性势能与弹簧形变量有关，小球弹出过程中弹簧弹性势能转化为小球动能。
课堂任务 弹性势能的产生及相关物理量
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲、乙图中射箭和弹弓有什么共同点？
提示：都是依靠物体产生弹性形变而具有弹性势能进行工作的。都是形变的物体恢复原状的过程中对另一个物体有作用力，从而使“箭”或“弹”射出。
活动2：甲、乙图中的装备不变怎么能使“箭”或“弹”射得更远？与弓的质量有关吗？
提示：只有加大力度让弹性形变的物体形变量更大才行。增加或减小弓的质量不起作用，与弓的质量无关。
活动3：乙图中小男孩如何实现拉开橡皮条较小距离就可以使同样的石头射得更远？
提示：多用几条橡皮条，或者换用要较大力才能拉开同样距离的橡皮条，类似于增大弹簧的劲度系数。
活动4：如丙图所示，将同一弹簧压缩到不同的程度，让其推动木块，哪种推得更远？
提示：压缩量大的弹簧把木块推得更远。
活动5：如丙图所示，取一个硬弹簧，一个软弹簧，分别把它们压缩相同程度，让其推动木块，哪种推得更远？
提示：硬弹簧把木块推得更远。
活动6：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)弹性势能的产生原因
①物体发生了弹性形变。
②各部分间的弹力作用。
(2)影响弹簧的弹性势能的因素
弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性势能的因素猜想如下：
例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时不会有弹性势能
B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能
C．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大
D．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小
(1)什么物体具有弹性势能？
提示：只要有弹性形变的物体都具有弹性势能。
(2)弹簧弹性势能与哪些因素有关？
提示：与弹簧的形变量和劲度系数有关。形变量越大，劲度系数越大，弹性势能越大。
[规范解答] 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A错误；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错误；弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变量越大，弹性势能越大，C正确；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错误。
[完美答案] C
所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，弹性形变越大，劲度系数越大，弹性势能越大。
关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
答案 C
解析 弹簧弹性势能的大小，跟劲度系数和形变量(拉伸或压缩的长度)有关，劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大，C正确，D错误。如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应先减小后增大，在原长处最小，A错误，同理，B错误。
课堂任务 弹性势能与弹力做功的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：小孩拉弹簧时小孩对弹簧做什么功？弹簧的弹力做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
提示：小孩拉弹簧时，拉力和位移方向一致，小孩对弹簧做正功。而弹力与位移方向相反，弹力做负功。弹簧的形变量增大，弹性势能增加。
活动2：弹簧伸长后(处于拉伸状态)小孩松手弹簧恢复原长的过程中弹簧的弹力做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？要是小孩在弹簧恢复原长的过程中还拉着弹簧，弹性势能还减小吗？
提示：小孩松手后，弹簧恢复原长的过程中，弹力与位移方向一致，弹力做正功。弹簧形变量减小，弹性势能减小。小孩在弹簧恢复原长的过程中拉不拉着弹簧结论都是一样的。
活动3：小孩压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力做什么功？做的功越多弹性势能越大吗？
提示：小孩压缩弹簧的过程中，弹力与位移方向相反，弹力做负功。形变量增大，弹性势能增加；而且，做的负功越多，压缩量越大，弹性势能越大。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)弹性势能与弹力做功的定性关系
①弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
②弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(2)弹性势能与弹力做功的定量关系：弹力做功与弹性势能的关系式为W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
(3)弹性势能与弹力做功的关系图
弹性势能只与弹力做功有关，跟其他任何力是否做功、做多少功没有关系。
例2 如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是 ( )
A．重力做功－mgh，重力势能减少mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh
(1)重力势能的改变只与________有关，与有无其他力做功、做多少功________。
提示：重力做功 无关
(2)弹性势能的改变只与________有关，与有无其他力做功，做多少功________，但由于弹力是________力，所以往往间接求弹力做功。
提示：弹力做功 无关 变
[规范解答] 可将整个过程分为两个阶段：
一是弹簧伸长到物体刚要离开地面，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增量；
二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增量，又由WF＝WF1＋WF2可知A、B、C错误，D正确。
[完美答案] D
弹性势能的变化与弹力做功的关系
(1)弹力做功和重力做功一样也与路径无关，只与初、末位置有关。
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，与其他任何力做不做功都没关系。弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少，克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少，弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值，即W弹＝－ΔEp。
(3)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，故在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能位置。弹簧原长处弹性势能最小，往往认为是零。
如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
答案 D
解析 在重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力做负功，弹性势能增加，故D正确，A、B、C错误。
课堂任务 弹性势能的表达式
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图是什么意思？
提示：是指匀变速直线运动可以采用微元法来求位移，当无限细分时，匀变速直线运动的位移可以看成无数个匀速直线运动的总位移，这样就可以像匀速直线运动一样，用速度与时间轴所围成的面积表示位移。
活动2：乙图是什么意思？
提示：和甲图的思维类似，“化变为恒”求拉力做的功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…。最终F-l图象与l轴围成的面积就表示拉力克服弹力所做的功。
活动3：当把弹簧拉伸l1时，克服弹力所做的功是多少？弹性势能是多少？
提示：F-l图线下方三角形的“面积”值就是克服弹力所做的功，克服弹力做的功为kl，即弹簧弹力做功W＝－kl，根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系知道弹性势能Ep＝－W＝kl。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)弹性势能的表达式为：Ep＝kl2
①弹簧处于原长时没有形变，弹性势能最小，通常认为为零。
②对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。对于某一弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两个不同的状态。
(2)变力做功的计算方法：①微元法；②图象“面积”法。
(3)重力势能和弹性势能的对比
例3 弹簧原长l0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到l1＝20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
(1)用什么规律找到弹簧形变与力的关系？
提示：胡克定律F＝kl。
(2)能用W＝Flcosα来计算弹力所做的功吗？
提示：公式W＝Flcosα只适用于恒力做功，弹簧弹力是变力，拉伸弹簧时弹力做的功不能用恒力做功的公式计算；由弹力做功与弹性势能变化的关系或图象“面积”法可以得出弹力所做的功。
[规范解答] (1)根据胡克定律F＝kl得：
k＝＝＝ N/m＝8000 N/m。
(2)根据F＝kl作出F-l图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F的方向与位移l的方向相反，故弹力F在此过程中做负功，W＝－×0.05×400 J＝－10 J 。
(3)弹力F做负功，则弹簧弹性势能增加，且做负功的多少等于弹性势能的变化量，ΔEp＝10 J。
[完美答案] (1)8000 N/m (2)－10 J (3)10 J
在一次演示实验中，一个压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一个小球，测得弹簧压缩的长度d和小球在粗糙水平面滚动的距离x如下表所示。由此表可以归纳出小球滚动的距离x跟弹簧压缩的长度d之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能Ep跟弹簧压缩的长度d之间的关系分别是(选项中k1、k2是常量)( )
实验次数
1
2
3
4
d/cm
0.50
1.00
2.00
4.00
x/cm
4.98
20.02
80.10
319.5
A．x＝k1d，Ep＝k2d B．x＝k1d，Ep＝k2d2
C．x＝k1d2，Ep＝k2d D．x＝k1d2，Ep＝k2d2
答案 D
解析 弹簧压缩量d1∶d2∶d3∶d4＝1∶2∶4∶8，对于小球滑行距离在误差范围内有x1∶x2∶x3∶x4＝1∶4∶16∶64，则可归纳出x＝k1d2。弹簧释放后，小球在弹簧的弹力作用下加速，在粗糙水平面滚动距离x，从能量转化的角度得弹性势能转化为克服摩擦力做功的能量，列出等式Ep＝fx，f为摩擦力，恒量，所以Ep正比于d2，即Ep＝k2d2，D正确。
A组：合格性水平训练
1．(弹性势能的认识)(多选)下列物体中，具有弹性势能的是( )
A．被拉长的橡皮筋 B．在空中自由下落的球
C．被拉细的铜丝 D．被弯曲的钢片
答案 AD
解析 拉伸的橡皮筋、弯曲的钢片具有弹性势能，自由下落的小球、被拉细的铜丝无弹性势能，A、D正确，B、C错误。
2.(弹性势能与形变)如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是( )
A．弹力变大，弹性势能变小
B．弹力变小，弹性势能变大
C．弹力和弹性势能都变小
D．弹力和弹性势能都变大
答案 D
解析 将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大，故A、B、C错误，D正确。
3．(弹力做功与弹性势能的变化)(多选)某同学利用橡皮条将模型飞机弹出，在弹出过程中，下列说法正确的是( )
A．橡皮条收缩，弹力对飞机做功
B．飞机的动能增加
C．橡皮条的弹性势能减少
D．飞机的重力势能减小，转化为飞机的动能
答案 ABC
解析 橡皮条收缩产生弹力将飞机推出，弹力对飞机做正功，飞机动能增加，橡皮条弹性势能减少，飞机上升，重力势能增加，A、B、C正确，D错误。
4．(弹力做功与弹性势能的变化)(多选)关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是( )
A．弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
B．克服弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
C．弹力所做的功等于弹簧弹性势能的减少
D．克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加
答案 CD
解析 弹力做功的过程是弹簧弹性势能变化的过程，克服弹力做多少功，表明弹性势能变化了多少，与物体具有多少弹性势能无关，A、B错误；弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，做负功则弹簧的弹性势能增加，C、D正确。
5．(弹性势能的变化)(多选)图甲是玩蹦极游戏的示意图，将弹性绳子的一端系在人身上，另一端固定在高处，然后人从高处跳下。图乙是人到达最低点时的情况，其中AB为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是人所到达的最低点，对于人离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对人一直做正功
B．人的重力势能一直减小
C．人通过B点之后，弹性绳子具有弹性势能
D．从A点到D点，弹性绳子的弹性势能一直增加
答案 ABC
解析 整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子不做功，此后弹性绳子一直做负功，弹性势能一直增加，A、B、C正确，D错误。
6．(弹力做功和弹性势能的变化)一根弹簧的弹力—位移图象如图所示，那么弹簧由伸长8 cm到伸长4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A．3.6 J，－3.6 J B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J D．－1.8 J,1.8 J
答案 C
解析 弹簧由伸长8 cm到伸长4 cm的过程中，弹力做正功，且做的功等于F -x图象与x坐标轴围成的面积，故W＝×(30＋60)×0.04 J＝1.8 J，据W＝－ΔEp知，弹簧弹性势能的变化量ΔEp＝－1.8 J，C项正确。
7．(弹性势能与形变)(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x，关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图象正确的是( )
答案 AD
解析 因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律F＝kx可知，F-x图象为过原点的倾斜直线，A正确、B错误；因为Ep＝kx2，所以D正确、C错误。
8．(弹性势能的决定因素)如图所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA＝2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果用水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，比较Ep1与Ep2的大小。
答案 Ep1>Ep2
解析 设mB＝m，则mA＝2m，
向右拉B时加速度a1＝。
对A物体有kx1＝2ma1，得x1＝＝。
当向左拉A时，加速度a2＝，
对B物体有kx2＝ma2，得x2＝＝，
可见x1>x2，从而Ep1>Ep2。
9.(弹力做功和弹性势能的变化)如图所示，水平弹簧劲度系数k＝500 N/m。用一外力F(F未画出)推物块，使弹簧压缩10 cm而静止。突然撤去外力F，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功？弹性势能的变化量是多少？(弹簧与物块没连接，水平面光滑)
答案 2.5 J 减少2.5 J
解析 解法一：弹簧被压缩，具有弹性势能，其大小Ep＝kx2＝×500×0.12 J＝2.5 J，撤去外力F弹簧具有的弹性势能通过做功转化为别的能，当恢复原长时弹力为零不再做功，故弹力对物体做了2.5 J的功，弹性势能减少了2.5 J。
解法二：由于有时不要求记忆弹性势能公式，故可以通过变力做功方式进行计算。
弹簧的弹力是变力，不能直接用W＝Flcosα进行计算。但由于弹簧的弹力遵循胡克定律，可以作出胡克定律的图象表示功。弹开过程弹力逐渐减小，当恢复原长时弹力为零，根据胡克定律，弹簧被压缩10 cm时，F＝k·Δl＝50 N，可作物块的受力与位移的关系如图，根据力—位移图象所围面积表示在这一过程中的功，有W＝×50×0.1 J＝2.5 J。由弹力做功与弹性势能变化的关系可知，弹性势能的变化量ΔEp＝－W＝－2.5 J。
B组：等级性水平训练
10．(弹力做功特点)如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功W2，则这两次弹力做功的关系为( )
A．W1C．W2＝2W1 D．W1＝W2
答案 D
解析 弹力做功的特点与重力做功一样，不用考虑路径，只看起始与终止位置，故D项正确。
11．(弹力做功和弹性势能的变化)如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
答案 D
解析 撤去F后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，D正确。
12．(弹性势能的决定因素)一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图象如图所示，图中只有Oa段和cd段为直线。则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为( )
A．仅在t1到t2的时间内 B．仅在t2到t3的时间内
C．在t1到t3的时间内 D．在t1到t5的时间内
答案 C
解析 小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小。故C正确。
13．(综合提升)如图所示，一劲度系数k＝800 N/m的轻质弹簧两端分别焊接着A、B两物体，mA＝16 kg，mB＝8 kg，直立于水平地面而静止，现给物体A加一个竖直向上的力F，使A由静止开始向上做匀加速运动，经0.2 s，B刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内(g取10 m/s2)。
(1)求B刚要离开地面时，A物体上升的高度；
(2)求在此过程中所加外力F的最大值和最小值；
(3)求在此过程中弹性势能的变化量；
(4)在此过程中弹簧对A做了正功还是负功，做了多少功？
答案 (1)0.3 m (2)480 N 240 N (3)－12 J
(4)正功 12 J
解析 (1)A静止时设弹簧压缩了x1，
则有kx1＝mAg，所以x1＝＝0.2 m，
设B刚要离开地面时弹簧伸长了x2，
则kx2＝mBg，所以x2＝＝0.1 m，
所以在此过程中A上升的高度
h＝x1＋x2＝(0.2＋0.1) m＝0.3 m。
(2)由位移公式h＝at2，得a＝＝15 m/s2。
当弹簧处于压缩状态时，A受弹力向上，故有F＋kx－mAg＝mAa，
当压缩量x最大时，F最小，此时x＝x1，
所以Fmin＝mAg＋mAa－kx1，代入数据，
得Fmin＝240 N。
当弹簧处于伸长状态时，A受弹力向下，故有F－kx－mAg＝mAa，
当伸长量x最大时，F最大，此时x＝x2，
所以Fmax＝mAg＋mAa＋kx2，代入数据，
得Fmax＝480 N。
(3)弹性势能改变量
ΔEp＝Ep2－Ep1＝kx－kx＝－12 J。
(4)由ΔEp＝－12 J知弹性势能减少了12 J，则弹簧对A物体做了正功，为12 J。
课件87张PPT。第五节
探究弹性势能的表达式01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第八节 机械能守恒定律
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2．能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律。
3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题。
1.动能与势能的相互转化
(1)重力势能与动能的转化：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化成了动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。
(2)弹性势能与动能的转化：只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
(3)机械能：重力势能、弹性势能和动能的统称，表达式为E＝Ek＋Ep。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。
(3)表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E2＝E1。
判一判
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( )
提示：(1)× (2)× 合力为零或合力做功为零，物体的机械能都不一定守恒，如物体沿斜面匀速下滑时，物体的机械能减少。
(3)√ 机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。
课堂任务 机械能守恒定律
如图所示，质量为m的物体从光滑曲面顶端静止下滑，经过A、B两个位置。认真参与“师生互动”。
活动1：以地面为参考平面，图中物体在A、B点的动能、势能、机械能各是什么？
提示：A点：动能Ek1＝mv，势能Ep1＝mgh1，机械能E1＝Ek1＋Ep1＝mv＋mgh1。
B点：动能Ek2＝mv，势能Ep2＝mgh2，机械能E2＝Ek2＋Ep2＝mv＋mgh2。
活动2：物体从A运动到B的过程中，能量怎么转化？猜想守恒量是什么？
提示：物体从A运动到B的过程中，重力势能减少，动能增加，重力势能转化为动能。我们可以猜想，这个守恒量是机械能。
活动3：图中物体从A运动到B的过程中，哪些力对物体做功？总功是多少？
提示：物体从A运动到B的过程中物体受重力和支持力，但只有重力做功，其值为WG＝mg(h1－h2)，则总功为mg(h1－h2)。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)机械能守恒定律的推导
图中物体从A运动到B的过程中：
合外力的总功就是重力做的功，即W总＝mg(h1－h2)
动能的变化量：ΔE＝Ek2－Ek1＝mv－mv
根据动能定理W总＝ΔE，再整理得到：mv＋mgh2＝mv＋mgh1
即末状态的机械能和初状态的机械能相等：E2＝E1。
(2)机械能守恒的几种常见情况
例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做加速运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
(1)机械能守恒的条件是什么？
提示：系统内只有重力或弹力做功。
(2)多个物体组成的系统什么情况下机械能守恒？
提示：多个物体组成的系统如果只有重力或系统内的弹力做功，则系统的机械能没有转变为其他形式的能，只是一部分机械能增大另一部分减小，总机械能仍是守恒的。
[规范解答] 题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做正功，机械能增加，A错误；题图乙中物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能增加，B错误；题图丙中，小球沿粗糙斜面加速滚下过程中，除了重力做功，还有摩擦力做负功，机械能减少，C错误；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车组成的系统机械能增加，而两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确。
[完美答案] D
判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合力为零时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。
?3?只有重力或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒，但系统内单个物体的机械能不一定守恒。
(多选)下列关于各图中机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，ω越来越大，小球慢慢升高，小球的机械能仍然守恒
答案 BC
解析 甲图中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧的弹性势能增大，物体A机械能减小，所以物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功代数和为零，机械能守恒，B正确；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，两功代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能增加，重力势能也增加，故机械能增加，机械能不守恒(拉力对小球做正功)，D错误。
课堂任务 机械能守恒定律的应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：让小球从斜轨道由静止自由滚下，当h＝2R时小球能过圆轨道的最高点吗？
提示：假设能过最高点，以支撑面为零势能面，小球的初始位置动能为零，重力势能Ep1＝2mgR，而在圆轨道最高点时Ep2＝2mgR，由圆周运动的知识可知小球能过圆轨道的最高点的速度大于零，即动能大于零，那么小球运动到最高点机械能增加了，违背了机械能守恒定律(整个过程只有重力做功)。所以小球不能过圆轨道的最高点。
活动2：小球自由滚下的初始高度只要大于2R，小球就能过圆轨道的最高点吗？
提示：小球过最高点时有最小速度，即过最高点时有最小动能，而整个过程机械能守恒，那么小球的初始位置对应着一个最小的机械能，也就是小球的初始位置必须不低于某一高度，小球才能过圆轨道的最高点，而这一高度h0>2R，只有h≥h0时，小球才能过圆轨道最高点。
活动3：小球从斜轨道上h至少为多大的位置自由滚下才能通过圆轨道的最高点？
提示：(1)小球过最高点需满足向心力不小于重力，即m≥mg，由此得出最高点的动能至少是mgR。
(2)以支撑面为零势能面，小球的初始机械能E1＝Ep1＝mgh，小球在圆轨道的最高点的重力势能Ep2＝2mgR，动能至少是mgR，所以机械能至少为E2＝2mgR＋mgR。
(3)整个过程机械能守恒，E1＝E2，即mgh＝2mgR＋mgR，解得h＝R。
活动4：活动3的解法还可以再简单些吗？
提示：可以。我们知道小球过圆轨道的最高点一定有动能，而整个过程机械能守恒，小球增加的动能一定是由重力势能转化而来的。用mgΔh来表示减少的重力势能，根据活动3可知小球过最高点的动能最小值是mgR，则mgR＝mgΔh，可得Δh＝R，即小球初始位置高度至少为h＝2R＋R＝R。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)机械能守恒定律常用的三种表达式
第一种方法，必须选择零势能面才可以解题。第二种方法的好处是不用选择零势能面，势能的变化与零势能面的选取无关。第三种方法是对多个物体总机械能守恒而言的，一般涉及两个物体。
(2)应用机械能守恒定律解题的步骤
①对研究对象(某个物体或多个物体)进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否满足机械能守恒的条件。
②若机械能守恒，选择合适的表达式列出方程，或再辅以其他方程进行求解。
例2 如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一小球在外力作用下从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤去外力。已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g。求：
(1)小球在C点的速度的大小；
(2)小球在AB段运动的加速度的大小；
(3)小球从D点运动到A点所用的时间。
(1)小球刚好能沿圆轨道经过最高点C意味着什么？
提示：小球在最高点C的向心力等于重力，可以求解其速度和动能。
(2)整个运动过程中哪些过程机械能是守恒的？
提示：小球在AB段运动的过程是机械能增加的过程。从B点开始一直运动到A点的过程只有重力做功，机械能守恒。
(3)小球从D点到A点做什么运动？
提示：小球在D点速度沿切线方向，即竖直向下，所以小球从D点到A点做竖直向下的加速度为重力加速度的匀加速直线运动。
[规范解答] 选AB所在平面为参考平面。
(1)小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，则有：
mg＝m，解得vC＝。
(2)设小球在AB段运动的加速度为a，则由运动学公式得v＝2aR
从B到C，只有重力做功，小球的机械能守恒，则有：
mv＋mg·2R＝mv
联立可得vB＝，a＝g。
(3)设小球过D点的速度为vD，从C到D，小球的机械能守恒：
mv＋2mgR＝mv＋mgR，解得vD＝
设小球回到A点时的速度为vA，从B到A，由机械能守恒定律得mv＝mv
所以vA＝vB＝
从D到A的时间为t＝＝(－) 。
[完美答案] (1) (2)g (3)(－)
1．利用机械能守恒定律可从下面三个角度列方程
(1)守恒观点：E1＝E2(需要选零势能参考平面)。
(2)转化观点：ΔEk＝－ΔEp(不用选零势能参考平面)。
(3)转移观点：ΔEA＝－ΔEB(不用选零势能参考平面)。
2．机械能守恒定律往往和圆周运动、平抛运动相结合
(1)与圆周运动结合：①临界情况；②F向＝m。
(2)与平抛运动结合：以平抛运动初速度为桥梁，将平抛运动公式与机械能守恒定律表达式联系起来。
如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道内径略大于小球直径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A的水平距离。
答案 (1)3R (2)(2－1)R
解析 (1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝m
以B点所在平面为零势能面，从释放点到B点，由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝mv
由此可解得h＝3R。
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x
从B点到C点，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2R
由平抛运动规律得R＝gt2，R＋x＝v2t
由此可解得x＝(2－1)R。
例3 如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能到达的最大高度为( )
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
(1)在b球下降、a球上升的过程中，每一个球的机械能都守恒吗？a、b球组成的系统呢？
提示：由于a、b间绳的拉力对a做正功，对b做负功，所以a球的机械能增加，b球的机械能减少，a、b球的机械能都不守恒。但拉力对a做的功与对b做的功的代数和为0，故a、b球组成的系统机械能守恒。
(2)从开始到b球落地前瞬间怎么利用机械能守恒列式？
提示：这个过程a、b球获得的动能，是由这个系统的势能转化而来的，可以利用ΔEk＝－ΔEp列式。
[规范解答] 在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知ΔEk＝－ΔEp，即(m＋3m)v2＝3mgh－mgh，解得v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球以v为初速度做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到达的最大高度为1.5h，B正确。
[完美答案] B
多物体组成的系统机械能守恒的分析技巧
(1)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(2)当研究对象为两个物体时：若两个物体的势能都在减小(或增加)，或动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；若A物体的机械能增加(或减小)，B物体的机械能减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
答案 BD
解析 当B球到达水平地面上时，杆对A球做负功，A球机械能不守恒，A错误；下滑的整个过程中，对A、B组成的系统只有重力做功(杆的弹力对A、B做功的代数和为0)，系统机械能守恒，B正确；由机械能守恒定律知，mBgh＋mAg(Lsin30°＋h)＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C错误；ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J，D正确。
课堂任务 利用机械能守恒定律和动能定理解题的比较
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：对于小球从高度h处斜抛到落地的过程，为了找到几个物理量间的关系，图中两人的争论谁正确？
提示：图中两人的说法均正确，只是思考的角度不同而已。
(1)从抛出到落地，重力做功mgh，动能增加mv2－mv，由动能定理可知mgh＝mv2－mv。
(2)从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加mv2－mv，由机械能守恒定律可知mgh＝mv2－mv。
活动2：两种解法在解题时要注意什么问题？
提示：对于单个物体，如果机械能守恒，两种方法都可以用；如果机械能不守恒，就只能用动能定理或别的方法去解。换句话说就是凡是用机械能守恒定律能解决的问题动能定理都可以解决，用动能定理能解决的问题机械能守恒定律不一定能解决。如果多个物体组成的系统机械能守恒，有时用动能定理就显得费力一些，比如例3。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)机械能守恒定律和动能定理的比较
(2)机械能守恒定律和动能定理的选择：对单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况只能用动能定理来解题。
例4 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0 m/s。取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；
(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；
(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？
(1)此处跟课堂任务2所讨论的情景有什么不同？
提示：课堂任务2中与AB部分对应的倾斜轨道是光滑的，这里是不光滑的。
(2)整个运动过程哪些部分有摩擦，哪些部分没有，其解法有什么不同？
提示：整个轨道除AB段以外都是光滑的。所以只要包含有AB段的就用动能定理求解，其余光滑部分可以用机械能守恒定律求解。
[规范解答] (1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有，FN－mg＝m，解得FN＝90 N。根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。
(2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。物块从A到C的过程中，根据动能定理有：
mgLsin37°＋Wf＝mv－mv
解得Wf＝－16.5 J。
(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，且FN≥0
以C点所在水平面为零势能面，小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：
mv＝mv2＋mg·2R，联立得R≤，
解得R≤0.32 m。
[完美答案] (1)90 N (2)－16.5 J (3)R≤0.32 m
?1?小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，只有重力做功，既可以用机械能守恒定律解题，也可以用动能定理解题。
?2?对于有除重力和系统内弹力之外的力?如摩擦力等?做功的情况要用动能定理解题。
如图所示，轻绳连接A、B两物体，A物体悬在空中距地面H高处，B物体放在水平面上。若A物体质量是B物体质量的2倍，不计一切摩擦。由静止释放A物体，以地面为零势能参考面。当A的动能与其重力势能相等时，A距地面的高度是( )
A.H B.H C.H D.H
答案 B
解析 设A的动能与重力势能相等时，A距地面高度为h，对A、B组成的系统，由机械能守恒定律得：
mAg(H－h)＝mAv2＋mBv2①
又由题意得：mAgh＝mAv2②
且mA＝2mB③
由①②③式联立解得：h＝H，故B正确。
课堂任务 与弹簧有关的机械能守恒问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：放手前小球受到哪些力？处于什么状态？
提示：放手前小球受重力、弹簧弹力和手的支持力，处于平衡状态。
活动2：放手后小球运动状态会有什么变化？
提示：放手后，小球不再受支持力，平衡状态被破坏，开始向下做加速运动。此后的运动一直受重力和弹力，重力不变，弹力会随弹簧长度的变化而变化，小球做竖直方向的往复变速直线运动。
活动3：小球在运动过程中机械能守恒吗？小球和弹簧组成的系统呢？
提示：小球在运动过程中除了重力做功之外，弹簧的弹力也对小球做功，所以小球的机械能不守恒。但小球和弹簧组成的系统在整个运动过程中只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能是守恒的，小球的重力势能、小球的动能和弹簧的弹性势能三者之和始终是不变的。
活动4：小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和如何变化？
提示：小球的动能与弹簧的弹性势能之和本没什么特色，但是其再加上小球的重力势能就是系统的机械能。小球的重力势能在小球向下运动过程中是一直减小的，故小球的动能与弹簧弹性势能之和会一直增大。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)轻质弹簧：轻质弹簧是不考虑质量的，所以无动能和重力势能之说，只存在弹性势能。
(2)系统机械能守恒
①弹簧的弹力做功涉及能量的转化，一是弹性势能发生变化，二是与它构成系统的其他物体的能量也会发生变化。如果这个系统内只有弹力做功，机械能是保持不变的，也就是课本中的只有重力或弹力做功的系统机械能守恒中的“弹力做功”。由此可见，弹性势能也是弹簧和系统所共同具有的。
②一个系统内如果既有重力做功也有弹力做功，机械能是守恒的，此时是三种能量在相互转化，即重力势能、动能、弹性势能相互转化，是机械能内部的转化。
(3)弹性势能求解：对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是相同的。弹性势能一般不要求用公式直接求，但如有必要仍然可以用公式Ep＝kl2进行讨论或计算，并且熟记公式可迅速判断弹性势能的大小及弹性势能的变化。
例5 (多选)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中，下列选项正确的是( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．整个过程系统机械能守恒
(1)滑块何时速度最大？
提示：滑块在重力作用下加速，接触弹簧后受到弹力，弹力比较小时滑块还做加速运动，当弹簧弹力等于重力沿斜面的分力时速度达到最大。
(2)在最低点c和最高点a以及b点滑块和弹簧的能量各有什么特点？
提示：在最低点c滑块机械能最小，弹簧的机械能(弹性势能)最大，在最高点a和b点滑块的机械能最大，弹簧无弹性势能，此时系统的机械能等于滑块的重力势能加动能。
[规范解答] 滑块和弹簧组成的系统，在整个运动过程中，只发生动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统的机械能守恒，D正确；以c点做重力势能零点，a、c点动能为零，整个系统的机械能等于a点的重力势能或c点的弹性势能。滑块从a到c，重力势能减小了mg··
sin30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，B正确；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，C正确；当重力沿斜面的分力等于弹簧弹力时动能最大，此时还有重力势能和弹性势能，总机械能只有6 J，所以动能不能达到6 J，A错误。
[完美答案] BCD
?1?利用机械能守恒定律分析问题时，一定要注意守恒条件的应用，灵活选取研究对象。本题中单独看滑块和弹簧，机械能并不守恒，但它们所组成的系统机械能守恒。
?2?在物体与弹簧组成的系统机械能守恒时，往往会讨论物体和弹簧的机械能是如何变化，掌握一个总体原则：整个系统的动能、重力势能、弹性势能之和是一个常量，弹簧形变量增大弹性势能增大，重物的高度增大重力势能增大，反之减小。
如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案 (1)50 J (2)32 J
解析 (1)木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大时，对应木块的动能为零，故有：Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J。
(2)由系统机械能守恒有：mv＝Ep1＋mv，即×4×52 J＝Ep1＋×4×32 J，解得Ep1＝32 J。
A组：合格性水平训练
1．(机械能的理解)一个物体在运动的过程中所受的合力为零，则这个过程中( )
A．机械能一定不变
B．物体的动能保持不变，而势能一定变化
C．若物体的势能变化，机械能一定变化
D．若物体的势能变化，机械能不一定变化
答案 C
解析 由于物体在运动的过程中所受的合力为零，即物体做匀速直线运动，物体的动能不变，势能有可能变化，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错误。
2．(机械能守恒的判断)下列运动的物体，机械能守恒的是( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以0.9g的加速度竖直下落
C．物体沿光滑曲面滑下
D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升
答案 C
解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，机械能不守恒；物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，这个合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能减少，机械能不守恒；物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒；拉着物体沿光滑斜面匀速上升时，拉力对物体做正功，物体机械能增加，机械能不守恒。综上，机械能守恒的是C项。
3．(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3h2
答案 D
解析 竖直上抛物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝mv，所以h1＝h3＝h＝，斜上抛物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv－mv，所以h2＜h1＝h3，故D正确。
4．(含弹簧类机械能守恒问题)如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
答案 A
解析 由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝ m/s，落地时，tan 60°＝，可得：v0＝＝ m/s，弹簧与小球组成的系统机械能守恒，在小球被弹出的过程中，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10 J，故A正确。
5．(含弹簧类机械能守恒问题)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案 B
解析 圆环在下滑过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，A、D错误；圆环下滑到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零，C错误；圆环下降高度h＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL，B正确。
6．(多物体机械能守恒)(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b下落，轻球a上升，产生转动，在杆转至竖直的过程中( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能增加
C．a球和b球的总机械能守恒
D．a球和b球的总机械能不守恒
答案 ABC
解析 a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，C正确、D错误；其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，机械能减少，轻杆对b球做负功，A、B正确。
7．(多物体机械能守恒)(多选)如图所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是( )
A．物块a的机械能守恒
B．物块b的机械能减少了mgh
C．物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量
D．物块a、b与地球组成的系统机械能守恒
答案 CD
解析 释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，A错误。对物块a、b与地球组成的系统，只有重力和绳拉力做功，由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等，故系统机械能守恒，D正确。物块a、b构成的系统机械能守恒，有3mg·－mg·＝mv2＋·3mv2，解得v＝；物块b动能增加量为(3m)v2＝mgh，重力势能减少mgh，故机械能减少mgh－mgh＝mgh，B错误。a、b组成的系统机械能守恒，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，C正确。
8．(综合)某游乐场过山车简化为如图所示模型，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少？
答案 (1)2.5R (2)3R
解析 (1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以速度v1通过圆形轨道最高点。
在圆形轨道最高点有：Mg＝M①
运动过程机械能守恒：Mgh1＝2MgR＋Mv②
由①②式得：h1＝2.5R，即高度至少为2.5R。
(2)设从高度h2处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力是N＝7mg。
最低点：N－mg＝m③
运动过程机械能守恒：mgh2＝mv④
由③④式得：h2＝3R，即高度不得超过3R。
B组：等级性水平训练
9．(综合)(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形且与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
答案 AC
解析 小球在运动过程中机械能守恒，A、C图中小球不能脱离轨道，在最高点速度为零，因而可以达到h高度。但B、D图中小球都会脱离轨道而做斜抛运动，在最高点具有水平速度，所以在最高点的重力势能要小于mgh(以最低点为零势能点)，即最高点的高度要小于h。故A、C正确。
10．(综合)如图所示，从光滑的圆弧槽的最高点由静止滑下的小物块，滑出槽口时速度沿水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1与R2的关系为( )
A．R1≤R2 B．R1≥R2
C．R1≤ D．R1≥
答案 D
解析 小物块沿光滑的圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有mgR1＝mv2，要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则mg≤m，联立解得R1≥，故D正确。
11．(综合)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
答案 D
解析 设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，在最低点有N1－mg＝m，在最高点有N2＋mg＝m，从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有mg·2R＝mv－mv，联立以上三式可以得到：N1－N2＝6mg，故D正确。
12．(综合)如图所示，“蜗牛”状轨道OAB竖直固定在水平地面上，与地面在B处平滑连接。其中“蜗牛”状轨道由内壁光滑的半圆轨道OA和AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R1＝0.6 m，半圆轨道AB的半径 R2＝1.2 m，水平地面BC长为xBC＝11 m，C处是一个开口较大的深坑，一质量m＝0.1 kg的小球从O点沿切线方向以某一初速度进入轨道OA后，沿OAB轨道运动至水平地面，已知小球与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2。
(1)为使小球不脱离OAB轨道，小球在O点的初速度至少为多大？
(2)若小球在O点的初速度v＝6 m/s，求小球在B点对半圆轨道的压力大小；
(3)若使小球能落入深坑C，则小球在O点的初速度至少为多大？
答案 (1)6 m/s (2)6 N (3)8 m/s
解析 (1)小球通过最高点A的临界条件是
mg＝m
解得小球过A点的最小速度vA＝2 m/s
设O点为零势能点，小球由O到A过程由机械能守恒定律得mg·2R1＋mv＝mv
解得v0＝6 m/s。
(2)设B点为零势能点，小球由O到B过程机械能守恒，则mgR2＋mv2＝mv
解得vB＝2 m/s
在B点由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝6 N
由牛顿第三定律得轨道受到的压力FN′＝FN＝6 N。
(3)设小球恰能落入深坑C，即vC＝0时初速度最小，小球由O到C过程由动能定理得
mgR2－μmgxBC＝0－mv′2
解得v′＝8 m/s>v0＝6 m/s，则假设成立，小球在O点的速度至少为8 m/s。
课件113张PPT。第八节 机械能守恒定律 01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第六节 实验：探究功与速度变化的关系
1．通过实验探究功与速度变化的关系。
2．体会探究过程和所用的实验方法。
3．通过实验掌握平衡摩擦力的方法。
4．学会运用图象处理实验数据。
方案一：借助恒力做功探究功与速度变化的关系
1．实验原理
(1)如图所示，由重物通过滑轮牵引小车，小车运动过程中拖动纸带，打点计时器在纸带上打点记录小车的运动情况。重物所受重力近似等于小车所受拉力F，再由纸带计算小车移动的距离s，则功W＝Fs。
(2)利用纸带量出起始点至各计数点的距离，计算小车在打下各计数点时的瞬时速度。
(3)计算出v2、v3、……，判断W与v可能的关系。
2．实验器材
长木板(一端附有定滑轮)、小车、小盘、砝码(若干)、天平、打点计时器、交流电源、纸带、复写纸、刻度尺、细线等。
方案二：借助橡皮筋变力做功探究功与速度变化的关系
1．实验原理
(1)如图所示，让橡皮筋拉动小车做功使小车的速度增加，使拉小车的橡皮筋的条数由1条变为2条、3条，……，则橡皮筋对小车做的功为W、2W、3W……。
(2)做功结束后小车匀速运动，利用v＝通过测量纸带即可测速度v1、v2、v3……。
(3)计算出对应的v2、v3、……，总结出W与v可能的关系。
2．实验器材
木板、橡皮筋(若干)、小车、打点计时器、交流电源、纸带、复写纸、刻度尺等。
课堂任务 探究过程·获取数据
仔细观察实验装置图，认真参与“师生互动”。
活动1：怎样保证小车在不受外力时可以在木板上做匀速直线运动？
提示：可以垫高木板的一端，平衡掉摩擦力的影响，小车在不受外力时就可以做匀速直线运动。
活动2：怎么保证换用多条橡皮筋时对小车做的功是成倍增加的？
提示：每加一条橡皮筋，都将小车从同一位置静止释放，即让几条橡皮筋拉伸的长度都和第一次相同。
活动3：小车不再受橡皮筋作用时做什么运动？
提示：小车不再受橡皮筋作用时受力平衡，做匀速直线运动。
活动4：本实验的注意事项有哪些？
提示：(1)平衡摩擦力的方法：将木板一端垫高，轻推小车，由打点计时器打在纸带上的点是否均匀判断小车是否做匀速直线运动。
(2)测小车速度时，应选纸带上点迹分布均匀的部分，测小车做匀速直线运动时的速度。
(3)所选橡皮筋的劲度系数应小一些，小车质量应大一些，以使纸带上打的点多一些。
(4)所选橡皮筋的规格应一样，力对小车做的功以一条橡皮筋做的功为单位即可，不必计算出具体数值。
(5)每次释放小车时，都要让它从同一位置由静止开始运动。
活动5：本实验合理的实验步骤应该是怎样的？
提示：(1)按实验装置图安装好实验仪器。
(2)平衡摩擦力：将长木板安装有打点计时器的一端垫起，纸带穿过打点计时器，接到小车上，不挂橡皮筋，接通电源，轻推小车，使打点计时器在纸带上打出间隔均匀的点。
(3)第一次先用一条橡皮筋做实验，用打点计时器和纸带测出小车的运动情况。
(4)换用2条、3条、4条……同样的橡皮筋做实验，并将橡皮筋拉伸的长度都和第一次相同，用打点计时器和纸带记录小车的运动情况。
课堂任务 分析数据·得出结论
活动1：实验得到如图所示的一条纸带，纸带的前面一段点迹越来越稀，后面一段点迹均匀表示什么意思？
提示：前面一段点迹越来越稀表示小车速度越来越快。后面一段点迹均匀表示小车不受橡皮筋弹力作用时做匀速直线运动。
活动2：实验中需要测量什么速度？
提示：为探究橡皮筋弹力做功与小车速度的关系，需要测量的是弹力做功结束时小车的速度，即小车做匀速直线运动的速度。例如：如图所示的纸带从A1到A3表示小车做匀速直线运动，实验中需要测量的就是从A1到A3的速度。
活动3：怎么计算小车匀速运动的速度？
提示：选择纸带上小车匀速运动中的一段，确定出某两个计数点间的时间，测出该两点间距离，利用匀速直线运动公式计算。例如：在如图所示的纸带上测量图中点A1、A3间的距离x，小车此时速度的表达式为v＝，其中T是两相邻计数点间的时间间隔。
活动4：实验中如何分析数据？得到什么结论？
提示：计算对小车做的功分别为W、2W、3W……时对应的v、v2、v3、 ……的数值，填入表格。逐一与做功的一组数值对照，判断做功与v的可能关系；或尝试着分别画出做功与v、v2、v3、……间关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度的正确关系。
实验结论：通过作图发现W-v2图线近似是一条过原点的直线，说明W∝v2。课堂任务 误差分析·实验创新
1．系统误差的来源：①橡皮筋的长度、粗细不完全相同，使橡皮筋拉力做的功与橡皮筋的条数不成正比；②摩擦力平衡不足或平衡过度。
2．偶然误差的来源：①利用纸带确定物体的速度时，点间距测量不准；②描点作图不准。
借助恒力做功探究功与速度变化的关系
1．实验步骤
(1)如图所示，把纸带的一端固定在小车后面，另一端穿过打点计时器，改变木板的倾角，让小车重力沿斜面的分力平衡小车及纸带受到的阻力，使小车能做匀速直线运动。
(2)把细线系在小车上并绕过定滑轮悬挂小盘，在小盘里放入适量砝码，使小车的质量远大于砝码和小盘的总质量，小车在细线的拉力作用下做匀加速直线运动，由于砝码和小盘质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于砝码和小盘所受重力的大小。
(3)接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列点。
(4)重复以上实验，选择一条点迹清晰的纸带进行数据分析，由纸带可以找到位移和时间的信息，由砝码和小盘的质量可以知道小车所受的恒力(小车质量已知)。
(5)分析实验数据判断做功与v、v2、v3、……的可能关系；或尝试着分别画出做功与v、v2、v3、……的关系图象，找出哪一组的图象是直线，得出结论。
2．数据处理
(1)计算v、v2、v3、和相应的合外力做功W的数值并填入下表。
(2)逐一与W的一组数值对照，判断W与v、v2、v3、的可能关系，或分别画出W与v、W与v2、W与v3、W与关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度的正确关系。
3．注意事项
(1)平衡摩擦力时，不挂重物，轻推小车后，小车能做匀速直线运动(纸带上的点分布均匀)。
(2)计算牵引力做的功时，可以不必算出具体数值，只用位移的数值与符号G的乘积表示即可。
4．误差分析
(1)系统误差的来源：①没有满足砝码盘及砝码的质量远小于小车质量，小车受到的拉力不能近似等于砝码及砝码盘的总重力；②摩擦力平衡不足或平衡过度。
(2)偶然误差的来源：①测量长度不准；②描点作图不准。
课堂任务 典例探究·提升能力
例1 某学习小组做“探究功与速度变化的关系”实验的实验装置如图所示，图中小车在一条橡皮筋作用下弹出，沿木板滑行，橡皮筋对小车做的功记为W。当用2条、3条……完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次……实验时(每次实验中小车在同一位置由静止释放)，每次实验中小车获得的速度根据打点计时器所打在纸带上的点进行计算。
(1)除了图中已有的实验器材外，还需要导线、开关、刻度尺和________(选填“交流”或“直流”)电源。
(2)实验中，小车会受到摩擦阻力的作用，可以使木板适当倾斜来平衡摩擦阻力，则下面操作正确的是 ( )
A．放开小车，能够自由下滑即可
B．放开小车，能够匀速下滑即可
C．放开拖着纸带的小车，能够自由下滑即可
D．放开拖着纸带的小车，能够匀速下滑即可
(3)若木板水平放置，小车在两条橡皮筋作用下运动，当小车速度最大时，关于橡皮筋所处的状态与小车所在的位置，下列说法正确的是( )
A．橡皮筋处于原长状态
B．橡皮筋仍处于伸长状态
C．小车在两个铁钉的连线处
D．小车已过两个铁钉的连线处
(1)做“探究功与速度变化的关系”实验时需要平衡摩擦力吗？为什么？
提示：需要。因为只有平衡掉摩擦力才能保证橡皮筋做的功等于合力对小车做的功。
(2)为了保障每根橡皮筋对小车做的功相同，需要注意什么？
提示：尽量选用相同的橡皮筋，并且保证每次橡皮筋的伸长量相同。
[规范解答] (1)打点计时器使用的是交流电源。
(2)平衡摩擦力时，应将纸带穿过打点计时器，放开拖着纸带的小车，小车能够匀速下滑即可，故D正确。
(3)放开小车后，小车做加速运动，当橡皮筋的弹力的合力与摩擦力等大反向时，小车的速度最大，此时橡皮筋仍处于伸长状态，即还未过两个铁钉的连线处，B正确。
[完美答案] (1)交流' (2)D' (3)B
实验操作要点
(1)保证每次橡皮筋的伸长量相同，通过增加橡皮筋条数来改变外力所做的功，不需要计算功的具体数值；利用纸带上均匀分布的点测算小车获得的速度。
(2)实验中，为了只让橡皮筋做功，需要利用小车重力沿斜面的分力平衡掉摩擦力，所以，应该将木板一端适当垫高，直到轻推拖着纸带的小车，小车可以做匀速运动。
关于“探究功与速度变化的关系”的实验，下列叙述正确的是( )
A．每次实验必须设法算出橡皮筋对小车做功的具体数值
B．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度没有必要保持一致
C．放小车的长木板应该尽量使其水平
D．先接通电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出
答案 D
解析 本实验无需测出橡皮筋具体做功的数值，只要确定出以后每次实验橡皮筋做的功是第一次的多少倍就足够了，A错误；每次实验橡皮筋拉伸的长度必须保持一致，只有这样才能保证以后每次实验时，橡皮筋做的功是第一次的整数倍，否则，功的数值难以确定，B错误；小车运动过程中会受到阻力，只有使木板倾斜到一定程度，才能平衡摩擦，减小误差，C错误；实验时，应该先接通电源，让打点计时器开始工作，然后再让小车在橡皮筋的作用下弹出，D正确。
例2 如图所示为某学习小组做“探究功与速度变化的关系”实验的实验装置，图中小车在一条橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行，这时橡皮筋对小车做的功记为W。当用2条、3条……完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次……实验时，使每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致，并使小车都由静止释放。每次实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出。
(1)在正确操作情况下，打在纸带上的点，并不都是均匀的，为了测量小车最终获得的速度，应选用纸带的____________部分进行测量(根据如图所示的纸带回答)：
(2)下面是本实验的数据记录表。
请运用表中测定的数据在如下图所示的坐标系中作出相应的图象，得出的结论是____________________________________________________。
(1)本实验对纸带处理有何要求？为什么？
提示：选取点迹均匀部分来测量。因为点迹分布均匀才能说明小车做匀速直线运动，才是小车在橡皮筋作用下最终获得的速度。
(2)处理数据时为什么用W-v图象处理？
提示：①减小误差。
②得到的图象是过坐标原点的直线，有利于实验结论的得出。
[规范解答] (1)应取小车匀速运动的区域来计算，即G、J之间某一段或GJ全部。
(2)作出W-v图象，图象见“完美答案”。在误差允许的范围内，图线是过原点的直线，说明W与v成正比。
[完美答案] (1)GJ(只要取匀速部分均为正确)
(2)如图所示
在误差允许的范围内，若物体从静止开始运动，外力做的功与速度的平方成正比
数据处理方法
在“探究功与速度变化的关系”的实验中，确定了橡皮筋对小车所做的功和小车获得的速度后，如果作出的W-v图线不是一条直线，可以根据测得的速度分别作出W-v2、W-v3、W-……的图线，哪个图线为过原点的直线，则它们之间就具有正比关系。
小车的质量为300 g，使用相同的橡皮筋1～6 根，每次实验增加一根，且保证每次橡皮筋的伸长量相同。小车在力的作用下的位移(即橡皮筋拉伸长度)为19 cm，实验中W、v、v2的数据已填在表格中。
W/条
0
1
2
3
4
5
6
v/ (m·s－1)
0.00
0.80
1.10
1.28
1.53
1.76
1.89
v2/ (m2·s－2)
0.00
0.64
1.21
1.64
2.34
3.10
3.57
(1)试作出W-v和W-v2的图象；
(2)根据图象你能得到什么结论？
答案 见解析
解析 (1)根据收集到的数据描点，再用平滑的线连接各点，即可得到如图所示的图象：
(2)由W-v图象的形状无法判断W、v的具体关系；而W-v2图象为过原点的直线，故可得结论：在误差允许范围内，合力对物体所做的功与物体速度的平方成正比。
例3 某同学在“探究功与物体速度变化的关系”实验中，设计了如图甲所示的实验装置。将纸带固定在重物上，让纸带穿过电火花打点计时器。先用手提着纸带，使重物静止在靠近打点计时器的地方。然后接通电源，松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打下一系列小点。得到的纸带如图乙所示，O点为打点计时器打下的第1个点，该同学对数据进行了下列处理：取OA＝AB＝BC，并根据纸带算出了A、B、C三点的速度分别为vA＝0.12 m/s，vB＝0.17 m/s，vC＝0.21 m/s。根据以上数据，你能否大致判断W∝v2。
(1)重物下落过程中，什么力对它做功？
提示：忽略所受阻力，只有重力对它做功。
(2)需要测出重物所受重力吗？
提示：不需要。根据WG＝mgh可知，重力做功与h成正比，则由O到A、B、C三点重力做功只需用W0、2W0、3W0表示即可。
[规范解答] 设由O到A的过程中，重力对重物所做的功为W0，那么由O到B过程中，重力对重物所做的功为2W0，由O到C的过程中，重力对重物所做的功为3W0。由计算可知，v＝1.44×10－2 m2/s2，v＝2.89×10－2 m2/s2，v＝4.41×10－2 m2/s2，≈2，≈3，即v≈2v，v≈3v，由以上数据可以判定W∝v2。也可以根据W-v2图象来判断，如图所示。
[完美答案] 能
要探究功与物体速度变化的关系，一要找准力对物体所做的功，二要找准对应功的速度，三要找准力对物体所做的功与速度变化的关系，其关系不是直接就能看出的，功并不是与速度成正比，而是与速度的平方成正比。
某实验小组采用如图甲所示的装置探究功与速度变化的关系，图中小车中可放置砝码，实验中，打点计时器的工作频率为50 Hz。
(1)实验的部分步骤如下，请将下列横线处缺失的内容补充完整：
①在小车中放入砝码，把纸带穿过打点计时器，连在小车后端，用细线连接小车和钩码；
②将小车停在打点计时器附近，________，________，小车拖动纸带，打点计时器在纸带上打下一系列点，________；
③改变钩码或小车中砝码的数量，更换纸带，重复②的操作。
(2)如图乙所示是钩码质量为0.03 kg、砝码质量为0.02 kg 时得到的一条纸带，在纸带上选择起始点O及A、B、C、D、E计数点，可获得各计数点到O的距离x及对应时刻小车的瞬时速度v，请将C点的测量结果填在表中的相应位置。
测量点
O
A
B
C
D
E
x/cm
0.00
1.51
3.20
7.15
9.41
v/(m·s－1)
0.35
0.40
0.45
0.53
0.60
(3)本实验，若用钩码的重力表示小车受到的合外力，为了减小这种做法带来的实验误差，应采取的两项措施是：
①________________________________________________________；
②______________________________________________________。
答案 (1)②先接通电源 再释放小车 关闭打点计时器电源 (2)5.18(5.16～5.20均可) 0.49 (3)①平衡摩擦力 ②钩码的重力远小于小车及砝码的重力和
解析 (1)将小车停在打点计时器附近后，需先接通电源，再释放小车，让其拖动纸带，待打点计时器在纸带上打下一系列点后，关闭打点计时器电源。
(2)在验证C点时，由题图可知，C点与刻度尺上的6.18 cm(6.16 cm～6.20 cm均可)对齐，所以C点距O点的距离是xOC＝5.18 cm(5.16 cm～5.20 cm均可)。可知C点的速度就是BD段的平均速度，vC＝×10－2 m/s≈0.49 m/s。
(3)平衡摩擦力后，细线上的拉力就等于小车受到的合外力。当钩码的重力远小于小车及砝码的重力和时，细线上的拉力就近似等于钩码的重力。
1．(误差分析)(多选)在借助橡皮筋探究功与物体速度变化关系的实验中，某同学在一次实验中得到了一条如图所示的纸带，这条纸带上的点两端较密，中间较疏，出现这种情况的原因可能是( )
A．电源的频率不稳定
B．木板倾斜程度太大
C．没有使木板倾斜或倾斜角太小
D．小车受到的阻力较大
答案 CD
解析 这一现象说明小车在橡皮筋作用下加速运动，在橡皮筋弹力小于阻力后小车做减速运动，出现这一现象的原因是没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够，受到的阻力较大，C、D正确。
2．(误差分析)(多选)如图所示，与小车相连足够长的且穿过打点计时器的一条纸带上的点间距明显不均匀，右端间距小，左端间距大，下面的分析和判断正确的是( )
A．若左端与小车相连，可能平衡摩擦力时，木板倾斜度太大
B．若右端与小车相连，可能平衡摩擦力时，木板倾斜度太大
C．若左端与小车相连，可能小车有一定的初速度，实验前忘记平衡摩擦力或没有完全平衡摩擦力
D．若右端与小车相连，可能小车运动前忘记或没有完全平衡摩擦力
答案 BC
解析 若纸带左端与小车相连，从纸带间距可以判断小车做减速运动，小车有一定初速度，减速原因可能是忘记或没有完全平衡摩擦力，C正确，A错误；若纸带右端与小车相连，小车一直做加速运动，说明可能平衡摩擦力时，倾角太大，B正确，D错误。
3．(实验原理)在探究功与物体速度变化关系的实验中，得到如图所示四条纸带，应选用( )
答案 C
解析 小车在橡皮筋作用下加速运动，当橡皮筋脱落后做匀速运动，C纸带较合理。
4．(实验创新)(多选)某同学想利用自由落体运动研究“功与物体速度变化的关系”，实验中下列四组物理量中需要直接或间接测量的量有( )
A．重锤的质量
B．重力加速度
C．重锤下落的高度
D．与重锤下落高度对应的重锤瞬时速度
答案 CD
解析 物体受力不变，可以利用下降高度关系代表功的关系，所以必须测量下落高度，再利用下落高度计算对应各点瞬时速度，故C、D正确，A、B错误。
5．(注意事项)在借助橡皮筋探究功与物体速度变化关系的实验中，小车会受到阻力作用，因此，在小车沿木板滑动的过程中，除橡皮筋对其做功外，还有阻力做功，这样便会给实验带来误差。我们在实验中想到的办法是使木板略为倾斜，对于木板的倾斜程度，下面说法正确的是( )
①木板只要稍微倾斜一下即可，没有什么严格要求
②木板的倾斜程度在理论上应满足下面条件：即重力使物体沿斜面下滑的分力应等于小车受到的阻力
③如果小车在倾斜的木板上能做匀速直线运动，则木板的倾斜程度是符合要求的
④其实木板不倾斜，问题也不大，因为实验总是存在误差的
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 B
解析 倾斜木板的目的是为了平衡小车在运动过程中受到的摩擦力，从力的角度分析，是让重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡；从运动的角度分析，是让小车在木板上做匀速直线运动。
6．(综合提升)探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度的关系，实验装置如图所示，实验主要过程如下：
(1)设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W……；
(2)分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度v1、v2、v3……；
(3)作出W-v草图；
(4)分析W-v图象，如果W-v图象是一条过原点的直线，表明W∝v；如果不是，可考虑是否存在W∝v2、W∝v3、W∝等关系。
以下关于该实验的说法中有一项不正确，它是( )
A．本实验设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W……，所采用的方法是选用同样的橡皮筋，并在每次实验中使橡皮筋拉伸的长度保持一致，当用1条橡皮筋进行实验时，橡皮筋对小车做的功为W，用2条、3条……橡皮筋并在一起进行第2次、第3次……实验时，橡皮筋对小车做的功分别是2W、3W……
B．小车运动中会受到阻力，补偿的方法，可以使木板适当倾斜
C．某同学在一次实验中，得到一条记录纸带，纸带上打出的点，两端密、中间疏，出现这种情况的原因，可能是没有使木板倾斜或倾角太小
D．根据记录纸带上打出的点，求小车获得的速度的方法，是以纸带上第一点到最后一点的距离来进行计算
答案 D
解析 本实验中选用相同的橡皮筋，并且使橡皮筋的形变量相同，实现每根橡皮筋对小车做的功相同，A正确；在进行本实验之前，由于小车和木板、打点计时器与纸带之间存在摩擦，所以需要先平衡摩擦力，方法就是使木板的一端略微抬高一点，使重力的分力与摩擦力平衡，B正确；某同学打出的纸带中间稀疏、两边密集，说明刚开始小车在橡皮筋的作用下加速，当速度达到最大后，又要减速，所以是没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不足造成的，C正确；由于橡皮筋松弛后，小车做匀速运动，此时的速度是小车的最大速度，也是做功后的最终速度，故求此速度应用匀速运动那一段的距离，而不应该使用从第一个点到最后一个点的距离来计算，D错误。
7．(综合提升)在“探究功与速度变化的关系”实验中，装置如图甲所示。
(1)下列说法正确的是( )
A．平衡摩擦力时必须将钩码通过细线挂在小车上
B．为减小系统误差，应使钩码质量远大于小车质量
C．实验时，应使小车靠近打点计时器由静止释放
(2)图乙是实验中获得的一条纸带的一部分，选取O、A、B、C计数点，已知打点计时器使用的交流电频率为50 Hz，则打B点时小车的瞬时速度大小为________ m/s(保留三位有效数字)。
答案 (1)C (2)0.653
解析 (1)平衡摩擦力的原理就是在没有拉力的情况下调整斜面倾角，使拉着纸带的小车做匀速运动，A错误；为减小系统误差应使钩码质量远小于小车质量，使细线拉力近似为钩码重力，B错误；实验时使小车靠近打点计时器能充分利用纸带，由静止释放便于利用实验数据进行探究，C正确。
(2)由纸带可看出AC段小车做匀加速运动，相邻两计数点的时间间隔T＝0.1 s，则vB＝＝0.653 m/s。
8．(数据处理与分析)某实验小组的同学采用如图甲所示的装置(实验中，小车碰到制动装置时，钩码尚未到达地面)用打点计时器得到一条纸带后，通过分析小车位移与速度变化的关系来研究合力对小车所做的功与速度变化的关系。图乙是实验中得到的一条纸带，点O为纸带上的起始点，A、B、C是纸带上的三个连续的计数点，相邻两个计数点间均有4个点未画出，用刻度尺测得A、B、C到O的距离如图乙所示。已知所用交变电源的频率为50 Hz，则：
(1)打B点时，小车的瞬时速度vB＝________ m/s。(结果保留两位有效数字)
(2)实验中，该小组的同学画出小车位移l与速度v的关系图象如图丙所示。根据该图线形状，某同学对W与v的关系作出的猜想，肯定不正确的是________。(填写选项字母代号)
A．W∝v2 B．W∝v C．W∝ D．W∝v3
(3)本实验中，若钩码下落高度为h1时合力对小车所做的功为W0，则当钩码下落h2时，合力对小车所做的功为________。(用h1，h2，W0表示)
答案 (1)0.80 (2)BC (3)W0
解析 (1)小车做匀加速直线运动，
vB＝＝ m/s＝0.80 m/s。
(2)由题图知，位移与速度的关系图象向上弯曲，所以可能l∝v2或l∝v3，又因为W＝Fl，F恒定不变，故W∝v2或W∝v3，A、D正确，B、C错误。
(3)设合力为F，由W0＝Fh1，得F＝，所以当钩码下落h2时，W＝Fh2＝W0。
9．(实验创新)某同学在研究“对不同物体做相同功情况下，物体质量与速度的关系”时，提出了以下四种猜想：
A．m∝v B．m∝ C．m∝v2 D．m∝
为验证猜想的正确性，该同学用如图甲所示的装置进行实验：将长木板平放在水平桌面上，木块固定在长木板一端，打点计时器固定在木块上，木块右侧固定一轻弹簧，用连接纸带的小车压缩弹簧至长木板的虚线处由静止释放，打点计时器在纸带上打下一系列点，选取点迹均匀的一部分纸带，计算出小车匀速运动的速度v1，测出小车的质量m1；然后在小车上加砝码，再次压缩弹簧至木板虚线处由静止释放小车，计算出小车和砝码匀速运动的速度v2，测出小车和砝码的总质量m2；再在小车上加砝码，重复以上操作，分别测出v3、m3……
(1)每次实验中，都用小车压缩弹簧至长木板的虚线处由静止释放，目的是________________；若要消除每次实验中小车和纸带受到的阻力对小车运动的影响，应进行的实验操作是________________________。
(2)某次实验采集的五组数据如下表：
m/kg
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
v/(m·s－1)
1.000
0.707
0.577
0.500
0.447
由表格数据直观判断，明显不正确的两个猜想是A、B、C、D中的________；若对某个猜想进行数据处理并作图，画出了如图乙所示的图象，则图中的横坐标应是________。
答案 (1)使弹簧做功相同 垫高木板固定打点计时器的一端，静止释放小车时，小车连同纸带一起在木板上匀速运动(平衡摩擦力) (2)AC
解析 (1)每次用小车压缩弹簧至长木板的虚线处，弹簧具有相同的弹性势能，这样每次对小车做的功相同，要消除阻力对小车运动的影响，应先平衡摩擦力，可垫高木板固定打点计时器的一端，静止释放小车时，小车连同纸带一起在木板上匀速运动。
(2)由表中数据显示，质量越大速度越小，明显不正确的两个猜想是A和C；由表中数据可知小车的质量m跟成正比，故横坐标为。
课件85张PPT。第六节 实验：探究功与速度变化的关系 01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第十节 能量守恒定律与能源
1．了解各种不同形式的能，知道导致能量守恒定律确立的两类重要事实。
2．能够叙述能量守恒定律的内容，会用能量守恒的观点分析、解释一些实际问题。
3．了解能量耗散，知道能源短缺和环境恶化问题，增强节约能源和环境保护意识。
1.能量守恒定律
(1)建立能量守恒定律的两类重要事实
①确认了永动机的不可能性。
②发现了各种自然现象之间的相互联系与转化。
(2)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
(3)意义：能量守恒定律的建立，是人类认识自然的一次重大飞跃。它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一，而且是大自然普遍和谐性的一种表现形式。
2．能源和能量耗散
(1)能源与人类社会：人类对能源的利用大致经历了三个时期，即柴薪时期、煤炭时期、石油时期。自工业革命时期，煤和石油成为人类的主要能源。然而，煤炭和石油资源是有限的。能源短缺和环境恶化已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题。
(2)能量耗散：燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，就不会再次自动聚集起来供人类重新利用。电池中的化学能转化为电能，电能又通过灯泡转化成内能和光能，热和光被其他物质吸收之后变成周围环境的内能，我们无法把这些散失的能量收集起来重新利用。
(3)能源危机的含义：在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上虽未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了。
(4)能量转化的方向性与节约能源的必要性：能量耗散反映了能量转化的宏观过程具有方向性。所以，能源的利用是有条件的，也是有代价的，自然界的能量虽然守恒，但还是很有必要节约能源。
判一判
(1)煤自古至今都是人类的主要能源。( )
(2)能量耗散表明能量正在逐渐消失。( )
(3)世上总能量虽然不变，但我们仍需要有节能意识。( )
提示：(1)× 煤自工业革命后才成为人类的主要能源，远古的人类所需的主要能源是柴薪。
(2)× 能量耗散并非说明能量在消失，而是指可利用的能源正在减少。
(3)√ 世上总能量虽然不变，但可利用的能源正在逐渐减少，故我们仍需要节约能源。
课堂任务 能量守恒定律与能量耗散
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：某人骑自行车沿斜面匀速下坡，在下坡过程中，动能不变，势能减小，因而能量不守恒，这种说法正确吗？为什么？
提示：人骑自行车下坡时，受到摩擦力，产生热量。机械能转化为内能，总能量守恒。因而这种说法不正确。
活动2：在验证机械能守恒定律的实验中，计算结果发现，减少的重力势能值总大于增加的动能的值，即机械能的总量在减少，这是什么原因？
提示：原因是存在纸带和打点计时器之间的摩擦力和空气阻力等，这些阻力做负功把一部分机械能转化成了其他形式的能量。
活动3：机械能不守恒，能量就不守恒吗？
提示：除重力或弹力做功外，其他力对物体做功会使物体的机械能增加或减少，其他力对物体做功的过程实质上是其他形式的能与机械能相互转化的过程，在转化的过程中，能量的总量是不变的，这是大自然的一条普遍规律，而机械能守恒定律只是这一条普遍规律的一种特殊情况。
活动4：活动2中因为有摩擦阻力和空气阻力的作用使机械能转化成什么形式的能，这部分能量是消失了吗？
提示：转化成内能，这部分能量没有消失，但散失到空中不能利用了，也就是能量耗散了。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)能量守恒定律的理解
某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)能量守恒定律的适用范围
能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。
(3)能量守恒定律的表达式
①从不同状态看，E初＝E末。
②从能的转化角度看，ΔE增＝ΔE减。
③从能的转移角度看，ΔEA增＝ΔEB减。
(4)各种能源之间的相互转化图
例1 (多选)从光滑斜面上滚下的物体，最后停止在粗糙的水平面上，说明( )
A．在斜面上滚动时，只有动能和势能的相互转化
B．在斜面上滚动时，有部分势能转化为内能
C．在水平面上滚动时，总能量正在消失
D．在水平面上滚动时，机械能转化为内能，总能量守恒
(1)物体运动的过程中机械能守恒吗？
提示：在光滑斜面上滚下的过程中机械能守恒，在粗糙的水平面上运动的过程中机械能不守恒。
(2)减少的机械能哪去了？
提示：摩擦生热散失到空中了。
[规范解答] 在斜面上滚动时，只有重力做功，只发生动能和势能的相互转化，A正确，B错误；在水平面上滚动时，有摩擦力做功，机械能转化为内能，总能量是守恒的，C错误，D正确。
[完美答案] AD
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。能量耗散不是能量消失，只是在可利用的品质上降低了，能量的总量还是保持不变。
自由摆动的秋千摆动幅度越来越小，下列说法中正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．只有动能和重力势能的相互转化
D．减少的机械能转化为内能，但总能量守恒
答案 D
解析 秋千在摆动过程中受阻力作用，克服阻力做功，机械能减小，内能增加，但总能量不变。故选D。
例2 如图所示，一个粗细均匀的U形管内装有同种液体，液体质量为m。在管口右端用盖板A密闭，两边液面高度差为h，U形管内液体的总长度为4h，拿去盖板，液体开始运动，一段时间后管内液体停止运动，则该过程中产生的内能为( )
A.mgh B.mgh C.mgh D.mgh
(1)液体重心降低说明了什么？
提示：液体重心降低说明重力势能减小了，而管内液体停止运动表示动能并不变，这样机械能就减少了。
(2)减少的机械能哪去了？
提示：减少的机械能变成了系统的内能。
[规范解答] 去掉右侧盖板之后，液体向左侧流动，最终两侧液面相平，液体的重力势能减少，减少的重力势能转化为内能。如图所示，最终状态可等效为右侧h的液柱移到左侧管中，即增加的内能等于该液柱减少的重力势能，则Q＝mg·h＝mgh，故A正确。
[完美答案] A
利用能量守恒定律解题的基本思路
(1)明确研究对象及研究过程。
(2)分清有哪几种形式的能(如机械能、内能等)在变化。
(3)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(4)列等式ΔE减＝ΔE增求解。
利用能量守恒定律解题的关键是正确分析有多少种能量变化，分析时避免出现遗漏。
(多选)行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流。上述不同现象中所包含的相同的物理过程是( )
A．物体克服阻力做功
B．物体的动能转化为其他形式的能
C．物体的势能转化为其他形式的能
D．物体的机械能转化为其他形式的能
答案 AD
解析 这四个现象中物体运动过程中都受到阻力作用，汽车主要受摩擦阻力，流星、降落伞受空气阻力，条形磁铁受磁场阻力，因而物体都克服阻力做功，A正确。四个物体的运动过程中，汽车是动能转化成了内能，流星、降落伞、条形磁铁是重力势能转化成其他形式的能，总之物体的机械能转化成了其他形式的能，D正确。
课堂任务 功与能量的转化
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：吊塔匀速吊起货物的过程中，动能变化吗？合外力做的总功是多少？
提示：因为速度不变，所以动能不变，合外力做的总功为零。
活动2：货物的机械能变吗？
提示：货物的动能没变，重力势能增加，故机械能增加。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)功与能的区别
①功是力在空间上的积累，是过程量。
②能反映了物体能够对外做功的一种本领，与物体所处的状态相对应，是状态量。
(2)功能关系概述
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化。因此，功是能量转化的量度。
(3)功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一具体形式的能量转化相联系，常用的几种功能关系如下表：
例3 (2019·贵州遵义一模)(多选)如图所示，一质点在重力和水平恒力作用下，速度从竖直方向变为水平方向，在此过程中，质点的( )
A．机械能守恒 B．机械能不断增加
C．重力势能不断减小 D．动能先减小后增大
(1)分析动能如何变化看哪个力做功？
提示：合外力做功。
(2)重力势能的变化取决于哪个力做功？
提示：重力做功。
(3)机械能的变化量等于________做的功。
提示：水平恒力
[规范解答] 由于除重力外，有水平恒力方向向右，做正功，故机械能增加，A错误，B正确。重力做负功，重力势能增加，C错误。重力与水平恒力的合力斜向右下方，与速度的夹角从钝角逐渐变为锐角，合力先做负功后做正功，故动能先减小后增大，故D正确。
[完美答案] BD
求解能量变化的方法
能的转化必通过做功来实现，某种性质的力做的功是与某种形式的能量变化相对应的，比如：W合＝ΔEk、WG＝－ΔEp。
(多选)质量为m的物体以加速度a＝g匀加速下落h，g为重力加速度，则 ( )
A．物体重力势能减小mgh B．物体重力势能减小mgh
C．物体动能增加mgh D．物体机械能减小mgh
答案 BCD
解析 重力势能减少量等于重力做的功，所以重力势能减小mgh，故A错误，B正确；物体动能增量ΔEk等于合力做的功，故ΔEk＝mah＝mgh，C正确；由动能和重力势能的变化得物体机械能减小mgh，D正确。
例4 如图所示，电动机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上。若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：
(1)小木块的位移；
(2)传送带转过的路程；
(3)小木块获得的动能；
(4)摩擦过程产生的热量；
(5)电动机带动传送带匀速转动输出的总能量。
(1)小木块做什么运动？
提示：小木块先在摩擦力的作用下做匀加速直线运动，和传送带速度相同后做匀速直线运动。
(2)如何求解摩擦产生的热量？
提示：Q＝fs相对。其中s相对是相互摩擦的两个物体相对对方运动的路程，不是相对地面的位移。
[规范解答] 小木块刚放上传送带时，速度为0，受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带相同的速度后不再受摩擦力作用，做匀速直线运动。整个过程中小木块获得一定的动能，系统内因摩擦产生一定的热量。
(1)对小木块，相对传送带滑动时，由μmg＝ma，得a＝μg
由v＝at，得小木块从开始到与传送带相对静止所用的时间t＝
则小木块的位移l＝at2＝。
(2)传送带始终匀速运动，转过的路程s＝vt＝。
(3)小木块获得的动能Ek＝mv2。
(4)摩擦过程产生的热量Q＝μmg(s－l)＝mv2。
(5)由能的转化与守恒得，电动机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦产生的热量，所以E总＝Ek＋Q＝mv2。
[完美答案] (1) (2) (3)mv2
(4)mv2 (5)mv2
1．摩擦力做功特点
(1)无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，它们都可以做负功或做正功，也可以不做功。
(2)互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做的总功为零；而互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做的总功一定为负值。
2．因摩擦而产生的内能的计算
Q＝Ff·x相对中，其中Ff指滑动摩擦力的大小，x相对指发生摩擦的物体间相对对方运动的路程的大小。
如图所示在光滑的水平面上，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木块右端，小铁块与长木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木块上相对长木块滑动L时与长木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中
(1)系统产生的热量；
(2)小铁块增加的动能；
(3)长木块减少的动能；
(4)系统机械能的减少量。
答案 (1)μmgL (2)μmg(l－L) (3)μmgl (4)μmgL
解析 画出这一过程两物体位移示意图，如图所示。
(1)两者之间相对滑动的位移为L，所以Q＝μmgL。
(2)根据动能定理有μmg(l－L)＝mv2－0，所以小铁块动能的增量为μmg(l－L)。
(3)摩擦力对长木块做负功，根据功能关系，得ΔEkM＝－μmgl，即长木块减少的动能等于长木块克服摩擦力做的功μmgl。
(4)系统机械能的减少量等于系统产生的热量，
所以ΔE减＝μmgL。
A组：合格性水平训练
1．(能量守恒定律)下列说法正确的是( )
A．随着科技的发展，永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
答案 C
解析 永动机是指不消耗或少消耗能量，而可以大量对外做功的装置，这种装置违背了能量守恒定律，所以永动机是永远不可能制成的，A错误；太阳辐射大量的能量，地球只吸收了极少的一部分，使万物生长，但辐射到宇宙空间的能量也没有消失，而是转化成了别的能量，B错误；马和其他动物，包括人，要运动，必须消耗能量，C正确；所谓“全自动”手表，内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，使摆锤不停摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的运行，如果把这种手表放在桌面上静置几天，它一定会停止走动，D错误。
2．(能量转化)市面上出售一种装有太阳能电扇的帽子(如图所示)，在阳光的照射下，小电扇快速转动，能给炎热的夏季带来一丝凉爽。该装置的能量转化情况是( )
A．太阳能→电能→机械能
B．太阳能→机械能→电能
C．电能→太阳能→机械能
D．机械能→太阳能→电能
答案 A
解析 太阳能电池板中太阳能转化为电能，小电动机中电能转化为机械能，故A正确。
3．(能量耗散)关于能量和能源，下列说法中正确的是( )
A．由于自然界的能量守恒，所以不需要节约能源
B．在利用能源的过程中，能量在数量上并未减少
C．能量耗散说明能量在转化过程中没有方向性
D．人类在不断地开发和利用新能源，所以能量可以被创造
答案 B
解析 自然界的总能量是守恒的，能量只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体，能量不可能被创造；在利用能源的过程中，能量在数量上并未减少，但能量的可利用品质降低了，即能量耗散了，这说明能量转化具有方向性，因此要节约能源，故B正确，A、C、D错误。
4．(功能关系)关于功和能，下列说法正确的是( )
A．功和能单位相同，意义相同，功是能，能是功
B．功和能可以相互转化
C．水对水轮机做了8.9×106 J的功表示水的能量减少了8.9×106 J
D．竖直上抛的石子上升过程克服重力做功5 J，表示石子将5 J的功转化为5 J的重力势能
答案 C
解析 功和能虽然单位相同，但意义完全不同，功是功，能是能，功和能也不能相互转化，它们是两个不同的物理量，A、B错误。功是能量转化的量度，水对水轮机做了8.9×106 J的功表示水的能量减少了8.9×106 J，转化成水轮机的能量，C正确。石子克服重力做5 J的功，表示动能转化成重力势能的量为5 J，D错误。
5．(功能关系)质量为m的子弹，以水平速度射入放在光滑水平面上质量为M的木块中，刚好能从木块中射出，下列说法中正确的是( )
A．子弹克服阻力做的功，等于系统内能的增加量
B．子弹动能的减少量，等于子弹克服阻力做的功
C．子弹损失的机械能，等于木块和子弹组成的系统内能的增加量
D．阻力对子弹做的功，等于木块获得的动能
答案 B
解析 对子弹射击木块的过程，由于子弹和木块之间存在相互作用力，子弹受到阻力作用，木块受动力推动而获得动能，所以子弹克服阻力做的功等于子弹动能的减少量，而子弹减小的动能一部转化为木块的动能，另一部分转化为系统的内能，B正确，A、C、D错误。
6．(功能关系)质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少了mgh
B．物体的机械能减少了mgh
C．物体的动能增加了mgh
D．重力做功mgh
答案 C
解析 物体落地过程中，重力做功WG＝mgh，重力势能减少mgh，A、D错误；由动能定理可知，ΔEk＝W合＝mah＝mgh，C正确；由功能关系可知，ΔE＝W合－mgh＝－mgh，所以机械能减少了mgh，B错误。
7．(功能关系)如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时具有的弹性势能为( )
A．(mg－F阻)(H－L＋x)
B．mg(H－L＋x)－F阻(H－L)
C．mgH－F阻(H－L)
D．mg(L－x)＋F阻(H－L＋x)
答案 A
解析 设小球克服弹力做功为W弹，则对小球应用动能定理得(mg－F阻)(H－L＋x)－W弹＝ΔEk＝0，所以W弹＝(mg－F阻)(H－L＋x)，即为弹簧在最短时具有的弹性势能，A正确。
8．(综合)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点正上方的P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
A．重力做功2mgR B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR D．克服摩擦力做功mgR
答案 D
解析 小球从P到B的过程中，重力做功mgR，A错误；小球在A点正上方由静止释放，通过B点恰好对轨道没有压力，只有重力提供向心力，即mg＝，得 v2＝gR，设克服摩擦力做的功为Wf，对全过程运用动能定理mgR－Wf＝mv2－0＝mgR，得Wf＝mgR，C错误，D正确；克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，B错误。
9．(综合)在质量为0.5 kg的重物上安装一极轻的细棒(设细棒足够长)，如图所示，用手在靠近重物处握住细棒，使重物静止，握细棒的手不动，稍稍减小握力，使手和细棒间保持一定的摩擦力，让重物和细棒保持一定的加速度下落，在起初的1.0 s的时间里，重物落下了0.50 m。在此过程中手和细棒之间所产生的热量是多少？(g取10 m/s2)
答案 2.25 J
解析 由h＝at2 ，得a＝＝1 m/s2，
v＝at＝1×1.0 m/s＝1 m/s
由能量守恒定律得mgh＝mv2＋Q热，
Q热＝mgh－mv2＝2.25 J。
B组：等级性水平训练
10．(功能关系)(多选)如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了mgl
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
答案 BD
解析 物块克服绳的拉力做功，其机械能减少，故A错误；软绳重力势能减少量ΔEp减＝mg·－mg·sinθ＝mgl，故B正确；由功能关系知C错误，D正确。
11．(综合)如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点。已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦力不计，重力加速度为g，求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧最大压缩量为d时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；
(3)在(2)问前提下，若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
答案 (1) (2)mgh－μmgd (3)h－2μd
解析 (1)从坡道顶端运动到O点，
由机械能守恒定律得mgh＝mv2
解得v＝。
(2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为
W＝μmgd
由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd
联立以上各式得Ep＝mgh－μmgd。
(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为W＝μmgd
由能量守恒定律得Ep＝μmgd＋mgh′
所以物块A能够上升的最大高度为h′＝h－2μd。
12．(综合)如图甲所示，一倾角为37°的传送带以恒定速度运行。现将一质量m＝2 kg的小物体以某一初速度放上传送带，物体相对地面的速度随时间变化的关系如图乙所示，取沿传送带向上为正方向，g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)0～10 s内物体位移的大小；
(2)物体与传送带间的动摩擦因数；
(3)0～10 s内物体机械能的增量及因与传送带摩擦产生的热量Q。
答案 (1)33 m (2) (3)423 J 405 J
解析 (1)从题图乙中求出物体位移为
s＝ m－×2×3 m＝33 m。
(2)由图象知，物体在传送带上滑动时的加速度
a＝1.5 m/s2，
在此过程中对物体分析得：
μmgcos37°－mgsin37°＝ma，得μ＝。
(3)物体被送上的高度h＝ssin37°＝19.8 m，
重力势能增量ΔEp＝mgh＝396 J，
动能增量ΔEk＝mv－mv＝27 J，
机械能增量ΔE＝ΔEp＋ΔEk＝423 J。
因0～10 s内只有前6 s发生相对滑动，而0～6 s内传送带运动距离s带＝6×6 m＝36 m。
0～6 s内物体位移
s物＝×4×6 m－×2×3 m＝9 m，
所以Δx＝s带－s物＝27 m，
故产生的热量Q＝μmgcos37°Δx＝405 J。
课件80张PPT。第十节 能量守恒定律与能源01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第四节 重力势能
1．知道重力做功与路径无关。
2．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算。
3．掌握重力做功与重力势能变化的关系。
4．理解重力势能的相对性，知道重力势能是物体和地球系统所共有的。
1.重力做的功
(1)表达式
WG＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
(2)正负
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功。
(3)特点
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2．重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh，其中h表示物体所在位置的高度。
(3)单位：焦耳，与功的单位相同。重力势能是标量，正负表示大小。
(4)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2。
②重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。
3．重力势能的相对性和系统性
(1)相对性
①参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面，物体的重力势能取作0。
②重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
(2)系统性
重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。
判一判
(1)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。( )
(2)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。( )
(3)在同一高度的质量不同的两个物体，它们的重力势能一定不同。( )
提示：(1)× 重力势能是标量，没有方向。
(2)√ 重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
(3)× 若选定两物体所处的水平面为参考平面，则两物体的重力势能均为0。
想一想
滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？
提示：运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。
课堂任务 重力做的功
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图中重物下落，重力做的功是多少？
提示：重力和位移方向一致，可以用W＝Fl来计算功，可以得出W＝mgh＝mg(h1－h2)。
活动2：乙图中重物沿虚线直接由A到B和先经C再至B的过程重力做的功各是多少？
提示：根据功的计算式可以得出重物沿虚线直接由A到B重力做的功为W＝mglcosθ，而lcosθ＝h＝h1－h2，故W＝mg(h1－h2)。
与活动1一样，重物从A到C所做的功W＝mgh＝mg(h1－h2)，而从C到B，重力不做功，所以整个过程的总功仍然是W＝mg(h1－h2)。
活动3：丙图中物体沿曲线由A运动到B重力对物体做的功是多少？
提示：可以把丙图无限细分为若干个小斜面(乙图的情景)，重力在每个斜面上所做的功加起来就是从A运动到B重力做的功。
W1＝mgΔh1，W2＝mgΔh2，W3＝mgΔh3……
W＝W1＋W2＋W3＋……
W＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3＋……)，即：W＝mgh＝mg·(h1－h2)。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)物体在同一水平面上运动时，重力总是不做功。
(3)重力做功与路径无关还可以理解为：重力是恒力，而恒力做功W＝Flcosα就是力F与在力F方向上的位移的乘积，而重力方向上的位移与路径无关，只与高度差h有关。往高处运动，重力方向上的位移与重力方向相反，重力做负功，往低处运动，重力做正功，其值都为mgh(h为始末位置的高度差)。
(4)重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功特点为：与具体路径无关，只与起点和终点两个位置有关，恒力做的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
(5)物体的竖直位移等于零，说明重力做功的代数和等于零，但过程中重力并不一定不做功。
例1 如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后再滚上另一斜面，当它到达高为h的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做的功为( )
A．mgh B．mgh
C．mgh D．0
(1)重力做功的特点？
提示：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)小球始末位置的高度差是多少？
提示：h－h＝h。
[规范解答] 重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。根据重力做功的公式W＝mg(h1－h2)得，W＝mg＝mgh，故答案为B。
[完美答案] B
在物体运动的过程中重力可能会反复做正功、负功，但是这些正功、负功高度差相同的部分就会抵消，无论往复多少，最后只看始末位置的高度差；往上运动重力做负功，往下运动重力做正功，其值都为mgΔh，Δh为始末位置的高度差。
沿高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端。下列说法正确的是( )
A．沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
C．沿坡度小、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
D．不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同
答案 D
解析 不论接触面是光滑还是粗糙，也不论是直线运动还是曲线运动，重力做功与物体的运动路径无关，只与初末状态物体的高度差有关。所以只有D正确。课堂任务 重力势能
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：物体由三条路径(A→B直线，APB弧线，A→C→B折线)从A至B，重力做的功相等吗？
提示：重力做的功与路径无关，同一物体始末位置相同，重力做的功相等。
活动2：物体从A至B重力做的功是什么，有什么意义？
提示：从图中给的物理量看出W＝mg(h1－h2)，展开得到W＝mgh1－mgh2，从功能关系的角度看，功是能量转化的量度。左边是功，右边应该是能，而且应该对应着两个状态。两个状态都与高度有关。结合本章第一节知识判断出与质量、位置有关的能就是势能。
活动3：如果物体从B至A，重力做功怎样，势能怎样？
提示：从B至A重力做的功W＝－mg(h1－h2)＝mgh2－mgh1。从运算可以看出，重力做负功，mgh2活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)重力势能：物体的重力势能用Ep表示，Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①WG＝mgh1－mgh2。重力做多少正功，重力势能减少多少，重力做多少负功，重力势能增加多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
②重力做的功是过程量，重力势能是状态量，WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp将过程量与状态量联系起来。
例2 在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。
(1)Ep＝mgh中的h是什么？
提示：是物体相对参考平面的高度。
(2)重力所做的功和重力势能的变化的数量关系怎样？
提示：数值相等，正负相反。重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少；同理，重力做多少负功，重力势能就增加多少。
[规范解答] (1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为
h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m
重力势能
Ep＝mgh＝200×10－3×10×(－20) J＝－40 J。
(2)在第3 s末小球所处的高度为
h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m
第3 s内重力做的功为W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45) J＝50 J
由重力做功与重力势能变化的关系可知，小球的重力势能减少了50 J。
[完美答案] (1)－40 J (2)50 J 小球的重力势能减少了50 J
1．解决重力势能问题的注意事项
(1)重力势能的大小与零势能面的选取有关。
(2)重力做功、重力势能的变化量与零势能面的选取无关。
(3)计算重力做功、重力势能、重力势能的变化量时要注意判断其正、负。
2．求重力做功的两种方法
(1)根据功的定义式求解：先求初、末位置的高度差，再求出重力与此高度差的乘积，即为重力做的功(前面已讲)。
(2)根据重力势能的变化与重力做功的关系求解：重力做的功等于重力势能变化量的负值：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
一只100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)( )
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
答案 C
解析 整个过程重力对球做正功，其大小为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝0.55 J，A、B错误；重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少，因此球的重力势能减少了0.55 J，C正确，D错误。
课堂任务 重力势能的相对性
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：根据图片给出的数据完成下列填空(g取10 m/s2)。
提示：
活动2：由活动1表格中的数据可以得出什么结论？
提示：重力势能与参考平面的选取有关，而重力做功和重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)重力势能是状态量：重力势能描述了物体所处的一定状态，与物体所处的位置或时刻相对应。
(2)重力势能的正负：重力势能是标量，只有大小没有方向，但有正负。对于选定的参考平面，物体在参考平面上方时，重力势能为正；在参考平面下方时，重力势能为负；在参考平面上时，重力势能为零。对同一参考平面，正的重力势能大于负的重力势能。
(3)重力势能的三个性质
①重力势能的相对性
对同一物体，选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。
②重力势能变化的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。
③重力势能的系统性
重力是地球与物体之间的相互作用力，如果没有地球，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是地球与物体所组成的物体“系统”共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。
例3 如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( )
A．mgh，减少mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
(1)小球落地时，在参考平面以上还是以下，重力势能为正还是负？
提示：小球落地时，在参考平面以下，重力势能为负。
(2)小球离桌面H高处的重力势能是什么？
提示：以桌面为参考平面，小球在参考面以上H高处，故其重力势能为mgH。
[规范解答] 以桌面为参考平面，落地时物体的重力势能为－mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了mg(H＋h)，D正确。
[完美答案] D
重力势能的三种求解方法
(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。
(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：
由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。
(3)由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末状态有关。ΔEp＝mg·Δh＝Ep2－Ep1，其中Δh为物体末、初位置的高度差。
质量为20 kg的铁板、厚度不计，平放在二楼的地面上。二楼地面与楼外地面的高度差约为3 m，这块铁板相对二楼地面和楼外地面的重力势能分别为( )
A．600 J、0 B．0、600 J
C．1200 J、0 D．0、1200 J
答案 B
解析 铁板相对于二楼地面的高度是零，故铁板相对于二楼地面的重力势能为零；铁板相对于楼外地面的高度为3 m，则铁板相对于楼外地面的重力势能Ep＝mgh＝200×3 J＝600 J，故选B。
例4 质量为m的均匀链条长为L，刚开始放在光滑的水平桌面上(桌面高度大于L)，有L 的长度悬在桌面边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面，求从开始到链条刚滑离桌面的过程中重力势能变化了多少？
(1)求链条重力势能的变化以什么面为参考平面？
提示：参考平面的选择是任意的，这里可以选择末状态链条的最低点为参考面，也可以选桌面为参考面，以自己解题感觉顺利为依据。但选地面就很麻烦了。
(2)可以不选参考面解决问题吗？
提示：可以。直接根据重力做功与重力势能变化的关系来解，这个题目可以根据重心位置的变化计算出重心的位移，从而计算出重力所做的功。
[规范解答] 解法一：(等效法)由图中初态和末态比较，可等效成将开始桌面上L长的链条移至末态的下端L处，故重心下降了L，所以重力势能减少了mg·L＝mgL，即ΔEp＝－mgL。
解法二：用定义式ΔEp＝Ep2－Ep1来求解。
设桌面为参考平面，开始时重力势能
Ep1＝mg×＝－，
末态时重力势能
Ep2＝mg×＝－，
故重力势能变化量
ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgL。
[完美答案] 减少了mgL
1.选择合适的参考平面可以使计算更方便。,2.链条的势能看重心位置
?1?不能看成质点的物体相对于参考平面的高度是指其重心相对参考平面的高度。
?2?粗细均匀、质量分布均匀的长直链条?绳索?，其重心在长度的一半处。
?3?研究对象呈折线状放置时，整体重心位置不好确定，可采用分段法，如例4所示，将链条分为开始时的水平和竖直两段，分别求出两段重力做的功或势能变化，再将所得结果求和便可。
如图所示，一条长l＝2 m、质量分布均匀的铁链放在水平地面上，铁链质量为10 kg，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，克服铁链重力做功为多少？铁链的重力势能变化了多少？(重力加速度g＝9.8 m/s2)
答案 98 J 增加了98 J
解析 铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了h＝，因而克服铁链重力所做的功为W＝mg·＝10×9.8× J＝98 J，铁链的重力势能增加了98 J。
A组：合格性水平训练
1．(重力做功特点)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B重力做功mg(H＋h)
D．从A到B重力做功mgH
答案 D
解析 重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关，从A到B的高度差是H，故从A到B重力做功mgH，D正确。
2．(重力势能)关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D．只要重力做功，重力势能一定变化
答案 D
解析 选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，即若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。
3. (重力做功与重力势能改变)(多选)如图所示，物体沿不同的路径从A运动到B，其中按不同的路径：①有摩擦作用，②无摩擦作用，③无摩擦作用，但有其他外力拉它。比较这三种情况下重力做的功W1、W2、W3，重力势能的变化量ΔEp1、ΔEp2、ΔEp3的关系，以下正确的是( )
A．W1＞W2＞W3 B．W1＝W2＝W3
C．ΔEp1＝ΔEp2＝ΔEp3 D．ΔEp1＜ΔEp2＜ΔEp3
答案 BC
解析 重力做功与路径无关，只取决于物体初、末位置，且与物体受不受其他力无关，重力势能的变化量只取决于重力做的功，因此，三种情况下重力做功相同，重力势能的变化量也相同，B、C正确。
4．(重力势能的改变)(多选)有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J
答案 ABC
解析 根据重力做功的特点：重力做功与经过路径无关，与是否受其他力无关，与其他力做功多少无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知A、B、C正确，D错误。
5．(综合提升)(多选)质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是( )
A．物体重力做的功为mgh
B．物体所受阻力做功为
C．物体重力势能减少了mgh
D．物体克服阻力所做的功为
答案 ACD
解析 因物体的加速度为g，由牛顿第二定律可知，mg－Ff＝ma，解得空气阻力Ff＝mg。重力做功WG＝mgh，阻力做功Wf＝－mgh，A、D正确，B错误；重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，重力做正功，故重力势能减小mgh，C正确。
6. (综合提升)如图所示，一质量为m、边长为a的正方体物块与地面间的动摩擦因数为μ＝0.1。为使它水平移动距离a，可以用将它翻倒或向前缓慢平推两种方法，则下列说法中正确的是( )
A．将它翻倒比平推前进做功少
B．将它翻倒比平推前进做功多
C．两种情况做功一样多
D．两种情况做功多少无法比较
答案 B
解析 使物块水平移动距离a，若将它翻倒一次，需要克服重力做功，使其重心位置由离地h1＝增加到h2＝a，所以至少需要克服重力做功W1＝mg(h2－h1)＝mg(－1)a；而缓慢平推需要克服摩擦力做功W2＝μmga＝0.1mga7. (重力做功与重力势能改变)如图所示，质量为m的小球从曲面左侧上的A点滚下，经过最低点后滚到曲面右侧上的B点。已知A点距最低点的高度为h1，B点距最低点的高度为h2。求小球从A点滚到B点的过程中，重力做了多少功？小球的重力势能变化了多少？
答案 mg(h1－h2) 减少了mg(h1－h2)
解析 重力做的功为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)，因为高度减小，重力做正功，所以重力势能减少，且减少的重力势能等于重力所做的功，故小球的重力势能减少了mg(h1－h2)。
8．(重力势能的相对性与势能差的绝对性)如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取10 m/s2。求：
(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(3)以上计算结果说明什么？
答案 (1)8 J 24 J (2)24 J 24 J (3)见解析
解析 (1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J，
物体落至地面时，h2＝－0.8 m，
重力势能Ep2＝mgh2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J，
因此物体在此过程中重力势能减少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J。
(2)以地面为零势能参考平面，物体的高度
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m，
因而物体具有的重力势能
Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J。
物体落至地面时重力势能Ep2′＝0，
在此过程中物体重力势能减少量
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J。
(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关。
9. (有关链条问题)如图所示，总长为2 m的光滑匀质铁链，质量为10 kg，跨过一光滑的轻质定滑轮。开始时铁链的两底端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，求：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？(g取10 m/s2，不计滑轮大小)
答案 50 J 减少50 J
解析 开始时链条重心在A处，离开滑轮时重心位置在B处，即重心下降了0.5 m。所以重力做功WG＝mgΔh＝10×10×0.5 J＝50 J。重力势能减少50 J。
B组：等级性水平训练
10．(重力做功与重力势能改变)(多选)大型拱桥的拱高为h，弧长为L，如图所示，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点(两点高度相同)的过程中，以下说法中正确的是( )
A．由A到B的过程中，汽车的重力势能不变，重力始终不做功
B．由A到B的过程中，汽车的重力势能的总变化量为零，重力做的总功等于零
C．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做正功，后做负功，总功为零
D．汽车的重力势能先增大后减小，上坡时重力做负功，下坡时重力做正功，总功为零
答案 BD
解析 因为A、B在同一高度上，汽车在运动过程中，位置先升高后降低，所以重力先做负功，后做正功，总功为零，重力势能先增大后减小，总的变化量等于零，A、C错误，B、D正确。
11．(综合提升)质量为m的物体，沿倾角为α的光滑斜面由静止下滑，当下滑t时间重力势能减少量为( )
A．mg2t2sinα B．mg2t2
C．mg2t2 D．mg2t2sin2α
答案 D
解析 物体下滑的加速度a＝gsinα，t时间内物体下滑的距离s＝at2＝gsinα·t2，下滑的高度h＝ssinα，物体重力势能的减少量为mgh＝mg2t2sin2α，D正确。
12．(综合提升)(多选)竖直上抛一个小球，从抛出到落回原抛出点的过程中，它的速度、重力势能、位移、加速度随时间变化的函数图象(如图所示)中正确的是(不计空气阻力，以竖直向下为正方向，图中曲线为抛物线，抛出点为零势能点，重力加速度g＝9.8 m/s2)( )
答案 ABC
解析 以竖直向下为正方向，则初速度为负值最大，重力加速度为正，小球匀减速运动到最高点速度为零，然后反向加速运动，A正确，D错误；因为抛出点为零势能点，所以重力势能最初为零，上升过程重力势能增大，下落过程则减小，回到原点变为零，又Ep＝mgh＝mg，B正确；因为位移始终在抛出点上方，所以一直为负值，又x＝－v0t＋gt2，C正确。
13．(有关链条问题)有一上端挂在墙上的长画，从画的上端到下端长1.8 m，下端画轴重1 N，画面重0.8 N(画面处处均匀)，现将长画从下向上卷起来，求长画的重力势能增加了多少？
答案 2.52 J
解析 画面的重力势能增加了
ΔEp1＝G1·＝0.8× J＝0.72 J
画轴的重力势能增加了
ΔEp2＝G2l＝1×1.8 J＝1.8 J
所以长画的重力势能增加了
ΔEp＝ΔEp1＋ΔEp2＝2.52 J。
课件87张PPT。第四节 重力势能01课前自主学习 02课堂探究评价 03课后课时作业 第七章 高考真题集训
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ) 如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定( )
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
答案 A
解析 木箱受力如图所示，木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知即：WF－Wf＝mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与克服摩擦力做功的大小，C、D错误。
2．(2019·全国卷Ⅲ) 从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为( )
A．2 kg B．1.5 kg
C．1 kg D．0.5 kg
答案 C
解析 画出运动示意图如图，设阻力大小为f，据动能定理知，
A→B(上升过程)：EkB－EkA＝－(mg＋f)h
C→D(下落过程)：EkD－EkC＝(mg－f)h
联立以上两式，解得物体的质量m＝1 kg，C正确。
3．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
答案 AD
解析 由于Ep＝mgh，所以Ep与h成正比，斜率k＝mg，由图象得k＝20 N，因此m＝2 kg，A正确；当h＝0时，Ep＝0，E总＝Ek＝mv，因此v0＝10 m/s，B错误；由图象知h＝2 m时，E总＝90 J，Ep＝40 J，由E总＝Ek＋Ep得Ek＝50 J，C错误；h＝4 m时，E总＝Ep＝80 J，即此时Ek＝0，即从地面至h＝4 m，动能减少100 J，D正确。
4．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
答案 BC
解析 物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，弹簧弹力最大，物块具有向右的加速度，弹簧弹力大于摩擦力，即Fm>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；从物块将弹簧压缩到最短至物块运动到A点静止的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒定律，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误。
5．(2018·江苏高考)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图象是( )
答案 A
解析 小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，根据动能Ek＝mv2得Ek＝m(v0－gt)2，故A正确。
6．(2018·天津高考)滑雪运动深受人民群众喜爱，某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中( )
A．所受合外力始终为零 B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为零 D．机械能始终保持不变
答案 C
解析 因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员受力如图所示，运动过程中速率不变，重力沿曲线切线方向的分力与摩擦力平衡，Gsinθ＝f，θ减小，f减小，B错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合力做功为零，C正确；因为运动员克服摩擦力做功，所以机械能不守恒，D错误。
7．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 设第②次所用时间为t，根据速度图象与t轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝××v0，解得：t＝，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶＝4∶5，A正确；由于两次提升过程中变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律知F－mg＝ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，B错误；由功率公式P＝Fv知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，C正确；两次提升过程中动能增加量均为0，由动能定理得W电－mgh＝0，两次提升高度h相同，所以电机两次做功相同，D错误。
8．(2019·全国卷Ⅰ) (多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
9．(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR
答案 C
解析 小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为vc，由动能定理有：F·3R－mgR＝mv，解得：vc＝2。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加速运动，加速度为ax＝g，竖直方向的竖直上抛运动，加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为零，时间为t＝＝，水平方向的位移为：x＝axt2＝g2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，正确答案为C。
10．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
答案 A
解析 光滑大圆环对小环只有弹力作用。弹力方向沿大圆环的半径方向(下滑过程先背离圆心，后指向圆心)，与小环的速度方向始终垂直，不做功。故选A。
11．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为( )
A.mgl B.mgl C.mgl D.mgl
答案 A
解析 以均匀柔软细绳MQ段为研究对象，其质量为m，取M点所在的水平面为零势能面，开始时，细绳MQ段的重力势能Ep1＝－mg·＝－mgl，用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时，细绳MQ段的重力势能Ep2＝－mg·＝－mgl，则外力做的功即克服重力做的功，等于细绳MQ段的重力势能的变化，即W＝Ep2－Ep1＝－mgl＋mgl＝mgl，A正确。
12．(2017·江苏高考)一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处。物块初动能为Ek0，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能Ek与位移x关系的图线是( )
答案 C
解析 设斜面倾角为θ，当小物块沿斜面上滑时，根据动能定理，有－(mgsinθ＋f)x＝Ek－Ek0，即Ek＝－(f＋mgsinθ)x＋Ek0，所以Ek与x的函数关系图象为直线，且斜率为负。当小物块沿斜面下滑时，根据动能定理有(mgsinθ－f)(x0－x)＝Ek－0(x0为小物块到达最高点时的位移)，即Ek＝－(mgsinθ－f)x＋(mgsinθ－f)x0，所以下滑时Ek与x的函数图象为直线，且斜率为负。综上所述，C正确。
13．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1。小物块上滑过程中，机械能守恒，有
mv2－mv＝2mgR①
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2②
x＝v1t③
联立①②③式整理得x2＝2－2
可得x有最大值，对应的轨道半径R＝。故选B。
二、实验题
14．(2019·江苏高考)某兴趣小组用如图1所示的装置验证动能定理。
(1)有两种工作频率均为50 Hz的打点计时器供实验选用：
A．电磁打点计时器
B．电火花打点计时器
为使纸带在运动时受到的阻力较小，应选择________(选填“A”或“B”)。
(2)保持长木板水平，将纸带固定在小车后端，纸带穿过打点计时器的限位孔。实验中，为消除摩擦力的影响，在砝码盘中慢慢加入沙子，直到小车开始运动。同学甲认为此时摩擦力的影响已得到消除。同学乙认为还应从盘中取出适量沙子，直至轻推小车观察到小车做匀速运动。看法正确的同学是________(选填“甲”或“乙”)。
(3)消除摩擦力的影响后，在砝码盘中加入砝码。接通打点计时器电源，松开小车，小车运动。纸带被打出一系列点，其中的一段如图2所示。图中纸带按实际尺寸画出，纸带上A点的速度vA＝________ m/s。
(4)测出小车的质量为M，再测出纸带上起点到A点的距离为L。小车动能的变化量可用ΔEk＝Mv算出。砝码盘中砝码的质量为m，重力加速度为g。实验中，小车的质量应________(选填“远大于”“远小于”或“接近”)砝码、砝码盘和沙子的总质量，小车所受合力做的功可用W＝mgL算出。多次测量，若W与ΔEk均基本相等则验证了动能定理。
答案 (1)B (2)乙
(3)0.31(0.30～0.33都算对) (4)远大于
解析 (1)电磁打点计时器打点时运动的纸带受到的阻力较大，而电火花打点计时器打点时运动的纸带所受阻力较小，故选B。
(2)由于刚开始运动，拉力等于最大静摩擦力，而最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故平衡摩擦力的两种看法中，乙同学正确。
(3)取与A点相邻的两点，用毫米刻度尺测出两点之间的距离，如图所示，可测得x＝1.24 cm。
用这一段的平均速度表示A点的瞬时速度，则vA＝＝ m/s＝0.31 m/s。
(4)由题意知，本实验用砝码、砝码盘和沙子的总重力大小表示小车受到的拉力大小，故要求小车的质量应远大于砝码、砝码盘和沙子的总质量。
15．(2017·天津高考)如图所示，打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。
(1)对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是________。
A．重物选用质量和密度较大的金属锤
B．两限位孔在同一竖直面内上下对正
C．精确测量出重物的质量
D．用手托稳重物，接通电源后，撤手释放重物
(2)某实验小组利用上述装置将打点计时器接到50 Hz的交流电源上，按正确操作得到了一条完整的纸带，由于纸带较长，图中有部分未画出，如图所示。纸带上各点是打点计时器打出的计时点，其中O点为纸带上打出的第一个点。重物下落高度应从纸带上计时点间的距离直接测出，利用下列测量值能完成验证机械能守恒定律的选项有________。
A．OA、AD和EG的长度 B．OC、BC和CD的长度
C．BD、CF和EG的长度 D．AC、BD和EG的长度
答案 (1)AB (2)BC
解析 (1)A对：验证机械能守恒定律时，为降低空气阻力的影响，重物的质量和密度要大。B对：为减小纸带与打点计时器间的摩擦，两限位孔要在同一竖直平面内上下对正。C错：验证机械能守恒定律的表达式为mgh＝mv2，重物的质量没必要测量。D错：此做法对减小实验误差无影响。
(2)利用纸带数据，根据mgh＝mv2即可验证机械能守恒定律。要从纸带上测出重物下落的高度并计算出对应的速度，选项A、D的条件中，下落高度与所能计算的速度不对应；选项B的条件符合要求，可以取重物下落OC时处理；选项C中，可以求出C、F点的瞬时速度，又知CF间的距离，可以利用mv－mv＝mgΔh验证机械能守恒定律。
16．(2016·全国卷Ⅱ)某物理小组对轻弹簧的弹性势能进行探究，实验装置如图a所示：轻弹簧放置在光滑水平桌面上，弹簧左端固定，右端与一物块接触而不连接，纸带穿过打点计时器并与物块连接。向左推物块使弹簧压缩一段距离，由静止释放物块，通过测量和计算，可求得弹簧被压缩后的弹性势能。
(1)实验中涉及下列操作步骤：
①把纸带向左拉直
②松手释放物块
③接通打点计时器电源
④向左推物块使弹簧压缩，并测量弹簧压缩量
上述步骤正确的操作顺序是________(填入代表步骤的序号)。
(2)图b中M和L纸带是分别把弹簧压缩到不同位置后所得到的实际打点结果。打点计时器所用交流电的频率为50 Hz。由M纸带所给的数据，可求出在该纸带对应的实验中物块脱离弹簧时的速度为________m/s。比较两纸带可知，________(填“M”或“L”)纸带对应的实验中弹簧被压缩后的弹性势能大。
答案 (1)④①③② (2)1.29 M
解析 (1)实验步骤中，一定要注意先接通打点计时器电源之后再松手释放物块。若次序搞反，可能造成物块已离开桌面但打点计时器还没有开始工作。
(2)从纸带上看，最后两个数据2.58 cm、2.57 cm相差不大，表示物块已经脱离弹簧，所以速度v＝×10－2 m/s≈1.29 m/s，同理可计算出打下L纸带时物块脱离弹簧的速度vL＝0.78 m/s三、计算题
17．(2019·天津高考)完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L1＝150 m，BC水平投影L2＝63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°(sin12°≈0.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m＝60 kg，g＝10 m/s2，求
(1)舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；
(2)舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大。
答案 (1)7.5×104 J (2)1.1×103 N
解析 (1)舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有
＝①
根据动能定理，对飞行员有
W＝mv2－0②
联立①②式，代入数据，得
W＝7.5×104 J③
(2)设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有
L2＝Rsinθ④
由牛顿第二定律，对飞行员有
FN－mg＝m⑤
联立①④⑤式，代入数据，得
FN＝1.1×103 N。⑥
18．(2017·全国卷Ⅰ)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105 m处以7.50×103 m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2。(结果保留2位有效数字)
(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；
(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
答案 (1)4.0×108 J 2.4×1012 J (2)9.7×108 J
解析 (1)飞船着地前瞬间的机械能为
Ek0＝mv①
式中，m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。由①式和题给数据得
Ek0＝4.0×108 J②
设地面附近的重力加速度大小为g。飞船进入大气层时的机械能为
Eh＝mv＋mgh③
式中，vh是飞船在高度1.60×105 m处的速度大小。由③式和题给数据得
Eh≈2.4×1012 J④
(2)飞船在高度h′＝600 m处的机械能为
Eh′＝m2＋mgh′⑤
由功能原理得
W＝Eh′－Ek0⑥
式中，W是飞船从高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功。由②⑤⑥式和题给数据得
W≈9.7×108 J。
19．(2016·全国卷Ⅲ) 如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
答案 (1)5 (2)能
解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg·①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·②
由①②式得＝5。③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝m⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m，即vC≥ ⑥
小球由A到C，由机械能守恒有mg·＝mv⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
20．(2016·天津高考)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，取g＝10 m/s2。
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。
答案 (1)144 N (2)12.5 m
解析 (1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有
v＝2ax①
由牛顿第二定律有
mg－Ff＝ma②
联立①②式，代入数据解得
Ff＝144 N。③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有
FN－mg＝m⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得
R＝12.5 m。
21．(2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，但仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
答案 (1) 2l (2)m≤M<m
解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l②
联立①②，取M＝m并代入题给数据得
vB＝③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
≥mg④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l⑤
联立③⑤式得
vD＝⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l。⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度应大于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl?
联立①②⑩?式得m≤M<m。
课件67张PPT。第七章 高考真题集训
